Introducción a la Inferencia Estadística

TEMA 3: ESTIMACIÓN

Prof. Rosario Martínez Verdú

TEMA 3: ESTIMACIÓN• 1. Estimación puntual: estimadores y estimaciones.

Propiedades de los estimadores.• 2. Métodos de obtención de estimadores.• 3. Estimación por intervalos.• 4. Determinación del tamaño muestral.

Bibliografía específica Tema 3:

- NEWBOLD, P. (1997). Estadística para los Negocios y la Economía. Madrid: Prentice Hall. 4ª Edición. Capítulos 7 y 8.

- NEWBOLD, P. y otros (2008). Estadística para Administración y Economía. Madrid: Pearson-Prentice Hall. 6ª Edición. Capítulos 8 y 9.

- ESTEBAN GARCÍA, J. y otros: Curso Básico de Inferencia Estadística. Reproexpres Ediciones, Valencia, 2008. Tema 4 (sin anexos) y Tema 5.

- LIND D.A y otros. Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía. Ed. McGraw Hill, México, (13ª Edición). Capítulo 9.

- MURGUI, J.S. y otros (2002). Ejercicios de Estadística. Economía y Ciencias Sociales. Valencia: Tirant lo Blanch. Capítulo 7.

• Consiste en la obtención de valores aproximados para las características desconocidas

(parámetros) de la distribución de la población.

• Tipos de estimación:- Puntual: un valor. Apartado 1- Por intervalos: un intervalo con garantías de contener al parámetro. Apartado 3

TEMA 3: ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS

Estadísticos

Estimadores de

• Estrategias de búsqueda de estimadores de un parámetro :

- Proponer estimadores con buenas propiedades .

- Aplicar un método de construcción de estimadores: Estimadores Máximo-Verosímiles (EMV) .

1) ESTIMACIÓN PUNTUAL• Estimadores y Estimaciones:

PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES PARA TODO TIPO DE MUESTRAS:

ESTIMADOR INSESGADO significa que su media o valor esperado coincide con el parámetro , esto es:

ˆ ˆE θ = θ y por lo tanto, su sesgo=E θ - θ = 0

ˆ ˆ ˆConsecuencia: Si θ es insesgado, entonces ECM θ Var θ

ESTIMADOR EFICIENTE: si para estimar un mismo parámetro, disponemos de varios estimadores insesgados, el estimador eficiente será el de menor varianza.

1 2 1 2 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆθ y θ insesgados. Si Var θ Var θ entonces, θ es más eficiente que θ

Para elegir entre diferentes estimadores para estimar un mismo parámetro nos basaremos en una medida, el ERROR CUADRÁTICO MEDIO (ECM):

22

ˆ ˆ ˆECM θ Var θ + E θ - θ

sesgo

El criterio: elegir el estimador que tenga el menor ECM.

,7

,6

,5

,4

,3

,2

,1

0,0

E[A]=

f(A)f(B)

A estimador insesgado E[A]=B estimador sesgado E[B] Var[A] = Var[B] ECM[A] < ECM[B]A mejor estimador que B

E[B]

1,4

1,2

1,0

,8

,6

,4

,2

0,0

f(A)

f(B)

A y B insesgados E[A]=E[B]=

Var[A] > Var[B]ECM[A] > ECM[B]B mejor estimador que A

Caso 1: A y B misma varianza

Distribuciones de probabilidad de dos estimadores A y B de un parámetro poblacional

Caso 2: A y B estimadores insesgados

PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES PARA

MUESTRAS GRANDES: ESTIMADOR ASINTÓTICAMENTE INSESGADO significa que al aumentar el tamaño de la muestra, su media tiende a coincidir con el parámetro , y por lo tanto, su sesgo tiende a cero. Esto es,

n

ˆlim E θ =θ

ESTIMADOR CONSISTENTE significa que a medida que crece el tamaño de la muestra las estimaciones que nos proporciona el estimador se aproximan cada vez más al valor del parámetro . Si el estimador es insesgado o asintóticamente insesgado, para que sea consistente es suficiente que, cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito (es decir, se hace muy grande), la varianza del estimador se aproxime a cero. Esto es,

n

ˆlim Var θ =0

1,4

1,2

1,0

,8

,6

,4

,2

0,0

)ˆ100n θf(

)ˆ1000n θf(

Ejemplo de estimador consistente

Al crecer el tamaño de la muestra, las estimaciones de se aproximan cada vez más al verdadero valor del parámetro.

θ̂

CUADRO RESUMEN ESTIMADORES PUNTUALES

Distribución Población

Parám-etro a

estimar

Estima-

dor

Propiedades estimador

Otras propie-dades

Poisson

XPo() insesgado, eficiente,

consistente EMV

Bernoulli XBe(p) p

insesgado, eficiente, consistente EMV

Normal X

insesgado, eficiente, consistente EMV

Normal X

2 S2 asint. insesgado, menor ECM que cuasi-var

EMV

Exponencial:

X Exp(1/ ) insesgado, eficiente,

consistente EMV

Sin especificar

insesgado, consistente

Sin especificar

2 S2 asint. insesgado

insesgado

),N( 2

),N( 2

X

X

X

x=p̂

2S

EMV= Estimador máximo-verosímil

2S

X

EJEMPLO DE ESTIMACIÓN MÁXIMO-VEROSÍMIL

•La Agencia Valenciana de Turismo va a realizar un estudio sobre las preferencias de los habitantes de la ciudad de Valencia respecto al lugar de vacaciones elegido. Únicamente se quiere distinguir entre montaña y playa. Realizada una encuesta a 100 personas elegidas al azar se ha obtenido que 30 de ellas prefieren la montaña y las 70 restantes han mostrado preferencia por la playa.

• Con la información de la encuesta, ¿cuál de los siguientes posibles valores para la proporción de ciudadanos que prefieren la montaña tiene una mayor verosimilitud o es más compatible con los datos obtenidos de la encuesta: 25%, 30% o 35%?

Fuente: MURGUI, J.S. y otros (2002). Ejercicios de Estadística. Economía y Ciencias Sociales. Valencia: Tirant lo Blanch, p.265.

•2. Métodos de obtención de estimadores.

l(p) =p30 (1-p)70

0

5E-28

1E-27

1.5E-27

2E-27

2.5E-27

3E-27

3.5E-27

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

p 1-p l(p)0 1 0

0.05 0.95 2.56893E-410.1 0.9 6.26579E-340.15 0.85 2.19818E-300.2 0.8 1.76685E-280.25 0.75 1.55772E-270.3 0.7 2.95461E-270.35 0.65 1.68258E-270.4 0.6 3.40712E-280.45 0.55 2.64097E-290.5 0.5 7.88861E-310.55 0.45 8.62495E-330.6 0.4 3.08132E-350.65 0.35 2.96595E-380.7 0.3 5.64195E-420.8 0.2 1.4615E-520.9 0.1 4.23912E-721 0 0

p

l(p)

3. Estimación por intervaloso Intervalos de confianza

Objetivos de este Apartado:• Concepto de Intervalo de Estimación• Concepto de nivel de confianza 1-• Precisión de una estimación por intervalo,

depende de:– Nivel de confianza 1-– Amplitud del intervalo (error de estimación)

• Construcción de intervalos de estimación para los principales parámetros poblacionales.

Intervalos para la estimación de la media de una población

Caso 1 a) Población

muestra: (x1, x2, …,xn) m.a.s. tamaño n cualquiera.

2 2X N( , ) con conocida

Estadístico N(0,1)

X -Z =

/ n

Se fija nivel de confianza 1-0,99

= 0,95

0,9

/2 /2P -z z =1-

X -Z =

/ n

Se sustituye por el valor obtenido para la muestra, , y se obtiene el intervalo:X x

/ 2 / 2x x = x error de estimación

- z , + zn n

/2 /2P z z =1-

X - X+n n

Se despeja :

EJEMPLO INTERVALOS DE ESTIMACIÓNSea Población X: peso de los paquetes de cereal, en gramos.X~N( , 2=100)Muestra: (x1, x2,...., xn) m.a.s. n=16

Intervalos de confianza para :

x 503,75 s 11,3

503,75x

Intervalo de confianza del 90%

498,85

507,86

Error =4,11 gr

503,75x

499,64

508,65

Intervalo de confianza del 95% Error =4,90 gr

Intervalo de confianza del 99%

503,75x 497,32 510,18

Error =6,43 gr

Intervalos para la estimación de la media de una población

Caso 2: Población

muestra: (x1, x2, …,xn) m.a.s. tamaño n cualquiera.

2 2X N( , ) con desconocida

n-1Estadístico T t

X -

=S/ n -1

Se fija nivel de confianza 1-:

n-1, /2 n-1, /2P -t T t =1-

X -=

S/ n -1

Se sustituyen por los valores obtenidos para la muestra y se obtiene el intervalo:

X y S

n-1, / 2 n-1, / 2

s sx t x t

- , +n -1 n -1

n-1, /2 n-1, /2

S SP t t =1-

X - X+n-1 n-1

Se despeja :

= x error de estimación

Intervalo para la estimación de la varianza 2 de una población Normal

Caso 6: Población

muestra: (x1, x2, …,xn) m.a.s. tamaño n cualquiera.

2X N( , ) con desconocida

n-1

2 22

nEstadístico Y= S

σ

Se fija nivel de confianza 1-:

2 2 2n-1,1- /2 n-1, /22

nP Y= S =1-

σ

Se sustituye S2 por el valor obtenido para la muestra y se obtiene el intervalo:

Se despeja 2:2 2

22 2n-1, /2 n-1,1- /2

n S n SP σ =1-

2 22

2 2n-1, /2 n-1,1- /2

n s n sσ , con una confianza de 1-