14
доц. д-р Тодорка Самарџиоска Факултет: Градежен Предмет: ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕ АКСИЈАЛНО НАПРЕГАЊЕ задача 1: Бетонски столб со димензии дадени на скицата оптоварен е со аксијална сила на притисок F=500kN. Да се определат нормалните напрегања во пресекот помеѓу столбот и темелот, како и на допирот меѓу темелот и почвата, ако волуменската тежина на бетонот е B γ =24kN/m 3 . пресек 1-1: дијаграми на напрегања: ( ) 1 1 1 G F N + - = - kN G 18 24 3 5 . 0 5 . 0 1 = = ( ) kN N 518 18 500 1 1 - = + - = - MPa A N 07 . 2 5 . 0 5 . 0 10 518 3 1 1 1 1 1 - = - = - = - - - σ пресек 2-2: ( ) 2 1 2 2 G G F N + + - = - kN G 18 24 75 . 0 0 . 1 0 . 1 2 = = ( ) kN N 536 18 18 500 2 2 = + + - = - MPa A N 536 . 0 0 . 1 0 . 1 10 536 3 2 2 2 2 2 - = - = - = - - - σ

Domasna1 aksijalno napreganje - Piazza

  • Upload
    others

  • View
    1

  • Download
    1

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Domasna1 aksijalno napreganje - Piazza

доц. д-р Тодорка Самарџиоска

Факултет: Градежен

Предмет: ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕ

АКСИЈАЛНО НАПРЕГАЊЕ

задача 1: Бетонски столб со димензии дадени на скицата оптоварен е со аксијална сила на притисок F=500kN. Да се определат нормалните напрегања во пресекот помеѓу столбот и темелот, како и на допирот меѓу темелот и почвата, ако волуменската тежина на бетонот е

Bγ =24kN/m3.

� пресек 1-1: дијаграми на напрегања:

( )111 GFN +−=−

kNG 182435.05.01 =⋅⋅⋅=

( ) kNN 5181850011 −=+−=−

MPaA

N07.2

5.05.0

10518 3

1

1111 −=

⋅−=−=

−−

−σ

� пресек 2-2:

( )2122 GGFN ++−=−

kNG 182475.00.10.12 =⋅⋅⋅=

( ) kNN 536181850022 =++−=−

MPaA

N536.0

0.10.1

10536 3

2

2222 −=

⋅−=−=

−−

−σ

Page 2: Domasna1 aksijalno napreganje - Piazza

доц. д-р Тодорка Самарџиоска

задача 2: На сликата е прикажан пресек на среден носив ѕид на станбена трикатна зграда. Од покривната конструкција дејствува рамномерно поделен товар q1=40kN/m’, од меѓукатните конструкции q2=35kN/m’ и од подот на приземје q3=25kN/m’. Сопствената тежина на ѕидот во варов малтер е пресметана со специфична тежина од 16 kN/m3, a на бетонскиот темел со 24 kN/m3. Димензиите на ѕидот по катови се однапред усвоени: 25cm и 38cm. Дозволените напрегања на притисок изнесуваат:

- за ѕид во варов малтер σdoz=0.8 MPa

- за темелната стапка во бетон σdoz=1.8 MPa

- за земјиштето σdoz=0.2 MPa Да се проверат вистинските нормални напрегања во сите

карактеристични пресеци.

а) геометрија на ѕидот б) σσσσ дијаграми

Page 3: Domasna1 aksijalno napreganje - Piazza

доц. д-р Тодорка Самарџиоска

Решение:

Проверката на нормалните напрегања се врши на еден метар должен од ѕидот.

� Сопствените тежини на поодделните столбови и темелот се:

kNG 80.10167.225.01 =⋅⋅=

kNG 80.10167.225.02 =⋅⋅=

kNG 41.16167.238.03 =⋅⋅=

kNG 24.18160.338.04 =⋅⋅=

kNG 84.2424)45.090.045.040.1(5 =⋅⋅+⋅=

� Контрола на напрегања:

dozMPaA

qσσ <=

⋅==

16.0125.0

1040 3

1

11

dozMPaA

qGqσσ <=

⋅++=

++=

343.0125.0

10)358.1040( 3

1

2112

dozMPaA

qGqGqσσ <=

⋅++++=

++++=

346.0138.0

10)358.10358.1040( 3

2

222113

dozMPa

A

qGqGqGq

σσ

σ

<=

⋅+⋅+⋅+=

++++++=

482.0

138.0

10)41.1633528.1040(

4

3

2

23222114

dozMPa

A

qGqGqGqGq

σσ

σ

<=

⋅+++⋅+⋅+=

=++++++++

=

595.0

138.0

10)2524.1841.1633528.1040(

5

3

2

3423222115

dozMPa

A

GqGqGqGqGq

σσ

σ

<=

⋅++++⋅+⋅+=

=+++++++++

=

179.0

14.1

10)84.242524.1841.1633528.1040(

6

3

3

53423222116

Според горепресметаните вистински нормални напрегања на притисок во карактеристични пресеци, заклучокот е дека усвоените димензии на ѕидот и темелот задоволуваат. На сл. б) се конструирани дијаграмите на вистинските нормални напрегања на притисок во карактеристичните пресеци.

Page 4: Domasna1 aksijalno napreganje - Piazza

доц. д-р Тодорка Самарџиоска

задача 3: Алуминиумска прачка со дијаметар 5cm и должина 30cm е подложена на сила на затегнување. Во извесен момент приложената сила е 32 kN, додека измереното издолжување е 0.03cm, а дијаметарот е намален за

0.0015cm. Да се пресметаат двете физички константи Е и µ на материјалот.

Решение:

� попречна дилатација:

cmcmD

Dxx /0003.0

5

0015.0−=

−=

∆=ε

� подолжна дилатација:

cmcmL

Lz /001.0

30

03.0==

∆=ε

� Поасонов коефициент:

3.0001.0

0003.0==−=

z

x

ε

εµ

� напрегање:

MPacmkNdA

F3.16/63.1

625.19

32

4

5

32

4

32 2

22===

⋅=

⋅==

ππσ

� модул на еластичност:

MPacmkNEz

16300/1630001.0

63.1 2 ====ε

σ

Page 5: Domasna1 aksijalno napreganje - Piazza

доц. д-р Тодорка Самарџиоска

задача 4: Една крута плоча е потпрена со помош на три стапа и на неа дејствува една хоризонтална сила F=480kN. Трите стапа имаат ист напречен пресек А и ист модул на еластичност Е. Да се определат нормалните напрегања во стаповите, како и крајното поместување на точката В ако тежината на плочата е G=160kN.

d=10cm a = 4m b = 2m E = 2 . 105 MPa

Решение:

� од услови за рамнотежа:

дијаграм на слободно тело:

∑ = 0Z 01 =− SF

∑ = 0Y 032 =−−− SSG

∑ = 0BM 02

3 =⋅+⋅+⋅ bSb

GaF

0211604480 3 =⋅+⋅+⋅ S

kNS 10403 −=

kNS 88010401602 =+−=

kNS 4801 =

� површина: 2

2

6.784

cmd

A =⋅

� напрегања и издолжувања:

MPaA

S

A

N61

106.78

104804

311

1 =⋅

⋅===

σ

mmmAE

lNl 61.000061.0

00786.0102

248.05

111 ==

⋅⋅

⋅=

⋅=∆

MPaA

S

A

N5.112

106.78

108804

322

2 =⋅

⋅===

σ

mmmAE

lNl 05.100105.0

00786.0102

288.05

222 ==

⋅⋅

⋅=

⋅=∆

MPaA

S

A

N133

106.78

1010404

333

3 −=⋅

⋅−=−==

σ

mmmAE

lNl 23.100123.0

00786.0102

2040.15

333 ==

⋅⋅

⋅=

⋅=∆

� поместување на точката В:

Page 6: Domasna1 aksijalno napreganje - Piazza

доц. д-р Тодорка Самарџиоска

mmllBB 21.12

2

2

11 =∆+∆=∆=

задача 5: Една крута греда е потпрена во неподвижно лежиште А и со помош на два стапа и на неа дејствува една вертикална сила F. Колкава е максималната сила F која може да ја прими гредата, ако напрегањата

во стаповите не ги надминат дозволените напрегања MPadoz 150=σ .

Стаповите се со познат напречен пресек (А1=8cm2 и А2=12cm2) и имаат ист модул на еластичност Е=2 . 105 MPa.

α=30o

Решение:

� од услови за рамнотежа:

дијаграм на слободно тело:

∑ = 0Z ; 0sin1 =⋅+− αSAz

∑ = 0Y ; 0cos 21 =−+⋅+ FSSAy α

∑ = 0AM ;

05.7530cos10 12 =⋅+⋅°⋅−⋅− FSS

866.025.1 12 ⋅+⋅=⋅ SSF

� од услов за деформации:

детал:

11 1547.130cos

ll

∆⋅=°

∆=δ

5102 δ

=∆l

112 3094.21547.122 lll ∆⋅=∆⋅⋅==∆⇒ δ

4

1

1

111

108

464.3−⋅⋅

⋅=

⋅=∆

E

S

AE

lSl ;

4

2

2

222

1012

3−⋅⋅

⋅=

⋅=∆

E

S

AE

lSl

4

1

4

2

108

464.33094.2

1012

3−− ⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅

E

S

E

S

Page 7: Domasna1 aksijalno napreganje - Piazza

доц. д-р Тодорка Самарџиоска

12 992.3 SS ⋅=

FF

S 16949.085.8

5.11 ==

FS 6766.02 =

� определување на меродавна сила:

⇒=⋅

⇒≤=−

150108

16949.0150

41

11

FMPa

A

Sσ kNMNF 700708.0 ==

⇒=⋅

⇒≤=−

1501012

6766.0150

42

22

FMPa

A

Sσ kNMNF 266266.0 ==

усвоено: kNF 260=

Page 8: Domasna1 aksijalno napreganje - Piazza

доц. д-р Тодорка Самарџиоска

задача 6: Да се определи големината на напрегањето во секој дел на конзолниот стап со константен попречен пресек А=5cm2. Да се пресмета вкупната деформација на стапот ако модулот на еластичност е Е=2 . 105 MPa (челик).

F1=40 kN F2=60 kN F3=20 kN

Решение:

� дијаграм на слободно тело:

аксијални сили:

kNFN 40110 ==−

kNFFN 10060402121 =+=+=−

kNFFFN A 802060403212 =−+=−+=−

напрегања:

MPaA

N80

105

10404

3

1

1010 =

⋅==

−−

−σ

MPaA

N200

105

101004

3

1

2121 =

⋅==

−−

−σ

MPaA

N AA 160

105

10804

3

1

11 =

⋅==

−−

−σ

издолжувања:

mmmAE

lNl 4.0104

0005.0102

1040.0 4

51

1101 =⋅=

⋅⋅

⋅=

⋅=∆ −

mmmAE

lNl 0.1101

0005.0102

1100.0 3

51

2212 =⋅=

⋅⋅

⋅=

⋅=∆ −

mmmAE

lNl A 6.1106.1

0005.0102

2080.0 3

51

323 =⋅=

⋅⋅

⋅=

⋅=∆ −

mmlll 0.36.10.14.0321 =++=∆+∆+∆=∆

Page 9: Domasna1 aksijalno napreganje - Piazza

доц. д-р Тодорка Самарџиоска

задача 7: Хоризонтална греда АВ е обесена за два челични стапа со иста должина h=4m. Во средината на гредата, во точка Е, дејствува вертикална сила F=200 kN. Дадени се дијаметрите на двата стапа d1=2cm и d2=2.5cm и модулот на еластичност Е=2 . 105 MPa. Да се пресмета вертикалното поместување во точка Е.

Решение:

� дијаграм на слободно тело:

∑ = 0Y ; kNFSS 1002/21 ===

2

2

11 14.3

4cm

dA =

⋅=

π

2

2

22 9.4

4cm

dA =

⋅=

π

� напрегања:

MPaA

N5.318

1014.3

101004

3

1

11 =

⋅==

σ

MPaA

N1.204

109.4

101004

3

2

22 =

⋅==

σ

� издолжувања:

mAE

lSl 0064.0

1014.3102

41.045

1

111 =

⋅⋅⋅

⋅=

⋅=∆

−−

mAE

lSl 004.0

109.4102

41.045

2

222 =

⋅⋅⋅

⋅=

⋅=∆

−−

( ) ( ) mmll 2.52/44.62/21 =+=∆+∆=∆

Page 10: Domasna1 aksijalno napreganje - Piazza

доц. д-р Тодорка Самарџиоска

задача 8: Столб од бетон и челик е притиснат со сила F=250 kN преку кружна перница. Да се определи напрегањето во бетонот и челикот ако се дадени напрелните пресеци (тежината да се занемари)

a=20cm b=2cm F=250kN Еb=2 . 104 MPa Еc=2 . 105 MPa

Решение:

� услов за рамнотежа:

∑ = 0Y ; ccbcb FFFFkNFFF −=−=⇒==+ 250250

� услов за деформација:

bc ll ∆=∆ - услов за заедничка работа на двата материјали во

спрегната конструкција

bb

b

cc

c

AE

hF

AE

hF

⋅=

( )

bb

c

cc

c

AE

FF

AE

F

−=

22 4cmbAc ==

222 396cmbaAb =−=

4445 10396102

25.0

104102 −− ⋅⋅⋅

−=

⋅⋅⋅

cc FF

kNFc 023.0=

kNFb 227.0=

MPaA

F

c

cc 5.57

104

10234

3

−=⋅

⋅−==

σ

MPaA

F

b

bb 73.5

10396

102274

3

−=⋅

⋅−==

σ

Page 11: Domasna1 aksijalno napreganje - Piazza

доц. д-р Тодорка Самарџиоска

задача 9: За дадениот систем средниот стап е изработен покус за δ=6mm. Да се определат напрегањата во стаповите по присилната монтажа на системот, ако сите три стапа се од ист материјал и со ист напречен

пресек, Е=2 . 105 MPa, А=3cm2, α=30о .

Решение:

� услови за рамнотежа:

∑ = 0X

3131 0sinsin FFFF =⇒=⋅−⋅ αα

∑ = 0Y

11221 73.1cos20cos2 FFFFF =⋅=⇒=+⋅− αα

� услови за деформација:

αδ

cos1

22

llyl

∆+∆=+∆=

AE

lFl

⋅=∆ 11

1 AE

lFl

⋅=∆ 22

2 αcos

21

ll =

α245

1

45

23

cos103102

3

103102

3106.0

⋅⋅⋅⋅

⋅+

⋅⋅⋅

⋅=⋅

−−

− FF

kNFF 9.331 ==⇒ ; kNF 75.62 =

MPaA

F13

103

109.34

31

31 =⋅

⋅===

σσ ;

MPaA

F5.22

103

1075.64

32

2 =⋅

⋅==

σ

Page 12: Domasna1 aksijalno napreganje - Piazza

доц. д-р Тодорка Самарџиоска

задача 10: Двострано вклештена греда е изведена со грешка ∆=1mm. Да се определат напрегањата и издолжувањата во пресеците, ако F=150kN,

Е=2 . 104 MPa, А1=400cm2, А2=200cm2, ∆t=40o, l1=1.5m, l2=1.0m, αt=1.25 .

10-5.

Решение:

( ) mmmmlltl tt 125.121 =>=+⋅∆⋅=∆ δα

носачот е статички неопределен, бидејќи и само издолжувањето од температура е поголемо од грешката во изведување, па се јавува реакција во точката В.

� услов за рамнотежа:

∑ = 0Y FBABFA −=⇒=+−− 0

� услов за деформација:

δ=∆+∆+∆ tlll 21

( ) ( ) δα =+⋅∆⋅+⋅

⋅+−+

⋅− 21

1

1

2

2 lltAE

lFB

AE

lBt

( )001.05.2401025.1

04.0102

5.115.0

02.0102

1 5

44=⋅⋅⋅+

⋅⋅

⋅+−+

⋅⋅

⋅− −BB

kNMNB 121121.0 ==

kNA 29150121 −=−=

MPaA

A725.0

04.0

1029 3

1

1 +=⋅

==−

σ ;

MPaA

B05.6

02.0

10121 3

2

2 −=⋅

−=−=−

σ

mmltAE

lBl tCB 1975.01401025.1

02.0102

1121.0 5

42

2

2 =⋅⋅⋅+⋅⋅

⋅−=⋅∆⋅+

⋅−=∆ −

− α

mmltAE

lBFl tAC 8025.05.1401025.1

04.0102

5.1029.0)( 5

41

1

1 =⋅⋅⋅+⋅⋅

⋅=⋅∆⋅+

⋅−=∆ −

− α

mmll ACCB 18025.01975.0 =+=∆+∆ −−

Page 13: Domasna1 aksijalno napreganje - Piazza

доц. д-р Тодорка Самарџиоска

задача 11: Апсолутно крутата греда АВС е врзана со два стапа од челик и потпрена на едно неподвижно лежиште А. Едниот стап е изведен со

грешка ∆=2mm. Да се определат силите во стаповите по изведената монтажа. Е=2.105 MPa, А1=А2=10cm2, а=2m.

Решение:

� дијаграм на слободно тело:

� услов за рамнотежа:

∑ = 0AM ;

0212 =⋅−⋅ aSaS

12 2SS =⇒

� од услов за деформации:

( )[ ] alal :707.02:)707.0( 21 ⋅∆−=⋅∆ δ

( )21 707.02707.0 ll ∆−⋅=∆⋅ δ

AE

S

AE

lSl

⋅=

⋅=∆ 111

1

4

AE

S

AE

lSl

⋅=

⋅=∆ 222

2

2

( )

⋅−⋅=

⋅⋅

AE

S

AE

S 11 22707.02

4707.0 δ

kNMNS 5.660665.01 ==

kNMNSS 133133.02 12 ===

Page 14: Domasna1 aksijalno napreganje - Piazza

доц. д-р Тодорка Самарџиоска

задача 12: Силата F=2.0kN ги оптоварува трите челични стапа со должина l=6.0m и

кружен напречен пресек со дијаметар d=3.0mm. При изработката двата стапа

се направени со грешка: вториот е подолг за λ2=4.0mm, а третиот е покус за

λ3=6.0mm. Да се пресметаат напрегањата во стаповите, земајќи го во предвид

влијанието на надворешната сила и конструктивните грешки. MPaE5

102 ⋅= .

Решение:

Потребно е да се определат силите во стаповите така да трите стапа ќе се спојат во една точка, земајќи го во предвид и влијанието на силата F. а) од услов за рамнотежа

0∑ =Y MNFNNN3

321102

−⋅==++ (1)

б) од условите за деформации ако се претпостави дека сите стапови се изложени на затегнување, тогаш

221λ+∆=∆ ll (2)

331λ−∆=∆ ll (3)

AE

lNl

⋅=∆

004.021 +⋅

⋅=

AE

lN

AE

lN

006.031 −⋅

⋅=

AE

lN

AE

lN

l

AENN

⋅+= 004.0

21

26

22

1006858.74

003.0

4m

dA

−⋅===ππ

l

AENN

⋅−= 006.0

31 mMN

l

AE/2356193.0=

4

121042477.9

−⋅−= NN 3

131041371.1

−⋅+= NN

kNMNN 509587.010509587.03

1=⋅= − MPa

A

N092.72

1

1==σ

kNN 43289.02

−= MPaA

N24.61

2

2−==σ

kNN 923294.13

= MPaA

N09.272

3

3==σ