Undervisningsforløb om befolkningssammensætningdirac.ruc.dk/mat/efteruddannelse/rapporter/2006/Befolkn...3. Introduktion til model i regneark Eleverne skulle i dette modul arbejde

Undervisningsforløb om

befolkningssammensætning

Svend Runge Nielsen

Indhold

1 Præsentation 2

2 Lærerens udviklingsm̊al 2

3 Intentionerne for elevernes udbytte af forløbet 2

4 Beskrivelse for forløbet 3

4.1 De enkelte moduler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34.2 Gruppedannelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5 Udvalgte pædagogiske observationer 5

5.1 Arbejdet i grupperne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

6 Elevernes udbytte i forhold til intentionerne 8

7 Hvad jeg selv har lært 10

8 Samarbejde med andre fag 11

A Elevnote om befolkningssammensætning 13

A.1 Lidt grundlæggende notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13A.2 Et eksempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14A.3 Befolkningspyramider . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14A.4 Dødelighed og fødselsrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

A.4.1 Dødelighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14A.4.2 Fødselsrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

B Elevarbejdsark 1 17

C Elevrarbejdsark 2 18

D Eksempler p̊a befolkningspyramider 19

1

Befolkningssammensætning Svend R. Nielsen, april 2006

E Regnearksskabelon 20

1 Præsentation

Denne rapport beskriver et undervisningsforløb matematik, som det blev udførti en 1. g klase. Klassen havde matematik p̊a C- niveau og gik i en sprogligt orien-teret studieretning. Klassen havde samfundsfag som et af sine studieretningsfagog derfor fandt jeg det naturligt at tage emnet om befolkningssammensætningop til behandling, idet emnet ogs̊a nemt kunne indg̊a i et tværfagligt samarbejdemed samfundsfag. Selv om emnet afvikles som et rent matematikforløb, vil dervære en hvis transfer-værdi for eleverne.Det beskrevne forløb er rent matematikforløb, og der havde ikke været koordi-neret med klassens undervisning i samfundsfag. Dette skyldes alene, at der medden tidsmæssige placering af dette forløb, ikke var mulighed for at lave et samletforløb. Det er dog tanken, at der i tilsvarende fremtidige forløb kan det indg̊a iet samarbejde med samfundsfag.Projektforløbet forgik over en periode p̊a 2 undervisningsuger med i alt 6 mate-matik moduler á 95 minutters varighed.

2 Lærerens udviklingsm̊al

Som lærer var det mit m̊al med forløbet, at opn̊a erfaringer med matematiskmodellering/simulering af autentisk data materiale og blive bedre til at formidlematematiks anvendelsesmuligheder.Desuden var det min mening at ”slippe”eleverne løs og give dem flere frihedsgra-der til selv at modellere. Specielt i den sidste halvdel af forløbet skulle elevernehave mulighed for helt selv at udforske deres model og eksperimentere med den.Denne form for undervisning var ikke noget, som jeg havde praktiseret meget meddette matematik hold. Dette skyldes til dels at jeg først ville give dem et godtfagligt fundament inden, jeg kaster dem ”ud p̊a dybt vand”. Jeg vil dog vedg̊a, atman godt kan eksperimentere med matematik uden at det nødvendigved behøverat foreg̊a ”i den dybe ende af svømmebassinet”.Jeg h̊abede ogs̊a, at jeg med dette forløb kunne gøre nogle pædagogiske erfaringermed h̊andtering af den frie projekt-arbejdsform s̊aldes, at man p̊a den ene sidelader eleverne arbejde selvstændigt og selv lade dem n̊ar frem til nogle resultater,men at man samtidigt ogs̊a søger for at eleverne rent faktisk lærer det de skal.

3 Intentionerne for elevernes udbytte af forløbet

Undervisningsforløbet havde flere m̊al for eleverne. Det var min mening, at skulleeleverne stifte bekendtskab med en mere anvendelsesorienteret matematik end

2


den, de er vant til.Klassen blev som nævnt undervist p̊a C-niveau i en sprogligt orienteret studieret-ning. Det faglige niveau i klassen var noget differentieret idet, en forholdsvis stordel at klassens elever var fagligt svage samtidigt samtidigt med, at der sidder enh̊andfuld elever som har godt fat om matematikken p̊a det p̊agældende niveau.Det var tanken med forløbet at give alle elever en oplevelse af, at de kunne an-vende matematik til noget virkeligt og selv finde ud af hvad man kan bruge denkonkrete model til - hvad kan modellen beskrive og hvad den ikke kan beskrive.Desuden skulle eleverne lære hvordan, man ved hjælp af et IT-værktøj (i dettetilfælde et regneark) kan bruge en matematisk model til at beskrive et stykkevirkelighed og dermed bruge modellen til at opn̊a kvalificeret viden om dennevirkelighed, som kan bruges i andre sammenhænge (samfundfag etc.).

4 Beskrivelse for forløbet

Emnet, som forløbet drejede sig om var befolkningssammensætning og befolk-ningsudvikling. Mere præcist om befolkningssammensætning i alder og hvordandenne sammensætning udvikler sig med tiden. Eleverne skulle blandt andet vedhjælp at regneark konstruere befolkningspyramider, som kunne give et realistiskbud p̊a en befolkningssammensætning samt dennes tidslige udvikling.Eleverne skulle afslutte forløbet med et rapport, hvori de skulle gøre rede for deres”opdagelser”i forbindelse med modelleringen af en befolkningssammensætning.Selve opgaveformuleringen kan ses p̊a elevarbejdsark 2 (bilag C)Eleverne kunne benytte sig at skolens Fronter-systema til at uploade og gemmederes elektroniske arbejde. Ligeledes skulle eleverne aflevere deres rapport samttilhørende regneark i elektronisk form via Fronter.

4.1 De enkelte moduler

De 6 moduler, som forløbet var fordelt p̊a, var spredt ud p̊a 2 uger med en mellem-liggende uge i mellem. Grunden hertil var, at eleverne havde en mellemliggendeuge med AT-forløb, hvor det ikke var matematik p̊a skemaet. Dette var klartikke hensigtsmæssigt, men det var nu en gang den eneste mulighed for at afvikleforløbet.Herunder følger en kort beskrivelse af indholdet i de enkelte moduler.

1. Introduktion og teorigennemgang.

De skrevne noter (bilag A) om befolkningsudvikling blev udleveret og de-le af teorien blev gennemg̊aet kursorisk. Der blev arbejdet med notationog om hvordan, man kan opdele en befolkning i grupper. Eleverne blev

aFor en beskrivelse af Fronter henvises til http://www.fronter.com.

3


introduceret for befolkningspyramider som metode til at opstille en befolk-ningssammensætning p̊a en overskuelig m̊ade.

2. Teorigennemgang og øvelser

Med noten som lektie til dette modul blev begreber som dødelighed ogfødselrate gennemarbejdet med sm̊a beregningseksempler. Desuden prøvedeeleverne at fremskive en befolkning ud fra en kendt dødelighed og fødselsrate.

3. Introduktion til model i regneark

Eleverne skulle i dette modul arbejde med regneark. De fik udleveret en ska-belon (bilag E), som viste en befolkningssammensætning og dennes frem-skrivning 15 gange. Et arbejdsark blev givet til eleverne (bilag B), som de igrupper skulle arbejde med og gøre færdigt til næste modul (som l̊a en goduge senere pga. AT-uge).

4. Arbejde med model

Eleverne arbejdede med den udleverede skabelon som beskrevet p̊a arbejds-ark (bilag C)

5. Arbejde med model

Eleverne arbejdede med den udleverede skabelon som beskrevet p̊a arbejds-ark (bilag C)

6. Opsummering og ”Gæt et land-konkurrence

Eleverne skulle til dette modul have gjort deres arbejde med modellen fær-dig. Eleverne fik i grupperne udleveret et ark med i alt 6 befolkningspyra-mider for 6 forskellige lande. Herefter fik eleverne ca. 40 minutter til at laveen mini-beskrivelse af landene, hvor de forsøge at bestemme hvilke typelande, der var tale om - og evt. gætte hvilke lande der var repræsentereti de 6 pyramider. Mini-beskrivelserne blev herefter kigget igennem af læ-reren imens eleverne fik mulighed for at finpudse deres arbejde med deresbefolkningsmodel. I den sidste del af modulet blev vinderen af ”Gæt etland-konkurrencen bekendtgjort og præmieret Modulet blev rundet af meden klassedisskusion om, hvad man kan læse ud af befolkningspyramider. Derblev vist eksempler p̊a hvordan en befolkningssammensætning kan ændresig i tidb.

4.2 Gruppedannelse

I størstedelen af forløbet (modul 3-6) skulle eleverne arbejde sammen i sm̊a to-mandsgrupper. Størrelsen af grupperne blev sat til to, da to personer fint kan sidde

bDer blev brugt animerede modeller fra US Census som kan findes p̊ahttp://www.census.gov/ipc/www/idbpyr.html

4


ved én computer og arbejde, hvorimod det bliver tiltagende mere besværligt desflere personer der er i gruppen. Jo mindre grupper man bruger, jo bedre undg̊arman ogs̊a, at elever bevidst eller ubevidst kommer til at sidde ”p̊a sidelinjen”ogikke deltage passende i gruppens arbejde.Klassen bestod af 28 elever, hvilket betød at 14 grupper skulle dannes. Jeg valgteat inddele eleverne primært efter fagligt standpunkt og sekundært efter enga-gement og aktivitet i undervisningen. Grupperne blev lavet s̊aledes at elever p̊asamme (eller næsten samme) faglige niveau blev sat sammen og, at elever medsamme aktivitet/fagligt engagement kom i samme gruppe. Grunden til denneinddeling skete ud fra den betragtning, at ”lige børn leger bedst”. Alts̊a at eleverp̊a samme faglige niveau vil f̊a en jævnbyrdig arbejdsdeling Desuden kan mansom lærer g̊a ud fra, at de to elever i gruppen kan forst̊a hinanden p̊a det fagligeplan og ikke snakker over (eller under) hovedet p̊a hinanden. Denne opdeling igrupper blev ogs̊a udført med den bagtanke, at grupper med fagligt stærke eleverville være mere eller mindre selvkørende, s̊aledes at læreren ville have mere tidtil at tage sig af fagligt svage grupper.

5 Udvalgte pædagogiske observationer

Jeg har valgt at koncentrere mig om elevernes gruppearbejde og afrapportering.Grunden hertil er, at det var her at eleverne blev ”sluppet”løs og mere ellermindre skulle arbejde p̊a egen h̊and. Jeg var spændt p̊a at se hvorledes de styrededette ansvar, og hvordan de havde det med at arbejde selvstændigt med et - fordem svært fag - som matematik.

5.1 Arbejdet i grupperne

Gruppeinddelingen viste sig overordnet set at være passende. Der opstod dognogle problemer idet nogle enkelte elever var fraværende og der derfor m̊atteflyttes rundt p̊a nogle grupper og at to grupper kom til at best̊a af 3 elever.Eleverne havde tilsyneladende ikke problemer med gruppedannelsen. Det var dogheller ikke forventet, da klassen fungerede ganske fint socialt set.Gruppestørrelsen p̊a 2 elever virkede tilsyneladende ogs̊a passende.Eleverne startede med elevarbejdsark 1. Eleverne havde tidligere arbejdet medregneark i forbindelse med regression og før det i forbindelse med introduktion tilIT. Jeg havde derfor regnet med at eleverne i det mindste havde grundlæggendestyr p̊a opbygningen af et regneark og hvordan man skal læse formlerne i etregneark. Det viste sig derimod desværre at en stor del af eleverne havde sværtved at forst̊a regnearkets opbygning.Denne usikkerhed gav sig udslag i at eleverne stillede meget konkrete spørgsm̊altil hvordan de skulle forst̊a en formel eller f̊a indtastet deres beregningsudtryk iregnearket. Spørgsm̊al som ”Hvad betyder =($B$8*C17)/2 ?”og ”Skal vi rette alle

5


formlerne til?”kom fra flere grupper. Disse spørgsm̊al tydede p̊a, at eleverne havdeglemt deres basale viden om regneark, hvilket gjorde arbejdsprocessen unødigtbesværlig. Det var jo ikke meningen af eleverne skulle bruge kræfter for at laveet regneark, som netop var tænkt som en hjælp til eleverne.Det viste sig at problemer med regneark kom til at skygge en del for projektetsegentlige udfordring - modellering af en befolkningssammensætning, hvilket varærgerligt. Moralen m̊a naturligvis være, at man som lærer sikrer sig, at eleverneer klædt ordentligt p̊a til brug af regneark, hvis dette redskab skal i spil. Dettekan evt. gøres ved et placere genopfriskningsmodul inden forløbet startes.Elevernes arbejde med det andet elevarbejdsark, som ogs̊a beskrev produktkravettil rapporten, var delt en flere trin. Det startede en kort regneopgave, hvor eleverneskulle ændre parametre som fødselsrate og dødelighed for at ændre p̊a antalletaf individer i populationen. Denne øvelse klarede eleverne storset alle sammen.Eleverne kunne hurtigt se, at man ændrede befolkningens størrelse, n̊ar manændrede p̊a fødselsrate og dødelighed. De to ting som eleverne spekulerede mestp̊a var, om de skulle finde to eksakte tal, som gav det rigtige antal menneskerefter 10 tidsskridt og om antallet af mænd/kvinder skulle være præcis 11000henholdsvis 16500 mennesker, eller om de m̊atte nøjes med antal, som l̊a tætp̊a disse værdier (afrunde resultaterne til 11000 og 16500). Grunden til denneforvirring var nok, at eleverne havde været vant til at matematikresultater erpræcise og eksakte. Denne opfattelse kolliderede med denne opgave, idet man ikkelige kan f̊a eksakt 11000 individer ved blot at vælge et par ”gode/nemme”tal fordødelighed og fødselsrate. Da dette gik op for eleverne accepterede de dog ogs̊a, atman kunne ”nøjes”med at angive et passende talpar, s̊aledes at befolkningstalletstemte nogenlunde.En anden skæg observation var, at en gruppe ikke brød sig om at ændre p̊a toparametre p̊a én gang. istedet satte de dødeligheden til eksakt 0 og ændredeherefter kun p̊a fødselsraten indtil de fik et resultat, som var tæt ved 11000henholdsvis 16500. Man kan sige at dette ikke giver et realistisk resultat, menomvendt viser det ganske godt, hvordan man kan reducere problemet til kun atskulle finde en værdi for én parameter.Efter denne introducerende opgave, som skulle gøre eleverne opmærksomme p̊ahvordan de to parametre har indflydelse p̊a modellen, var det tiden til at eleverneselv skulle ændre p̊a modellen for at tilpasse den mere til den virkelige verden.Størstedelen af eleverne fandt p̊a at ”virkeliggøre”deres model ved at varieredødsraten efter alder og tilføje fødselsrater (> 0) for kvinder i andre aldersgrupperend de 21-30 årige. Der opstod igen problemer med at skrive til tilføjelser ind iregnearkets formler og læreren m̊atte bruge meget tid p̊a ”bare”at hjælpe elevernemed at bruge regnearket fornuftigt. Det er dog mit indtryk, at eleverne havde enmatematikforst̊aelse af formlerne - problemet var blot at omsætte formlerne tilberegninger i regneark.Ikke alle grupper af elever fik gennemarbejdet det andet elevarbejdsark heltfærdigt- mest p̊a grund af de ovenfor anførte problemer med regneark. Men nogle

6


grupper fik tygget sig igennem, og det var interessant at se hvilke ting de valgteat lægge vægt p̊a i deres model.Flere grupper valgte at tage temaet sygdom op i deres model. Alvorlige (fatale)sygdommen som AIDS og fugleinflueza blev forsøgt modelleret. Det blev typiskgjort ved at eleverne øgede dødsraten for en bestemt befolkningsgruppe (ForAIDS var det personer i den seksuelt aktive alder) og for flugleinfluenza blevdødsraten blot øget dramatisk for alle befolkningsgrupper. Kinas 1-barnspolitkvar ogs̊a et tema hos nogle grupper.Nedenst̊aende citat er taget fra en gruppe, som har overvejet betydningen for-skellige ting. Det viser, at de har forst̊aet hvordan modellen skal bruges til ath̊andtere de fænomener de nævner (omend man kan diskutere realismen i dem).

”En masse ting har betydning for en befolknings udvikling. Det kanblandt andet være, AIDS epidemier i Afrika, her ville det primærtvære de unge mellem 11-20 der ville dø, dette vil sige at dødelighedenville være noget højere i denne aldersgruppe. I Kina er der mangebørn der dør p̊a grund af børnearbejde, her ville dødeligheden i al-dersgruppen 0-10 og 11-20 været høj. Gamle mennesker i Afrika leverikke særlig længe fordi der ingen mad er, s̊a de sulter.”

Det var ogs̊a et gennemg̊aende træk, at eleverne nogle gange tænkte for megetmatematik og fokuserede s̊a meget p̊a deres formler, at de helt glemte at tænkeover, om deres antagelse havde været realistiske, hvilket følgende citat illustrerer.

”Vi laver tre nye fødselsrater for aldersgrupperne 11-20, 21-30 og 31-40. De nye fødselsrater bliver nu 5, 5,2 og 4,9. derefter sætter vi demind i denne formel, =($B$24*C12)+($B$25*C13)+($B$26*C14)/2. Det-te viste at der blev født 20.750 børn, hvilket svarer til vores teori omat der blev født utroligt mange børn før i tiden.”

Her ser man, at eleverne i deres iver efter at simulere mange fødsler ikke overvejerat deres formel betyder, at kvinder p̊a 40 år i gennemsnit har født 15,1 børn -hvilket m̊a siges at være lige i overkanten.Nogle elever har dog overvejet dette oglaver en mere realistisk begrundet fødselsrate.

”I det skema vi har f̊aet udleveret, er det antaget at det kun er kvinderi alderen 21-30 år der føder børn. Dette interval er for snævert, derforantager vi at gruppen bør ændres til at have tre aldersgrupper. Defølgende grupper er:

Kvinder i alderen 11-20 år, der har en fødselsrate p̊a 0,01. Kvinderi alderen 21-30 år, der har en fødselsrate p̊a 1,7. Kvinder i alderen31-40, der har en fødselsrate p̊a 1”

Dette samme gør sig gældende med dødsrater, som stort set alle elever har ændret,s̊aledes at denne ændrer sig med alderen.

7


”Iagttagelserne over dødeligheden bør ogs̊a ændres, da sandsynlig-heden for at der dør lige mange i alle aldre ikke er særlig stor. Viiagttager følgende:

Gruppen 0-10: Dødelighed = 0,015

Gruppen 11-20: Dødelighed = 0,014

Gruppen 21-30: Dødelighed =0,02







Gruppen 90 + : Dødelighed =0,8”

I ovenst̊aende kan man lægge mærke til sprogbruget ”...der dør (ikke) lige mangei alle aldre...”. Her beskrives dødsraten, som antal mennesker der dør. Men det erjo en brøkdel mennesker, som dør ud af en given aldersgruppe. Denne mangel p̊apræcision er typisk for elevernes beskrivelser. Det er klart noget man efterfølgendekan tage op med eleverne. Samme eksempel illustrerer ogs̊a den detalje, at ele-verne i denne gruppe ikke har overvejet at 20% af de 90-̊arige faktisk er udødeligeifølge deres model!

Det fremg̊ar ikke om eleverne checker deres bud p̊a fødsels og dødsrater svarertil virkeligheden. Et par grupper snakkede dog undervejs i forløbet om at ”hverkvinde i gennemsnit føder 1,7 barn”og at dette tal er lavt, da man jo skal op p̊aet tal, som er større en 2 for at antallet af individer i populationen ikke falder.Eleverne n̊aede faktisk ogs̊a frem til, at det ikke er nok at den samlede fødselsrateblot er skarpt større end 2, men at dette tal skal være større des større dødsraten erfor børn og unge (fødedygtige) kvinder. Oplysningen om 1,7 barn havde elevernefra samfundsfag, hvor de havde arbejdet med velfærdssamfundet som emne.

6 Elevernes udbytte i forhold til intentionerne

N̊ar man kigger tilbage p̊a forløbet, kan man spørge sig selv om man n̊aede de sat-te m̊al for elevernes udbytte. Her er svaret b̊ade ja og nej. Eleverne fik et indblik ihvordan man kan modellere en befolkningssammensætning. Det er ogs̊a tydeligt,at langt de fleste elever har forst̊aet begreberne fødselsrate og dødsrate og deresbetydning for beregning af antallet af personer i en given aldersgruppe. De har

8


ogs̊a set hvordan lav fødselrate og lav dødelighed giver en mere jævn befolknings-sammensætning end en høj fødselsrate og høj dødelighed. S̊a den forst̊aelse hareleverne opn̊aet.Ved gennemgang af elevernes rapporter tegnede der sig et tydeligt billede af hvadeleverne havde - og ikke havde - f̊aet ud af forløbet.En del grupper havde prøvet at modellere en mere realistisk model ved at ændrep̊a fødsels- og døds-rater, hvilket ogs̊a fremg̊ar af citaterne overfor i afsnit 5.1.Desudover havde flere grupper prøvet at inddrage ting, som ikke lod sig modellere(ifølge eleverne). For eksempel skriver en gruppe;

Befolkningsmodellen begrænser sig p̊a den m̊ade at man ikke kankomme ud af den før man dør. Rejser man for eksempel ud af landetbliver dette ikke registreret i modellen, og omvendt hvis man rejserind i landet gør det samme sig gældende.

Denne gruppe har fundet en klar begrænsning i modellens virkeomr̊ade. Der erikke noget i vejen for at medtage ind- og ud-vandring, men dette vil kræve enmere kompliceret model, hvilke eleverne erkender. Man kan alts̊a se, at modellensumiddelbare begrænsninger kan ses af eleverne En anden gruppe skriver;

Modellens udregninger er ikke p̊alidelige, da der er visse faktorer, denikke tager i betragtning, disse faktorer kan f.eks. være: Der udbryderen 3. verdenskrig, som udsletter x antal mennesker, man finder en kurmod nuværende helbredelige sygdomme, eller en helt tredje mulighed,og s̊adan kan man blive ved

Denne gruppe ser ogs̊a modellens begrænsninger, men netop de nævnte ting ermulige at modellere ved at dreje p̊a dødeligheden og/eller ”dræbe”nogle individeri en årgang ved simpelthen at fjerne ”x antal mennesker”fra data.Grunden til at eleverne ikke har arbejdet mere med denne del at modelleringen,tror jeg skyldes dels manglende ide til hvordan disse ting rent teknisk skulleindarbejdes i modellen, dels manglende tid. Eleverne havde 2 moduler til deresegen modellering, og en stor del af tiden i det første af disse moduler gik med atopsummere/gentage arbejdet fra den forrige uge, da langt de fleste elever havdebrug for at f̊a opfrisket regnearket og dets virkem̊ade.Selve niveauet i grupperapporterne var meget svingende. Dette forklares til delsmed den store spredning i elevernes faglige niveau Der er ogs̊a en klar sammen-hæng mellem grupperapporterne niveau og elevernes faglige niveau - hvilket ikkeer overraskende. Mange har haft svært ved at bygge videre p̊a modellen p̊a grundat regneark-problemer. Det betød at en del besvarelser var meget overfladiske iforholde til den matematiske model. En del skriver noget om, at de godt ved atditten og datten har betydning for fødselsrate og dødsrater. Men de fører det ikkeud i modellen, men nøjes med blot at nævne det i tekstdelen i deres rapport.Min konklusionen i forhold til elevernes udbyttet m̊a være, at elevernes modellerings-kompetence er blevet berørt, men ikke brugt nok. Det har været for stor spredning

9


p̊a elevernes udbytte Det var forventet, at der ville være en vis spredning, menikke at den ville være s̊a stor og at en relativ stor del af eleverne ikke rigtigt f̊ar”fingrene i skidtet”.Hvad der desværre ikke gik tilfredsstillende var konceptet om, at eleverne selvskulle udbygge deres model. Eleverne kom generelt ikke langt med denne del. Dervar synd, da det netop var disse punkter, som skulle gøre dette forløb specieltved, at eleverne skulle arbejde selvstændigt med modellen og gøre den til deresegen.

7 Hvad jeg selv har lært

Generelt m̊a man sige, at forløbet ikke levede helt op til mine forventninger afelevernes udbytte. Og hvorfor s̊a ikke det? En af grundende var, at eleverne havderegneark-problemer - det er derfor klart, at man en anden gang m̊a sikre sig bedrep̊a den kant.En anden grund til det lidt utilfredsstillende resultat var, at forløbet nok harværet for løst styret i den sidste fase. Nogle fastere rammer evt. med direktemodelforslag til hvad eleverne kunne gøre for at lave en tilfredsstillende opga-ve/rapport kunne m̊aske have forbedret kvaliteten af rapporterne.Jeg mener dog, at de nævnte problemer med projektforløbet er overkommeligeat løse.Mulige løsnings-forslag kunne være følgende;Man kunne overveje, om man burde konstruere regnearket mere simpelt, og e-ventuelt skjule nogle af de mellemliggende formler. S̊a ville eleverne kun skullekoncentrere sig om at ”dreje”p̊a fødselsraten og dødsraten, hvilket vil gøre heleprocessen mere overskuelig om samtidigt koncentrere arbejdet mod det egentlige- modellering ud fra disse parametre. Man kunne ogs̊a lave to eller flere regnearks-skabeloner som svarede til forskellige komplekcitetsnivieauer for modellen. Mendette vil omvendt tage initiativet fra eleverne og vanskeliggøre deres mulighederfor selv at udvikle modellen og derved f̊a ejerskab over den.Hvis forløbet igen skulle køre p̊a nogenlunde samme vis, ville det nok egne sigbedre til et matematikhold p̊a et A- eller B-niveau og placeret i 2. g, idet manm̊a formode, at eleverne da har bedre forudsætninger for arbejdet med modellenog regnearket.

Da eleverne ikke i forvejen havde arbejdet med modellering i s̊a stor detalje, villedet m̊aske have været en ide at snakke om selve det at modellere, inden de giki gang med deres projekt. Jeg valgte ikke at gennemg̊a modelleringsteori medeleverne inden start. Det gjorde jeg fordi, jeg gerne ville have, at eleverne selvskulle finde ud af, hvordan man kunne bære sig ad. Jeg ville ikke give dem en”opskrift”p̊a hvordan man modellerer. Set i bakspejlet er jeg heller ikke sikker p̊a,at det ville være en god ide, da jeg mener det er meget nemmere at teoretisereover modelleringsporcessen, hvis man allerede har været igennem en af slagsen.

10


I stedet burde man nok have afholdt et mindre forløb om modellering tidligerei undervisningen, som kunne bruges til en efterfølgende diskussion med eleverneom processen.Der var meget sparsomt hvad man som lærer fik snakket med sine elever omkringselve modellen og dens begrænsninger, hvilket skyldes at lærertiden blev opbrugttil at hjælpe eleverne med regnearksproblemer. Det var ærgerligt, da man netopmed denne ”snak”kunne udfordre elevernes model (og dermed eleverne selv) Detviste sig ogs̊a, at nogle grupper, bevidst eller ubevidst, havde nok i blot at anvendeden simple model, og dermed ikke aktivt byggede videre p̊a modellen.For at stimulere modelleringen og f̊a eleverne til at overveje deres models række-vidde og realisme kunne man ”pinde”det endnu mere ud i oplægget og direkteskrive, at eleverne skulle lave en bestemt model med fastlagte parametre og her-efter sammenligne den med virkelige data (og eventuelt angive data med et linkellers tabel)Denne ekstra ”tagen h̊and om eleverne”havde jeg bevidst holdt mig fra i forløbet.Jeg ville gerne give slip p̊a eleverne og lade dem selv udvikle deres projekt. Jegmener, at dette er vigtigt for lærigen, men m̊a samtidigt erkende, at det kan væresvært af f̊a elevernes faglige m̊al og studiekompetence-m̊al til at mødes p̊a dennem̊ade. Set i bakspejlet ville det nok have være bedre om eleverne havde haftet mini-modellerings-projekt som fundament for arbejdsprocessen et stykke tidinden projektets start og/eller man burde flytte dette forløb til 2. eller 3.g. Detsidste ville dog afskære 1.g elever med ”kun”C-niveau i matematik fra at prøveforløbet, da faget afsluttes efter 1. g. Jeg kan ikke finde p̊a et Columbusæg, somangiver løsningen p̊a dette. Jeg vil blot angive, at jeg tror et mere stramt styretforløb eventuelt kombineret med et foreg̊aende mini-model-forløb ville give etbedre resultat med denne type elever (1. g i en sprogligt orienteret studieretning).

8 Samarbejde med andre fag

Eftersom faget geografi er blevet til natur-geografi med den nye gymnasiereform,er befolkningsudvikling et emne, som hører til i samfundsfag (eller evt. histio-rie). Som sagt havde denne klasse samfundsfag som studieretningsfag, men tidengjorde det ikke muligt at koordinere et tværfagligt forløb. Dette er ellers gan-ske oplagt. Den p̊agældende klasse havde for eksempel i samfundsfag behandletemnet ”velfærdssamfundet”. Diskussion om ældre-byrde, faldende arbejdsstyrkemm. kan matematiseres i en befolkningsmodel og simpel fremskrivning kan ansku-eliggøre de nævnte problemstillinger. Netop ved at have et fag som samfundsfagmed, kan det betyde at eleverne bliver bedre rustet til at stille spørgsm̊alstegnved deres model. Dette skyldes, at man i samfundsfag vil komme ind p̊a nogle defaktorer, som bestemmer en befolknings udvikling. Heraf er nogle sikkert merekvalitative end kvantitative og derfor svære at modellere. Eleverne vil dermedopdage hvor kompliceret en model hurtigt kan blive, og det vil sætte deres model

11


i perspektiv i forhold til virkeligheden. Omvendt vil det ogs̊a være muligt, at ele-verne ser hvordan relativt simple modeller kan beskrive en befolkning med visseantagelser. Eleverne vil dermed anvende matematik p̊a et stykke virkelighed ogse matematikken anvendt som et kraftfuldt redskab, som kan bruges i en ikkeuvæsentlig beslutningsproces omkring eksempelvis velfærdssamfundet.

12


A Elevnote om befolkningssammensætning

Denne note introducerer det emne, som vi i de følgende par uger skal arbejdemed - Befolkningsvækst og befolkningssammensætning.

A.1 Lidt grundlæggende notation

Der er mange m̊ader man kan anskue en befolkning p̊a. I det følgende vil vi gøredet simpelt og blot betragte en befolkning som en samling individer med forskelligalder og køn.For at f̊a et bedre overblik over en befolknings sammensætning, kan man opdelebefolkningen i undergrupper. En befolkning kan eksempelvis opdeles i undergrup-per s̊aledes, at alle individer i alderen 0-10 år sættes i en gruppe, alle i alderen11-20 år i en anden gruppe osv. indtil alle individer er sat i en gruppe. Mankan lave en yderligere opdeling efter køn. P̊a denne m̊ade kommer alle kvinder isamme aldersinterval i samme gruppe osv.For at skrive det mere præcist

Definition 1 En befolkningsgruppe best̊aende af individer i alderen fra n til m

år skrives som Bn,m, hvor n ≤ m og n, m ∈ N.

Antallet af individer i gruppen Bn,m betegnes #Bn,m.

P̊a denne m̊ade vil en klasse af gymnasieelever i alderen 16-20 år skrives somB16,20 og #B16,20 = 28 vil betyde, at der er 28 elever i klassen.Hvis man vil lave en opdeling efter køn, er det naturligt at anvende samme no-tation og blot betegne en gruppe af samme køn med M eller K for henholdsvismænd og kvinder. Gymnasieklassen fra før p̊a 28 elever kan opdeles i to grupper- nemlig M16,20 og K16,20 hvor der gælder at #M16,20 = 6 og #K16,20 = 22.

Da hvert enkelt individ enten er en mand eller en kvindec, m̊a der gælde følgendesammenhæng for en befolkningsgruppe

#Bn,m = #Mn,m + #Kn,m (1)

Der m̊a desuden gælde at

#Bn,m = #Bn,s + #Bs+1,m hvor n < s < m (2)

Det vil eksempelvis sige at antallet af individer i en befolkningsgruppe best̊aendeaf individer i alderen 10 til 35 år blot er summen af antallet af individer fra 10til 26 år og antallet af individer fra 27 til 35 år. Dette skrives alts̊a

#B10,35 = #B10,26 + #B27,35

cI denne sammenhæng skelnes der ikke mellem mand og dreng eller kvinde og pige.

13


A.2 Et eksempel

Lad os se p̊a et tænkt eksempel. Vi skriver en befolkning op p̊a følgende m̊ade

Alder (̊ar) 0-10 11-20 21-30 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100Ialt 1501 1459 1245 1221 1178 889 644 349 129 35Mænd 781 758 648 612 577 435 289 139 39 12Kvinder 720 701 597 609 601 455 355 210 90 23

Tabel 1: Et eksempel p̊a en befolkning

Man kan alts̊a se at #B21,31 = 1245 og at #K31,60 = 609 + 601 + 455 = 1665

A.3 Befolkningspyramider

En anden m̊ade at repræsentere data fra tabel (1) p̊a er ved at anbringe datai en s̊akaldt befolkningspyramide. En s̊adan pyramide er opbygget ved at manplacerer de enkelte aldersgrupper oven p̊a hinanden, s̊aledes at gruppen med deyngste individer ligger nederst og oven p̊a dem ligger gruppen med de næstyngsteog s̊a videre indtil man slutter at med gruppen af de ældste individer. Pyramidener som regel todelt i en venstre side og i en højre side, s̊a at man har individer afsamme køn i samme side.En s̊adan pyramide ses i figur(1)

A.4 Dødelighed og fødselsrate

En befolkning er ikke en statisk størrelse, men udvikler sig hele tiden. Noglebefolkninger vokser kraftigt med tiden og andre ændrer deres sammensætningog/eller mindskes.I det følgende ser vi p̊a en meget ididealiseretilfælde. Vi antager at b̊ade befolk-ningssammensætningen og antallet af individer er konstant og ikke ændrer sigmed tidend.

A.4.1 Dødelighed

Efterh̊anden som tiden g̊ar vil individerne i en befolkning dø ud. Dette ganskenaturlige fænomen kan beskrives med en sandsynlighed for at et individ dør i etaldersinterval i stedet for at blive ældre og rykke op til et andet aldersinterval.Hvis man kigger p̊a data fra tabel (1) ser man at #B51,60 = 889 og #B61,70 = 644.Man kan se, at der er 889 − 664 = 225 færre individer i aldersgruppen med de

dDenne antagelse vil ikke gælde for virkelige befolkninger, men egner sig godt til at intro-ducere nogle nye begreber som fødselsrate og dødelighed.

14


Figur 1: Befolkningspyramide fra Ethiopien årgang 1995.

61-70 årige. Man kan ud fra disse tale beregne dødeligheden for de 51-60 årige.Denne betegnes DB51,60 og findes idet

DB51,60 =#B51,60 − #B61,70

#B51,60(3)

=889 − 664

889= 0, 253 · · · ≈ 25, 3% (4)

Generelt defineres dødelighed p̊a følgende m̊ade

Definition 2 Dødelighed for en befolkningsgruppen Bn,m betegnes DBn,m og an-

giver brøkdelen af individer i Bn,m som dør imens de befinder sig i denne alders-

gruppe.

Der gælder at 0 ≤ DBn,m ≤ 1

Antallet af individer, som dør i en given aldersgruppe kan beregnes som dødelighedenfor den p̊agældende gruppe multipliceret med antallet af individer i gruppen.

Antal individer, som dør = DBn,m · #Bn,m (5)

Da antallet af individer, som dør m̊a være lig antallet af de individer, som ikkerykker op i næste aldersgruppe m̊a der gælde at

#Bn,m − #Bñ,m̃ = DBn,m · #Bn,m (6)

15


Idet ñ og m̃ angiver det umiddelbart efterfølgende aldersinterval.UdUd fraormel (6) f̊ar man netop dødeligheden idet at

#Bn,m − #Bñ,m̃#Bn,m

= DBn,m (7)

Man kan p̊a helt tilsvarende vis definere dødelighed for grupper af mænd oggrupper af kvinder. Disse dødeligheder betegnes henholdsvis DMn,m og DKn,m.

A.4.2 Fødselsrate

Nu er naturen s̊a snedigt indrettet, at en befolkning ikke uddør efterh̊anden somtiden g̊ar. Dette skyldes at der fødes nye individer. For at beskrive denne tilvæksti befolkningen benyttes en s̊akaldt fødselsrate

Definition 3 Lad Fn,m betegne fødselsraten for en aldersgruppen Bn,m.

Der gælder at 0 ≤ Fn,m og at antallet af nyfødte individer produceret af gruppenBn,m er givet ved følgende udtryk

Antal nyfødte inindivider = Fn,m · #Bn,m

Det kan være besværligt at bestemme fødselsraten, da man ikke umiddelbart kanse p̊a et datamateriale hvem (hvilke aldersgrupper) der føder børn. Derfor gøresder ofte den antagelse at alle børn fødes af en bestemt aldersgruppe. I eksempletfra tabel (1) kan man passende antage at alle børn fødes af gruppen B21−30.Man kan under denne antagelse bestemme fødselsraten for B21−30 idet

#B0−10 = F21,30 · #B21,30 ⇔ (8)

#B0−10#B21,30

= F21,30 ⇔ (9)

F21,30 =1501

1245= 1, 2056 · · · ≈ 1, 21 (10)

16


B Elevarbejdsark 1

Arbejdsark

I det føfølgendekal I arbejde to og to i grupperne, som der fremg̊ar p̊a Fronter (semappen befolkning).

1. Log ind i Fronter og download regnearket befolkningsudvikling.xls framappen befolkninge og gem det p̊a din computer.

2. Åbn regnearket (Du kan anvende programmet Microsoft Excel eller O-penOffice.orgf , som er installeret p̊a skolens computere

3. Kig p̊a regnearket og uundersøghvordan formlerne i de enkelte celler ser ud.

4. Åbn et nyt tekstdokument

5. Lav en opskrift, som forklarer hvordan man skal lave et s̊adant regnearkud fra formlerne om befolkningsudvikling. I opskriften skal man forklarehvorfor formlerne ser ud som de gør (begrunde formlerne med den teori duhar fra noten om befolkningssammensætning.

6. Opskriften skal gemmes som et tekstdokument. Upload den til Fronter i diteget arkiv.

/Svend

eEller regnearket befolkningsudvikling.ods, hvis man hellere vil bruge åbne dokument-formater (kræver et regnearksprogram, som understøtter dette).

fOpenOfice.org er en gratis kontorpakke, som kan downloades frahttp://da.openoffice.org

17


C Elevrarbejdsark 2

Arbejdsopgave

I skal lave en rrapportover nedenst̊aende punkter. Rapporten skal indeholde be-skrivelser og de overvejelser, som ligger til grund for jeres beregninger. Ved rap-porten vedlægges et regneark som beskriver jeres model (som uploades i Fronteri den tilhørende afleveringsmappe.

• Brug det udleverede regneark som en skabelon. Undersøg hvad parametresom fødselsrate og dødelighed/overlevelsesrate betyder for en befolkningssamlede størrelse. Giv eksempler p̊a hvad fødselsrate og dødelighed skalvære hvis en befolkning skal henholdsvis fordobles eller tredobles p̊a 10tidsskridt.

Modellen i den udleverede skabelon er simpel og tager ikke højde for ændringeri fødselsrate og/eller dødelig n̊ar alderen for et individ ændres.

• Overvej hvordan I kan lave en mere realistisk model og beskriv hvor bereg-ningerne i regnearket skal ændres

• Lav ændringer i regnearket, s̊a I f̊ar en mere realistisk model.

EEnormtmange ting har betydning for hvordan en befolkning udvikler sig, og enstor del af disse er stort set umulige at indbygge i en matematisk model for enbefolkningsudvikling.

• Giv eksempler p̊a ting, som betyder noget for en befolknings-sammensætningog -udvikling. Overvej om I kan beskrive disse eksempler i en model.

• Arbejd videre med modellen og prøv at indføre nogle af jeres ideer i den.Husk at beskriv hvad I gør og hvordan I laver beregningerne i jeres regneark.

• Undersøg hhvilkeoplysninger I kan f̊a ud af jeres befolkningsmodeller. Harjeres model noglebegrænsningerr (begrund jeres svar)?

/Svend

18


D Eksempler p̊a befolkningspyramider

Figur 2: Papir udleveret i forbindelse med ”Gæt et land”konkurrencen.

19


E Regnearksskabelon

Figur 3: Regnearksskabelon udleveret til gruppearbejdet.

20

Documents

Undervisningsforløb om befolkningssammensætningdirac.ruc.dk/mat/efteruddannelse/rapporter/2006/Befolkn...3. Introduktion til model i regneark Eleverne skulle i dette modul arbejde