EXERCCIOS

STATSTICADE E

Vol. 2

EXERCCIOS DE

STATSTICAEJaime Fonseca Daniel Torres

EDIES SLABO

Vol. 2

2 EdioRevista e Corrigida

Baseado na longa experincia dos autores no ensino da estats-tica nos mais diversos cursos e escolas, esta obra apresenta umvasto conjunto de exerccios prticos resolvidos que permitiro aosalunos testar e validar os conhecimentos tericos adquiridos.

Os estudantes de estatstica encontraro aqui as mais variadasaplicaes, podendo seleccion-las de entre os temas tratados,consoante a rea de ensino e a profundidade da abordagem feita matria.

DANIEL FERNANDES TORRES

JAIME RAL SEIXAS FONSECA

licenciado em Economia (Universidade Lusada, 1992) e mestreem Matemtica Aplicada Economia e Gesto (Instituto Superior de Economia e GestoUniversidade Tcnica de Lisboa, 1997). Possui uma ps-graduao em E-Business (Instituto Supe-rior de Economia e Gesto, 2001). Obteve o DEA ( ) do programade Doutoramento em pela UPSAM (UniversidadePontifcia de Salamanca-Plo de Madrid, 2005). Tcnico Oficial de Contas e membro efectivo daOrdem dos Economistas.Desde 1992 tem exercido docncia em vrias universidades, entre as quais, Universidade Lusada,Universidade Internacional, Instituto Superior de Gesto Bancria, Universidade Autnoma de Lis-boa e Universidade Aberta.Para alm da docncia, no incio da sua carreira profissional estagiou e trabalhou como tcnico nodepartamento financeiro de uma empresa de de um grupo bancrio, tendo vindo aolongo da ltima dcada a desenvolver, ao nvel da gesto, actividade como administrador e gerentede empresas e ao nvel contabilstico-financeiro, actividade como director administrativo-financeiroe como Tcnico Oficial de Contas de vrias empresas.

licenciado em Engenharia Electrotcnica (Faculdade de Enge-nharia Universidade do Porto, 1977) e mestre em Probabilidades e Estatstica Computacional eAnlise de Dados (Faculdade de Cincias Universidade de Lisboa, 1988).Leccionou em universidades pblicas e privadas, entre as quais, Universidade Nova, InstitutoSuperior Tcnico Universidade Tcnica de Lisboa, Universidade Lusada, Universidade Modernae Universidade Internacional. Paralelamente exerceu funes no Instituto Portugus da Qualidade.Actualmente docente no Instituto Superior de Cincias Sociais e Polticas Universidade Tcnicade Lisboa.

Diploma de Estudios AvanzadosSociedad de la Informacin y el Conocimiento

factoring

9 789726 187745

ISBN 978-972-618-774-5

146

JAIME FONSECA DANIEL TORRES

EDIES SLABO

expressamente proibido reproduzir, no todo ou em parte, sob qualquer forma ou meio, NOMEADAMENTE FOTOCPIA, esta obra. As transgresses sero passveis das penalizaes previstas na legislao em vigor.

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Editor: Manuel Robalo

FICHA TCNICA: Ttulo: Exerccios de Estatstica Vol. 2 Autores: Jaime Fonseca e Daniel Torres Edies Slabo, Lda. Capa: Pedro Mota 1 Edio Lisboa, Junho de 2002 2 Edio Lisboa, Outubro de 2014 Impresso e acabamentos: Europress, Lda. Depsito Legal: 382188/14 ISBN: 978-972-618-774-5

EDIES SLABO, LDA. R. Cidade de Manchester, 2 1170-100 Lisboa Telfs.: 218130345 Fax: 218166719 e-mail: silabo@silabo.pt www.silabo.pt

ndice

PREFCIO 7

Captulo 6 ESTIMAO PONTUAL 9

Captulo 7 ESTIMAO REGIONAL 65

Captulo 8 TESTES DE HIPTESES 97

Captulo 9 REGRESSO LINEAR 171

Captulo 10 ANLISE DE VARINCIA 223

BIBLIOGRAFIA 295

Prefcio

Na sequncia do volume I surge agora o volume II de Exerccios de Estatstica, necessariamente mais virado para a Inferncia Estatstica.

A Estatstica pretende fundamentalmente concluir sobre a populao ou populaes em estudo, em aspectos variados como sejam, a ttulo de exemplo:

determinao de estimativas (pontuais ou regionais) de parmetros desconhecidos;

estabelecer relaes de ordem entre parmetros desconhecidos de duas ou mais populaes;

fazer Previses para uma determinada varivel.

Este volume II tenta acompanhar tais desgnios. Usando uma perspectiva traada no volume I, estamos seguros de que pode ser

uma boa contribuio para o domnio desses aspectos.

Os autores

Captulo 6

10

11

Exerccio 1

Sabendo que certa populao tem distribuio Binomial, com parmetro p desconhecido, obtenha o estimador de mxima verosimilhana de p, com base numa amostra aleatria de dimenso n, ( nXXX ,...,, 21 ), dela obtida. Proceda anlise do estimador.

Resoluo:

Pode aplicar-se o mtodo de mxima verosimilhana dado tratar-se de uma funo regular segundo Cramer-Rao ( duplamente diferencivel e os limites de variao no dependem do parmetro a estimar).

1. Obteno do estimador

( ) ( ) xnxX ppx

nxfX

=> 1~ : pn= ; ( )ppn = 12

( ) ( ) =

=

=

n

i

xnx

iii pp

x

npL

11

( ) ( )( )

=

=

=

= n

in

ii

xni

xn

i iipp

xnx

n 11

11

!!!

Logaritmizando a funo de verosimilhana, tem-se:

( ) ( )( )

=++

=

=

=

=

n

in

ii

xni

xn

i iipp

xnx

npL 11

11loglog

!!!log])([log

( ) ( ) ( ) =++

= ===

n

ii

n

ii

n

i iipxnpx

xnx

n

1111loglog

!!!log

( ) ( ) ( )pxpnpxxnxn n

ii

n

ii

n

i ii++

= ===

1log1loglog!!

!log1

2

11

12

Derivando em ordem ao parmetro,

px

pn

px

pdpLd n

ii

n

ii

++= ==

11

1110])([log

1

2

1

Igualando a zero, tem-se, aps eliminar denominadores,

( ) =+ ==

011

2

1

n

ii

n

ii xppnxp

==+ ====

00 211

2

11pnxxppnxpx

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

xpn

x

pxpn

n

iin

ii ===

==

21

1

2 (estimativa)

2. Anlise do estimador n

Xp =

i) No enviesamento

Um estimador diz-se no enviesado ou centrado, desde que E [ ] = . Conse-quentemente,

=

=

=

=

=

=

n

ii

n

ii

XEnn

XE

n

XEpE1

221 1][

ppnnn

pnn

XEn

n

i

n

ii ====

==

21

21

211][1

Assim, pode dizer-se que um estimador no enviesado para p.

13

ii) Coerncia ou consistncia

[ ]

==

==

=

=

=

n

ii

n

ii

n

ii

XVarn

XVarnn

XVar

n

XVarpVar1

41

421 11][

( ) ( ) ( ) .11111 241

4 n

ppppnnn

ppnn

n

i

=== =

Sendo ( ) ,01lim][lim 2 =

=

n

pppVarnn

Por ser no enviesado e por verificar a condio anterior, diz-se que n

X um

estimador coerente para p.

Exerccio 2

a) Obtenha, atravs do mtodo de mxima verosimilhana, com base na informao contida na amostra (4, 3, 0, 2, 1, 1), uma estimativa do parmetro desconhecido da distribuio Poisson.

b) Dessa populao extraiu-se uma amostra aleatria ( )521 ,...,, XXX . Escolha, entre os dois estimadores seguintes, o mais adequado para estimar a mdia ( ) da populao. Justifique adequadamente a sua opo.

( )542121 23261

; XXXXTXT ++==

Resoluo:

a) ( ) ( )

2, 1, 0,;!

:~ =

=> xex

xfPXx

X

14

Como a funo regular no sentido de Cramer-Rao ( duplamente diferencivel e os limites de variao no dependem do parmetro a estimar) pode aplicar-se o mtodo de mxima verosimilhana. Assim,

( )

=

= n

i

ix

i

x

e

ixi

ex

Li

i

!!

( ) = nxxLi

ii

i !logloglog

( )nx

Ldi

i =

1log

( )==

=

0010log nxnxd

Ldi

ii

i

xxn i

i == 1 (estimativa)

XXn i

i == 1 (estimador)

Clculo do valor da estimativa

1,833336

1120341

=

+++++=== xx

n ii

b) Estimadores Consistentes?

i) Anlise do enviesamento

1. Caso de 1T

Para que seja um estimador no enviesado dever ter-se =][E . Sendo

=

=

= ==

n

ii

n

ii XE

nX

nEE

11

11][

[ ] ==== ==

nnn

XEn

n

i

n

ii

111

11

1T constitui assim um estimador centrado ou no enviesado para =

15

2. Caso de 2T

Identicamente, dever ter-se ==][ 2TE . Porque

( ) =

++= 54212 23261][ XXXXETE

( ) =++= ][2][3][][261

542 XEXEXEXE

==++=6

6)232(61

2T constitui assim um estimador centrado ou no enviesado para =

ii) Anlise da consistncia

1. Caso de 1T

Para que seja consistente ou coerente, dever ter-se 0][lim =+

Vn

, desde

que o estimador seja no enviesado. Ora

=

=

== ==

n

ii

n

ii XV

nX

nVVTV

12

11

11][][

nn

nnXV

n

n

i

n

ii

====

==

21

21

211][1

Sendo que 0lim n

e por se tratar de um estimador centrado podemos

afirmar que o estimador consistente.

2. Caso de 2T

( ) =

++= 54212 X2X3XX261Var][Var T

( ) =+++= ][4][9][][4361

5421 XVarXVarXVarXVar

( )236

18494361

=

=+++=

16

Porque 02

lim , pode concluir-se que o estimador 2T no consistente.

Em concluso, face a estes resultados, poder-se-a concluir nesta fase que o melhor estimador para a mdia da populao 1T .

Exerccio 3

Obtenha atravs do mtodo de mxima verosimilhana e da amostra que se segue, uma estimativa do parmetro da distribuio exponencial.

4; 3; 2; 0; 3; 0

Resoluo:

Obtenha-se em primeiro lugar a funo de verosimilhana com base no produto das funes densidade exponencial.

Funo densidade da varivel com distribuio exponencial:

( )

>=

..;0

0,0;2 3

/2

cc

xex

xfx

a) Identifique o estimador de mxima verosimilhana do parmetro desconhe-cido, com base na amostra aleatria.

b) Classifique o estimador, ao nvel de enviesamento e consistncia.

18

Resoluo:

a) Obtenha-se em primeiro lugar a funo de verosimilhana com base no produto das funes densidade.

( ) ( )

==

=

=

=

==

/2

13

13

/2

1

1

21

2

n

iii

i

xn

ii

nn

i

xi

n

iiX ex

exxfL

Tratando-se de uma funo regular segundo Cramer-Rao, aplique-se a funo logaritmo funo de verosimilhana para facilitar posteriormente a derivada.

( ) =

=

=

=

/2

13

1

21loglog

n

iixn

ii

n

exL

+= =

=

n

iin

ii

x

xn 11

3 log2)2(log

Derive-se agora em ordem a e iguale-se a derivada a zero.

( )=

+

=

= 03log 21

n

iix

nd

Ld

=+=

031

n

iixn

3

x= (estimativa)

3

X= (estimador)

b) Em funo do resultado anterior ficamos a saber que o estimador correspon-dente

3

X= .

19

1. Enviesamento

( ) === =

33)(1)(1 n

nXEn

XEn

ii ,

uma vez que E [X] = 3, tratando-se de uma distribuio Ga (3, ). Assim,

== )(31)( XEE ,

ou seja, constitui um estimador no enviesado ou centrado para .

2. Consistncia

Atendendo a que V [X] = 3 2 ,

03

)(9

1)(91)(

2

12 limlimlim =

===

=

nXV

nXVV

n

n

ii

nn

.

Conclui-se assim que um estimador consistente para .

Exerccio 5

Considere a varivel aleatria X com a seguinte funo densidade

( ) 0,10;3

3 3 >+= xxxfX

Estime com base numa amostra aleatria de tamanho n, atravs do mtodo de mxima verosimilhana o parmetro .

Resoluo:

Como a funo regular no sentido de Cramer-Rao pode aplicar-se o mtodo de mxima verosimilhana.

20

( ) ( ) ( ) =

=

=

+

=+

==n

i

n

iin

n

in

iiX xxxfL

1

3

1

3

1 33

33

( ) ( ) =

+

=

=

3

133loglog

n

iin

n

xL

( ) =

++=

n

iixnn

1log

33log3log

( ) ( ) =

++

=

=

n

iixnnd

dd

Ld1log

33log3loglog

=

++

=

n

iix

n

1log

31

3

( )=+

+=

=

0log31

30log

1

n

iix

n

dLd

( ) =++ =

0log331

n

iixn

( ) =+ =

nxn

ii 3log3

1

=+=

n

iix

n

1log

33

3log

3

1

==

n

iix

n

3log

3

1

==

n

iix

n (estimativa) e 3

log

3

1

==

n

iiX

n (estimador)

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STATSTICADE E

Vol. 2

EXERCCIOS DE

STATSTICAEJaime Fonseca Daniel Torres

EDIES SLABO

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2 EdioRevista e Corrigida

Baseado na longa experincia dos autores no ensino da estats-tica nos mais diversos cursos e escolas, esta obra apresenta umvasto conjunto de exerccios prticos resolvidos que permitiro aosalunos testar e validar os conhecimentos tericos adquiridos.

Os estudantes de estatstica encontraro aqui as mais variadasaplicaes, podendo seleccion-las de entre os temas tratados,consoante a rea de ensino e a profundidade da abordagem feita matria.

DANIEL FERNANDES TORRES

JAIME RAL SEIXAS FONSECA

licenciado em Economia (Universidade Lusada, 1992) e mestreem Matemtica Aplicada Economia e Gesto (Instituto Superior de Economia e GestoUniversidade Tcnica de Lisboa, 1997). Possui uma ps-graduao em E-Business (Instituto Supe-rior de Economia e Gesto, 2001). Obteve o DEA ( ) do programade Doutoramento em pela UPSAM (UniversidadePontifcia de Salamanca-Plo de Madrid, 2005). Tcnico Oficial de Contas e membro efectivo daOrdem dos Economistas.Desde 1992 tem exercido docncia em vrias universidades, entre as quais, Universidade Lusada,Universidade Internacional, Instituto Superior de Gesto Bancria, Universidade Autnoma de Lis-boa e Universidade Aberta.Para alm da docncia, no incio da sua carreira profissional estagiou e trabalhou como tcnico nodepartamento financeiro de uma empresa de de um grupo bancrio, tendo vindo aolongo da ltima dcada a desenvolver, ao nvel da gesto, actividade como administrador e gerentede empresas e ao nvel contabilstico-financeiro, actividade como director administrativo-financeiroe como Tcnico Oficial de Contas de vrias empresas.

licenciado em Engenharia Electrotcnica (Faculdade de Enge-nharia Universidade do Porto, 1977) e mestre em Probabilidades e Estatstica Computacional eAnlise de Dados (Faculdade de Cincias Universidade de Lisboa, 1988).Leccionou em universidades pblicas e privadas, entre as quais, Universidade Nova, InstitutoSuperior Tcnico Universidade Tcnica de Lisboa, Universidade Lusada, Universidade Modernae Universidade Internacional. Paralelamente exerceu funes no Instituto Portugus da Qualidade.Actualmente docente no Instituto Superior de Cincias Sociais e Polticas Universidade Tcnicade Lisboa.

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9 789726 187745

ISBN 978-972-618-774-5

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