TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA... · Aksijalno naprezanje je slučaj naprezanja kada na oba kraja štapa dejstvuju sistemi spoljašnjih sila, od kojih se svaki svodi

UNIVERZITET U NIŠU

FAKULTET ZAŠTITE NA RADU U NIŠU

TEHNIČKA MEHANIKA - PREZENTACIJA PREDAVANJA -

Dr Darko Mihajlov, doc.

- 10. PREDAVANJE -

OTPORNOST MATERIJALA

1. ČAS

AKSIJALNO NAPREZANJE:

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

Osnovni pojmovi i pretpostavke u slučaju aksijalno napregnutog štapa;

Određivanje unutrašnjih sila aksijalno napregnutog štapa;

Napon u poprečnom preseku aksijalno napregnutog štapa;

Naponi u kosom preseku aksijalno napregnutog štapa;

Deformacija aksijalno napregnutog štapa;

Veze između napona i deformacije u slučaju aksijalno napregnutog štapa;

Hukov zakon u slučaju aksijalno napregnutog štapa;



2. ČAS

RAVNO NAPREZANJE:

Osnovni pojmovi i pretpostavke u slučaju ravnog naprezanja;

Stav o konjugovanosti tangencijalnih napona;

Naponi u kosom preseku pri ravnom naprezanju;

Glavne ravni i glavni naponi;

Glavni naponi u opštem slučaju ravnog naprezanja;

Pojam čistog smicanja;

Naponi kod čistog smicanja;

Deformacija usled čistog smicanja;

Dimenzionisanje usled smicanja;

Aksijalno naprezanje je slučaj naprezanja kada na oba kraja štapa dejstvuju

sistemi spoljašnjih sila, od kojih se svaki svodi na rezultantu koja dejstvuje

u pravcu ose štapa.



AKSIJALNO NAPREZANJE

Osnovni pojmovi i pretpostavke

U zavisnosi od smera ovih sila, štap je zategnut ili pritisnut:

Sile koje dejstvuju na krajevima štapa moraju da budu u ravnoteži: 0, FF

U slučaju aksijalnog naprezanja, u poprečnom preseku štapa je normalna

sila različita od nule, a ostale komponente unutrašnjih sila su jednake nuli:

0 ; 0.N T M




Određivanje unutrašnjih sila aksijalno napregnutog štapa (1/2)

Aksijalno napregnut štap se preseče na delove I i II nekom ravni α-α koja je

upravna na osu štapa:

Ukloni se deo II i njegov uticaj na odsečeni deo I se zameni silom N:

I




Određivanje unutrašnjih sila aksijalno napregnutog štapa (2/2)

Normalna sila se smatra pozitivnom ako izaziva zatezanje (dejstvuje od

preseka), a negativnom ako izaziva pritisak (dejstvuje ka preseku).

Unutrašnja normalna sila N se određuje

postavljanjem uslova ravnoteže zbira

spoljašnjih sila i unutrašnje sile u pravcu

x-ose:

0: - 0X F N N F

Unutrašnja sila N jednaka je sili spoljašnjeg opterećenja F.

I




Napon u poprečnom preseku (1/2)

Po Aksiomi (A6) o jednakosti dejstva i protivdejstva, unutrašnje sile u

preseku α-α dela I jednake su unutrašnjim silama u preseku α-α dela II.

Normalni napon u poprečnom preseku aksijalno napregnutog štapa se

određuje primenom Metode preseka.

dN dAI

Na beskonačno malu površinu dA

dejstvuje elementarna unutrašnja sila :




Napon u poprečnom preseku (2/2)

Ukupna unutrašnja sila N jednaka je integralu po površini poprečnog

preseka štapa elementarne unutrašne sile :

A A

N dA dA A

σ = const. prema Bernulijevoj hipotezi.

2

N = Pa

A m

N F N F

N A A




Naponi u kosom preseku aksijalno napregnutog štapa (1/2)

Za određivanje napona u kosom preseku štapa se koristi Metoda preseka.

2: 0 0 ;cos cos cosn x n x

n N dA dA

: 0 0 ;cos sin sin cosn x n x

t T dA dA

Uslovi ravnoteže za izdvojeni element abc štapa:




Naponi u kosom preseku aksijalno napregnutog štapa (2/2)

2cos0coscos 0 xnxn dAdAN

cossin0sincos0 xnxn dAdAT

Naponsko stanje u bilo kojoj

tački štapa za različite pravce

koji su određeni uglom α.

2 1 cos 2cos 1 cos 2

2 2

xn

sin2 2sin cos sin 22

xn

0 ;

0

n x

n

F

A

0;

2 0

n

n

2;

4

2

xn

xn




Deformacija aksijalno napregnutog štapa (1/4)

Apsolutna promena dužine

Apsolutna

promena dimenzije

poprečnog preseka

Apsolutna promena dužine štapa jednaka je razlici dužine štapa posle

deformacije i prvobitne dužine štapa. Može da bude pozitivna ili negativna

u zavisnosti od smera dejstva spoljašnjih sila:

lll 1





Relativna promena dužine štapa jednaka je količniku apsolutne promene

dužine i prvobitne dužine štapa i zove se dilatacija:


Apsolutna

promena dimenzije

poprečnog preseka

l

ll

l

l 1

Dilatacija je neimenovan broj i predstavlja podužnu (uzdužnu) dilataciju.





Poprečna dilatacija predstavlja relativnu promenu karakteristične dimenzije

poprečnog preseka štapa i jednaka je količniku apsolutne promene

karakteristične dimenzije poprečnog preseka štapa i prvobitne

karakteristične dimenzije:


Apsolutna

promena dimenzije

poprečnog preseka

a

aa

a

ap

1





Podužnu i poprečnu dilataciju povezuje Poasonov zakon :


Apsolutna

promena dimenzije

poprečnog preseka

p

Podužna i poprečna dilatacija su uvek različitog znaka, proporcionalne su,

a koeficijent proporcionalnosti μ zavisi od vrste materijala i određuje se

eksperimentalno.

Poasonov koeficijent, 0 < μ < 1/2




Veze između napona i deformacije (1/13)

Jednačine koje opisuju ponašanje svakog materijala pod dejstvom

spoljašnjeg opterećenja, tj. na izvestan način opisuju njegov sastav

(konstituciju), nazivaju se konstitutivne jednačine.

Konstitutivne jednačine uspostavljaju vezu između veličina koje određuju

stanje napona i odgovarajućih veličina koje određuju stanje deformacija u

proizvoljnoj tački tela.





Projektovanje konstrukcija tako da budu trajne i adekvatno funkcionišu,

zahteva poznavanje ponašanja materijala od koga su napravljene.

Jedini način da se odredi kako se materijal ponaša pod dejstvom

opterećenja je izvođenje eksperimenta u laboratoriji.

Uobičajen postupak je da se mali element od nekog materijala postavi u

odgovarajuću mašinu, nanese opterećenje i zatim mere deformacije, kao

što su na primer promena dužine i promena prečnika.

Najznačajnije je ispitivanje na zatezanje ili pritisak. Mada se iz ovakvog

ispitivanja mogu odrediti mnoge važne mehaničke karakteristike materijala,

ono se prvenstveno koristi za određivanje veze između normalnog napona i

dilatacije kod mnogih materijala kao što su metali, keramika, polimeri i

kompoziti.





Test istezanja štapa

Eksperiment koji daje osnovne podatke o ponašanju materijala je

test istezanja štapa, tj. epruvete specijalnog oblika koja se isteže u

mašini za istezanje (kidalici).






Mašina za test

zatezanja sa

automatskim

beleženjem

izmerenih podataka

Eksperiment

zatezanja

čelične epruvete

Tipična čelična

epruveta sa

ekstenzometrom

koji meri

izduženje

Test na pritisak

epruvete od kamena

za dobijanje

čvrstoće na pritisak,

modula elastičnosti

i Poasonovog koef.





Dijagram sila – izduženje (deformacija)

za meki čelik

Dijagram sila – izduženje (deformacija)

za razne materijale


k





Dijagram napon – dilatacija

za meki čelik






Radni dijagram materijala

P – granica proporcionalnosti;

E – granica elastičnosti;

T1 (TG) – gornja granica tečenja;

T2 (TD) – donja granica tečenja;

M – jačina materijala (maksimalna čvrstoća);

S – tačka loma;





Granica proporcionalnosti – P : Materijal se do

tačke P rasteže srazmerno opterećenju. Za

određeni porast sile F, proporcionalno će porasti

i produženje Δl.

Sve deformacije materijala u ovom području su

elastične.

Epruveta se po prestanku opterećenja vraća na početnu dužinu l, a

apsolutna produženja Δl su vrlo mala.





Granica elastičnosti – E : Epruveta se

prekoračenjem ove tačke više ne vraća na početnu

dužinu l, već ostaje za određenu vrednost duža, pa

će epruveta trajno promeniti oblik i dimenzije.

Tačku E je vrlo teško odrediti, zbog čega je

dovoljno poznavati tehničku granicu elastičnosti -

naprezanje pri kojem nastaju trajne deformacije 0,01% do 0,05% u odnosu

na prvobitnu dužinu epruvete l. Granica elastičnosti je najvažnija osobina

konstrukcijskih materijala, jer je to krajnja granica do koje se smeju

opteretiti delovi konstrukcije. Razmak tačaka P i E je manji što je materijal

bolji, a jako je izražen samo kod mekog čelika.





Gornja T1 i donja granica plastičnog tečenja T2 :

Iznad granice elastičnosti produženja i dalje rastu,

ali više nisu srazmerna sili.

Kod čelika i nekih legura dolazi do naglog pada

napona posle tačke T1 (TG), a zatim do povećanja

deformacija bez povećanja napona (deo T2T3) kada

telo prestaje da pruža bilo kakav otpor, kao da materijal teče. Kod mekog

čelika u zoni tečenja produženja rastu i uz pad sile. To je zona velikih i

trajnih deformacija. Na materijalu se golim okom mogu uočiti kose crte -

sitne pukotine, tzv. Ludersove crte.

Granica tečenja se u slučaju zatezanja naziva još i granica razvlačenja ili

granica velikih izduženja, a u slučaju pritiska granica gnječenja.





Kraj zone tečenja ili popuštanja je u tački T3 , koja

je za meki čelik jasno izražena porastom sile. Za

one materijale gde ta granica nije jasna određena,

donja granica tečenja je određena onim

naprezanjem pri kojem nastaje trajno produženje

od 0,2% prvobitne dužine štapa. Ovo naprezanje

nosi oznaku σ0,2 i naziva se granica razvlačenja.





Jačina materijala (maksimalna čvrstoća) – M :

Od tačke T3 pa sve do tačke M dilatacija

(produženje) nastavlja da raste sa porastom

napona (sile). Sila F dostiže u tački M svoju

najveću vrednost FM . Maksimalna sila FM

podeljena s prvobitnom površinom preseka

epruvete A daje zateznu (maksimalnu) čvrstoću

ili jačinu materijala koja se označava sa σM . Iako epruveta još nije fizički

slomljena, suženje (kontrakcija) njenog tela je izraženo, pa sile (a time i

naponi) za njene dalje deformacije opadaju.





Tačka loma – S : Posle tačke M

dolazi do daljeg izduženja epruvete

uz pad sile. Ta izduženja imaju

lokalni karakter i događaju se samo

u zoni suženja, gde je površina

preseka najmanja, sve dok se

materijal konačno ne razdvoji. Krti materijali nemaju zonu MS

ili područje klonulosti. Kod njih nema pojave suženja

epruvete, a lom materijala se događa pri vrlo malim

deformacijama.

Napon koji odgovara tački S se naziva napon pri lomu σS.

F

F

Zona

suženja




Hukov zakon u slučaju aksijalno

napregnutog štapa (1/4)

Robert Huk (Robert Hooke, 1635 - 1703.) je

formulisao zakon o proporcionalnosti

između sile i deformacije.

Na osnovu ispitivanja probnih epruveta na

mašinama na zatezanje - kidalicama,

utvrđena je proporcionalnost između

spoljašnje sile i apsolutne promene dužine

(deformacije) epruvete u oblasti do granice

proporcionalnosti.




Hukov zakon u slučaju aksijalno napregnutog štapa (2/4)

Prema savremenoj formulaciji Hukovog zakona, proporcionalnost se

uspostavlja između napona i dilatacije:

gde E predstavlja koeficijent proporcionalnosti i naziva se modul

elastičnosti ili Jungov modul. Ima dimenziju napona (jedinica: N/m2).

E

U dijagramu napona i dilatacije, modul

elastičnosti materijala predstavlja tangens

ugla između početnog dela linije dijagrama i

ose .

Modul elestičnosti je karakteristika

pojedinih vrsta materijala u određenim

uslovima.





Ako se u jednačini uzme da je , tada je

pa se modul elastičnosti E može interpretirati kao napon koji udvostručuje

početnu dužinu epruvete.

E

Na primer, za čelik je E = 210 [GPa], dok je

napon na granici tečenja σT = 240 [MPa].

1

1 1; 1 2 ,

lE l l l l l l

l





Relacija predstavlja prvi oblik Hukovog zakona koji glasi:

Napon je linearna funkcija dilatacije.

E

- krutost štapa pri aksijalnom naprezanju

(aksijalna krutost štapa)

,F l F l

EA l A

F Fl l

ll

EA U

Drugi oblik

Hukovog zakona

EAU

Izduženje štapa je proporcionalno sa normalnom silom N (N = F) i dužinom

grede l, a obrnuto proporcionalno sa veličinom EA - aksijalnom krutošću

štapa.

Ovo važi samo ako su površina poprečnog preseka A i normalna sila N

konstantni po celoj dužini štapa.




Proračun elemenata opterećenih na aksijalno naprezanje (1/2)

U inženjerskoj praksi je potrebno rešiti zadatke provere napona, nosivosti,

ili odrediti površinu poprečnog preseka elementa opterećenog na aksijalno

naprezanje.

Provera napona se vrši poređenjem stvarnog napona sa dozvoljenim

naponom na aksijalno naprezanje (zatezanje ili pritisak).

Vrednost stvarnog napona ne sme da prekorači vrednost dozvoljenog

napona. Stvarni napon se sračunava kao količnik sile i površine poprečnog

preseka.

Dozvoljeni napon zavisi od vrste materijala i njegova vrednost se uzima iz

tablica koje su sačinjene na osnovu eksperimentalnih rezultata.




Proračun elemenata opterećenih na aksijalno naprezanje (2/2)

Nosivost podrazumeva maksimalnu aksijalnu silu opterećenja koja ne bi

izazvala plastičnu deformaciju elementa. Ova sila se određuje kao proizvod

dozvoljenog napona na aksijalno naprezanje (zatezanje ili pritisak) i

površine poprečnog preseka.

Površina poprečnog preseka (dimenzija poprečnog preseka) se određuje

postupkom dimenzionisanja, što podrazumeva računanje površine kao

količnika aksijalne sile i dozvoljenog napona na aksijalno naprezanje

(zatezanje ili pritisak).



RAVNO NAPREZANJE

Tanka ploča, proizvoljne konture, konstantne

debljine , napregnuta je samo silama koje

dejstvuju duž konture. Rezultante opterećenja se

nalaze u srednjoj ravni koja polovi debljinu ploče.

Na osnovama ploče, z = /2, nema opterećenja i

je malo. Može se pretpostaviti da su u ravnima

koje su paralelne osnovama ploče naponi jednaki

nuli, da postoje samo komponentni naponi u

ravnima upravnim na srednju ravan ploče i da oni

ne zavise od koordinate z, već samo od

koordinata x i y. Takav slučaj naprezanja se

naziva ravno (ravansko) naprezanje.

Osnovni pojmovi i pretpostavke (1/3)



RAVNO NAPREZANJE

Ravno (ravansko) naprezanje nastaje kada je

tanka ploča, proizvoljne konture, konstantne

debljine , napregnuta samo silama koje

dejstvuju duž konture i čije se rezultante nalaze u

srednjoj ravni ploče.

Mnoge konstrukcije imaju sastavne elemente u

obliku tankih ploča koje su opterećene u pravcu

svoje srednje ravni. Kao primer se mogu navesti

delovi transportnih sredstava ili rezervoari za

skladištenje gasova i tečnosti. Kod njih nastaje

ravno naprezanje koje se definiše naponskim

stanjem u ma kojoj tački srednje ravni ploče.




RAVNO NAPREZANJE

U svakoj tački srednje ravni ploče je moguće

postaviti bezbroj ravni preseka.

U zavisnosti od ravni preseka, u posmatranoj

tački (K) se pod uticajem opterećenja javlja

ukupni napon koji se može razložiti na

komponentne napone, i to: (normalni) i


(tangencijalni). Veličine komponentnih napona zavise od preseka kroz

datu tačku elementa. Kada su poznate veličine komponentnih napona u svim

mogućim ravnima, onda je poznato naponsko stanje u toj tački (K).

U slučaju ravnog naprezanja, kroz datu tačku (K) je moguće konstruisati

samo jednu ravan u kojoj je ukupni napon jednak nuli (veličine

komponentnih napona su jednake nuli u ravni paralelnoj ravni 0xy).



RAVNO NAPREZANJE

Posmatra se jedan kontrukcijski element u obliku

ravne ploče male debljine, opterećen proizvoljnim

silama po konturi. Neka su rezultante tih sila u

srednjoj ravni ploče.

Stav o konjugovanosti tangencijalnih napona (1/4)

Metodom preseka se iz napregnute ploče u

proizvoljnoj tački, pomoću dva para paralelnih

ravni sa koordinatnim osama, izdvoji elementarna

prizma abcd debljine , stranica dx i dy. b



RAVNO NAPREZANJE

Uticaj odbačenog dela ploče na elementarnu prizmu se nadoknadi

unutrašnjim površinskim silama.


Kvadratna elementarna prizma, komponentni naponi i unutrašnje sile

b

b



RAVNO NAPREZANJE

Momentna jednačina ravnoteže, na primer za momentnu tačku A, kroz koju

prolaze napadne linije svih sila koje dejstvuju u pravcima normala na

posmatrane bočne površine elementarne prizme, ima jednostavan izraz i

zavisi samo od sila koje dejstvuju u samim ravnima preseka, a obrazuju dva

sprega sila: .


0dxdydydxM yxxyA



RAVNO NAPREZANJE

Iz momentne jednačine ravnoteže

se zaključuje sledeće:

Tangencijalni naponi, koji dejstvuju na dve

uzajamno upravne beskonačno male ravni,

jednaki su i imaju smer ka liniji preseka te dve

ravni ili od njih:


0A xy yx

M

0dxdydydxM yxxyA

Ovo svojstvo je u Otpornosti materijala poznato kao stav o konjugovanosti

tangencijalnih napona.



RAVNO NAPREZANJE

Za određivanje napona u kosom preseku se primenjuje Metoda preseka:

izdvoji se trostrana elementarna prizma i zameni uticaj uklonjenog dela ploče

na izdvojeni deo unutrašnjim silama.

Naponi u kosom preseku pri ravnom naprezanju (1/3)

Trostrana elementarna prizma, komponentni naponi i unutrašnje sile u poprečnom,

uzdužnom i kosom preseku



RAVNO NAPREZANJE

Jednačine ravnoteže (algebarski zbirovi projekcija svih sila na pravac

normale i na pravac tangente):

2 2

n

2 2

n

(1) cos sin cos sin cos sin 0

(2) cos sin sin cos cos sin 0

x y

x y

N dA dA dA dA dA

T dA dA dA dA dA

2 2

2 2

(1) cos sin 2 cos sin

(2) sin cos cos sin

n x y

n x y




RAVNO NAPREZANJE


2

2

2 2

1cos cos 2 1 ;

2

1sin 1 cos 2 ;

2

2sin cos sin2 ;

cos sin cos 2 ;

2 2

2 2

cos sin 2 cos sin

sin cos cos sin

n x y

n x y

n

cos 2 sin 2 ;2 2

sin 2 cos 2 ;2

x y x y

n

x y



RAVNO NAPREZANJE

Glavne ravni i glavni naponi

Ravni za koje su tangencijalni naponi jednaki nuli nazivaju se glavne ravni.

Normalni naponi koji dejstvuju na te ravni nazivaju se glavni naponi.

U svakoj tački napregnutog tela može da se

izdvoji elementarni paralelopiped čije su ravni

glavne ravni, a na koje dejstvuju glavni naponi

u tri uzajamno upravna pravca:

321

Glavne ravni i glavni naponi



RAVNO NAPREZANJE

Glavni naponi u opštem slučaju ravnog naprezanja (1/5)

Glavni naponi ( ) su ekstremne vrednosti normalnog napona u

posmatranoj tački, a ravni na koje oni dejstvuju su glavne ravni.

max min ,

Uslovi ekstremuma:

cos 2 sin 2 ;2 2

x y x y

n

0;n

i

d

d

2 sin 2 cos 2 0;2

n

x yn

i

i

d

d

2 0;nn i

i

d

d

U glavnim ravnima je tangencijalni napon jednak nuli.



RAVNO NAPREZANJE


Iz uslova ekstremuma ,

sledi:

2 sin 2 cos 2 02

n

x yn

i

i

d

d

i

2tg2

x y

Ova jednačina ima beskonačno mnogo rešenja. Ovde su bitna prva dva:

i ,

jer se ostala poklapaju sa prethodnim zbog periodičnosti funkcije .

1 2 12

2 12

n

U svakoj tački ploče, za slučaj ravnog naprezanja, postoje dve međusobno

upravne ravni za koje su tangencijalni naponi jednaki nuli, a normalni naponi

imaju ekstremne vrednosti - glavne napone: i . 1 max

2 min



RAVNO NAPREZANJE


Izrazi za glavne napone se sračunavaju primenom relacije

na relacije: i

i

2tg2

x y

uz pomoć trigonometrijskih transformacija:

n

cos 2 sin 22 2

sin 2 cos 22

x y x y

n

x y

2 2

tg2 1sin2 ; cos2 .

1 tg 2 1 tg 2

2 2

2 2

2sin 2 ; cos2

4 4

x y

i i

x y x y



RAVNO NAPREZANJE


1,2 cos 2 sin 2 ;2 2

x y x y

i i

1,2

2 22 2

2;

2 24 4

x yx y x y

x y x y

2

2

1,2

14 ;

2 2

x y

x y

2

2

1 max

14 ;

2 2

x y

x y

22

2 min

14 ;

2 2

x y

x y

1 2 ;x y 1 2 0.n Zbir glavnih napona jednak je zbiru normalnih

napona za bilo koja dva upravna pravca. Prva invarijanta



RAVNO NAPREZANJE


Određivanje ravni u kojima tangencijalni naponi imaju ekstremne vrednosti

vrši se na analogan način, tj. iz uslova ekstremuma izraza za tangencijalni

napon. Vrednosti najvećih tangencijalnih napona su:

2

2

, 1 2

1 14

2 2I II x y

Vrednosti normalnih napona u tim ravnima su:

, 1 2

1

2 2

x y

I II

Ravni najvećih tangencijalnih napona nalaze se pod uglom od 45o u odnosu

na ravni najvećih normalnih napona (glavne ravni).



RAVNO NAPREZANJE – ČISTO SMICANJE

Pojam čistog smicanja

Ravno naprezanje, pri kome na

ortogonalnim stranama elementarnog

paralelopipeda dejstvuju samo

tangencijalni naponi naziva se

čisto smicanje.

Pri ovom naponskom stanju se menjaju uglovi između stranica, dok se

dužine stranica ne menjaju.

Pri čistom smicanju se svaka stranica paralelograma pomeri u odnosi na njoj

paralelnu stranicu za malu veličinu AA’ koja se naziva apsolutno smicanje i

meri se dužinskim jedinicama. Odnos apsolutnog smicanja AA’ prema

rastojanju a između paralelnih stranica se naziva relativno smicanje, koje je

pri malim deformacijama jednako uglu klizanja , a meri se radijanima.

AA

tga




Naponi kod čistog smicanja (1/2)

Posmatra se tanka ploča pravougaonog

oblika, debljine , zategnuta u pravcu

ose x i pritisnuta u pravcu ose y

jednolikim opterećenjem p po jedinici

površine. Pretpostavlja se da su sile

upravne na konturu ploče.

Iz te ploče se iseče ploča kvadratnog

oblika abcd, čije su stranice paralelne

stranicama prvobitne ploče.

Na stranicama ploče abcd dejstvuju

samo normalni naponi:

; .x yp p




Naponi kod čistog smicanja (2/2)

Iz kvadratne ploče abcd se iseče druga

kvadratna ploča ABCD i trougaona ploča BbC.

Primenom Metode preseka, iz jednačina

ravnoteže za sile koje napadaju trougaonu ploču

BbC, određuju se vrednosti komponentnih

napona u ravnima pod uglom /4:

2 2 20

2 2 2 2 2

2 2

0

20

2 2 2 2 2

n

n

n

n

l l lN p p

T pl l l

p p

Kvadratna ploča ABCD je napregnuta na čisto

smicanje, njene bočne strane su opterećene

silama u samim stranama, tj. nema sila u

pravcima normala na bočne strane.

Ukupna deformacija se određuje primenom principa superpozicije,

sabiranjem pojedinačnih deformacija koje nastaju usled pojedinačnih

naponskih stanja: i .




Deformacija usled čistog smicanja (1/7)

Za određivanje deformacije usled čistog smicanja, najpre se posmatra

deformacija kvadratne ploče abcd.

Dato naponsko stanje se razloži u dva naponska stanja.

x p y p





Pricip superpozicije podrazu-

meva sabiranje deformacija u

pravcima x i y ose na sledeći

način:

' " :x x x ' " :y y y

' ;xx

p

E E

" ;

y

x

p

E E

' ;xy

p

E E

" ;

y

y

p

E E

E

pyx 1

1x y

pll l l

E





Deformacija prizme ABCD, koja je

napregnuta na čisto smicanje,

nastaje tako što se pravi uglovi

BAD i BCD smanjuju za malu

veličinu ugla , dok se pravi uglovi

ABC i ADC povećavaju za istu

veličinu ugla . Ova promena

prvobitno pravog ugla se naziva

klizanje ili smicanje i obeležava se

sa .





12 2tg ; (1 )4 2 1

2 2

l lOB l l

l l l lOA

sin 14 2 2tg 4 2 1cos 2

4 2

122 ; tg ; (2 )2 2 2

12

tg

tg

2 1(1 ) (2 ) ; (3

12 )

2

Nastavak





1 ; (4 ) p

E

2 1(4 ) (3 ) ; (5 )

p

E

; (6 )p

(6 ) (5 ) ; (7 )

2 1

E G

; (8 )

2 1

EG

(7 ) ; (9 )G

; )2 (3

- Hukov zakon za slučaj smicanja





Analiza izraza (1o) ÷ (9o):

Izraz (3o) pokazuje da je klizanje jednako dvostrukoj vrednosti dilatacije;

Izraz (4o) pokazuje vezu između normalnog napona i dilatacije;

Izraz (5o) pokazuje vezu između normalnog napona i klizanja;

Izraz (8o) pokazuje vezu između modula klizanja G, modula elastičnosti E i

Poasonovog koeficijenta μ. Ove veličine definišu elastična svojstva

izotropnih materijala i međusobno su zavisne. Dovoljno je da se

eksperimentom odrede dve, a treća se sračunava prema izrazu (8o).

Nastavak





Analiza izraza (1o) ÷ (9o):

Izraz (9o) predstavlja Hukov zakon za slučaj smicanja i izražava linearnu

zavisnost između klizanja i tangencijalnog napona.

Ovaj zakon važi do granice proporcionalnosti.

Koeficijent proporcionalnosti G se naziva modul klizanja. To je fizička

konstanta materijala koja određuje krutost pri smicanju (smicajnu

krutost), ima dimenziju napona kao i modul elastičnosti E, i meri se

uglavnom u [kN/cm2] .




Dimenzionisanje usled smicanja

Dimenzionisanje usled smicanja se vrši na osnovu pretpostavke da je napon

jednoliko raspoređen po poprečnom preseku, primenom izraza

gde je A tražena dimenzija poprečnog preseka, F sila opterećenja u samoj

ravni preseka i dozvoljeni napon pri smicanju, za koji se može približno

usvojiti da je .

Stvarna vrednost smičućeg napona ne sme biti veća od dozvoljene vrednosti.

dsA

F

ds

FA

0 8.de

ds

1. Objasniti opšte pojmove i pretpostavke u slučaju aksijalnog naprezanja.

2. Kako se sračunava normalni napon u poprečnom preseku aksijalno

napregnutog štapa?

3. Izvesti izraze za naponsko stanje u kosom preseku aksijalno

napregnutog štapa.

4. Objasniti deformaciju aksijalno napregnutog štapa.

5. Objasniti vezu između napona i deformacije aksijalno napregnutog štapa.

6. Napisati i objasniti dva oblika Hukovog zakona za slučaj aksijalnog

naprezanja.

Kontrolna pitanja 10



7. Objasniti opšte pojmove i pretpostavke u slučaju ravnog naprezanja.

8. Dokazati stav o konjugovanosti tangencijalnih napona.

9. Komponentni naponi u kosom preseku u opštem slučaju ravnog

naprezanja.

10. Glavni naponi u opštem slučaju ravnog naprezanja.

11. Objasniti pojam čistog smicanja.

12. Objasniti napone kod čistog smicanja.

13. Izvesti izraz za deformaciju kvadratne ploče usled čistog smicanja i

nacrtati ploču pre i posle deformacije.

14. Napisati izraz za Hukov zakon u slučaju čistog smicanja i uporediti ga sa

odgovarajućim izrazom Hukovog zakona u slučaju aksijalnog naprezanja.

Kontrolna pitanja 10



Documents

TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA... · Aksijalno naprezanje je slučaj naprezanja kada na oba kraja štapa dejstvuju sistemi spoljašnjih sila, od kojih se svaki svodi