EXERCÍCIOS

STATÍSTICADE E

Vol. 2

EXERCÍCIOS DE

STATÍSTICAEJaime Fonseca Daniel Torres

EDIÇÕES SÍLABO

Vol. 2

2ª EdiçãoRevista e Corrigida

Baseado na longa experiência dos autores no ensino da estatís-tica nos mais diversos cursos e escolas, esta obra apresenta umvasto conjunto de exercícios práticos resolvidos que permitirão aosalunos testar e validar os conhecimentos teóricos adquiridos.

Os estudantes de estatística encontrarão aqui as mais variadasaplicações, podendo seleccioná-las de entre os temas tratados,consoante a área de ensino e a profundidade da abordagem feita àmatéria.

DANIEL FERNANDES TORRES

JAIME RAÚL SEIXAS FONSECA

é licenciado em Economia (Universidade Lusíada, 1992) e mestreem Matemática Aplicada à Economia e à Gestão (Instituto Superior de Economia e GestãoUniversidade Técnica de Lisboa, 1997). Possui uma pós-graduação em E-Business (Instituto Supe-rior de Economia e Gestão, 2001). Obteve o DEA ( ) do programade Doutoramento em pela UPSAM (UniversidadePontifícia de Salamanca-Pólo de Madrid, 2005). É Técnico Oficial de Contas e membro efectivo daOrdem dos Economistas.Desde 1992 tem exercido docência em várias universidades, entre as quais, Universidade Lusíada,Universidade Internacional, Instituto Superior de Gestão Bancária, Universidade Autónoma de Lis-boa e Universidade Aberta.Para além da docência, no início da sua carreira profissional estagiou e trabalhou como técnico nodepartamento financeiro de uma empresa de de um grupo bancário, tendo vindo aolongo da última década a desenvolver, ao nível da gestão, actividade como administrador e gerentede empresas e ao nível contabilístico-financeiro, actividade como director administrativo-financeiroe como Técnico Oficial de Contas de várias empresas.

é licenciado em Engenharia Electrotécnica (Faculdade de Enge-nharia – Universidade do Porto, 1977) e mestre em Probabilidades e Estatística Computacional eAnálise de Dados (Faculdade de Ciências – Universidade de Lisboa, 1988).Leccionou em universidades públicas e privadas, entre as quais, Universidade Nova, InstitutoSuperior Técnico – Universidade Técnica de Lisboa, Universidade Lusíada, Universidade Modernae Universidade Internacional. Paralelamente exerceu funções no Instituto Português da Qualidade.Actualmente é docente no Instituto Superior de Ciências Sociais e Políticas – Universidade Técnicade Lisboa.

Diploma de Estudios AvanzadosSociedad de la Información y el Conocimiento

factoring

9 789726 187745

ISBN 978-972-618-774-5

146

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JAIME FONSECA

DANIEL TORRES

EDIÇÕES SÍLABO

É expressamente proibido reproduzir, no todo ou em parte, sob qualquer forma ou meio, NOMEADAMENTE FOTOCÓPIA, esta obra. As transgressões serão passíveis das penalizações previstas na legislação em vigor.

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www.silabo.pt

Editor: Manuel Robalo

FICHA TÉCNICA:

Título: Exercícios de Estatística – Vol. 2 Autores: Jaime Fonseca e Daniel Torres © Edições Sílabo, Lda. Capa: Pedro Mota

1ª Edição – Lisboa, Junho de 2002 2ª Edição – Lisboa, Outubro de 2014 Impressão e acabamentos: Europress, Lda. Depósito Legal: 382188/14 ISBN: 978-972-618-774-5

EDIÇÕES SÍLABO, LDA. R. Cidade de Manchester, 2 1170-100 Lisboa Telfs.: 218130345 Fax: 218166719 e-mail: silabo@silabo.pt www.silabo.pt

Índice

PREFÁCIO 7

Capítulo 6 ESTIMAÇÃO PONTUAL 9 Capítulo 7 ESTIMAÇÃO REGIONAL 65 Capítulo 8 TESTES DE HIPÓTESES 97 Capítulo 9 REGRESSÃO LINEAR 171 Capítulo 10 ANÁLISE DE VARIÂNCIA 223

BIBLIOGRAFIA 295

Prefácio

Na sequência do volume I surge agora o volume II de Exercícios de Estatística, necessariamente mais virado para a Inferência Estatística.

A Estatística pretende fundamentalmente concluir sobre a população ou populações em estudo, em aspectos variados como sejam, a título de exemplo: � determinação de estimativas (pontuais ou regionais) de parâmetros

desconhecidos;

� estabelecer relações de ordem entre parâmetros desconhecidos de duas ou mais populações;

� fazer Previsões para uma determinada variável.

Este volume II tenta acompanhar tais desígnios.

Usando uma perspectiva traçada no volume I, estamos seguros de que pode ser uma boa contribuição para o domínio desses aspectos.

Os autores

Capítulo 6

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10

11

Exercício 1

Sabendo que certa população tem distribuição Binomial, com parâmetro p desconhecido, obtenha o estimador de máxima verosimilhança de p, com base numa amostra aleatória de dimensão n, ( nXXX ,...,, 21 ), dela obtida. Proceda à

análise do estimador.

Resolução:

Pode aplicar-se o método de máxima verosimilhança dado tratar-se de uma função regular segundo Cramer-Rao (é duplamente diferenciável e os limites de variação não dependem do parâmetro a estimar). 1. Obtenção do estimador

( ) ( ) xnxX pp

x

nxfX −−

=> 1~ : pn=µ ; ( )ppn −=σ 12

( ) ( ) =−

= ∏

=

−n

i

xnx

i

ii ppx

npL

11

( )

( )( )∑∑

=−

=

=−

−= ∏

n

i

n

ii

xni

xn

i iipp

xnxn 11

11

!!!

Logaritmizando a função de verosimilhança, tem-se:

( )

( )( )

=−++

−

=∑∑=

−=

=∏

n

i

n

ii

xni

xn

i iipp

xnx

npL 11

11loglog

!!

!log])([log

( )

( ) ( ) =−−++

−= ∑∑∑

===

n

ii

n

ii

n

i iipxnpx

xnx

n

1111loglog

!!!

log

( )

( ) ( )pxpnpxxnx

n n

ii

n

ii

n

i ii−−−++

−= ∑∑∑

===1log1loglog

!!!

log1

2

11

12

Derivando em ordem ao parâmetro,

p

xp

np

xpd

pLd n

ii

n

ii −

−−−−++= ∑∑

== 11

111

0])([log

1

2

1

Igualando a zero, tem-se, após eliminar denominadores,

( ) ⇔=+−− ∑∑==

011

2

1

n

ii

n

ii xppnxp

⇔=−⇔=+−−⇔ ∑∑∑∑====

00 2

11

2

11pnxxppnxpx

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

nx

pn

x

pxpn

n

iin

ii =⇔=⇔−=−⇔

∑∑ =

=ˆ

21

1

2 (estimativa)

2. Análise do estimador n

Xp =ˆ

i) Não enviesamento

Um estimador diz-se não enviesado ou centrado, desde que E [ θ̂ ] = θ. Conse-quentemente,

=

=

=

= ∑

∑

=

=n

ii

n

ii

XEnn

X

En

XEpE

122

1 1]ˆ[

ppnnn

pnn

XEn

n

i

n

ii ==== ∑∑

==2

12

12

11][

1

Assim, pode dizer-se que θ̂ é um estimador não enviesado para p.

13

ii) Coerência ou consistência

[ ]∑∑∑

==

= =

=

=

=

n

ii

n

ii

n

ii

XVarn

XVarnn

X

Varn

XVarpVar

14

142

1 11]ˆ[

( ) ( ) ( ).

11

11

124

14 n

ppppnn

nppn

n

n

i

−=−=−= ∑=

Sendo ( )

,01

lim]ˆ[lim2

=−=∞→∞→ n

pppVar

nn

Por ser não enviesado e por verificar a condição anterior, diz-se que n

X é um

estimador coerente para p.

Exercício 2

a) Obtenha, através do método de máxima verosimilhança, com base na informação contida na amostra (4, 3, 0, 2, 1, 1), uma estimativa do parâmetro desconhecido da distribuição Poisson.

b) Dessa população extraiu-se uma amostra aleatória ( )521 ,...,, XXX .

Escolha, entre os dois estimadores seguintes, o mais adequado para estimar a média ( )µ da população. Justifique adequadamente a sua opção.

( )542121 23261

; XXXXTXT ++−==

Resolução:

a) ( ) ( ) � 2, 1, 0,;!

:~ =λ=λ> λ− xex

xfPXx

X

14

Como a função é regular no sentido de Cramer-Rao (é duplamente diferenciável e os limites de variação não dependem do parâmetro a estimar) pode aplicar-se o método de máxima verosimilhança. Assim,

( ) λ−λ−

∏∏∑

λ=λ=λ n

i

ix

i

xe

ixi

ex

L

ii

!!

( ) λ−−λ=λ ∑∑ nxxL

ii

ii !logloglog

( )

nxLd

ii −

λ=

λ∂λ ∑ 1log

( ) ⇔=λ−⇔=−

λ⇔=

λλ ∑∑ 00

10

lognxnx

d

Ld

ii

ii

xxn i

i ==λ⇔ ∑1ˆ (estimativa)

XXn i

i ==λ ∑1ˆ (estimador)

Cálculo do valor da estimativa

1,833336

1120341ˆ =+++++===λ ∑ xxn i

i

b) Estimadores Consistentes? i) Análise do enviesamento

1. Caso de 1T

Para que seja um estimador não enviesado deverá ter-se λ=λ]ˆ[E . Sendo

=

=

=λ ∑∑

==

n

ii

n

ii XE

nX

nEE

11

11]ˆ[

[ ] λ=λ=λ== ∑∑==

nnn

XEn

n

i

n

ii

111

11

1T constitui assim um estimador centrado ou não enviesado para µ = λ

15

2. Caso de 2T

Identicamente, deverá ter-se λ=µ=][ 2TE . Porque

( ) =

++−= 54212 232

61

][ XXXXETE

( ) =++−= ][2][3][][261

542 XEXEXEXE

µ=µ=µ+µ+µ−µ=6

6)232(

61

2T constitui assim um estimador centrado ou não enviesado para µ = λ

ii) Análise da consistência

1. Caso de 1T

Para que seja consistente ou coerente, deverá ter-se 0]ˆ[lim =λ∞+→

Vn

, desde

que o estimador seja não enviesado. Ora

=

=

=λ= ∑∑

==

n

ii

n

ii XV

nX

nVVTV

12

11

11]ˆ[][

n

nnn

XVn

n

i

n

ii

λ=λ=λ== ∑∑==

21

21

211

][1

Sendo que 0lim →λn

e por se tratar de um estimador centrado podemos

afirmar que o estimador é consistente.

2. Caso de 2T

( ) =

++−= 54212 X2X3XX2

61

Var][Var T

( ) =+++= ][4][9][][4361

5421 XVarXVarXVarXVar

( )236

18494

361 λ=λ=λ+λ+λ+λ=

16

Porque 02

lim ≠λ, pode concluir-se que o estimador 2T não é consistente.

Em conclusão, face a estes resultados, poder-se-ía concluir nesta fase que o melhor estimador para a média da população é 1T .

Exercício 3

Obtenha através do método de máxima verosimilhança e da amostra que se segue, uma estimativa do parâmetro da distribuição exponencial.

4; 3; 2; 0; 3; 0

Resolução:

Obtenha-se em primeiro lugar a função de verosimilhança com base no produto das funções densidade exponencial.

Função densidade da variável com distribuição exponencial:

( )

<≥λ=

λ−

0;0

0;

x

xexf

x

X

( ) ( )∑=

λ−

=

λ−

=λ=λ==λ ∏∏

n

ii

ii

xn

n

i

xn

iiX eexfL 1

11

Dado tratar-se de uma função regular no sentido de Cramer-Rao, pode aplicar-

se o método de máxima verosimilhança.

Aplique-se a função logaritmo à função de verosimilhança para facilitar posteriormente a derivada.

( ) =+λ=

λ=λ

∑∑==

λ−λ−n

ii

n

ii x

nx

n eeL 11 loglogloglog

∑=

λ−λ=n

iixn

1log

17

Derive-se agora em ordem a λ e iguale-se a derivada a zero.

( ) ⇔=∑−

λ=

λλ

=0

1log

1

n

iixn

d

Ld

⇔∑=λ

⇔=

n

iixn

1

1

⇔∑

=λ

⇔ =n

xn

ii

11

x

x

nn

ii

1ˆ

1

=∑

=λ⇔

=

Logo com base na amostra dada tem-se o seguinte valor para a estimativa do

parâmetro:

0,5126

03023461ˆ ==

+++++==λ

x

Exercício 4

Seja ( )nXXX ...,,, 21 uma amostra aleatória extraída de uma população com

função densidade da forma:

( )

>λ>

λ=

λ−

..;0

0,0;2 3

/2

cc

xex

xf

x

a) Identifique o estimador de máxima verosimilhança do parâmetro desconhe-cido, com base na amostra aleatória.

b) Classifique o estimador, ao nível de enviesamento e consistência.

18

Resolução: a) Obtenha-se em primeiro lugar a função de verosimilhança com base no produto

das funções densidade.

( ) ( )λ−

==

λ−

=

∑=

λ=

λ==λ ∏∏∏

/2

13

13

/2

1

1

2

1

2

n

iii

i

xn

ii

nn

i

xi

n

iiX ex

exxfL

Tratando-se de uma função regular segundo Cramer-Rao, aplique-se a função logaritmo à função de verosimilhança para facilitar posteriormente a derivada.

( ) =

λ=λ

λ−

=

∑=∏

/2

13

1

2

1loglog

n

iixn

ii

n

exL

λ

∑−∑+λ−= =

=

n

iin

ii

xxn 1

1

3 log2)2(log

Derive-se agora em ordem a λ e iguale-se a derivada a zero.

( ) ⇔=λ

∑+

λ−=

λλ = 0

3log21

n

iix

nd

Ld

⇔=∑+λ−⇔=

031

n

iixn

3

ˆ x=λ⇔ (estimativa)

3

ˆ X=λ⇔ (estimador)

b) Em função do resultado anterior ficamos a saber que o estimador correspon-

dente é 3

ˆ X=λ .

19

1. Enviesamento

( ) λ=λ== ∑

=3

3)(

1)(

1 n

nXE

nXE

n

ii ,

uma vez que E [X] = 3λ, tratando-se de uma distribuição Ga (3, λ). Assim,

λ==λ )(31

)ˆ( XEE ,

ou seja, λ̂ constitui um estimador não enviesado ou centrado para λ.

2. Consistência

Atendendo a que V [X] = 3 2λ ,

03

)(9

1)(

91

)ˆ(2

12 limlimlim =λ===λ

∞→=∞→∞→∑

nXV

nXVV

n

n

ii

nn.

Conclui-se assim que λ̂ é um estimador consistente para λ .

Exercício 5

Considere a variável aleatória X com a seguinte função densidade

( ) 0,10;3

3 3 >α≤≤+δ= δ xxxfX

Estime com base numa amostra aleatória de tamanho n, através do método de

máxima verosimilhança o parâmetro δ.

Resolução:

Como a função é regular no sentido de Cramer-Rao pode aplicar-se o método de máxima verosimilhança.

20

( ) ( ) ( )∏ ∏∏=

δ

=

δ

=

+δ=+δ==δn

i

n

iin

n

i

n

iiX xxxfL

1

3

1

3

1 3

33

3

( ) ( ) =

+δ=δδ

=∏

3

13

3loglog

n

iin

nxL

( ) ∑=

δ+−+δ=n

iixnn

1log

33log3log

( ) ( ) =

δ+−+δδ

=δ

δ ∑=

n

iixnn

d

d

d

Ld

1log

33log3log

log

∑=

++δ

=n

iix

n

1log

31

3

( ) ⇔=+

+δ⇔=

δδ ∑

=0log

31

30

log

1

n

iix

n

d

Ld

( ) ⇔=+δ+⇔ ∑=

0log331

n

iixn

( ) ⇔−=+δ⇔ ∑=

nxn

ii 3log3

1

⇔−=+δ⇔∑=

n

iix

n

1log

33

3

log

3ˆ

1

−−=δ⇔∑=

n

iix

n

3

log

3ˆ

1

−−=δ∑=

n

iix

n (estimativa) e 3

log

3ˆ

1

−−=δ∑=

n

iiX

n (estimador)

EXERCÍCIOS

STATÍSTICADE E

Vol. 2

EXERCÍCIOS DE

STATÍSTICAEJaime Fonseca Daniel Torres

EDIÇÕES SÍLABO

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2ª EdiçãoRevista e Corrigida

Baseado na longa experiência dos autores no ensino da estatís-tica nos mais diversos cursos e escolas, esta obra apresenta umvasto conjunto de exercícios práticos resolvidos que permitirão aosalunos testar e validar os conhecimentos teóricos adquiridos.

Os estudantes de estatística encontrarão aqui as mais variadasaplicações, podendo seleccioná-las de entre os temas tratados,consoante a área de ensino e a profundidade da abordagem feita àmatéria.

DANIEL FERNANDES TORRES

JAIME RAÚL SEIXAS FONSECA

é licenciado em Economia (Universidade Lusíada, 1992) e mestreem Matemática Aplicada à Economia e à Gestão (Instituto Superior de Economia e GestãoUniversidade Técnica de Lisboa, 1997). Possui uma pós-graduação em E-Business (Instituto Supe-rior de Economia e Gestão, 2001). Obteve o DEA ( ) do programade Doutoramento em pela UPSAM (UniversidadePontifícia de Salamanca-Pólo de Madrid, 2005). É Técnico Oficial de Contas e membro efectivo daOrdem dos Economistas.Desde 1992 tem exercido docência em várias universidades, entre as quais, Universidade Lusíada,Universidade Internacional, Instituto Superior de Gestão Bancária, Universidade Autónoma de Lis-boa e Universidade Aberta.Para além da docência, no início da sua carreira profissional estagiou e trabalhou como técnico nodepartamento financeiro de uma empresa de de um grupo bancário, tendo vindo aolongo da última década a desenvolver, ao nível da gestão, actividade como administrador e gerentede empresas e ao nível contabilístico-financeiro, actividade como director administrativo-financeiroe como Técnico Oficial de Contas de várias empresas.

é licenciado em Engenharia Electrotécnica (Faculdade de Enge-nharia – Universidade do Porto, 1977) e mestre em Probabilidades e Estatística Computacional eAnálise de Dados (Faculdade de Ciências – Universidade de Lisboa, 1988).Leccionou em universidades públicas e privadas, entre as quais, Universidade Nova, InstitutoSuperior Técnico – Universidade Técnica de Lisboa, Universidade Lusíada, Universidade Modernae Universidade Internacional. Paralelamente exerceu funções no Instituto Português da Qualidade.Actualmente é docente no Instituto Superior de Ciências Sociais e Políticas – Universidade Técnicade Lisboa.

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9 789726 187745

ISBN 978-972-618-774-5

146