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E E EXERCÍCIOS DE STATÍSTICA E Jaime Fonseca Daniel Torres EDIÇÕES SÍLABO Vol. 2 2ª Edição Revista e Corrigida

Exercícios - Estimadores

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Exercícios - Estimadores

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  • EXERCCIOS

    STATSTICADE E

    Vol. 2

    EXERCCIOS DE

    STATSTICAEJaime Fonseca Daniel Torres

    EDIES SLABO

    Vol. 2

    2 EdioRevista e Corrigida

    Baseado na longa experincia dos autores no ensino da estats-tica nos mais diversos cursos e escolas, esta obra apresenta umvasto conjunto de exerccios prticos resolvidos que permitiro aosalunos testar e validar os conhecimentos tericos adquiridos.

    Os estudantes de estatstica encontraro aqui as mais variadasaplicaes, podendo seleccion-las de entre os temas tratados,consoante a rea de ensino e a profundidade da abordagem feita matria.

    DANIEL FERNANDES TORRES

    JAIME RAL SEIXAS FONSECA

    licenciado em Economia (Universidade Lusada, 1992) e mestreem Matemtica Aplicada Economia e Gesto (Instituto Superior de Economia e GestoUniversidade Tcnica de Lisboa, 1997). Possui uma ps-graduao em E-Business (Instituto Supe-rior de Economia e Gesto, 2001). Obteve o DEA ( ) do programade Doutoramento em pela UPSAM (UniversidadePontifcia de Salamanca-Plo de Madrid, 2005). Tcnico Oficial de Contas e membro efectivo daOrdem dos Economistas.Desde 1992 tem exercido docncia em vrias universidades, entre as quais, Universidade Lusada,Universidade Internacional, Instituto Superior de Gesto Bancria, Universidade Autnoma de Lis-boa e Universidade Aberta.Para alm da docncia, no incio da sua carreira profissional estagiou e trabalhou como tcnico nodepartamento financeiro de uma empresa de de um grupo bancrio, tendo vindo aolongo da ltima dcada a desenvolver, ao nvel da gesto, actividade como administrador e gerentede empresas e ao nvel contabilstico-financeiro, actividade como director administrativo-financeiroe como Tcnico Oficial de Contas de vrias empresas.

    licenciado em Engenharia Electrotcnica (Faculdade de Enge-nharia Universidade do Porto, 1977) e mestre em Probabilidades e Estatstica Computacional eAnlise de Dados (Faculdade de Cincias Universidade de Lisboa, 1988).Leccionou em universidades pblicas e privadas, entre as quais, Universidade Nova, InstitutoSuperior Tcnico Universidade Tcnica de Lisboa, Universidade Lusada, Universidade Modernae Universidade Internacional. Paralelamente exerceu funes no Instituto Portugus da Qualidade.Actualmente docente no Instituto Superior de Cincias Sociais e Polticas Universidade Tcnicade Lisboa.

    Diploma de Estudios AvanzadosSociedad de la Informacin y el Conocimiento

    factoring

    9 789726 187745

    ISBN 978-972-618-774-5

    146

  • JAIME FONSECA DANIEL TORRES

    EDIES SLABO

  • expressamente proibido reproduzir, no todo ou em parte, sob qualquer forma ou meio, NOMEADAMENTE FOTOCPIA, esta obra. As transgresses sero passveis das penalizaes previstas na legislao em vigor.

    Visite a Slabo na rede

    www.silabo.pt

    Editor: Manuel Robalo

    FICHA TCNICA: Ttulo: Exerccios de Estatstica Vol. 2 Autores: Jaime Fonseca e Daniel Torres Edies Slabo, Lda. Capa: Pedro Mota 1 Edio Lisboa, Junho de 2002 2 Edio Lisboa, Outubro de 2014 Impresso e acabamentos: Europress, Lda. Depsito Legal: 382188/14 ISBN: 978-972-618-774-5

    EDIES SLABO, LDA. R. Cidade de Manchester, 2 1170-100 Lisboa Telfs.: 218130345 Fax: 218166719 e-mail: [email protected] www.silabo.pt

  • ndice

    PREFCIO 7

    Captulo 6 ESTIMAO PONTUAL 9

    Captulo 7 ESTIMAO REGIONAL 65

    Captulo 8 TESTES DE HIPTESES 97

    Captulo 9 REGRESSO LINEAR 171

    Captulo 10 ANLISE DE VARINCIA 223

    BIBLIOGRAFIA 295

  • Prefcio

    Na sequncia do volume I surge agora o volume II de Exerccios de Estatstica, necessariamente mais virado para a Inferncia Estatstica.

    A Estatstica pretende fundamentalmente concluir sobre a populao ou populaes em estudo, em aspectos variados como sejam, a ttulo de exemplo:

    determinao de estimativas (pontuais ou regionais) de parmetros desconhecidos;

    estabelecer relaes de ordem entre parmetros desconhecidos de duas ou mais populaes;

    fazer Previses para uma determinada varivel.

    Este volume II tenta acompanhar tais desgnios. Usando uma perspectiva traada no volume I, estamos seguros de que pode ser

    uma boa contribuio para o domnio desses aspectos.

    Os autores

  • Captulo 6

  • 10

  • 11

    Exerccio 1

    Sabendo que certa populao tem distribuio Binomial, com parmetro p desconhecido, obtenha o estimador de mxima verosimilhana de p, com base numa amostra aleatria de dimenso n, ( nXXX ,...,, 21 ), dela obtida. Proceda anlise do estimador.

    Resoluo:

    Pode aplicar-se o mtodo de mxima verosimilhana dado tratar-se de uma funo regular segundo Cramer-Rao ( duplamente diferencivel e os limites de variao no dependem do parmetro a estimar).

    1. Obteno do estimador

    ( ) ( ) xnxX ppx

    nxfX

    => 1~ : pn= ; ( )ppn = 12

    ( ) ( ) =

    =

    =

    n

    i

    xnx

    iii pp

    x

    npL

    11

    ( ) ( )( )

    =

    =

    =

    = n

    in

    ii

    xni

    xn

    i iipp

    xnx

    n 11

    11

    !!!

    Logaritmizando a funo de verosimilhana, tem-se:

    ( ) ( )( )

    =++

    =

    =

    =

    =

    n

    in

    ii

    xni

    xn

    i iipp

    xnx

    npL 11

    11loglog

    !!!log])([log

    ( ) ( ) ( ) =++

    = ===

    n

    ii

    n

    ii

    n

    i iipxnpx

    xnx

    n

    1111loglog

    !!!log

    ( ) ( ) ( )pxpnpxxnxn n

    ii

    n

    ii

    n

    i ii++

    = ===

    1log1loglog!!

    !log1

    2

    11

  • 12

    Derivando em ordem ao parmetro,

    px

    pn

    px

    pdpLd n

    ii

    n

    ii

    ++= ==

    11

    1110])([log

    1

    2

    1

    Igualando a zero, tem-se, aps eliminar denominadores,

    ( ) =+ ==

    011

    2

    1

    n

    ii

    n

    ii xppnxp

    ==+ ====

    00 211

    2

    11pnxxppnxpx

    n

    ii

    n

    ii

    n

    ii

    n

    ii

    n

    xpn

    x

    pxpn

    n

    iin

    ii ===

    ==

    21

    1

    2 (estimativa)

    2. Anlise do estimador n

    Xp =

    i) No enviesamento

    Um estimador diz-se no enviesado ou centrado, desde que E [ ] = . Conse-quentemente,

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    n

    ii

    n

    ii

    XEnn

    XE

    n

    XEpE1

    221 1][

    ppnnn

    pnn

    XEn

    n

    i

    n

    ii ====

    ==

    21

    21

    211][1

    Assim, pode dizer-se que um estimador no enviesado para p.

  • 13

    ii) Coerncia ou consistncia

    [ ]

    ==

    ==

    =

    =

    =

    n

    ii

    n

    ii

    n

    ii

    XVarn

    XVarnn

    XVar

    n

    XVarpVar1

    41

    421 11][

    ( ) ( ) ( ) .11111 241

    4 n

    ppppnnn

    ppnn

    n

    i

    === =

    Sendo ( ) ,01lim][lim 2 =

    =

    n

    pppVarnn

    Por ser no enviesado e por verificar a condio anterior, diz-se que n

    X um

    estimador coerente para p.

    Exerccio 2

    a) Obtenha, atravs do mtodo de mxima verosimilhana, com base na informao contida na amostra (4, 3, 0, 2, 1, 1), uma estimativa do parmetro desconhecido da distribuio Poisson.

    b) Dessa populao extraiu-se uma amostra aleatria ( )521 ,...,, XXX . Escolha, entre os dois estimadores seguintes, o mais adequado para estimar a mdia ( ) da populao. Justifique adequadamente a sua opo.

    ( )542121 23261

    ; XXXXTXT ++==

    Resoluo:

    a) ( ) ( )

    2, 1, 0,;!

    :~ =

    => xex

    xfPXx

    X

  • 14

    Como a funo regular no sentido de Cramer-Rao ( duplamente diferencivel e os limites de variao no dependem do parmetro a estimar) pode aplicar-se o mtodo de mxima verosimilhana. Assim,

    ( )

    =

    = n

    i

    ix

    i

    x

    e

    ixi

    ex

    Li

    i

    !!

    ( ) = nxxLi

    ii

    i !logloglog

    ( )nx

    Ldi

    i =

    1log

    ( )==

    =

    0010log nxnxd

    Ldi

    ii

    i

    xxn i

    i == 1 (estimativa)

    XXn i

    i == 1 (estimador)

    Clculo do valor da estimativa

    1,833336

    1120341

    =

    +++++=== xx

    n ii

    b) Estimadores Consistentes?

    i) Anlise do enviesamento

    1. Caso de 1T

    Para que seja um estimador no enviesado dever ter-se =][E . Sendo

    =

    =

    = ==

    n

    ii

    n

    ii XE

    nX

    nEE

    11

    11][

    [ ] ==== ==

    nnn

    XEn

    n

    i

    n

    ii

    111

    11

    1T constitui assim um estimador centrado ou no enviesado para =

  • 15

    2. Caso de 2T

    Identicamente, dever ter-se ==][ 2TE . Porque

    ( ) =

    ++= 54212 23261][ XXXXETE

    ( ) =++= ][2][3][][261

    542 XEXEXEXE

    ==++=6

    6)232(61

    2T constitui assim um estimador centrado ou no enviesado para =

    ii) Anlise da consistncia

    1. Caso de 1T

    Para que seja consistente ou coerente, dever ter-se 0][lim =+

    Vn

    , desde

    que o estimador seja no enviesado. Ora

    =

    =

    == ==

    n

    ii

    n

    ii XV

    nX

    nVVTV

    12

    11

    11][][

    nn

    nnXV

    n

    n

    i

    n

    ii

    ====

    ==

    21

    21

    211][1

    Sendo que 0lim n

    e por se tratar de um estimador centrado podemos

    afirmar que o estimador consistente.

    2. Caso de 2T

    ( ) =

    ++= 54212 X2X3XX261Var][Var T

    ( ) =+++= ][4][9][][4361

    5421 XVarXVarXVarXVar

    ( )236

    18494361

    =

    =+++=

  • 16

    Porque 02

    lim , pode concluir-se que o estimador 2T no consistente.

    Em concluso, face a estes resultados, poder-se-a concluir nesta fase que o melhor estimador para a mdia da populao 1T .

    Exerccio 3

    Obtenha atravs do mtodo de mxima verosimilhana e da amostra que se segue, uma estimativa do parmetro da distribuio exponencial.

    4; 3; 2; 0; 3; 0

    Resoluo:

    Obtenha-se em primeiro lugar a funo de verosimilhana com base no produto das funes densidade exponencial.

    Funo densidade da varivel com distribuio exponencial:

    ( )

    >=

    ..;0

    0,0;2 3

    /2

    cc

    xex

    xfx

    a) Identifique o estimador de mxima verosimilhana do parmetro desconhe-cido, com base na amostra aleatria.

    b) Classifique o estimador, ao nvel de enviesamento e consistncia.

  • 18

    Resoluo:

    a) Obtenha-se em primeiro lugar a funo de verosimilhana com base no produto das funes densidade.

    ( ) ( )

    ==

    =

    =

    =

    ==

    /2

    13

    13

    /2

    1

    1

    21

    2

    n

    iii

    i

    xn

    ii

    nn

    i

    xi

    n

    iiX ex

    exxfL

    Tratando-se de uma funo regular segundo Cramer-Rao, aplique-se a funo logaritmo funo de verosimilhana para facilitar posteriormente a derivada.

    ( ) =

    =

    =

    =

    /2

    13

    1

    21loglog

    n

    iixn

    ii

    n

    exL

    += =

    =

    n

    iin

    ii

    x

    xn 11

    3 log2)2(log

    Derive-se agora em ordem a e iguale-se a derivada a zero.

    ( )=

    +

    =

    = 03log 21

    n

    iix

    nd

    Ld

    =+=

    031

    n

    iixn

    3

    x= (estimativa)

    3

    X= (estimador)

    b) Em funo do resultado anterior ficamos a saber que o estimador correspon-dente

    3

    X= .

  • 19

    1. Enviesamento

    ( ) === =

    33)(1)(1 n

    nXEn

    XEn

    ii ,

    uma vez que E [X] = 3, tratando-se de uma distribuio Ga (3, ). Assim,

    == )(31)( XEE ,

    ou seja, constitui um estimador no enviesado ou centrado para .

    2. Consistncia

    Atendendo a que V [X] = 3 2 ,

    03

    )(9

    1)(91)(

    2

    12 limlimlim =

    ===

    =

    nXV

    nXVV

    n

    n

    ii

    nn

    .

    Conclui-se assim que um estimador consistente para .

    Exerccio 5

    Considere a varivel aleatria X com a seguinte funo densidade

    ( ) 0,10;3

    3 3 >+= xxxfX

    Estime com base numa amostra aleatria de tamanho n, atravs do mtodo de mxima verosimilhana o parmetro .

    Resoluo:

    Como a funo regular no sentido de Cramer-Rao pode aplicar-se o mtodo de mxima verosimilhana.

  • 20

    ( ) ( ) ( ) =

    =

    =

    +

    =+

    ==n

    i

    n

    iin

    n

    in

    iiX xxxfL

    1

    3

    1

    3

    1 33

    33

    ( ) ( ) =

    +

    =

    =

    3

    133loglog

    n

    iin

    n

    xL

    ( ) =

    ++=

    n

    iixnn

    1log

    33log3log

    ( ) ( ) =

    ++

    =

    =

    n

    iixnnd

    dd

    Ld1log

    33log3loglog

    =

    ++

    =

    n

    iix

    n

    1log

    31

    3

    ( )=+

    +=

    =

    0log31

    30log

    1

    n

    iix

    n

    dLd

    ( ) =++ =

    0log331

    n

    iixn

    ( ) =+ =

    nxn

    ii 3log3

    1

    =+=

    n

    iix

    n

    1log

    33

    3log

    3

    1

    ==

    n

    iix

    n

    3log

    3

    1

    ==

    n

    iix

    n (estimativa) e 3

    log

    3

    1

    ==

    n

    iiX

    n (estimador)

  • EXERCCIOS

    STATSTICADE E

    Vol. 2

    EXERCCIOS DE

    STATSTICAEJaime Fonseca Daniel Torres

    EDIES SLABO

    Vol. 2

    2 EdioRevista e Corrigida

    Baseado na longa experincia dos autores no ensino da estats-tica nos mais diversos cursos e escolas, esta obra apresenta umvasto conjunto de exerccios prticos resolvidos que permitiro aosalunos testar e validar os conhecimentos tericos adquiridos.

    Os estudantes de estatstica encontraro aqui as mais variadasaplicaes, podendo seleccion-las de entre os temas tratados,consoante a rea de ensino e a profundidade da abordagem feita matria.

    DANIEL FERNANDES TORRES

    JAIME RAL SEIXAS FONSECA

    licenciado em Economia (Universidade Lusada, 1992) e mestreem Matemtica Aplicada Economia e Gesto (Instituto Superior de Economia e GestoUniversidade Tcnica de Lisboa, 1997). Possui uma ps-graduao em E-Business (Instituto Supe-rior de Economia e Gesto, 2001). Obteve o DEA ( ) do programade Doutoramento em pela UPSAM (UniversidadePontifcia de Salamanca-Plo de Madrid, 2005). Tcnico Oficial de Contas e membro efectivo daOrdem dos Economistas.Desde 1992 tem exercido docncia em vrias universidades, entre as quais, Universidade Lusada,Universidade Internacional, Instituto Superior de Gesto Bancria, Universidade Autnoma de Lis-boa e Universidade Aberta.Para alm da docncia, no incio da sua carreira profissional estagiou e trabalhou como tcnico nodepartamento financeiro de uma empresa de de um grupo bancrio, tendo vindo aolongo da ltima dcada a desenvolver, ao nvel da gesto, actividade como administrador e gerentede empresas e ao nvel contabilstico-financeiro, actividade como director administrativo-financeiroe como Tcnico Oficial de Contas de vrias empresas.

    licenciado em Engenharia Electrotcnica (Faculdade de Enge-nharia Universidade do Porto, 1977) e mestre em Probabilidades e Estatstica Computacional eAnlise de Dados (Faculdade de Cincias Universidade de Lisboa, 1988).Leccionou em universidades pblicas e privadas, entre as quais, Universidade Nova, InstitutoSuperior Tcnico Universidade Tcnica de Lisboa, Universidade Lusada, Universidade Modernae Universidade Internacional. Paralelamente exerceu funes no Instituto Portugus da Qualidade.Actualmente docente no Instituto Superior de Cincias Sociais e Polticas Universidade Tcnicade Lisboa.

    Diploma de Estudios AvanzadosSociedad de la Informacin y el Conocimiento

    factoring

    9 789726 187745

    ISBN 978-972-618-774-5

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