Upload
others
View
1
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
доц. д-р Тодорка Самарџиоска
Факултет: Градежен
Предмет: ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕ
АКСИЈАЛНО НАПРЕГАЊЕ
задача 1: Бетонски столб со димензии дадени на скицата оптоварен е со аксијална сила на притисок F=500kN. Да се определат нормалните напрегања во пресекот помеѓу столбот и темелот, како и на допирот меѓу темелот и почвата, ако волуменската тежина на бетонот е
Bγ =24kN/m3.
� пресек 1-1: дијаграми на напрегања:
( )111 GFN +−=−
kNG 182435.05.01 =⋅⋅⋅=
( ) kNN 5181850011 −=+−=−
MPaA
N07.2
5.05.0
10518 3
1
1111 −=
⋅
⋅−=−=
−−
−σ
� пресек 2-2:
( )2122 GGFN ++−=−
kNG 182475.00.10.12 =⋅⋅⋅=
( ) kNN 536181850022 =++−=−
MPaA
N536.0
0.10.1
10536 3
2
2222 −=
⋅
⋅−=−=
−−
−σ
доц. д-р Тодорка Самарџиоска
задача 2: На сликата е прикажан пресек на среден носив ѕид на станбена трикатна зграда. Од покривната конструкција дејствува рамномерно поделен товар q1=40kN/m’, од меѓукатните конструкции q2=35kN/m’ и од подот на приземје q3=25kN/m’. Сопствената тежина на ѕидот во варов малтер е пресметана со специфична тежина од 16 kN/m3, a на бетонскиот темел со 24 kN/m3. Димензиите на ѕидот по катови се однапред усвоени: 25cm и 38cm. Дозволените напрегања на притисок изнесуваат:
- за ѕид во варов малтер σdoz=0.8 MPa
- за темелната стапка во бетон σdoz=1.8 MPa
- за земјиштето σdoz=0.2 MPa Да се проверат вистинските нормални напрегања во сите
карактеристични пресеци.
а) геометрија на ѕидот б) σσσσ дијаграми
доц. д-р Тодорка Самарџиоска
Решение:
Проверката на нормалните напрегања се врши на еден метар должен од ѕидот.
� Сопствените тежини на поодделните столбови и темелот се:
kNG 80.10167.225.01 =⋅⋅=
kNG 80.10167.225.02 =⋅⋅=
kNG 41.16167.238.03 =⋅⋅=
kNG 24.18160.338.04 =⋅⋅=
kNG 84.2424)45.090.045.040.1(5 =⋅⋅+⋅=
� Контрола на напрегања:
dozMPaA
qσσ <=
⋅
⋅==
−
16.0125.0
1040 3
1
11
dozMPaA
qGqσσ <=
⋅
⋅++=
++=
−
343.0125.0
10)358.1040( 3
1
2112
dozMPaA
qGqGqσσ <=
⋅
⋅++++=
++++=
−
346.0138.0
10)358.10358.1040( 3
2
222113
dozMPa
A
qGqGqGq
σσ
σ
<=
⋅
⋅+⋅+⋅+=
++++++=
−
482.0
138.0
10)41.1633528.1040(
4
3
2
23222114
dozMPa
A
qGqGqGqGq
σσ
σ
<=
⋅
⋅+++⋅+⋅+=
=++++++++
=
−
595.0
138.0
10)2524.1841.1633528.1040(
5
3
2
3423222115
dozMPa
A
GqGqGqGqGq
σσ
σ
<=
⋅
⋅++++⋅+⋅+=
=+++++++++
=
−
179.0
14.1
10)84.242524.1841.1633528.1040(
6
3
3
53423222116
Според горепресметаните вистински нормални напрегања на притисок во карактеристични пресеци, заклучокот е дека усвоените димензии на ѕидот и темелот задоволуваат. На сл. б) се конструирани дијаграмите на вистинските нормални напрегања на притисок во карактеристичните пресеци.
доц. д-р Тодорка Самарџиоска
задача 3: Алуминиумска прачка со дијаметар 5cm и должина 30cm е подложена на сила на затегнување. Во извесен момент приложената сила е 32 kN, додека измереното издолжување е 0.03cm, а дијаметарот е намален за
0.0015cm. Да се пресметаат двете физички константи Е и µ на материјалот.
Решение:
� попречна дилатација:
cmcmD
Dxx /0003.0
5
0015.0−=
−=
∆=ε
� подолжна дилатација:
cmcmL
Lz /001.0
30
03.0==
∆=ε
� Поасонов коефициент:
3.0001.0
0003.0==−=
z
x
ε
εµ
� напрегање:
MPacmkNdA
F3.16/63.1
625.19
32
4
5
32
4
32 2
22===
⋅=
⋅==
ππσ
� модул на еластичност:
MPacmkNEz
16300/1630001.0
63.1 2 ====ε
σ
доц. д-р Тодорка Самарџиоска
задача 4: Една крута плоча е потпрена со помош на три стапа и на неа дејствува една хоризонтална сила F=480kN. Трите стапа имаат ист напречен пресек А и ист модул на еластичност Е. Да се определат нормалните напрегања во стаповите, како и крајното поместување на точката В ако тежината на плочата е G=160kN.
d=10cm a = 4m b = 2m E = 2 . 105 MPa
Решение:
� од услови за рамнотежа:
дијаграм на слободно тело:
∑ = 0Z 01 =− SF
∑ = 0Y 032 =−−− SSG
∑ = 0BM 02
3 =⋅+⋅+⋅ bSb
GaF
0211604480 3 =⋅+⋅+⋅ S
kNS 10403 −=
kNS 88010401602 =+−=
kNS 4801 =
� површина: 2
2
6.784
cmd
A =⋅
=π
� напрегања и издолжувања:
MPaA
S
A
N61
106.78
104804
311
1 =⋅
⋅===
−
−
σ
mmmAE
lNl 61.000061.0
00786.0102
248.05
111 ==
⋅⋅
⋅=
⋅
⋅=∆
−
MPaA
S
A
N5.112
106.78
108804
322
2 =⋅
⋅===
−
−
σ
mmmAE
lNl 05.100105.0
00786.0102
288.05
222 ==
⋅⋅
⋅=
⋅
⋅=∆
−
MPaA
S
A
N133
106.78
1010404
333
3 −=⋅
⋅−=−==
−
−
σ
mmmAE
lNl 23.100123.0
00786.0102
2040.15
333 ==
⋅⋅
⋅=
⋅
⋅=∆
−
� поместување на точката В:
доц. д-р Тодорка Самарџиоска
mmllBB 21.12
2
2
11 =∆+∆=∆=
задача 5: Една крута греда е потпрена во неподвижно лежиште А и со помош на два стапа и на неа дејствува една вертикална сила F. Колкава е максималната сила F која може да ја прими гредата, ако напрегањата
во стаповите не ги надминат дозволените напрегања MPadoz 150=σ .
Стаповите се со познат напречен пресек (А1=8cm2 и А2=12cm2) и имаат ист модул на еластичност Е=2 . 105 MPa.
α=30o
Решение:
� од услови за рамнотежа:
дијаграм на слободно тело:
∑ = 0Z ; 0sin1 =⋅+− αSAz
∑ = 0Y ; 0cos 21 =−+⋅+ FSSAy α
∑ = 0AM ;
05.7530cos10 12 =⋅+⋅°⋅−⋅− FSS
866.025.1 12 ⋅+⋅=⋅ SSF
� од услов за деформации:
детал:
11 1547.130cos
ll
∆⋅=°
∆=δ
5102 δ
=∆l
112 3094.21547.122 lll ∆⋅=∆⋅⋅==∆⇒ δ
4
1
1
111
108
464.3−⋅⋅
⋅=
⋅
⋅=∆
E
S
AE
lSl ;
4
2
2
222
1012
3−⋅⋅
⋅=
⋅
⋅=∆
E
S
AE
lSl
4
1
4
2
108
464.33094.2
1012
3−− ⋅⋅
⋅⋅=
⋅⋅
⋅
E
S
E
S
доц. д-р Тодорка Самарџиоска
12 992.3 SS ⋅=
FF
S 16949.085.8
5.11 ==
FS 6766.02 =
� определување на меродавна сила:
⇒=⋅
⇒≤=−
150108
16949.0150
41
11
FMPa
A
Sσ kNMNF 700708.0 ==
⇒=⋅
⇒≤=−
1501012
6766.0150
42
22
FMPa
A
Sσ kNMNF 266266.0 ==
усвоено: kNF 260=
доц. д-р Тодорка Самарџиоска
задача 6: Да се определи големината на напрегањето во секој дел на конзолниот стап со константен попречен пресек А=5cm2. Да се пресмета вкупната деформација на стапот ако модулот на еластичност е Е=2 . 105 MPa (челик).
F1=40 kN F2=60 kN F3=20 kN
Решение:
� дијаграм на слободно тело:
аксијални сили:
kNFN 40110 ==−
kNFFN 10060402121 =+=+=−
kNFFFN A 802060403212 =−+=−+=−
напрегања:
MPaA
N80
105
10404
3
1
1010 =
⋅
⋅==
−
−−
−σ
MPaA
N200
105
101004
3
1
2121 =
⋅
⋅==
−
−−
−σ
MPaA
N AA 160
105
10804
3
1
11 =
⋅
⋅==
−
−−
−σ
издолжувања:
mmmAE
lNl 4.0104
0005.0102
1040.0 4
51
1101 =⋅=
⋅⋅
⋅=
⋅
⋅=∆ −
−
−
mmmAE
lNl 0.1101
0005.0102
1100.0 3
51
2212 =⋅=
⋅⋅
⋅=
⋅
⋅=∆ −
−
−
mmmAE
lNl A 6.1106.1
0005.0102
2080.0 3
51
323 =⋅=
⋅⋅
⋅=
⋅
⋅=∆ −
−
−
mmlll 0.36.10.14.0321 =++=∆+∆+∆=∆
доц. д-р Тодорка Самарџиоска
задача 7: Хоризонтална греда АВ е обесена за два челични стапа со иста должина h=4m. Во средината на гредата, во точка Е, дејствува вертикална сила F=200 kN. Дадени се дијаметрите на двата стапа d1=2cm и d2=2.5cm и модулот на еластичност Е=2 . 105 MPa. Да се пресмета вертикалното поместување во точка Е.
Решение:
� дијаграм на слободно тело:
∑ = 0Y ; kNFSS 1002/21 ===
2
2
11 14.3
4cm
dA =
⋅=
π
2
2
22 9.4
4cm
dA =
⋅=
π
� напрегања:
MPaA
N5.318
1014.3
101004
3
1
11 =
⋅
⋅==
−
−
σ
MPaA
N1.204
109.4
101004
3
2
22 =
⋅
⋅==
−
−
σ
� издолжувања:
mAE
lSl 0064.0
1014.3102
41.045
1
111 =
⋅⋅⋅
⋅=
⋅
⋅=∆
−−
mAE
lSl 004.0
109.4102
41.045
2
222 =
⋅⋅⋅
⋅=
⋅
⋅=∆
−−
( ) ( ) mmll 2.52/44.62/21 =+=∆+∆=∆
доц. д-р Тодорка Самарџиоска
задача 8: Столб од бетон и челик е притиснат со сила F=250 kN преку кружна перница. Да се определи напрегањето во бетонот и челикот ако се дадени напрелните пресеци (тежината да се занемари)
a=20cm b=2cm F=250kN Еb=2 . 104 MPa Еc=2 . 105 MPa
Решение:
� услов за рамнотежа:
∑ = 0Y ; ccbcb FFFFkNFFF −=−=⇒==+ 250250
� услов за деформација:
bc ll ∆=∆ - услов за заедничка работа на двата материјали во
спрегната конструкција
bb
b
cc
c
AE
hF
AE
hF
⋅
⋅=
⋅
⋅
( )
bb
c
cc
c
AE
FF
AE
F
⋅
−=
⋅
22 4cmbAc ==
222 396cmbaAb =−=
4445 10396102
25.0
104102 −− ⋅⋅⋅
−=
⋅⋅⋅
cc FF
kNFc 023.0=
kNFb 227.0=
MPaA
F
c
cc 5.57
104
10234
3
−=⋅
⋅−==
−
−
σ
MPaA
F
b
bb 73.5
10396
102274
3
−=⋅
⋅−==
−
−
σ
доц. д-р Тодорка Самарџиоска
задача 9: За дадениот систем средниот стап е изработен покус за δ=6mm. Да се определат напрегањата во стаповите по присилната монтажа на системот, ако сите три стапа се од ист материјал и со ист напречен
пресек, Е=2 . 105 MPa, А=3cm2, α=30о .
Решение:
� услови за рамнотежа:
∑ = 0X
3131 0sinsin FFFF =⇒=⋅−⋅ αα
∑ = 0Y
11221 73.1cos20cos2 FFFFF =⋅=⇒=+⋅− αα
� услови за деформација:
αδ
cos1
22
llyl
∆+∆=+∆=
AE
lFl
⋅
⋅=∆ 11
1 AE
lFl
⋅
⋅=∆ 22
2 αcos
21
ll =
α245
1
45
23
cos103102
3
103102
3106.0
⋅⋅⋅⋅
⋅+
⋅⋅⋅
⋅=⋅
−−
− FF
kNFF 9.331 ==⇒ ; kNF 75.62 =
MPaA
F13
103
109.34
31
31 =⋅
⋅===
−
−
σσ ;
MPaA
F5.22
103
1075.64
32
2 =⋅
⋅==
−
−
σ
доц. д-р Тодорка Самарџиоска
задача 10: Двострано вклештена греда е изведена со грешка ∆=1mm. Да се определат напрегањата и издолжувањата во пресеците, ако F=150kN,
Е=2 . 104 MPa, А1=400cm2, А2=200cm2, ∆t=40o, l1=1.5m, l2=1.0m, αt=1.25 .
10-5.
Решение:
( ) mmmmlltl tt 125.121 =>=+⋅∆⋅=∆ δα
носачот е статички неопределен, бидејќи и само издолжувањето од температура е поголемо од грешката во изведување, па се јавува реакција во точката В.
� услов за рамнотежа:
∑ = 0Y FBABFA −=⇒=+−− 0
� услов за деформација:
δ=∆+∆+∆ tlll 21
( ) ( ) δα =+⋅∆⋅+⋅
⋅+−+
⋅
⋅− 21
1
1
2
2 lltAE
lFB
AE
lBt
( )001.05.2401025.1
04.0102
5.115.0
02.0102
1 5
44=⋅⋅⋅+
⋅⋅
⋅+−+
⋅⋅
⋅− −BB
kNMNB 121121.0 ==
kNA 29150121 −=−=
MPaA
A725.0
04.0
1029 3
1
1 +=⋅
==−
σ ;
MPaA
B05.6
02.0
10121 3
2
2 −=⋅
−=−=−
σ
mmltAE
lBl tCB 1975.01401025.1
02.0102
1121.0 5
42
2
2 =⋅⋅⋅+⋅⋅
⋅−=⋅∆⋅+
⋅
⋅−=∆ −
− α
mmltAE
lBFl tAC 8025.05.1401025.1
04.0102
5.1029.0)( 5
41
1
1 =⋅⋅⋅+⋅⋅
⋅=⋅∆⋅+
⋅
⋅−=∆ −
− α
mmll ACCB 18025.01975.0 =+=∆+∆ −−
доц. д-р Тодорка Самарџиоска
задача 11: Апсолутно крутата греда АВС е врзана со два стапа од челик и потпрена на едно неподвижно лежиште А. Едниот стап е изведен со
грешка ∆=2mm. Да се определат силите во стаповите по изведената монтажа. Е=2.105 MPa, А1=А2=10cm2, а=2m.
Решение:
� дијаграм на слободно тело:
� услов за рамнотежа:
∑ = 0AM ;
0212 =⋅−⋅ aSaS
12 2SS =⇒
� од услов за деформации:
( )[ ] alal :707.02:)707.0( 21 ⋅∆−=⋅∆ δ
( )21 707.02707.0 ll ∆−⋅=∆⋅ δ
AE
S
AE
lSl
⋅
⋅=
⋅
⋅=∆ 111
1
4
AE
S
AE
lSl
⋅
⋅=
⋅
⋅=∆ 222
2
2
( )
⋅
⋅−⋅=
⋅
⋅⋅
AE
S
AE
S 11 22707.02
4707.0 δ
kNMNS 5.660665.01 ==
kNMNSS 133133.02 12 ===
доц. д-р Тодорка Самарџиоска
задача 12: Силата F=2.0kN ги оптоварува трите челични стапа со должина l=6.0m и
кружен напречен пресек со дијаметар d=3.0mm. При изработката двата стапа
се направени со грешка: вториот е подолг за λ2=4.0mm, а третиот е покус за
λ3=6.0mm. Да се пресметаат напрегањата во стаповите, земајќи го во предвид
влијанието на надворешната сила и конструктивните грешки. MPaE5
102 ⋅= .
Решение:
Потребно е да се определат силите во стаповите така да трите стапа ќе се спојат во една точка, земајќи го во предвид и влијанието на силата F. а) од услов за рамнотежа
0∑ =Y MNFNNN3
321102
−⋅==++ (1)
б) од условите за деформации ако се претпостави дека сите стапови се изложени на затегнување, тогаш
221λ+∆=∆ ll (2)
331λ−∆=∆ ll (3)
AE
lNl
⋅
⋅=∆
004.021 +⋅
⋅=
⋅
⋅
AE
lN
AE
lN
006.031 −⋅
⋅=
⋅
⋅
AE
lN
AE
lN
l
AENN
⋅+= 004.0
21
26
22
1006858.74
003.0
4m
dA
−⋅===ππ
l
AENN
⋅−= 006.0
31 mMN
l
AE/2356193.0=
⋅
4
121042477.9
−⋅−= NN 3
131041371.1
−⋅+= NN
kNMNN 509587.010509587.03
1=⋅= − MPa
A
N092.72
1
1==σ
kNN 43289.02
−= MPaA
N24.61
2
2−==σ
kNN 923294.13
= MPaA
N09.272
3
3==σ