UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID INGENIEROS DE … · univariable, estimadores de la regresión, y estimadores de la función de densidad multivariable. La justificación de la

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE

INGENIEROS DE MONTES

TESIS DOCTORAL

Modelos no paramétricos de ajuste de curvas

aplicados al ámbito forestal

Esperanza Ayuga Téllez

Ingeniero de Montes

Madrid, mayo de 1992

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE

INGENIEROS DE MONTES

Modelos no paramétricos de ajuste de curvas

aplicados al ámbito forestal

Trabajo que se presenta en la

Escuela Técnica Superior de

Ingenieros de Montes para la

obtención del grado de Doctor.

Autor: Esperanza Ayuga Téllez

Ingeniero de Montes

Director: D. J. Eugenio Martinez Falero

Madrid, mayo de 1992

ÍNDICE

AGRADECIMIENTOS

RESUMEN

SUMMARY

INTRODUCCIÓN

0.1 - OBJETIVOS.

0.2 - MÉTODO DE TRABAJO.

0.3 - ESTRUCTURACIÓN DEL TRABAJO.

CAPITULO 1: MÉTODOS DE ESTIMACIÓN NO PARAHETRICA

1.0 - INTRODUCCIÓN.

1.1 - PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES NO PARAMETRICOS.

1.1. Sesgo.

1.2. Consistencia.

1.3. Los estimadores como funciones de densidad.

1.2 - ESTIMACIÓN MEDIANTE EL HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS.

2.1. Propiedades estadísticas.

2.2. Elección del ancho de caja.

2.3. Estimadores relacionados.

1.3 - EL ESTIMADOR NÚCLEO.


3.2. Elección del núcleo.

3.3. Elección del parámetro de alisado.


1.4 - ESTIMACIONES BASADAS EN PROCESOS DE ALISADO LOCAL.

4.1. El histograma de particiones variables.

4.2. Estimadores basados en bloques estadísticamente equi

4.3. El método de los puntos más próximos.

4.4. Estimadores de núcleo variable.

4.5. Estimadores de núcleo adaptado.

1.5 - ESTIMADORES CON SERIES ORTOGONALES.

5.1. Desarrollo ortogonal arbitrario.


5.3. Elección del número de términos.

1.6 - ESTIMADORES DE DENSIDAD DE SECUENCIA DELTA.

1.7 - ESTIMADORES DE MÁXIMA VEROSIMILITUD RESTRINGIDA.

7.1. Métodos de orden restringido.

7.2. Método de cribas.

7.3. El método de máxima verosimilitud penalizada. 37

1.8 - ESTIMACIÓN DE DENSIDAD POR BÚSQUEDA DE PROYECCIÓN. 39

8.1. El paradigma EDBP. 40

8.2. índices de proyección. 41

CAPITULO 2:ESTIMACIÓN DE LA DENSIDAD BASADA EN FUNCIONES NÚCLEO

2.0 - INTRODUCCIÓN. 46

2.1 - TIPOS DE FUNCIONES NÚCLEO. 47

2.3 - MÉTODOS DE DETERMINACIÓN DEL ANCHO DE VENTANA. 54

3.1. Método de Scott, Tapia y Thompson, 1977. 54

3.2. Método de validación cruzada. 56

2.4 - ELECCIÓN DE LA FUNCIÓN NÚCLEO Y DEL ANCHO DE BANDA MAS APROPIADOS

EN FUNCIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS MUÉSTRALES PARA MUESTRAS PEQUEÑAS. 60

4.1. Funciones núcleo y anchos de banda empleados. 61

4.2. Selección del conjunto de problemas para comparación 62

4.3. Comparación de los núcleos y anchos de ventana 67

4.4 Resultados 96

2.5.- ELECCIÓN DE LA FUNCIÓN NÚCLEO Y DEL ANCHO DE BANDA MAS APROPIADOS

EN FUNCIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS MUÉSTRALES PARA MUESTRAS GRANDES. 98

5.1. Selección del conjunto de problemas para comparar. 100

5.2. Comparación de núcleos y anchos de banda 102

5.3. Resultados. 112

CAPITULO 3:APLICACI0NES A EJEMPLOS FORESTALES DE LOS RESULTADOS ANTERIORES


3.1 - TENSIÓN DE ROTURA A CORTANTE EN LINEAS DE ENCOLADO. 115

1.1. Estimación de la función de densidad. 117

1.2. Estimación de los cuantiles. 125

3.2 - PLUVIOMETRÍA Y CRECIMIENTO DE MASAS FORESTALES. 128

2.1. Estimación de cuantiles en la pluviometría. 130

2.2. Estimación de las funciones de densidad del crecimiento. 136

CAPITULO 4:REGRESI0N NO PARAMETRICA


4.1 - ESTIMACIÓN DE LA REGRESIÓN POR QUEBRADAS ALISADAS. 154

4.2 - ESTIMACIÓN DE LA REGRESIÓN POR FUNCIONES NÚCLEO. 156

2.1. Estimadores del tipo de Priestley y Chao. 158

2.2. Estimadores del tipo de Nadaraya y Wat son. 160

2.3. Estimación por los puntos más próximos. 162

4.3 - ESTIMACIÓN DE LA REGRESIÓN CON SERIES ORTOGONALES. 164

4.4 - REGRESIÓN POLINOMIAL MÓVIL. 165

4.5 - ESTIMACIÓN DE LA REGRESIÓN POR PARTICIÓN RECURSIVA. 167

4.6 - ESTIMACIÓN DE LA REGRESIÓN POR PROYECCIONES SUCESIVAS. 168

4.7 - UNIFICACIÓN DEL PROCEDIMIENTO DE ESTIMACIÓN DE

LA REGRESIÓN NO PARAMETRICA. 170

CAPITULO 5:ESTIMACION DE LA REGRESIÓN BASADA EN FUNCIONES NÚCLEO


5.1 - ESTIMADORES NÚCLEO DE LA LINEA DE REGRESIÓN. 174

1.1. Estimador del tipo de Nadaraya y Watson. 174

1.2. Estimadores del tipo de Priestley y Chao. 177

5.2 - FUNCIONES NÚCLEO. 180

5.3 -MÉTODOS DE DETERMINACIÓN DEL ANCHO DE VENTANA. 181

3.1. Ninimización del ECH(h). 182

3.2. Ninimización del ECHI(h). 184

5.4 -ESTIMACIÓN NÚCLEO DE LA REGRESIÓN. 187

CAPITULO 6:APLICACIONES A EJEMPLOS FORESTALES DE LA ESTIHACION NÚCLEO DE LA CURVA DE REGRESIÓN


6.1 - ESTUDIO DE LAS RELACIONES ENTRE LA CANTIDAD DE BIOMASA Y

CIERTAS VARIABLES DENDROMETRICAS. 215

1.1. Relaciones del PFRF con el diámetro y la altura del árbol. 217

1.2. Relaciones del PST con el diámetro y la altura del árbol. 219

1.3. Relaciones del PFT con el diámetro y la altura del árbol. 223

1.4. Conclusiones. 226

6.2 - ESTUDIO DE LAS RELACIONES ENTRE LA EDAD DE POLLOS DE PERDIZ

Y ALGUNAS VARIABLES QUE MIDEN EL CRECIMIENTO. 227

2.1. Relación entre el peso y la edad. 229

2.2. Relación entre la longitud total y la edad.

2.3. Relación entre la longitud de la cola y la edad. 231

2.4. Relación entre la longitud del ala y la edad. 231

2.5. Relación entre la longitud del tarso y la edad. 234

2.6. Relación entre la longitud desde el culmen y la edad. 234

2.7. Relación entre la longitud desde la narina y la edad. 237

2.8. Relación entre la anchura del pico y la edad. 239

2.9. Conclusiones. 242

CAPITULO 7:ESTIMACI0N POR EL MÉTODO NÚCLEO DE LA

FUNCIÓN DE DENSIDAD MULTIVARIABLE. APLICACIONES.


7.1 - ESTIMADOR NÚCLEO DE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD MULTIVARIABLE. 245

1.1. Funciones núcleo. 246

1.2. Parámetro de alisado. 247

7.2 - ESTIMACIÓN DE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD BIVARIANTE. 251

7.3 - ANÁLISIS DISCRIMINANTE NO PARAMETRICO. 266

7.4 - FUNCIÓN DE DENSIDAD ESPECTRAL. 268

7.5 - CONCLUSIONES. 275

CAPITULO 8:CONCLUSIONES

8.1 - REGLAS DE DECISIÓN. 279

1.1. Estimación de funciones de densidad. 279

1.2. Estimación de la regresión. 281

1.3. Estimación de funciones de densidad bivariantes. 281

8.2 - APLICACIONES AL ÁMBITO FORESTAL. 282

2.1. Resistencia a cortante de la madera laminada encolada. 282

2.2. Pluviometría y altura de eucaliptos en Huelva. 282

2.3. Producción de biomasa del rebollo. 283

2.4. Crecimiento de pollos de perdiz de granja. 284

REFERENCIAS 285

APÉNDICE

VALORES MUÉSTRALES

Valores de las 200 realizaciones muéstrales de tamaño n=25 303

Valores de las realizaciones muéstrales de tamaño n=100 308

Valores de la tensión de rotura a cortante 329

Valores de las precipitaciones anuales 331

Valores de alturas medias de eucaliptos 333

Valores de peso de la biomasa de rebollo 337

Valores del crecimiento de la perdiz 340

Valores de las realizaciones muéstrales bivariantes 347

PROGRAMAS

Programa para estimar funciones de densidad y distribución unidimensionales 357

Programa para estimar la curva de regresión con un modelo fijo 365

Programa para estimar la curva de regresión con un modelo aleatorio 372

Programa para estimar funciones de densidad bidimensionales 378

AGRADECIMIENTOS

Agradezco a mi director de Tesis su constante colaboración

y eficaz guia en la realización de este trabajo. También, al

resto de los profesores de la asignatura de Estadística de la

E.T.S.I.M. por su ayuda y apoyo, así como a todos mis compañeros

de la Escuela que me otorgaron amablemente su colaboración. Y

como no, a mi familia.

INTRODUCCIÓN

0.1 - OBJETIVOS.

En muchos campos, entre ellos el de la gestión forestal, es

frecuente encontrar trabajos donde se analiza estadísticamente

información que viola las hipótesis básicas de partida empleadas

por los métodos convencionales. Por ello, se ha hecho necesario

buscar soluciones que permitan el análisis estadístico de tales

situaciones.

En este sentido, el desarrollo de técnicas de estimación no

paramétrica se ha visto favorecido gracias al auge y

perfeccionamiento de los ordenadores, que ha hecho operativos

algunos de los procedimientos planteados con anterioridad. La

aparición de los primeros trabajos que hacen referencia a estos

estimadores data de los años 30-50. No obstante, hasta los años

80, no se inicia su aplicación en la práctica. En los últimos

años abundan las publicaciones sobre estudios de los aspectos

teóricos de los estimadores no paramétricos y aparecen algunos

2

trabajos con aplicaciones prácticas, tanto en revistas de ámbito

internacional, como en textos, que cada vez son más numerosos.

El hecho de que estas técnicas sean objeto de tanta atención

no puede ser fruto de una única circustancia. Aparte su novedad

y aplicabilidad, presentan unas buenas propiedades teóricas y

aportan resultados válidos de indudable interés. Es por esto que

creemos necesaria una revisión de dichas técnicas estadísticas

y un estudio más completo de sus posibles aplicaciones,

centrándonos en las más utilizadas en la gestión forestal.

Como primer objetivo, se plantea la formulación de unas

reglas de decisión básicas para la aplicación de los estimadores

no paramétricos, estas reglas de decisión suponen un primer paso

en la construcción de una interfase usuario-métodos estadísticos

para la aplicación consistente de los modelos no paramétricos por

usuarios no expertos. Para alcanzar este objetivo se analizan los

métodos de estimación de funciones de densidad univariantes y

multivariantes, así como, los estimadores de la regresión, y se

definen, en algunos casos acudiendo a la simulación, los modelos

a aplicar en diferentes situaciones.

Un segundo objetivo, complementario del anterior, consiste

en la validación de los resultados obtenidos mediante la

aplicación de las reglas de decisión a trabajos relacionados con

diferentes aspectos de la gestión de las explotaciones e

industrias forestales y la comparación de los resultados con los

obtenidos al aplicar métodos paramétricos usuales. Para alcanzar

este segundo objetivo se han escogido algunos aspectos que están

siendo en la actualidad objeto de investigación mediante la

aplicación de otras técnicas, para los cuales, el presente

3

trabajo aporta conclusiones complementarias y, en ocasiones,

sustancialmente diferentes de las obtenidas con otras

metodologías.

0.2- MÉTODO DE TRABAJO.

Una vez planteados los objetivos del trabajo, es necesario

establecer un método para su realización que, en líneas

generales, responde al siguiente plan de trabajo:

En primer lugar se describen los estimadores no paramétricos

que pueden emplearse en cada caso, ocupándonos principalmente de

sus propiedades matemáticas. Una vez conocidos los posibles

estimadores, se escoge el que creemos más adecuado para emplearlo

en los trabajos de aplicación relacionados con las explotaciones

e industrias forestales. El método general de estimación

seleccionado es el método núcleo.

En segundo lugar se procede a analizar los estimadores

núcleo: De qué dependen; si existen diferentes tipos de

estimadores núcleo; y, lo más importante, determinar, si es

posible, en función del problema que se plantea y los datos

muéstrales, los diferentes pasos a seguir, seleccionando los

elementos más apropiados que se pueden emplear con este método,

de tal manera que las estimaciones sean sencillas y eficaces.

En tercer lugar se emplea la metodología propuesta para

resolver algunos problemas prácticos de interés para el sector

4

forestal. Estos problemas ilustran el método de trabajo descrito

y permiten además, extraer conclusiones acerca del problema

estudiado.

Estas tres etapas se concretan en la determinación de los

estimadores no paramétricos de la función de densidad

univariable, estimadores de la regresión, y estimadores de la

función de densidad multivariable. La justificación de la

importancia de estos tres tipos de modelos aplicados a la gestión

forestal es inmediata.

En muchos casos se requiere inicialmente, la estimación de

funciones de densidad de las variables objeto de estudio. Por

ejemplo, en los ensayos de control de calidad de fabricación de

los numerosos productos obtenidos por transformación de la

materia prima que se obtiene en las masas arboladas, donde los

límites de tolerancia se obtienen a través de las funciones de

densidad de la variable. También son muy empleadas en los

estudios del medio físico variables multidimensionales, de las

que una estimación de la función de densidad es imprescindible

en muchas circustancias.

Cuando los estudios que se realizan incluyen más de una

variable, generalmente se buscan las relaciones que ligan dos o

más variables. Su importancia es capital para los estudios del

medio forestal. Por ejemplo, en los trabajos de explotación de

las masas arboladas se requiere, con frecuencia, estimaciones de

las existencias del monte, ya que resulta difícil determinarlas

directamente, siendo preciso relacionarlas con variables que sean

más fácilmente medibles.

5

0.3- ESTRUCTURACIÓN DEL TRABAJO.

Los métodos de estimación no paramétrica de funciones de

densidad se describen en el primer capítulo. En él se revisan los

trabajos existentes sobre descripción de métodos y estudio de las

propiedades y características de estos estimadores.

En el segundo capítulo, se estudian a fondo los estimadores

núcleo, los cuales, por medio de una función denominada "núcleo"

y de una constante, llamada "ancho de banda", estiman la función

de densidad. Se emplean distintos procedimientos para seleccionar

entre algunas de las funciones núcleo más conocidas, y entre los

diferentes métodos de cálculo de los anchos de banda, aquellos

que mejor se adaptan a las características muéstrales de los

datos.

Los resultados obtenidos se utilizan en algunas aplicaciones

prácticas, presentadas en el siguiente capítulo. Se estimarán de

esta forma las funciones de densidad de la pluviometría anual,

altura media de eucaliptos y tensiones de rotura a cortante de

la madera laminada encolada. También se calculan por los métodos

desarrollados en el capítulo anterior, los valores que podrían

considerarse como límites de la pluviometría y el valor que

podría servir para determinar las piezas con encolado defectuoso

en los controles de calidad de fabricación de la madera laminada

encolada.

En el capítulo cuarto. se revisan los métodos no

paramétricos de estimación de la regresión, tanto para modelos

de diseño fijo, como modelos de diseño aleatorio. La descripción

de los distintos estimadores y también de sus propiedades y

6

características más sobresalientes, se consideran al efectuar una

elección del método que se empleará en el desarrollo del capítulo

quinto.

Los estimadores de la línea de regresión que se analizan en

dicho capítulo son los diferentes tipos de estimadores núcleo,

que al igual que en el caso de la estima de la densidad, emplean

funciones núcleo y anchos de banda que influyen en la bondad del

ajuste. Se señalan los pasos a seguir en la selección del tipo

de estimador, de la función núcleo y del ancho de banda, y

también se expone un nuevo método que elimina la tendencia, de

la línea de regresión estimada, a disminuir bruscamente en los

extremos del intervalo de estimación.

La metodología definida anteriormente permite una aplicación

sistemática a los problemas generales de regresión con dos

variables y que, en el capítulo seis, se emplea para relacionar

variables que sirven para medir el crecimiento de pollos de

perdiz, con su edad en días; también se relacionan algunas

variables que miden la cantidad de biomasa producida por una masa

arbolada de rebollo con el diámetro normal y la altura del árbol.

En el capítulo siete. se considera brevemente, la

metodología para estimar funciones de densidad bivariantes, junto

con algunas aplicaciones de ésta a otras técnicas estadísticas,

la estimación de la función espectral y el análisis

discriminante.

En el capítulo ocho, se recogen las conclusiones del

presente trabajo, tanto en el plano teórico, como en el aplicado

y se esbozan las líneas de trabajo que pueden seguirse para

completar este estudio.

7

Por último, se recogen en un apéndice, los datos de las

muestras empleadas en las diferentes aplicaciones de los

estimadores núcleo y los programas fundamentales de ordenador,

en lenguaje BASIC, que se emplearon para desarrollar este

trabajo. Dos de ellos para calcular y representar la estimación

de las funciones de densidad univariantes y bivariantes y otros

dos, para representar gráficamente la linea de regresión, con un

modelo fijo y un modelo aleatorio.

8

CAPITULO 1: MÉTODOS DE ESTIMACIÓN NO PARAMETRICA


1.1 - PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES NO PARAMETRICOS.

1.1. Sesgo.

1.2. Consistencia.


1.2- ESTIMACIÓN MEDIANTE EL HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS.









1.4 - ESTIMACIONES BASADAS EN PROCESOS DE ALISADO

LOCAL.


4.2. Estimadores basados en bloques

estadísticamente equivalentes.












7.3. El método de máxima verosimilitud penalizada.

1.8 - ESTIMACIÓN DE DENSIDAD POR BÚSQUEDA DE

PROYECCIÓN.

8.1. El paradigma EDBP.

8.2. índices de proyección.

CAPITULO 1

MÉTODOS DE ESTIMACIÓN NO PARAMETRICA


En los últimos años, la frecuente aplicación del análisis

estadístico a todo tipo de problemas ha originado la búsqueda de

soluciones no habituales que se adapten a los requerimientos y

circunstancias actuales. El campo no paramétrico es uno de los

más populares y se está empleando como una nueva herramienta de

análisis estadístico. Esta herramienta ofrece una alternativa más

o menos sofisticada a los modelos paramétricos tradicionales en

la exploración de datos univariantes o multivariantes sin

presuponer ninguna distribución específica. La estimación no

paramétrica de la densidad, ha llegado ha ser un importante

objeto de investigación estadística. Aunque los primeros intentos

de estimación no paramétrica de la densidad comenzaron en la

década de los treinta, la preocupación por desarrollar este tema

no surge hasta los años ochenta, siendo numerosas las

publicaciones de trabajos realizados sobre los aspectos teóricos

de este tipo de estimación.

11

Si X,, X2, ..., Xn es una muestra aleatoria d dimensional de

una función de probabilidad continua f, donde

f(x)*0, íRd f(x)dx=l, (0.1)

el problema que plantea la inferencia es la estimación de f sin

emplear una estructura formal paramétrica, para lo cual se

considera f como perteneciente a una clase muy general y extensa

de densidades que no pueden ser representadas por un número

finito de parámetros. A las densidades así estimadas y a sus

derivadas se les suele imponer ciertas condiciones de alisado.

El primer estimador no paramétrico de una densidad

univariante f propuesto por Glivenko (1934) es el histograma.

Posteriores trabajos considerando diversas modificaciones de este

estimador abren nuevos caminos -inicialmente con el estimador

núcleo, las series ortogonales y el método de los puntos más

próximos- donde se fundamentan las aplicaciones de discriminación

no paramétrica y sirven de base en el desarrollo de las

estimaciones de densidad espectral para series de tiempo

estacionarias. Más adelante y con otros objetivos distintos se

emplearán métodos como la verosimilitud penalizada, alisado

polinomial, núcleo variable, de cribas y por búsqueda de

proyección (P.P.D.E.). La popularidad creciente de los

estimadores de densidad no paramétricos se debe a la utilización

de los ordenadores en la investigación estadística, tanto por su

capacidad de proceso, como por las ventajas de las

representaciones con gráficos de alta calidad.

Las estimas no paramétricas de densidad han demostrado su

efectividad en los siguientes casos: a) En los análisis

exploratorios para determinar las características descriptivas

12

de la estima de la densidad especialmente en lo que se refiere

a multimodalidad, comportamiento de las colas y asimetría; en

estos casos un método no paramétrico puede ser más flexible que

los métodos paramétricos tradicionales; b) En análisis

confirmatorio, las estimas no paramétricas de densidad se emplean

en análisis discriminante, clasificación no paramétrica,

contrastes para modas y contrastes de variación aleatoria; c) En

la presentación de resultados, las peculiaridades estadísticas

de los datos se pueden explicar fácilmente a través de los

gráficos de las curvas de densidad estimadas.

En las últimas dos décadas se ha presenciado una

consolidación y una valoración critica de estos métodos que se

ve reflejada en los numerosos trabajos, fundamentalmente

teóricos, que se han publicado en relación a este campo (ver

Izenman, 1991).

El éxito en las técnicas de estimación de densidad no

paramétrica ha llevado a su vez a la formulación de la regresión

no paramétrica incluyendo el análisis no paramétrico de curvas

de crecimiento (Eubank 1988; Müller 1988; Nadaraya 1989) y el

reconocimiento estadístico no paramétrico de patrones ( Devijver

y Kittler 1982; Fukunaga 1972, cap. 6).

1.1 - PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES NO PARAMÉTRICOS.

El uso de estimadores de densidad no paramétrica sólo es

recomendable, como cualquier procedimiento estadístico, si se

cumplen determinadas propiedades. Estas propiedades, en general,

confirman su utilidad en muestras grandes; sin embargo también

13

son aplicables en muestras pequeñas que satisfacen condiciones

especiales (ver por ejemplo, Deheuvels, 1977 y Fryer, 1976). A

continuación se analizan algunas propiedades de estos métodos de

estimación.

1.1. Sesgo.

Sea un estimador f de una función de densidad f. Se dice

que este estimador es insesgado para f si, para todo xeRd,

Ef [ f (x) ]=f (x) . Aunque hay estimadores insesgados de densidades

paramétricas tales como la normal o la exponencial, ningún

estimador de densidad auténtico, es decir, que satisfaga la

definición general, puede existir y ser insesgado para todas las

funciones de densidad de tipo continuo (Rosenblatt, 1956). Por

esto se ha enfocado la atención a la posibilidad de encontrar

secuencias f n> neN de estimadores de densidad no paramétricos que

sean asintóticamente insesgados para f. Es decir, para todo xeRd,

Ef[fn(x)]-f(x) si n oo.

1.2. Consistencia.

La propiedad más estudiada de estos estimadores de densidad

es la consistencia, debido a su aplicación para muestras grandes.

Un estimador de densidad f es consistente (débilmente) para una

P función univariante f cuando f (x)-+ f (x) para todo xeR ; será

fuertemente consistente si se mantiene la convergencia casi

segura para f. Se pueden definir, además, otros tipos de

14

consistencia dependiendo del criterio elegido para medir el

error. Los métodos de medida de la consistencia más empleados son

los denominados Lj y L, (Hall, 1989b).

El método L2. El método 1 restringe la estimación a

funciones de densidad con cuadrado integrable. En este caso el

error en la estima f (para xeR) puede medirse por el error

cuadrático medio,

E.C.M.= Ef[£(x)- í(x)]2= var[£(x)] + sesgo[£x)) 2, (l.l)

si el E.C.M. tiende a cero para todo xeR cuando n-+oo entonces f

se dice que es un estimador consistente de f en media cuadrática.

Otro tipo de criterios considera cómo la curva completa f

se aproxima a f. Una medida de la bondad de ajuste en este caso

se encuentra integrando el E.C.M. en todos los valores de x,

E.C.M.I.= f " Ef[£(x) - f (x)]2dx. (1.2) J —oo

Otra medida empleada usualmente es el error cuadrático integrado

(E.C.I.) o Norma 1^ ,

E. C. J.= f ~[£(x)- f(x)]2dx. (1.3) J —oo

Tomando esperanzas sobre f en el E.C.I. obtendríamos el E.C.M.I.

Suele emplearse preferentemente el E.C.I. en lugar de su valor

esperado ya que éste determina la cuantía de la aproximación de

f a f para un conjunto dado de datos, aunque el E.C.M.I.

promedia sobre todos los posibles conjuntos de datos. Bajo

condiciones suaves se ha demostrado que el E.C.I. es una

aproximación aleatoria bastante razonable del E.C.M.I. (Marrón

y Hardle, 1986) mientras en ciertas situaciones el E.C.M.I. puede

15

ser un mejor criterio de error que el E.C.I. (Hall y Marrón,

1988). Farrel (1972) expuso que la posible mejor razón de

convergencia asintótica para el E.C.M.I. en estimas de densidad

auténticas es 0(n"4/5), un infinitésimo de orden n"4/5, y Boyd y

Steele (1978) probaron que no puede existir una estima de f cuya

razón de convergencia para el E.C.M.I. sea mejor que 0(n"1).

El método L,,. En este caso, la única restricción impuesta al

espacio paramétrico de funciones de densidad estimables, es que

se traten de funciones integrables. El método L2 presenta un

problema para estimas de densidad no paramétricas y es que el

comportamiento de la cola de una densidad pierde importancia,

posiblemente como resultado de las peculiaridades que presenta

la estima de la densidad en las colas. Otras objeciones fueron

planteadas por Donoho y Jhonstone (1989). Por estas razones, en

multitud de trabajos se propone e investiga la alternativa L,, a

la teoría anterior de la estimación de densidad no paramétrica.

Devroye y Gyorfi (1985) consideraron más natural para las

densidades el espacio L1 y demostraron que el error absoluto

integrado, también conocido como la variabilidad total o la norma

E.A.I.=f °° \£x)- f(x)\dx, (1.4) J —00

está siempre bien definido como una norma en ese espacio, es

invariante por transformaciones monótonas y 0< E.A.I.< 2. Si

E.A.I.-»-0 en probabilidad cuando n-*°o se dice que f es un

estimador consistente de f. También se dice que el estimador es

fuertemente consistente cuando la posible convergecia es casi

segura. Tomando la esperanza del E.A.I. obtendremos el E.A.I.M.

16

Hall y Wand (1988) llegaron a obtener una expresión

asintótica general para el E.A.I.M. y demostraron que su

minimización se reducía a la solución numérica de una ecuación

particular. A pesar de los logros obtenidos en este método puede

observarse claramente que la labor técnica para obtener

resultados de L1 es sustancialmente más complicada que la

necesaria para obtener análogos resultados con L2.


Algunos de los métodos de estimación de la densidad nos

llevan a funciones de densidad auténticas mientras otros pueden

conducir a estimas con ordenadas negativas (especialmente en las

colas) o bien tener una integral infinita. La negatividad puede

darse de forma natural, obteniéndose como un resultado de la

dispersión de los datos en ciertas regiones (ver los trabajos de

Boneva, Kendall y Stefanov, 1971 y Kronmal y Tarter, 1968), o

puede ser causada por relajación de la restricción de no

negatividad en orden a obtener una mejor razón de convergencia

en el estimador de f. La búsqueda de estimadores con razón de

convergencia más rápida ha decidido a algunos investigadores a

relajar la restricción en la integral en lugar de la no

negatividad. Gajek (1986) propuso un esquema simple por el cual

cualquier estimador de densidad que no tuviera una densidad

auténtica se puede hacer que converja a ésta.

17

1.2 - ESTIMACIÓN MEDIANTE EL HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS.

Tradicionalmente, el histograma se ha utilizado para

proporcionar un índice visual de la forma de f. Supondremos que

f tiene un soporte A= [a,b], donde a y b son tales que abarcan

todos los datos observados. Para el cálculo del histograma se

realiza una partición de A en franjas no superpuestas:

Ti = tVi' V¡+i)' c o n i = 1/2,...,m , donde

a= tn ,,< tn 2< ...< t „„..,= b, y donde los extremos tní> dependen

del tamaño muestral n. Si ITi es la función indicador del

subintervalo i-ésimo y si H. es el número de valores muéstrales

encontrados en Ti (i= l,2,...,m), ( £ N,-= n ) , entonces el

histograma queda definido por

m

esta estimación satisface (0.1). Si la amplitud del intervalo

hn= t -+1- tn ,• (i=l,2, . . . ,m) es la misma, entonces

1 m

V*>= -ér E NiirM)- (2.2) lula i=l

Sin embargo, como un estimador de la densidad el histograma

presenta algunos defectos, que incluyen, la naturaleza fija de

la partición, las discontinuidades en los extremos de los

subintervalos y sobre todo la sensibilidad de la forma del

histograma a la elección de un origen.

18


El histograma es un estimador máximo-verosímil basado en la

muestra aleatoria y constituido por funciones quebradas con nudos

en los puntos tn1,..., ^ 1 / ver De Montricher, Tapia y Thomson

(1975) y Tapia y Thompson (1978) para versiones más generales del

histograma.

Bajo ciertas condiciones de f y de fhn, Scott (1979) y

Freedman y Diaconis (1981) demostraron que si hn->0 y nhn-«» si

n-"», entonces E.C.M.I->0 y se minimiza asintóticamente para

6 h\=

i 1 3 n 3. (2.3)

f °°[f'(x)]2dx J —00

La razón de convergencia E.C.M.I. óptima es 0(n~2/3),

substancialmente más lenta que la mayoría de las otras clases de

estimadores de densidad, lo que constituye el principal motivo

para no emplear el histograma cuando puedan emplearse otros

procedimientos de estimación. Devroye y Gyorfi (1985) demostraron

que fhn era fuertemente consistente para todo f y que la razón de

convergencia del E.A.M.I. era de orden 0(n"1/3).


Como h*n depende de la densidad desconocida f, puede

emplearse una estima de ésta función. Scott (1979) propone un

ancho óptimo aproximado íi*n= 3'49sn"1/3 donde s es la desviación

típica muestral y trabaja bien para muestras gaussianas mientras

que sobrealisa en otros casos. Freedman y Diaconis (1981)

sugieren ñ*n=2 (RIQ)n"1/3, donde RIQ es el rango intercuartílico de

19

los datos. A su vez, Taylor (1987) emplea el criterio de

información de Akaike para determinar un ancho óptimo. Scott

(1988) estudia formas de cajas hexagonales y cuadráticas para

histogramas bivariantes.


Se puede alcanzar una razón de convergencia de E.C.M.I. más

rápida modificando la forma de los bloques del histograma. Los

estimadores que permiten obtener un orden de convergencia de

0(n"4/5) son los siguientes:

El histograma promediado variable de Scott y Thompson (1983)

y Scott (1985a) se construye promediando varios histogramas con

igual ancho de caja pero en diferente posición.

El polígono de frecuencias estudiado por Scott (1985b), se

construye uniendo los valores de mitad del intervalo por líneas

rectas.

El histo-quebrado de Boneva, Kendall y Stefanov (1971) es

una quebrada cuadrática cardinal ajustada al histograma.

El histograma ponderado propuesto por Vítale (1975) y

Gawronski y Stadtmuller (1980), en que los conteos en los

intervalos son ponderados mediante probabilidades de Poisson

empíricas.

20


El estimador núcleo de densidad multivariable de f tiene la

forma:

donde xeRd ; la elección de la función K y el ancho de ventana

h=hn> 0 determina el comportamiento del estimador núcleo como

estimador de f. Silverman (1982a) y Jones y Lotwick (1984)

recomiendan la transformación rápida de Fourier para calcular

(3.1) en el caso univariable. Como se aprecia en su expresión el

estimador núcleo abarca las propiedades de la función núcleo

siendo por tanto de gran importancia que K tenga buenas

propiedades.

Para que una función K(x) se considere función núcleo debe

cumplir ciertas propiedades (Nadaraya, 1989):

a) Kx) =K(-x)

b) ¡K(x) dx=l

c) sup \K(x) \<.A<<*> -<*><x<°°

d) fxiK(x)dx=0, i=l, s-1

con s par y mayor o igual que 2;

e) fxsK(x) dx*0

f) fxs\K(x) \dx<<*>

La clase más sencilla de núcleos consiste en las funciones

de densidad de probabilidad. Es decir, las que satisfacen (1.1).

Si se emplea un núcleo de esta clase en la estimación, fn siempre

21

será una auténtica densidad. Las funciones núcleo más conocidas

incluyen el núcleo Gaussiano con soporte no acotado y los núcleos

polinomiales con soporte compacto

K(x)= *„<l-|x|*)T[Wsl],

kzs= 7ñ7 5 „ / x > r>0. SZO. (3.2) zs 2B(s+l,l/r)

(Ver Izenman, 1991).

La estima de densidad del núcleo triangular ( r=l, s=l) está

asintóticamente relacionada con el histograma promediado variable

ya que el primero se obtiene como limite de este último cuando

el número de histogramas variables tiende a infinito. Los núcleos

multivariables (xeRd) suelen ser densidades unimodales

radialmente simétricas tales como el Gaussiano,

K(x)= (2it)"d/2 e"^(X'X), (3.3)

y el de Barlett-Epanechnikov,

cd= nd/2T[(d/2)+l] . (3.4)

Cacoullos (1966) y Nadaraya (1989) proponen productos de

funciones núcleo univariables donde K(x)= ndj=1 K(Xj) . Este método

es el empleado en los estudios con datos reales de Kasser y Bruce

(1969) y Scott, Gotto, Colé y Gorry (1978).


Devroye (1983) emplea el enfoque L1 para demostrar que el

estimador núcleo es fuertemente consistente si K satisface las

condiciones (0.1) y además hn->0 y nh-*» cuando n-«» sin

22

condiciones sobre f. Devroye y Penrod (1984) también demostraron

que, para el caso univariante, la razón de convergencia del

E.A.M.I. era de orden 0(n"2/5). Hall y Wand (1988) obtuvieron con

este planteamiento las expresiones explícitas del E.A.M.I. mínimo

y del parámetro de alisado óptimo.

Siguiendo el planteamiento 1^ y bajo ciertas condiciones de

regularidad de K y f, Parzen (1962) demostró que si hn-»-0 cuando

n-«» entonces el estimador núcleo es asintóticamente insesgado y

asintóticamente normal. Cacoullos (1966) demostró que la

expresión asintótica de E.C.M.I. en el caso d-dimensional era

minimizada por todo hcn= a(K)/?(f ) n~1 / ( d + 4 ) que cumpla las condiciones

de regularidad y E.C.M.I.-+0 con razón de convergencia de orden

0(n"4/(d+4)) . La razón de convergencia es más lenta a medida que

aumenta el número de dimensiones. Resultados adicionales sobre

la consistencia fueron obtenidos por Hall y Hannan (1988).


Si bien el núcleo de Barlett-Epanechnikov minimiza el

E.C.M.I. asintótico óptimo, Marrón y Nolan (1987) comprobaron la

insensibilidad del E.C.M.I. a la forma de K. Otros estudios

debidos a Kazakos (1980) se inclinan por una función núcleo de

soporte compacto [-T, T] y con ancho de banda que minimizan la

cota superior de Wahba (1975) para el ECM,

K(x)= (1+a"1) (2T)-1 [1-T"a|x|a],

donde a= 2-p-l y p> 1.

Sin embargo las tendencias actuales consisten en investigar

tipos más exóticos de núcleos. Los desarrollos más importantes

23

conciernen al orden de las funciones núcleo, definido por la

existencia de ciertos momentos de K. Son interesantes aquellos

núcleos que presentan varianza nula lo cual sólo puede obtenerse

si K toma valores negativos, tales funciones reducen el sesgo y

mejoran la razón de convergencia del E.C.M.I. ya que ésta, si K

es de orden s, tendrá un orden de 0(n"2s/2s+1) . Hall y Marrón (1988)

consideraron la selección óptima del orden s. Otro resultado

importante obtenido por Schucany y Sommers (1977) es el empleo

del método "jacknife" generalizado usando estimadores tipo núcleo

de orden cuatro, lo que permite reducir el sesgo, la varianza o

ambos con un menor ECM asintótico.


El principal foco de investigación en estos momentos lo

constituye la determinación del parámetro de alisado o ancho de

ventana óptimo. Como hcn depende explícitamente de la función f

desconocida a través de /3(f) no se puede calcular exactamente.

Se han propuesto varios procedimientos para estimar el parámetro

de alisado donde j0(f) se emplea para estimar /3(f) con diferentes

resultados ( Scott y Factor, 1981 ; Scott y Terrell, 1987).

Un método automático muy empleado es el de validación

cruzada (VC). El algoritmo empleado consiste en extraer un valor

de la muestra y calcular la estima de la densidad en ese punto

a partir de los restantes valores muéstrales,

^ 2 (n-l) h f£ \ h )

eligiéndose, a continuación, un criterio de optimización para

24

determinar h. Los dos criterios que se han empleado son el de

validación cruzada máximo verosímil (VCV), para encontrar un

valor de h que maximice la función de pseudo verosimilitud, L(h) =

IIfhi(Xi)/ y la validación cruzada mínimo cuadrática (VCC) para

encontrar el h que minimice MC(h)= J(fh)2dx -(2/n)Sfh • (X-) .

Marrón (1987b) proporciona una excelente revisión de varios

métodos de cálculo del parámetro de alisado.

Se ha demostrado que cuando el núcleo se define en un

intervalo cerrado, VCV proporciona estimas consistentes de

densidades (definidas también en intervalos cerrados, ver por

ejemplo, Chow, Germán y Wu, 1983) mientras que no sucede esto en

estimas de densidades de soporte infinito (Schuster y Gregory,

1981). Hall (1987a) estudia la compleja influencia que las colas

de K y f tienen sobre la VCV. Estudios de simulación de Scott y

Factor (1981) indicaron que el VCV conducía frecuentemente a

estimas de densidad sobrealisadas o subalisadas siendo además muy

sensible a datos anómalos.

La VCC no precisa condiciones rigurosas sobre las colas de

f y K para probar su optimalidad asintótica (Hall, 1983a y Stone,

1984) . Hall y Marrón (1987a y b) demostraron que el ancho

obtenido con este método trabaja tan bien asintóticamente como

el hcn óptimo, el cual, es realmente inalcanzable, si bien el

algoritmo converge muy lentamente.

La alta variabilidad de las estimas VC en relación al

muestreo llevan a Terrell (1990) a proponer que se elija la

estima más alisada que sea compatible con la escala estimada de

la densidad.

25


Aplicando ideas del análisis secuencial al estimador de

densidad núcleo, Deheuvels (1973) llega a los estimadores

secuenciales en que se emplea el muestreo secuencial; el

estimador núcleo se calcula en cada tamaño de muestra hasta

satisfacer cierta regla de convergencia. Un estimador relacionado

es el estimador de densidad recursivo (se obtiene calculando fn

a partir de fn.1) que fue introducido por Wolverton y Wagner

(1969) y Yamato (1971); Sus propiedades teóricas fueron

estudiadas posteriormente por Prakasa Rao (1983).

1.4 - ESTIMACIONES BASADAS EN PROCESOS DE ALISADO LOCAL.

Los métodos de estimación descritos anteriormente son

relativamente insensibles a peculiaridades regionales de los

datos, tales como agrupaciones locales y dispersión de datos en

algunas zonas, particularmente en las colas. Los estimadores que

se exponen a continuación soslayan este inconveniente.


Originalmente sugerido por Wegman (1969, 1975), el

histograma de partición variable se construye de forma similar

al de partición fija pero en este caso la partición depende de

los espacios entre los estadísticos ordenados (X(1),..., X(n)) . Se

puede obtener la partición de tal manera que cada intervalo

contenga aproximadamente k valores muéstrales (k=n/m, m es el na

26

de cajas del histograma) . Entonces para un xe[X(1)/ X(n)],

?=t (X -xn \VX)- u'1]

Devroye y Gyorfi (1985) demostraron que si k=kn-»°o y k n- O cuando

n- «>, entonces la f anterior es un estimador fuertemente

consistente para el procedimiento K,. Resultados similares para

Lj se encuentran en Prakasa Rao (1983) y Kogure (1987) . El radio

de convergencia para el E.C.M.I. del estimador (4.1) es 0(n"2/3),

el mismo orden que para el caso de partición fija.

4.2. Estimadores basados en bloques estadísticamente

equivalentes.

Una versión multivariable del histograma de partición

variable fue concebido por Gessaman (1970) y aplicado por

Gessaman y Gessaman (1972) a la discriminación no paramétrica.

Se define el estimador sobre una partición del espacio muestral

en bloques estadísticamente equivalentes, analogía multivariable

del espacio entre dos estadísticos de orden contiguo, y cada

cuadrado de probabilidad Bn es la unión de, aproximadamente, kn

bloques estadísticamente equivalentes que contiene kn

observaciones. Si Bn es un cuadrado de probabilidad acotado y

xeBn entonces, f(x)= [ky (n+1) ]/Area(Bn) . Sobre cuadrados de

probabilidad sin acotar se estima f como 0. Gessaman (1970)

demostró que si kn-»oo y k n- 0 cuando n-"» entonces el estimador es

débilmente consistente para f. La razón de convergencia y la

elección óptima para kn no han sido determinadas aún.

27


Fix y Hodges (1951) propusieron el estimador por puntos más

próximos. Dado un punto x y fijado un entero k, sea Dk(x) la

distancia euclídea de x a su k-ésimo punto más próximo entre los

X.,,..., Xn, y sea Volk(x)= Cd[Dk(x)]d el volumen de la esfera d-

dimensional de radio Dk(x) donde Cd es el volumen de la esfera

unidad d-dimensional. El estimador de densidad por puntos más

próximos viene dado por

*M= T, y ? x • (4-2)

Volk(x)

Una ventaja de éste estimador es que siempre es positivo aún en

regiones donde los datos están muy dispersos. Loftsgaarden y

Quesenberry (1965) probaron su consistencia si k= kn-+oo y k n- O

cuando n-+<». Abramson (1984) propuso, para el caso d-dimensional,

la elección de un kn proporcional a n4/(d+4), y con constante de

proporcionalidad en función de x. Moore y Yackel (1977) y Mack

y Rosenblatt (1979) analizaron el sesgo y la varianza del

estimador (4.2) . Rosenblatt (1979) estudió el comportamiento

global de las estimas generalizadas de f por éste método que se

reveló adecuado para estimar la densidad en un punto pero no para

la función completa de densidad. El estimador (4.2) conduce a una

estima de densidad discontinua y con integral infinita debido a

sus grandes colas. Estas dificultades hacen imposible el estudio

de sus propiedades en L,, (ver Devroye y Gyorfi, 1985) .

28


El estimador de núcleo variable fue estudiado para evitar

los problemas del estimador por puntos más próximos y se definió:

J-i « jk \ nJk )

donde el ancho de ventana variable H¡k= hDk(x) no depende de x

como en el estimador (4.2), h es el parámetro de alisado y k

controla el comportamiento local de Hjk. Si K es una densidad

auténtica el estimador (4.3) también lo es y tiene las ventajas

de poseer las propiedades de alisado del estimador núcleo y el

carácter de adaptabilidad a los datos del estimador por puntos

más próximos con un pequeño aumento de cálculos. Meisel lo

propuso por primera vez siendo estudiado empíricamente por

Breiman, Meisel y Purcell (1977) que en un estudio de simulación

comprobaron el mal funcionamiento del estimador a menos que k

fuera grande (del orden de O'ln). Las condiciones para la

convergencia fueron obtenidas por Wagner (1975) y Devroye (1985) ;

Devroye y Penrod (1986) probaron la consistencia fuerte uniforme

del estimador (4.3).


Abramson (1982a,b) propuso un algoritmo en dos pasos para

el cálculo de un ancho de ventana que se adaptara a los datos.

Primero se obtiene una versión abreviada, f°h que se construye de

una estima de densidad núcleo f°h piloto con un ancho de ventana

fijo h para definir en el paso siguiente el estimador núcleo

29

adaptado como

donde hj= h[f°h(Xj) ]"1/2. Silverman (1986) propone un valor distinto

del parámetro 11,-= h[ (1/g) f°h(X¡) ]'", donde g es un factor de escala

tal como la media geométrica de f fX,.) [i= l,...,n] y 0< a< 1

refleja la sensibilidad del ancho de ventana a las variaciones

y a la estima piloto. Hall y Marrón (1988) establecen otro valor

hf= hF[ f °hp(Xf) ]"1/2, donde h es el parámetro de alisado de la

estima piloto y hF el de la estima final. Esta modificación tiene

una razón de convergencia del E.C.M. muy rápida.


Estos estimadores de densidad fueron introducidos por Cencov

(1962) y han sido aplicados desde entonces a diferentes áreas

especialmente reconocimiento de patrones y discriminación y

clasificación asi como para estimar densidades multivariables.


Este método asume que una función de cuadrado integrable

puede ser representada por desarrollo en series ortogonales

convergentes,

oo

f(x)=^2 ak<pk(x) , xeQ, (5.1)

donde q>k es un sistema ortonormal completo de funciones en un

conjunto íl de la recta real (esto es, que satisfagan

30

¡a<p. (x)<pk(x)dx= <Sjk, donde S-k es la S de Kronecker) y ak> son

coeficientes definidos por ak= Ef[<p*k(X)], donde <p*k es el complejo

conjugado de <pk. Esta formulación tiene en cuenta sistemas de

funciones ortonormales de valores reales o complejos. Los

sistemas ortonormales propuestos para <pk son con soporte

compacto (como el de Fourier, trigonométrico y los sistemas de

Haar en [0,1] y el sistema de Legendre en [-1,1]) y aquellos con

soporte no acotado [como el sistema de Hermite en R y el de

Laguerre en [0,w)].

Tomando una muestra independiente X1, . . . , Xn de f y un

sistema <Pk, ak puede estimarse insesgadamente por

á*= i; ¿<P¿(*i>- (5.2) 12 2=1

El estimador obvio de f, obtenido de sustituir (5.2) en (5.1) en

lugar de ak, no está bien definido ya que su varianza sería

infinita y además no es consistente según el criterio E.C.I. Por

ello, se han estudiado estimadores de la forma

oo

£(*)=£ bkák(pk(x) , XEÜ, (5.3) jc=-«

donde, 0< bk< 1 es un peso simétrico que traslada ák hacia el

origen, y S|bk|< oo es una condición necesaria para la

convergencia de (5.3). Ver Watson (1969), Rosenblatt (1971),

Brunk (1978) y Hall (1986). Johnstone y Silverman (1990) usaron

estos estimadores con series ortogonales restringidas en un

estudio de estima de densidad bivariante (distribución de la

glucosa en el cerebro) eligiendo bk=l si -r< k< r (siendo r el

número de términos del desarrollo) y 0 en otro caso. Wahba (1981)

considera un sistema biparamétrico de pesos, bk=[l+A (27rk)2m]"1 para

31

-r< k< r, donde A> 0 es un parámetro de alisado y m> 1/2 es un

parámetro determinado. Otros sistemas de pesos son discutidos por

Hall (1987b) y Lock (1990). Para estimar bk>, Wahba (1981)

propone la V.C.V. y Hall (1987b) la V.C.C.


El estimador de series ortogonales para densidades con

soporte no acotado más empleado es el estimador de series de

Hermite. Las funciones Hermite normalizadas:

(p*(x)= ck(x)Hk(x) (£=0,1,2, ...) ,

c = exp[ -x 2 / 2 ] k (2kk\U1/2)1/2

Hk(x) = (-l)ke~x2/2 (e-*2) (polinomio k-ésimo de Hermite) , dxk

forman bases ortonormales para un planteamiento L2. Hall (1987b)

estudia su relativa insensibilidad frente al comportamiento

inusual de las colas de X. Schwartz (1967) demostró que si r= rn,

en las series ortogonales restringidas, satisface que r n-t-O si

rn~K>0' entonces el E.C.M.I.- O si n-n»; además si rn= 0(n1/q) para

q> 2, entonces el E.C.M.I.= 0 (n"(1"1/q)) , que presenta una ventaja

de estos estimadores frente a los estimadores núcleo al no

depender de la dimensión de los datos; sin embargo, el sistema

Hermite no constituye una base según el planteamiento L.,.

Si f tiene soporte compacto [0,1], se tiene el conocido

estimador con series de Fourier o trigonométricas, que es la

parte real de los estimadores de series ortogonales restringidos,

y está formado por el sistema de funciones discretas de Fourier,

32

definido por <pk(x)= e2irikx [k= 0,1,2,...]. Whaba (1975a, 1975b,

1981) y Hall (1981) estudiaron la influencia de la periodicidad

y el efecto Gibbs sobre las estimas de densidad con las series

de Fourier. Devroye y Gyorfi (1985) probaron que bajo ciertas

condiciones de f y si r^n-^0 cuando rn-*oo, entonces el E.A.M.I.-+0

si n- oo.


El comportamiento y alisado de los estimadores con series

ortogonales restringidas dependen del número de términos en el

desarrollo (r). Kronmal y Tarter (1968) proponen una regla de

parada óptima, término a término, para la elección de un r que

minimice el E.C.M.I. estimado. Crain (1973) señaló las

desventajas de esta regla y Hart (1985) comprobó con estudios de

simulación que llevaba a estimas sobrealisadas. Hart (1985),

Diggle y Hall (1986) y Lock (1990) propusieron algunas mejoras

de esta regla.


Muchos de los estimadores de densidad descritos

anteriormente se pueden considerar casos especiales de este tipo

de estimador no paramétrico.

Sea SX(X,Y), (X,YeR), una función acotada con índice el

parámetro de alisado A>0. La secuencia (5A(X,Y) se llama

secuencia 5 sobre R si j 6x(X,Y)<p(y)dy-*<p(x) cuando A-*» para cada

función 0 sobre R infinitamente diferenciable. Cualquier

33

estimador que se pueda escribir en la forma

íAU)= - ¿ S ^ U , ^ ) , XER, (6.1) 11 2=1

donde SX(X,Y) es una secuencia 6, se llama un estimador de

densidad de secuencia 6. Asi los histogramas, los estimadores

núcleo y los estimadores con series ortogonales pueden expresarse

de la forma (6.1). En algunos casos (como histogramas y series

ortogonales) A. será un entero, que representa el número de

términos en un desarrollo; mientras que en otros (como

estimadores núcleo) es un número real. Estos estimadores fueron

estudiados por Whittle (1958); Watson y Leadbetter (1964)

demostraron que son estimadores de la densidad asintóticamente

insesgados. Walter y Blum (1979) y Prakasa Rao (1983) dieron una

extensa lista de casos especiales y establecieron las razones de

convergencia para el E.C.M. Marrón (1987a) utilizó los

estimadores de secuencia S como un medio de comparar diferentes

estimadores de densidad.


La aplicación del método de máxima verosimilitud no puede

proporcionar un único resultado cuando la clase de densidades H

sobre la que se maximiza la verosimilitud no está definida. Por

este motivo se estudiaron estos estimadores en los que se añaden

restricciones en H o en la función de verosimilitud L.

34


Consideramos primero un orden de restricción sobre H, por

ejemplo densidades que son monótonas decrecientes sobre el

intervalo [0,«>) que son especialmente importantes en los

problemas de supervivencia. Grenander (1956) demostró que el

estimador máximo-verosimil para una densidad no decreciente sobre

[0,oo) era una función escalonada con saltos en los estadísticos

de orden X(i). Más concretamente, si Fn es la función de

distribución muestral entonces el estimador máximo-verosimil de

una densidad no decreciente es el mínimo de la máxima pendiente

de la Fn cóncava, expresado

- v min max F„(XÍH) -F„(XtiS) sst-1 tsi X(t)-X(i) U 1] ()

y 0 para x< 0 y x< X(x). Este estimador es fuertemente consistente

para f monótona decreciente (Groeneboom, 1983). Devroye (1987)

estableció la razón de convergencia, 0(n1/3), para el E.A.M.I.

Barlow, Bartholomew, Bremner y Brunk (1972) y Denby y Vardi

(1986) proponen diferentes métodos de cálculo de (7.1) y Birge

(1987a,b) expone métodos alternativos para estimas de densidad

decreciente.

Para estimar densidades unimodales con el método de orden

restringido se supone, en principio, la moda conocida e igual a

0. Como una densidad unimodal f es no decreciente en los x

anteriores a la moda y no creciente después, basta considerar

sólo la estima máximo verosímil de f+ que es la densidad

condicional sobre el intervalo [0,«). Un razonamiento similar se

emplea para f.. La estima máximo-verosímil de f viene dada

35

entonces por

£= &t+(i-&)£_

donde f+ es la parte correspondiente al mínimo mayorante de la

Fn cóncava, y f. es la parte del mínimo mayorante de la Fn

convexa y 0< á< 1 es la proporción de valores muéstrales que

pertenecen a [0,oo) . ver Robertson, Wright, y Dykstra (1988) .


En este método se selecciona un parámetro de criba h> 0 y

para cada criba escogemos un subconjunto Sh de densidades para

las que existe un estimador máximo-verosímil. Una vez calculado

el estimador se deja crecer , de alguna forma, el subconj unto Sh

con el tamaño muestral n, mientras que se permite que h=hn->0

cuando n-«» de tal forma que la convergencia a una función de

densidad queda asegurada. A la secuencia Sh de estos

subconjuntos se le llama cribas. El método fue introducido por

Grenander (1981) y desarrollado posteriormente por Geman y Hwang

(1982) y Walter y Blum (1984) . Como en los demás estimadores que

dependen de un parámetro de alisado, el método de cribas depende

de la secuencia de los parámetros criba, los cuales tienden a 0

con razón suficientemente lenta (Grenander, 1981). Se ha

demostrado que este método lleva a estimas consistentes en el

sentido L. aunque no se han determinado razones de convergencia.

36

7.3. El método de máxima verosimilitud penalizada.

El método más popular para estimaciones de densidad

restringidas máximo verosímiles penaliza la función de

verosimilitud por la producción de estimas de densidad groseras

(ver Good y Gaskins, 1971) . Si $ es un funcional de penalización

dado, no negativo, y definido sobre H, la verosimilitud $-

penalizada de f se define como:

L(f)= ñf^Je"*^. (7.2) 2=1

El problema de optimización de la función definida en (7.2)

o su logaritmo se resolverá con las restricciones feH(n),

J0f(t)dt= 1, y f(t)> 0 (Vteíi) . Si existe una solución, f, de ese

problema se le llama estimador máximo verosímil penalizado (MVP)

de f correspondiente a la función de penalización $ y a la clase

de funciones H. Good y Gaskins observaron que el método de máxima

verosimilitud penalizada podía interpretarse para cierto tipo de

problemas como cuasi bayesiano ya que (7.2) se asemeja a una

densidad a posteriori para un problema de estimación paramétrica.

De Montricher, Tapia y Thompson (1975) establecieron

rigurosamente la existencia y unicidad de la estima de densidad

MVP y demostraron que este método estaba íntimamente relacionado

con los métodos de quebradas, el estimador es una quebrada

polinomial con saltos sólo en los puntos muéstrales, si f tiene

soporte finito.

Cuando f tiene soporte infinito el problema es más

complicado. Good y Gaskins propusieron funcionales de

penalización diseñados para estimar la raíz de la densidad g=f1/2,

así f=g2 sería un estimador no negativo y auténtico de f. Los

37

funcionales de penalización fueron

* x ( f ) = 4a r t s r ' U ) ] 2 dx. a>0 (7.3)

* 2 ( . f ) = 4 a f " [g r /U) ] 2 dx + p f" [gr"(x) ] 2 dx, (a*0, p*0) , (7.4) •r — oo J -co

donde los parámetros a y /3, con <*+/?> 0 en (7.4), controlan el

promedio de alisado. El problema consiste en este caso en elegir

uno de estos funcionales, Good y Gaskins prefirieron (7.4)

basándose en la penalización por este funcional de la curvatura

y la pendiente de la estima de la densidad. En trabajos

posteriores Good y Gaskins (1980) y Good y Deaton (1981)

establecieron a=0 y j8 lo determinaban de los datos. Klonias y

Nash (1983) y Klonias (1984) investigaron una clase muy general

de funcionales, que incluían (7.3) y (7.4) como casos especiales,

cuya motivación primaria fue mejorar la estimación de los picos

y los valles de f.

Para la función de penalización (7.3) y para un valor dado

de a, De Montricher et al. (1975) demostraron que, si el problema

de optimización está correctamente planteado, entonces el

estimador resultante es único y además es una quebrada

exponencial con saltos sólo en los valores muéstrales. Klonias

(1982) demostró la consistencia del estimador determinado con

este funcional en varias normas diferentes, incluyendo L., y L2.

Silverman (1978) sugiere un método gráfico para la determinación

de a. Con la función de penalización (7.4) y valores dados de a

y /3, la estima resultante existe y es única si se establece un

planteamiento correcto del problema de optimización. Good y

Gaskins dieron algunas recomendaciones para los parámetros en

este caso que funcionaban bien en sus ejemplos.

38

Silverman (1982b) desarrolla una estima MVP distinta y que

también garantiza una densidad auténtica empleando una

penalización basada en el funcional g=logf, y demostró que su

método llevaba a un amplio rango de posibles estimas de densidad

probando la existencia, consistencia y normalidad asintótica de

los estimadores resultantes.

La implementación del método MVP depende de la calidad de

las soluciones numéricas para los problemas de optimización

restringida. Como g=f1/2 es de cuadrado integrable, Good y Gaskins

(1980) sugirieron el empleo de mezclas de desarrollos

ortonormales para g, terminando el desarrollo en algún número

finito de términos. Scott, Tapia, y Thompson (1980) estudiaron

una aproximación discreta a las soluciones quebradas de los

problemas MVP y probaron que el estimador discreto resultante

existe, es único, converge al estimador MVP quebrado y es un

estimador puntual fuertemente consistente de f.

1.8 - ESTIMACIÓN DE DENSIDAD POR BÚSQUEDA DE PROYECCIÓN.

Los estimadores de densidad núcleo multivariables tienden

a funcionar mal cuando se manejan datos de dimensión alta ya que

son necesarios tamaños muéstrales extremadamente grandes para

igualar el tipo de fiabilidad numérica que es posible conseguir

en dimensiones bajas. Para soslayar este inconveniente Friedman

y Stuetzle (1982) y Friedman, Stuetzle y Schoeder (1984)

desarrollaron la estimación de densidad por búsqueda de

proyección (EDBP) . El método EDBP ha mostrado en simulación

excelentes propiedades, publicándose varias aplicaciones a datos

39

reales.

8.1. El paradigma EDBP.

Cuando se trabaja con pequeñas muestras de alta dimensión

el procedimiento EDBP puede iniciarse restringiendo la atención

al subespacio comprendido por las primeras componentes

principales significativas (ver Friedman, 1987 y Jee, 1987). Un

EDBP de f se forma entonces empleando el siguiente procedimiento

iterativo. Primero. se transforman los datos para centrar el

origen y que la matriz de las covarianzas sea la identidad.

Segundo, se elige f<0) para que sea una estima de densidad

multivariable inicial de f, usualmente se toma la multivariable

Gaussiana. Tercero, se encuentra la dirección a.,eRd para la cual

el módulo de la densidad marginal fa1 a lo largo de a, difiera más

de la marginal fa1 estimada a lo largo de a.,. La elección de la

dirección no será única en general. Cuarto, dado a1 se define una

función incremento univariable g1 (a^x) como el cociente de las

dos funciones de densidad marginales de la forma,

g1(a1Tx)= fa1 (a/xj/f a1 (at

Tx) , y se actualiza la estima inicial

f(1)(x)= f <0>(x)g1 (a/x) . Se repite este procedimiento sobre la

estima de la densidad modificada, f(1)(x) así como con una

segunda dirección a2eRd, la función incremento g2(a2

Tx) =

fa2(a2Tx)/fa2(a2

Tx) y se modifica de nuevo la densidad, siendo

f (2)(x) = f (1>(x)g2(a2Tx) . El procedimiento se repite tantas veces

como sea necesario y en la k-ésima iteración tendremos

40

£(k) (x) = $(Jc'1) (x) gka£x) = £0) (x) ft gj (a/x) , (8.1)

que será la última estima de densidad multivariable, donde

gj(ajTx)= faj(aj

Tx)/faj(ajTx), j= 1, 2, ..., k.

En (8.1) los vectores a- son direcciones de longitud

unidad en Rd y las funciones incremento (o cresta) g. son

empleadas para construir la estructura de f<0) de manera que f<k)

converja a f en algún sentido adecuado cuando k-«». El número de

iteraciones k opera como un parámetro de alisado y se determina

una regla de parada equilibrando el sesgo frente a la varianza

de la estima. Friedman et al. (1984) sugirieron la inspección

gráfica de las funciones incremento como un criterio para

terminar el procedimiento iterativo.

El cálculo de las funciones incremento ha sido discutido por

diversos autores. Dado a- se estima f • proyectando primero los

datos muéstrales a lo largo de la dirección a- obteniendo asi

zâ^Xj (i= 1, 2, ..., n) y luego calculando una estima núcleo de

densidad a partir de z¡. Se emplea el muestreo de Monte Cario

para calcular faj., seguido por una estima de densidad núcleo.

Alternativas al alisado con núcleo serían las funciones quebradas

cúbicas (Friedman et al., 1984) y los histogramas promedio

variables (Jee, 1987).

8.2. índices de proyección.

El EDBP funciona mediante un Índice de proyección,

usualmente de la forma

I(f)= fj(f(z))f(z)dz= Ef [J(f)]t (8.2)

41

donde J es un funcional de alisado de valores reales y z es una

versión unidimensional proyectiva de x. I(f) será absolutamente

continuo con primeras derivadas fáciles de calcular. Proyecciones

de interés corresponden a valores grandes de I(f) mientras que

a los valores pequeños le corresponderían proyecciones aleatorias

o sin estructura.

Las estimas de I(f) conllevan cálculos rápidos que no son

afectados por la estructura de covarianza de los datos, datos

anómalos o grandes colas (ver Huber, 1985). Friedman (1987)

apuntó la necesidad de encontrar los máximos "substantivos" de

I(f) con una mejora numérica muy fiable y minuciosa, ya que

fluctuaciones muéstrales conducen a encontrar óptimos inadecuados

entre una multitud de máximos locales. Si z,- son los datos

proyectados, entonces (8.2) se estima por

Í(f)=/J(f (z))dFn(z) = (l/n)SJ(f (z,.)). Así si J(f (z) ) =f (z) ,

entonces I (f )=/[f (z) ]2dz puede estimarse por í (f ) = (l/n)Sf h(z¡) ,

donde fh es una estima núcleo con ancho de ventana h; ver

Friedman y Tukey (1974) y Tukey y Tukey (1981). Otra elección

propuesta por Friedman et al. (1984) es tomar J(f(z))=logf(z),

así que I(f)=/f(z)logf(z)dz y (8.2) puede estimarse en la

iteración k-ésima por (l/n)Sf(k) (z,-) . Joe (1987) discutió la

estimación núcleo de funcionales tales como (8.2) y demostró que,

para tamaños moderados de muestra, las propiedades estadísticas

de í mejoraban con correcciones de sesgo o por empleo de un

núcleo reescalado.

Otros índices de proyección que también se han empleado

incluyen un índice momento basado en la suma de cuadrados del

tercero y cuarto orden muestral de los datos proyectados (Jones

42

y Sibson, 1987) y el criterio ECI (Friedman, 1987 y Hall, 1989a).

Procedimientos posteriores diferían sobre la conveniencia de

transformar primero los datos proyectados o no. Friedman empleó

el ECI entre la densidad de los datos transformados proyectados

y la densidad uniforme mientras que Hall empleó el ECI entre la

densidad de los datos proyectados sin transformar y la normal

estándar. Ambos usaron estimadores de densidad de series

ortogonales para estudiar sus índices de proyección.

Cada uno de los índices expuestos se definió para

aplicaciones específicas. Así, Friedman y Tukey buscaron un

índice para evidenciar agrupaciones y también desviaciones de una

densidad parabólica; el índice de entropía buscaba desviaciones

de la normalidad de los datos proyectados ya que la distribución

normal maximiza la entropía; el índice momento y el criterio ECI

también buscan desviaciones de la normalidad.

43

CAPITULO 2:ESTIMACIÓN DE LA DENSIDAD BASADA EN

FUNCIONES NÚCLEO


2.1 - TIPOS DE FUNCIONES NÚCLEO.

2.3 - MÉTODOS DE DETERMINACIÓN DEL ANCHO DE VENTANA.

3.1. Método de Scott, Tapia y Thompson, 1977.

3.2. Método de validación cruzada.

2.4 - ELECCIÓN DE LA FUNCIÓN NÚCLEO Y DEL ANCHO DE

BANDA MAS APROPIADOS EN FUNCIÓN DE LAS

CARACTERÍSTICAS MUÉSTRALES PARA MUESTRAS

PEQUEÑAS.

4.1. Funciones núcleo y anchos de banda

empleados.

4.2. Selección del conjunto de problemas para

comparación

4.3. Comparación de los núcleos y anchos de

ventana

4.4 Resultados

2.5.- ELECCIÓN DE LA FUNCIÓN NÚCLEO Y DEL ANCHO DE

BANDA MAS APROPIADOS EN FUNCIÓN DE LAS

CARACTERÍSTICAS MUÉSTRALES PARA MUESTRAS

GRANDES.

5.1. Selección del conjunto de problemas para

comparar.

5.2. Comparación de núcleos y anchos de banda

5.3. Resultados.

CAPITULO 2

ESTIMACIÓN DE LA DENSIDAD BASADA EN FUNCIONES NÚCLEO


De los estimadores mencionados los mejor estudiados

matemáticamente (y para los que existe un mayor número de

aplicaciones a datos reales), son los basados en la definición

de una función núcleo. Para su empleo es necesario elegir tanto

el "núcleo" como un valor del parámetro de alisado, ambos

determinarán la expresión final de la función de densidad

estimada.

El núcleo es una función K(x), a partir de la cual se puede

establecer el siguiente estimador no paramétrico de cualquier

función de densidad f(x) (Rosenblatt, 1956):

donde hn es el parámetro de alisado y X1# ..., Xn los datos

observados.

Las propiedades que debe cumplir una función núcleo se

recogen en el capitulo 1 (1.3).

46

El parámetro de alisado hn, también llamado "ancho de

ventana" o "ancho de banda", es un número positivo que tiende a

cero con la condición de que si n->- a>, entonces hnxn-> a>.

La determinación del ancho de ventana se realiza de forma

que se minimice algún tipo de error. Hall y Marrón (1988)

proponen minimizar la integral del error cuadrático sobre el

rango de variación de la variable aleatoria:

EMC=f[£(x)-f(x)]2dx, (0.2)

y Devroye y Gyorfi (1985) minimizar la integral de las

diferencias en valor absoluto entre el estimador y la función:

ABSEMC=f \£(x)-f(x)\dx. (0.3)

Sin embargo, el proceso de minimización de estas medidas es

substancialmente más complejo (ver por ejemplo Izenman, 1991) que

la optimización de la medida propuesta por Rosenblatt (1971), la

cual se define como el error cuadrático medio integrado (o el

riesgo medio de la función de pérdida cuadrática entre la función

y su estimador); y toma la siguiente expresión:

u(hn)= ¡E[fn(x, hn)-f(x)]2dx. (0.4)

2.1. - TIPOS DE FUNCIONES NÚCLEO.

Cualquiera de los estimadores no paramétricos a que nos

hemos referido en el capitulo 1 puede emplearse en la estimación

de funciones de densidad unidimensionales. El uso más frecuente

47

de los estimadores núcleo es debido a la aplicabilidad del método

y al conocimiento de muchas de sus propiedades. Estas dependen

fundamentalmente de la función núcleo empleada siendo, por tanto,

de gran interés una elección apropiada de esta función.

A continuación se recogen las funciones núcleo más

frecuentes pudiendo agruparse de la siguiente forma:

A) Núcleos polinomiales o de Lecrendre.

En general responden a la forma K(x)= P(x), |x| < I, donde

P es un polinomio y K(x)= 0 para |x| > I. Dentro de este grupo,

por su frecuente aparición podemos destacar:

(1) Núcleos uniformes:

K(x)= 1, si |x|< 1/2. (Deheuvels, 1977).

K(x)= 1/2, si |x|< 1. (Rosenblatt, 1956).

(2) Núcleos de Epanechnikov (1969):

K(x) = 1- x2, si \x\< 1

K(x)= -A_ 1-^|, si \x\< 5 4v/5 V =»

(3) Núcleos de Legendre (Deheuvels, 1977)

De orden 1,

K(x) = — ( 3 - 5x2) , si \x\< 1 o

De orden 2 ,

K(x) = -^- (15- 10x2+ 63x4) , si \x\< 1. 1 < G O

48

(4) Núcleo polinomial de orden 4:

K(x) = H ( l - - x 4 ) , si |x|< 1 16 3 ' '

B) Núcleos de Gram-Charlier (Deheuvels. 1977):

Su expresión general es K(x)= P(x)exp -x2/2, siendo P un

polinomio. Los ejemplos más importantes son:

(1) Núcleo normal o Gaussiano:

K(x) = —ê 2

^J2^z

(2) Núcleos de Gram-Charlier:

De orden 1,

K(x) =2(i-*?-)-J-e~~* 2 3 J2Ü

De orden 2,

8 3 15 ^

x2

C) Núcleos de Lacruerre (Deheuvels, 1977) :

Responden a la fórmula general K(x)= P(|x|)e"lxl, siendo P un

polinomio. Los más conocidos son:

(1) Núcleo de Picard:

K(x)= -e"W

49

(2) N ú c l e o de L a g u e r r e de o r d e n 1:

K(x) = \YY~ 3|X|+ 3|e-M

D) Otros núcleos;

(1) Núcleo de Cauchy de orden r (Deheuvels, 1977)

?2r-2 f ( r\2

K(x) = ¿ M r ;

w(2r-l) (l + x2)r

(2) Núcleos de Kazakos (1980):

De fórmula general,

K(x)- ( a + 1 ) ( 1 - W a > , si \x\<l

para a= 1 se obtiene el núcleo triangular, K(x)= 1- ¡x| y si a=

2 tendremos K(x)= 3/4 (1- x2) .

(3) Deheuvels, 1977:

K(x) = e

2T(l/a) '

(4) Núcleo de Fejer-de la Vallée Poussin (Scott, Tapia

y Thompson, 1977):

K(x) =M^\2

(5) Núcleo de Jackson-de la Vallé Poussin (Deheuvels,

1977):

50

1977) :

(6) Núcleo de Fourier (Davis, 1975):

K(x) =^[^\

(7) Núc l eo d e l c o s e n o ( E p a n e c h n i k o v , 1 9 6 9 ) .

K(x) = cosx, si \x\< -n.

(8) N ú c l e o p r o p u e s t o p o r Blackman y Tukey , 1959

K(x) = 0 .54+ 0.46COS7IX, si \x\< 1 .

(9) N ú c l e o p r o p u e s t o p o r N a d a r a y a , 1989 .

K(x)= - L - - ^ . si \x\< y/6. V6 6

(10) N a d a r a y a , 1989 :

K(x) =<

| - 8 x 2 + 8 | x | 3 , | x | < - |

|(1-|*|)3, ±£\X\£1

0, |x|>l

(11) El núcleo biponderado (Scott, Tapia y Thompson,

K(x)= 41 i1" * 2 ) 2 ' si W< 1. 16

Para este trabajo, la selección de núcleos se realizó a

partir de los estudios de Deheuvels (1977) y Davis (1975), y de

la frecuencia de aparición de estas funciones en artículos

científicos de estimación de la densidad, se eliminaron aquellas

que no ofrecían resultados prácticos según estudios precedentes,

y se utilizaron las más comunes y aquellas para las que no se

encontraron referencias de aplicaciones prácticas. Las elegidas

fueron trece de estas funciones: las funciones polinómicas

51

exceptuando el polinomio de Legendre de orden 2, los núcleos de

Gram-Charlier, el núcleo de Picard, el triangular, el núcleo

biponderado, el de Blackman-Tukey y los encontrados en el libro

de Nadaraya (1989).

Una posterior selección condujo a la eliminación de aquellos

núcleos cuya derivada s-ésima fuera nula (siendo s el orden de

la función núcleo) y los que generaban funciones estimadas con

valores negativos relativamente abundantes, como es el caso del

núcleo

K(x)= — ( 1 - - x 4 ) , si \x\< 1. 16 3 ' '

El resultado de estas selecciones iniciales es el análisis

de 8 de las funciones núcleo anteriormente citadas y que se

ennumeran a continuación, recogiéndose también en la tabla I los

valores de s y [[xpKr]]= ¡: xpKr(x)dx.

Tabla 2.1. Funciones núcleo.

Función n ú c l e o

iq=-

- | - 8 x 2+ 8 | x | 3 , | x | < - |

| ( l - | x | ) 3 , \i\x\il

0, | x |> l

2 2

s

2

2

[ [K 2 ] ]

0 . 9 6

1 / 4

[ [xsK] ]

2 1 7 / 3 6 5

2

52

Función núcleo [ [K2 ] ] [ [ X S K ] ]

3 3x2

b, \x\>V5

5^5

r _/0 /54+0 /-46cos i t x , * 1 > 1 3 / 4

K5 = - 2

/ 2Ü 2y/%

3 ,„ x 2 , 1 fi = 4(l-^)

2 6 2 721F

27

327Í" - 3

15 ^--^(l-j*^**) 12%

2 6 2 5

2048x/Jí"

1 5

^ J i f d - X 2 ) 2 , |x|*l 41o, |x|>l

1 6 / 2 1 1 / 7

Tabla 2.1. (continuación)

53

2.3 - MÉTODOS DE DETERMINACIÓN DEL ANCHO DE VENTANA.

Una elección correcta del ancho de ventana es fundamental

para btener una buena estimación de la función de densidad. De

la mayoría de los estudios realizados con las funciones núcleo

(Epanechnikov, 1969; Scott, Tapia y Thompson, 1977; Deheuvels,

1977) y de las conclusiones que aporta este trabajo se puede

concluir una escasa insensibilidad del E.C.M.I. a la estimación

con distintas de estas funciones. Sin embargo, la importancia del

parámetro de alisado se ha resaltado en diferentes trabajos (ver

por ejemplo Scott et al., 1977 y Silverman, 1986). Valores altos

del ancho de ventana sobrealisan las funciones y valores pequeños

proporcionan un ajuste extremado a los valores muéstrales.

El cálculo del parámetro de alisado más adecuado ha sido

abordado por diferentes autores de formas diversas. Se puede

considerar un valor óptimo del parámetro de alisado a aquel que

minimice algún tipo de error, o bien, al que haga máxima una

cierta función de pseudoverosimilitud. Se recogen a continuación

algunos de los métodos más empleados para la estimación de este

valor.

3.1. Método de Scott, Tapia y Thompson, 1977.

El procedimiento más utilizado consiste en estimar el valor

del parámetro hn de forma que se minimice el ECMI dado por la

ecuación (0.4). Para los estimadores núcleo esta función puede

expresarse como:

54

u(h^ -srj*(x)* *hl cu» / |f(s) (x) | d x + O 1 xfc2S

nA , ( 3 . 1 )

(Nadaraya 1989). Minimizando esta expresión se encuentra el

óptimo asintótico del parámetro de alisado que depende de la

densidad desconocida f, de la función núcleo elegida y de la

muestra. El valor óptimo viene dado por la fórmula:

siendo:

hn=A(K)B(f)n (2S+1) , (3.2)

A (J0 = ¡K2 (x) dx

2s ' fxsK(x) dx'

si

(2S+1)

(3.3)

B(f)=\J\fs) (x) \2dxJ (2S+1) (3.4)

Este valor no puede obtenerse en el caso real de estimar una

densidad desconocida por el método núcleo, ya que depende de la

derivada de orden s de dicha función. Se hace preciso, por tanto,

estimar el óptimo.

Para ello se han propuesto diferentes algoritmos, utilizando

el estimador núcleo de la función de densidad y el procedimiento

automático de validación cruzada (VC).

Scott et al. (1977) han propuesto un algoritmo que consiste

en emplear el estimador f<s)n (derivada s-ésima de la función

estimada) que, según Nadaraya (1989), es asintóticamente

insesgado de f<s) y, a continuación se aplica el algoritmo

iterativo siguiente: Primero se toma una estima inicial de hn,

por ejemplo el rango muestral, y la denominamos h°n. Segundo, con

55

este valor se estima la derivada de la función de densidad, f(s)0 .

Tercero, se calcula el valor h1n con la ecuación (3.4) empleando

la estimación anterior. Cuarto, se repiten los pasos anteriores

de tal forma que para la iteración i-ésima tendremos:

i

hÍ+1=A(K)B(f¿)n <2S+1) , (3.5)

que proporciona una secuencia de valores de hn que convergen al

valor óptimo. Se requieren por regla general de tres a quince

iteraciones para obtener hn1+1- hn' < 10'

3.

3.2. Método de validación cruzada.

Este procedimiento (VC), parte del estimador núcleo de la

función de densidad en los valores muéstrales según la

ecuación,

para optimizar, a continuación, una de las siguientes funciones:

MC(h) = f[£n(h,x)]2dx- I j f ^ ^ ) , (3.7)

L^=IIîUi)- (3-8) i

denominándose, respectivamente, el método de estimación de hn

como validación cruzada mínimo cuadrática (VCC) o validación

cruzada máximo verosimil (VCV).

56

A) Validación cruzada mínimo cuadrática.

La idea de Rudemo (1982) y Bowman (1984) es la de minimizar

la expresión (3.7), que es el resultado de eliminar términos no

dependientes de hn en la expresión general del ECI.

U(hn)= f[fB(x. hn)-f(x)]2dx=

= ff2n (x, hn) -2J(fnf) (x) dx+ff2 (x)dx. (3.9)

El último término de esta expresión no depende del parámetro de

alisado y puede observarse que el segundo término también se

puede expresar de la siguiente forma:

f(fnf) (x)dx= Ex[fn(X,hn)] , (3.10)

para estimar esta media se define un nuevo estimador

Ex[ínX,hn)= 1 ¿4n,i<*i)' (3.11) " i=i

obteniendo de esta forma la expresión a minimizar.

El estimador de hn por VCC es asintóticamente insesgado (ver

Stone, 1982 y Scott y Terrel, 1987)

B) Validación cruzada máximo verosímil.

El criterio de la elección de hn por máxima verosimilitud

consiste en maximizar la función L(h)= ük f (xk) , obteniéndose

para el estimador núcleo la solución h=0, correspondiente a la

estimación con una función de Dirac para cada punto muestral.

En este caso Duin (1976) y Hermans y Habbbema (1976)

modifican este criterio adoptando el de maximizar la función

57

(3.8) que llamaremos de pseudoverosimilitud.

Los procedimientos bayesianos para optimizar una función

f(x,w), continua en x y medible en w, donde:

x e A c Rm (R conjunto de números reales), y

w c Q (espacio muestral).

a partir de una serie de muestras (xf ,yf), y,-=f (x5) , suponen

definir una regla de decisión (d) que, a partir de un vector de

observaciones zn=(xi,yi i=l, . . . ,n) , permita determinar un xn+1 más

próximo al óptimo. Esta regla de decisión se calcula para

minimizar el riesgo de la decisión R0(d):

R0(d)=ff(xn+1(d) ,w)P(dw)-íopt f(x,w)P(dw) . (3.12)

El segundo término de la expresión anterior es constante, por

tanto la minimiza ion del riesgo supone minimizar el primer

término, que llamaremos k(x); con lo cual:

xn+1e arg opt k(x) . (3.13) XGA

La aplicación del modelo adaptativo es posible al sustituir

la condición de consistencia de Kolmogorov por las de continuidad

de las funciones muéstrales, homogeneidad de P e independencia

de las diferencias parciales (ver Mockus, 1988 o Benveniste et

al, 1990). Bajo estas hipótesis se induce una distribución P

gaussiana con media jx constante y matriz de covarianzas

dependiente sólo de la distancia entre valores muéstrales; en

estas condiciones:

58

k(x)=a2/(\x-c) . (3.14)

La definición de un modelo adaptativo supone referir la

función a optimizar a funciones con soporte en intervalos

convexos de los valores muéstrales:

fx)=fi(x)¡ xeAi; ÚAd=A; A¿rU,=0; i*j¡ i=l,...,n (3.15) i=l J

si f. (x) es una función estocástica gaussiana, /nx' será el valor

observado yi en Air y la varianza una función de la distancia

entre cualquier x y la realización muestral xi; por tanto:

ki(x)=ai/(\ii-c) , (3.16)

donde oi=a2Q g(\\x-x1||) y \ii=yi

De los resultados anteriores se puede deducir:

xn+1e arg min opt a*/ (n¿-c) (3 .17)

con la única restricción de continuidad de las funciones ki (x):

A¿=lx": k¿ (x) úkj (x) , j=l,...,rít. (3.18)

Desde un punto de vista operativo, dado un conjunto de n

realizaciones muéstrales (x^yj), y en el caso de que x

pertenezca a R1, para el cálculo de xn+1 basta determinar los xk

tales que:

giU^W) =9(\\xrxk\) yrc yj-c J

El valor xk con menor yk, determinará el siguiente punto de

muestreo xn+1. La convergencia de este algoritmo está asegurada

59

(Ljung, 1978).

La determinación del ancho de banda por maximización de la

función de pseudo-verosimilidad es inmediata aplicando este

algoritmo. Es suficiente determinar dos realizaciones muéstrales

de partida h1 y h2, que correspondan a los valores mínimo y

máximo posibles del ancho de banda. Estos valores se corresponden

con x1 y x2, de forma que y^Líh.,) e y2=L(h2) . A continuación se

puede calcular h3 mediante la aplicación de la expresión (3.19)

y continuar hasta que el algoritmo converja.

2.4.- ELECCIÓN DE LA FUNCIÓN NÚCLEO Y DEL ANCHO DE BANDA MAS

APROPIADOS EN FUNCIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS MUÉSTRALES PARA

MUESTRAS PEQUEÑAS.

Para elegir correctamente una de las funciones núcleo

propuestas y un ancho de banda, se realiza una comparación por

simulación en ordenador, del ajuste de distintas funciones

núcleo, con diferentes anchos de ventana, a muestras pequeñas

(n=25) caracterizadas por distintos parámetros muéstrales.

La comparación de la eficiencia de algoritmos por simulación

en ordenador presenta algunas dificultades:

-En primer lugar, deberán elegirse los algoritmos a

comparar; en nuestro caso ocho funciones núcleo y dos valores del

ancho de banda que pueden obtenerse sin conocer la distribución

de los datos (uno derivado de la minimización del error

cuadrático medio integrado y otro obtenido por validación

cruzada).

-En segundo lugar deberá seleccionarse un conjunto

60

representativo de problemas para la comparación de los

algoritmos, para lo cual se simularon 200 realizaciones

muéstrales procedentes de cinco distribuciones continuas, que se

agruparon en 10 clases en función de sus características

muéstrales.

-Por último, ha de definirse la "bondad o calidad" de los

algoritmos a comparar para elegir el mejor, en nuestro caso la

función núcleo y el ancho de ventana que mejor se adapten a cada

grupo muestral.

Para conseguir este objetivo, en cada una de las

realizaciones muéstrales se calculó una estimación de la función

de densidad con ocho funciones núcleo diferentes, y con anchos

de banda comprendidos entre 0*2 y 4»8. Posteriormente se calculó

el ancho de ventana con menores desviaciones medias en cada

grupo. Este ancho de ventana se comparó con los dos anchos de

ventana calculados para cada realización muestral. El análisis

del sesgo y la eficiencia de los valores del estadístico: "ancho

de ventana correspondiente al mínimo error medio por grupo de

muestras menos ancho de ventana óptimo correspondiente a cada

muestra" y de la bondad del ajuste de las funciones estimadas a

las distribuciones de partida, permite determinar la mejor

función núcleo a partir de las características muéstrales.

4.1. Funciones núcleo y anchos de banda empleados.

Existen numerosas funciones que cumplen las propiedades

necesarias para ser funciones núcleo. Para el presente estudio

se han escogido las ocho funciones K(x) de la tabla I.

61

Respecto a los parámetros de alisado se han considerado dos

valores para la simulación: el que se denomina en el presente

trabajo Óptimo.-1, que es un estimador del ancho de ventana que

proporciona un menor error medio integrado; y un segundo valor,

que denominamos Óptimo.-2, y que se obtiene por el método de

validación cruzada máximo verosimil.

4.2. Selección del conjunto de problemas para comparación

Una simulación extensiva por el método de Monte Cario

requiere encontrar algoritmos más rápidos que los actuales para

el cálculo de la estimación. Con objeto de comparar los distintos

núcleos se obtuvieron 200 realizaciones muéstrales sobre el

espacio de funciones continuas, con las siguientes

características:

l2) Se definieron cinco tipos de funciones de densidad que

se consideraron representativas del conjunto de funciones

continuas con soporte aproximado [0,1] (ver figura 2.1):

a) Distribución uniforme.

b) Distribución N(O15,0'2).

c) Distribución N(0'5,0'4).

d) Una distribución asimétrica a la izquierda, 6(3,6).

e) Una distribución bimodal, cuya función de densidad es 0'5

por la densidad de una N(0'25,0*125) mas la de otra

N(0,75,0'125).

62

€9

•uoTonqx.iq.sTp ap souoTouná *rz BanoTá

r—1- *

J

"M

in r»

T - 1 I «T •

,-JOT

http://uoTonqx.iq.sTp

2a) Se obtuvieron 200 realizaciones muéstrales de tamaño 25

sobre las mencionadas distribuciones de la siguiente manera:

primero se generaron 200 muestras de tamaño 25 de una

distribución uniforme (0,1) con diferente RUN-TIME; a

continuación se generaron otros 200 números aleatorios truncados

a enteros de 1 a 5 que representan a las cinco distribuciones de

partida; finalmente los datos uniformes se transformaron en las

muestras correspondientes a las cinco distribuciones utilizando

el GPSS (Chisman, 1992).

Para efectuar la comparación se ha procedido a agrupar los

200 conjuntos de datos, utilizando un método divisivo y

politético (Hill, 1975), en función de sus características

muéstrales. Para ello se obtuvieron la varianza, el coeficiente

de asimetría de Fisher, el coeficiente de apuntamiento y el

número de modas de las 200 muestras. La finalidad de esta

agrupación es determinar el comportamiento de las distintas

funciones núcleo en grupos homogéneos por características

muéstrales, de forma que puedan establecerse pautas de ajuste a

partir, simplemente, de estas características.

Para efectuar la comparación se ha procedido a agrupar los

200 conjuntos de datos, utilizando un método divisivo y

politético (Hill, 1975), en función de sus características

muéstrales. Para ello se obtuvieron la varianza, el coeficiente

de asimetría de Fisher, el coeficiente de apuntamiento y el

número de modas de las 200 muestras. La finalidad de esta

agrupación es determinar el comportamiento de las distintas

funciones núcleo en grupos homogéneos por características

muéstrales, de forma que puedan establecerse pautas de ajuste a

64

partir, simplemente, de estas características.

Para aplicar el método de agrupación se requiere partir de

una matriz presencia-ausencia de distintos descriptores para cada

uno de los 200 datos analizados. Los descriptores seleccionados

fueron:

Descriptor 1: Varianza alta, cuando la varianza de la

muestra es mayor que la varianza media

muestral mas la mitad de la desviación

típica muestral, (V> V+.5S )

Descriptor 2: Varianza media, (V e[ v-.5S, V+.5S] )

Descriptor 3: Varianza baja (V< v-.SS )

Descriptor 4: Asimetría alta, (As> As+.5SAs )

Descriptor 5: Asimetría media (As e [As-. 5SAs, As+. 5SAs] )

Descriptor 6: Asimetría baja (As< As-.5SAs )

Descriptor 7: Apuntamiento alto, (Ap> Ap+.5SAp )

Descriptor 8: Apuntamiento medio (Ap 6 [Ap-. SSj^, Ap+. 5SAp] )

Descriptor 9: Apuntamiento bajo (Ap< Ap-.5SA )

65

Descriptor 10 : Una moda

Descriptor 11: Más de una moda

Los descriptores definidos, se han seleccionado de forma que

permitan establecer la pertenencia de cualquier realización

muestral a los parámetros definidos. Incluso desde un punto de

vista cualitativo, es fácil establecer si una realización

muestral tiene varianza alta, media o baja, y proceder de

idéntica forma con la simetría y el apuntamiento; la

determinación del número de modas también es posible a la vista

del histograma de frecuencias.

A partir de esta matriz se procede a la clasificación

dicotómica de los datos de partida mediante la definición de dos

gradientes. El primer gradiente, obtenido mediante análisis

factorial de correspondencias, es el factor que absorbe máxima

variación y define una ordenación de las muestras seleccionadas

en función de todos los parámetros descriptores. El segundo

gradiente se forma a partir de los descriptores más

significativos en la ordenación del primer gradiente, y permite

la clasificación dicotómica de las muestras. Al mismo tiempo,

este segundo gradiente facilita la definición de un umbral que

permite la clasificación automática de cualquier otra realización

muestral en alguno de los dos grupos definidos a partir de los

valores cuantitativos de la varianza, el coeficiente de

asimetría, el de apuntamiento y del número de modas. El proceso

se repite iterativamente, en cada uno de los dos grupos

establecidos, hasta definir el número de grupos deseados (en

nuestro caso 10).

El resultado de aplicar este método de clasificación se

66

presenta en la figura 2.2. En el apéndice se presenta, también,

la pertenencia de las muestras analizadas a cada uno de los

grupos obtenidos

4.3. Comparación de los núcleos y anchos de ventana

Para proceder a la comparación de algoritmos se requiere

disponer de algún índice del error que se produce en cada grupo

por el hecho de aplicar diferentes funciones núcleo con distintos

anchos de ventana. Más adelante, se formulan algunas medidas en

este sentido. Por otra parte, la aplicación de estos Índices no

siempre permite determinar unívocamente la mejor función núcleo;

por este motivo, también se presentan medidas generales de la

bondad del ajuste de las funciones núcleo.

La principal dificultad para la obtención de una medida del

error en cada grupo muestral procede de que los grupos están

formados por muestras procedentes de diferentes distribuciones

de probabilidad; por tanto debe prescindirse de la utilización

del error medio integrado. Por otra parte, no basta con

determinar la función núcleo que mejor se adapte a las muestras

del grupo, es necesario definir un ancho de ventana adecuado.

67

Ap <

As = 10 (10)

Ap = As = , Ap <

Multimodal

Ap = , >

As >, <

As <

As >

11 (9)

12 (8)

13 (7)

14 (6)

1 Moda

Ap >

As > , Ap >

Ap = , <

15 (5)

1 Ap

As =

=

1 8

Ap

Ap

<

=

16 (4)

17 (3)

18 (2)

As < 19 (1)

Ap : Apuntamiento As : Asimetría V : Varianza

< : pequeño o bajo = : medio > : alto

Figura 2.2. Clasificación en grupos.

Entre paréntesis aparece la denominación de grupos adoptada para las figuras 3 y 4

68

Estas consideraciones aconsejan acudir a alguna medida del error

propia de cada realización muestral y establecer un promedio de

esa medida para todo el grupo, que sea función del valor del

parámetro de alisado. En este sentido, para cada una de las

realizaciones muéstrales, y cada función núcleo, se obtuvo el

error cuadrático integrado, para valores de hn comprendidos entre

0'2 y 4'8:

ECI= f[£Bx. hn)-f(x)]2dx. (3.20)

La media del ECI para las muestras de cada grupo, y cada núcleo,

que denominaremos MECIGN, es una función del ancho de banda y

proporciona una estimación del error por grupo al aplicar las

distintas funciones núcleo:

MECIGNi:¡ = — £ ([£kjnx,hn) ~fk(x) ] 2dx, (3.21)

donde G es el grupo i

j representa al núcleo j

nf es el número de muestras en el grupo i.

fk(x) es la función de densidad a partir de la que se

generó la muestra k, y

k representa a las distintas realizaciones muéstrales.

En la figura 2.3, se muestran los valores del MECIGN para los

10 grupos y los núcleos 1, 4 y 8, así como los valores del ancho

de banda para las muestras del grupo obtenidas por los

procedimientos óptimo-1 y óptimo-2.

69

MucIeo= -5 Grupo= 1

Opt.-l Opt.-Z

Hucleo= 0 Grupo= 1

Hucleo= 1 Grupo= 1

Opt.-l Opt.-Z

I ••! •

Opt.-l Opt.-Z

Figura 2.3a. MECING Grupo 1.

70

Hucleo= 4 Grupo= 2

Opt.-l Opt.-Z

Hucleo= 6 Grupo= 2

AHCHO DE BñHDft

Mucleo= 1 Grupo= Z

Opt.-l Opt.-Z

Opt.-l Opt.-Z

Figura 2.3b. MECING Grupo 2,

71

f1uclea= \ Grupo= 3

M III

• lili

Opt.-l Opt.-Z

Huclea= 8 Grupo= 3

ñMCHO DE BANDA

je • ni 11

i I « I 1 1

Opt.-l Opt.-Z

Mucleo= 1 Grupo^ 3

E R R 0 R

«i

i

H I I I

• l i l i

7

Opt.-l Opt.-Z

Figura 2.3c. MECING Grupo 3,

- 72

Hucleo= 4 Grupo= 4

• •mi

Opt.-l 0pt.-2

Nucleo= B Grupo= 4

Nucleo= 1 Grupo= 4

Opt.-l Opt.-Z

•••ni

Opt.-l Opt.-Z

Figura 2.3d. MECING Grupo 4

73

Nucleo= 4 Grupo= 5

•••••• •

• U I I

Opt.-l Opt.-Z

HucIeo= B Grupo= 5

Nucleo= 1 Grupo= 5

• • i i

• i i i

Opt . - l 0 p t . - 2

• • • ••

• i Bill I O p t . - l Opt.-Z

Figura 2.3e. MECING Grupo 5.

74

Hucleo= 1 Grupo= 6

•!• i

•ii i

Opt.-l Opt.-Z

Nuclea= 8 Grupo= 6

Hucleo= 1 Grupo= 6

Opt.-l Opt.-Z

Opt.-l Opt.-Z

Figura 2.3f. MECING Grupo 6,

75

Nucleo= 4 Grupo= 7

Opt.-l Opt.-Z

Hucleo= B 6rupo= 7

Hucleo= 1 Grupo= 7

t H M II Opt.-l Opt.-Z

Opt.-l 0pt.-2

Figura 2.3g. MECING Grupo 7

76

Nucleo= 4 Grupo= O

ANCHO DE BANDA

II «IM

• II Mil

Opt . - l Opt.-Z

Nudeo= B Grupo= 0

ANCHO DE BANDA

Opt . - l Opt.-Z

NucIeo= 1 Grupo= O

ftHCHO DE BANDA

•IIIH

• II MU Opt.-l Opt.-Z

Figura 2.3g. MECIN6 Grupo 8,

77

NucIeo= -4 Grupo= 9

• i i i i

•i I I I

Opt.- l 0pt . -2

MucIeo= B Grupo= 9

Opt.-l 0pt.-2

Hucleo= 1 Grupo= 9

6 fiMCHO DE BANDA

• • • I I I

i •• 111

Opt.- l 0p t . -2

Figura 2.3h. MECING Grupo 9

78

HucIeo= 4 Grupo= 10

»ii 11

Opt.-l Qpt.-Z

Hucleo= 8 Grupo= 10

Mucleo- 1 Grupo= ÍO

Opt.-l Opt.-Z

• • • i • •

• IIIIII

Opt.-l Qpt.-Z

Figura 2.3i. MECING Grupo 10,

79

El MECIGN también permite determinar un mejor valor medio

del parámetro de alisado para cada grupo y cada función núcleo

(h*G_N) . La comparación de este valor con los anchos de ventana

óptimo-1 y óptimo-2, en las realizaciones muéstrales de cada

grupo, puede proporcionar otras medidas del error. En este

sentido se definió una nueva variable que, para cada muestra del

grupo, representa la diferencia entre el mejor ancho de ventana

del grupo y el ancho óptimo definido por los dos procedimientos

independientes de la distribución de partida:

dk1 = h Gi-Nj ~ hk,01 (kl=1f ••• / nGi)

dk2= h*Gi-Nj - hk,o2 (^2=1, ... , nGj)

donde nGi es el número de muestras en el grupo i

N- representa el núcleo j.

hk 01 es el valor del ancho de ventana para la muestra

k, obtenido por el procedimiento óptimo-1.

hk 02 es el valor del ancho de ventana para la muestra

k, obtenido por el procedimiento óptimo-2.

La media y la varianza de esta variable, en cada grupo,

representa el sesgo y la eficiencia, respecto del mejor hn del

grupo al calcular automáticamente el ancho de ventana. Las

figuras 2.4 y 2.5 muestran estos valores para cada uno de los

ocho núcleos estudiados.

80

ÓPTIMO 1 Linea super ior SL'SKO, i n f e r i o r UAIÜftflZA

4—4- -I—I 4—I I I 4 - 4 -

6 - 1 G - 2 G - 3

G - 4 G - 5

l i l i G - 6

4—(- 4—)—1—1 G - 7

4 — I I 1 -'I G - 8 G - 9

I I I—1—1 G - 18

Figura 2.4. sesgo y Eficiencia del óptimo.-1.

81

UÍ'TIMU 2 Linea super ior SEÜGU. i n f e r i o r UARIAHZA

G - 1 I I I G - Z

I I- I—I—I-G - 3

l i l i

G - 4 G - 5 G - 6

-I—)—I—f- - I — í — l — — I — h -G - 7 G - 8

H—I—I—f—4-G - 9

G - 10

Figura 2.5. Sesgo y Eficiencia Óptimo.-2

82

Con objeto de comprobar la existencia de algún núcleo que

proporcione sistemáticamente mejores ajustes en muestras de

tamaño pequeño se ha estimado el error cuadrático medio integrado

para cada núcleo:

U(hn)= ¡E[£nU, hn)-f(x)]2dx, (3.22)

a partir de las muestras procedentes de la misma distribución de

partida:

ÜdAhn)= fiil/n,) £ [£kjn(x, hn)-fF.(x)]2dxf (3.23)

donde f Fi (x) es la función de densidad de la distribución Fi,

Fj=l, ... , 5

j representa al núcleo j,

n,- es el número de muestras generadas de la distribución

k representa a las distintas realizaciones muéstrales.

En las figuras 2.6 se muestran los resultados obtenidos para las

cinco distribuciones y los ocho núcleos estudiados. En el eje de

abcisas se representan también los intervalos de confianza, al

95%, de los anchos de banda óptimos obtenidos por los dos

procedimientos de optimización. La tabla 2.1 muestra los valores

del error U(hn) obtenidos para un ancho de banda correspondiente

a la media de los óptimos en muestras procedentes de la misma

distribución de partida.

83

t1ucIeo= Fdd= 1

Hucleo= Fdd= 1

O p t . - l 0 p t . - 2

O p t . - l 0 p t . - 2

Hudeo = Fdd= 1

Hucleo= 4 Fdd = 1

AHCHO DE BAMDA

Opt.-l 0pt.-2

Opt.-l 0pt.-2

Figura 2.6a. ECMI de-Distrib. 1 y los 4 primeros núcleos.

84

Hucleo= Fdd = 1

Hucleo= Fdd= 1

AHCHO DEBAMDft

Opt.-l 0pt.-2

Opt.-l Opt.-E

Hucleo= 7 Fdd= 1

Huclco= Fdd= 1

ANCHO DE BftHDft

Dpt.-l Opt.-Z

Figura 2.6b. ECMI de Distrib. 1 y los 4 últimos núcleos.

85

t1ucleo= 1 Fdd= 2

Nucleo= 2 Fdd= 2

Opt . - l 0pt . -2

Opt . - l 0 p t . - 2

HucIeo= 3 Fdd= 2

Hucleo= 4 Fdd = 2

Opt.-l 0pt . -2

Figura 2.6c. ECMI de Distrib. 2 y los 4 primeros núcleos.

86

Hucleo= 5 Fdd= 2

Mucleo= G Fdd= 2

Opt . - l 0p t . -2

HucIco= 7 Fdd= 2

Hucleo= Fdd = 2

fiMCHO DE BfiMDfi

O p t . - l 0pt.-2

Figura 2.6d. ECMI de Distrib. 2 y los 4 últimos núcleos.

87

HucIco= 1 Fdd= 3

HucIeo= 2 Fdd= 3

AHCHO DE BAHDA

Opt.-l Dpt.-Z

ANCHO DE BAMDA

Opt.-l 0pt.-2

HucIeo= 3 Fdd= 3

Mucleo= 4 Fdd= 3

Opt.-l Opt.-Z

Figura 2.6e. ECMI de Distrib. 3 y los 4 primeros núcleos.

88

Mucleo= 5 Fdd= 3

Nucleo= Fdd= 3

ANCHO DE BñNDñ

Opt.-l Opt.-Z

ANCHO DE BñHDñ

Opt.-l Dpt.-2

Huclco= 7 Fdd= 3

e

•

i

ANCHO DE BñHDñ í

Opt.-l 0pt.-2

1

E R R 0 R

e 1

Hucleo* G Fdd= 3

e

r

•

1

ANCHO DE BñHDñ 5

Opt.-l Opt.-2

E R R O R

Figura 2 .6 f . ECMI de D i s t r i b . 3 y l o s 4 ú l t imos núc leos .

89

Hucleo= 1 Fdd= 4

e

\ —

AHCHO DE BfiMDA 5

Opt.-l Opt.-Z

1

E R R 0 R

e

Hucleo= 2 Fdd= 4

0

—

ftHCHO DE BfiHDfi 5

Opt.-l Opt.-Z

Hucleo= 3 Fdd= 4

e

1

í —

ñHCHO DE BftHDñ í

i

Opt.-l • 0pt.-2

| 1

E R R 0 R

e

HucIeo= 4 Fdd= 4

6

/ • y

AHCHO DE BftHDñ 5

1 1 Opt.-l Opt.-Z

Figura 2.6g. ECMI de Distrib. 4 y los 4 primeros núcleos.

90

Huclco= 5 Fdd= 4

HucIco= 6 Fdd= 4

ANCHO D€ BANDA

E J) R

a H

Opt.-l Opt.-E

Dpt.-l üpt.-2

Hucleo= Fdd = 4

Muciea- 8 rdd= 4

Opt.-l 0pt.-2

Opt.-l Opt.-Z

Figura 2.6h. ECMI de Distrib. 4 y los 4 últimos núcleos,

91

HucIeo= 1 fdd= 5

Hucleo= 2 Fdd = 5

Opt.-l 0pt.-2

Opt.-l Opt .-2

Hucleo= 3 Fdd= 5

Hucleo= 4 Fdd = 5

fiMCHD DE BftHDfi

Opt. Opt.

Opt.-l Opt.-Z

Figura 2.6i. BCMI de Distrib. 5 y los 4 primeros núcleos.

92

Tabla 2.2. ECHZ para los dos métodos.

Núcleo

K1

K2

K3

K4

Distribc.

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

ü(Opt.-l)

0,1125

0,1250

0,1250

0,3750

0,1875

0,2625

0,5500

0,0500

0,8250

0,3875

0,3750

0,8125

0,0375

>0,9375

0,5000

0,1375

0,2500

0,1375

0,6250

0,2500

ü(Opt.-2)

0,1875

0,1500

0,1250

0,4875

0,2000

0,2750

0,5438

0,0563

0,8563

0,4130

0,4125

0,8375

0,0375

>0,9375

0,5375

0,1500

0,3125

0,1375

0,7500

0,2625

94

Núcleo

*5

K6

K7

K8

Distribc.

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

ü(Opt.-l)

0,3125

0,6875

0,0500

>0,9375

0,4250

0,2250

0,5625

0,0875

>0,9375

0,3250

0,1750

0,5000

0,1250

0,8875

0,3000

0,1500

0,2375

0,3250

0,6125

0,2500

ü(Opt.-2)

0,3313

0,7125

0,0500

>0,9375

0,4500

0,2500

0,6500

0,0875

>0,9375

0,3625

0,2000

0,5625

0,1250

>0,9375

0,3250

0,1375

0,3000

0,3250

0,6875

0,2625

Tabla 2.2. ECNI (Continuación)

95

Estos valores se han empleado para seleccionar entre las

ocho funciones núcleo las que, independientemente de la función

de partida, originen estimaciones con menor error. Esta selección

no debe depender de las distribuciones originarias ya que, en la

realidad son desconocidas, disponiendo sólo de los valores

muéstrales para tomar decisiones respecto a los algoritmos

investigados.

4.4 Resultados

El estudio de los errores MECIGN frente a distintos anchos

de ventana permite la selección de tres de los núcleos

investigados: K,, K4 y K8, en los cuales se obtienen menores

errores que con los restantes para todos los grupos de muestras.

Ninguno de ellos, sin embargo, proporciona mejores estimas,

respecto al MECIGN, que los otros para todos los posibles valores

del parámetro de alisado. Los errores MECIGN correspondientes a

los núcleos K4 y K8 son prácticamente iguales, pero difieren del

núcleo K,, siendo los errores mayores para este núcleo que para

los otros dos cuando se emplea un ancho de banda menor al óptimo.

Es necesario, por tanto, utilizar la información que

proporcionan los gráficos 2.4 y 2.5, respecto al sesgo y la

varianza de los estimadores del parámetro de alisado óptimo.

Entre los tres núcleos, se seleccionará aquel que posea una

varianza y sesgo mínimos para el grupo. Con este criterio se

elige el núcleo K,, para los grupos 1, 5, 6, 8, y 9 y e l K 8 para

los grupos 7 y 10. En los grupos restantes tampoco se puede

determinar el mejor núcleo con este criterio.

96

En estos casos, para elegir la mejor función núcleo se

recurre a las medidas del error medio cuadrático integrado, según

las cuales, en cualquier caso, la elección de K, supone un mínimo

error (tabla 2.2).

Como conclusión, la decisión más adecuada, sería elegir:

Para el grupo 1, el núcleo K,.

Para el grupo 2, el núcleo K1.





Para el grupo 7, el núcleo Kg.




Los dos estimadores del ancho de banda óptimo son

estimadores sesgados para un tamaño de muestra pequeño,

obteniéndose valores superiores al ancho óptimo, lo que origina

estimas sobrealisadas de la densidad; en general el ancho de

banda obtenido por el procedimiento 1 presenta mejores

aproximaciones que el obtenido por el procedimiento 2. Sin

embargo, las diferencias entre los anchos de banda obtenidos por

ambos procedimientos no son significativas. Los intervalos de

confianza al 99% para la razón de varianzas y para la diferencia

de medias entre los dos estimadores, son (para las 200

realizaciones muéstrales y los 8 anchos de banda):

Para la razón de varianzas, (O151797, l107847).

Para la diferencia de medias con varianzas iguales,

97

(-0'139309, 0'006769).

Puede aceptarse, por tanto, la igualdad en ambos casos. En cambio

no puede decirse lo mismo del tiempo de CPU requerido para su

cálculo.

La obtención de un ancho de ventana minimizando el riesgo

de las pérdidas cuadráticas (Óptimo.-1) supone un procedimiento

iterativo, cuya convergencia, en los problemas analizados

conlleva un promedio de 14 iteraciones. En cada una de estas

iteraciones se consume n(n-l) veces más tiempo (n es el tamaño

muestral), que en la obtención de la función de densidad

estimada. La determinación del parámetro de alisado que maximiza

la función de pseudoverosimilitud (Óptimo.-2) representa un

consumo de CPU mucho menor (un promedio de 7 iteraciones con un

tiempo por iteración de orden n) . Por todo esto, creemos

recomendable el empleo del estimador por validación cruzada

máximo verosimil y corregirlo, si fuera necesario, a la vista de

la función de densidad estimada, al menos para tamaños muéstrales

pequeños.

2.5.- ELECCIÓN DE LA FUNCIÓN NÚCLEO Y DEL ANCHO DE BANDA MAS

APROPIADOS EN FUNCIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS MUÉSTRALES PARA

MUESTRAS GRANDES.

Los resultados obtenidos para muestras de pequeño tamaño

pueden ser diferentes de los que se obtendrían con mayores

tamaños muéstrales. Los problemas que se plantean en este estudio

son idénticos que en el caso anterior, en cuanto a la selección

de los algoritmos y también del conjunto representativo de

98

problemas. Los algoritmos objeto de la comparación son las ocho

funciones núcleo seleccionadas para este trabajo y los dos

estimadores del ancho de banda que se emplearon en el caso de

muestras de pequeño tamaño.

En el caso de trabajar con muestras de tamaño grande (100),

el número de realizaciones muéstrales requeridas para obtener una

adecuada representación de todas las muestras posibles es

excesivamente elevado. Por lo que el criterio de selección de

muestras difiere sustancialmente del escogido en el caso de

muestras pequeñas.

Se seleccionó, en primer lugar, un grupo de funciones

paramétricas continuas, las más utilizadas en aplicaciones

forestales, y para cada una, con valores diferentes de los

parámetros, se generó una realización muestral de tamaño 100.

Idénticamente al caso anterior, las realizaciones muéstrales se

agruparon en función de sus características. Con las muestras

obtenidas se ajustaron funciones de densidad correspondientes a

los ocho núcleos y los dos estimadores del parámetro de alisado

óptimo. La comprobación de la bondad del ajuste de las funciones

estimadas a las distribuciones de partida se realizó a partir del

test de Kolmogorov-Smirnov, estableciendo, para cada uno de los

cinco grupos definidos por características muéstrales, una

función núcleo y un estimador del ancho de banda óptimo.

99

5.1. Selección del conjunto de problemas para comparar.

La elección de las distintas funciones de distibución se

basa en un criterio fundamentalmente práctico. Se consideran

funciones paramétricas continuas muy empleadas en la gestión

forestal. Las funciones de distribución exponencial, normal beta,

gamma y Weibull tienen una amplia aplicación en diferentes

sectores de la industria y la explotación forestal. Por este

motivo se han tomado como base para la generación de muestras

aleatorias de tamaño 100 considerando distintos valores de sus

parámetros.

Se generaron 5 muestras a partir de la distribución

exponencial, una para cada valor del parámetro:

f(x) = Xe~Xx

A.=l0#4#l#0/5/0

/0l

A partir de la distribución normal se obtienen 6

realizaciones muéstrales, combinando los valores de los dos

parámetros:

H=-2,0>

cÔ'5,1,3

Variando los parámetros de la distribución beta se

obtuvieron 9 distribuciones distintas, generando con cada una de

ellas una realización muestral distinta:

100

t(X) B(«,P)

a=l,4,7

P =(3 , 6 , 8

Idénticamente se procedió con la distribución gamma:

f(x) =i|I P T(a)

a =l, 2, 5

P=fo'l,l,10

Finalmente se generaron 9 realizaciones muéstrales con

distintos parámetros de la distribución Weibull:

fx) = «ê-(f'

P«

a o'5,1'5,2)

p=o/ooi, 1,1000

Por este procedimiento se obtuvieron 38 realizaciones

muéstrales (recogidas en el apéndice) procedentes cada una de

ellas de distribuciones distintas y que se juzgaron

representativas de las funciones de densidad de probabilidad que

podrían encontrarse, al menos en la gestión forestal.

Estas realizaciones muéstrales se repartieron, según la

clasificación obtenida en función de las características

muéstrales reflejada en la figura 2.2, en cinco grupos.

A cada una de estas muestras de tamaño 100 se le ajustaron

101

funciones de densidad obtenidas con los ocho núcleos y con los

dos anchos de banda denominados óptimo.-1 y óptimo.-2.

A continuación, se procedió a comparar los resultados del

ajuste en cada uno de los casos.

5.2. Comparación de núcleos y anchos de banda

Para realizar una comparación entre núcleos y parámetros de

alisado, se procedió de forma distinta en el caso de muestras de

tamaño grande que en el de pequeño tamaño.

Teniendo en cuenta que cada realización muestral procede de

una distribución distinta, el ajuste de la función estimada a

partir de la muestra con el método núcleo deberá compararse con

la distribución origen de la muestra en cada caso.

Se ha tomado, en este caso, una medida del error basada en

el test de Kolmogorov. De la función de densidad estimada se han

escogido 30 puntos equiprobables, obteniéndose así una muestra

aleatoria simple de una variable aleatoria con distribución

continua desconocida. Con esta muestra calculamos el estadístico

»n= -oí<T«» \SnK)-Fjx)\ (5.1)

donde Sn(x) es la función de distribución empírica de la muestra

obtenida a partir de la función de densidad estimada y F(x) es

la función de distribución de partida.

Una vez obtenidos los valores de este estadístico se

comprobó que todos los ajustes podían aceptarse como buenos según

el test de Kolmogorov, para un nivel de significación de 0'05

(según las tablas de Massey para muestras finitas). En la figura

102

¡;j;,;t ¡a í«0,3) con kl y híASD

•Z'M%- '/y¿. '#%. >&'. ^ % # # % í ¿¿2 %& <%¿

valores estimados

Es tad ís t icos estimados de KOLMOGGECV

Kivel de s ign i f icac ión -

Dmax = 0.0302725 Drain = 0.0844333 DK = 0.0844333

-9 '

Ajuste a la N(0,3) con k2 y h(flSF)

Valores estimados

Es tad í s t i cos estimados de KOLMOGOKOV

Hivel de s ign i f i cac ión afro*. .= .1

Dmax = 0.0300485 M l n = 0.0755952 Dti'= 0.0755952

Figura 2.7a Ajuste con Kt y K2.

103

f r e c u e n c i

Ajuste a la ¡1(0,5) con tí y InASf)

m W4&, ^y-AA. 'AAA&yA

yyZyyyyyyyA,

I'AA ÍZ< Â :• / AVs'A'/

%A&Z%%

¿AAA

A?A¿ VAZAAÁAA-A

yyy, yA AAy, //•>. yyy, yAAWA/ yAA, yAAWA/ W'ZA" AA> '<AA\ ....•'AW-'Ay, 7sA'yA"yy>y$. yy%'AVfiAyA

Valores estimados

Es tadís t icos estimados de KOLMOGOEOV

nivel de s ignif icación aprox.

Dmax. = 0.030329? Dmin = 0.0649256 DN = 0.0649256

Ajuste a la «(0,3) con 1:4 y MA3F)

Valores estimados

Es tad í s t i cos estimados de KCLM0G0R0V

Nivel de s isni ficacióri .aprox.

Dmax = 0.0302592 Dmin = 0.083317 DN =.0.083317

Figura 2.7b Ajuste con K3 y K4.

104

Ajuste a la N<0,3) con 15 y h(HSF>

>AA> 'AXAAAA 7Z<

-yAA\'?>Á

. , . . . AAAs. As'A, •AX%ÁAA)&^0%>

V0&# '¿fflfrffisAAZ'

^WAAÁyÁZ-VA 'AAA

'AA/.

Valores estirados

Es tad í s t i cos estimados de KOLMQCOSOV

Nivel d e ' s i s n i f i c a c i ó n aprcx.

'ímax. = 0.0307359 Ditin = 0.0550609 I'íí = 0.0650609

f r e c u e

•n

& í

Ajuste a la fi<0,3) con k6 y h(ftSF)

lll^JI|?£|

' Y//A \ WA . ^YAÂ.

•i-'AA'i\

-9

Valores estimados

Es t ad í s t i cos estimados de KOLMOGOROV

Nivel de s i g n i f i c a c i ó n arrox. = 1

.Dmax = 0.0309274 Dmin = 0.0818834 CM = 0.0818834

Figura 2 .7c Ajuste con 1^ y K6.

105

Ajuste a la N(0,3) con Y.7 y h(ASF)

Valores estimados

Es tad ís t icos estimados de KOLM0S0ROV.

Nivel de-s igni f icac ión aprox. = i

Dmax = 0.05S53Í8 Bmin = 0.0845013 ¡>N = 0.0845013

Ajuste a la N(0,3> con k8 y h(ñSF)

Valores estimados

Es t ad í s t i cos estimados de KOLMO.GOECV

Nivel de s ign i f i cac ión aprox.

Dmax = 0.0300275 írain ¿ 0.0736467 Í)N ¿0.0736467

Figura 2.7d Ajuste con K7 y K8.

106

2.7 se recogen los resultados del test para la función de

densidad estimada con la realización muestral procedente de la

N(0,3), empleando el óptimo.-1 y las 8 funciones núcleo.

Seguidamente, se calculó, para cada uno de los dos anchos

de banda y para los ocho núcleos, la media y la desviación tipica

del estadístico D . así como el intervalo de confianza del 95%

para la media, en cada uno de los cinco grupos en que

clasificamos las realizaciones muéstrales, en función de sus

características.

Los resultados obtenidos para el óptimo.-1 y el óptimo.-2

se recogen en las tablas 2.3 y 2.4 respectivamente. De estos

datos se desprende que, como ocurría en el caso de pequeñas

muestras, la diferencia entre los dos anchos de banda es muy

pequeña en cuanto a resultados se refiere. Aún más pequeñas son

las diferencias entre los núcleos en la mayoría de los casos.

Esto puede ser posible gracias a la optimalidad asintótica de los

estimadores, tanto del ancho de banda, como de la función de

densidad empleados en este estudio.

El criterio de selección que emplearemos será, en

consecuencia, elegir aquellos algoritmos que consuman un menor

tiempo de CPU y que al mismo tiempo presenten mayor eficiencia

y menor sesgo en el ajuste.

107

NÚCLEO

GRUPO

61

62

63

64

65

K1

.0897018

.0297324

.0527711

.1266330

.0765486

.0262057

.0563994

.0966977

.0842520

.0303090

.0089603

.1595440

.0902045

.0122885

.0814115

.0989976

.1097070

.0295976

.0849559

.1344590

K2

.0813723

.0293618

.0449020

.1178430

.0693443

.0230778

.0516002

.0870884

.0761168

.0277161

.0072661

.1449670

.0779302

.0101712

.0706521

.0852082

.1004470

.0268212

.0780172

.1228760

K3

.0745776

.0245335

.0441045

.1050510

.0735507

.0685019

.0536081

.0833757

.0669197

.0262824

.0016306

.1322090

.0767269

.0146543

.0654595

.0879944

.0951104

.0269986

.0615753

.1286450

K4

.0849373

.0307975

.0466836

.1231910

.0735507

.0250883

.0542607

.0928407

.0812937

.0298185

.0072204

.1553670

.0815819

.0103451

.0741795

.0889843

.1038610

.0246166

.0832746

.1244470

Tabla 2.3. Valores ON con Opt.-l

108

NÚCLEO

GRUPO

Gl

G2

G3

G4

G5

K5

.0697642

.0256437

.0379121

.1016160

.0671230

.0173360

.0537936

.0804523

.0652296

.0263120

-.001331

.1305920

.0787802

.0143771

.0677259

.0898346

.0934612

.0269019

.0600463

.1268760

K6

.0859663

.0304584

.0481339

.1237990

.0718996

.0217876

.0551475

.0886517

.0830512

.0275055

.0147239

.1513790

.1533210

.0339762

.0214264

.2852160

.1130960

.0248597

.0869992

.1391930

K7

.0820062

.0309939

.0435055

.1205040

.0721299

.0185510

.0566164

.0876434

.0842807

.0272473

.0165947

.1519670

.1909550

.1726560

.0582032

.3237037

.1264110

.0383104

.0312428

.2215790

K8

.0792554

.0288246

.0437522

.1150590

.0682807

.0230347

.0505697

.0859917

.0726947

.0286071

.0016307

.1437590

.0744431

.0109610

.0660154

.0828709

.0971924

.0251270

.0761796

.1182050

Tabla 2.3. (Continuación)

109

NÚCLEO

GRUPO

Gl

G2

G3

G4

G5

K1

.0786701

.0457896

-.035077

.192418

.0872928

.0320528

.0474798

.1271060

.0754758

.0296135

.0019117

.1390400

.1371650

.1862360

.0039035

.2704270

.0985248

.0291327

.0623390

.1347110

K2

.0741329

.0396269

-.024305

.172572

.0810143

.0229360

.0445457

.1174830

.0674183

.0278461

.0017552

.1365920

.0790994

.0272279

.0581643

.1000340

.0899430

.0253602

.0584431

.1214430

K3

.0739934

.0375722

-.019341

.167328

.0798497

.0294182

.0433092

.1163900

.0645156

.0268843

-.002268

.131300

.0828600

.0348646

.0537040

.1120160

.0912097

.0280689

.0563452

.1260740

K4

.0756341

.0456625

-.037798

.189066

.0851468

.0331251

.0440019

.1262920

.0745999

.0282085

.0045260

.1446740

.0773338

.0115641

.0684424

.0862253

.0978426

.0296369

.0610304

.1346550

Tabla 2 . 4 . DN con O p t . - 2 .

110

NÚCLEO

GRUPO

61

62

63

64

65

*5

.0738353

.0393561

-.023931

.171601

.0804456

.0272957

.0435356

.1173560

.0667741

.0272957

-.001032

.134580

.0828422

.0330140

.0552338

.1104510

.0918716

.0284839

.0564917

.1272520

K6

.0728795

.0442930

-.037151

.182909

.0811141

.0324480

.0408104

.1214180

.0716033

.0264921

.0057933

.1374130

.0860172

.0224925

.0687230

.1033110

.0994583

.0291213

.0632867

.1356300

K7

.0746237

.0460645

-.039807

.189054

.0823909

.0315049

.0432586

.1215230

.0776865

.0258356

.0135072

.1418660

.1180200

.0471744

.0817488

.1542920

.1173780

.0345604

.0744506

.1603060

«8

.0878422

.0585410

-.043813

.613812

.2037970

.2564620

-.114756

.522350

.0745374

.0279729

.0050488

.1440260

.0770380

.0102136

.0691849

.0848911

.0971905

.0290323

.0611294

.1332520

Tabla 2 . 4 . (Continuación).

111

5.3. Resultados.

Los resultados para cada estimador del parámetro de alisado

son diferentes en cada grupo. Con el estimador que minimiza el

error cuadrático medio integrado, denominado óptimo.-1, la

función núcleo que proporciona un estadístico con menor valor e

intervalo de confianza para los grupos 1, 2, y 3 es K5 y para los

grupos 4 y 5, Kg. Con el estimador VCV, denominado óptimo.-2,

encontramos que K3 es la función con menor valor medio de Dn en

los tres primeros grupos, K8 en el grupo 4 y K2 en el 5.

Comparando estos resultados entre ambos valores del

parámetro de alisado observamos un menor error escogiendo el

óptimo.-1 en los 4 grupos primeros y el óptimo.-2 en el grupo 5.

Sin embargo, el tiempo de CPU consumido en el cálculo del

óptimo.-1 es considerablemente mayor que en el óptimo.-2. También

el soporte no acotado de K5 implica un mayor consumo de CPU que

el soporte acotado de K3.

Por ello se propone, para este caso, la elección del

óptimo.-2 en todos los grupos, y las funciones núcleo siguientes:

Grupo 1, núcleo K3.



Grupo 4, núcleo Kg.


112

CAPITULO 3:APLICACIONES A EJEMPLOS FORESTALES DE

LOS RESULTADOS ANTERIORES


3.1 - TENSIÓN DE ROTURA A CORTANTE EN LINEAS DE

ENCOLADO.

1.1. Estimación de la función de densidad.

1.2. Estimación de los cuantiles.

3.2 - PLUVIOMETRÍA Y CRECIMIENTO DE MASAS

FORESTALES.

2.1. Estimación de cuantiles en la

pluviometría.

2.2. Estimación de las funciones de densidad

del crecimiento.

CAPITULO 3

APLICACIONES A EJEMPLOS FORESTALES DE LOS RESULTADOS

ANTERIORES


El conocimiento de la forma de la función de densidad es,

sin duda, de enorme importancia en la mayoria de las variables

que pueden llegar a considerarse en la gestión forestal. Sin

embargo, es frecuente que las variables utilizadas en trabajos

forestales no se ajusten bien a ninguno de los modelos

probabilisticos conocidos. En muchos casos se suele atribuir a

la variable una forma de función de densidad arbitraria, o lo que

es más frecuente, se consideran dos o más formas posibles,

escogiendo valores significativos intermedios, o bien, utilizando

una u otra de las formas escogidas sin bases de elección

adecuadas. Este es el caso de variables muy dispares como la

tensión de rotura de la madera, o las precipitaciones anuales.

La tensión de rotura de la madera es una variable aleatoria

cuyo modelo de probabilidad, en general, se supone normal,

lognormal o de Weibull. La precipitación anual, considerado el

113

año hidrológico (de octubre a septiembre) y no el año natural,

es una variable aleatoria cuya función de densidad es frecuente

asimilar a una normal, lognormal, gamma o de Gumbel. En estas

circustancias, se impone la necesidad de buscar otras formas para

la función de densidad de dichas variables. La estimación no

paramétrica de funciones de densidad proporciona técnicas

adecuadas para estudiar otras formas no sujetas a más restricción

que la propia muestra obtenida en el estudio de la variable.

El método, desarrollado en los capítulos precedentes, es el

de estimación no paramétrica con funciones núcleo. Del estudio

de una realización muestral concreta se obtiene la información

necesaria para elegir tanto la función núcleo, como un valor

concreto del parámetro de alisado. Esta elección nos permite

llegar a una estimación concreta de la forma de la función de

densidad para cualquier variable. En este capítulo aplicaremos

los resultados obtenidos en los capítulos anteriores a diversas

variables empleadas en trabajos forestales.

La estimación de los cuantiles poblacionales es de gran

interés cuando no se dispone de información suficiente para

suponer una forma paramétrica en la distribución subyacente. Un

estimador tradicional del cuantil poblacional es el cuantil

muestral. El principal inconveniente de los cuantiles muéstrales

es que presentan una sustancial falta de eficiencia causada por

la variabilidad de los estadísticos de orden indivisibles. Una

forma evidente de mejorar la eficiencia de los cuantiles

muéstrales es reducir esta variabilidad, formando un promedio

ponderado de todos los estadísticos de orden usando una función

de ponderación adecuada. El problema en este caso es elegir la

114

función peso. Una clase de estimadores de este tipo son los

estimadores cuantil núcleo, en que la función peso es una función

núcleo. A partir de los años setenta aparecen muchos trabajos en

los que se proponen diferentes estimadores núcleo. Un reciente

trabajo de Sheater y Marrón (1990) establece la equivalencia

asintótica de la mayoría de estos estimadores. Otro camino

diferente es el seguido por Azzalini (1981), que parte de un

estimador de la función de distribución para obtener los

estimadores de los cuantiles con esta distribución. Emplearemos

este último estimador en las aplicaciones estudiadas en este

capítulo.

3.1 - TENSIÓN DE ROTURA A CORTANTE EN LINEAS DE ENCOLADO.

La importancia de la resistencia de la madera en las muchas

aplicaciones de ésta justifica los numerosos ensayos que se

realizan para determinarla. Una importante aplicación de los

métodos núcleo es la estimación de la forma de la función de

densidad que toma una variable relacionada con la resistencia,

como es la tensión de rotura a cortante de las líneas de encolado

de la madera. Otra aplicación de este método es la estimación de

cuantiles, que nos permiten definir límites de tolerancia

adecuados para la tensión de rotura.

Los datos para el estudio de la resistencia proceden de

ensayos a cortante en línea de cola realizados sobre vigas de

madera laminada pertenecientes a una estructura puesta en uso.

Estos ensayos se realizan para evaluar la calidad del encolado

en estructuras de madera laminada encolada, según la norma pr.

115

EN 38 :"Madera laminada encolada.- Ensayo de cortante en líneas

de cola". (Datos procedentes de ensayos de control de calidad de

fabricación de la madera laminada encolada, realizados en el

laboratorio de Tecnología de la Madera de la E.T.S.I. de Montes

de la U.P.M.) Dicha estructura consta de vigas principales y

secundarias. El objeto del estudio es comprobar la calidad del

encolado de dichas vigas, por lo que se ha procedido a obtener

probetas de muestra en los extremos de los elementos descritos,

que componen la estructura. Estos elementos constan de láminas

de madera de abeto (Picea abies) de 33 mm de espesor unidas por

un encolado realizado con resorcina.

La eficacia de las piezas de madera laminada depende de la

calidad del encolado y de su fiabilidad. Por este motivo, el

control de calidad de su fabricación se dirige a ensayos de

encolado. Si el encolado es correcto, en la madera de abeto el

fallo de la unión encolada trabajando a cortante se produce por

la madera. Por tanto, en cierta medida, las tensiones de rotura

obtenidas coinciden con la resistencia a cortante de la madera.

Las vigas estudiadas disponen de 22 líneas de cola, unas y 35

líneas, otras.

Las dimensiones de las muestras obtenidas en cada viga son

diferentes por lo que no se considera la variable "carga de

rotura, en Kg", sino la tensión de rotura que es proporcional al

cociente entre la carga de rotura y la sección de rotura, siendo

necesario, para alturas inferiores a 50 mm introducir un

coeficiente de corrección de la tensión, k=0'78+0•0044h, (h en

mm) .

Para cada línea de cola se dispone de una tensión de rotura

116

de la línea, salvo algunos casos en que el elemento falló por

otros motivos. Así, se dispone para la estimación de la forma de

la función de densidad, de una muestra con 227 mediciones de la

tensión de rotura de la línea de cola en vigas de madera

laminada.

1.1. Estimación de la función de densidad.

En primer lugar se procedió a analizar los datos para

verificar, si éstos podrían suponerse pertenecientes a una

variable con función de densidad conocida. Para ello, se realizó

un estudio descriptivo de los datos muéstrales y, basándonos en

sus características, se escogieron tres tipos de distribuciones

paramétricas a las que podrían responder las observaciones. Las

distribuciones seleccionadas fueron la distribución normal, la

lognormal y la Weibull.

Los resultados del estudio descriptivo de los datos se

recoge a continuación, en la figura 3.1. A renglón seguido, se

muestran los análisis realizados para determinar la bondad del

ajuste de las observaciones a las tres funciones de densidad

anteriormente mencionadas.(Figuras 3.2, 3.3, 3.4).

En los tres casos se realizó el test de la %2, obteniéndose

los resultados descritos, lo que nos permite rechazar la

hipótesis de que la variable en estudio tenga una función de

densidad de forma conocida.

117

'.'ariabíe:

Tamaño muestral Media Mediana Moda Varianza Desviación típica Mínimo Max i mo Rango Cuartil inferior Cuartil superior Rango intercuartíiico Asimetría Curtosis

tensiones

227 i.0086 i.02 0.986 0.0314802 0.177427 0.284 1.43 1.146 0.903 1.127 0.224 -0.332744 0.761997

Figura 3.1. Análisis descriptivo.

118

Histograraa ds frecuencias

l . t >

TfcNSíÜN ¡>E RO'lUKA

Test de la Chi cuadrado

Limite Límite Frecuencia Frecuencia inferior superior observada esperada Chicuadr.

desde

hasta .688 .750 .813 .875 .938

1.000 1.063 1.125 1.188 1.250 1.313

.688

.750

.813

.875

.938 1.000 1.063 1.125 1.188 1.250 1.313

9 7 12 23 24 29 33 33 27 9 11 10

8 8 14 21 27 31 31 28 23 16 10 10

.12962

.25582

.30797

.25491

.31626

.12330

.07315

.77429

.88772 2.96104 .13085 .00242

Chicuadr. = 6.21736 con 9 g.d. 1. Nivel c r i t i c o = 0.717982

F i g u r a 3 . 2 . A j u s t e a una normal .

119

f r e c u e n c i a

¿A T V

30

20

10

Histcgrana de frecuencias

0.3 0.6 0.9 1.2 TENSIÓN M ROTURAS

1.5

Test de la Chicuadrado

Límite inferior-

Limite superior

Frecuencia observada

Frecuencia esperada Chicuadr.

desde

hasta .625 .688 .750 .813 .875 .938

1.000 1.063 1.125 1.188 1.250 1.313

51128

.625

.688

.750

.813

.875

.938 1.000 1.063 1.125 1.188 1.250 1.313

con 10 g.d.1.

4 5 7 12 23 24 29 33 33 27 9 11 10

Nivel crítico

7 5 9 13 18 23 28 31 30 26 19 11 7

= 0.484363

.99894

.03113

.28963

.04956 1.43265 .01295 .01648 .11515 .20941 .04206

4.97540 .00224

1.33569

F i g u r a 3 . 3 . A j u s t e a una l o g n o r m a l .

120

Histograssa áe frecuencias

— i 1 1 i ¡ 1 r

0.3 0.6 0.9 1.2 TENSIÓN DE ROTURAS

1.5

Test de la Chicuadrado

desde

Chicuadr.

Límite inferior

hasta .£88 .750 .813 .875 .938

1.000 1.063 1.125 1.188 1.250 1.313 1.375

= 19.5629 con

Límite superior

.688

.750

.813

.875

.938 1.000 1.063 1.125 1.188 1.250 1.313 1.375

10 g.d.l.

Frecuencia observada

9 7 12 23 24 29 33 33 27 Q

11 6 4

Nivel crítico

Frecuencia esperada

7 10 18 24 29 30 27 23 18 14 10 6

- 11

= 0.033669

Chicuadr.

.6240 1.1537 1.7986 .0740 .7523 .0116

1.1219 4.0313 4.0473 1.5649 .2122 .0303

4.1410

Figura 3.4. Ajuste a una Weibull.

121

En segundo lugar, y sirviéndonos del estudio descriptivo de

los datos, procedemos a clasificar la muestra en uno de los cinco

grupos en que tenemos dividido el universo de las muestas de

tamaño grande unimodales. El grupo al que pertenece esta muestra

es, sin duda, el caracterizado por un apuntamiento alto y una

asimetría también alta. El grupo en que podemos incluir las

observaciones es el grupo 1.

Una vez seleccionado el grupo, la elección de la función

núcleo y del estimador del ancho de banda óptimo es inmediata.

Los resultados del capitulo precedente nos llevan a escoger el

núcleo K3 y el estimador denominado como óptimo.-2. El valor del

parámetro de alisado que se obtiene con el óptimo.-2 es 3'6848.

Empleando este ancho de banda, se obtiene la estimación de la

función de densidad que aparece en la figura 3.5, siendo excesivo

el alisamiento de esta estima. Para evitar éste extremo

emplearemos el óptimo.-1, obteniendo en este caso un valor

h= 9*3864 y la función Kg como un estimador más ajustado de la

función de densidad, llegando a la función de la figura 3.6, que

nos parece más correcta.

La forma de la función de densidad que se consigue en este

caso es bastante ajustada a los datos y, como puede comprobarse

en la figura 3.6, presenta asimetría a la izquierda.

122

Figura 3.5. F. d. densidad estimada con K3 y ópt.-2

123

Figura 3.6. F. d. densidad estimada con Kj y ópt.-l

124

1.2. Estimación de los cuantiles.

Para estimar los cuantiles partimos de la estimación de

la función de distribución. El estimador núcleo más lógico para

ésta función es el propuesto por Nadaraya (1964),

donde,

W(t) = rC Ku)du. (1.2) J — oo

El valor de h que minimiza el error medio cuadrático puede

escribirse como h= C.n"1/3, donde C es un valor que depende de la

función núcleo, de la función de densidad que realmente sigue la

variable, y del valor de x.

Azzalini (1981) propone escoger un valor de C =1,3CT para

estimar el cuantil cuando las colas de la distribución son

grandes y C =0,5a en otro caso. Hill (1985) proporciona un

estudio más detallado del ancho de banda, obteniendo resultados

ligeramente diferentes de los expuestos por Azzalini. No

obstante, muestra que un parámetro de alisado subóptimo apenas

aumenta el error cuadrático medio en la estima de la función de

distribución.

En este capitulo, basándonos en los trabajos precedentes,

emplearemos para estimar los cuantiles correspondientes a la

función de densidad de las tensiones de rotura, el estimador

núcleo de la función de distribución propuesto por Nadaraya

(1964) . En éste, como en el estimador núcleo de la función de

densidad, es preciso escoger una función núcleo entre todas las

125

que cumplen las condiciones de regularidad Hs y además determinar

un valor del parámetro de alisado h.

Una elección lógica es seleccionar aquella función núcleo

que hemos empleado para determinar la forma de la función de

densidad. Para la determinación del parámetro de alisado se ha

procedido a calcular los valores que se obtienen con las

expresiones que propone Azzalini, teniendo en cuenta que estos

valores son inferiores al valor óptimo estimado del ancho de

ventana. Como consecuencia, podremos emplear estos valores ya que

sabemos que el aumento de error que originan, en comparación al

error que obtendríamos con el ancho óptimo, es muy pequeño y el

ahorro de tiempo en cálculos es grande.

Se ha escogido en este caso la función núcleo Kj y un valor

del ancho de ventana h= 4.5537. En la figura 3.7 se representa

la función de distribución estimada frente a los valores de la

frecuencia acumulada muestral.

Con esta función y el procedimiento descrito más arriba se

ha estimado que el percentil 5 es, aproximadamente, P5=0'50.

Tradicionalmente se ha considerado, cuando el fallo de la unión

se produce por la madera en un 100% de los casos, que el valor

límite que determina la aceptación o rechazo de las uniones

ensayadas es una tensión de 0'60 Kg/mm2, valor que representa el

percentil 5 de la función de densidad de la variable y estimado

mediante el percentil muestral en sucesivos ensayos de este tipo.

126

F. d. Distrib.

Frec. acumulada.

Figura 3.7. F de distribución estimada.

127

Puede apreciarse que este límite es superior al valor estimado

por el procedimiento no paramétrico. Basándonos en este estudio

puede concluirse que el valor que se emplea actualmente debería

disminuirse en 10 Kg/mm2, lo que redundaría en un mayor número de

piezas, procedentes de la fabrica, que pueden ser aceptadas.

3.2 - PLUVIOMETRÍA Y CRECIMIENTO DE MASAS FORESTALES.

Las precipitaciones acontecidas durante el año hidrológico

tienen especial importancia para el crecimiento de las masas

forestales y la estimación de períodos de retorno con la

finalidad de planificar los trabajos de tipo selvícola y elaborar

los planes dasocráticos pertinentes. Buscaremos una forma de

función de densidad para esta variable y determinaremos los

cuantiles que separen los años hidrológicos que se pueden

considerar como años secos, húmedos y medios. A continuación,

consideraremos una de las variables que se relacionan con el

crecimiento (altura de los eucaliptos) estimando las funciones

de densidad de dicha variable aleatoria condicionada a los

periodos establecidos anteriormente, para investigar la

existencia de diferencias significativas.

Uno de los problemas con que se encuentra el ingeniero de

montes es encontrar una forma eficaz de evaluar la evolución de

las masas forestales (crecimiento maderable, mortalidad,

evolución de la densidad de masa, etc.) para poder realizar los

planes de ordenación en función de variables dasométricas y

dendrométricas. La gran cantidad de factores determinantes del

crecimiento de un árbol ocasiona la necesidad de plantear

128

diferentes modelos en diferentes circustancias. El modelo único

es una utopía. De aquí la importancia de poder emplear métodos

que no precisen de hipótesis restrictivas que puedan hacer

inservibles las conclusiones obtenidas.

Los métodos no paramétricos son, en efecto, los que pueden

aplicarse sin que la necesidad de suponer una forma de

distribución subyacente limite las posibilidades del estudio.

Los factores que influyen en el crecimiento de las masas

forestales son de tipo climático, edafológico, topográfico y

genético. Los factores edafológicos y geográficos son fácilmente

controlables; los factores genéticos lo son menos y, mucho menos

los factores climáticos, que son más aleatorios y difíciles de

prever.

En la aplicación de los métodos no paramétricos empleamos

datos climáticos de una zona donde, de todas las variables

climatológicas, la de mayor influencia en el crecimiento es la

pluviometría.

Los datos que se han empleado en este estudio son, por una

parte, las precipitaciones anuales medidas en dos estaciones

hidrológicas de la provincia de Huelva, Tharsis y Riotinto. Estas

estaciones corresponden a dos zonas con distinto tipo de suelo;

Riotinto, encuadrada en zona de sierra, de la Sierra de Huelva

y Tharsis en la zona de Andevalo de dicha provincia. Por otra

parte se dispone de mediciones de alturas medias de Eucaliptus

globulus en parcelas de dos plantaciones próximas a dichas

estaciones, con individuos de edades comprendidas entre 7 y 11

años de edad, que es la etapa en la cual el crecimiento de esta

especie alcanza valores máximos. De esta forma se ha pretendido

129

eliminar la excesiva influencia de aquellos factores sobre los

que tenemos algún control. (Datos proporcionados por las

estaciones climatológicas de Tharsis y Riotinto y por E.N.C.E.)

2.1. Estimación de cuantiles en la pluviometría.

Nos interesa, en primer término, una estimación de los

cuantiles de la función de densidad de probabilidad de la

pluviometría anual. Estos cuantiles nos van a permitir,

posteriormente, clasificar los años hidrológicos en años secos,

medios y lluviosos.

Se ha procedido a estudiar las características de los datos

disponibles en ambas estaciones hidrológicas. Los resultados de

este estudio descriptivo aparecen en las figuras 3.8 y 3.9.

Una vez determinados los valores de la asimetría, curtosis

y número de modas, se escogió, para estimar la función de

distribución de la estación de Riotinto y también para la de

Tharsis, la función núcleo K3.

El valor del ancho de banda empleado con las observaciones

de la estación de Riotinto es 1469.32 y en la estación de Tharsis

el ancho usado es 1110.76.

Con las funciones de distribución estimadas por estos medios

(figuras 3.10 y 3.11), se determinaron los valores de los

percentiles 10 y 90 que podrían considerarse como valores

extremos, en cuanto a falta de precipitación anual o abundancia

de la misma respectivamente, para la totalidad de las series

estudiadas.

130

Variable! pluviometría Riotinto

Tamaño muestral Media Mediana Moda Varianza Desviación típica Mínimo Max i mo Rango Cuartil inferior Cuartil superior Rango intercuartílico Asimetría Curtosis

105 743.349 736.4 463.1

57397.2 239.577 225.5

1332.9 1107.4 585.1 881.4 296.3 0.342837 -0.268792

Kistcgrama de frecuencias

0 3 6 9 12 15 (X 100)

PLUVIOMETRÍA RIOTINTO I

Figura 3.8.. Análisis descriptivo pluv. RIOT.

131

Variable: pluviometría Tharsis

Tamaño muestral Hedía Mediana Moda Varianza Desviación t í p i c a Mínimo Max i mo Rango Cuar t i l i n f e r i o r Cuartil superior-Rango in t e r cua r t í l i co Asimetría Curtosis

110 608.758 578.7 696.6

31800.2 178.326 195.9

1046.1 850.2 490.7 748.9 258.2

0.257729 -0.0595891

fíl SXGyT'oiiía \x£ i T&CUvfiOl 3S

0 2 4 6 8 10 12 (X ÍC

PLUVIOMETRÍA THARSIS

Figura 3 . 9 . A n á l i s i s d e s c r i p t i v o p l u v . THARS.

132

F. d. Distrib.

Frec. acumulada^

^=1

Figura 3.10. F de distribución estimada pluv. RIOT.

133

F. d. Distrib.

Frec. acumulada

Figura 3.10. F de distribución estimada pluv. THAR.

134

De esta manera obtenemos, para la zona de Riotinto, que la

pluviometría de los años secos es menor o igual a 457mm, y la de

años lluviosos mayor o igual de llOlmm. En esta estación se

dispone de datos de pluviometría desde el año 1886, hasta el año

1990. En la zona de Tharsis, se estimó que los años secos

correspondían a pluviometrías menores o iguales a 389mm, y los

años lluviosos a pluviometrías mayores o iguales a 868mm. En esta

estación las observaciones comprenden el período de 1881 hasta

1990. Así tenemos, en cada zona, clasificados los años de la

siguiente forma:

Anos secos

RIOTINTO THARSIS

Años lluviosos

RIOTINTO THARSIS

1886

1889

1904

1906

1928

1944

1957

1958

1979

1980

1982

1990

Los años

respectivas.

1881

1889

1904

1943

1944

1956

1957

1982

1986

1990

con pluviometría media

1891

1894

1927

1935

1939

1940

1955

1962

1987

1989

1891

1894

1927

1935

1939

1962

1977

1989

son el resto de las series

135

2.2. Estimación de las funciones de densidad del

crecimiento.

Las mediciones que se tienen en consideración para estimar

el crecimiento de las plantaciones de eucalipto son las alturas

medias de árboles, en las parcelas situadas en las zonas de

Tharsis y Riotinto, con pies de edad comprendida entre 7 y 11

años. Se dispone de datos anuales desde 1975 y bianuales a partir

de 1988. En algunos casos, por tratarse de árboles que han pasado

a otra clase de edad no se dispone de datos de alturas medias.

En la zona de Riotinto, para años lluviosos, no contamos con

observaciones de la altura media. En la zona de Tharsis, sólo se

dispone de alturas medias en un año considerado del periodo

medio, por lo que la estimación de su función de densidad no

resulta en exceso significativa.

En el resto de los casos existen datos que nos permitirán

estimar la forma de la función de densidad para las alturas

medias de las dos zonas en diferentes condiciones pluviométricas.

Ya se ha descrito con anterioridad el proceso a seguir para la

estimación de estas funciones. Se procede, en principio, a

realizar la descripción de las características muéstrales.

En la figura 3.12 se describen las alturas medias en la zona

de Riotinto en años secos; en la figura 3.13 aparece el estudio

en la zona de Riotinto para años de pluviometría media; en la

figura 3.14, para la zona de Tharsis en años secos; en la figura

3.15, en años medios; y en la figura 3.16, en años lluviosos.

136

Variable: ftlturas RIOTINTO-p. seco

Tamaño muestral Hedía Mediana Moda Varianza Desviación típica Mínimo Max i mo Rango Cuartil inferior Cuartil superior Rango intercuartilico Asimetría Curtosis

119 124.42 126 13?

1077.96 32.8323 7

197 190 96 150 54 -0.28795 0.08027

i l i s vuyí aiita uc ijcwutriiwiaa

Figura 3.12. Análisis descriptivo alt. p. seco RIOT.

137

Variable: Alturas RIOTINTG-p. medio

Tamaño muestral Hedía Mediana Moda Varianza Desviación típica Mínimo Max i mo Sango Cuartil inferior Cuartil superior Sango intercuartilico Asimetría Curtosis

271 117.823 117 102 848.369 29.1268 57 196 139 96 137 41 0.162085 -0.359605

Histograma de frecuencias

T — ' — " - p a — ' — • — 1 — • — ' — r

50 80 110 140 170 200

Alturas FI0-p.m.

Figura 3.13. Análisis descriptivo alt. p. medio RIOT.

138

Variable: Alturas THARSIS-p. seco

Tamaño muestral Media Mediana Moda Marianza Desviación estándar Minimo Max i mo Rango Cuartil inferior Cuartil superior Rango intercuar-tilico Asimetría Curtosis

14? 120.02 115 112 764.732 27.6538 61 199 138 101 136 35 0.559233 -0.0664621

Histograma de frecuencias

Alturas TH.-p.s.

Figura 3.14. Análisis descriptivo alt. p. seco THARS.

139

Variable: Alturas THARSIS-f>. media

Tamaño muestra! Media Mediana Moda Varianza Desviación típica Mínimo Máximo Rango Cuartil inferior Cuartil superior Rango intercuartílico Asimetría Curtosis

ii 0.434938 0.470588 0.470588 0.108944 0.330067 0 i i 0.0784313 0.627451 0.54902 0.280378 -0.904512

Figura 3 . 1 5 . A n á l i s i s d e s c r i p t i v o a l t . p . medios THARS.

140

Variable: Alturas THAESIS-p. lluviosos

Tamaño muestral Media Mediana Moda Varianza Desviación estándar Mínimo Max i mo Sango Cuartil inferior Cuartil superior Rango intercuartilico Asimetría Curtosis

273 114.604 113 110 949.784 30.8186 49 220 171 91 134 43 0.458966 0.249906

40

f r e c u <y> e *r n c i a

3 0 -

10

O t

Histcgrama de frecuencias

//•'A

V? '4. fe

•/,

-/>

áa

'/y

v/. '////////y// ?Mfo>>ZX>>Z jfjf v / >v v i myy syi. 'i' •

illllllj^ 40 80 120 160

Alturas TH.-p.ll.

200 240

Figura 3.16. Análisis descriptivo alt. p. lluviosos THARS.

141

Por medio de estas características muéstrales, incluimos las

distintas variables en alguno de los grupos obtenidos con la

clasificación de la figura 2.2. La elección de la función núcleo

es inmediata, seleccionando en todos los casos el núcleo K3 y el

óptimo.-2, -las formas estimadas de las funciones de densidad

para estas variables aparecen en las figuras 3.17, 3.18, 3.19 y

3.20-, salvo en los datos de las alturas de la zona de Tharsis

con años de pluviometría considerada media. En este caso, al

disponer de un pequeño número de datos (n=ll) con un rango de

variación elevado, se plantean dificultades para emplear los

resultados del capítulo anterior. Se ha eliminado este problema

transformando los datos, mediante un cambio de origen y unidad,

llevándolus al intervalo [0,1]; ésta realización muestral se

clasifica dentro del grupo 8 (según el árbol de la figura 2.2).

Para este grupo, según los resultados del presente trabajo, la

elección más apropiada es escoger el núcleo K, y el óptimo.-2. El

resultado de la estimación empleando éstos (h=2'182) se puede

apreciar en la figura 3.21; la estimación de la función de

densidad nos parece en este caso excesivamente alisada y, por

tanto, emplearemos como una segunda aproximación la estimación

del parámetro óptimo con el óptimo.-1, cuyo valor es h=5'733,

obteniéndose una estimación excesivamente ajustada a los datos

(figura 3.22). Un valor de h intermedio (h=3) nos parece la

solución más adecuada en este caso, obteniéndose la estimación

de la función de densidad que puede apreciarse en la figura 3.23.

142

Figura 3.17. F. d. densidad estimada alt. p. seco RIOT.

143

\

V

Figura 3.18. F. d. densidad estimada alt. p. medio RIOT.

144

A / \

/ /

/

i

n ' \ V \

\ I

/ l

> ' • / (

/

Figura 3.19. F. de densidad estimada alt. p. seco THARS,

145

A /

/ V \

/

/ t ( l l

/ \ / \

==p-

Figura 3.20. F. d. densidad estimada alt. p. lluviosos THARS.

146

Figura 3.21. F. de dens. estimada h=2,182 alt. p. medios THARS.

147

Figura 3.22. F. de dens. estimada h=5,733 alt. p. medios THARS.

148

/

/ /

/ \ / \

/ v _ / \ I — \

I \

I

> i

I

\

__L.

Figura 3.23. F. de dens. estimada h=3 alt. p. medios THARS,

149

Se observa, en las dos zonas una mayor asimetría en la

distribución de las alturas en periodos secos. La disponibilidad

de diferente cantidad de información no permite establecer

comparaciones certeras entre ambas estaciones.

150

CAPITULO 4:REGRESIÓN NO PARAMETRICA


4.1 - ESTIMACIÓN DE LA REGRESIÓN POR QUEBRADAS

ALISADAS.

4.2- ESTIMACIÓN DE LA REGRESIÓN POR FUNCIONES NÚCLEO.

2.1. Estimadores del tipo de Priestley y Chao.

2.2. Estimadores del tipo de Nadaraya y Watson.

2.3. Estimación por los puntos más próximos.

4.3 - ESTIMACIÓN DE LA REGRESIÓN CON SERIES

ORTOGONALES.

4.4 - REGRESIÓN POLINOMIAL MÓVIL.

4.5 - ESTIMACIÓN DE LA REGRESIÓN POR PARTICIÓN

RECURSIVA.

4.6 - ESTIMACIÓN DE LA REGRESIÓN POR PROYECCIONES

SUCESIVAS.

4.7 - UNIFICACIÓN DEL PROCEDIMIENTO DE ESTIMACIÓN DE

LA REGRESIÓN NO PARAMETRICA.

CAPITULO 4

REGRESIÓN NO PARAMETRICA


La regresión es una de las técnicas más utilizadas en el

análisis e interpretación de los datos cuando se estudia la

variación conjunta de un grupo de variables. Esta técnica

pretende determinar una relación funcional óptima entre variables

según un criterio predeterminado.

Para la regresión se consideran modelos de la forma

y= g(x)+ e, donde las características en la obtención de los

valores de la x determinan dos tipos de modelos, el fijo y el

aleatorio.

En el modelo fijo se estudia el valor que toma una variable

aleatoria Y para valores predeterminados de una o varias

variables matemáticas x. La distribución es univariada, ya que

la Y es una variable aleatoria, pero no la x. En este caso

tendremos un modelo de la forma:

*i,n= gixitn) + titn, i= i n, (o.i)

donde Y1 n, ..., Ynn son medidas tomadas para los valores fijos

151

X, . ..., X„ „, y e; „ es el error cometido en la medida i-ésima,

estando estos errores idénticamente distribuidos para cada n, con

media cero y varianza a2< <x>.

En el modelo aleatorio X e Y son dos variables aleatorias

con función de densidad conjunta f(x,y). En este caso, la función

de regresión se expresa:

fyfx Y(x,y)dy E(Y/X=x)=¿ ^-—^ , (0.2)

fx(x)

donde fx(x) denota la función de densidad marginal de las X,. El

problema de la regresión multivariable es tomar un vector

aleatorio d-dimensional x, cuyas componentes se denominan

variables explicativas, y una variable aleatoria Y que se

denomina respuesta. El análisis de regresión pretende estimar la

esperanza de Y condicionada a X basándose en la muestra.

Generalmente se supone que la forma funcional de la

superficie de regresión es conocida reduciendo el problema a la

estimación de un conjunto de parámetros. Entonces, la función de

regresión pertenece a una clase de funciones que pueden ser

determinadas por un número finito de parámetros, es decir si en

y= g(x) + e, g pertenece a la familia paramétrica, el modelo de

regresión es llamado paramétrico. Este modelo es adecuado siempre

que el procedimiento paramétrico sea correcto. Pero,

desgraciadamente, el modelo correcto es dificil de verificar en

la práctica y la aplicación de un modelo incorrecto puede

conducir a resultados equívocos. Por este motivo, adquieren

interés los métodos no paramétricos, en los cuales la única

hipótesis de partida consiste en que g e ©k para algún k > 0, es

decir, g(x) pertenece a la clase de funciones k veces

152

diferenciables continuas.

En lo que resta del capítulo nos referiremos sólo al modelo

de regresión no paramétrico, considerando que las distintas

aplicaciones al campo forestal de los modelos de regresión,

requieren el uso tanto del diseño fijo, como del aleatorio.

Los métodos o técnicas de regresión no paramétrica más

extensamente estudiados (núcleo, puntos más próximos y quebradas

alisadas) están basados en la media local d-dimensional: el

estimador de la superficie de regresión en el punto X0 es un

promedio de las observaciones de la variable respuesta para

valores de x próximos a XQ. Estas técnicas presentan las

propiedades asintóticas adecuadas (Stone, 1977). En conjuntos de

grandes dimensiones los métodos tradicionales no se comportan

bien con tamaños muéstrales razonables. La razón que explica este

comportamiento es la dispersión inherente de las muestras en

grandes dimensiones. Para solucionar estos problemas se han

propuesto otras técnicas no paramétricas, basadas en sucesivos

refinamientos de los métodos anteriores. Se forman jerarquías de

modelos de complejidad creciente, que tiene que ver con el número

de grados de libertad empleados en la búsqueda del modelo. Entre

estos métodos se encuentran el de series ortogonales, el

polinomial móvil, el de partición recursiva y el de proyección

sucesiva. En qué casos se presenta la conveniencia de aplicar

estas técnicas de regresión no paramétrica y sus ventajas e

inconvenientes frente a los métodos más estudiados son temas

abiertos aún a la investigación.

El análisis de regresión no paramétrica ofrece posibilidades

todavía poco estudiadas, apreciándose sobre todo una falta de

153

trabajos relacionados con las aplicaciones de estos estimadores

de regresión.

4.1- ESTIMACIÓN DE LA REGRESIÓN POR QUEBRADAS ALISADAS.

Este tipo de estimación se presenta avalado por una larga

tradición y es uno de los más populares entre los estimadores de

regresión univariable.

Si tenemos las observaciones y^ g(Xj)+ ei, donde g(x) es una

función de alisado desconocida definida en [0,1], y ei son los

errores aleatorios de media cero, incorrelados y de varianza

conocida, entonces una función quebrada cúbica alisada, g(x,A)

es la función que minimiza la expresión

- E fy¿- <7Ui)]2 + kf[g//(x)]2dx. (l.l)

La función g depende de las observaciones y del parámetro

A, que por sus características constituye el parámetro de alisado

en esta estimación.

El término J(g"(x))2 dx es similar al término de

penalización empleado en la estimación de la densidad por máxima

verosimilitud penalizada, donde el funcional correspondiente se

emplea para asegurar una estima razonablemente alisada.

La expresión anterior tiene una única solución si

consideramos sólo la clase de funciones diferenciables dos veces

y ésta se conoce como quebrada cúbica. Las quebradas cúbicas son

polinomios de tercer orden pf que unen los puntos Xf, X)+1 y

satisfacen las restricciones siguientes:

Pi(xo->> = Pf-i(x>'

154

P\-(xa-)) = P'MCXO,)»

P",(x(f)) = P"M(x(i)).

Éstas garantizan que la estimación sea continua y dos veces

derivable. En los puntos extremos X. y Xi+1, la segunda derivada

del estimador vale cero.

Las quebradas alisadas fueron propuestas por Whittaker

(1923), Schoenberg (1964) y Reinsch (1967). Estudios sobre

algunas propiedades de este estadístico, cuando g y f son

funciones periódicas, aparecen en los trabajos de Wahba (1975c)

y Rice y Rosenblatt (1981).

Craven y Wahba (1979) y Utreras (1980) proponen y discuten

el método de validación cruzada para estimar el parámetro de

alisado, X, a partir de los datos.

El estimador (1.1) se generaliza fácilmente tomando

yi=(Af(xi)) + e. , donde A es un operador lineal. El estimador

"regularizado" de f es la función g que minimiza la ecuación

- ¿ lYr (Ag) <*i>]2 + X¡[g"x)Vdx. (1.2)

Frecuentemente se asigna a (Af) la forma

(Af) (x)=Jk(x,s)f(s)ds.

Tikhonov y Arsenin (1977) presentan algunos ejemplos de este

tipo. Wahba (1977) y Rice y Rosenblatt (1983) estudian algunas

propiedades del estimador generalizado y de sus derivadas,

principalmente se ocupan de los problemas que presentan en los

valores extremos.

Precisamente la existencia de estos problemas constituye una

importante desventaja para aplicar convenientemente este

estimador. Otra característica negativa achacable a este método

155

de estimación es la inflexibilidad del modelo debida a la

definición implícita del mismo (ver por ejemplo Silverman, 1984

y Müller, 1988).

Métodos robustos relativos a las quebradas alisadas son

desarrollados por Lenth (1977), Huber (1979) y Cox (1883).

Discusiones sobre sus aplicaciones estadísticas aparecen en

Wegman y Wright (1983), Silverman (1985), Eubank (1988), Wahba

(1990), Eubank y Spiegelman (1990), Thomas (1991), etc..

4.2- ESTIMACIÓN DE LA REGRESIÓN POR FUNCIONES NÚCLEO.

La estimación núcleo se basa en la aplicación de las

propiedades de la familia de operadores convolutivos, usados

desde hace mucho tiempo en el análisis matemático para aproximar

las funciones por funciones alisadas (ver Shapiro, 1969).

(Kr*f) (x) = f1 Kx(x-t) f(t)dt, Kx(x)= rK(rx) , r> 0. (2.1) Jo

Hay varias posibilididades de estimación de la función de

densidad a partir de los datos y que emplean la integral

convolutiva, obteniéndose diferentes estimadores núcleo que, en

general, pueden expresarse de la siguiente forma:

•"i-i

Las estimaciones de la línea de regresión con funciones

núcleo presentan varias características comunes. La línea

estimada depende de una función de densidad K(x) , llamada núcleo,

y de un parámetro de alisado hn. La selección de ambos constituye

uno de los problemas prácticos más importante en la aplicación

156

de estos estimadores.

El estudio de las funciones núcleo más apropiadas es

característico de cada uno de los diferentes estimadores núcleo.

La determinación del parámetro de alisado óptimo, en lineas

generales, no depende de los diferentes estimadores, sino del

criterio de optimalidad seleccionado.

Trabajos pioneros en la selección de un ancho de ventana,

a partir de los datos, se deben a Craven y Wahba (1979) para la

quebradas alisadas y a Rice (1984) para estimadores núcleo.

El primer problema que plantea la selección de un ancho de

banda óptimo es la determinación del criterio de optimalidad. Un

criterio razonable es la minimización de algún tipo de error o

medida de la discrepancia entre la curva desconocida g(x) y la

aproximación gn(x) .

Se pueden considerar las siguientes distancias:

A) El error cuadrático medio (ECM),

ECM(h) = - ¿ (SflUj> -giXj))2 w(X¿) . (2.3)

n i=1

El ECM es una variable aleatoria que depende directamente del

diseño especificado para la variable explicativa x. La función

peso w(.) es un factor conveniente desde el punto de vista

matemático, y se introduce para evitar efectos de borde.

B) Error cuadrático integrado (ECI),

ECI(h)= í°° (gjx)-g(x))2 w(x)f(x)dx. (2.4)

El ECI también es una variable aleatoria. Aquí la densidad

marginal f(.) se usa como una función peso además de w(.).

157

C) Error cuadrático condicionado (ECC),

ECCh) = E(ECM(h) | Xx, . . . ,Xn) . (2.5)

La esperanza de ECM para un diseño fijo de x proporciona el ECC.

Donde X es una variable aleatoria y el ECC también.

D) Error cuadrático medio integrado (ECMI),

ECMI(h)= E(ECI(h)) . (2.6)

El ECMI no es aleatorio ya que se contabiliza para todas las

posibles muestras de x e y.

La elección entre estas medidas es dificil ya que cualquiera

de ellas puede emplearse. Hárdle y Marrón (1986) demuestran que

cada secuencia de anchos de ventana que minimizan alguna de las

medidas ECM(h), ECI(h) o ECC(h) es asintóticamente óptima en

relación al ancho de banda que minimiza el ECMI. Hárdle (1991)

propone minimizar el ECM(h) y Gasser et al. (1991) se inclinan

por el ECMI proporcionando una relación entre los anchos de

ventana obtenidos por ambos métodos.

Si la función núcleo es de orden 2, eligiendo un valor de

hn~n"1/5, la razón de convergencia del ECM es de orden 0(n"4/5) .

Los estimadores que se relacionan a continuación pueden

emplearse tanto en el modelo de regresión de diseño fijo como en

el de diseño aleatorio.


Estos estimadores se proponen inicialmente para el modelo

de regresión de diseño fijo.

Supondremos por simplicidad, que las medidas fijas X.

158

satisfacen 0< X.,< X2<. . .< Xn< 1 y que g: [0,1]-*R. Priestley y Chao

(1972) recomiendan el estimador de expresión

$nU.hn)=±^±±K(^)Yi, (2.7)

donde K es una función de densidad simétrica de cuadrado

integrable y hn el parámetro de alisado.

Esta forma del estimador núcleo se obtiene cuando se

sustituye

Whi(x)= Khx-Xi)= K\Â, (2.8)

en la expresión (2.2).

Diversas propiedades, como la convergencia y normalidad

aintótica de este estimador, han sido estudiadas por Benedetti

(1977).

Gasser y Muller (1979, 1984) y Cheng y Lin (1981) proponen

el método siguiente: si X¡ son valores fijos e idénticamente

espaciados y S,- = (X,- + Xi+1)/2, el estimador de la regresión será:

^"•^•tCA^rh0*- <2-9>

El estimador dado por la ecuación (2.7) puede considerarse una

aproximación de Rieman de la integral en (2.9).

Trabajos posteriores proporcionan una definición

generalizada del estimador válida para las derivadas de g y se

estudian sus propiedades de convergencia ( ver Muller, 1988) y

de robustez ( Tsybakov, 1982 y Hárdle, 1984a). También se

construyen núcleos apropiados en función del grado de alisado

159

(Müller, 1984).

Estos estimadores se pueden emplear en modelos de regresión

de diseño aleatorio con algunas modificaciones de sus

características (Mack y Müller, 1989).

En estos estimadores se han basado una gran cantidad de

estudios estadísticos. En particular, se han propuesto varios

estimadores no paramétricos de los cuantiles con funciones

núcleo. Parzen (1979) plantea la siguiente forma del estimador

cuantil núcleo,

1=1 L Jl-l/n X, (i) (2.10)

Yang (1985), Falk (1984), Padgett (1986) y Sheather y Marrón

(1990) estudian las características de este estimador del cuantil

p y de algunas de sus aproximaciones.

Algunas aplicaciones más directas de estos modelos de

regresión aparecen en Robinson (1984), que las emplea en estudios

de series de tiempo, Gasser et al. (1984), Müller y Ihm (1985),

Ribe (1986) y Keiding y Andersen (1989) usan estos estimadores

para calcular probabilidades en las cadenas de Markov. Destaca

que la mayoría de los trabajos enunciados anteriormente

corresponde a estimaciones de curvas de análisis clínico.

2.2. Estimadores del tipo de Nadaraya y Watson.

Nadaraya (1964) y Watson (1964) introducen de manera

independiente un estimador núcleo basado en la expresión de la

esperanza condicional, obteniendo el estimador de la función de

densidad conjunta al aplicar un núcleo multiplicativo del tipo:

160

y el estimador núcleo de la función de densidad marginal.

La expresión que adopta el estimador determinado de esta

forma es la siguiente:

x-X,

(2.12)

donde hn es el parámetro de alisado y K es una función de

densidad arbitraria que satisface las siguientes condiciones:

sup K(x) <°° -oo<X<«>

lim \x\K(x) = 0 |x|-<»

K(x) = K(-x) ,

x2Kx) 6 L± (-°°, ~) .

En este caso, se particulariza la expresión general del

estimador núcleo (ecuación 2.2) tomando:

i K(X~XA h h

4U) whi (*) = A \ ^ • (2 . 13)

El denominador de esta expresión es el estimador núcleo de la

función de densidad marginal de la x.

Este estimador se ha considerado tradicionalmente como el

más apropiado para el modelo aleatorio; Nadraya y Watson

demostraron su convergencia débil; Rosenblatt (1969) obtuvo la

161

expresión del sesgo y la varianza, asi como su distribución

asintótica; Schuster (1972) y Johnston (1979) demostraron la

normalidad multivariable para un número finito de puntos

distintos; la consistencia fuerte fue demostrada por Noda (1976) ;

Collomb (1979) y Stone (1977) establecieron las condiciones

necesarias para este tipo de convergencia. Schuster y Yakowitz

(1979) desarrollaron el estudio sobre convergencia uniforme en

un intervalo finito; Wandl (1980) y Jhonston (1982) estudiaron

la desviación global y, con menores restricciones, Mack y

Silverman (1982c) demostraron la consistencia fuerte uniforme en

un intervalo acotado.

Un estudio completo de este estimador se escuentra en

Nadaraya (1989) y Hárdle (1991).

Frente a los numerosos trabajos sobre las propiedades

teóricas de este estimador destaca la casi inexistencia de

aplicaciones del mismo, siendo uno de los principales

inconvenientes su expresión de cociente, que dificulta

sobremanera el cálculo de los estimadores de las derivadas de la

función f, requeridas en estudios de crecimiento.

2.3. Estimación por los puntos más próximos.

Los modelos de regresión con estimadores núcleo mostrados

anteriormente se basan en promedios locales de observaciones de

la variable respuesta en un entorno fijo de x. En cambio el

estimador de regresión por puntos más próximos emplea entornos

variables alrededor de la x. El estimador de la regresión por los

k-puntos más próximos se define de la siguiente forma: si

162

k = k(n) es una secuencia de enteros positivos y si Rn es la

distancia Euclidea al punto x de los k-ésimos puntos más

próximos, entonces el estimador tiene la expresión:

s-fi?: (2.14)

donde el parámetro k regula el grado de alisado. Si aumenta k se

suaviza la estima.

Mack (1981) proporciona la expresión aproximada del sesgo

y la varianza de este estimador. La varianza aumenta con el

parámetro k y, por el contrario, el sesgo disminuye. Para

equilibrar esta característica se puede seleccionar un k~ n4/5 y,

para este valor, se obtiene una razón de convergencia respecto

al EMC de n"4/5. Aplicando la relación k = 2nhnfx(x) se obtiene

idéntica expresión del EMC que en el caso de los estimadores

núcleo del tipo (2.12). Révéstz (1979) estudia la desviación

global de este estimador obteniendo resultados análogos a los

obtenidos para el estimador de Nadaraya-Watson.

Un estimador, asociado al anterior, es el introducido por

Yang (1981), ampliamente estudiado por Stute (1984) y definido

por la ecuación:

§n (x> hsPP) = ¿ i - i nhspp

K Fn(x)-Fn(X1)

spp Yi> (2 .15 )

siendo Fn la función de distribución empírica de x a partir de la

muestra y h un parámetro de alisado.

Si se emplea h = hnfx(x) la varianza de este estimador es

la misma que la del estimador núcleo pero el sesgo será menor y

163

como consecuencia, disminuirá también el ECM (ver Carrol y

Hárdle, 1989).

4.3 - ESTIMACIÓN DE LA REGRESIÓN CON SERIES ORTOGONALES.

Según Rutkowski (1982), la idea general de esta estimación

para el modelo fijo, consiste en desarrollar la función de

regresión en torno a los puntos muéstrales con series ortogonales

de funciones <p.,

£r(x)-Í2fgr(u)t,(u)du*j(x), (3.1)

al reemplazar los coeficientes de Fourier por sus estimadores se

llega a la expresión:

M n ',*

J=0 2=1 £ ( x ) = E E /'^(ulduÛjU), (3.2)

V si-i

donde Sí es la secuencia de interpolaciones de Xi con S0 = 0, X-

< sf < xi+1 y sn = i.

En la expresión anterior M determina el número de funciones

ortogonales de la expansión que se incluyen en la estima. Cuanto

mayor es M, más exacto es el desarrollo (3.2), lo que significa

que el sesgo del estimador es pequeño. Por otra parte, la

varianza crece con M, que juega en este caso el papel del

parámetro de alisado.

Greblicki et al. (1983) y Hárdle (1984b) proponen para un

modelo de regresión de diseño aleatorio el siguiente estimador

164

§x)= í=1nJ=°M (3.3)

2=1 j=o

Una comparación con los estimadores de densidad por medio

de series ortogonales indica que la calidad del estimador depende

mucho del sistema ortogonal elegido.

4.4 - REGRESIÓN POLINOMIAL MÓVIL.

Este método ha sido muy empleado en el alisado de series de

tiempo (Macauley, 1931). Una revisión de este procedimiento la

realiza Cleveland (1979) que, además, propone un método más

robusto. Algunos ejemplos de sus aplicaciones aparecen en

Schmerling y Peil (1985) . La idea básica es usar un polinomio

ordinario para la regresión local eligiendo intervalos [x-b, x+b]

donde se estimar g(x), en lugar de estimarse globalmente en el

intervalo [0,1]. La denominación de polinomial móvil se debe a

que alrededor de los valores de x que utilizamos para estimar la

curva, se localiza una ventana de alisado y se escoge un

polinomio que se "mueve" conjuntamente con x.

Si la curva g(x) distara de ser polinomial, el alisado local

implica que podría emplearse un desarrollo de Taylor alrededor

de x y de esta forma podría demostrarse que el polinomio local

es una buena aproximación. Este polinomio, en general, se elige

por el método de mínimos cuadrados o mínimos cuadrados

ponderados.

Se pueden emplear dos posibles procedimientos cuya

165

equivalencia se demuestra por el teorema de Gauss-Markov (Müller,

1983):

A) Se elige un polinomio:

Je

P(t)= £ P¿ ( fc- x) (4.1) i=l

de grado (k-1) con los datos contenidos en la ventana de alisado

[x-h, x+h] por el método de mínimos cuadrados ponderados con una

matriz de pesos C, positiva, definida y simétrica. El polinomio

así escogido es el estimador de la curva de regresión y h es un

parámetro de alisado.

B) El estimador g se define por la expresión

§x)=Y/W1x)Yi, (4.2) i=l

imponiéndose a las funciones peso W,-, las condiciones siguientes:

a) Wj (x) *0 sólo si Ix^xl^ h, es decir los pesos serán no

nulos sólo para las observaciones contenidas dentro de la ventana

de alisado, que es lo que caracteriza al método local.

con un valor k >1 dado.

c) WTCW = min, es decir la varianza del estimador ponderado

por C debe ser mínima.

166

4.5- ESTIMACIÓN DE LA REGRESIÓN POR PARTICIÓN RECURSIVA.

Estos modelos de regresión han sido estudiados por Sonquist

(197 0), empleando funciones escalonadas constantes y por Breiman

y Meisel (1976) y Friedman (1979) que emplean funciones

escalonadas lineales.

El procedimiento básico de la estimación es el siguiente,

para una variable explicativa o factor y un valor particular de

ésta, se divide el espacio de los factores en dos regiones, una

a la derecha y otra a la izquierda del valor escogido. Se busca

el conjunto de muestras situado en cada región con una separación

constante o que dicha separación sea siguiendo un modelo lineal.

El factor y el valor de división se eligen de tal forma que

minimicen la suma de cuadrados de los residuos de la muestra. Se

aplica este procedimiento recursivamente a cada una de las

regiones asi obtenidas.

La regresión por partición recursiva se puede considerar

como un método de medias locales pero diferente de los métodos

con funciones núcleo, las regiones locales se construyen

adaptativamente, basándose en la variación de la respuesta.

Por otra parte, si cada separación reduce el tamaño de la

muestra sobre la que se elige la futura partición, el número de

regiones y por tanto, de modelos separados, es limitado.

167

o 4.6- ESTIMACIÓN DE LA REGRESIÓN POR PROYECCIONES SUCESIVAS.

Las dificultades surgidas al emplear los estimadores

tradicionales en problemas de grandes dimensiones pueden

describirse en términos de espaciamiento de los datos. Las

distancias entre puntos próximos crecen con el aumento de

dimensión. Friedman y Stuetzle (1981) y Huber (1985) presentan

ejemplos numéricos de este comportamiento.

Las técnicas basadas en valores medios proporcionan estimas

que enfatizan las características consideradas como transitorias,

tales como la aleatoriedad que tiene lugar en los grupos de

datos. Este comportamiento es debido sobre todo al hecho de que

la varianza de los estimadores tradicionales crece rápidamente

cuando aumenta la dimensión. Igual ocurre con la razón óptima de

convergencia (Stone, 1980 y 1982) que se obtiene equilibrando la

varianza frente al cuadrado del sesgo; en grandes dimensiones el

óptimo se obtiene con un gran nivel de varianza. Como no

buscamos, en principio, características transitorias podemos

suprimirlas construyendo deliberadamente un estimador por debajo

del óptimo, con pequeña varianza y gran sesgo. Desafortunadamente

esta modificación aplana todas las características, buscadas o

no. Por el contrario, la proyección sucesiva enfatiza las

características en pequeñas dimensiones estimando con varianza

relativamente pequeña.

El método de regresión por proyección sucesiva busca un

modelo que es una suma de funciones alisadas, combinación lineal

de las variables explicativas, de una manera iterativa. La

función de regresión estimada tiene la forma

168

£n(x)= Yí§i(d.tix), (6.1)

donde x es un vector, a. son vectores unitarios y cada atx

puede considerarse una proyección de x. Los valores de a,- se

eligen de tal forma que maximicen la función

¿ [r.-â^)]2 J(fi)=l-î , (6.2)

n

i=l

donde ri son los residuos del modelo. Así, un modelo de nivel n

es la suma de n funciones alisadas de proyecciones sucesivas de

los factores x.

El concepto y filosofía de la proyección sucesiva en

general, y de la regresión por proyección sucesiva en particular,

ha sido revisado, consolidado y extendido por Huber (1985). La

idea de proyección multidimensional de los datos en un subespacio

de dimensión reducida, de manera que se obtengan estimaciones más

fiables, puede verse en Kruskal (1969, 1972), Switzer (1970),

Switzer y Wright (1971) y Friedman y Tukey (1974). Stone (1985)

trabaja con dimensiones reducidas. Algunas teorías sobre la

proyección sucesiva son desarrolladas por Diaconis y Freedman

(1984), Diaconis y Shashahani (1984), Fill y Johnstone (1984) y

Donoho y Johnstone (1989). Hall (1989c) propone un modelo para

la regresión por proyección sucesiva basada en funciones núcleo,

que permite calcular de forma explícita el sesgo y la varianza

del estimador, mostrando el predominio del sesgo frente al error

en dicho modelo.

169

4.7.- UNIFICACIÓN DEL PROCEDIMIENTO DE ESTIMACIÓN DE LA

REGRESIÓN NO PARAMETRICA.

Una de las cuestiones más importantes que deberíamos

plantearnos al enfrentarnos con una estimación no paramétrica

consiste en determinar ¿cuál de estos métodos es siempre el más

apropiado? y, si esto no fuera posible, ¿cuál es preferible ante

una determinada situación?. Desgraciadamente la mayoría de los

trabajos relacionados con las propiedades teóricas de estos

estimadores no responde a estas cuestiones.

Para diseño fijo, con valores de los factores igualmente

espaciados, se puede encontrar alguna igualdad formal entre los

estimadores tradicionales. Aún para el diseño aleatorio, es

posible seguir un modelo general si el parámetro de alisado varía

con la densidad f de la variable aleatoria x.

Un trabajo pionero en este campo, Silverman (1984), muestra

que las quebradas alisadas corresponden aproximadamente a un

estimador núcleo del tipo Priestley-Chao con un ancho de banda

variable proporcional a f"1/4. Por otra parte, el estimador por

puntos más próximos corresponderá a un estimador núcleo con ancho

de banda proporcional a f"1. El trabajo de Jennen-Steinmetz y

Gasser (1988) muestra el modelo que generaliza los estimadores

anteriores y los estimadores núcleo de diseño fijo y aleatorio.

También es posible establecer una cierta equivalencia entre

los estimadores núcleo, con funciones núcleo polinomiales, y los

estimadores con series ortogonales. En este caso, si las series

son desarrollos polinomiales en [-1,1], los estimadores de curvas

polinomiales ortogonales pueden considerarse como estimadores

170

núcleo de ancho de banda fijo pero con orden creciente del núcleo

si n-«>o. El orden del núcleo deberá ser N+l, siendo N el número

de términos del desarrollo en serie de la ecuación (3.2) (ver

Müller, 1988). En cuanto a la regresión polinomial móvil, la

equivalencia con la estimación núcleo se discute en Müller (1983,

1987) y Lejeune (1984, 1985); estos autores señalan que se puede

considerar como un caso especial del estimador núcleo, donde el

orden de la función núcleo viene determinado por el grado del

polinomio fijado en un punto, en el cual, el orden de la función

es igual al grado del polinomio más uno, y la forma de la función

núcleo corresponde a la forma de la función de peso W.

La generalidad de la estimación núcleo, su flexibilidad ante

cualquier tipo de diseño y la sencillez de su concepto hace que

este estimador sea el más empleado entre todos los estimadores

no paramétricos de la regresión, al menos para dimensiones

reducidas. Los recientes trabajos en el campo de los estimadores

por proyección sucesiva avalan el empleo de estos últimos en el

caso de un fallo en los estimadores núcleo, ya que las

propiedades de ambos se complementan. En el estudio de Donoho y

Johnstone (1989) se muestran algunos resultados que confirman

esta complementariedad.

171

CAPITULO 5:ESTIMACIÓN DE LA REGRESIÓN BASADA EN

FUNCIONES NÚCLEO


5.1 - ESTIMADORES NÚCLEO DE LA LINEA DE REGRESIÓN.

1.1. Estimador del tipo de Nadaraya y Watson.


5.2 - FUNCIONES NÚCLEO.

5.3 -MÉTODOS DE DETERMINACIÓN DEL ANCHO DE VENTANA.

3.1. Minimización del ECM(h).

3.2. Minimización del ECMI(h).

5.4 -ESTIMACIÓN NÚCLEO DE LA REGRESIÓN.

CAPITULO 5

ESTIMACIÓN DE LA REGRESIÓN BASADA EN FUNCIONES NÚCLEO


En el capítulo anterior se muestran algunos de los

estimadores no paramétricos de la regresión más empleados. De

ellos, sin duda, el método núcleo destaca por su flexibilidad y

su mejor adaptación a casi todas las situaciones. Por este

motivo, y cada vez con más frecuencia, vienen apareciendo, en los

últimos años, numerosos trabajos sobre aspectos teóricos de este

estimador.

Ya se ha destacado que, en contrapartida, los estudios en

los que se investiga la aplicación de estos estimadores son

escasos. En caso de existir, son más las aplicaciones en otros

procedimientos estadísticos que en el empleo directo con datos

reales. Sin duda esta circustancia, más patente en el caso de

regresión con diseño aleatorio, ocasiona una desorientación

acerca de las pautas que debe seguir el investigador usuario de

las técnicas de regresión no paramétrica por el método núcleo.

En primer lugar, se hace necesario seleccionar alguno de los

173

estimadores núcleo propuestos para el modelo de regresión. En

segundo lugar, se plantea un problema más complejo, deberá

escogerse una función núcleo y un parámetro de alisado basándose

sólo en los datos y en el estimador ya determinado.

En el presente capítulo se muestran los estimadores núcleo

que podrían emplearse, las funciones núcleo, los criterios de

selección del parámetro óptimo y los métodos de estimación de

dicho parámetro. A continuación, se diseñan unas pautas de

comportamiento que deben seguirse para ajustar una curva,

basándose en los datos y las características del problema.

5.1 -ESTIMADORES NÚCLEO DE LA LINEA DE REGRESIÓN.

Los dos tipos fundamentales de estimadores núcleo de la

curva de regresión son el estimador de Nadaraya-Watson (1964) y

el estimador del tipo de Prietsley-Chao (1972).

1.1. Estimador del tipo de Nadaraya y Watson.

Este estimador de la curva de regresión se basa en un método

denominado de la función núcleo. Su expresión, que emplea las

estimaciones de la función de densidad conjunta y de la función

de densidad marginal de la variable x, es causa de que se le

considere como el estimador propio de la curva de regresión de

y sobre x para un modelo de diseño aleatorio.

Si (X,Y) es una variable aleatoria bidimensional con función

de densidad conjunta f(x,y) y f(x) es la función de densidad

marginal de la variable aleatoria X y seleccionamos una muestra

174

(x,-/ Y¡) / con i=l, .../ n, de la población (X, Y), la

aproximación a la curva de regresión, propuesta

independientemente por Nadaraya y Watson en 1964, viene dada por

el estimador

x-X,

S ' l ^ r 1 SÍ¿*(Í^'|,O

A.U.^.1 j>(^ ) « Â-

"í'fir6)"0- (1-1>

K(x) es una función núcleo, es decir, que cumple las

condiciones de regularidad expuestas por Nadaraya (1989) y que

se recogen en el capitulo 4.

El parámetro de alisado hn es un número positivo que regula

el grado de alisamiento de la curva. Si h->-0, la estimación de la

línea tiende hacia la interpolación lineal de los datos y, si

h-K», la línea converge a la función constante Y .

La expresión del error cuadrático medio de este estimador,

cuando s=2 (siendo s el orden de la función núcleo empleada en

la estima) , fué deducida por Rosenblatt (1969) . A partir de ella,

se obtiene la siguiente ecuación para el parámetro de alisado

óptimo, en el sentido de minimizar el ECMI(hn), (ver Nadaraya,

1989),

ü> Aí(f(x.y).K)r*n^St (1>2) A2 (f(x,y) ,K)

donde,

175

A± (f(x,y),K)=f Var (Y/X=x) f(x) w(x) dxfic2 (u) du, (1.3)

ü2 (f(x,y),K)=f^jyf(xty)dy]"-f"(x)g(x)Jw(x)dx(Ju2K(u)di¡), (1.4)

La dificultad de estimar el valor de A2 es evidente. Además

la expresión de este valor óptimo para funciones núcleo de orden

mayor que 2 aún es más complicada. Por ello, se recurre a

algoritmos automáticos de cálculo para estimar el valor óptimo

del ancho de banda.

La utilización de este estimador con un modelo de diseño

fijo supone estimar la linea de regresión cuando la función de

densidad marginal de la x es conocida. En el caso particular de

observaciones igualmente espaciadas en un intervalo determinado

(por ejemplo [0,1]), puede suponerse que los valores de X están

uniformemente distribuidas U(0,1).

Algunas propiedades de este estimador se recogen en los

trabajos de en Nadaraya (1989) y Hárdle (1991). En particular,

se demuestra que, bajo ciertas condiciones (ver Nadaraya, 1989),

el estimador sigue una distribución asintóticamente normal,

pudiendo obtenerse los intervalos de confianza ya que, si n-+a>,

entonces

P i\gn(x) -g(x) \< X-^^- - 2<&(A)-1, (1.5)

siendo,

176

x ¿Jrí^W.U)) i ^ i — \ n" I ÍK2(U) o2

n(x)= -4- Ü i 2-i ÍK2(u)du. (1.6)

Las dificultades que presenta este estimador, tanto en el

cálculo del ancho de banda óptimo, como en las derivadas de la

línea de regresión, han llevado al uso de otros estimadores más

sencillos.


Este tipo de estimadores núcleo han sido objeto de la

mayoría de los trabajos y estudios realizados en regresión no

paramétrica. Corrientemente, este tipo de estimadores, se ha

empleado para el modelo de diseño fijo, con datos igualmente

espaciados. Sin embargo, es fácil extrapolar los resultados tanto

al modelo aleatorio, como al caso de valores de X con diferente

espaciado.

Nos encontramos con dos expresiones sencillas de este tipo

de estimadores, la debida a Prietsley y Chao (1972),

*.<*.*,)- g í ^ W p ^ . (1.7)

y la obtenida de forma independiente por Gasser y Müller (1979)

y Cheng y Lin (1981) que toma la forma:

177

^•^--ktxA^y^- (1.8)

donde K es una función de densidad simétrica y de cuadrado

integrable y hn el parámetro de alisado, como se mostró en el

capitulo anterior.

La expresión para obtener un ancho de ventana que minimice

el ECM(h) de esta estima, fue obtenida por Gasser y Müller

(1979). Este valor óptimo sigue la ecuación:

£.= „ r o2í1w(t)f(t)-1dt 1 °i Jo

Cwt)gs) (t)2dt Jo /

n C,

2S+1

(1.9)

con,

q= s\ÍKx)2dx, (1.10)

C2= 2s¡Kx)xsdx, (l.ll)

y w(.) es la función peso.

Esta expresión muestra la dependencia del parámetro de

alisado de la línea de regresión subyacente en los datos. A pesar

de esto, su estimación es más sencilla que la de (1.2) propuesta

por Nadaraya.

Es fácil obtener un estimador de este tipo para un diseño

aleatorio. Los estimadores propuestos por Mack y Müller (1989)

son los siguientes;

'•«•u-i*^*^)*» (1.12)

178

§JX,h„)= A £ £>-»K(^)YW. (1.13)

donde X(i) representa el estadístico de orden de la muestra Xíf

i=l, . .., n, e y(j) la observación Y apareada con el valor X(i).

El valor, en el caso de s=2, de la varianza del estimador

es el doble que la varianza del estimador de Nadaraya-Watson,

siendo el sesgo idéntico.

Sin embargo, las ventajas que presenta este estimador sobre

el (1.1) son manifiestas; y se puede obtener con la misma

facilidad que el estimador de la curva de regresión un estimador

de las derivadas de cualquier orden de dicha línea. Este factor

es de gran importancia en el caso de investigar variables que

representen un crecimiento.

El estimador núcleo generalizado de la derivada v-ésima de

g respecto a x (v> 0), es

donde K es la función núcleo y h= h el ancho de ventana. v -1 n

Las condiciones generales que, en este caso, deben cumplir

las funciones g(v) es que sean v veces derivables con derivada

continua en el intervalo [0,1] y además, que g<v) e Lip a ([0,1]).

Además K debe cumplir las siguientes condiciones de

momentos, para s> v

K,tB € Lip( [-1,1])

/*<*>^(_°1)Vvl, jT'- 3n ( 1 - 1 5 > Por otra parte, se requiere, que si n-«», h-»-0 y nhv+1-«».

179

Las propiedades de este estimador se encuentran ampliamente

estudiadas por Müller (1988).

Los intervalos de confianza propuestos para este estimador

se basan en su normalidad asintótica y tienen la expresión

donde

£<v)(x)± $"1(l-a/2) (p2+í>)1/2, (1.16)

V=d^ 1=1

1 p j; (*^W Av+1 J-i-i M ¿ /

(1.17)

3= As"v£(v) U ) (-1) T^jX <*> x sdx (1.18)

5.2 -FUNCIONES NÚCLEO.

Las funciones núcleo empleadas en el estimador de Nadaraya-

Watson, son todas aquellas funciones que cumplen las condiciones

enumeradas en el capítulo anterior. El estudio de las funciones

núcleo óptimas para estimar la línea de regresión por este

procedimiento no ha sido abordada aún desde ningún aspecto.

Por contra, sí existe un estudio de este problema para el

estimador propuesto por Gasser y Müller. Se busca la clase de

funciones núcleo que minimice la varianza del estimador de las

derivadas de orden v de la línea de regresión.

Müller (1984) demuestra que la única solución posible al

problema de minimizar la varianza es emplear funciones núcleo que

sean, para s y v pares o impares los dos, con v+2< s, polinomios

en x de grado (S+2JU-2) en [-1,1]. Los coeficientes de estos

180

polinomios vienen dados por

a - = ( - D ( i + v ) / 2 ( s+v+2n) ! ( s -v ) (g+2|*-i) ( s + i ) ! ( 1 1 9 ) Í i ! ( i - v - l ) 2 2 ( s ^ ) + 1 ( S " V ) ! ( s + v + 2 > i ) ; ( g + S t i - i ) , ( s+i ,

¿* £* ¿» Á

cuando (s+i) es par, y a¡= 0 cuando (s+i) es impar; \Í es un valor

que determina junto con s el grado del polinomio y, por tanto,

la derivabilidad de la función núcleo y del estimador resultante.

En Gasser, Müller y Mammitzsch (1985) se muestran soluciones

explícitas de las funciones núcleo así obtenidas.

Evidentemente, el hecho de que estas funciones minimicen la

varianza del estimador no implica que minimicen el ECM(h) o el

ECMI(h), que también dependen del sesgo del estimador.

5.3 -MÉTODOS DE DETERMINACIÓN DEL ANCHO DE VENTANA.

El patrón de comportamiento de una estima no paramétrica y

su calidad estadística dependen en gran parte del ancho de

ventana seleccionado. Un parámetro de alisado demasiado grande

puede no tener en cuenta características presentes en la curva

de regresión; si es demasiado pequeño puede llevar a considerar

características espúreas debidas a la aleatoriedad. Una selección

puramente subjetiva también es cuestionable por razones

científicas generales.

Los métodos de determinar un valor apropiado del ancho de

ventana se basan en la optimización de alguna de las medidas del

error que se han descrito en el anterior capítulo. Las medidas

más empleadas son el error cuadrático medio, ECM(h) y el error

cuadrático medio integrado, ECMI(h).

181

3.1. Minimización del ECM(h).

Para minimizar el ECM(h) es preciso estimar de alguna forma

este error ya que depende en su expresión de la curva desconocida

g(x). El estimador tradicionalmente empleado es la suma de

residuos al cuadrado:

P(A)= - ¿ (yj-Ûi))2 wUj) . (3.1)

Desafortunadamente P(h) es un estimador sesgado del ECM(h). Este

estimador tenderá a cero si el parámetro de alisado h tiende a

cero.

Para soslayar este problema se han propuesto dos métodos

diferentes: el primero, utilizar una función de penalización que

corrija el sesgo del estimador; y el segundo, emplear el

estimador de validación cruzada.

A) Método de penalización:

La estimación del error, según Hárdle (1991), puede

expresarse, en este caso, de la forma

G(tl) = 1 ¿ (Yi-SJXj)2 Qn-1Whi(X1))w(X1), (3.2) n i=1

donde,

Whi= K^X-XJ / ía(x) . (3.3)

La aproximación al ancho de ventana óptimo presenta diferencias

sustanciales al emplear diferentes funciones de penalización.

Algunas de las funciones de penalización más empleadas, 9(u), se

recogen a continuación.

182

a) Modelo selector de Shibata (Shibata, 1981)

9(u) = l+2u (3.4)

b) Validación cruzada generalizada (Craven y Whaba 1979; Li

1985)

9(u) = (1-u)-2 (3.5)

c) Criterio de información de Akaike (Akaike 1970)

9(u) = e2u (3.6)

d) Error de predicción finita (Akaike 1974)

Q(u)=±m (3.7) 1-u

e) T de Rice (Rice 1984)

9(u) = (1-2U)'1 (3.8)

B) Método de validación cruzada:

El método de validación cruzada emplea un estimador de la

línea de regresión en un punto de la muestra, eliminando este

punto en el cálculo de la estima, siendo

n-l

§n.i(Xi)= -Z^T JZHHÍXJYJ. (3-9)

En la expresión del error de predicción sustituimos el estimador

original por este último, así obtenemos una función VC, que

depende sólo de h, para una función núcleo determinada.

183

vc(h)= A ¿ (^Í-^,Í(^Í))2 " W • (3-10)

Se deduce inmediatamente del análisis del error que VC(h)-a2

es un estimador asintóticamente insesgado del ECM(h) . Obtendremos

un estimador de h minimizando la función VC(h) respecto a este

parámetro.

La optimización algorítmica de esta expresión no es una

operación trivial. Se han desarrollado dos métodos diferentes

para determinar el mínimo: un método de búsqueda en una malla,

sobre valores de espaciado igual o desigual, siendo importante

esta elección así como la de un criterio adecuado de

convergencia; el otro método, realiza una aproximación parabólica

sucesiva de la función VC(h), comenzando con un ancho de banda

grande y empleando en la siguiente aproximación valores ya

calculados. El primer algoritmo es, sin duda, muy lento, en

particular para tamaños de muestra grandes.

3.2. Minimización del ECMI(h).

Un método basado en un ancho de banda asintóticamente

óptimo, hn, otenido al minimizar la expresión analítica del error

cuadrático medio integrado, es el propuesto por Gasser et al.

(1991).

Se parte de la expresión de este parámetro óptimo que es de

la forma

184

4-( n \

^ r o2[ wt)f(t)-xdt 1 <-i Jo

fV(t)r<s) (t)2dfc Jo /

n C,

i 2s+l

(3.11)

con C1 dado por (1.10) y C2 por 1.11, siendo w(.) la función

peso, (Gasser y Müller, 1984).

La función w(.) se emplea por conveniencia matemática, para

excluir efectos de borde; se supone continua y diferenciable con

soporte [6,1-6], y w(t)> 0 para te (6,1-6). Esta función también

contribuye a estabilizar el procedimiento de cálculo del

parámetro de alisado, no empleándose para la estima de la

regresión.

En esta expresión del parámetro de alisado se observa su

dependencia de la varianza residual, de la derivada de orden s

de la línea de regresión, y de la función de densidad marginal

de la variable x.

Si queremos obtener un valor del ancho de banda a partir de

los datos contenidos en la muestra, será preciso estimar los

valores desconocidos de la expresión anterior.

Un estimador consistente no paramétrico para a2, varianza

del error o residual, puede calcularse rápidamente por alguna de

las dos expresiones siguientes

82= 27¿ir £ lY~-r> ( 3 . 1 2 )

^-Trhr 5 M <^-w)! ( 3 . 1 3 )

Estos estimadores los propone Rice (1984) y estudios sobre sus

propiedades, así como su empleo en otros métodos de estimación

185

no paramétrica, aparecen en Breiman y Meisel (1976), Müller

(1985), Gasser et al. (1986) y Müller y Stadtmüller (1987).

Para estimar la derivada s-ésima de la línea de regresión

que aparece en el denominador de esta expresión se recurre a los

estimadores núcleo para las derivadas (Gasser y Müller, 1984).

Debe tenerse en cuenta que la estimación de las derivadas

requiere la especificación de un ancho de banda distinto.

El algoritmo de enlace iterativo, propuesto y estudiado por

Gasser et al. (1991), consta de los siguientes pasos:

Primero, se toma un valor inicial de h, h 0= 1/n.

Segundo, para i= 1, 2, ..., se calcula

15,= (i q <_* \TITI ( 3 I 1 4 )

n C2 fV(t)^ ( s ) (tíñi__.n2i2s+1) )2dt Jo ,

Tercero, cuando se llega a las 11 iteraciones se para y se

toma ñ opt= h „.

Se han comprobado sus buenas propiedades, en teoría y con

simulación, tanto para pequeñas como para grandes muestras.

Se puede obtener, por este procedimiento, una estimación del

valor del parámetro de alisado para un diseño aleatorio,

multiplicando el numerador por el factor 1,5 y presentando,

también en este caso, una buena aproximación al óptimo real.

Las propiedades del algoritmo más destacables son: La

selección del ancho inicial, que no requiere ningún conocimiento

a priori, y el pequeño tamaño del ancho inicial que capacita para

identificar pequeños anchos de banda óptimos. El ancho de banda

empleado para la estimación de la segunda derivada de la línea

186

de regresión se sobreestima con respecto al ancho de banda de

interés con una razón de n1/1°, para un orden s=2, lo que lleva a

razones de orden n"1/2 para términos del error de la función a

estimar. Se realiza un número alto de iteraciones que propician

un buen funcionamiento del algoritmo.

5.4 -ESTIMACIÓN NÚCLEO DE LA REGRESIÓN.

Se propone en este apartado un método operativo muy general,

que permita la estimación de la línea de regresión en el mayor

número de situaciones posibles. Se han mostrado en este capítulo

distintas opciones que se pueden escoger a la hora de estimar la

regresión por este procedimiento. Hay distintos tipos de

estimadores núcleo, criterios de selección del ancho de ventana

óptimo diferentes y además, varios métodos de estimación del

parámetro de alisado óptimo.

Ya nos hemos referido a las dificultades que se plantean al

escoger un estimador del tipo (1.1) (Nadaraya-Watson) para

estimar la línea de regresión. Los estimadores del tipo Priestley

y Chao (1.7, 1.8, 1.12 y 1.13) soslayan estos problemas a cambio

de aumentar el error cuadrático medio integrado (ECMI) de la

estimación. A pesar de este último inconveniente, las ventajas

que presentan estos estimadores, en tiempo de cálculo y facilidad

en la estimación de las derivadas de la línea de regresión, son

considerables. La flexibilidad y sencillez de la estima nos hacen

considerarlo el más adecuado para un procedimiento general de la

estimación núcleo de la regresión.

Se ha empleado para el diseño fijo, en este trabajo, el

187

estimador del tipo de Gasser y Müller (1979)

«!•'«- -¿* i i i:; * (^)* ^. «* • i> rrzn i-i J=I*'SÍ-I v •" /

donde k es el número de valores fijos de X, y r es la cantidad

de observaciones Y para cada valor de X ,y n=rk.

Para el diseño aleatorio se ha escogido el estimador (1.12)

de Mack y Müller (1989).

Independientemente de la selección del tipo de estimador,

debemos escoger un criterio para el cálculo del parámetro de

alisado. La controversia existente en este punto es grande,

trabajos muy recientes como el de Gasser et al. (1991) y Hárdle

(1991) emplean distintos criterios. Sin embargo, hay que tener

en cuenta que el ancho de banda es una cantidad auxiliar para la

estimación, y el criterio establecido para determinar la bondad

de la estimación es el ECMI. Esta no es una razón suficiente para

preferir el criterio del ECMI, sin embargo, al no constituir

ninguno de los dos criterios una mejora sustancial respecto al

otro, consideramos el criterio del ECMI. Además, la existencia

de una relación entre los dos óptimos permite calcular el óptimo

con respecto al ECM en función del óptimo con respecto al ECMI -

ver Müller (1988)-, por lo que la elección previa de criterio

pierde parte de su importancia.

El método de estimación del parámetro de alisado se ha

escogido basándonos en los resultados y conclusiones de los

trabajos de Gasser y Kóhler (1990) y Gasser et al. (1991), que

proponen un algoritmo de enlace ("plug-in") para la estimación

del ancho de banda óptimo que minimiza el ECMI. Esta estimación

se caracteriza por su baja variabilidad, en contraste con las

188

reglas descritas de validación cruzada; su buen funcionamiento

para muestras de pequeño tamaño; y su flexibilidad, ya que es

aplicable a problemas de regresión con diseños igual o

desigualmente espaciados, fijos o aleatorios, pudiendo emplearse

también en problemas con dimensiones mayores.

Emplearemos, por tanto, el estimador del tipo 1.8, el

criterio del ECMI(h) y para estimar el ancho de banda óptimo el

algoritmo de enlace.

Un problema que se plantea al estimar la línea de regresión,

tanto en un diseño fijo como en uno aleatorio, es la tendencia

de ésta a descender bruscamente en los extremos del intervalo que

contiene al conjunto de datos muéstrales.

Si g(x) está definida en [0,1] este efecto negativo en el

comportamiento de la curva de regresión, que tiene que ver con

el ancho de banda h empleado, se manifiesta en las bandas en las

que x pertenece a [0,h] o [l-h,l]. Así cuanto mayor sea el valor

de h, mayor será la región donde la línea de regresión se

encuentre distorsionada. En el presente trabajo se ha subsanado

este problema de una forma sencilla, sin modificar el ancho de

ventana óptimo estimado. Se ha procedido a crear una

pseudomuestra por reflexión, de tal manera que los puntos de la

muestra inicial que se encuentran en los intervalos [0,h] y [1-

h,l] se duplican de la siguiente forma:

Si (Xi ,Y) son r puntos de la muestra inicial con

X1 < X2 <...< Xp e [0,h], se tomarán otros r puntos (X'^Y'j) de

tal forma que X1,. = -X., e Y', = 2Y1 - Y,-. En el caso de un diseño

fijo con varias observaciones para un valor dado de X, el valor

de Y, de la ecuación anterior es la media de las observaciones Y

189

para el valor X1.

Si (X.,Y.) son k puntos de la muestra inicial con

xn-k - xn-k+i •••^ xn e [1_n/l]/ s e toman otros k puntos (X'.,Y'.)

de tal manera que X'j = 2-X j, e Y1, = 2Yn - Yj. En el caso de un

diseño fijo con varias observaciones para un valor dado de X, el

valor de Y de la ecuación anterior es la media de las n

observaciones Y para el valor Xn.

La pseudomuestra, sobre la que calcularemos la línea de

regresión, contiene los n puntos de la muestra inicial y los k+r

puntos generados con las ecuaciones anteriores.

El procedimiento empleado en este trabajo tiene algunos

puntos de contacto con el propuesto por Hall y Wehrly (1991) para

la estima de la regresión empleando estimadores del tipo de

Nadaraya-Watson.

En la figura 5.1 puede apreciarse, para un modelo de

regresión con diseño fijo, la curva de regresión que se obtiene

empleando los n puntos de la muestra inicial (curva que desciende

bruscamente en los extremos) y la curva de regresión obtenida con

la pseudomuestra. Los puntos que aparecen fuera del cuadrado

[0,l]x[0,l], son los añadidos a la muestra inicial.

En la figura 5.2 se ilustra el mismo procedimiento en el

caso de un modelo de diseño aleatorio.

La mejora en el ajuste de la línea de regresión a los datos

muéstrales es clara. La sencillez y generalidad del procedimiento

empleado lo hacen muy apropiado para formar parte de este método

de actuación en la estima de la regresión.

190

AJUSTE EN [0 ,11 Ho=.508 g= G s= 6 P= 3

n

, ***«ÍÍ^jüí '.fh

Í H * *

f í i ' l

Figura 5.1. Estimación con la pseudomuestra en un Hod. fijo.

191

AJUSTE EN [0,1] Ho=.555 v= 0 s= 6 P= 3

* .<•>

4' í*

Figura 5.2. Estimación con la pseudomuestra en un Mod. aleat.

192

Aún nos encontramos ante varias opciones. Al referirnos al

estimador (1.8), se precisó la forma de las funciones núcleo que

minimizan la varianza del estimador. Estas funciones núcleo son

polinomios en x, de grado S+2/J-2 y con coeficientes a. dados por

la expresión 2.1.

Las funciones obtenidas de esta forma dependen de los

valores que tomen v, s y ¡i. El valor de v es igual al orden de

la derivada que se va a estimar con la función núcleo. El valor

de s es el orden de la función núcleo. Los tres valores son

enteros no negativos tales que v+2 < s . El mayor o menor grado

de alisado de la linea estimada va a depender de los valores de

s y /i.

La elección de los valores de s, para estimar la línea de

regresión (v=0), se limita a valores pares y mayores o iguales

a 2 ; ju se escogerá entre 0 y 3 generalmente.

Las siguientes figuras (figuras desde 5.3 hasta 5.7)

muestran las diferentes estimaciones obtenidas con la misma

realización muestral, para un diseño fijo, variando los valores

de s y JU, con el ancho de ventana óptimo estimado para cada

función núcleo. En este caso apenas se aprecian diferencias en

la línea de regresión estimada. Sí es importante hacer constar

que para un mayor grado de alisado, se obtienen estimaciones de

los anchos de ventana óptimos de mayor tamaño ( íi crece

cuando aumentan s o n).

193

fr6T

(OCTJ *POH) 'E'S wanfeTj

i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—rn—i—i—i—i—i—i é é.,^

60T2Tí>¿fr866660"2£ - £¿69H:8EO0OOOT* ST '•!> 2V3. 13d NOIOVIHUA zz - T :x ara iaa woiov&iyf»

UARíACIOM DEL EJE X: 1 - 2 2 UARIACIOM DEL EJE Y: 15.10000038146973 - 32.09999847412109

>" o q> i L_l I I I L_! I I L_J I I L_J L_L

Figura 5.4. (Mod. fijo)

195

VfiBmCiQtj DFT Prr,

*" 1S-^0000381^373 - 32.C 099998^4121O9

Figura 5.5. ÍHod. «jo)

196

UARIBCION DEL EJE X: 1 - 22 UARIACION DEL EJE V: 15.10000038146973 - 32.09999847412109

\ v o i i i i i i i i i i i i i i i i i i


197

UARIACION DEL EJE X: 1 - 2 2 UARIACION DEL EJE V: 15.10000038146973 - 32.09999847412109

i


198

Un mayor tamaño del ancho de banda empleado en la estimación

representa una mayor influencia de los malos efectos en la

estimación de los bordes y por tanto obligan a generar una

pseudomuestra de mayor amplitud. Como puede suponerse esta

circustancia no es deseable en absoluto. Este efecto se puede

apreciar en las figuras 5.8, 5.9 y 5.10.

En el caso de un modelo aleatorio la situación es diferente.

La variación en los valores de s y /i sí representa una variación

apreciable en la línea estimada de la regresión. Con valores s

= 2 y jit = 0 (figura 5.11) la línea estimada presenta oscilaciones

que se pierden por completo estimando con la función de s = 2 y

fj, = 3 (figura 5.12). Se aprecia también un mayor alisamiento en

la estimación con los valores s = 6 y ¡i = 3 (figura 5.13). Un

alisamiento excesivo de la línea de regresión no resulta

conveniente, al menos en la mayoría de los casos, ya que se

pueden perder características importantes de la variable. Además,

como en el caso de un modelo fijo, se presenta junto con el

aumento de s y \Í, un aumento del ancho de banda estimado, con el

efecto "de borde" no deseado que conlleva. Ver figuras 5.^, 5.15

y 5.16.

Por todo esto una elección que creemos conveniente es, por

regla general, la función con valores s = 2 y /i = 3. Si, por las

características de la variable, o del análisis de los datos

muéstrales pudiera inferirse la presencia de oscilaciones

frecuentes o discontinuidades, se recomienda, en el primer caso,

el empleo de la función con s = 2 y / x = l y , en el segundo caso

la función con s = 4, y. =3, que creemos son más apropiadas en

estas circustancias.

199

AJUSTE EN [ 0 , 1 ] Ho- ,132 u= O s= 2 P= 3

Figura 5 . 9 . (Mod. f i j o )

201

UAMACIÜN DEL EJE X: 2.4GG0GGG95367432 - 12.64999961853G27 VARIACIÓN DEL EJE V: .60GGGGG238418579 - 25.5

Figura 5.11. (Mod. aleat.)

203

VARIACIÓN DEL EJE X: 2.400000095367432 - 12.64999961853027 UARIACIOII DEL EJE V: .6000000238418579 - 25.5

Figura 5.12. (Mod. aleat.)

204

VARIACIÓN DEL EJE X: 2.4GG0GGG95367432 - 12.6499996185302? VARIACIÓN DEL EJE Y: .6GGGGG0238418579 - 25.5

Figura 5 . 1 3 . (Mod. a l e a t . )

205

¡¡JUSTE EN [Q JJ

s= 2

Figu** s.a*. <Ho«- « ! • . * . )

2 0 6

AJUSTE EN [0,11 Ho=.555 u= 0 s= 6 P= 3

Figura 5 .16 . (Mod. a l e a t . )

208

El método general para la estimación no paramétrica de la

regresión con funciones núcleo se puede resumir de la siguiente

forma:

Primero. se emplea el estimador (4.1) si el modelo de

regresión es de diseño fijo y el estimador (1.12) si el modelo

es aleatorio.

Segundo, se calcula un parámetro de alisado con el algoritmo

de enlace descrito en (3.2).

Tercero. se crea la pseudomuestra que elimina los defectos

de la estimación en los extremos del intervalo que contiene a los

datos, con el procedimiento que se relaciona en páginas

anteriores.

Cuarto. se escoge la función núcleo que, por defecto, será

v = 0, s = 2, (M =3.

209

CAPITULO 6:APLICACIONES A EJEMPLOS FORESTALES DE

LA ESTIMACIÓN NÚCLEO DE LA CURVA DE REGRESIÓN


6.1 - ESTUDIO DE LAS RELACIONES ENTRE LA CANTIDAD DE

BIOMASA Y CIERTAS VARIABLES DENDROMETRICAS.

1.1. Relaciones del PFRF con el diámetro y la

altura del árbol.

1.2. Relaciones del PST con el diámetro y la

altura del árbol.

1.3. Relaciones del PFT con el diámetro y la

altura del árbol.

1.4. Conclusiones.

6.2 - ESTUDIO DE LAS RELACIONES ENTRE LA EDAD DE POLLOS

DE PERDIZ Y ALGUNAS VARIABLES QUE MIDEN EL

CRECIMIENTO.

2.1. Relación entre el peso y la edad.

2.2. Relación entre la longitud total y la

edad.

2.3. Relación entre la longitud de la cola y la

edad.

2.4. Relación entre la longitud del ala y la

edad.

2.5. Relación entre la longitud del tarso y la

edad.

2.6. Relación entre la longitud desde el culmen

y la edad.

2.7. Relación entre la longitud desde la narina

y la edad.

2.8. Relación entre la anchura del pico y la edad.

CAPITULO 6

APLICACIONES A EJEMPLOS FORESTALES DE LA ESTIMACIÓN NÚCLEO DE

LA LINEA DE REGRESIÓN.


Cuando se estudian conjuntamente dos o más variables, es

lógico tratar de conocer y evaluar el grado de asociación entre

las mismas. El análisis de regresión establece esta asociación

mediante la definición de una relación funcional entre variables.

Resulta evidente que la estimación no paramétrica de la regresión

no puede proporcionar una expresión general sencilla y única de

esta relación; sin embargo supone importantes ventajas respecto

a la regresión paramétrica, que, en general requiere de fuertes

restricciones respecto a la generalidad del procedimiento. No

solo se deben satisfacer unas hipótesis previas con frecuencia

alejadas de la realidad, sino que además al emplear funciones

concretas, las soluciones obtenidas pueden enmascarar

características importantes de la relación. Por tanto, cuando se

busca conocer las características de esta relación entre

variables, por encima de la determinación de una ecuación que nos

212

permita predecir valores de una variable conocido el valor de

otra, es aconsejable el empleo de los métodos de estimación no

paramétrica.

De los métodos no paramétricos, descritos en el capítulo 4,

se ha elegido el método núcleo como el más aplicable en el campo

de la gestión forestal, tanto por su sencillez, como por su

generalidad. Este procedimiento se adapta mejor a la diversidad

de situaciones que pueden presentarse en nuestras aplicaciones.

La regresión se ha empleado ampliamente en los estudios de

gestión forestal. Se podrían encontrar numerosos ejemplos de

búsqueda de la curva de regresión que relaciona dos o más

variables en el campo forestal; en este trabajo nos hemos

limitado a estudiar dos problemas: Las relaciones entre la

biomasa y ciertas variables dendrométricas y, las relaciones

entre variables que miden el crecimiento y los días de vida de

pollos de perdiz.

El estudio de fuentes renovables de energía no deja de ser

un tema de actualidad permanente. De las fuentes existentes, se

presta atención a la proporcionada por las plantas las cuales,

mediante la fotosíntesis, actúan como captadores de la energía

radiante del sol y la transforman en energía bioquímica útil. El

producto final de este proceso es la producción de biomasa -

material constituido por compuestos de carbono reducido- que

produce combustibles utilizables directamente o mediante procesos

de transformación. Por ello, el estudio de la producción de

biomasa de una masa forestal es importante para planificar la

ordenación del monte. Para su determinación se buscan relaciones

con otras variables más fáciles de medir. La regresión no

213

paramétrica, además de resolver los problemas de predicción,

aporta un conocimiento de la influencia de estas variables en el

crecimiento de la biomasa y permite obtener conclusiones respecto

a un mejor aprovechamiento del monte desde el punto de vista

energético. Como ejemplo de aplicación, se parte de un modelo de

diseño aleatorio en el que para un árbol se miden varias

variables relacionadas con el crecimiento y la cantidad de

biomasa. (Datos tomados de González Doncel, 1987) .

Otro de los aprovechamientos tradicionales del monte es la

producción cinegética. La perdiz roja es una de las especies más

comunes objeto de la caza y su importancia en este ámbito ha

originado un gran interés por la cria de los pollos de perdiz.

En la actualidad, se investigan su comportamiento y hábitos

alimenticios. El conocimiento de ambos puede reportar un mayor

control sobre la presencia y número de individuos de esta especie

en las zonas tradicionalmente consideradas como cinegéticas. Un

aspecto importante en la cria de los pollos de perdiz es el

crecimiento en los primeros días de su vida. Para su estudio, se

ha considerado un diseño fijo en el que, durante los primeros 22

dias de vida de los pollos, se han medido varias variables

relacionadas con el crecimiento. (Datos tomados de la tesis

doctoral que está realizando Rueda de Andrés).

214

6.1 - ESTUDIO DE LAS RELACIONES ENTRE LA CANTIDAD DE BIOMASA

Y CIERTAS VARIABLES DENDROMETRICAS.

Ya se ha comentado la importancia del volumen de biomasa

producida por una masa arbolada desde un punto de vista

energético. Se trata de un aprovechamiento tradicional de las

masas de rebollo, que se ha visto impulsado recientemente por la

necesidad de encontrar fuentes de energía renovables y

autóctonas. Además, el empleo de maquinaria forestal hacen

rentable este aprovechamiento desde el punto de vista económico.

Algunas de las cuestiones que se plantean, si se busca un

aprovechamiento óptimo de la masa arbolada, son la posible

utilización completa del árbol y el momento de la corta. En el

primer caso, se debe considerar la posible incidencia sobre el

ecosistema; esto es, las consecuencias ecológicas de la retirada

de unos componentes de la biomasa que anteriormente quedaban

abandonados en el monte, y por lo tanto, incorporados al proceso

de descomposición y reutilización por la vegetación, su

eliminación puede tener efectos importantes. Este riesgo puede

disminuirse dejando en el monte las componentes de mayor riqueza

en bioelementos (ramillas, cortezas y hojas). Como consecuencia

una variable interés ecológico es el peso fresco de ramas finas,

que quedarían en el ecosistema en este tipo de aprovechamiento.

Por otra parte, la producción energética se obtiene del fuste del

árbol y de las ramas gruesas, que se emplearán cuando la madera

esté seca. Como consecuencia, otra variable de interés es el peso

seco de estas partes del árbol. Las consideraciones anteriores

nos llevan a la conclusión de que el mejor momento de corta es

215

aquél en que obtenemos un mayor peso de ramas finas y de madera

seca. Consideraremos también la variable peso fresco total que

incluye el peso del fuste, ramas qruesas y ramas finas.

La estimación de la mayor producción de peso seco del fuste

y las ramas gruesas, que denominaremos PST; de peso fresco de

ramas finas, denominado PFRF; y del peso fresco total de la

biomasa (PFT), requiere obtener unas relaciones entre las

variables de interés y variables que sean fácilmente medibles en

el árbol y que estén relacionadas con el crecimiento; éstas son

el diámetro normal y la altura.

La variable que más aparece en todo tipo de inventarios es

el diámetro normal, o diámetro del árbol a l1 30 metros de altura,

ya que es la que menor dificultad entraña en su medición y es la

mejor correlacionada con la forma y crecimiento del árbol. La

altura también se ha empleado tradicionalmente como variable

independiente en la formulación de modelos paramétricos para

predecir la biomasa, pero este empleo ha sido cuestionado

fundamentalmente por la dificultad y tiempo empleado en su

medida.

Disponemos para el estudio de las relaciones entre estas

variables de mediciones, en una muestra de 105 árboles, de

diámetros normales medidos en centímetros; alturas medidas en

metros; y, PFRF, PFT y PST en kilos. La muestra procede de las

masas de rebollo (Q. pyrenaica Willd) de la provincia de León.

Para obtener esta muestra, se eligieron 27 puntos de muestreo al

azar, dentro de la superficie explotable. En cada punto se

replanteó una parcela circular de 10 m. de radio, midiendo en

éstas los diámetros normales de todos los pies y estableciendo

216

asi clases diamétricas de 1 cm. de amplitud con centro de clase

en los números enteros dentro del rango diamétrico

2'5 cm.-24,5 cm. (con diámetro superior a éste sólo se encuentra

un 10% de la población inventariada). Se seleccionaron a

continuación 105 árboles del conjunto de las 27 parcelas, de tal

manera, que estuvieran representadas todas las clases

diamétricas, y se midió con relascopio las alturas de dichos

árboles, abatiendo a continuación estos pies. A continuación, se

pesaron los distintos componentes del árbol y por medio del

cociente medio "peso seco/peso fresco" se determinó el peso seco

del fuste del árbol y de las ramas gruesas, desecando en estufa

algunos discos de madera procedentes de dichas partes del árbol.

1.1. Relaciones del PFRF con el diámetro y la altura

del árbol.

En la figura 6.1 se muestra la linea de regresión (de trazo

más grueso), estimada por el procedimiento descrito en el

capitulo 5 y el intervalo de confianza al 95% (lineas de trazo

más fino), asi como los datos muéstrales (círculos de la figura).

En el eje horizontal se representan los diámetros y en el eje

vertical el peso fresco de ramas finas (PFRF).

Se observa en esta figura un aumento bastante uniforme del

peso en función del diámetro, aunque se aprecia en dos puntos una

disminución del ritmo de crecimiento.

217

" * & EJE V: ¿L~Z1.S

~ 21

y o s s

/

/ /

o . /

O w o . / /

o o. o /

°S°h

8 ,A .sito cP

o

<V-ô <£

0.°--"

o

• t j

« 9 » « , . , - ^

318

En la figura 6.2 se representa la línea de regresión

estimada y el intervalo de confianza del 95%. En el eje de

abcisas se recoge la variación de la altura y en el eje de

ordenadas, la variación del peso fresco de ramas finas.

Puede apreciarse en esta figura una menor relación entre las

variables. Muchos de los valores se encuentran fuera del

intervalo de confianza, siendo éste de mayor amplitud que el

obtenido en la línea anterior. En este caso se aprecia un menor

aumento del PFRF cuando la altura del árbol es extrema, tanto

cuando es pequeña, como cuando es grande. Sin embargo, en ambos

casos, el máximo peso se obtiene con el diámetro y altura mayor,

lo que nos obliga a concluir que, cuanto mayor es el crecimiento

del árbol, mayor es la cantidad de biomasa que revertiría en el

monte en el caso de un aprovechamiento bien planteado.

1.2. Relaciones del PST con el diámetro y la altura

del árbol.

El estudio del peso seco total (PST) , relacionado con la

producción energética que deseamos obtener con este

aprovechamiento del rebollo, se refleja en las figuras 6.3 y 6.4.

219

UARIACION DEL EJE X: 2.400000095367432 - 12.64999961853027 VARIACIÓN DEL EJE Y: .6000000238418579 - 25.5

Figura 6.2. Relación del PFRF con la altura

220

UARIftCION DEL EJE X: 2.5 - 24 VARIACIÓN DEL EJE V: .6899999976158142 - 209.7100067138672

/

* /

* . r

/ j

V * / •'

y ' *

/ /y

_ / * •

y * *'"* r /**" /

-•••* +

V ^ / * ,

..--'

/'

/ /'

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/ / /

/A / / / • / / f

/ / ' / / / /

* / '' . / / / * / /

/ / / *

<•

Figura 6.3. Relación del PST con el diámetro

221

VARIACIÓN DEL EJE X: 2.4GGGGGG95367432 VARIACIÓN DEL EJE Y: .6899999976158142

12.64999961853G27 176.21GGG67138672

Figura 6.4. Relación del PST con la altura

222

En la figura 6.3 se representan las variaciones del PST (eje

de ordenadas), frente al diámetro (eje de abcisas). La relación

entre ambas variables es bastante buena. El intervalo de

confianza es de pequeña amplitud y casi todos los valores

muéstrales se encuentran dentro de éste intervalo. La línea de

regresión es siempre creciente y cóncava casi siempre,

presentando un valor máximo de PST para el mayor valor

diamétrico.

En la figura 6.4 se refleja la relación entre el PST, medido

en el eje vertical y la altura del pie, medida en el eje

horizontal. En este caso la relación entre las variables no es

tan buena como la anterior. La característica fundamental de esta

línea de regresión es que la curva es siempre creciente,

presentando un punto de inflexión para alturas comprendidas entre

6 y 7 metros. A partir de este punto, el aumento de peso seco del

fuste y ramas gruesas es mayor para un menor aumento de altura.

El máximo peso se encuentra también para una altura máxima.

1.3. Relaciones del PFT con el diámetro y la altura

del árbol.

El peso fresco total del árbol es el conjunto de la biomasa

producida por éste. Se ha relacionado la cantidad de biomasa, con

el diámetro y la altura del árbol.

223

WmciON DPT tf r

2 - I 5 0 0 ^ 9 5 3 6 7 4 3 2 ~ 375. 2 9 9 9 8 7 ? 9 2 9 6 3 8

224

VARIACIÓN DEL EJE X: 2.400000095367432 - 12.64999961853027 VARIACIÓN DEL EJE Y: 2.150000095367432 - 323.6000061035156

Figura 6.6. Relación del PFT con la altura

225

La cantidad de PFT, cuya variación se recoge en el eje de

ordenadas, se relaciona con el diámetro (eje de abcisas) en la

figura 6.5. Esta relación es muy semejante a la anterior, lo que

nos lleva a considerar la poca importancia, desde el punto de

vista de la variación en cantidad de biomasa total que tiene el

peso de las ramas finas.

La figura 6.6 muestra la variación del PFT (eje vertical)

frente a la altura (eje horizontal). Esta variación es similar

a la mostrada en la figura 6.4, aunque se aprecia una ligera

disminución en la amplitud del intervalo de esta segunda linea

estimada.

La producción máxima de biomasa se produce con el mayor

diámetro y altura del árbol.

1.4. Conclusiones.

En general, pueden extraerse de las relaciones anteriores

las siguientes conclusiones:

Primero; La cantidad de biomasa, medida en PFT; la cantidad

de biomasa que se dejaría en el monte (PFRF) y la cantidad de

materia que se aprovecharía en la producción de energía, medida

en PST, se miden más fácilmente y con mayor precisión empleando,

de las dos variables consideradas, el diámetro normal.

Segundo; Se produce un aumento de la velocidad del

crecimiento de la producción de biomasa en peso (PFT) y de la

producción de biomasa destinada al aprovechamiento energético

(PST) a partir de una altura del árbol de 6 a 7 metros. La mayor

velocidad de crecimiento en PFRF, corresponde a alturas

226

comprendidas entre 6 y 11 metros aproximadamente.

Tercero: La mayor producción de biomasa dejada en el monte

y biomasa aprovechada en la producción de energía, coincide con

el mayor diámetro y el mayor tamaño en altura.

Cuarto: De lo anterior se deduce que un mejor

aprovechamiento del monte, tanto desde el punto de vista

económico como desde la consecución del menor daño producido al

ciclo ecológico, implica un turno de corta lo más largo posible.

Se debería cortar cuando el diámetro normal alcanzara el valor

de la clase diamétrica extrema.

6.2 - ESTUDIO DE LAS RELACIONES ENTRE LA EDAD DE POLLOS DE

PERDIZ Y ALGUNAS VARIABLES QUE MIDEN EL CRECIMIENTO.

La perdiz roja (Alectoris rufa) es, entre las diversas

especies cinegéticas que pueblan los montes españoles, una de las

más apreciables por su alto valor faunístico y económico. No es

de extrañar que se haya centrado la atención además de en

diversos aspectos de su ecología, en el conocimiento de su

régimen alimentario. Los estudios realizados sobre la tasa de

mortalidad de las perdices demuestran que el índice más elevado

se alcanza durante las primeras semanas de vida. Entre las causas

de la mortalidad elevada cabe destacar -además de la depredación

y las enfermedades- las condiciones climáticas desfavorables, y

como apartado de relevante importancia, la escasez de insectos

que en este período constituyen un componente esencial de la

dieta. El conocimiento, por tanto del régimen alimentario de los

pollos de perdiz, por las consecuencias que de éste derivan,

227

resulta de gran interés ya que puede traducirse en una posible

ordenación y gestión de los espacios naturales, encaminada a

conseguir un ambiente propicio para que la alimentación natural

de los pollos se desarrolle en mejores condiciones de

supervivencia.

La dificultad existente en la determinación de la edad de

los pollos de perdiz capturados en el campo, hacen necesaria una

estimación de ésta, que se busca por medio de una línea de

regresión entre la edad de pollos de granja y diversas variables

que dependen del crecimiento.

Con el propósito de determinar cuales de las variables

estudiadas serían más eficaces para determinar la edad de los

pollos de perdiz de granja -valores que se extrapolan

posteriormente a los pollos de campo-, y de obtener conclusiones

sobre el crecimiento de los pollos criados en una granja, se

analizó una muestra de pollos en la granja de cría de perdices

de Quintos de Mora (Toledo) , dependiente del ICONA. La muestra

empleada fue de 264 ejemplares (21 lotes de 12 individuos)

correspondientes a los primeros 21 días de vida.

De cada ejemplar se tomaron las siguientes medidas: peso,

longitud total, longitud del ala plegeda, longitud del tarso,

longitud de la cola, longitud del pico desde el culmen, longitud

del pico desde las narinas y anchura del pico, según la

metodología habitual (ver Svensson, 1975).

La estimación de las líneas de regresión se ha realizado con

el método descrito en el capítulo precedente, para el caso de un

diseño fijo, empleando la función núcleo de parámetros v=0, s=2

y ¡1=3 y el método de enlace para la estimación del parámetro de

228

alisado.

En las figuras en que se muestran las estimaciones de la

línea de regresión, se representa en el eje de abcisas la edad

de los pollos de perdiz en días, y en el eje de ordenadas, las

variables que empleamos para determinar el crecimiento. Los

círculos son los valores muéstrales; la linea central, de trazo

más grueso, es la curva de regresión estimada y las dos líneas

exteriores, de trazo más fino, son los límites de confianza, al

95%, de la línea estimada.

2.1. Relación entre el peso y la edad.

La línea de regresión estimada con el método núcleo,

empleando un valor del anho de banda h=0'141, que refleja la

relación existente entre el peso y la edad, medida en días de

vida, del pollo de perdiz se muestra en la figura 6.7. En ella

se aprecia una buena relación entre estas dos variables,

aproximándose la forma de la curva a una línea recta. Se observa,

no obstante, una disminución de la pendiente entre los días 12

y 17, que correspondería a una menor velocidad de crecimiento en

peso de los pollos de esta edad.

229

UARIACION DEL EJE X: 1-22 UARIACION DEL EJE V: 9.699999809265137 106

Figura 6.7. Relación entre el peso y la edad.

230

2.2. Relación entre la longitud total y la edad.

La figura 6.8 muestra la estimación de la línea de regresión

de la longitud total frente a los días de vida del animal, con

un valor del ancho de ventana h=0,122.

El intervalo de confianza es de menor amplitud que el

intervalo de la línea que relaciona peso-días de vida,

encontrándose la mayoría de los valores muéstrales dentro de

dicho intervalo.

Se aprecia en este caso, un máximo relativo de la longitud

total entre los 12 y 13 días de vida y un mínimo local entre los

15 y 16 días. Entre estos dos valores se produce una disminución

de la longitud total del pollo de perdiz.

2.3. Relación entre la longitud de la cola y la

edad.

La línea de regresión entre la variable "longitud de cola"

y los días de vida del pollo de perdiz se ha estimado con un

parámetro de alisado h=0'184 y se muestra en la figura 6.9.

La amplitud del intervalo de confianza es, en general, más

pequeña que en las anteriores estimaciones, aunque en este caso,

el número de datos procedentes de la muestra que no están dentro

de este intervalo es más numeroso.

231

UARIACION DEL EJE X: 1 - 2 2 UARIACION DEL EJE Y: 73 - 202

Figura 6.8. Relación entre la long. total y la edad.

232

VARIACIÓN DEL EJE X: 1 - 22 UARIACIOH DEL EJE V: 6.599999904632568 - 43

Figura 6.9. Relación entre la long. cola y la edad.

233

También en esta curva se aprecia un máximo relativo que se

produce entre los días 12 y 13, así como un mínimo relativo entre

los días 17 y 18. El decrecimiento de la curva entre estos dos

valores es considerable, mucho más apreciable que en la longitud

total. La disminución que se produce por el roce de la cola con

el suelo y por el pisoteo de la cola unos a otros, cuando ésta

alcanza una cierta longitud.

2.4. Relación entre la longitud del ala y la edad.

En la figura 6.10 aparece la línea de regresión estimada con

un valor del ancho de banda h=0'121 y que refleja la relación

existente entre la edad y la longitud del ala de pollos de perdiz

roja.

La amplitud del intervalo de confianza es similar a la que

se obtiene con la longitud total, si bien, los valores fuera del

intervalo son más numerosos.

La forma de la línea de regresión se asemeja a la recta,

aunque presenta una zona entre los 14 y los 18 días en que

disminuye la velocidad del crecimiento, aumentando de nuevo una

vez superada esta etapa.

2.5. Relación entre la longitud del tarso y la edad.


un valor del parámetro de alisado h=0'132 y que refleja la

relación existente entre la edad y la longitud del tarso de los

pollos.

234

UARIACION DEL EJE X: 1-22 UARIACION DEL EJE V: 14.69999980926514 - 102

' * i • • . . . • • • . • i . . • .

Figura 6.10. Relación entre la long. ala y la edad.

235

UARIACION DEL EJE X: 1 - 2Z UARIACION DEL EJE V: 15.100O0038146973 - 32.09999847412

-e-

<r<p i i i i i i i

Figura 6.11. Relación entre la long. tarso y la edad.

236

La amplitud del intervalo de confianza es la menor de todas

las líneas estimadas estando fuera del intervalo un número no muy

grande de valores muéstrales, aunque no sea el mínimo para estas

estimaciones.

La forma de la línea de regresión se asemeja a la recta,

aunque presenta una zona entre los 14 y los 18 días en que

disminuye la velocidad del crecimiento de longitud del tarso.

2.6. Relación entre la longitud desde el culmen y la

edad.


un valor del ancho de banda h=0*131 y que refleja la relación

existente entre la edad y la longitud del culmen de pollos de

perdiz roja.

La amplitud del intervalo de confianza es similar a la que

se obtiene con la longitud del tarso aunque algo mayor y además,

los valores fuera del intervalo son más numerosos.

La forma de la línea de regresión es muy similar a una recta

bastante tendida, aunque presenta una zona entre los 14 y los 18

días en que disminuye la velocidad del crecimiento.

237

UARIACIOM DEL EJE X: 1 - 2Z MARIACIÓN DEL EJE Y: 5.800000190734863 - 1Z.89999961853027

Figura 6.12. Relación entre la long. culmen y la edad.

238

2.7. Relación entre la longitud desde la narina y la

edad.


un valor del parámetro de alisado h=0'136 y que refleja la

relación existente entre la edad y la longitud de la narina de

los pollos.

La amplitud del intervalo de confianza es prácticamente la

misma que en la línea de regresión estimada para la variable

anterior, estando fuera del intervalo un número grande de valores

muéstrales.

Aunque la forma de la línea de regresión sea también en este

caso, muy parecida a una línea recta, es posible apreciar una

zona de menor pendiente que las demás y que es, como en casi

todas las estimaciones realizadas con estas variables, entre los

14 y los 18 días de edad.

2.8. Relación entre la anchura del pico y la edad.


un valor del parámetro de alisado h=0'133 y que muestra las

variaciones de la anchura del pico de los pollos de perdiz, al

variar la edad en días de los mismos.

La amplitud del intervalo de confianza es prácticamente la

misma que en la línea de regresión estimada para la variable

anterior, estando fuera del intervalo un número también muy

similar de valores muéstrales.

239

UARIACION DEL EJE X: 1 - 2 2 UARIACION DEL EJE Y: 4.199999809265137 - 9.100000381469727

Figura 6.13. Relación entre la long. narina y la edad.

240

UARIACION DEL EJE X: 1 - 22 UARIACION DEL EJE V: 3.700000047683716 - 6.800000190734863

-?-"" i i ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' I 1 I I 1 L

Figura 6.14. Relación entre la anchura pico y la edad.

241

La forma de la línea estimada es casi la de una línea recta

muy tendida, presentando la tendencia descrita anteriormente -

disminución de la pendiente entre los 14 y los 18 días de edad-

algo más marcada que en el caso de las otras variables, que miden

el tamaño de narina y culmen.

2.9. Conclusiones.

Del estudio realizado se pueden extraer algunas conclusiones

de interés, principalmente sobre las condiciones en que deben

mantenerse los pollos de perdiz en sus primeros días de vida.

Primero: De todas las variables que se han tomado para

relacionarlas con la edad de los pollos, las que podrían

emplearse para determinar la edad, con un menor riesgo de error,

serían la longitud del tarso y el peso. Ambas combinan la

presencia de intervalos de confianza de amplitud no muy grandes

y una pronunciada pendiente, lo que facilitaría una más correcta

estimación de la edad empleando dichas variables.

Segundo: La disminución en la velocidad de crecimiento,

apreciada en todas las variables estudiadas, entre los días 14

y 18 pude producirse por un aumento de la actividad de los

pollos, manteniéndose la alimentación de la etapa anterior, que

se presenta en este caso como inadecuada para el incremento de

su metabolismo.

Sería adecuado reforzar su alimentación en este período de

tiempo para tratar de evitar esta disminución en la velocidad de

crecimiento.

242

CAPITULO 7:ESTIMACIÓN POR EL MÉTODO NÚCLEO DE LA

FUNCIÓN DE DENSIDAD MULTIVARIABLE. APLICACIONES.


7.1 - ESTIMADOR NÚCLEO DE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD

MULTIVARIABLE.

1.1. Funciones núcleo.

1.2. Parámetro de alisado.

7.2- ESTIMACIÓN DE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD BIVARIANTE.

7.3 - ANÁLISIS DISCRIMINANTE NO PARAMETRICO.

7.4 - FUNCIÓN DE DENSIDAD ESPECTRAL.

7.5 - CONCLUSIONES.

CAPITULO 7

ESTIMACIÓN POR EL MÉTODO NÚCLEO DE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD

MULTIVARIABLE. APLICACIONES.


En los capítulos anteriores se ha hecho referencia a los

métodos de estimación no paramétricos de la función de densidad

con observaciones univariantes y de la curca de regresión. Sin

embargo, algunas aplicaciones de la estimación de la densidad

incluyen el análisis de datos multivariantes. Nos ocuparemos en

este capítulo de la estimación, con el método núcleo, de este

tipo de observaciones.

Una primera dificultad que se presenta al trabajar con

dimensión mayor de uno es la obtención de una viusalización de

la función de densidad multivariable, representación necesaria

para determinar características de la distribución. Kronmal y

Tarter (1973) y Silverman (1986) muestran diferentes

representaciones gráficas de las estimaciones de la función de

densidad para dos variables y en el trabajo de Scott y Thompson

244

(1983), se considera la posible representación de funciones de

densidad en 4 y 5 dimensiones. Cuando se busca emplear estas

estimaciones en alguna otra técnica estadística, el problema de

presentación de los datos carece de importancia y la estimación

de funciones de densidad en espacios de grandes dimensiones

adquiere toda su utilidad.

El método que se propone en este capítulo es general,

aplicable en cualquier espacio d-dimensional, y aunque el método

núcleo no se considera el más apropiado para grandes dimensiones,

sí es el más empleado con observaciones bivariantes. Las

aplicaciones que se presentan a continuación de la exposición del

método núcleo, han sido desarrolladas pada un espacio

bidimensional.

7.1- ESTIMADOR NÚCLEO DE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD

MULTTVARIABLE.

Se define este estimador como una suma de "funciones núcleo"

centradas en las observaciones. Si una muestra, dada por X1# . . . ,

Xn, es observada en un espacio d-dimensional, entonces la

funciónde densidad subyacente se estima con la expresión

donde h es el parámetro de alisado y K(x) es una función núcleo

definida para x d-dimensional y que satisface la condición

f K(x)dx= 1. (1.2) JRá

Una aproximación intuitiva, propuesta por Fukunaga (1972),

245

consiste en transformar inicialmente los datos por medio de un

cambio de origen y escala, obteniendo la matriz de covarianza

unidad, a continuación se alisa usando una función núcleo

radialmente simétrica, y finalmente, se deshace la transformación

inicial. Este proceso equivale a aplicar un estimador de densidad

de la forma:

tm„.mgpp X-X±)T s-1 (x-X,) (1.3)

donde k se toma como

kxTx) = K(x) (1.4)

y S es la matriz de las covarianzas de los valores muéstrales.

l.l. Funciones núcleo.

Se han propuesto diferentes expresiones para las funciones

núcleo que se emplean en las estimaciones de funciones de

densidad multivariantes.

Silverman (1986) sugiere emplear funciones núcleo K(x)

multivariables (xeRd) que sean funciones de densidad de

probabilidad unimodales y radialmente simétricas como:

A) El núcleo Gaussiano,

K(x) = (27t)"d/2 e"2l(x'x) (1.5)

B) El núcleo multivariable de Epanechnikov,

Kx) 1 o, / 2 ( d + 2 ) c ¿ 1 (l-xTx) , si xTx < 1

otro caso. ( 1 . 6 )

donde Cd es el volumen de la esfera unidad d-dimensional,

246

C) En el caso bidimensional (d=2):

[ 0, otro caso. (1.7)

s ^ / - (l-«r-x)3 , si xTx < 1 K (X) = < 7C

[ 0, otro caso. (1.8)

Otros autores (Cacoullos, 1966 y Nadaraya, 1989) proponen

productos de funciones núcleo univariables donde K(x)= ndi=1 K(x) .

Este es el enfoque más empleado en los estudios con aplicaciones

a datos reales como: Kasser y Bruce (1969) y Scott, Gotto, Colé

y Gorry (1978).

De todos ellos el núcleo normal o gaussiano (1.5) requiere

un mayor número de cálculos debido al soporte no acotado de la

función. Del resto, todos con soporte acotado, el núcleo de

Epannechnikov (1.6) presenta, frente a los otros, la desventaja

de poseer un menor orden de diferenciabilidad.

1.2. Parámetro de alisado.

En la expresión (1.1) del estimador se emplea un sólo

parámetro de alisado h, lo que implica que el núcleo centrado en

cada punto muestral es del mismo orden en todas las direcciones

del plano. Parece lógico suponer que, en algunas ocasiones, sería

más apropiado emplear un vector de anchos de banda o, en caso de

que la dispersión de los valores muéstrales sea mucho mayor en

una dirección de los ejes coordenados que en otra, una matriz de

coeficientes reducidos. Este método requiere una mayor

247

complicación en los cálculos que precisa la estimación.

Cuando las funciones núcleo empleadas en la estimación son

de orden 2, si se define C,= [ [x2K] ] y C2= [ [K2] ], y se utiliza el

Teorema de Taylor en su expresión multidimensional y algunas

aproximaciones que simplifican el problema, se concluye:

Sesgoh(x)»^h2C1V2f(x) (1.9)

Var £n(x) * ¿r1 h.-d C2f(x) . (1.10)

En estas condiciones, una aproximación al ECMI que se

obtiene con el estimador (1.1), es

—hiclf[V2f(x)]2dx + n-1h-dC2l (1.11)

y un valor aproximado del ancho óptimo viene dado por la

expresión

2 1 1

d+4 „ d+4 n d+4 . (1.12) hopt= (dC2C?) d+4 [/(V2/)

El valor aproximado al óptimo tiende a cero cuando n crece,

pero de una forma extremadamente lenta, con razón de convergencia

n"1/(d+4). Además el valor apropiado del parámetro de alisado, según

esta expresión, depende de la densidad desconocida, que se quiere

estimar.

Un método alternativo para estimar este valor, es el

descrito en el capítulo 2 para una dimensión, que podría

ampliarse a más dimensiones. Sin embargo el proceso seguido, se

complica y hace más lento a medida que aumenta la dimensión en

el problema.

Estas razones han ocasionado la búsqueda de métodos de

248

estimación más sencillos, aunque las estimaciones sean, en

general, menos exactas.

Un método simple que Silverman (1986) propone como una

posible aproximación, tanto para el caso de una dimensión como

de varias dimensiones, consiste en suponer que la función de

densidad subyacente es una distribución normal, es decir que la

variable aleatoria de la que se ha tomado la muestra, sigue una

distribución normal de varianza unidad. Entonces,

d. d2^ f(V*f(x))*= (2^F)"d | + -f- (1.13)

Este valor se sustituye en la expresión del ECMI, (1.12)

obteniendo un valor

i

hopt= A(K)n d+i , (1.14)

donde A(K) es una constante que depende de la función núcleo

empleada en la estimación.

Si se considera que el alisado de la función depende en

general de la matriz de covarianzas muéstrales S, y si se emplean

núcleos radialmente simétricos, el ancho de banda óptimo

estimado, y que emplearemos en la expresión (1.1) será

ñ = CThopt'

Una elección posible y sencilla de a es el calculado a

partir de a2, que se tomaría como la media de las varianzas

marginales,

249

E*; a2= i=±- (1.15)

Los valores de la constante A(K), definida en la ecuación

(1.14), para varias funciones núcleo K, se recogen en la tabla

7.1, que se muestra a continuación.

N ú c l e o

N. no rma l m u l -

t i v a r . E c . ( 1 . 5 )

N ú c l e o de

E p a n e c h n i k o v

E c . ( 1 . 6 )

N. E c . ( 1 . 7 )

N. E c . ( 1 . 8 )

Dimensión

2

d

2

3

d

2

2

A(K)

1

[ 4 / ( d + 2 ) J1 / '*4)

2 ' 4 0

2 ' 4 9

[8Cd"1(d+4) (277r)d]1 / ( d + 4 >

2 ' 7 8

3» 12

Tabla 7.1. Valores de A(K)

Otro método sencillo consiste en emplear la función núcleo

propuesta por Nadaraya, calculando valores h,, . . ., hd empleando

cualquiera de los métodos propuestos para estimar el ancho óptimo

en el caso de una dimensión, utilizando para esto las funciones

de densidad marginales, y tomando como valor hd que aparece en el

denominador de la expresión (1.1) igual a ñh, . i=1

250

7.2- ESTIMACIÓN DE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD BIVARIANTE.

A continuación se comprueba la eficacia del método

propuesto, desde el punto de vista de la obtención de una

correcta estimación de la función de densidad de probabilidad

para dos dimensiones. Para ello, se toman cuatro funciones de

densidad bivariantes, continuas y definidas en el cuadrado

[0,l]x[0,l]. Estas funciones son:

1. Una doble función uniforme.

2. Una doble %2.

3. Una doble normal formada con la normal univariavle de

media 0'5 y varianza 2.

4. Una doble x2 inversa.

A partir de estas funciones de densidad conocidas se

generaron muestras aleatorias de tamaño 100, siguiendo el

procedimiento de generación de muestras aleatorias descrito en

el capitulo 2.

A continuación se estimó la función de densidad con el

estimador (1.1) . La función núcleo que se emplea en la estimación

es la (1.7) y el valor del ancho de banda es el obtenido con la

expresión h= 2'78(jn"1/6, según el método propuesto por Silverman

(1986).

Para representar la estimación de la función de densidad,

se genera una malla de 80x80, tomando para cada punto de

intersección de la malla el valor de la función de densidad en

ese punto, dibujando la estimación en un gráfico de tres

dimensiones y también se representa por medio de las curvas de

nivel.

251

En la figura 7.1 se muestran los 100 puntos de la

realización muestral que se han obtenido a partir de la

distribución 1, (uniforme bivariante). En la figura 7.2 aparece

la representación gráfica tridimensional de la función estimada,

y en la figura 7.3 las curvas de nivel obtenidas para esta

función. En las representaciones gráficas de la estimación puede

observarse una aproximación, bastante fiel, a la función de

densidad subyacente.

Las figuras 7.4, 7.5 y 7.6 corresponden, respectivamente,

a la representación de la realización muestral de tamaño 100

obtenida a partir de la distribución 2, (x2 bivariante);

representación gráfica tridimensional y representación por curvas

de nivel de la función de densidad estimada. En éstas últimas,

se observa la gran aproximación de la estima a la función de

partida.

Los puntos generados aleatoriamente con la distribución 3

(normal bivariante), se presentan en la figura 7.7, y la función

de densidad estimada con esta realización muestral se observa en

las figuras 7.8 (representación tridimensional) y 7.9 (curvas de

nivel) . El ajuste de la función estimada a la función que da

origen a los datos es, a la vista de estas figuras, bastante

bueno.

252

CP

o o

o

o o

o o

o o

o o

o o

° ° o

^ffur, '« 7. 1 . *ue s t * a 4 . 0 2 .

2S3

Figura 7.2. Representación tridim. de Di.

254

1.00 9.00 17.00 25.00 33.00 41.00 49.00 57.00 65.00 73.00 rr/TrijFmTTininT^^

73.00

65.00

57.00 :

49.00

41.00

33.00 b

25.00

7.00

9.00

1.00 1.00 1.00 9.00 17.00 25.00 33.00 41.00 49.00 57.00 65.00 73.00

Figura 7.3* Representación topogrf. de Di.

255

o o

D O O

O

O O

8 o 0 o

O . o o o b o o <5>

o

O

o

o o

o

o

o o

0 °

o

o ° o o

o

o

o

(

Figura 7 . 4 . Muestra de D2.

256

Figura 7.5. Representación tridim. de D2,

257

00 9.00 17.00 25.00 33.00 41.00 49.00 57.00 65.00 73.00 ¡jmrnTiTTTTmTiTn i m 111111111111111111111 n 111111111111111111111 imTnrm

73.00

65.00

9.00

1:00 . ^ H l W W f T ^ innuuuiuiiiininu-H 1.00 9.00 17.00 25.00 33.00 41.00 49.00 57.00 65.00 73.00

73.00

65.00

57.00

49.00

41.00

33.00

25.00

7 7.00

9.00

1.00

Figura 7.$. Representación topogrf. de D2,

258

o o o

o

o « ° o

°° o ° QD O O

o° o

O o o 0

o o

o ° °

°° *° • : ° n ° °

° ° o

" oo o

O o

o

O o

Figura 7 . 7 . Muestra de D3.

259

Figura 7.8. Representación tridim. de D3.

260

1.00 9.00 l/.Oü 25.0O 33.00 1 i .00 49.00 57.00 65.00 73.00 TTTiTnTTTTnTí rnTnrnn ;m n 111111 jmJOTmnTrrnrtuj 1111111111111111 if

73.00

17.00

9.00 -

- 73.00

= 17.00

, 0 0 ttii.JJJü íiiuim 111 m i n 1111111 n 111111 uutrrn i m 11111111 M I I I n 1111111 m 1.00 9.00 17.00 25.00 33.00 41.00 49.00 57.00 65.00 73.00

1.00

Figura 7.9. Representación topogrf. de D3.

261

En la figura 7.10 se muestran los 100 puntos de la

realización muestral que se han obtenido a partir de la

distribución 4, (inversa de la %2 bivariante). En la figura 7.11

aparece la representación gráfica tridimensional de la función

estimada, y en la figura 7.12 las curvas de nivel obtenidas para

esta función. En las representaciones gráficas de la estimación

puede observarse una aproximación, bastante fiel, a la función

de densidad subyacente.

Los resultados satisfactorios que se obtienen con este

sencillo procedimiento de estimación, contrastados con otras

realizaciones muéstrales, avalan el empleo de este método para

estimar funciones de densidad bivariantes, al menos para un

tamaño de muestra mayor de n=70 (tamaño mínimo con el que se han

contrastado las estimaciones y las funciones de partida). No es

aventurado suponer que la estimación del ancho de banda óptimo

no sea la más apropiada para tamaños muéstrales inferiores a 70.

Este es un camino abierto a las futuras investigaciones sobre el

empleo de los estimadores núcleo.

262

o o

* o o°

o

o ° < * CP

o W o oo0

o °^ ° S o o o ° o o

o 9

o

o o o 0 o

o °° o

o o o

o o o

Figura 7 .10 . Muestra de D4.

263

Figura 7.11. Representación tridim. de D4

264

i.00 9.00 17.00 25.00 33.00 41 .00 49 .00 57 .00 65.00 73.00 rflnrnrrrmTnrrn

73.00

(55.00 rr.

57 .00

49.00

4 ! .00

25.00 -

1 7.00

íi.O'.i

....

, 0 0 t±LiUJJJ.ÍiJlliiilLUlUJ

- 17.00

9.00

111 M 11111 n m H n 111 n 111111111111 ffl 1.00 !.00 <¡.00 1 '/.00 25.00 3.3.00 41 .00 49 .00 57 .00 65.00 73.00

Figura 7.12. Representación topogrf. de D4.

265

7.3 - ANÁLISIS DISCRIMINANTE NO PARAMETRICO.

Un problema frecuente en el campo forestal consiste en la

definición de una frontera para la separación entre dos

formaciones vegetales a partir de la información proporcionada

por localizaciones espaciales de individuos de esas dos

formaciones. Aplicaciones de estos problemas se pueden encontrar

en los estudios del medio físico, enfocados a la planificación

de los trabajos selvicolas, asignación del suelo a usos

diferentes, y en cualquier proceso en el que la clasificación en

unidades diferenciadas sea fundamental.

Un procedimiento sencillo, empleado para la separación en

clases diferentes, es el análisis discriminante. El problema

básico que se plantea en el análisis discriminante es el

siguiente: Dada una muestra X,, ..., Xn, que sabemos procede de

la población A, y una muestra Y v ..., Y,,, que sabemos se ha

tomado de la población B, para una nueva observación Z, deseamos

conocer si Z procede de la población A o de la población B.

El procedimiento clásico empleado se basa en la hipótesis

del conocimiento de las funciones de densidad fA de la población

A, y fB de la población B. Entonces, localizaremos Z por el

método de máxima verosimitilud en la población A cuando

fA(Z)z fB(Z) . (3.1)

En los procedimientos paramétricos clásicos se supone que

la función de densidad es conocida salvo en el valor de ciertos

parámetros que se estiman con los conjuntos iniciales de los

datos para cada una de las poblaciones A y B. Si las

distribuciones de las poblaciones A y B se toman como normales

266

multivariantes con medias los vectores /L¿A y /¿B y matriz de

varianzas común para las dos poblaciones. Si los estimadores de

los valores poblacionales son las medias muéstrales X, Y ,

la matriz de covarianzas muéstrales se puede expresar como:

(3.2) v\n S= (m+n-2)-1 H£ X±-X) XrX)T+ £ (Yj-Y) (Yj-Y)

Con estas estimaciones la ecuación (3.1), se transforma en un

caso especial, la regla de discriminación lineal, en que se

localiza Z en la población A, se convierte en:

Z-— (X+Y) 2

TS-x(X-Y)>0. (3.3)

de esta forma se separan las dos regiones con una línea recta.

Este razonamiento puede ampliarse al caso en que las

varianzas de las dos poblaciones no se supongan iguales,

conservando el resto de las hipótesis. En este caso, se obtendría

una expresión, sustituyendo las densidades en (3.1) por su valor

en función de los parámetros estimados, que es la regla de

discriminación denominada cuadrática, ya que es una expresión en

Z2.

Fix y Hodges (1951), proponen el análisis discriminante

noparamétrico como una solución natural al problema cuando no se

conocen las funciones de densidad de las poblaciones A o B.

El procedimiento empleado seria el mismo, usando en lugar de las

funciones de densidad, las funciones estimadas con los dos

conjuntos de datos muéstrales iniciales, y sustituyendo por estas

estimaciones, las funciones de la ecuación (3.1).

Es indudable que cuanto mejor sea la estimación de la

función de densidad, más correcta será la regla de decisión del

267

análisis discriminante. Un estudio importante acerca de este

procedimiento es el contenido en el trabajo de Remme, Habbema y

Hermans (1980), en que el método no paramétrico usado para las

estimaciones de las densidades en el análisis discriminante es

la estimación núcleo. Se estiman las funciones de forma

independiente para cada población, utilizando el método de

validación cruzada máximo verosimil para obtener un valor del

parámetro de alisado, obteniendo buenos resultados con la

estimación núcleo en todos los casos investigados.

En la figura 7.13 se han empleado los resultados del

apartado anterior para obtener un análisis discriminante. Los

datos proceden de las distribuciones 2 (los marcados con una

cruz) y 4 (que se representan por un círculo) . En la figuras 7.14

y 7.15 se muestra la representación por curvas de nivel de las

dos distribuciones estimadas.

7.4 - FUNCIÓN DE DENSIDAD ESPECTRAL.

Las técnicas tratadas hasta ahora se basan en la hipótesis

de que las observaciones son independientes unas de otras. Sin

embargo, en los procesos donde intervienen variables que

evolucionan con el tiempo, en el espacio, o en ambos a la vez

(caudal de un río, concentraciones en la atmósfera de un agente

contaminante, ...) , la modelización de las observaciones requiere

otro tipo de técnicas que consideren la dependencia entre

observaciones. La teoría de los procesos estocásticos es la base

para el análisis de estas variables.

268

1K-

X

x<

xx

* o c>

* * & x

•f* . * *

X

O oo

°S> ° o

.< X X x .. X X

o o

o o

X*

Figura 7.13. Análisis discriminante.

269

.00 9.00 17.00 25.00 33.00 41.00 49.00 57.00 65.00 73.00 FTTTTITTITTTTmTrrTTnTn

73.00

65.00 -

57.00 =

9.00

-, . 0 0 m wmuHTMMrínnri KI v(\ \tf\ i1 m 11 I/M I I H I I I I I I I J 1.00 9.00 17.00 25.00 33.00 41.00 49.00 57.00 65.00 73.00

73.00

65.00

57.00

3 49.00

41.00

33.00

25.00

17.00

9.00

1.00

Figura 7.14. Curvas de nivel D2.

270

.00 9.00 17.00 25.00 33.00 41.00 49.00 57.00 65.00 73.00

73.00

57.00

49.00

4 ! .00

3.3.00

25.00

17.00 r

9.00

T 00 * * ' ! ' ' ( ! ' » ' 111 n m 11 i i i n i i i i i i n i i i i i i 1111 n 11111 ¡ n i i n H i ¡ 1111111111 n u i n-i.OO 9.00 ! 7.00 25.00 3.3.00 4 1.00 49.00 57.00 65.00 73.00

25.00

17.00

9.00

1.00

Figura 7.15. Curvas de nivel D4.

271

Las aplicaciones de los procesos estocásticos a los Estudios

del Medio son múltiples. Estudios sobre la evolución de la

productividad o naturalidad de un ecosistema en el tiempo, o

sobre la evolución de parámetros de contaminación, son ejemplos

de procesos estocásticos con conjunto de índices unidimensional.

En dos dimensiones, la elección de un conjunto apropiado de

índices sirve para caracterizar distintos procesos: si el

conjunto de índices estuviera formado por todos los posibles

pares de coordenadas en el plano, para cada par de coordenadas

(x,y) existiría una variable aleatoria (profundidad del suelo,

precipitación ... ) que podría analizarse bajo la óptica de un

proceso estocástico. Otro tipo de procesos estocásticos se deriva

de considerar como conjunto de índices a todos los posibles

rectángulos que puedan definirse en el plano, de esta forma es

posible estudiar la densidad o abundancia de diferentes elementos

del medio en cada rectángulo como procesos estocásticos.

La función de densidad espectral se emplea para contrastar

si las suposiciones de un experto en el medio sobre la frecuencia

de aparición de una variable se corresponde con la realidad.

Buenos estimadores de la función de densidad espectral se

pueden obtener mediante transformaciones de la función de

autocovarianza truncada (estimada a partir del correlograma

muestral) o mediante suavizaciones del periodograma, que,

aplicado directamente no es un buen estimador de la función de

densidad espectral.

La estimación de la función de densidad espectral para dos

variables se realizó por medio de la llamada "ventana espectral",

272

£(w,v)= [* r I(k,\i)W(<¿-X,v-\L)dkd\i, ,(4.1)

Para el cálculo del periodograma se aplicó la siguiente

expresión:

j(x, n) =- i -y; y; c(u, V)COSA. ucos\iv-senkusen\i.vsi, ( 4 . 2 )

4rc2'6-^' ^

con u variando entre -XMAX y XMAX y v entre -YMAX e YMAX (XMAX

e YMAX representan el número de pixels de la zona de estudio),

y donde c(u,v) es el correlograma muestral: M1 M2

C^'S) = ^ E E (Zuv-& û+ZiV+s-Z) , (4.3)

donde: m.,=max(l, 1-r) m2=max(l, 1-s)

M1=min(XMAX,XMAX-r) M2=min(YMAX,YMAX-s) y

N=XMAX*YMAX

La llamada "ventana espectral" se asemeja a una función

núcleo. Priestley (1981), utiliza para obtener la ventana

espectral de dos dimensiones, el método propuesto en el caso de

la función núcleo por Cacoullos (1966) y Nadaraya (1989), para

la función núcleo de dos variables, que consiste en emplear el

producto de dos ventanas espectrales unidimensionales.

Para aplicar la estimación propuesta se ha empleado el doble

producto de la ventana espectral, introducida por Priestley

(1962) y Barlett (1963) independientemente, obteniéndose la

siguiente expresión

W(x,y)= ><¥! -m 71 7C

,six¿— e yi£ —

0 resto, (4.4)

Los valores de M., y M2 son los valores correspondientes a

273

los anchos de banda en las funciones núcleo.

Estos valores se calculan independientemente para x e y, de

tal manera que minimicen el error cuadrático medio relativo del

estimador para un valor dado de N y suponiendo que la serie

subyacente siga un proceso AR(2). Esta hipótesis supone una

elección sobredimensionada del parámetro M, lo que favorece una

disminución del sesgo del estimador. Se tomarán los valores K-=

(2833'8567Ni)1/5, para i=l,2.

Otra forma de obtener función de densidad espectral f(w)

por métodos paramétricos, se realizó a partir a una función g(w)

que es el resultado de aplicar una suavización, del tipo media

móvil, al periodograma de forma que:

log10g(w)=log10f (w)+ TI (4.5)

donde r\ es una distribución normal con media 0 y varianza:

TI (log10e)2/N a 2. (4.6)

Una aplicación espacial del análisis espectral surge como

respuesta a la pregunta: ¿qué elementos del medio se pueden

considerar significativos para definir una característica o

cualidad del medio, o para definir la capacidad o el impacto de

una actividad?. En general, esta pregunta se responde por

preguntas directas a los expertos en el proceso considerado, los

cuales suelen responder "por exceso", presentando un número

elevado de mapas de partida.

Para reducir esta información a la realmente relevante se

pueden presentar al decisor las características espectrales

274

(función de densidad espectral) de los distintos mapas

seleccionados, con objeto de que determine si la variación

espacial de los distintos mapas está de acuerdo con el

conocimiento que, a priori, posee del elemento.

En la figura 7.16 se presentan las funciones de densidad

espectral de dos elementos que se consideraron significativos

para estudiar el paisaje (altitud y cuenca visual relativa), de

una zona cuyo mapa topográfico se presenta en la figura 7.17.

Al analizar la función de densidad espectral de la cuenca

visual relativa se pueden apreciar las variaciones producidas por

los valles paralelos en dirección Noroeste, y en menor medida

Norte, según se podria esperar de la observación de la figura

7.17. Esta variación no se refleja de la función de densidad

espectral de la altitud. Por tanto, en este caso, la cuenca

visual relativa es un buen indicador de la complejidad

topográfica de la zona, mientras la altitud, por si sola, no

parece ser un buen indicador del relieve.

7.5 - CONCLUSIONES.

Se propone el método recogido por Silverman como válido para

estimar las funciones de densidad bivariantes para tamaños

muéstrales mayores de 70, empleándose en una técnica estadística

como el análisis discriminante. Por otra parte, se ha usado el

procedimiento clásico de estimación de funciones de densidad

espectral propuesto por Priestley (1981) empleando "ventanas

espectrales".

275

Figu espectral .

2 7 6

Figura 7.17 Mapa topográfico.

277

CAPITULO 8¡CONCLUSIONES

8.1 - REGLAS DE DECISIÓN.

1.1. Estimación de funciones de densidad.

1.2. Estimación de la regresión.

1.3. Estimación de funciones de densidad

bivariantes.

8.2 - APLICACIONES AL ÁMBITO FORESTAL.

2.1. Resistencia a cortante de la madera laminada

encolada.

2.2. Pluviometría y altura de eucaliptos en

Huelva.

2.3. Producción de biomasa del rebollo.

2.4. Crecimiento de pollos de perdiz de granja.

CAPITULO 8

CONCLUSIONES

Las conclusiones que pueden extraerse del trabajo realizado,

de acuerdo con los objetivos marcados al comienzo del mismo, son

de dos tipos: Conclusiones sobre los aspectos de la interfase

usuario-métodos estadisticos, y aquellas correspondientes a la

aplicación de las reglas anteriores.

8.1 - REGLAS DE DECISIÓN.

1.1. Estimación de funciones de densidad.

Se considerarán dos casos diferentes, cuando el tamaño

muestral es pequeño y otro, cuando el tamaño muestral es grande.

1.- Si la muestra es pequeña, se clasifica la muestra por

sus características, dentro de alguno de los 10 grupos muéstrales

cuyas peculiaridades se recogen en la figura 2.2.

A continuación, dependiendo del grupo, se escoge la función

núcleo y el método de estimación del ancho de ventana de la forma

siguiente:

279











El procedimiento de estimación de ancho de banda óptimo es

el de validación cruzada máximo verosimil.

2.- Si la muestra es grande, se clasifica dentro de los

cinco grupos muéstrales unimodales que se recogen en la figura

2.2, seleccionando:






El procedimiento de cálculo de la estimación del parámetro

de alisado óptimo es el mismo que para el caso de muestras de

pequeño tamaño.

280

1.2. Estimación de la regresión.

El método general para la estimación no paramétrica de la

regresión con funciones núcleo se puede resumir de la siguiente

forma:

Primero. se emplea el estimador núcleo del tipo Priestley

y Chao, según la ecuación 4.1 del capítulo 5 si el modelo de

regresión es de diseño fijo y el estimador 1.12 del capítulo 5

si el modelo es aleatorio.

Segundo, se calcula un parámetro de alisado con el algoritmo

de enlace descrito en 3.2 (capítulo 5)

Tercero, se crea la pseudomuestra que elimina los defectos

de la estimación en los extremos del intervalo que contiene a los

datos, con el procedimiento geométrico de reflexión que se

propone en este trabajo.

Cuarto, se escoge la función núcleo que, por defecto, será

v = 0, s = 2, /i =3.

1.3. Estimación de funciones de densidad

bivariantes.

Se propone el método recogido por Silverman como válido para

estimar las funciones de densidad bivariantes para tamaños

muéstrales mayores de 70, y se emplea en una aplicación de tipo

estadístico como el análisis discriminante y en la estimación de

la función de densidad espectral, se emplea el procedimiento de

Cacoullos y Nadaraya, contrastado por otros autores para

densidades espectrales bivariantes.

281

8.2 - APLICACIONES AL ÁMBITO FORESTAL.

2.1. Resistencia a cortante de la madera laminada

encolada.

Tradicionalmente se ha considerado, cuando el fallo de la

unión se produce por la madera en un 100% de los casos, que el

valor límite que determina la aceptación o rechazo de las uniones

ensayadas es una tensión de 0'60 Kg/mm2, valor que representa el

percentil 5 de la función de densidad de la variable y estimado

mediante el percentil muestral en sucesivos ensayos de este tipo.

Este límite es superior al valor estimado por el procedimiento

no paramétrico. Basándonos en este estudio puede concluirse que

el valor que se emplea actualmente debería disminuirse en 10

Kg/mm2, lo que redundaría en un mayor número de piezas,

procedentes de la fabrica, que pueden ser aceptadas.

2.2. Pluviometría y altura de eucaliptos en Huelva.

Se obtienen estimaciones de los percentiles 10 y 90, que se

consideran valores limites de la pluviometría en dos zonas de la

provincia de Huelva, para la zona de Riotinto, la pluviometría

de los años secos es menor o igual a 457mm, y la de años

lluviosos mayor o igual de llOlmm y para la zona de Tharsis, se

estimó que los años secos correspondían a pluviometrías menores

o iguales a 389mm, y los años lluviosos a pluviometrías mayores

o iguales a 868mm.

Se observa, en las dos zonas antes mencionadas que la

282

distribución de alturas de eucaliptos no presenta grandes

diferencias considerando estos diferentes periodos, pudiendo

apreciarse una mayor asimetría en la distribución de las alturas

en periodos secos. La disponibilidad de diferente cantidad de

información no permite establecer comparaciones certeras entre

ambas estaciones.

2.3. Producción de biomasa del rebollo.

Del estudio de las relaciones entre diámetros normales y

alturas, con la producción de biomasa se obtienen las siguientes

conclusiones:

Primero: La cantidad de biomasa, medida en PFT; la cantidad

de biomasa que se dejaría en el monte (PFRF) y la cantidad de

materia que se aprovecharía en la producción de energía, medida

en PST, se miden más fácilmente y con mayor precisión empleando,

de las dos variables consideradas, el diámetro normal.

Segundo: Se produce un aumento de la velocidad del

crecimiento de la producción de biomasa en peso (PFT) y de la

producción de biomasa destinada al aprovechamiento energético

(PST) a partir de una altura del árbol de 6 a 7 metros. La mayor

velocidad de crecimiento en PFRF, corresponde a alturas

comprendidas entre 6 y 11 metros aproximadamente.

Tercero: La mayor producción de biomasa dejada en el monte

y biomasa aprovechada en la producción de energía, coincide con

el mayor diámetro y el mayor tamaño en altura.

Cuarto: De lo anterior se deduce que un mejor

aprovechamiento del monte, tanto desde el punto de vista

283

económico como desde la consecución del menor daño producido al

ciclo ecológico, implica un turno de corta lo más largo posible.

Se debería cortar cuando el diámetro normal alcanzara el valor

de la clase diamétrica extrema.

2.4. Crecimiento de pollos de perdiz de granja.

Del estudio realizado se pueden extraer algunas conclusiones

de interés, principalmente sobre las condiciones en que deben

mantenerse los pollos de perdiz en sus primeros días de vida.

Primero: De todas las variables que se han tomado para

relacionarlas con la edad de los pollos, las que podrían

emplearse para determinar la edad, con un menor riesgo de error,

serían la longitud del tarso y el peso. Ambas combinan la

presencia de intervalos de confianza de amplitud no muy grandes

y una pronunciada pendiente, lo que facilitaría una más correcta

estimación de la edad empleando dichas variables.

Segundo: La disminución en la velocidad de crecimiento,

apreciada en todas las variables estudiadas, entre los días 14

y 18 pude producirse por un aumento de la actividad de los

pollos, manteniéndose la alimentación de la etapa anterior, que

se presenta en este caso como inadecuada para el incremento de

su metabolismo.

Seria adecuado reforzar su alimentación en este período de

tiempo para tratar de evitar esta disminución en la velocidad de

crecimiento.

284

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301

APÉNDICE

VALORES DE LAS REALIZACIONES MUÉSTRALES

EMPLEADAS.

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307

VALORES DE LAS 200 REALIZACIONES MUÉSTRALES DE TAMAÑO n=25.

VALORES DE LAS REALIZACIONES MUÉSTRALES DE TAMAÑO n=100

REALIZACIÓN MUESTRAL DE LA EXPONENCIAL(10).

0 3

14 4 0, 5, 9, 7.

18. 34. 16. 10. 0. 2.

17. 24. 8. 1. 3.

20.

.9020510

.5474550

.8415978

.8073690

.9217500

.3934107

.7700207

.6785915

.2773281

.5369020

.0549509 ,8379650 ,0989389 ,2344575 ,1251027 ,5544520 ,1640254 3057784 3971109 7659511

10 0 8,

14, 0

34, 0.

43. 8.

29. 18. 19. 0.

20. 16. 0. 1.

18. 4. 5.

.1527207

.7564856

.4471839

.7483126

.9276676

.6012755

.6767993

.0474055 ,8705040 ,1762912 ,8961406 ,7430750 ,9265404 ,0290319 ,3805741 .8469251 4148920 8069583 0188790 6065657

0 8, 4, 6, 13 15. 31. 3.

17. 1. 8. 7. 1. 3. 8. 0 4.

15. 0.

32.

.3516957

.5017330

.7364460

.4195344

.4627685

.7331026

.5623555

.0472566 ,6426179 ,4498056 ,8406141 ,9600559 ,2252511 ,3073856 ,9793052 .5036986 ,3471442 0109567 9844794 2285449

33 8, 5, 4. 1 4. 2. 4. 2.

12. 1. 7.

11. 3.

18. 6 5. 5.

18. 8.

.7639264

.8386805

.3019404

.0049232

.0994659

.0718515

.3789083 ,7056415 ,7633431 ,3591033 ,0445705 ,7170365 ,6818904 ,7028437 ,4995902 .9334195 1760087 4146610 6962904 8976855

21 3.

11. 5. 17 14. 6.

16. 1. 0.

14. 26. 4. 1. 4. 1 1. 4. 9. 0.

.7944181

.7722910

.7582339

.9514488

.7646384 ,6909541 ,1779037 ,9891099 ,0212275 ,4375607 ,4242726 ,4101515 ,1623490 ,1349678 ,4157886 .6081052 8178410 1726778 4653502 3961374


1.7646065 7.8662941 1.3771997 2.0248925 7.7346071 1.2618125 5.2320701 0.8189046 9.3040424 1.4692512 3.7730242 2.5117723 4.3397002 6.9766709 4.4926209 0.1776129 2.6411974 4.6932200 0.5184042 1.3929739 3 0 3

12, 0, 7. 3. 3. 0. 1. 0. 0. 0.

10. 2. 8.

.2505103

.8777664

.2957722

.9539999

.3641178

.7829231

.3914612

.5989833

.9750372 ,0883453 ,4331192 ,1470741 ,4519304 0941410 6874964 4719317

18 3 0 5, 1, 4, 0. 4. 3. 0. 0. 3.

14. 4. 9. 6.

.8712489

.2927436

.4726830

.1060877

.5486738

.2731672

.1991438

.9691111 ,0938498 ,7734669 ,5549598 ,0593936 ,4720571 5719586 5848961 0122526

3 2 1

12, 5, 1, 0,

12. 2. 0. 0. 1. 0. 8.

15. 6.

.4548963

.2713445

.8915865

.9325238

.8458623

.4212062

.0171069

.2396624

.7619281 ,3427174 ,1569826 ,2009843 ,5855329 ,9455755 ,4467251 5644580

1 0 3, 2, 0, 2, 4. 4. 1. 4. 3.

14. 4. 1. 6. 3.

.8895929

.0607328

.3487370

.3971218

.7924155

.5382664

.7167478

.5212486 ,4479299 .7727196 ,8600317 ,1455388 ,7394646 ,0113242 1881577 6323056

6 0 7, 1,

10, 0, 0. 3. 1. 2. 5. 4. 2. 5. 7. 2.

.2511361

.7053117

.4995503

.4259785

.0124056

.4057841

.6310236

.6239757 ,8103364 ,5694799 ,1804507 ,7311251 ,6255162 ,0454998 3606212 8539653

309


0.02072067 0.70829099 0.52616100 1.33537669 0.41062114 1.20401446 1.02008993 0.20967059 0.17400002 0.57047236 0.26331394 2.35566224 0.19889134 1.62779903 0.15941982 0.21574436 0.76491252 1.59637175 0.88029965 0.89600785

0.22970120 0.02280776 0.12986037 1.04725550 0.28609297 0.14607375 0.12030852 0.01361365 0.15682270 0.15322403 0.48321659 0.50678626 0.53163561 0.20716171 0.84895769 0.19724622 0.84450059 0.66698396 0.46326741 0.08165929

0.45205675 0.18443320 1.44145695 1.28170362 1.77313466 1.00374467 0.49168547 4.39552696 0.71693909 0.01800519 0.29608638 1.97172563 0.71012419 0.18372015 0.58668117 0.21031970 0.36196829 0.32467859 0.57047921 0.55931784

0.90099047 1.70587937 0.07032068 2.05376525 0.67031634 0.17485348 0.42435092 1.03003991 0.28195789 0.86994033 0.16308319 0.45002548 0.06991074 0.61449031 0.33716066 1.11831118 1.14558100 0.31657352 0.08372718 0.13958214

1.16801532 1.05928868 0.18171961 2.07626716 0.08334582 2.86347228 1.11462203 0.41550552 0.61398690 1.92007213 0.60642953 0.19194320 1.42282129 0.07141548 0.51659072 0.24175380 0.98187890 0.34767990 0.39353901 0.46983437

0.04895849 0.05735290 0.05454563 1.40283632 0.05894666 0.48485065 0.09984077 0.05166942 0.60578620 0.25249399 0.26718063 0.14875750 1.20048983 0.03668217 0.96937005 0.73877433 0.36187071 0.48139458 0.03285825 0.95721299

0.60442614 0.25614901 0.02572818 1.12981986 1.04552985 0.25415249 0.48490284 1.68420090 1.32744478 0.43418341 0.22572473 0.64733869 4.05785157 0.43443070 0.29227113 0.17317199 0.08608749 0.63149891 2.03770079 0.74058690

0.94379842 0.10639005 0.95244157 0.01060929 0.63685681 0.73827449 0.13265455 0.36474127 0.42784236 0.17053089 0.28610038 0.91316301 0.77243085 1.03917123 0.87733917 0.13749813 0.13953244 0.00991726 0.52582096 0.04626743

0.36050600 1.34889436 0.88997250 1.53561433 0.32676223 0.83637570 0.00127454 0.59082640 0.19386591 0.01105964 2.97928589 0.53495539 0.96908331 0.69500060 2.26185913 2.27422024 0.04307226 0.25366368 0.23203079 2.16221671

0.27091319 0.13785090 0.46215923 0.07427447 1.85536074 0.49690845 0.58590435 0.32816064 0.32643079 0.09579615 0.20516877 0.41876658 0.15746507 0.91612381 0.65951511 1.24133303 0.52869357 0.47226468 0.04879552 0.14513043

REALIZACIÓN MUESTRAL DE LA EXPONENCIAL(0•5).

310

REALIZACIÓN MUESTRAL DE LA EXPONENCIAL(0•01).

0.03143589 0.00062397 0.00033877 0.00293390 0.01778295 0.00174861 0.01457896 0.00676476 0.00191280 0.02189642 0.00177336 0.00001754 0.01784932 0.00035954 0.00101232 0.02034520 0.00262234 0.00030566 0.00531942 0.00399059 0.00145976 0.02352521 0.00494236 0.00834609 0.00461615 0.00161697 0.02327120 0.03638075 0.00850071 0.03337064 0.00261134 0.00224827 0.00247711 0.00921559 0.00747076 0.03694121 0.00480876 0.01403048 0.01190789 0.00637958 0.00518601 0.00618177 0.02450747 0.00161344 0.04755101 0.00741588 0.00572873 0.00821319 0.00213390 0.00270103 0.00317734 0.00078617 0.00352953 0.00267427 0.00098074 0.00292186 0.00429691 0.01309334 0.00510541 0.00943756 0.00348355 0.00128563 0.01731213 0.00008069 0.01133858 0.00042579 0.00103094 0.01748188 0.01875739 0.01530731 0.00421320 0.00748350 0.00032021 0.00144764 0.00144416 0.00354800 0.01015706 0.00178353 0.01151147 0.00516709 0.00005971 0.00703130 0.00570127 0.02500741 0.00589760 0.00997525 0.04004055 0.01653609 0.00628446 0.02671828 0.01256130 0.00660738 0.00186281 0.01013846 0.00990315 0.00290516 0.00716957 0.00618760 0.00728026 0.02154421

-2 -2 -1 -1 -1 -2 -2, -1, -2, -1. -2. -2. -1. -2. -2. -2. - 2 . - 2 . - 2 . - 1 .

REALIZACIÓN MUESTRAL DE LA

.31975

.75484

.94684

.01938

.85155

.73780

.66421

.97849

.44216

.74610

.19909

.41420

.43585 ,10290 ,52029 20012 23583 79829 00918 43164

-1.74095 -1.37156 -1.46283 -2.17830 -2.35482 -1.80034 -1.32841 -1.45674 -1.77571 -2.04796 -2.36534 -2.42032 -2.08245 -1.06236 -1.84086 -2.47492 -2.12601 -1.01076 -2.53150 -2.16894

-2.29436 -2.10950 -2.40314 -1.39891 -1.89498 -2.28392 -2.63442 -1.39727 -1.98414 -1.51901 -2.37636 -2.40799 -2.32092 -1.98769 -1.24837 -2.49817 -1.98458 -1.63372 -1.60245 -2.57958

N(-

-2 -2 -2 -2 -1, -2, -1, -2, -2, -1. -.

-3. -2. -1. -1. -1. -1. -1. -2. -1.

-2,0'5)

.10148

.14782

.21301

.22788

.15311

.64880

.46384

.47253

.20551

.39159

.80550 ,02418 .71374 .84724 ,46829 ,99294 ,71052 32027 34853 86732

•

-1 -2 -2 -2 -2, -2, -1, -2. -2. -1. -1. -1. -1. -2. -2. -1. -1. -1. -2. -2.

.58921

.32342

.20712

.30180

.54411

.04364

.98153

.43642

.01953

.62241

.70310

.82418

.63489 ,11069 ,15083 ,17913 ,31209 90815 16742 43257

311


-1 -3 -2 -1 -2 -2 -1. -, -,

-1, -1, -2. -1. -1. -.

-1. -1. -.

-1. -1.

.99532

.01572

.45174

.35045

.36724

.88603

.96569

.67518

.92752

.95941

.15919

.45849

.75633

.84997

.92585 ,84892 51855 .85372 29792 99211

-2 -

-1

-5 -

-1, -5, -2, -3. 1. -.

-4. -7. 1.

-2. -4. -3. -2. 3.

.89425

.57743

.66327

.55913

.17423

.92617

.18118

.19348

.03396

.78308

.58745

.60772

.25951

.14397

.63151 ,02065 65064 51214 90546 65459

-2.15909 -3.04496 -1.28262 -1.18827 -1.20857 -2.85507 -.96935

-1.24115 -2.09331 -3.44967 -1.97647 -2.48721 -.93834

-1.81087 -2.95513 -1.81525 -1.60565 -3.01926 -.77044

-3.28253

1 -8

2 3 1,

-7, -5. -3. -4. 1.

-6. -4. 1. 6. 1.

2. -4. - 4 .

.37251

.37352

.08698

.10927

.59441

.80503

.44381

.17786

.91705

.37458

.32866 ,55368 ,50105 ,31198 ,55217 34882 11408 93406 62397 15416

-2.30231 .04649

-1.60993 -1.62297

.31963 -1.15958 -2.20866 -2.90046 -1.34516 -2.90576 -2.04332 -1.40917 -1.30868 -1.32516 -2.28171 -3.58650 -.02521

-3.22263 -2.02956 -2.31945

3 -4 -

-2 1

-7 -3 1.

-7, -, -,

-4, -1.

4

-2.

-6.

.29555

.32419

.61869

.79633

.39177

.42753

.09347

.09561

.34176

.14771

.27106

.42379

.58220

.32628

.08711 ,85231 ,38964 ,00252 ,41557 62262

N(-2,l).

-1.48532 -3.13698 -2.52724 -.19082

-2.76817 -1.59130 -.73779 -.96690 -.58811

-2.94510 -2.23901 -1.31382 -1.95340 -4.15465 -2.29198 -2.08376 -1.95284 -1.48893 -1.85417 -1.72675

N(-

3 -5 -1 1 1. -,

-5, -3. -2, -5. -4. -.

-7. 5.

-6. -4.

• -1. -.

-2,3).

.26475

.34477

.48393

.23413

.48447

.74147

.37490

.33280

.55010

.20250

.44733 ,84085 ,86314 ,11899 ,27658 ,36630 39858 88514 97976 37580

-1.22175 -3.01444 -2.59487 -2.14559 -.83104

-1.49628 -2.13233 -2.44254 -.94917

-5.63011 -3.36916 -2.26765 -2.56146 -1.53013 -2.25387 -1.81498 -1.93801 -1.76260 -.58487

-3.27482

-4 -1 -3 2 -, -, 2,

-1, -1, -5. -4. -1. -. 2.

-3. -2. -1. -5. -5. -3.

.30304

.09366

.01866

.82184

.14069

.80900

.03172

.44677

.05747

.44772

.18207

.98788 ,56597 ,46013 .64685 ,85993 ,10618 ,03103 90043 39053


312

REALIZACIÓN MUESTRAL DE LA N(0,0'5).

-.66898 -.09444 .07638

-.48365 -.55589 .61280

-.80740 -1.10453

.86809 -.40631 -.21820 -.37262 -.14227 .16399

-.13690 .06615

-.47960 .32739

-.61022 -.06053

.55446

.26663

.10392 -.06928 .35840

-.71538 .31815

-.33966 .28326 .46052

-.66240 -.91975 -.59315 -.39767 -.03088 .20966

-.62649 .96378

-.07747 -.25110

-.33726 .71436 .47287

-.51634 .78421 .03453 .16260 .49841

-.04285 -.24789 .78300

-1.00585 -.12069 -.28876 -.86537 -.63451 .06815 .26922

-.70514 .08416

-.28430 .45332 .12992

-.91378 .31107 .00783

-.03040 -.59136 -.58206 -.27396 -.36364 .02722 .16753 .79187 .55728 .38507 .13021

-.75251 .30055

-.25161

.72216

.50858 1.38636 .63876 .02684 .88510 .61684 .22393

-.64482 .08396

-.61367 .88384 .29705 .02509

-.10397 -.08996 .55027 .52822 .37778 .28662

REALIZACIÓN MUESTRAL DE LA N(0,1)

.28082

.20906 -.03259 .88843 .57666

-.79131 .52231

-.95333 .17588 .50295

-1.99440 -2.46353 -1.14412 -.09047 -.64724 2.03620 .51989

-.08270 -.06500 -.81603

.74644 -.52768 -.06226 1.68378 1.01406 .28544 .16282

-.73830 .64898

-.41532 .05733 .70439

-.60531 2.62535 -.17441 .87639

1.62752 -.11491 -.47792 .26916

1.23329 -.47476 2.35378 -.44617 -.19565

-1.32092 -2.28650 -.00044 -.06277 1.60017 -.19462 .74024

-1.09032 1.31076 .32542 .09585

-.93086 .13403

-.74995 -.19527

.86780

.13651 -.20257 1.03983 -.10748 -.83579 -.57648 -.91428 -.50159 .65261

-.71145 .34115

2.41170 2.08060 -.56787 .10679 .52956

1.08527 -.77797

-1.11015

1.50852 -.78062 .04247

-.00596 .25067

-.38263 -1.08529 1.66295

-1.88566 -.16939 .87294

1.14339 -1.12652 -1.32172 -1.10387

.20366 -1.02473

.17595 1.29895 -.70932

313

REALIZACIÓN MUESTRAL DE LA N(0,3)

2 --3 6 •1

2 --, •2,

2. 1. 5. -. 3. 4. 4. 1.

*

.06232

.30796

.82047

.88115

.06074

.35253

.74312

.67306

.33339

.69201

.03785

.88853

.11616

.59159

.48825 ,12310 ,39762 ,53022 ,01085 ,08478

-4 3

-4

-1 1, 7,

-2, 5,

-2. -.

-2. 3. -. 7. -.

-1.

.89342

.21255

.42392

.95066

.14391

.67132

.32865

.96912

.32696

.39572

.58964

.23956

.11609 ,90614 ,75073 ,69315 ,04579 ,00802 ,24283 97015

-.70805 2.60386

-2.13230 1.61313 3.06661 1.80370 .23559

3.23189 -3.04529 -1.66327 2.38331 -.02509 .14281

1.79351 1.53832

-1.81089 .42628

-2.66207 -1.39366 -4.00775

2 2

-4 4,

-2 -2,

-3, -7, -2. -2. -4. -1. 1.

-3. 1.

-3.

-1.

.61153

.10036

.90532

.52441

.22727

.69252

.11992

.55917

.74082

.42508

.07731

.08151 ,77035 ,17469 ,09068 ,62004 ,31617 ,42982 ,33084 70122

-4 -8 2 4, 2 1,

-10,

1, -2, 2. 3.

-6. 5.

-5. 1. 1.

-3. 5.

-2.

.06970

.45811

.15045

.80030

.42243

.84318

.64451

.00030

.39288

.00321

.51612

.53926

.89097 ,53668 ,31413 ,87446 ,30825 ,15020 ,98739 22592

REALIZACIÓN MUESTRAL DE LA B(l,3)

0.15102646 0.06543129 0.24457924 0.00374343 0.08117529 0 0 0 0 0, 0, 0, 0, 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.

.03699618

.45794330

.03923174

.10960307

.77169021

.26211443

.13506402

.27729800

.01557653

.51628343 ,45305787 ,45989611 ,23248394 ,06714080 13128520 34301790 10956195 76105023 06737604

0 0 0, 0, 0, 0, 0, 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.

.02723019

.01327735

.55795979

.23370221

.64317296

.13948671

.48275079

.42639097

.11110149 ,05375130 .57092241 ,14388364 ,36506528 ,43433259 29455158 18980048 60216629 05209541 26367641

0 0 0 0, 0, 0, 0, 0, 0. 0. 0 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.

.38598779

.06896885

.35910389

.05820967

.35016570

.23054521

.53212070

.05687780

.14485275 ,04776538 .07749332 ,56218485 ,25451710 ,09537627 ,27438382 21273006 02554508 16192875 04027208

0 0 0, 0, 0, 0, 0, 0. 0. 0. 0 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.

.31538936

.50236316

.27958933

.00763712

.05934081

.04286483

.14843437

.66531976

.10148772 ,06555584 .05635570 ,55510054 ,17683526 ,58091537 ,05747224 49240021 57496717 63228164 04587684

0, 0, 0, 0, 0, 0. 0. 0. 0. 0. 0 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.

.24383253

.24955433

.34859572

.67281483

.42415055

.63926866

.09133226 ,01199059 ,11236935 ,03520606 .31018763 ,73235686 ,07576303 32226691 49413495 27832837 08617710 14393662 03683339

314


0 0 0 0 0, 0, 0, 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.

.22473417

.29076734

.29275776

.05896906

.06446930

.08228292

.09287312

.16249087

.53149909

.10038086

.19288420

.00295449

.11906992 ,24419691 06561050 00837872 06216326 01476496 05177804 31437349

0, 0. 0, 0. 0, 0. 0, 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.

.05057174

.05293164

.13428398

.03934432

.10197877

.25867075

.18758461

.03855289

.10672121

.15906285 ,01903013 ,20590252 ,08201917 04972813 07499727 09788386 01629979 08334805 23239125 32046862

0 0 0 0, 0. 0, 0, 0. 0. 0, 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.

.12509526

.17827430

.09056756

.18432297

.03991507

.41370856

.25870688

.02945944

.06084136

.13484057

.24662740

.35085026

.08159157 ,23394690 ,03093449 ,30463777 09269494 24318106 10239877 15318733

0, 0. 0, 0, 0, 0, 0, 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.

.14390721

.02781925

.28580183

.03451418

.02821196

.08933900

.07017082

.18212064

.03136329

.14937051 ,23959928 ,07572617 ,04767847 ,03896067 ,10038854 ,09924280 15919882 33705789 08115527 14373554

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.15929063

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.02755441

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.04630545

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.63499707

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.31301620

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.00132512

.28093603

.02839278

.04681552

.14708129

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.25474807

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.32967438

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.08804804

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.01135284

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.22141586

.22276681

.10083715

.08097659

.12719459

.22306313

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0 0 0, 0, 0, 0, 0, 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.

.03282933

.17266850

.01720998

.06486962

.31557067

.20577429

.04517607

.00924747

.23282958

.06223660 ,01147406 ,46031171 ,00614483 ,08344470 16895316 14922724 00857553 00033934 00513857 01254416

315

REALIZACIÓN MUESTRAL DE LA B(4,3)

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316


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0.3438034 0.4376773 0.3870515 0.3030717 0.4290156 0.3286431 0.6315672 0.2471514 0.2837629 0.3090828 0.3994036 0.5369557 0.1822337 0.3679469 0.4725178 0.2409663 0.5513237 0.3619701 0.2027630 0.2676277

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317


0.836797 0.492801 0.547155 0.521039 0.765806 0.675447 0.529233 0.676711 0.709956 0.411409 0.649797 0.452753 0.583382 0.630648 0.714518 0.399676 0.523486 0.619664 0.435814 0.633784

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0.788758 0.532930 0.268964 0.517738 0.412329 0.462510 0.302432 0.505814 0.476849 0.320267 0.554169 0.424906 0.381156 0.478050 0.445798 0.476917 0.432736 0.521670 0.424149 0.294483


318

REALIZACIÓN MUESTRAL DE LA G(1,0'1)

5 4

15 10 15 3 2 3,

30, 5.

18, 1,

22, 26. 11. 3.

12. 7. 4. 9.

.41043

.43710

.54139

.83288

.34977

.89194

.04197

.00428

.30732

.24716

.63914

.41660

.80163

.07309 ,08950 ,90276 ,78075 ,81438 73495 13685

2.42264 4.06035 .30018 .94217 .50192

2.78435 1.42307 .19826

1.13748 .63924 .18746

1.70822 .12985

3.53756 .79886 .07900

1.02949 .16839

4.39082 2.04203

5.12821 .56984

6.33067 1.58039 8.30632

38.88408 35.82634 7.18021

25.38923 .97905

29.85621 1.75345

10.34889 16.89529 14.46774 2.41259

11.79166 8.84734 6.19536

19.24145

3.18636 .23549

3.75079 .24566 .54984 .60295

1.38346 .97560

1.06595 .22641

1.43607 .37604 .86013

1.29665 5.73374 1.16478 .30505 .42884 .38175 .30659

3.51149 5.89760

15.20353 8.67002

13.51476 1.76145 1.29081

32.52770 9.98699

17.03848 2.21185

22.11548 18.94489 5.65400 1.07679

18.01543 2.70826 2.39862 1.95624 2.73310

.39362

.56315

.43405

.16316

.13840

.77931

.13717

.01923 1.83961 .95549

1.55212 2.63118 .07373

3.78379 1.67313 .14645

2.95879 .19730 .48428 .71278

3 19 2

15, 4,

34, 3, 2, 3. 3. 7. 9. 4.

14. 40. 26. 6.

12. 1. 4.

.14832

.59893

.62856

.29045

.59095

.93430

.34807

.80839

.11118

.21166

.54275

.78766

.56153

.36453 ,44548 ,84286 ,07586 45208 79280 ,45709

1.24309 .21841 .33579 .42828 .46705

1.15137 1.45237 .24048 .22584

1.71889 .20543

1.50856 .15540

3.80413 1.28876 2.26242 1.10470 .35632 .41220 .12351

.21626 16.33436 1.38816 5.06876

15.94655 1.87124

38.08251 11.70078

.28385 13.06634 3.84566 1.28214 8.84660

14.16753 7.95268

10.46988 .42678

3.21250 3.69659 3.51886

.28205

.74923 1.97539 1.47692 1.64618 1.14877 3.22475 2.76332 .52142 .03915

2.31077 .52441 .42860 .22248

1.08194 .51624 .30700

1.68261 .02004 .02541

REALIZACIÓN MUESTRAL DE LA G(l,l)

319

« S U C D O O v J K J O U l O U l O l N I - J U O W O O O N W O

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REALIZACIÓN MUESTRAL DE LA G(5,0'l)

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110.838637 7.439373 50.101949 26.559454 44.116236 50.040473 36.520509 48.273260 20.787444 68.415023

109.802120 70.479477 44.783122 50.125607 20.897288 35.887141 20.754206 34.295857 24.739315 31.071690 59.360267 13.957629117.015702 59.122820 51.167518

120.732532 35.854574 70.135151 43.356511 27.466462 23.820910 58.165902 34.888350 49.001731 20.055843

REALIZACIÓN MUESTRAL DE LA G(5,l)

9 7 1 7 5 3 1, 6, 4, 2. 4. 2. 1. 6. 6. 1. 5. 4. 4. 6.

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.51391

.58746

.19283 ,83191 ,14053 ,76884 ,64462 13063 77095 33743 66507

4 5 4

11

4, 3, 2, 9, 3, 4. 6. 3. 3. 4. 2. 1. 6. 5. 5.

.98953

.36619

.35295

.43003

.84965

.03513

.44160

.90680

.28558

.73993

.15164

.45490 ,43234 ,37899 ,35832 ,97031 67047 23830 19591 29721

7 3 6 1 6 2 3, 6, 6, 1, 5, 4. 6. 2. 4. 6. 8. 4. 7.

12.

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.95609

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.19928

.72692

.22987 ,83206 ,64878 ,32396 ,04029 ,40590 76159 69038 89498

4 5 2 3 4, 4, 4, 5.

5, 4. 8. 3. 5. 3. 3. 4. 4. 9. 5.

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.85475

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.88549

.29721

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.81491 ,73206 ,02560 ,63804 ,04122 ,66340 65957 03102 ,54481

4 2 7 8 6 2, 5, 4, 4, 3, 5. 9. 5. 2. 6. 1. 3. 7. 6. 3.

.75147

.83942

.57035

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.41963

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.72314

.44226

.21607

.57218

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38. 0. 0. 2. 0. 1. 1.

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.15612357

.11290053

.01041486

.25072943

.18928147

.74412788

.39774649

.19896287

.43365688

.58748643 ,14781522 ,81634812 04360782 15899600 09335432 08853545 34001393 83611742 55231778

3 3, 0 0 0. 5, 0, 4, 1, 0. 0. 0. 0.

12. 5. 3. 0. 1. 0. 0.

.86189322

.75751553

.07391543

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.38297680

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.73322095

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.00888407 ,36254493 ,97605300 ,89499253 ,22725964 27080466 95908792 09022134 01489980

0 0, 5 0, 0. 0, 0, 0, 0. 3. 5. 0. 8. 0. 0. 0.

14. 0. 0. 1.

.52414144

.00110584

.57871455

.00868991

.66045871

.00005340

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.13240471

.05584684 ,71240371 ,24662267 ,07959431 ,14382435 ,02117750 ,34944540 ,01889008 ,89966107 ,98795550 26333868 69238066

3, 7, 0 0, 0. 0, 0.

13. 3. 0. 0. 1. 0.

14. 0. 1. 0.

12. 0. 0.

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.22760719

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.25725671

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.05385619

.45488073

.74922281

.83528815 ,61637051 ,67194645 ,36620943 ,43652185 ,32154605 ,34799758 09595453 00705407 00498236 13780367

0 0, 1 0, 6. 0, 1, 0, 1. 1. 1.

11. 3. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.

.07102851

.03425524

.31597032

.90033861

.28054649

.05096068

.55463734

.00143267

.49211419

.42672646

.13862815

.44381466

.89270544 ,00551708 ,00957556 ,00007326 ,09605590 ,09970860 ,60147811 ,37738076

REALIZACIÓN MUESTRAL DE LA W (0«5,1000)

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1856.551120 299.319473 480.757606 660.000659 1489.712328 85.952224 38.423147 3949.205508 1.028513 603.346265

741.659588 885.403183 2015.926922 1511.316052 1286.872459 4701.971722 205.700595 3119.756452 649.781875 330.436752 4795.781170 22151.807818 618.247797 5875.648994 5.095491 997.382136 1047.560347 50.155219 2981.743256 49.178010

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1302.658340 12162.625809 13973.081614 104.119972 1528.669210 1095.089474 181.219144 318.548378 2193.104442 126.729727

80.435858 297.861649 2985.738289 2274.938206 3863.583296 4981.392931 1004.512825 20873.678276 1874.969704 1423.341044

1.544808 1653.353992 227.747425 284.114846 927.941180 10.549018 8705.792772 5.742068 2026.717174 151.509180

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1837.301138 7.399674 1393.530773 2325.784022 994.202437

324

REALIZACIÓN MÜESTRAL DE LA W(l'5f0'001)

2.28437E-003 1.85653E-004 8.74265E-004 1.09070E-003 1.39594E-003 5.15185E-004 4.47332E-004 8.93048E-004 4.82771E-004 4.02112E-006 5.50529E-004 5.21873E-004 2.03258E-003 1.78092E-003 5. 18452E-004 1.38442E-003 2.84976E-003 2.29801E-003 2.54555E-004 1.61778E-004 1.98804E-003 2.50004E-004 2.19982E-003 1.01949E-003 1.21571E-004 8.85258E-005 2.04680E-003 1.45958E-005 3.79555E-004 8.21710E-004 4.57399E-004 6.57867E-004 2.03057E-003 9.18719E-004 3.79129E-004 8.36149E-004 5.12891E-004 6.82388E-004 1.08601E-003 1.59990E-003 1.51308E-003 6.82414E-004 1.95635E-003 9.54437E-004 1.06759E-004 1.24453E-003 7.20921E-005 6.37044E-004 6.99247E-003 4.48917E-004 3.48512E-004 7.67044E-005 1.20165E-003 2.57472E-004 5.58954E-004 2.19138E-003 1.60703E-004 7.52488E-005 2.49349E-004 6.46899E-004 4.87028E-004 1.43487E-003 1.56625E-004 5.61959E-004 3.52643E-005 8.90360E-004 1.05447E-0031.87947E-004 4.37675E-004 1.28994E-003 9.84479E-005 9.96376E-004 7.67831E-004 1.17757E-003 5.71029E-005 2.08909E-004 2.55208E-0031.44654E-003 1.39355E-003 5.91911E-004 9.61632E-004 1.66728E-003 5.42471E-004 9.48359E-005 2.63436E-003 5.60904E-004 3.60059E-003 1.50200E-004 3.59034E-004 4.35810E-004 1.02017E-003 4.88035E-004 7.13387E-004 9.43819E-004 1.10379E-003 7.70633E-004 2.41463E-003 4.77747E-003 3.84298E-004 1.02153E-003

REALIZACIÓN MÜESTRAL DE LA W(l'5,l)

2.3912385 0.0682971 0.0247360 0.8863580 0.6862875 0 0 0 0 0, 0. 0, 1. 0. 2. 2. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0.

.0286599

.7506168

.9036603

.1318055

.6613557

.2623322

.3115701

.7250378

.1029497

.0500694

.0539144

.6372212 ,3139671 ,3909224 ,2655309 ,9218354 8675258 0861853 8216928

0 0 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0.

.3418358

.4095621

.2553437

.5859370

.2025029

.3354906

.5290009

.0594911

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.1835875

.3557725

.9366933

.1364490

.6583237

.3581477

.8769804

.0005632

.4968730

.0015666 ,4059312 .5118231 ,1063834 ,0112994 ,8540588 ,4392002 5555872 1384717 3416724

0, 1. 0, 1, 1. 0, 1. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 2. 0. 1. 0.

.7090118

.2821950

.5162596

.1178376

.1290202

.8106504

.1181169

.6066705

.3443502

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0 2 0, 0, 2. 2, 0, 0. 0. 0. 3. 0. 0. 0. 3. 1. 0. 0. 1.

.0138760

.1720835

.0512189

.2625927

.3999716

.0414112

.3362152

.1642462

.3812594

.1039421 ,5295764 .2080455 ,4238626 ,3201936 ,3999853 ,9651795 1092535 6500788 1028496

325

REALIZACIÓN MUESTRAL DE LA W(l'5,1000)

********** 901.314103 ********** 151.741679 999.412875 569.911569 ********** ********** 594.699308 62.277656 193.325635 92.443727 ********** 675.827803 468.296541 ********** 487.169692 817.150507 ********** 534.246927 77.696190 657.663702 581.385377 800.396394 989.901818

638.430247 ********** ********** 881.646945 ********** 92.630253 ********** 295.503051 502.483382 189.953661 31.316836 319.718665 ********** 709.716307 599.814425

651.298198 ********** 223.282794 436.865101 ********** ********** ********** ********** 367.739313 73.830312 ********** 439.791821 ********** ********** 289.531072 481.640236 27.290410 403.132664 206.414684 52.415188 548.936003 66.904982 ********** ********** 864.026823 368.690748 348.288446 ********** 499.495620 ********** 165.680830 21.446026 63.936088 594.077215 695.640767 106.828230 ********** 84.397380 ********** 803.546701 205.805253 ********** 128.544366 ********** 43.705722 ********** 746.272090 13.532235 90.401266 186.124223 ********** ********** ********** ********** ********** ********** 332.874546 809.233503 ********** 268.299485

REALIZACIÓN MUESTRAL DE LA W(2,0'001)

4.43190E-004 7.61443E-004 8.66475E-004 2.05189E-003 1.67055E-003 1.12812E-003 1.20231E-003 1.42560E-003 9.36571E-004 7.91476E-004 8.49997E-004 1.13112E-003 4.04015E-004 7.66459E-004 9.20764E-004 9.45880E-004 6.26904E-0041.11134E-003 5.76131E-004 9.06190E-004 9.40942E-004 1.13617E-003 2.92255E-004 1.21791E-003 7.65655E-004 8.86464E-004 4.83575E-004 9.26907E-004 2.60627E-004 6.18167E-004 1.62214E-003 1.58215E-003 1.22036E-003 1.24021E-003 6.64235E-004 1.12089E-003 6.69893E-004 1.32977E-003 1.02457E-003 7.92747E-004 4.72553E-004 6.16318E-004 5.01002E-004 1.19149E-003 1.02581E-003 2.69322E-004 4.56508E-0041.72002E-004 6.78583E-004 4.78301E-004 3.85176E-004 1.71439E-003 7.22172E-004 8.71725E-004 4.77782E-004 1.26076E-003 1.47846E-003 7.28940E-004 2.08539E-004 5.07843E-004 3.41061E-004 1.68563E-003 5.71294E-004 1.40275E-004 1.04442E-003 7.36322E-004 1.14768E-003 6.06452E-004 7.91266E-004 5.40889E-004 1.11060E-003 3.96282E-004 4.06212E-004 1.08157E-003 1.37396E-003 6.99982E-004 1.23679E-003 9.36143E-004 1.98306E-003 4.13742E-004 5.32580E-004 1.29832E-003 4.75751E-004 5.00306E-005 1.98695E-004 1.92414E-003 3.35266E-004 9.50834E-004 1.11066E-003 9.62894E-004 8.90758E-004 1.34347E-003 1.30044E-003 8.15003E-004 3.89903E-004 5.34687E-004 1.25252E-003 6.61357E-004 9.74381E-004 8.72644E-004

326

REALIZACIÓN MUESTRAL DE LA W(2,l)

REALIZACIÓN MUESTRAL DE LA W(2,1000)

1.1010985 0.6916132 0.2154741 1.2941995 0.7397081 0.4842056 0.5993755 0.9252764 1.3777215 0.6197608 0.5053723 1.4149233 0.7268851 1.4145772 1.1246763 0.7669580 1.3383348 0.4879284 1.9194226 1.1924939

1 0 0 1 0, 1, 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 1.

.1673412

.9123679

.4277034

.1447113

.6166368

.3166080

.9933520

.9342265

.3504990

.3518969

.6139970 ,7175382 ,5069292 ,0086558 ,7543609 ,3292518 5666868 9911066 5796542 1068103

1.7100533 0.5297856 0.7371605 1.6049310 1.6333344 1.5742021 0.9510471 0.4181481 1.0806324 0.8067941 0.3525623 1.1094559 0.1555492 0.5770433 1.3011201 1.0667357 0.7013435 0.9555629 1.3510427 1.2685915

********** 553.314766 781.914301 874.736345 731.251465 335.921777 ********** 731.592703 ********** 737.891274 373.065182 615.769711 ********** 51.972751

237.553259 ********** ********** 527.304188 ********** 370.967241

0.0782386 0.5354783 1.2612845 0.7343425 0.7137695 0.8258383 0.6162827 0.9910482 1.0648838 0.6745060 0.1717097 1.1737271 0.7745756 1.0350770 0.5541889 1.1010146 1.4778976 0.4442338 1.0945870 0.2361418

********** 638.319669 810.216392 ********** 452.383691 ********** ********** ********** 476.632102 ********** ********** 602.448299 957.100379 342.934223 906.654353 498.992947 815.138194 318.201089 434.166374 547.128334

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.5370334

.5222482

.0924310

.7767500

.4909321

.2765572

.6511419

.0097625

.2126936

.5732576 ,4337825 ,6153675 ,4099877 ,6721353 ,5850288 ,6264854 0284986 3481653 3557466 1574958

304.236910 ********** ********** 969.749731 518.644975 ********** ********** ********** 915.904321 529.370515 774.543677 513.694763 622.521346 ********** 361.770062 ********** ********** 218.952848 187.766716 **********

473.285949 791.986900 **********

400.773418 979.108913 492.668847 **********

707.410239 ********** 323.356191 444.514906 ********** ********** 782.159396 697.656460 695.878235 513.673516 697.043450 **********

743.296015

477.614316 580.199202 525.499228 682.204910 370.674647 ********** ********** ********** 679.263518 638.526064 419.845018 625.928852 393.426580 801.359281 **********

395.628416 ********** 453.093844 885.602778 **********

327

VALORES DE LAS TENSIONES DE ROTURA A CORTANTE.

TENSIONES EN Kg/mm2

1.430 1.103 1.071 0.823 1.001 0.715 1.120 1.251 1.005 0.985 0.908 0.677 0.924 1.158 1.008 1.077 1.325 1.099 0.950 0.982 1.002 0.677 0.900 0.908 0.897 1.036

1.127 1.026 1.218 0.968 0.950 0.795 0.977 1.050 1.059 1.046 0.800 0.820 0.956 1.174 1.089 1.210 0.609 0.903 1.223 1.060 1.072 0.755 0.710 1.137 0.842 0.978

1 1. 1 0 1. 1. 1. 0, 1. 1, 0, 1. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0.

.167

.159

.031

.831

.255

.021

.087

.981

.095

.185

.820

.003

.948

.983 ,935 ,951 ,376 ,082 ,061 ,951 947 931 761 955 768

1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0.

.091

.147

.869

.155

.143

.639

.112

.075

.218

.840

.035 ,127 .003 ,388 ,178 ,012 ,133 ,056 ,048 ,911 986 080 928 827 687

1, 1, 1, 1, 0, 0. 1, 1, 1, 0, 0. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 0.

.200

.281

.118

.022

.906

.694

.140

.218

.104

.916

.928

.175

.151 ,166 ,153 ,987 ,279 ,086 ,532 ,927 150 037 807 807 559

1.349 1.313 1.022 1.076 0.799 0.962 1.087 1.067 1.300 0.912 0.852 1.107 1.047 0.793 0.983 1.243 1.069 1.069 0.924 1.119 0.876 0.986 1.009 0.629 0.714

1. 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 0. 1. 0.

.050

.345

.972

.856

.858

.149

.821

.194

.328

.864

.928

.972

.826

.182 ,866 ,153 ,154 ,129 ,933 ,025 970 ,072 ,831 ,009 ,842

1, 1, 1. 0, 0, 0, 1, 1, 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0.

.256

.264

.026

.947

.927

.858

.410

.095

.144

.043

.075 ,099 ,166 ,121 ,356 ,941 ,312 ,304 ,021 056 825 912 978 811 963

1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0. 0, 0. 0. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.

.022

.244

.810

.064

.284

.271

.312

.104

.883

.856

.824 ,760 .890 ,020 ,105 ,086 ,988 ,142 ,747 986 743 935 726 834 869

329

VALORES DE LAS PRECIPITACIONES ANUALES.

PRECIPITACIONES EN RIOTINTO.

4 3 7 . 8 1 3 0 7 . 9

8 1 2 . 2 1 0 4 8 . 9

6 0 8 . 6 5 6 3 . 4 5 1 4 . 1 7 8 3 . 8 7 4 6 . 0 4 5 1 . 7 5 4 3 . 8 5 7 3 . 5 4 3 3 . 2 2 3 5 . 0

1 0 4 3 . 0 6 0 4 . 2 6 6 6 . 8 8 5 8 . 6 6 5 8 . 1

1 1 1 8 . 3 1 2 1 8 . 3

4 6 8 . 7 1 0 4 3 . 9

8 8 1 . 4 6 5 9 . 3 5 3 1 . 2 9 2 4 . 6

4 6 3 . 1 7 6 5 . 7 3 1 7 . 1 5 8 9 . 7 7 3 6 . 4 4 2 6 . 8 7 8 8 . 5 2 2 5 . 5 8 4 0 . 4 7 9 7 . 3 9 2 7 . 9 8 3 2 . 4 8 4 7 . 1

4 1 1 . 8 7 8 8 . 4 6 3 9 . 7 8 1 1 . 2 6 4 5 . 1 6 9 5 . 6 6 3 1 . 5 9 5 3 . 8 5 5 4 . 0

1 0 2 0 . 3 9 9 2 . 0

1 0 1 9 . 0 5 8 7 . 2

4 6 3 . 1 1 0 0 3 . 8

4 5 1 . 6 8 1 2 . 4 7 5 0 . 6 5 3 3 . 0 7 8 6 . 0

1 0 6 6 . 0 6 5 4 . 4

1 2 0 7 . 7 7 0 7 . 5 9 4 4 . 4 8 2 4 . 2

1 3 3 2 . 9 7 7 4 . 6 5 9 9 . 2 7 7 8 . 8 9 0 7 . 6 7 8 5 . 8

1 2 7 2 . 4 7 8 2 . 1

1 1 2 0 . 5 1 0 3 3 . 6 6 1 1 . 1 4 2 1 . 6

1 1 4 6 . 8

6 9 2 . 6 6 4 6 . 3 6 1 1 . 3 8 6 4 . 5 5 8 5 . 1 7 3 1 . 5

1 1 1 1 . 8 5 7 6 . 4 5 1 7 . 4 6 4 0 . 8

7 6 4 . 9 3 5 1 . 3 9 9 9 . 8

6 8 6 . ! 9 2 8 . 3 5 9 5 . 5 5 3 5 . 6 8 0 7 . 4 6 2 5 . 4 7 7 4 . 9 6 3 0 . 6 4 3 6 . 7 8 4 3 . f

4 7 5 . 5 6 1 8 . 1

1 1 8 4 . 4

PRECIPITACIONES EN THARSIS.

2 5 4 . 0 3 7 5 . 9 8 3 7 . 0 6 2 5 . 7 7 2 8 . 2 5 1 3 . 0 5 9 5 . 6 5 7 1 . 1 8 0 9 . 8 4 1 3 . 0 7 4 6 . 2 8 2 1 . 2 9 0 2 . 7 4 6 5 . 0

5 7 9 . 0 4 0 6 . 7 5 5 1 . 7 5 2 8 . 3 6 7 4 . 6 5 7 6 . 2 4 1 1 . 9 5 8 8 . 7 8 3 7 . 7 4 9 0 . 7 9 7 3 . 1 7 5 0 . 6 8 2 5 . 7 3 5 8 . 2

6 9 6 . 6 1 0 2 1 . 4

6 2 7 . 0 6 8 0 . 1 6 2 8 . 8 6 6 2 . 5 5 6 7 . 9

1 0 4 6 . 1 5 4 4 . 6 7 5 1 . 9 7 4 8 . 9 5 3 1 . 8 5 7 0 . 0 5 8 2 . 8

8 0 6 . 8 6 0 7 . 3 5 6 7 . 0 5 8 3 . 4 6 9 0 . 3 4 5 5 . 3 4 8 9 . 2 7 9 0 . 0 5 2 4 . 3 3 3 1 . 5 4 7 1 . 7 6 2 9 . 8 3 9 1 . 8 4 6 3 . 9

6 4 3 . 2 5 2 3 . 4 5 6 9 . 6 5 0 0 . 2 5 1 2 . 8 6 1 6 . 3

5 6 9 . 8 8 0 0 . 9 5 4 3 . 6 3 0 1 . 2 7 8 6 . 7 4 1 7 . 6 5 6 5 . 3 8 9 1 . 4

7 0 4 . 8 1 0 0 5 . 6

6 3 5 . 6 7 6 2 . 6 5 0 7 . 7 4 6 0 . 8

4 4 3 . 4 7 5 5 . 8 5 0 0 . 6 5 7 8 . 4 4 3 5 . 0 4 6 1 . 8 3 6 1 . 0 1 9 8 . 7

8 3 8 . 1 4 8 8 . 6 5 6 8 . 4 7 7 6 . 5 6 2 4 . 8

1 0 3 1 . 0 9 2 9 . 0 3 6 7 . 6 6 8 3 . 8 6 9 6 . 6 8 0 0 . 1 4 2 5 . 0 7 5 4 . 8

7 8 0 . 9 5 7 6 . 9 3 2 9 . 9 5 1 6 . 5 5 1 9 . 0 5 0 8 . (

5 5 6 . 9 1 9 5 . 9 4 6 7 . 0 5 9 3 . 2 8 1 1 . 3 7 1 5 . 4 6 8 0 . 2

331

VALORES DE ALTURAS MEDIAS DE EUCALIPTOS.

ALTURAS DE EUCALIPTOS EN THARSIS EN P. SECOS

9 0 . 0 9 7 . 0

1 0 8 . 0 9 7 . 0

1 3 6 . 0 1 2 3 . 0 1 5 8 . 0 1 1 3 . 0 1 9 0 . 0

9 1 . 0 1 0 4 . 0

8 5 . 0 1 3 0 . 0

8 3 . 0 1 1 2 . 0 1 2 1 . 0 1 3 8 . 0

7 2 . 0 1 7 1 . 0

9 4 . 0 1 3 0 . 0 1 0 1 . 0 1 2 6 . 0 1 4 6 . 0 1 4 6 . 0 1 5 6 . 0 1 0 2 . 0 1 2 6 . 0 1 3 1 . 0 1 1 2 . 0

8 8 . 0 1 1 2 . 0 1 5 2 . 0 1 2 6 . 0

1 1 1 . 0 1 1 0 . 0

1 3 2 . 0 1 5 5 . 0 1 2 7 . 0

8 2 . 0 1 3 1 . 0 1 3 1 . 0 1 0 9 . 0 1 0 2 . 0 1 2 7 . 0

9 0 . 0 1 1 1 . 0 1 1 6 . 0

1 2 4 . 0 1 4 0 . 0 1 4 4 . 0

8 4 . 0 7 7 . 0

1 2 7 . 0 1 3 3 . 0 1 0 1 . 0

8 4 . 0 1 3 7 . 0 1 5 5 . 0 1 1 1 . 0 1 0 4 . 0 1 2 3 . 0 1 1 7 . 0 1 6 1 . 0 1 2 4 . 0 9 7 . 0

1 7 4 . 0

9 9 . 0 1 0 9 . 0 9 9 . 0

1 4 3 . 0 1 5 5 . 0

1 8 1 . 0 1 3 5 . 0 1 3 7 . 0 1 0 3 . 0 1 1 9 . 0 1 1 5 . 0 1 0 5 . 0

9 7 . 0 1 0 2 . 0

1 1 2 . 0 1 7 0 . 0

ALTURAS DE EUCALIPTOS EN THARSIS EN P. MEDIOS

108.0 116.0 135.0 111.0 88.0 99.0 115.0 87.0 84.0 128.0 97.0

8 7 . 0 6 9 . 0 1 0 0 . 0 1 0 7 . 0

1 1 6 . 0 9 6 . 0 1 0 8 . 0 1 0 8 . 0 1 1 2 . 0 7 9 . 0

1 2 9 . 0 1 9 9 . 0 1 6 6 . 0 1 3 5 . 0 1 4 2 . 0 1 6 6 . 0

8 8 . 0 1 0 4 . 0 1 3 0 . 0 1 3 0 . 0 1 2 9 . 0 9 5 . 0 1 5 5 . 0 1 2 3 . 0 1 3 0 . 0 9 4 . 0

9 2 . 0 1 1 5 . 0 1 0 2 . 0 1 3 9 . 0 1 4 1 . 0 1 7 3 . 0

6 1 . 0 1 1 8 . 0 1 1 4 . 0 9 5 . 0

1 1 0 . 0 9 0 . 0 8 4 . 0 1 0 5 . 0

1 6 2 . 0 1 2 1 . 0 1 7 4 . 0 1 0 2 . 0

1 7 0 . 0 1 5 7 . 0 1 8 7 . 0 1 7 9 . 0

9 7 . 0 1 2 1 . 0 1 4 6 . 0 1 0 5 . 0 1 0 7 . 0 8 2 . 0 1 0 9 . 0 1 1 8 . 0

9 6 . 0 1 1 2 . 0 1 1 5 . 0 7 7 . 0

1 1 0 . 0 8 3 . 0 1 3 3 . 0 1 4 5 . 0

333

ALTURAS DE EUCALIPTOS EN THARSIS EN P. LLUVIOSOS

1 4 5 . 0 1 0 2 . 0 1 3 1 . 0

9 9 . 0 1 0 3 . 0 1 1 9 . 0 1 4 5 . 0

6 1 . 0 7 6 . 0 7 9 . 0

1 1 3 . 0 1 2 4 . 0 1 7 4 . 0 1 6 4 . 0

7 6 . 0 9 7 . 0

1 0 6 . 0 1 2 1 . 0

9 7 . 0 1 2 8 . 0

8 9 . 0 1 3 9 . 0 1 2 6 . 0 1 1 8 . 0 1 3 9 . 0

8 9 . 0 1 1 7 . 0 1 2 4 . 0 1 2 8 . 0

8 8 . 0 1 1 5 . 0

1 1 0 . 0 1 0 3 . 0 1 1 9 . 0 1 5 5 . 0

5 7 . 0 6 2 . 0 7 3 . 0

1 0 3 . 0 7 8 . 0

1 2 1 . 0 1 1 1 . 0 1 2 0 . 0 1 4 4 . 0

8 7 . 0 8 2 . 0

1 0 3 . 0 8 0 . 0

1 2 5 . 0 1 2 0 . 0 1 2 7 . 0 1 1 2 . 0 1 0 3 . 0 1 2 5 . 0 1 2 1 . 0 1 4 6 . 0 1 3 1 . 0 1 6 8 . 0 1 4 6 . 0 1 1 1 . 0 1 2 1 . 0 1 0 8 . 0

1 3 6 . 0 1 5 3 . 0 1 4 0 . 0 1 1 4 . 0

7 8 . 0 8 7 . 0 8 4 . 0 9 7 . 0 7 6 . 0

1 0 4 . 0 8 5 . 0

1 3 6 . 0 1 8 0 . 0 8 3 . 0 8 8 . 0

1 0 2 . 0 9 4 . 0

1 7 1 . 0 1 2 1 . 0 9 1 . 0

1 4 4 . 0 1 1 8 . 0 1 1 7 . 0 1 3 4 . 0 1 3 2 . 0 1 2 8 . 0 1 0 4 . 0 1 0 7 . 0

1 2 7 . 0 1 1 5 . 0

1 1 4 . 0

1 4 9 . 0 1 7 1 . 0 1 2 1 . 0

5 7 . 0 9 3 . 0

1 1 3 . 0 8 4 . 0 9 6 . 0

1 0 6 . 0 1 0 4 . 0

8 1 . 0 1 4 6 . 0 1 4 0 . 0 8 5 . 0 9 9 . 0 9 5 . 0 8 9 . 0

1 1 1 . 0 1 1 0 . 0

1 5 2 . 0 1 8 5 . 0 1 5 2 . 0

6 9 . 0 7 1 . 0 9 4 . 0

8 9 . 0 1 3 5 . 0 1 1 6 . 0 1 4 2 . 0 1 4 8 . 0 1 8 2 . 0 1 5 1 . 0 7 5 . 0

1 2 9 . 0 1 1 3 . 0 1 2 6 . 0

1 3 0 . 0 9 2 . 0

1 4 4 . 0 1 6 7 . 0 1 2 9 . 0 1 5 4 . 0

5 7 . 0 6 0 . 0

9 6 . 0 8 9 . 0

1 1 5 . 0 1 0 3 . 0 1 9 3 . 0 1 4 4 . 0 2 0 8 . 0 7 7 . 0

1 0 5 . 0 7 9 . 0

1 1 7 . 0 1 0 5 . 0 1 2 0 . 0

1 1 8 . 0 1 1 0 . 0 1 4 1 . 0

9 3 . 0 1 5 1 . 0 1 5 3 . 0 1 6 9 . 0 1 3 3 . 0

9 9 . 0 1 1 1 . 0 1 3 4 . 0

1 1 0 . 0 1 4 0 . 0 1 0 5 . 0 1 2 1 . 0 1 4 6 . 0 1 2 0 . 0 1 3 6 . 0

9 9 . 0 1 3 9 . 0

1 5 1 . 0 1 3 7 . 0

1 4 7 . 0 1 1 2 . 0 1 4 0 . 0 1 1 0 . 0 1 7 2 . 0 1 2 8 . 0 1 2 3 . 0 1 1 0 . 0

1 2 3 . 0 1 2 4 . 0

1 0 8 . 0

94.0 128.0 149.0 114.0 156.0 171.0 69.0 80.0 68.0 116.0 49.0 55.0 72.0 57.0 64.0 87.0 76.0 74.0 74.0 70.0 96.0

101.0 66.0 90.0 89.0 94.0 110.0 77.0 140.0 104.0

134.0 91.0 136.0 176.0 175.0 133.0 220.0 175.0 205.0 82.0 97.0 75.0

112.0 86.0 82.0 88.0 64.0 73.0 111.0 113.0 124.0

101.0 118.0 87.0 109.0 68.0 103.0

1 0 9 . 0 1 6 0 . 0 1 2 4 . 0 1 3 9 . 0 1 3 2 . 0

9 5 . 0 1 2 3 . 0 1 2 3 . 0

8 9 . 0 1 2 5 . 0 1 4 0 . 0 1 1 7 . 0 1 1 9 . 0

9 2 . 0 1 2 8 . 0

9 1 . 0

1 0 8 . ( 1 4 0 . 0 1 9 1 . 0 1 1 6 . 0 1 4 4 . 0 1 3 8 . 0 1 0 7 . 0

8 2 . 0 80.0 144.0 118.0

90.0 85.0 88.0 139.0 115.0 128.0

334

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VALORES DEL PESO DE LA BIOMASA DE REBOLLO.

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9 . 3 5 5 . 1 5 4 . 9 0 5 . 6 5 6 . 0 0 5 . 1 0 5 . 6 0 5 . 6 0 5 . 1 5 6 . 4 0 8 . 3 0 8 . 4 5 6 . 3 5 6 . 8 5 6 . 3 5 6 . 9 5 5 . 6 0 5 . 8 5 6 . 9 5 6 . 6 5 4 . 7 5 7 . 2 5 8 . 1 5 8 . 2 5 8 . 5 0 8 . 1 0 8 . 7 5 9 . 3 0 7 . 2 0 6 . 0 5 9 . 0 5 4 . 8 0 4 . 4 0 4 . 8 5

1 0 . 5 5 1 1 . 5 0 1 0 . 4 5 1 1 . 5 0

6 . 0 0 1 0 . 6 5 1 1 . 6 5 1 0 . 0 0

9 . 0 0

8 . 0 0 6 . 6 0 8 . 2 5

1 3 . 1 0 1 7 . 7 5

3 . 0 0 1 9 . 5 0 1 2 . 0 0 2 2 . 5 0 2 1 . 5 0 2 3 . 0 0

6 . 7 0 6 . 2 0 6 . 7 5

1 0 . 0 0 5 . 0 0 2 . 7 0 3 . 7 0 4 . 3 0 3 . 3 0 7 . 5 0

1 3 . 0 0 1 3 . 2 5

9 . 5 0 3 . 2 5 4 . 4 5

1 2 . 0 0 2 . 8 0 2 . 5 0 4 . 4 0 4 . 6 0 1 . 0 0 2 . 0 0

1 0 . 5 0 1 0 . 7 5

9 . 0 0 6 . 3 0 7 . 2 5 6 . 9 0 2 . 4 0 3 . 0 0 6 . 9 0 1 . 8 0 0 . 9 0 4 . 6 0

1 6 . 5 0 5 . 4 5 4 . 6 0 4 . 9 0 0 . 7 5 8 . 7 5

1 4 . 5 0 1 1 . 7 5

7 . 0 0

2 3 . 4 0 1 9 . 7 0 4 2 . 7 0

1 4 9 . 8 0 2 4 4 . 7 5

2 7 . 5 0 1 4 7 . 5 0 1 5 6 . 2 0 1 6 5 . 8 5 2 2 6 . 7 5 2 4 7 . 9 5

5 1 . 7 5 2 1 . 3 0

9 . 5 0 2 9 . 2 5 1 9 . 3 0

7 . 4 5 1 5 . 0 0 1 5 . 6 5 1 1 . 9 0 2 8 . 7 5 9 0 . 4 5 8 4 . 7 5 4 7 . 9 0 2 0 . 4 0 2 3 . 7 5 6 0 . 1 0 1 0 . 7 0 1 5 . 1 0 2 3 . 3 0 2 0 . 1 5

5 . 9 5 1 4 . 3 5 5 1 . 2 0 4 6 . 0 5 5 3 . 7 5 4 0 . 7 5 4 7 . 5 0 5 3 . 8 0 1 8 . 5 5 1 8 . 3 5 6 5 . 7 5

6 . 9 5 4 . 0 5

1 7 . 5 5 1 5 2 . 4 0

6 9 . 9 5 5 3 . 4 5 6 8 . 3 0

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9 3 . 5 5 4 5 . 7 5

9 . 5 2 8 . 3 7

2 1 . 5 8 8 0 . 5 2

1 3 7 . 1 1 1 5 . 3 3 7 7 . 3 4 8 5 . 0 1 9 0 . 0 2

1 2 5 . 2 9 1 3 6 . 0 5

2 8 . 2 7 8 . 9 8 7 . 5 8

1 2 . 0 4 8 . 3 5 2 . 7 4 6 . 6 3 6 . 7 4 5 . 1 4

1 3 . 0 0 4 4 . 1 0 4 1 . 5 2 2 2 . 8 2 1 0 . 3 2 1 1 . 5 3 2 8 . 6 6

4 . 9 2 7 . 8 6

1 1 . 4 3 9 . 6 9 3 . 1 2 7 . 7 1

2 4 . 4 4 2 1 . 9 5 2 8 . 0 2 2 0 . 9 0 2 4 . 6 3 2 8 . 5 4

9 . 8 9 9 . 4 5

3 3 . 3 3 3 . 0 6 1 . 8 8 7 . 8 3

8 2 . 3 2 3 8 . 4 8 2 9 . 2 4 3 7 . 7 6

4 . 9 3 6 9 . 5 3 7 0 . 4 4 4 8 . 0 1 2 2 . 8 3

7 . 3 6 . 2

1 0 . 9 1 6 . 9 1 9 . 7

8 . 1 1 6 . 3 1 6 . 3 1 9 . 2 2 0 . 5 2 1 . 0 1 1 . 2

7 . 6 6 . 8 8 . 0 6 . 5 4 . 5 5 . 9 5 . 9 5 . 2 8 . 3

1 3 . 8 1 3 . 5 1 0 . 5

7 . 3 7 . 7

1 1 . 9 5 . 7 6 . 4 7 . 2 6 . 9 4 . 5 5 . 9

1 0 . 2 9 . 0

1 0 . 6 9 . 7 9 . 8 9 . 8 6 . 7 6 . 8

1 1 . 5 4 . 7 3 . 5 7 . 0

1 5 . 6 1 2 . 2 1 0 . 6 1 1 . 3

5 . 6 1 3 . 8 1 5 . 6 1 3 . 0

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337

ALT. PFT PST D.

1 2 . 4 0 1 1 . 5 0 1 1 . 0 0

5 . 2 0 5 . 8 0 5 . 1 5 4 . 1 5 6 . 9 5 7 . 3 5 6 . 7 5 6 . 9 0 6 . 1 5 7 . 1 5 5 . 4 0 3 . 7 5 4 . 2 5 6 . 7 0 7 . 0 0 7 . 0 5 6 . 4 5 7 . 1 0 7 . 3 0 8 . 5 0 9 . 4 5 9 . 5 0 7 . 7 0 4 . 6 5 6 . 4 0 8 . 6 0 9 . 7 0 9 . 6 5

1 0 . 1 0 1 2 . 3 5 1 2 . 2 5 1 2 . 1 0 1 4 . 0 5 1 4 . 5 0 1 5 . 1 0

2 . 4 0 2 . 7 5 2 . 8 0

1 2 . 1 0 1 2 . 6 5 1 1 . 7 0 1 2 . 1 5

9 . 5 0 9 . 6 0

2 5 . 5 0 1 7 . 5 0 2 4 . 0 0

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1 4 . 9 0 2 8 . 6 0 1 3 . 4 5

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1 3 1 . 1 0 1 6 8 . 7 5

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1 2 . 2 5 5 3 . 1 0

1 8 7 . 6 0 1 4 4 . 4 0 1 2 6 . 1 5 1 7 3 . 8 5 1 8 1 . 3 0 3 2 3 . 6 0 4 0 4 . 2 0 3 3 5 . 1 0 3 7 5 . 3 0

2 . 1 5 2 . 2 0 2 . 7 5

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1 7 3 . 4 1 1 7 1 . 3 9 1 0 7 . 3 9

5 . 6 3 1 0 . 7 5

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1 0 . 6 0 1 3 . 6 5 1 3 . 6 9 1 1 . 8 6

7 . 1 2 1 0 . 5 1

6 . 8 1 1 . 9 6 3 . 8 4

1 5 . 8 8 2 1 . 6 4 1 8 . 7 5

8 . 7 3 1 8 . 4 7 2 7 . 4 3 4 2 . 3 0 6 6 . 4 2 8 8 . 0 0 1 7 . 2 6

1 . 5 9 5 . 5 5

2 5 . 9 1 9 6 . 3 9 7 8 . 2 7 6 5 . 8 2 9 3 . 3 3 9 8 . 5 3

1 7 6 . 2 1 2 1 8 . 9 2 1 8 3 . 8 4 2 0 9 . 7 1

0 . 6 9 0 . 9 0 1 . 1 3

7 0 . 3 3 1 1 7 . 0 7 1 3 2 . 7 7 1 3 8 . 0 0

5 2 . 3 6 9 9 . 8 5

2 3 . 3 2 4 . 0 1 8 . 6

5 . 6 7 . 8 5 . 4 4 . 4 7 . 5 8 . 5 8 . 7 8 . 1 5 . 6 7 . 4 6 . 1 4 . 2 4 . 7 9 . 7

1 0 . 8 9 . 6 6 . 7

1 0 . 0 1 1 . 8 1 3 . 4 1 5 . 9 1 7 . 8

9 . 0 3 . 4 5 . 2

1 0 . 5 1 9 . 4 1 6 . 8 1 5 . 4 1 7 . 5 1 8 . 0 2 4 . 0 2 4 . 3 2 2 . 4 2 3 . 4

2 . 5 2 . 6 3 . 0

1 5 . 2 2 0 . 8 2 3 . 0 2 1 . 5 1 4 . 6 2 0 . 0

338

VALORES DE CRECIMIENTO DE LA PERDIZ.

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26.6 18.3 30.7 19.2 32.5 19.9 32.8 19.4 28.9 18.0 32.3 19.1 25.6 17.1 30.2 20.0 28.6 19.4 27.6 19.8 33.6 19.3 33.7 19.4

16.1 7.4 15.6 7.3 16.2 7.8 16.6 8.3 11.8 7.6 15.2 7.3 17.1 7.9 13.7 7.1 16.1 7.2 14.5 8.0 16.2 7.3 15.5 8.1

15.2 7.8 14.9 7.7 18.0 8.7 17.3 8.3 13.8 7.3 17.8 8.2 12.8 7.1 17.4 8.0 17.5 8.6 11.4 7.6 17.2 7.9 16.7 7.3

Dia 5 18.0 100.0 18.2 101.0 18.7 97.0 22.7 98.0 20.5 94.0 21.7 93.0 21.3 100.0 17.0 93.0 18.4 94.0 18.2 95.0 19.6 102.0 22.2 91.0

Dia 6 21.0 98.0 23.4 101.0 25.3 106.0 25.0 111.0 18.4 98.0 21.3 110.0 16.4 95.0 27.0 107.0 22.6 104.0 19.8 98.0 23.3 105.0 22.7 105.0

Dia 7 25.0 109.0 24.3 101.0 28.1 111.0 23.9 102.0 26.8 109.0 30.0 109.0 25.7 110.0 25.2 112.0 22.2 108.0 36.0 113.0 24.2 108.0 23.4 108.8

Dia 8 30.0 113.0 23.3 105.0 21.5 100.0 34.3 121.0 35.8 125.0 27.2 113.0 28.0 112.0 30.0 111.0 30.2 115.0 27.5 116.0 23.0 110.0 36.8 122.0

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343

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VALORES DE LAS REALIZACIONES MUÉSTRALES DE TAMAÑO n=100

PROCEDENTES DE 4 DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.

REALIZACIÓN MUESTRAL DE LA CHI-2 BIVARIANTE

21.70928955078125 11.59174799919128 12.79665589332581 3.23746919631958 28.59659910202026 24.67673778533936 26.88998937606812 19.7772479057312 22.30552911758423 29.81747627258301 7.587419748306274 .5849850922822952 2.054795920848846 27.25061655044556 68.39932918548584 10.97193241119385 1.009829491376877 7.099765539169312 19.92155313491821 4.596906304359436 8.793902397155762 17.99476265907288

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-4.627660848200321E-002 10.44495105743408 30.67809104919434 48.07803153991699 11.07227087020874 6.690796613693237 22.81156539916992 57.14432716369629 32.87837982177734 1.952268183231354 10.485805273 05603 13.23524951934814 17.6259708404541 11.23571872711182 2.711630463600159 9.775254130363464 12.04201936721802 7.499979138374329 11.07304334640503 .6772838532924652 65.33373832702637 .5476433783769608 13.6330258846283

-1.688333286438137E-003

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-1.717540668323636E-002 9.704227447509766 42.27802276611328 25.95934629440308 14.15875554084778 7.266374826431274 23.80664348602295 22.77286529541016 2.436758726835251 2.201474159955978 32.11982011795044 6.8238365650177 1.810999661684036 13.41206312179565 11.45783424377441 5.958768129348755 5.724978446960449 31.01595401763916 34.11416292190552 9.054891467094421 15.1107919216156 6.525090932846069 4.609156548976898 12.57438898086548 17.48595237731934 17.91914582252502 7.079900503158569 2.568587362766266 42.45638370513916 17.07352876663208 2.252796590328217 11.79703235626221 11.23860836029053 18.39215874671936 6.467568874359131 11.8578839302063 6.806797385215759

347

2.560622990131378 .158127024769783 .7001306861639023 4.059810638427734 24.2658519744873 6.126643419265747 10.58429479598999 .7279987633228302 24.14555311203003 52.3573112487793 40.20789623260498 8.109065890312195 3.757078349590302 9.013989567756653 15.73699712753296 4.173834323883057 79.71909523010254 3.023195862770081 28.24174404144287 .8387797325849533 14.35510396957397 32.9149317741394 7.013275027275085 2.103640139102936 32.83918380737305 5.413891673088074 17.01259016990662 17.76338219642639 6.68851375579834

-2.033294411376119E-002 -3.923248033970594E-002 5.661431550979614 4.514959752559662 78.99200439453125 17.77223825454712 9.821102023124695 78.83964538574219 8.411842584609985 2.410223484039307 22.20306158065796 1.237083673477173 12.76504278182983 56.83144569396973 17.77203559875488 78.52142333984375 6.686141490936279 8.135708570480347

8.616263270378113 54.14600849151611 54.14458274841309 13.35891246795654 41.72824859619141 6.711865663528442 17.46555924415588 40.33587455749512 1.43164724111557 3.110619783401489 6.18593156337738

-1.308771432377398E-2.70148754119873 1.735063493251801 .3076941333711147 6.781362891197205 6.505416631698608 .9071868658065796 26.72105550765991 .4482457041740417 8.363178372383118 15.68379163742065 19.2291796207428 21.77725315093994 19.25517082214355 32.07581996917725 4.853467345237732 25.84766387939453 2.596826553344727 12.34245538711548 8.121061325073242 8.192342519760132 2.80063807964325 21.14728212356567 79.33924198150635 46.6317081451416 53.67309093475342 18.4611964225769 28.4323787689209 39.89988803863525 35.67372560501099 3.782418072223663

-3.076825756579638E-3.665868937969208 .2243974804878235 25.95268249511719 18.25302720069885

348

REALIZACIÓN MUESTRAL DE LA CHI-2 INVERSA BIVARIANTE

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349

61.17253303527832 53.96654605865479 70.95729827880859

-7.424173410981894E-002 50.60924530029297 73.96474361419678 79.45427894592285 34.1615104675293 75.18969535827637 71.97212219238281 60.29769897460938 63.15690040588379 77.70230293273926 46.27545356750488 43.01863670349121 65.80732822418213 72.88958072662354 78.1853723526001 66.48077964782715 74.49021816253662 66.4096212387085 78.10070991516113 47.63398170471191 60.54131507873535 62.45335578918457 73.57975959777832 74.42774295806885 70.82220554351807 78.32923889160156 76.50125026702881 73.45818519592285 55.15058040618896 71.01478576660156 65.87435245513916 77.18653678894043 70.92541694641113 69.921875 61.43876075744629 77.906494140625 73.45829963684082 49.72325325012207 69.51984405517578 36.43886089324951 75.70705413818359 77.82421112060547 38.57999086380005 76.86741828918457

63.29841136932373 71.90168857574463 70.87541103363037 47.63820171356201 41.72600269317627 63.92563819885254 59.59826469421387 54.32009696960449 70.04596710205078 74.12484645843506 45.88528633117676 65.03931522369385 47.81455039978027 35.23534297943115 47.85721778869629 63.77808094024658 59.20117855072021 78.39569091796875 51.8911075592041 71.52819633483887 62.89433002471924 37.61129379272461 78.0387020111084 77.80076026916504 70.883469581604 73.09228420257568 66.57843589782715 71.02134704589844 57.1691370010376 75.89760780334473 63.50406646728516 40.35577297210693 73.1765079498291 72.56679534912109 54.24843311309814 70.08518218994141 73.45910549163818 50.08226871490479 24.27030324935913 52.50065803527832 77.27512359619141 69.82503414154053 21.29788637161255 63.01586151123047 68.03475379943848 69.19628143310547 73.15718650817871

350

REALIZACIÓN MUESTRAL

77.99695491790771 45.71533203125 45.93112945556641 21.16494417190552 18.2839834690094 39.50785875320435 58.16516876220703 6.11406683921814 19.03354644775391 68.82230281829834 .3049460612237453 73.32257747650146 70.98361968994141 14.90712285041809 16.38570189476013 51.93154335021973 44.66373920440674 34.53109264373779 10.85680484771729 7.215140461921692 1.581530421972275 50.91594219207764 58.24482917785645 23.89610052108765 25.79985857009888 46.62207126617432 22.58227825164795 38.28925609588623 59.6545934677124 57.13743686676025 .3519007191061974 28.02321672439575 7.363020777702332 63.91953945159912 20.69666862487793 8.090184330940247 70.27285099029541 5.640541315078735 16.64535880088806 21.97386980056763 17.50187516212463 66.38550758361816 61.1037540435791 16.60556435585022 35.71824550628662 59.55377101898193 1.361499428749084 69.89830017089844 61.81136131286621 26.21342897415161 45.86453914642334 19.60916876792908 42.20339775085449 26.65895223617554

DE LA UNIFORME BIVARIANTE

13.72461915016174 51.85908794403076 38.51311445236206 15.07063627243042 11.18963122367859 62.91423320770264 59.54865455627441 64.59426879882812 78.27182769775391 64.31729793548584 39.88361358642578 49.66406345367432 64.58020210266113 40.5780029296875 44.39078807830811 26.26511096954346 8.145650029182434 72.37824440002441 69.11637783050537 77.8119945526123 21.95910453796387 64.26251411437988 74.73214149475098 17.4095630645752 .275233443826437 11.15649938583374 74.1281270980835 .8167634904384613 38.43177080154419 72.46370792388916 57.89615631103516 8.863658905029297 79.93447780609131 62.49030590057373 41.45374774932861 18.07152986526489 44.55774307250977 65.94802856445312 57.55884170532227 58.22612285614014 31.21076583862305 67.28527069091797 17.96502828598022 15.65402269363403 49.31941509246826 22.59619474411011 27.9674768447876 20.95212697982788 32.47368335723877 62.85812854766846 77.589430809021 39.92028713226318 28.09077501296997 57.24691390991211

351

37.00322389602661 42.27974891662598 62.55146026611328 3.921945095062256 43.66600513458252 71.00465297698975 31.59034013748169 57.98498630523682 47.30878353118896 40.77822208404541 62.86593914031982 49.44865226745605 35.2898645401001 10.16930818557739 78.10925960540771 31.40159606933594 75.22053718566895 28.07423114776611 56.00110530853271 68.24383735656738 44.08129215240479 34.2978048324585 50.0772762298584 20.21306991577148 65.85366725921631 22.71254301071167 79.52455043792725 52.36422061920166 11.41770243644714 75.74594974517822 16.61715507507324 6.752017140388489 34.46500301361084 58.94593715667725 14.54392075538635 36.5667462348938 57.17748641967773 64.37441825866699 39.37607526779175 40.97311973571777 59.42169189453125 71.57895088195801 49.92563247680664 19.40227866172791 5.208753347396851 34.8925518989563

53.15938472747803 26.44703388214111 76.84381008148193 25.28050899505615 73.02882194519043 16.09844565391541 35.60616970062256 26.54065370559692 51.18067264556885 39.16015148162842 17.66144752502441 16.72267198562622 52.47826099395752 71.88243865966797 63.92904758453369 18.76340270042419 63.3050012588501 24.67848777770996 78.95537376403809 17.79725670814514 61.34467601776123 26.02576732635498 45.42069911956787 48.69039535522461 8.25230598449707 .8204949647188187 70.91158866882324 4.903032779693604 48.9656925201416 41.93527221679688 .7090316712856293 77.42987632751465 21.40756607055664 53.72981548309326 30.34209012985229 32.56865978240967 40.32834529876709 46.26484394073486 11.65729284286499 37.26685047149658 19.03954863548279 78.96904945373535 46.153564453125 .7964248955249786 12.78781890869141 72.50921726226807

352

REALIZACIÓN MUESTRAL

44.96196746826172 64.88501071929932 24.83786106109619 28.17499399185181 56.74821853637695 38.09984922409058 57.43229389190674 34.65496778488159 30.13383388519287 55.95890998840332 38.93311262130737 26.2445330619812 47.93421268463135 33.10946702957153 18.47208976745605 44.34468269348145 42.8559398651123 20.50340175628662 24.54027891159058 45.40568351745605 8.57800304889679 70.13239860534668 48.73209953308105 61.67107582092285 27.65512228012085 34.00843381881714 78.60278129577637 57.77145862579346 39.41803693771362 59.09988403320312 53.85294914245605 60.81019878387451 42.84130573272705 47.59110927581787 10.52660942077637 28.35635423660278 61.43545627593994 36.30192995071411 29.8411226272583 16.66054010391235 48.62106323242188 48.4827184677124 53.93483638763428 26.91337108612061 22.68224477767944 32.3150897026062 12.91900634765625 34.75467681884766 31.15421056747437 35.02559661865234 32.46289014816284 55.97348213195801 31.05934619903564

DE LA NORMAL BIVARIANTE

29.15104389190674 45.54167747497559 57.74582386016846 22.68114566802979 33.333580493927 53.60188961029053 47.68488883972168 13.66166830062866 51.5808629989624 70.30539512634277 38.67865085601807 28.68193387985229 35.42231798171997 49.66978073120117 49.11829948425293 5.964300632476807 36.89285278320312 30.55108547210693 46.11018657684326 47.97402381896973 32.81119823455811 34.47062253952026 23.24341297149658 54.41823959350586 28.55310916900635 55.26171207427979 42.85469055175781 40.2737283706665 42.70432472229004 61.76534652709961 57.9538631439209 54.47165489196777 29.21170711517334 38.45006465911865 22.8645658493042 43.71857643127441 21.16025924682617 31.79195404052734 39.42046642303467 27.32608318328857 61.29221439361572 49.1081428527832 42.51599788665771 26.105055809021 22.96551942825317 42.84530639648438 46.17362499237061 37.86886930465698 14.14554595947266 50.12322425842285 53.61898422241211 50.62301158905029 59.06210422515869

353

33.22141647338867 41.99109077453613 16.09414339065552 60.14492988586426 47.13389873504639 29.87268447875977 41.74334526062012 44.11263465881348 35.51100969314575 13.43498349189758 61.22585296630859 54.54941272735596 60.66829204559326 25.87339878082275 25.01988172531128 56.35790824890137 49.04540061950684 28.19091796875 45.08705139160156 44.11033153533936 18.80176901817322 54.13988590240479 38.84395122528076 33.867347240448 51.70842170715332 49.26779747009277 50.07466316223145 3.188060522079468

-2.28480392252095E-003 32.53629684448242 47.09301948547363 41.45482540130615 70.29998779296875 47.4646520614624 46.74088478088379 46.04075908660889

-1.612034859135747E-002 57.07636833190918 44.95337009429932 67.43392944335938 28.14132452011108 42.32756614685059 23.06821823120117 8.350557088851929 52.23547458648682 58.74242782592773 15.27766942977905

53.62765312194824 35.20285367965698 55.57809352874756 40.52497386932373 76.28050327301025 31.77234172821045 62.13850975036621 29.34680461883545 20.91424226760864 40.51082611083984 47.74302005767822 22.2978138923645 54.17279243469238 46.36137008666992 19.61109399795532 9.939054250717163 32.32373714447021 14.2841100692749 42.98259258270264 41.84122085571289 50.39570808410645 29.85187768936157 22.66654014587402 39.62141752243042 35.55514097213745 56.81469917297363

-4.291708581149578E-30.55780649185181 48.3289098739624 30.85833072662354 34.04261827468872 48.25494289398193 55.48537731170654 17.23051071166992 34.92688417434692 47.65819549560547 65.78564643859863 36.20599746704102 65.78840732574463 33.19318056106567 52.42525577545166 66.0855770111084 29.44107055664062 24.40649509429932 60.25099754333496 53.12785148620605 45.37949562072754

354

PROGRAMAS

PROGRAMA PARA LA ESTIMACIÓN DE FUNCIONES DE DENSIDAD Y

DISTRIBUCIÓN UNIDIMENSIONALES.

REM AJUSTA DATOS DE UN ARCHIVO, O GENERADOS UNIFORMEMENTE A UNO DE LOS 9 KERNELS REM ALMACENA EN ARCHIVOS CON EL MISMO NOMBRE Y EXTENSIÓN .*XY (*=NaKERNEL): REM X , F.DEN.AJUSTADA , F.DIST.AJUSTADA , F.D.DIST.EMPÍRICA CLS : VMIN=lE+27 : VMAX=-lE+27 : MEDIA=0 PI=3.14159 : EEE=2.718282 PRINT "PROGRAMA PARA EL AJUSTE NOPARAMETRICO DE F.d.d." : PRINT INPUT "¿TIPO DE PANTALLA GRÁFICA (1,7,8,12)";PANTA INPUT "¿TIPO DE KERNEL (1,2,3,4,5,6,7,8 o 9)";TIK$ 1111: INPUT "¿TAMAÑO DE LA MUESTRA";TMUES NN=98 DIM B(TMUES),Bl(NN+2,4),B30(100,2),B40(100,2) INPUT "¿DESEA LEER LOS DATOS DE UN ARCHIVO si NO => genera num. Uniformes (S/N)";SD$ IF (SD$="n" OR SD$="N") THEN

RANDOMIZE TIMER FOR 1=1 TO TMUES

B(I)=RND IF B(I)>VMAX THEN VMAX=B(I) IF B(I)<VMIN THEN VMIN=B(I) MEDIA=MEDIA+B(I)

NEXT I NOM$="NULDAT.DAT"

ELSE 170: INPUT "¿NOMBRE DEL ARCHIVO DE DATOS";NOM$ X=LEN(NOM$) IF X<4 THEN GOTO 2 00 ELSE GOTO 210 200: PRINT " El archivo debe tener alguna extensión"

: GOTO 170 210: ZX$=MID$(NOM$,X-3,l) IF ZX$="." THEN GOTO 240 ELSE GOTO 230 230: PRINT " El archivo debe tener alguna extensión"

: GOTO 170 240: OPEN NOM$ FOR INPUT AS#1 FOR 1=1 TO TMUES

INPUT#1,B(I) IF B(I)>VMAX THEN VMAX=B(I) IF B(I)<VMIN THEN VMIN=B(I) MEDIA=MEDIA+B(I)

NEXT I CLOSE

END IF MEDIA=MEDIA/TMUES : A0=ABS(VMAX-VMIN) : N=TMUES : NITE=0 FACTDI=1 IF (A0>5 OR A0<1) THEN FACTDI=A0/5 FACTRE=MEDIA VMIN=lE+27 : VMAX=-lE+27 FOR 1=1 TO TMUES

B(I)=(B(I)-FACTRE)/FACTDI IF B(I)>VMAX THEN VMAX=B(I) IF B(I)<VMIN THEN VMIN=B(I)

NEXT I A0=ABS(VMAX-VMIN) NLINF=VMIN-.2*A0 : NLSUP=VMAX+.2*A0 IF TIK$="1" THEN ALFA=217/365 : GRAL=.96 : S=2 : SFACT=2

357

IF TIK$="2" THEN ALFA=2 : GRAL=.25 : S=2 : SFACT=2 IF TIK$="3" THEN ALFA=1 : GRAL=3/(5*(5)A.5) : S=2 : SFACT=2 IF TIK$="4" THEN ALFA=1 : GRAL=.75 : S=2 : SFACT=2 IF TIK$="5" THEN ALFA=1 : GRAL=1/ (2* (PI)A. 5) : S=2 : SFACT=2 IF TIK$="6" THEN ALFA=-3 : GRAL=27/(32*(PI)A.5) : S=2 : SFACT=2 IF TIK$="7" THEN ALFA=15 : GRAL=2625/(2048*(PI)A.5) : S=6 : SFACT=720 IF TIK$="8" THEN ALFA=l/7 : GRAL=16/21 : S=2 : SFACT=2 IF TIK$="9" THEN ALFA=-8/9 : GRAL=34/27 : S==4 : SFACT=24 PNL$="N" INPUT "¿DESEA DEFINIR UN ANCHO DE VENTANA (S/N)";PNL$ IF (PNL$="S" OR PNL$="S") THEN PRINT " Rango de variación de la

muestra:";AO*FACTDI+FACTRE INPUT " ¿Ancho de Ventana";Al Al=(Al-FACTRE)/FACTDI

ELSE PRINT " PARA EL CALCULO DEL ANCHO DE VETANA ÓPTIMO, PUEDE

ELEGIR:" PRINT " 1. Minimizar la media de las desviaciones

cuadráticas" PRINT " 2. Maximizar la función de pseudo-verosimilitud" INPUT " TECLEE EL CÓDIGO DE LA OPCIÓN ELEGIDA (1 ó 2) y

pulse 'INTRO1 ",COE SELECT CASE COE INPUT " ¿NUMERO MÁXIMO DE ITERACIONES ( máximo admitido=100

)";NMI IF NMI>100 THEN NMI=100 INPUT " ¿TOLERANCIA (en tanto por uno)";TOLERAN CASE 1

PAS01=ABS(NLINF-NLSUP)/(A0*20) 390: LÓCATE 21,5 : PRINT "

LÓCATE 21,5 : PRINT "Ancho de ventana, con";NITE;"Iteraciones=";AO*FACTDI+FACTRE

NITE=NITE+1 GREL=0 FOR 1=1 TO N

GRIL=0 FOR J=NLINF TO NLSUP STEP PASOl

J1=A0*(J-B(I)) GOSUB 2000 GRIL=GRIL+((A0AS)/N) *G1*G1*PAS01

NEXT J GREL=GREL+GRIL

NEXT I FOR 11=1 TO N-l FOR 12=11+1 TO N

GRIL=0 FOR J=NLINF TO NLSUP STEP PASOl

J1=A0*(J-B(I1)) GOSUB 2000 : G2=G1 J1=A0*(J-B(I2)) GOSUB 2000 GRIL=GRIL+2*((A0AS)/N)*Gl*G2*PASOl

NEXT J

358

GREL=GREL+GRIL NEXT 12 NEXT II A2=(2*N*S*ALFA*ALFA*GREL)/(SFACT*GRAL) IF A2<=.00001 THEN GOTO 700 ELSE GOTO 710 700: A1=A0 : GOTO 750 710: A1=(A2)A(1/(2*S+1)) I F NMK=NITE THEN GOTO 750 I F A0*TOLERAN>ABS(A0-Al) THEN GOTO 750 A0=A1 : GOTO 390

CASE 2 SUMA=0 NENATQ: SUMA=SUMA+1 FD=3 IF SUMA=1 THEN Al=A0/3 IF SUMA=2 THEN A1=A0*3 IF SUMA>2 THEN FOR 1=1 TO SUMA-2 A50=(B30(I,2)/B30(I+1,2))A(l/4) A60=(A50*B30(I+1,1)+B30(I,1))/(A50+l) A70=((A60-B30(I,1))A4)/B3 0(I,2)

IF 1=1 THEN VMAAA=A70 : A1=A60 IF A70>VMAAA THEN A1=A60 : VMAAA=A70

NEXT I END IF B30(SUMA,1)=A1 : GREL=0 FOR 1=1 TO N GRIL=0 FOR J=l TO N

IF I=J THEN GOTO MMTB J1=A1*(B(I)-B(J)) GOSUB 3000 GRIL=GRIL+(A1/(N-l))*G1 IF GRIL<lE-43 THEN GRIL=lE-43 MMTB:

NEXT J GREL=GREL+LOG(GRIL)

NEXT I GREL=-1*GREL : B30(SUMA,2)=GREL LÓCATE 21,5 : PRINT "

ii

LÓCATE 21,5 : PRINT "Ancho de ventana, con";SUMA;"Iteraciones=";A1*FACTDI+FACTRE

IF SUMA>NMI THEN GOTO 750 IF SUMA<=2 THEN GOTO NENATQ

ELSE FOR 1=1 TO SUMA-1

IF ABS(GREL*TOLERAN)>ABS(GREL-B30(I,2)) THEN GOTO 750 FOR J=I+1 TO SUMA

ZJ1=B30(J,1) : ZI1=B30(I,1) : ZJ2=B30(J,2) : ZI2=B30(I,2)

IF ZJ1>ZJ2 THEN B30(J,1)=ZI1 : B30(J,2)=ZI2 : B30(I,1)=ZJ1

B30(I,2)=ZJ2

359

END IF NEXT J

NEXT I END IF GOTO NENATQ:

END SELECT 750: PRINT "Ancho Final de Ventana=";A1*FACTDI+FACTRE INPUT "PULSAR 'INTRO' PARA CONTINUAR",HFGFYT$

END IF 8989: LÓCATE 14,1 : PRINT "CALCULANDO LAS FUNCIONES DE DENSIDAD Y DISTRIBUCIÓN, ..." SUMA=0 : INCRE=.25*ABS(VMAX-VMIN) : I1=VMIN-INCRE : I2=VMAX+INCRE INCRO=.5*ABS(VMAX-VMIN) : I73=VMIN-INCRO : I74=VMAX+INCRO PASO=(12-11)/NN : A0=A1 WMIN=0 : I11=I1+INCRE : I22=I2-INCRE FOR 1=11 TO 12 STEP PASO

SUMA=SUMA+1 : Bl(SUMA,1)=I GRIL=0 FOR J=l TO N J1=A1*(I-B(J)) GOSUB 3000 GRIL=GRIL+(Al/N)*G1

NEXT J B1(SUMA,2)=GRIL I F B1(SUMA,2)<WMIN THEN WMIN=B1 (SUMA, 2)

NEXT I AREA=0 FOR 1 = 1 TO SUMA B1(I,2)=B1(I,2)-WMIN AREA=AREA+B1(1,2)*PASO

NEXT I FOR 1=1 TO SUMA

Bl(I,2)=B1(1,2)/ÁREA NEXT I IINII=1 FOR 1=2 TO SUMA

IF B1(I,1)>I11 THEN GOTO MMTQ IF B1(I-1,2)>B1(I,2) THEN IINII=I

NEXT I MMTQ: FOR 1=1 TO IINII

B1(I,2)=0 NEXT I IIFII=SUMA FOR I=SUMA-1 TO 1 STEP -1

IF B1(I,1)<I22 THEN GOTO MMTR IF B1(I+1,2)>B1(I,2) THEN IIFII=I

NEXT I MMTR: FOR I=IIFII TO SUMA

B1(I,2)=0 NEXT I AREA=0 FOR 1=1 TO SUMA AREA=AREA+B1(1,2)*PASO

NEXT I

360

VMAX=-2E+11 : VALOR=0 FOR 1=1 TO SUMA-1

B1(I,2)=B1(I,2)/AREA IF B1(I/2)>VMAX THEN VMAX=B1(I,2) VALOR=VALOR+Bl(1,2)*PASO Bl(I+l,3)=VALOR

NEXT I FOR 1=1 TO SUMA-1 VALOR=0 FOR J=l TO N

IF B(J)<=B1(I,1) THEN VALOR=VALOR+(1/N) NEXT J Bl(I+l,4)=VALOR

NEXT I SCREEN PANTA 11=173 : 12=174 WINDOW(I1,-1*VMAX/4)-(I2,VMAX+VMAX/4) IIll=ABS(VMAX+(VMAX/2))/100 LINE (I1,0)-(I2,0) LINE (0,IIll)-(0,-1*1111) LINE (111,II11)-(I11,-1*1111) LINE (122,II11)-(I22,-1*1111) FOR 1=1 TO SUMA-1 X1=B1(I,1) : Y1=B1(I,2) X2=B1(I+1,1) : Y2=B1(I+1,2) LINE(X1,Y1)-(X2,Y2),2

NEXT I INPUT "INTRO para CONT.",WYTUG$ CLS VMAX=1 WINDOW(II,-l*VMAX/4)-(12,VMAX+VMAX/4) IIll=ABS(VMAX+(VMAX/2))/100 LINE (I1,0)-(I2,0) LINE (0,VMAX)-(O,O) LINE (111,II11)-(I11,-1*1111) LINE (122,II11)-(I22,-1*1111) FOR 1=1 TO SUMA-1 X1=B1(I,1) : Y1=B1(I,3) X2=B1(I+1,1) : Y2=B1(I+1,3) LINE(X1,Y1)-(X2,Y2) ,1

NEXT I FOR 1=1 TO SUMA-1 X1=B1(I,1) : Y1=B1(I,4) X2=B1(I+1,1) : Y2=B1(I+1,4) LINE(X1,Y1)-(X2,Y2) ,2

NEXT I INPUT "INTRO para CONT.",BNBNB$ CLS : SCREEN 2 : CLS CLS : SCREEN 0 : CLS PRINT "PROGRAMA PARA EL AJUSTE NOPARAMETRICO DE F.d.d." : PRINT X=LEN(NOM$) : MID$(NOM$,X-2,3)=TIK$+"XY" OPEN NOM$ FOR OUTPUT AS#1 FOR 1=1 TO SUMA

Bl(I,1)=B1(I,1)*FACTDI+FACTRE PRINT #1,USING»########.######";B1(I,1);B1(I,2);B1(I,3);B1(I,4)

NEXT I

361

CLOSE 1000 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2020 2030 2031 2032 2040 2041 2042 2 0

IF

END REM SUBRUTINA IF ABS(J1)>2.3 THEN 2002 ELSE 2003

G1=0 : GOTO 2080 TIK$=,I1M THEN 2004 ELSE 2020 G1=0 IF ABS(J1)<.5 IF (ABS(J1)>= GOTO 2 080 TIK$="2" THEN TIK$="3" THEN IF ABS(J1)>5A

GOTO 2080 TIK$="4" THEN 2041 ELSE 2050

IF IF

IF

THEN Gl=8*(-2+6*ABS(Jl)) 5 AND ABS(J1)<=1) THEN Gl=16*(1-ABS(Jl))

Gl=.5*EEEA(-1*ABS(Jl)) 2031 ELSE 2040 5 THEN G1=0 ELSE Gl=-3/(10*(5A.5))

IF ABS(J1)>1 THEN G1=0 ELSE Gl=-.46*PI*PI*COS(PI*J1) GOTO 2080 0 : I F T ] T I K $ = " 5 "

G1=(1/((2*PI)A.5))*(EEEA(-l*(JlA2)/2))*(J1A2-1) 2060: IF TIK$="6" THEN 2061 ELSE 2065 2061: G3=(l/((2*PI)A.5))*(EEEA(-1*(JlA2)/2)) 2062: G4=-l*(JlA4)+6*(JlA2)-4 2063: G1=G3*G4 2064: GOTO 2080 2065: IF TIK$="7" THEN 2066 ELSE 2069 2066: G3=((15/8)/((2*PI)A.5))*(EEEA(-1*(JlA2)/2)) 2 0 6 7

H N

10)-(49/15)*(JlA8)+50*(J1A6)-274*(J1A4)+451*(Jl' G4=(1/15)*(J1 2)-99 2068: G1=G3*G4 : GOTO 2080 2069: IF TIK$="8" THEN 2070 ELSE 2072 2070: IF ABS(J1)>1 THEN G1=0 ELSE Gl=(15/4)*(3*(J1A2)-1) 2071: GOTO 2080 2072: IF TIK$="9" THEN 2073 ELSE 2080 2073: IF ABS(J1)>1 THEN G1=0 ELSE Gl=-105/2 2080: RETURN 3000: REM SUBRUTINA 3001: IF ABS(J1)>2.3 THEN GOTO 3002 ELSE GOTO 3003 3002: G1=0 : GOTO 3080 3003: IF TIK$=M1" THEN GOTO 3004 ELSE GOTO 3020 3004: G1=0 3005: IF ABS(J1)<.5 THEN Gl=(4/3)-8*JlA2+8*(ABS(Jl))A3 3006: IF (ABS(J1)>=.5 AND ABS(J1)<=1) THEN Gl=(8/3)*((1-ABS(J1))A3) 3007: GOTO 3080 3020: IF TIK$=II2" THEN Gl=. 5*EEEA (-1*ABS (Jl) ) 3030: IF TIK$="3" THEN GOTO 3031 ELSE GOTO 3040 3031: IF ABS(J1)>5A.5 THEN G1=0 ELSE Gl=(3/(4*(5A.5)))-(3/(20*(5A.5)))*JlA2

GOTO 3080 TIK$="4" THEN GOTO 3041 ELSE GOTO 3050 IF ABS(J1)>1 THEN G1=0 ELSE Gl=.54+.46*COS(PI*J1) GOTO 3080 TIK$="5" THEN G l = ( l / ( ( 2 * P I ) A . 5 ) ) * ( E E E A ( - 1 * ( J l A 2 ) / 2 ) ) 0 : I F T I K $ = " 6 " T H E N

G l = ( l / ( ( 2 * P I ) A . 5 ) ) * ( E E E A ( - l * ( J l A 2 ) / 2 ) ) * ( 3 / 2 ) * ( l - . 3 3 3 3 3 3 * J l A 2 )

3032: 3040: 3041: 3042: 3050: 3 0

IF

IF 6

362

3 0 7 0 : I F T I K $ = " 7 " T H E N G l = ( l / ( ( 2 * P I ) A . 5 ) ) * ( E E E A ( - l * ( J l A 2 ) / 2 ) ) * ( 1 5 / 8 ) * ( 1 - . 6 6 6 6 6 6 * J 1 A 2 + ( 1 / 1 5 ) * J 1 A 4 ) 3071: IF TIK$="8" THEN 3072 ELSE 3074 3072: IF ABS(J1)>1 THEN G1=0 ELSE Gl=(15/16)*((1-(J1A2))A2) 3073: GOTO 3080 3074: IF TIK$="9" THEN 3075 ELSE 3080 3075: IF ABS(J1)>1 THEN G1 = 0 ELSE Gl=(15/16)*(l-((7/3)*(JlA4))) 3080: RETURN

363

PROGRAMA PARA LA ESTIMACIÓN DE LA CURVA DE REGRESIÓN EN UN

MODELO FIJO.

CLS PRINT "PROGRAMA DE REGRESIÓN NO-PARAMETRICA. DISEÑO FIJO" PRINT DIM A(400,2),BB(400,9),AA1(600,2) INPUT "¿NOMBRE DEL ARCHIVO DE DATOS";NOMAR$ INPUT "¿TAMAÑO MUESTRAL";N INPUT "¿NUMERO DE VARIABLES";NVAR INPUT "¿POSICIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE";VARIN INPUT "¿PASO entre VALORES de X, Na de EXPERIMENTOS X";INCRE,NEXP INPUT "¿POSICIÓN DE LA VARIABLE DEPENDIENTE";VARDE OPEN NOMAR$ FOR INPUT AS#1 FOR 1=1 TO N FOR J=l TO NVAR INPUT#1,TFC

IF J=VARIN THEN A(I,1)=TFC IF J=VARDE THEN A(I,2)=TFC

NEXT J NEXT I CLOSE FOR 1=1 TO N-l FOR J=I+1 TO N

IF A(I,1)>A(J,1) THEN X1=A(I,1) : Y1=A(I,2) X2=A(J,1) : Y2=A(J,2) A(I,1)=X2 : A(I,2)=Y2 A(J,1)=X1 : A(J,2)=Y1

END IF NEXT J NEXT I INPUT "¿SOBRE CUANTAS MUESTRAS ACTÚA";N XMIN=1E+10 : XMAX=-1E+10 YMIN=1E+10 : YMAX=-1E+10 FOR 1=1 TO N

IF A(I,1)<XMIN THEN XMIN=A(I,1) IF A(I,1)>XMAX THEN XMAX=A(I,1) IF A(I,2)<YMIN THEN YMIN=A(I,2) IF A(I,2)>YMAX THEN YMAX=A(I,2)

NEXT I XXMA=XMAX : XXMI=XMIN : YYMA=YMAX : YYMI=YMIN

FOR 1=1 TO N A(I,1)=(A(I,1)-XMIN)/(XMAX-XMIN) A(I,2)=(A(I,2)-YMIN)/(YMAX-YMIN)

NEXT I INCRE=INCRE/(XMAX-XMIN) XXMA=XMAX : XXMI=XMIN : YYMA=YMAX : YYMI=YMIN XMIN=0 : XMAX=1 : YMIN=0 : YMAX=1

PRINT : INPUT "¿VALORES de V,S,JL¿ (para SELECCIONAR tipo NÚCLEO)";V,S,M F=S : GOSUB JAVI : SFACT=F CP=1/(2*(2*S+1)) PRINT

365

V2=V : S2=S : M2=M V1=S : Sl=S+2 : M1=M LM=S+2*M-2 : LMl=Sl+2*Ml-2

DIM C1(LM,2),C2(LM1,2) FOR J=0 TO LM

C1(J,2)=J NEXT J FOR J=0 TO LM

POI=(-l)A(J+V) IF POI=l THEN Nl=(-l)-((J+V)/2) F=S+V+2*M : GOSUB JAVI : N2=F N3=(S-V)*(S+2*M-J) F=S+J : GOSUB JAVI : N4=F F=J : GOSUB JAVI : D1=F D2=(J+V+l)*2A(2*(S+M)+1) F=(S-V)/2 : GOSUB JAVI : D3=F F=(S+V+2*M)/2 : GOSUB JAVI : D4=F F=(S-J+2*M)/2 : GOSUB JAVI : D5=F F=(S+J)/2 : GOSUB JAVI : D6=F L=(N1/(D1*D2))*(N2/(D3*D4))*(N3/D5)*(N4/D6) C1(J,1)=L

ELSE C1(J,1)=0

END IF NEXT J V=V1 : S=S1 : M=M1 FOR J=0 TO LM1 C2(J,2)=J

NEXT J FOR J=0 TO LM1

POI=(-l)A(J+V) IF POI=l THEN Nl=(-l)-((J+V)/2) F=S+V+2*M : GOSUB JAVI : N2=F N3=(S-V)*(S+2*M-J) F=S+J : GOSUB JAVI : N4=F F=J : GOSUB JAVI : D1=F D2=(J+V+1)*2A(2*(S+M)+1) F=(S-V)/2 : GOSUB JAVI : D3=F F=(S+V+2*M)/2 : GOSUB JAVI : D4=F F=(S-J+2*M)/2 : GOSUB JAVI : D5=F F=(S+J)/2 : GOSUB JAVI : D6=F L=(NI/(D1*D2))*(N2/(D3*D4))*(N3/D5)*(N4/D6) C2(J,1)=L

ELSE C2(J,1)=0

END IF NEXT J V=V2 : S=S2 : M=M2

SIG2=0 FOR 1=1 TO N-2 SIG2=SIG2+(A(I+2,2)-2*A(I+l,2)+A(I,2))A2

NEXT I

366

SIG2=SIG2*l/(6*(N-2)) C1=0 : C2=0 : H0=1/N FOR X=-l TO 1 STEP .01 GOSUB MAMA: C1=C1+(K01A2)*.01 C2=C2+(ABS(XAS)*K01*.01)

NEXT X C1=SFACT*C1 : C2=2*S*C2 : BETA1=(((-1)A2)*C2)/(2*S*SFACT)

INPUT "¿DESEA DEFINIR UN ANCHO DE VENTANA (S/N)";SDF$ IF SDF$="S" THEN

INPUT HO ELSE

HO=l / (N/NEXP) : ITER=0 PRINT ITER,HO FOR ITER=1 TO 1 1

WAL=0 FOR T=XMIN+.l TO XMAX-.l STEP .01 VAL1=0 FOR 1=1 TO N X=(T-A(I,1))/((NACP)*HO) T2=A(I,l)+INCRE/2 Tl=A(I,l)-INCRE/2 T1P=X-H0 : T2P=X+HO IF (T2<T1P OR T1>T2P) THEN GOTO TITO I F T K T 1 P THEN T1=T1P IF T2>T2P THEN T2=T2P IKV=0 FOR K=0 TO LM1

IKV=IKV+ ( (C2 (K, 1) / (K+1) ) * ( ( ( (X-Tl) A (K+1) ) - ( (X-T2) A (K+1) ) ) / ( (HO *(NACP) )AK) ) )

NEXT K VAL1=VAL1+A(1,2)*IKV/NEXP TITO:

NEXT I VAL1=VAL1/ ( ( (N A CP)*HO) A S) WAL=WAL+ (ABS (VALÍ) ) * . 0 1 REM WAL=WAL+ ( (VALÍ) A 2 ) * . 0 1

NEXT T KK= (C1*SIG2) / (N*C2*WAL) HO=(ABS(KK)) A (2*CP) PRINT ITER,HO

NEXT ITER END I F

PIVOT=0 : SUMA=0 FOR 1 = 1 TO N

I F A ( I , 1 ) = 1 THEN PIVOT=PIVOT+A(I,2) : SUMA=SUMA+1

END IF NEXT I PIVOT=PIVOT/SUMA NPA=0 : NPD=0 FOR 1=1 TO N

IF A(I,l)<HO THEN NPA=NPA+1

367

IF A(I,1)>(1-H0) THEN NPD=NPD+1 NEXT I NPA=NPA-NEXP : NPD=NPD-NEXP T=NEXP-1 FOR 1=1 TO N+NPA+NPD

IF K=NPA THEN AA1(NPA+1-I,1)=2*A(1,1)-A(I+NEXP,1) AA1(NPA+l-I,2)=2 *A(1,2)-A(I+NEXP,2)

END IF IF (I>NPA AND K=N+NPA) THEN AA1(I,1)=A(I-NPA,1) AA1(I,2)=A(I-NPA,2)

END IF IF I>(N+NPA) THEN T=T+1 AA1(I,1)=2*A(N,1)-A(N-T,1) AA1(1,2)=2 *PIVOT-A(N-T,2)

END IF NEXT I

BUCLE=0 FOR 1=1 TO 100

BUCLE=BUCLE+1 X1=XMIN+BUCLE*ABS(XMAX-XMIN)/100 VAL1=0 : VAL2=0 : VAL3=0 : SUMA=0 : SUMA=0 : SUME=0 FOR J=l TO N+NPA+NPD-1

T2=AA1(J,1)+INCRE/2 T1=AA1(J,1)-INCRE/2 T1P=X1-H0 : T2P=Xl+HO IF (T2<T1P OR T1>T2P) THEN GOTO TITI I F T K T 1 P THEN T1=T1P IF T2>T2P THEN T2=T2P T=0 FOR K=0 TO LM

T=T+ ( (Cl (K, 1) / (K+1) ) * ( ( ( (Xl-Tl) A (K+1) ) - ( (X1-T2)A (K+1) ) ) / (HOAK) ) ) NEXT K IKV=T VAL1=VAL1+AA1(J,2)*IKV VAL3=VAL3+((IKV/(HOA(V+l)) ) A2) IF (J>NPA AND J<=N+NPA) THEN

VAL2=VAL2+AA1(J,2)*IKV END IF TITI:

NEXT J VAL1=(VAL1/(HOA(V+l)))/NEXP VAL2=VAL2/(HOA(V+l))/NEXP VAL3=SIG2 *VAL3/NEXP Y1=VAL1 : Y2=VAL2 : Y3=VAL3 BB(I,1)=X1 : BB(I,4)=Y1 : BB(I,5)=Y2 BB(I,6)=(BETA1*BB(I,4)*(HOA(S-V)))A2 BB(I,7)=VAL3

NEXT I

368

SCREEN 12 XXX1=-1 : XXX2=3 YYY1=-1 : YYY2=2 WINDOW (XXX1,YYY1)-(XXX2,YYY2) LINE (0,0)-(l,l),,B FOR 1=1 TO N+NPA+NPD

CIRCLE (AA1(I,1),AA1(I,2)),ABS(XMAX-XMIN)/200,10 NEXT I FOR 1=1 TO N

CIRCLE (A(I,1),A(I,2)),ABS(XMAX-XMIN)/200,13 NEXT I FOR 1=1 TO 99

X1=BB(I,1) : Y1=BB(I,4) X2=BB(I+1,1) : Y2=BB(I+1,4) Y3=BB(I,5) : Y4=BB(I+1,5) LINE (XI,Y3)-(X2,Y4),10 LINE (X1,Y1)-(X2,Y2)

NEXT I LÓCATE 2,1 : PRINT "Ho="; PRINT USING ".###";HO PRINT »v=";V PRINT "S=";S PRINT "A¿=";M

LÓCATE 1,1 : PRINT "AJUSTE EN [0,1]"; : INPUT " Pulsar *INTRO1 para continuar",DSFSRE$

X2=XXMA-XXMI : Y2=YYMA-YYMI X1=XXMI : Y1=YYMI FOR 1=1 TO N A(I,1)=X1+A(I,1)*X2 A(I,2)=Y1+A(I,2)*Y2

NEXT I FOR 1=1 TO 100

BB(I,2)=X1+BB(1,1)*X2 BB(I,3)=Y1+BB(1,4)*Y2 TRE1=BB(I,6) : TRE2=BB(I,7) : TRO=1.96*((TRE1+2*TRE2)A.5) BB(I,8)=Y1+(BB(I,4)+TRO)*Y2 BB(I,9)=Y1+(BB(I,4)-TR0)*Y2

NEXT I

CLS IF (X2/Y2)>(4/3) THEN XM=X2 : YM=Y2*(4/3)

ELSE XM=(4/3)*X2 : YM=Y2

END IF WINDOW (XI,Yl)-(X1+XM*1.2,Y1+YM*1.2) LINE (X1,Y1)-(X1+X2,Y1+Y2) , ,B XINI0=X1 : XFIN0=X1+X2 YINI0=Y1 : YFIN0=Y1+Y2

FOR 1=1 TO 99 X1=BB(I,2) : Y1=BB(I,3) X2=BB(I+1,2) : Y2=BB(I+1,3)

369

Y3=BB(I,8) : Y4=BB(I+1,8) Y5=BB(I,9) : Y6=BB(I+1,9) LINE (X1,Y1)-(X2,Y2) LINE (X1,Y3)-(X2,Y4) ,13 LINE (X1,Y5)-(X2,Y6) ,13

NEXT I IF (XFINO-XINIO)>(YFINO-YINIO) THEN LL=(YFINO-YINIO)/150 ELSE LL=(XFINO-XINIO)/150 FOR 1=1 TO N

CIRCLE (A(I,1),A(I,2)),LL,10 NEXT I

FOR 1=0 TO N STEP NEXP LINE (A(I,1),YINI0)-(A(I,1),YINI0+3*LL)

NEXT I

PRINT "VARAICION DEL EJE X:"; PRINT XXMI;I,-";XXMA PRINT "VARIACIÓN DEL EJE Y:"; PRINT YYMI;"-";YYMA

INPUT "",NDHDGT$ UGE: OLIS: END

MAMA: IF (X>1 OR X<-1) THEN K01=0

ELSE K01=0 FOR HG=0 TO LM

K01=K01+C1(HG,1)*XAC1(HG,2) NEXT HG

END IF RETURN

PAPA: IF (X>1 OR X<-1) THEN K21=0

ELSE K21=0 FOR HG=0 TO LM1

K21=K21+C2(HG,1)*XAC2(HG, 2) NEXT HG

END IF RETURN

JAVI: IF F=0 THEN

370

F=l : GOTO MC END IF FOR ZXSDF=F-1 TO 1 STEP -1

F=F*ZXSDF NEXT ZXSDF MC: RETURN

PEPITO: FOR 1=1 TO 100

X X 1 = B B ( I , 1 ) : H 2 = ( l / ( H O A ( V + l ) ) ) : WAL=0 FOR J = l TO N+NPA+NPD

IF AA1(J,1)>XX1+.01 THEN FOR J1=J TO 1 STEP -1

IF ABS(AA1(J,1)-AA1(J1,1))>.01 THEN J3=J : J2=J1 : GOTO TITE

END IF NEXT Jl

END IF NEXT J TITE: X1=AA1(J2-1,1) : X2=AA1(J2,1) : X3=AA1(J3,1) : X4=AA1(J3+1,1) T2=(X3+X4)/2 : Tl=(Xl+X2)/2 T=0 FOR K=l TO LM

T=T+((C1(K,1)/(K+1))*((((XX1-T2)AK)-((XX1-T1)AK))/(HO^K))) NEXT K REM PRINT I;T1;T2;(T2-T1)*(Cl(0,1)+T) BB(I,7)=(J3-J2+1)*(T2-T1)*(Cl(0,1)+T)*H2*SIG2 REM PRINT I;BB(I,6);BB(I,7)

NEXT I RETURN

371

PROGRAMA PARA LA ESTIMACIÓN DE LA CURVA DE REGRESIÓN EN UN

MODELO ALEATORIO.

CLS PRINT "PROGRAMA DE REGRESIÓN NO-PARAMETRICA. DISEÑO ALEATORIO" PRINT DIM A(400,2),BB(400,9),AA1(600,2) INPUT "¿NOMBRE DEL ARCHIVO DE DATOS";NOMAR$ INPUT "¿TAMAÑO MUESTRAL";N INPUT "¿NUMERO DE VARIABLES";NVAR INPUT "¿POSICIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE";VARIN INPUT "¿POSICIÓN DE LA VARIABLE DEPENDIENTE";VARDE OPEN NOMAR$ FOR INPUT AS#1 FOR 1=1 TO N FOR J=l TO NVAR

INPUT#1,TFC IF J=VARIN THEN A(I,1)=TFC IF J=VARDE THEN A(I,2)=TFC

NEXT J NEXT I CLOSE FOR 1=1 TO N-l FOR J=I+1 TO N

IF A(I,1)>A(J,1) THEN X1=A(I,1) : Y1=A(I,2) X2=A(J,1) : Y2=A(J,2) A(I,1)=X2 : A(I,2)=Y2 A(J,1)=X1 : A(J,2)=Y1

END IF NEXT J NEXT I INPUT "¿SOBRE CUANTAS MUESTRAS ACTÚA";N XMIN=1E+10 : XMAX=-1E+10 YMIN=1E+10 : YMAX=-1E+10 FOR 1=1 TO N

IF A(I,1)<XMIN THEN XMIN=A(I,1) IF A(I,1)>XMAX THEN XMAX=A(I,1) IF A(I,2)<YMIN THEN YMIN=A(I,2) IF A(I,2)>YMAX THEN YMAX=A(I,2)

NEXT I XXMA=XMAX : XXMI=XMIN : YYMA=YMAX : YYMI=YMIN

FOR 1=1 TO N A (1,1) = (A (1,1)-XMIN) / (XMAX-XMIN) A(I,2) = (A(I,2) -YMIN)/ (YMAX-YMIN)

NEXT I XXMA=XMAX : XXMI=XMIN : YYMA=YMAX : YYMI=YMIN XMIN=0 : XMAX=1 : YMIN=0 : YMAX=1

PRINT : PRINT "A CONTINUACIÓN, SELECCIONE EL TIPO DE NÚCLEO" INPUT "¿Valores de v,s,jU";V,S,M F=S : GOSUB JAVI : SFACT=F CP=1/(2*(2*S+1)) PRINT V2=V : S2=S : M2=M V1=S : Sl=S+2 : M1=M LM=S+2*M-2 : LMl=Sl+2*Ml-2 DIM C1(LM,2),C2(LM1,2) FOR J=0 TO LM

372

C1(J,2)=J NEXT J FOR J=0 TO LM

POI=(-l)A(J+V) IF POI=l THEN Nl=(-l)A((J+V)/2) F=S+V+2*M : GOSUB JAVI : N2=F N3=(S-V)*(S+2*M-J) F=S+J : GOSUB JAVI : N4=F F=J : GOSUB JAVI : D1=F D2=(J+V+1)*2A(2*(S+M)+1) F=(S-V)/2 : GOSUB JAVI : D3=F F=(S+V+2*M)/2 : GOSUB JAVI : D4=F F=(S-J+2*M)/2 : GOSUB JAVI : D5=F F=(S+J)/2 : GOSUB JAVI : D6=F L=(N1/(D1*D2))*(N2/(D3*D4))*(N3/D5)*(N4/D6) C1(J,1)=L

ELSE C1(J,1)=0

END IF NEXT J V=V1 : S=S1 : M=M1 FOR J=0 TO LM1

C2(J,2)=J NEXT J FOR J=0 TO LM1 POI=(-l)A(J+V) IF POI=l THEN Nl=(-l)A((J+V)/2) F=S+V+2*M : GOSUB JAVI : N2=F N3=(S-V)*(S+2*M-J) F=S+J : GOSUB JAVI : N4=F F=J : GOSUB JAVI : D1=F D2=(J+V+1)*2A(2*(S+M)+1) F=(S-V)/2 : GOSUB JAVI : D3=F F=(S+V+2*M)/2 : GOSUB JAVI : D4=F F=(S-J+2*M)/2 : GOSUB JAVI : D5=F F=(S+J)/2 : GOSUB JAVI : D6=F L=(N1/(D1*D2))*(N2/(D3*D4))*(N3/D5)*(N4/D6) C2(J,1)=L

ELSE C2(J,1)=0

END IF NEXT J V=V2 : S=S2 : M=M2

SIG2=0 FOR 1=1 TO N-2 SIG2=SIG2+(A(I+2,2)-2*A(I+l,2)+A(I,2) )A2

NEXT I SIG2=SIG2*l/(6*(N-2)) C1=0 : C2=0 : HO=l/N FOR X=-l TO 1 STEP .01 GOSUB MAMA: C1=C1+(K01A2)*.01 C2=C2+(ABS(XAS)*K01*.01)

373

NEXT X C1=SFACT*C1 : C2=2*S*C2 : BETA1=(((-1)A2)*C2)/(2*S*SFACT)

INPUT "¿DESEA DEFINIR UN ANCHO DE VENTANA (S/N)";SDF$ IF SDF$="S" THEN

INPUT HO ELSE

HO=l /N : ITER=0 PRINT ITER,HO FOR ITER=1 TO 1 1

WAL=0 FOR T=XMIN+.l TO XMAX-.l STEP .01 VAL1=0 FOR 1=1 TO N-l

X=(T-A(I,1))/((NACP)*HO) GOSUB PAPA VAL1=VAL1+(A(I+1,1)-A(I,1))*K21*A(I,2)

NEXT I VAL1=VAL1/ ( ( (N A CP)*HO) A S) WAL=WAL+ (ABS (VALÍ) ) * . 0 1 REM WAL=WAL+ ( (VALÍ) A 2 ) * . 0 1

NEXT T KK= ( 1 . 5*C1*SIG2) / (N*C2*WAL) HO=(ABS(KK)) A (2*CP) PRINT ITER,HO

NEXT ITER END I F

PIVOT=A(N,2) : NEXP=1 NPA=0 : NPD=0 FOR 1 = 1 TO N

I F A ( I , l ) < H O THEN NPA=NPA+1 I F A ( I , l ) > ( l - H O ) THEN NPD=NPD+1

NEXT I NPA=NPA-NEXP : NPD=NPD-NEXP T=NEXP-1 FOR 1 = 1 TO N+NPA+NPD

I F K = N P A THEN A A l ( N P A + l - I , 1 ) = 2 * A ( 1 , 1 ) - A ( I + N E X P , 1 ) A A l ( N P A + l - I , 2 ) = 2 * A ( 1 , 2 ) - A ( I + N E X P , 2 )

END I F I F (I>NPA AND K=N+NPA) THEN

A A 1 ( I , 1 ) = A ( I - N P A , 1 ) A A l ( I , 2 ) = A ( I - N P A , 2 )

END I F I F I>(N+NPA) THEN

T=T+1 A A 1 ( I , 1 ) = 2 * A ( N , 1 ) - A ( N - T , 1 ) A A l ( 1 , 2 ) = 2 * P I V O T - A ( N - T , 2 )

END I F NEXT I

BUCLE=0 FOR J = l TO 100

BUCLE=BUCLE+1

374

X1=XMIN+BUCLE*ABS(XMAX-XMIN)/100 VAL1=0 : VAL2=0 : VAL3=0 : SUMA=0 FOR 1=1 TO N+NPA+NPD-1

X=(X1-AA1(I,1))/(HO) GOSUB MAMA VAL1=VAL1+(AA1(1+1,1)-AA1(1,1))*K01*AA1(1,2) IF (I>NPA AND K=N+NPA) THEN VAL2=VAL2+(AA1(I+1,1)-AA1(I,1))*K01*AA1(I,2) VAL3=VAL3+((AA1(1+1,1)-AA1(I,1))*K01/HO)A2

END IF NEXT I VAL1=VAL1/(HOA(V+l)) VAL2=VAL2/(HOA(V+l)) VAL3=SIG2*VAL3 Y1=VAL1 : Y2=VAL2 : Y3=VAL3 BB(J,1)=X1 : BB(J,4)=Y1 : BB(J,5)=Y2 BB(J,6)=(BETA1*BB(J,4)*(H0A(S-V)))A2 BB(J,7)=VAL3

NEXT J

SCREEN 12 XXX1=-1 : XXX2=3 YYY1=-1 : YYY2=2 WINDOW (XXX1,YYY1)-(XXX2,YYY2) LINE (0,0)-(l,l),,B FOR 1=1 TO N+NPA+NPD

CIRCLE (AA1(I,1),AA1(I,2)),ABS(XMAX-XMIN)/200,10 NEXT I FOR 1=1 TO N

CIRCLE (A(I,1),A(I,2)),ABS(XMAX-XMIN)/200,13 NEXT I FOR 1=1 TO 99

X1=BB(I,1) : Y1=BB(I,4) X2=BB(I+1,1) : Y2=BB(I+1,4) Y3=BB(I,5) : Y4=BB(I+1,5) LINE (X1,Y3)-(X2,Y4),10 LINE (X1,Y1)-(X2,Y2)

NEXT I LÓCATE 2,1 : PRINT "Ho="; PRINT USING ".###";HO PRINT »v=";V PRINT "s=";S PRINT "/¿=";M LÓCATE 1,1 : PRINT "AJUSTE EN [0,1]"; : INPUT " Pulsar •INTRO' para continuar",DSFSRE$

X2=XXMA-XXMI : Y2=YYMA-YYMI X1=XXMI : Y1=YYMI FOR 1=1 TO N A(I,1)=X1+A(I,1)*X2 A(I,2)=Y1+A(I,2)*Y2

NEXT I FOR 1=1 TO 100

BB(I,2)=X1+BB(I,1)*X2 BB(I,3)=Y1+BB(I,4)*Y2

375

TRE1=BB(I,6) : TRE2=BB(I,7) : TR0=1.96*((TRE1+2*TRE2)A.5) BB(I,8)=Y1+(BB(I,4)+TR0)*Y2 BB(I,9)=Y1+(BB(I,4)-TR0)*Y2

NEXT I

CLS IF (X2/Y2)>(4/3) THEN XM=X2 : YM=Y2*(4/3)

ELSE XM=(4/3)*X2 : YM=Y2

END IF WINDOW (XI,Yl)-(X1+XM*1.2,Y1+YM*1.2) LINE (X1,Y1)-(X1+X2,Y1+Y2),,B XINI0=X1 : XFIN0=X1+X2 YINI0=Y1 : YFIN0=Y1+Y2 FOR 1=1 TO 99

X1=BB(I,2) : Y1=BB(I,3) X2=BB(1+1,2) : Y2=BB(1+1,3) Y3=BB(I,8) : Y4=BB(I+1,8) Y5=BB(I,9) : Y6=BB(I+1,9) LINE (X1,Y1)-(X2,Y2) LINE (X1,Y3)-(X2,Y4),13 LINE (X1,Y5)-(X2,Y6),13

NEXT I IF (XFINO-XINIO)>(YFINO-YINIO) THEN LL=(YFINO-YINIO)/150 ELSE LL=(XFIN0-XINI0)/150 FOR 1=1 TO N

CIRCLE (A(I,1),A(I,2)),LL,10 NEXT I PRINT "VARAICION DEL EJE X:"; PRINT XXMI;"-";XXMA PRINT "VARIACIÓN DEL EJE Y:"; PRINT YYMI;"-";YYMA INPUT "»,NDHDGT$ UGE: OLIS: END

MAMA: IF (X>1 OR X<-1) THEN

K01=0 ELSE

K01=0 FOR HG=0 TO LM

K01=K01+C1(HG,1)*XAC1(HG,2) NEXT HG

END IF RETURN

PAPA: IF (X>1 OR X<-1) THEN K21=0

ELSE K21=0

376

FOR HG=0 TO LMl K21=K21+C2(HG,1)*XAC2(HG,2)

NEXT HG END IF RETURN

JAVI: IF F=0 THEN

F=l : GOTO MC END IF FOR ZXSDF=F-1 TO 1 STEP -1

F=F*ZXSDF NEXT ZXSDF MC: RETURN

377

PROGRAMA PARA LA ESTIMACIÓN DE FUNCIONES DE DENSIDAD

BIDIMENSIONALES.

CLS PRINT "PROGRAMA PARA AJUSTE DE UNA fdd EN DOS DIMENSIONES" LÓCATE 3,5 : PRINT "De los siguientes tipos de distribuciones" LÓCATE 4,10 : PRINT "1. Doble CHI-2 (n=2)" LÓCATE 5,10 : PRINT "2. Doble N(0,2)" LÓCATE 6,10 : PRINT "3. Doble inversa de CHI-2 (N=2)" LÓCATE 7,10 : PRINT "4. Doble UNIFORME" LÓCATE 8,5 : INPUT "¿Qué código selecciona";TD LÓCATE 10,5 : INPUT "¿Número de puntos";NPTO LÓCATE 12,5 : INPUT "¿Número de pixels (máximo 120)";NN LÓCATE 14,5 : INPUT "¿Nombre del archivo de puntos";NOARP$ LÓCATE 16,5 : INPUT "¿Nombre del archivo de pixelx ajustados";NOARA$ OPEN "1111.DAT" FOR OUTPUT AS#1

PRINT#l,NPTO,NN CLOSE NCLAS=14 DIM A(100,2),AA(100,2),B(NPTO,2),C(NN,NN) PI=3.1416 : EEE=2.7172 IF TD=1 OR TD=3 THEN N=2 SUMO=0 FOR 1=0 TO 9.9 STEP .1

SUMO=SUMO+l SUMA=0 FOR J=-2 TO ((2*I)A.5)-((2*N-1)A.5) STEP .05

SUMA=SUMA+(.05*(EEEA(-l*J*J/2)/((2*PI)A.5))) NEXT J A(SUMO,l)=I : A(SUMO,2)=SUMA

NEXT I A(0,l)=-.01 : A(0,2)=0 A(100,l)=10 : A(100,2)=l IF TD=3 THEN

FOR 1=0 TO 100 AA(I,1)=A(I,1) : AA(I,2)=1-A(100-I,2)

NEXT I FOR 1=0 TO 100 FOR J=l TO 2 A(I,J)=AA(I,J)

NEXT J NEXT I

END IF END IF IF TD=2 THEN MEDIA=5 : DT=2 SUMO=0 FOR 1=0 TO 9.9 STEP .1

SUMO=SUMO+l SUMA=0 FOR J=-2 TO I STEP .05

Gl=l/(DT*((2*PI)A.5)) G2=-l*((J-MEDIA)A2)/(2*DT*DT) SUMA=SUMA+(.05*(G1*EEEAG2))

NEXT J A(SUMO,l)=I : A(SUMO,2)=SUMA

NEXT I

378

A(0,l)=-.01 : A(0,2)=0 A(100,l)=10 : A(100,2)=l

END IF IF TD=4 THEN SUMO=0

FOR 1=0 TO 9.9 STEP .1 SUMO=SUMO+l SUMA=I/10 A(SUMO,l)=I : A(SUMO,2)=SUMA

NEXT I A(0,l)=-.01 : A(0,2)=0 A(100,l)=10 : A(100,2)=l

END IF SCREEN 12 WINDOW (-l,-.5)-(10,1.5) LINE (0,0)-(10,1),,B FOR 1=1 TO 100

X1=A(I,1) : X0=A(I-1,1) Y1=A(I,2) : Y0=A(I-1,2) LINE (X0,Y0)-(X1,Y1),12

NEXT I INPUT "PULSAR 'INTRO' PARA CONTINUAR",FADARE$ SCREEN 0 FOR K=l TO 2

RANDOMIZE TIMER SUMA=0 MAMA:

Q=RND SUMA=SUMA+1 IF SUMA>NPTO THEN GOTO NENA FOR 1=1 TO 100

IF Q<A(I,2) THEN X0=A(1-1,1) : X1=A(I,1) : X2=X1-X0 Y0=A(1-1,2) : Y1=A(I,2) : Y2=Y1-Y0 Q1=Q-Y0 : IF Y2>0 THEN Q2=(Q1*X2/Y2)+X0 ELSE Q2=(Xl+X0)/2 GOTO PAPA

END IF NEXT I PAPA: IF K=l THEN B(SUMA,1)=Q2 ELSE B(SUMA,2)=Q2 GOTO MAMA

NENA: NEXT K SCREEN 12 CLS WINDOW (0,0)-(NN*4/3,NN) LINE (0,0)-(NN,NN),,B FOR 1=1 TO NPTO B(I,1)=NN*B(I,1)/10 : B(I,2)=NN*B(I,2)/10 X1=B(I,1) : Y1=B(I,2) CIRCLE (XI,Yl),(NN/10)*.05 B(I,1)=B(I,1)/NN : B(I,2)=B(I,2)/NN

NEXT I LÓCATE 1,70 : PRINT "(INTRO)" LÓCATE 2,70 : PRINT "para"

379

LÓCATE 3,70 : INPUT "CONT.",FSDR$ SCREEN 0 CLS PRINT "ALMACENANDO LOS PUNTOS GENERADOS" OPEN NOARP$ FOR OUTPUT AS#1 FOR 1=1 TO NPTO

PRINT#1,B(I,1)*NN,B(I,2)*NN NEXT I CLOSE PRINT : PRINT "CALCULANDO HO" M1=0 : M2=0 FOR 1=1 TO NPTO M1=M1+B(I,1) : M2=M2+B(I,2)

NEXT I M1=M1/NPT0 : M2=M2/NPTO : S1=0 : S2=0 FOR 1=1 TO NPTO

S1=S1+(B(I,1)-M1)A2 : S2=S2+(B(I,2)-M2)A2 NEXT I S 1 = S 1 / N P T 0 : S2=S2/NPTO S = ( ( S 1 + S 2 ) / 2 ) A . 5 H O = S * 2 . 7 8 * ( N P T O A ( - 1 / 6 ) ) PRINT "HO=";HO PRINT : PRINT "CALCULANDO f d d " VMAX=0 : MED=0 FOR 1 = 1 TO NN LÓCATE 7 , 1 : PRINT " " LÓCATE 7 , 1 : PRINT I FOR J = l TO NN

X 0 = ( I - 1 ) / N N : Y 0 = ( J - 1 ) / N N SUMA=0 FOR K=l TO NPTO

X 1 = ( X 0 - B ( K , 1 ) ) / H O : Y 1 = ( Y 0 - B ( K , 2 ) ) / H O I F X 1 * X 1 + Y 1 * Y 1 > = 1 T H E N K E R = 0 E L S E

K E R = ( 3 / ( P I ) ) * ( 1 - ( X 1 * X 1 + Y 1 * Y 1 ) ) A 2 SUMA=SUMA+KER

NEXT K C ( I , J ) = ( l / ( N P T O * H O * H O ) ) * S U M A I F C( I , J )>VMAX THEN VMAX=C(I ,J) MED=MED+C(I,J)

NEXT J NEXT I MED=MED/(NN*NN) PRINT : PRINT "ALMACENANDO EL ARCHIVO DE PIXELS" OPEN NOARA$ FOR OUTPUT AS#1 FOR 1=1 TO NN FOR J=l TO NN

PRINT#1,J,I,1000*C(I,J)/VMAX NEXT J NEXT I CLOSE PRINT : PRINT "RECLASIFICANDO EL MAPA" INTER=VMAX/NCLAS FOR 1=1 TO NN FOR J=l TO NN

FOR K=l TO NCLAS LI=(K-1)*INTER : LS=K*INTER

380

IF C(I,J)>=LI AND C(I,J)<=LS THEN C(I,J)=K : GOTO UGE

END IF NEXT K UGE:

NEXT J NEXT I SCREEN 12 CLS WINDOW (0,0)-(NN*4/3,NN) LINE (0,0)-(NN,NN),,B FOR 1=1 TO NN FOR J=l TO NN

X1=I-1 : Y1=J-1 : X2=I : Y2=J LINE (X1,Y1)-(X2,Y2),C(I,J),BF

NEXT J NEXT I LÓCATE 1,70 : PRINT "Función" LÓCATE 2,70 : PRINT "de" LÓCATE 3,70 : PRINT "Densidad" YINI=.78*NN : XINI=1.15*NN INCREY=.03*NN : INCREX=.06*NN FOR 1=1 TO NCLAS

X1=XINI : Y1=YINI-INCREY*(I-1) X2=X1+INCREX : Y2=Y1+INCREY LINE (X1,Y1)-(X2,Y2),I,BF

NEXT I FOR 1=1 TO NCLAS X1=XINI : Y1=YINI-INCREY*(I-1) X2=X1+INCREX : Y2=Y1+INCREY LINE (X1,Y1)-(X2,Y2),,B

NEXT I LÓCATE 2 3,70 : PRINT "(INTRO)" LÓCATE 24,70 : PRINT "para" LÓCATE 25,70 : INPUT "CONT.",FSDR$ FOR 1=1 TO NPTO B(I,1)=NN*B(I,1) : B(I,2)=NN*B(I,2) X1=B(I,1) : Y1=B(I,2) CIRCLE (XI,Yl),(NN/10)*.06 PAINT (X1,Y1),15 CIRCLE (XI,Yl),(NN/10)*.04,0 PAINT (XI,Yl),0

NEXT I LÓCATE 25,70 : INPUT "CONT.",FSDR$ OLIS: END

381

Documents

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID INGENIEROS DE … · univariable, estimadores de la regresión, y estimadores de la función de densidad multivariable. La justificación de la