Trodimenziona metoda kona~nih elemenata u termi~koj ...termotehnika.vinca.rs/.../trodimenziona-metoda-konacnih-elemenata-u... · Dubravka Mijuca1, Du{an Gaji}2, Marko Vukobrat2 1

Dubravka Mijuca1, Du{an Gaji}2, Marko Vukobrat2

1 Matemati~ki fakultet, Univerzitet u Beogradu, Beograd2 Institut „Kirilo Savi}”, Beograd

Trodimenziona metoda kona~nih elemenatau termi~koj analizi gra|evinskih objekata

Stru~ni radUDC: 692.21/.23:536.24/.25BIBLID: 0350-218X, 29 (2003), 1-4, 119‡134

Savremeni zahtevi projektovawa gra|evinskih objekata, kao {to suminimizacija mase uz pove}awe otpornosti, predvi|awe kvaliteta ipona{awa konstrukcije na duè vreme ili pod neuobi~ajenim okolnos-tima, kao {to su seizmi~ko optere}ewe, vatra ili eksplozija, zatimpove}awe energetske efikasnosti uz minimizaciju kori{}enih mate-rijala i energenata, uti~u da se i u ovoj oblasti sve ~e{}e, pa i za maweobjekte, koriste neke od numeri~kih metoda ra~unske mehanike. Svet-ska praksa je pokazala da, ako se metode ra~unske mehanike koristepravilno, projektovawe postaje brè, efikasnije i jeftinije, a kvali- tet projektovanog, rekonstruisanog ili revitalizovanog objekta sepove}ava.Razmatra se primena dve standardne numeri~ke metode iz oblastira~unske mehanike u izu~avawu toplotnih gubitaka nehomogenih omo-ta~a zgrade, sa ciqem da se kvantitativno oceni u{teda energije koja se dobija optimizacijom mase, cene i kvaliteta kori{}enih materi-jala omota~a zgrade. Dobijeni rezultati pokazuju da se kori{}ewempredloènih programskih paketa, dobijaju pouzdani rezultati, uzmogu}nost optimizacuje odnosa: cena omota~a / minimizacija top-lotnih gubitaka, a u ciqu pove}awa energetske efikasnosti gra|e-vinskih objekata.

Kqu~ne re~i: omota~ zgrade, revitalizacija, nehomogeni zid, prenostoplote, ra~unska mehanika, matemati~ki model, nu-meri~ka simulacija, metoda kona~nih elemenata, to-plotni gubici, energetska efikasnost gra|evinskihobjekata

Uvod

Ciq ovog rada je da se detaqno izloì formulacija kona~nih elemenata u

trodimenzionom zadatku prostirawa toplote, kao i da se na jednostavnim primerima

119

pokaè da se kori{}ewem te matemati~ke metode brzo i jeftino dolazi do procene

odnosa energetska efikasnost / cena omota~a zgrade.

Polazi se od toga da se savremena arhitektura i gra|evinarstvo bazira na

odgovornom stavu prema ìvotnoj okolini. To istovremeno podrazumeva visoku

energetsku efikasnost gra|evinskih objekata [1] gde se podsti~e primena razli-

~itih metoda ra~unske mehanike pri optimalnom izboru materijala za gradwu, uz

istovremeno kori{}ewe prirodnih izvora energije, recikliranih materijala, kao i

obezbe|ivawe zdrave unutra{we okoline kroz maksimalno kori{}ewe prirodnog

osvetqewa i ventilacije, uz izbegavawe upotrebe toksi~nih proizvoda.

Projektovawe energetski efikasnog gra|evinskog objekta podrazumeva i

wegovo optimalno pozicionirawe shodno lokalnoj meteorolo{koj slici, a zatim i

projektovawe toplotnog i/ili rashladnog optere}ewa pojedinih prostorija u objek-

tu, kako bi se na osnovu tih rezultata projektovao i izveo sistem klimatizacije,

grejawa i hla|ewa (KGH) [4, 5] koji }e odràvati neophodne projektne uslove

ugodnosti. U tom ciqu definisani su standardi i metode za prora~un, me|u kojima se

naj~e{}e primewuju DIN 4701, DIN 1946, VDI 2078 i ASHRAE standardi.

Pored toga, danas se sve vi{e koriste nove simulacione metode, odnosno

metode ra~unske mehanike [2], koje istovremeno obra|uju niz uticajnih faktora pro-

menqivih u vremenu, kao {to su intenzitet sun~evog zra~ewa, zra~ewe nebeskog

svoda, tla i okolnih povr{ina, temperatura spoqweg vazduha, brzina vetra, broj

qudi i vreme wihovog boravka u prostoriji, snaga i reìm rada osvetqewa i drugih

unutra{wih toplotnih izvora. U tom ciqu razvijaju se matemati~ki modeli koji

uzmaju u obzir veliki broj uticajnih parametara. Takvi modeli se prvenstveno

baziraju na trodimenzionalnim jedna~inama nestacionarnog prenosa toplote kroz

gra|evinske elemente i na nizu izraza koji defini{u grani~ne uslove na povr{i-

nama tih elemenata, gde se analiziraju mehanizmi prenosa toplote, kao {to su

kondukcija, konvekcija, zra~ewe sunca i okoline, kao i zra~ewe elemenata unutar

prostorije.

S tim u vezi, pri projektovawu gra|evinskih objekata analiza toplotnih

gubitaka treba da se izvede uzimaju}i u obzir ulogu toplotne provodqivosti, radi-

jacije, konvekcije i vla`nosti. Vizualna inspekcija i zakqu~ci eksperata su nedo-

voqni. Potrebno je da se dobiju kvantitativne osobine stawa konstrukcije zgrade, a

osnovni parametri koji se razmatraju su:

‡ toplotna provodqivost elemenata konstrukcije ‡ koeficijent l,

‡ koeficijent razmene vazduha n(l/h) za zgradu ili wen odre|en deo, i

‡ vla`nost konstrukcije zgrade.

U ovom radu su analizirani toplotni gubici omota~a zgrade [6], usled

prenosa toplote kondukcijom, konvekcijom i radijacijom. Prenos toplote konduk-

cijom podrazumeva prenos toplote kroz sam materijal, preno{ewem energije sa

molekula koji se brè kre}u na molekule koji se kre}u sporije. Brzi molekuli

predaju deo svoje energije i usporavaju, a wihova energija se koristi za ubrzawe (i

zagrevawe) sporih molekula. Napomenimo, da se provo|ewe toplote kondukcijom, a

koju karakteri{e koeficijent toplotne provodqivosti l, zamewuje u standardnim

prora~unskim izrazima izvedenom veli~inom koja se zove toplotna otpornost R, i

jednaka je R = d/l, a gde je d debqina posmatranog segmenta. Prenos toplote konvek-

cijom podrazumeva prenos toplote sa fluida na ~vrsto telo ili obrnuto, a preko

granice tela koja je u dodiru sa fluidom. Ina~e, u inèwerskoj praksi, konvektivni

120

prenos toplote se karakteri{e koeficijentom prelaza toplote a i defini{e se

odgovaraju}im izrazima, na bazi eksperimentalnih rezultata, posebno za verti-

kalne i horizontalne, unutra{we i spoqne povr{ine elemenata prostorije. Tre}i

tip prenosa toplote je prenos toplote radijacijom, u kom slu~aju se toplota kre}e

kroz prostor prema telu kao elektromagnetni talas, dospeva do dostupne povr{ine

tela gde se vr{i prenos toplote.

Zbog neefikasnosti i nemogu}nosti standardnih prora~unskih metoda da

odrede poqe tem per a ture i poqe toplotnog fluksa u svim kontrolnim ta~kama

nehomogenog omota~a zgrade istovremeno, nove numeri~ke metode se baziraju na

trodimenzionim fizi~kim zakonima prostirawa toplote, po temperaturi i toplot-

nom fluksu, a u kojima se ne koriste izvedene veli~ine kao {to su npr. koeficijent

prolaza toplote U i toplotna otpornost R, ve} se one izra~unavaju naknadno.

Numeri~ke metode koje se ve} vi{e decenija koriste u ovoj oblasti su metoda

kona~nih razlika, i od skora i metoda kona~nih elemenata. Prednost metode kona~-

nih elemenata u odnosu na metodu kona~nih razlika je {to ona nije osetqiva na

komplikovanost oblika geometrije posmatranog modela, npr. ulazni uglovi, koji u

matemati~kom smislu predstavqaju singularne ta~ke po toplotnom fluksu.

Ciq ovog rada je da pokaè pouzdanost i efikasnost trodimenzionalne

metode kona~nih elemenata u analizi stacionarnog prostirawa toplote kroz omo-

ta~ zgrade, kojom prilikom se izra~unavaju poqa tem per a ture i toplotnog fluksa,

pri ~emu se za izra~unavawe izvedenih veli~ina, kao {to je koeficijent prolaza

toplote U, koristi jednostavan obrazac. Pored toga, bi}e prikazani rezultati

verifikacije razmatranih numeri~kih pristupa na stacionarnom modelu nehomo-

genog omota~a zgrade napravqenog od vi{e razli~itih materijala, a koji sadrì

toplotne mostove.

Matemati~ki model

Fizi~ki zakon koji dominira u procesu prostirawa toplote kroz uo~eno

mehani~ko telo je zakon odràwa energije [6, 7]. Zakon odràwa energija mora biti

zadovoqen u svakoj materijalnoj ta~ki uo~enog tela i u tzv. strogoj formi predstav-

qen je slede}om diferencijalnom jedna~inom:

div q+ f = cpr¶

¶

T

t(1)

Pored toga, konstitutivna relacija koja daje vezu izme|u vektora toplotnog

fluksa q po jedinici povr{ine u izabranom pravcu i gradijenta tem per a ture ÑT za

taj pravac, zove se Furijeov zakon (za oblast tela W) dat je u obliku:

q = - Ñl T u W (2)

D. Mijuca, D. Gaji}, M. Vukobrat: Trodimenziona metoda kona~nih elemenata u ...TERMOTEHNIKA broj 1-4 ‡ godina XXIX, 119–134 (2003)

121

Veli~ina l je simetri~an tenzor drugog reda, predstavqa karakteristiku

materijala i zove se koeficijent toplotne provodqivosti, koji se samo u slu~aju

homogenog izotropnog tela svodi na skalarnu veli~inu [6]. Pored toga, f je toplotna

energija proizvedena u jedini~noj zapremini, r je gustina materijala, koeficijent

cp je tako|e karakteristika materijala i predstavqa specifi~nu toplotu materija-

la na konstantnom pritisku, dok je t vreme. Parametri jedna~ine (1) i (2), f, r, cp i l

su u op{tem slu~aju funkcije i poloàja i tem per a ture. Ina~e, temperatura T je

ovde fundamentalna promenqiva, tzv. primalna veli~ina, dok je toplotni fluks q

wena dualna veli~ina, {to je od izuzetne va`nosti daqe pri odabiru prostora funk-

cija za numeri~ku diskretizaciju [8].

Grani~ni uslovi u zadatku prostirawa toplote su dati kako za temperaturu

po elemenu granice tela ¶WT, tako i za toplotni fluks po elementima granice tela

¶Wq, ¶Wc i ¶Wr, i to u obliku:

T T= na ¶WT (3)

q n× = =q hh qna ¶W (4)

q n× = = -q h T Tc c a c( ) na ¶W (5)

q n× = = -q h A T Tr rs ¶( )404 na Wr (6)

Grani~ni uslovi u materijalnim ta~kama granice tela usled poznate/zadate

tem per a ture dati su relacijom (3). Grani~ni uslovi po toplotnom fluksu, a po

elementima povr{ine granice tela dati su relacijama (4), (5) i (6), i to: zadat/poznat

toplotni fluks, toplotni fluks usled prelaza toplote konvekcijom i toplotni

fluks usled prelaza toplote zra~ewem, respektivno, gde je n jedini~na normala

posmatrane povr{ine, hc je koeficijent konvekcije, hr je bezdimenzionalni koefi-

cijent radijacije, s = 5,67×10-8 je Stefan-Bolcmanova (Stefan- Boltzmann) konstanta, T

je nepoznata temperatura tela na posmatranoj povr{ini, dok je Ta ambijentalna

temperatura okoline posmatranog elementa povr{ine. Ako se posmatrano telo

sastoji od vi{e razli~itih homogenih izotropnih materijala, kao {to je slu~aj u

ovom radu, tenzor [6] drugog reda l se svodi na skalar l, koji je razli~it za svaki

materijal. Sistem jedna~ina (1‡6), predstavqa zatvoren sistem jedna~ina trodimen-

zionalnog prostirawa toplote.

U ovom radu usvaja se pretpostavka [9] da su sve karakteristike materijala , a

to su navedeni koeficijenti l, r i cp, nezavisne od tem per a ture, jer se zanemarqivo

malo mewaju u temperaturskim opsezima koji se pojavquju u gra|evinskim konstruk-

cijama u normalnom radnom reìmu (u odsustvu visokih temperatura ‡ poàr, ili

jakih i brzih udara u konstrukciju ‡ eksplozija).

Slaba forma polaznih jedna~ina

Re{ewe bilo koje diferencijalne jedna~ine je jedinstveno ukoliko su weni

koeficijenti i desna strana jedna~ine beskona~no diferencijabilne funkcije i

122

ako to re{ewe zadovoqava diferencijalnu jedna~inu u svakoj ta~ki domena, kao i

zadate grani~ne uslove. Me|utim, u mnogim realnim situacijama jedan od ovih uslova

nije zadovoqen (tj., ili ne postoji re{ewe jer jedan od podataka nije neprekid-

no-diferencijabilan, ili iako glatko re{ewe postoji ne moè da se odredi wegova

ta~na forma zbog kompleksnosti domena, koeficijenata ili grani~nih uslova).

Dakle, na{ zahtev da re{ewe problema zadovoqava diferencijalnu jedna~inu u

svakoj ta~ki domena je prejak. Da bismo prevazi{li ovu pote{ko}u prob lem moè da

se preformuli{e tako da zahtevi za re{ewe budu slabiji, jer kada god postoji

re{ewe polaznog problema ono je re{ewe i slabe formulacije tog polaznog prob-

lema. Pretpostavimo da su grani~ni uslovi (3) esencijalni i da su zadovoqeni za

svaku probnu funkciju problema, gde je probna funkcija ona funkcija kojom se

aproksimira nepoznata veli~ina u polaznoj diferencijalnoj jedna~ini (u ovom

zadatku to je nepoznata veli~ina tem per a ture svake materijalne ta~ke polaznog

domena). U tom slu~aju, kori{}ewem Galerkinove pro ce dure, za koju vaì da je

teìnska (test) funkcija kojom mnoìmo polaznu jedna~inu (1) iz istog (fizi~kog)

poqa funkcija, kao i probna funkcija, traìmo slabo re{ewe izraza (1) u obliku:

(div + dqWò =f )q W 0 (7)

gde se probne funkcije tem per a ture T, kao i test funkcije q uzimaju iz Hilbertovog

prostora H1, koji je prostor realnih kvadratno integrabilnih funkcija koje imaju

kvadratno integrabilne prve izvode, {to zna~i da su iz prostora neprekidnih

(kontinualnih) funkcija ~iji su i prvi izvodi neprekidni. U jedn. (7) W predstavqa

oblast (domen) posmatranog tela.

Ako se posluìmo identitetom po kome:

div div( )q q qq q q= × + ×Ñ (8)

a iz koga sledi:

div divq q q× = - ×Ñq q q( ) (8)

kao i kori{}ewem teoreme o divergenciji [6], kojom se u ovom slu~aju zapreminski

in te gral prevodi u povr{inski:

div d d( ) ( )q q nq q ¶¶

W WW

= ×ò òW

(9)

dolazimo do slede}eg izvo|ewa:


123

( )div dq q q+ =ò fW

W 0

( ) )div( dq qq q q- ×Ñ + =ò fW

W 0

( )div( d d dq q fq q qW W W- ×Ñ + =òò òWW W

0

( )q n q× - ×Ñ + =òòò q ¶ q q¶ W

d d dW W WfWW

0

q q n×Ñ = - ×ò ò òq q q ¶¶

d d dW W WW W W

f ( )

Po{to test funkcija q ima osobinu da je identi~no jednaka nuli na granici

(nestaje na granici), posledwi izraz se svodi na:

q ×Ñ =ò òq qd dW WW W

f (11)

Kori{}ewem Furijeovog zakona (2), dolazimo do linearizovane jedna~ine

zakona balansa energije u slaboj formi u obliku:

l q qÑ ×Ñ =ò òT d dW WW W

f (12)

Primalna metoda kona~nih elemenata

Ako sada diskretizujemo polazni domen W, mreòm elemenata We [3] uz uslov

da je zadovoqen uslov kompatibilnosti test i probnih funkcija tem per a ture, po

kome one moraju biti kontinualne preko granica i unutar kona~nih elemenata,

dobijamo mreù kona~nih elemenata, koja se sastoji od domena (oblasti) svih ele-

menata, globalnih ~vorova mreè i lokalnih ~vorova L svakog od elemenata (vidi

sl. 1. na kojoj je prikazan reprezentativni deo zida, pre i posle diskretizacije

metodom kona~nih elemenata).

124

Slika 1. Diskretizacija polazne oblasti (polaznog domena) metodom kona~nih elemenata

(10)

Ako probne i test funkcije tem per a ture uzmemo iz uèg, kona~no-dimen-

zionog prostora funkcija polinoma PL(x), za koje vaì da su jednaki jedinici u svom

~voru, a jednaki nuli u svim ostalim ~vorovima elementa (usled toga }e rezultuju}a

matrica sistema biti retka), tako da vaì:

T T P L NLN

P L NLN

LL

e

LL

e

( ) ( ) ( ), ,

( ) ( ) ( ), ,

x x x

x x x

= =

= = ¢

å 1

1q qå(13)

{to nam daju vezu izme|u poqa tem per a ture u svakoj ta~ki modela, i nepoznate

vrednosti tem per a ture u ~voru L kona~nog elementa, gde je NLN broj lokalnih

~vorova po kona~nom elementu (na sl. 1, NLN = 8), dolazimo do sistema linearnih

algebarskih jedna~ina po nepoznatim vrednostima tem per a ture po globalnim ~voro-

vima, a koji zapisan u matri~noj formi ima slede}i oblik:

[K]{T} {F}= (14)

gde su ulazi u matricu sistema [K] i vektor sistema {F} dati sa:

K FLM M= =ò òå åP P P f dL

e

eM e M e

ee e

,

( )

, ,a al ¶W W

W W (15)

dok je {T} vektor nepoznatih temperatura. Jedna~ina (14) bi}e onoliko koliko ima

globalnih ~vorova u kona~no-elementnoj mreì, gde je l( )e

vrednost koeficijenta

toplotne provodqivosti po posmatranom kona~nom elementu (e).

Iz razloga {to je matrica sistema [K] kvadratna, pozitivno-definitna,

simetri~na i retka, za re{avawe sistema (14), uobi~ajeno se koriste razni postupci

direktnog re{avawa sistema linearnih jedna~ina, pri ~emu se velika pa`wa posve-

}uje minimizaciji {irine trake matrice sistema [K] (ne-nula ~lanova) oko glavne

dijagonale, a {to se postiè optimalnom renumeracijom globalnih ~vorova u kona~-

no-elementnoj mreì, a u ciqu smawewa duìne izvr{avawa prora~una na ra~unaru.

Stoga je korisniku programskog paketa „Straus7” [13] omogu}eno da kontrolo{e

ispravnost izbora na~ina numeracije globalnih ~vorova.

Izloènim postupkom izra~unava se samo poqe tem per a ture po globalnim

~vorovima kona~no-elementne mreè, dok toplotni fluks mora da se izra~una

naknadno i to po svakom od kona~nih elemenata posebno. Takav postupak izra~u-

navawa dovodi do nerealne diskontinualnosti izra~unatog toplotnog fluksa (i

tamo gde nema skoka usled promene materijala). Ina~e, navedeni nedostatak se

ispravqa kori{}ewem raznih metoda usredwavawa uz gubitak ta~nosti.

I pored postoje}ih stranih komercijalnih i akademskih programskih pake-

ta iz ove oblasti, doma}i razvoj metode kona~nih elemenata u oblasti prora~una

prostirawa toplote nije zapostavqen. U okviru projekta IO1865 Ministarstva za


125

nauku i za{titu ̀ ivotne sredine Republike Srbije, razvijen je originalni i pouzdan

trodimenzionalni metod kona~nih elemenata [10‡12], kod koga su i temperatura i

toplotni fluks fundamentalne promenqive, pa se nedostatak nerealne diskonti-

nualnosti ne pojavquje. Pored toga, navedeni doma}i softver, potpuno je integrisan

sa programskim paketom „Straus7” [13], pa se pre i post-procesirawe obavqa i daqe u

wegovom okruèwu, koje je danas jedno od najboqe korisni~ki orijentisanih u svetu.

Numeri~ki primer

U ovom primeru prikazuje se primena i ta~nost dve metode ra~unske mehani-

ke za numeri~ku simulaciju protoka toplote kroz nehomogeni zid, i to metode

kona~nih razlika i metode kona~nih elemenata. Kori{}ena su tri programska

paketa, jedan napisan po metodi kona~nih razlika „Heat3” [14, 15], i dva po metodi

kona~nih elemenata, i to programski paket „Straus7” [13] i doma}i akademski

programski paket „FEMIX HCq/T” [10]. Razmatra se zavisnost koeficijenta prolaza

toplote U u odnosu na izbor materijala i cene omota~a zgrade.

Posmatra se nehomogeni zid od standardnih materijala [16], kao {to su glina

(cigla), izolacija (polistirol), malter, sa ili bez mineralne vune. Ciq ovog zadat-

ka je da se pokaè da numeri~ka simulacija omogu}ava brzu, jeftinu i ta~nu optimi-

zaciju omota~a zgrade sa stanovi{ta cena / energetska efikasnost.

Na sl. 2. je prikazan {upqi lako ekspandirani blok od gline ispuwen

polistirolom, koji smawuje protok toplote kroz blok.

Na sl. 3. je prikazan zid sastavqen od ovakvih blokova, ~iji je reprezent

(prikazan desno na istoj slici) razmatran u ovom primeru. Blokovi su postavqeni

tesno jedan uz drugi, povezani relativno debelim horizontalnim slojem maltera, dok

vertikalnih slojeva maltera nema ili ih zanemarujemo. Toplota se prenosi glavnim

delom u u pravcu.

Malter izme|u blokova predstavqa toplotni most sa odgovaraju}im toplot-

nim protokom koji moè da se umawi postavqawem trake mineralne vune u sloj

maltera (sl. 4). O~ekujemo da }e se vrednost koeficijenta prolaza toplote U

smawiti umetawem traka od mineralne vune u sloj maltera, a time naravno smawiti i

toplotni gubici ovog test modela. Prora~un je izvr{en za osen~eni deo prikazan na

sl. 3.

Postoje ravni simetrije na x = 0 i x = 245 mm, kao i na z = 0 i z = 200 mm,

prikazane na sl. 4. i 5. Grani~ni uslovi u ovim ravnima su adijabatski. Grani~ne tem -

per a ture (zadato temperaturno poqe) su postavqene na vrednosti Ty = 300 = 0 K i Ty = 0 =

= 1 K (sl. 4).

Evropski stan dard CEN, iz 1996. godine [16], u kome je re{ewe dobijeno

pojednostavqenim izrazima, daje za uslove u ovom zadatku za vrednost koeficijenta

toplotne provodqivosti UCEN = 0,355 za model bez mineralne vune, kao i vrednost

UCEN = 0,296 za model sa mineralnom vunom.

Sloèni proces prenosa toplote konvekcijom sa spoqne i unutra{we stra-

ne nehomogenog zida izraèn je koeficijentom toplotne otpornosti Ry = 0 = 0,04 sa

spoqne strane i Ry = 300 = 0,13 sa unutra{we strane posmatranog zida (vidi sl. 4. i 5).

126


127

Slika 4. Karakteristi~an presek zida u ravni y–z

Slika 2. [upqi blok od gline ispuwen polistirolom

Slika 3. Posmatrani zid sastavqen od {upqih blokova ispuwenih polistirolom

U pomenutim programskim paketima izra~unavaju se temperatura i toplot-

ni fluks u odre|enom broju ta~aka modela usled prolaza toplote kondukcijom, a za

date vrednosti toplotnih otpornosti ulaze u prora~un koeficijenta prolaza top-

lote U, preko slede}eg obrasca:

UR R R

RU

UQ

A T Ty y y y

=+ +

= =-= = - =

1 1

0 300 0( ),

(l

gde je ill

ll

x z = 300 )(16)

gde je Ql vrednost toplotnog protoka na unutra{woj (ili spoqa{woj) strani zida

date povr{ine Ax–z = 0,049 (u ravni x‡z).

Za ovaj model u radu [14] referisane su vrednosti koeficijenata prolaza

toplote izra~unate programskim paketom „Heat3”, i to za model bez mineralne vune

prezentirana je vrednost koeficijenta prolaza toplote U = 0,366, koja u odnosu na

teorijsko re{ewe UCEN [16] ima relativnu procentualnu gre{ku od 3,1%. Za model

gde je u sloj horizontalnog maltera uba~ena traka mineralne vune, u istom radu (vidi

tabl. 1) se za nekoliko numeri~kih mreà rastu}e gustine, date su vrednosti koe-

ficijenta prolaza toplote U, kao i relativne procentualne gre{ke E koefici-

jenta prolaza toplote u odnosu na teorijsko re{ewe UCEN.

Tablica 1. U-vrednosti dobijene programskim paketom „Heat3”za model zida sa mineralnom vunom

Broj elemenata U [W/m2K] E [%]

175 0,2950 0,34

1080 0,2975 0,51

7200 0,2999 1,32

56 160 0,3007 1,59

421 875 0,3011 1,72

1 000 000 0,3012 1,76

Teorijsko re{ewe [16] 0,3550

128

Slika 5. Karakteristi~ni presek zida u ravni x–y

U tabl. 2, date su vrednosti koeficijenta prolaza toplote U za model bez

mineralne vune kao i vremena izvr{avawa prora~una, dobijene programskim pake-

tom „Straus7” [13], a za tri kona~no-elementne mreè rastu}e gustine.

Tablica 2. U-vrednosti dobijene programskim paketom „Straus7”za model zida bez mineralne vune

Broj elemenata U [W/m2K] E [%] Vreme prora~una [s]

300 0,3704 4,33 0,5

480 0,3699 4,19 1,0

3840 0,3686 3,82 5,0


U tabl. 3, date su vrednosti koeficijenta prolaza toplote U dobijene

programskim paketom „Straus7, za slu~aj kada je u sloj horizontalnog maltera uba~ena

traka mineralne vune, a za iste tri kona~no-elementne mreè rastu}e gustine.

Tablica 3. U-vrednosti dobijene programskim paketom „Straus7”za model zida sa mineralnom vunom

Broj elemenata U [W/m2K] E [%] Vreme prora~una [s]

300 0,3065 3,55 0,5

480 0,3056 3,24 1,0

3840 0,3035 2,53 5,0


Iz dobijenih rezultata zakqu~ujemo da se i kori{}ewem programskog pake-

ta „Heat3” i „Straus7”, dobijaju rezultati koji sa profiwavawem mreè konvergiraju

bez oscilovawa. Me|utim, rezultati dobijeni programskim paketom „Straus7” uni-

formno konvergiraju teorijskoj vrednosti, {to nije slu~aj sa rezultatima dobije-

nim programom „Heat3” koji konvergiraju nekoj drugoj vrednosti, a ne teorijskoj.

Tako|e, programski paket „Straus7” je specijalizovan i za druge tipove

gra|evinske analize (termo-elasti~nu, seizmi~ku ...), {to pove}ava wegovu intero-

perabilnost [17], a {to nije slu~aj sa programskim paketom „Heat3”.

Pored toga, jedna od dobrih osobina programskih paketa iz numeri~kih

simulacija je i grafi~ka vizualizacija dobijenih rezultata, koja nam omogu}ava brzu

identifikaciju oblasti modela u kojima se javqaju lokalni ekstremi poqa promen-

qivih koja analiziramo, a u ovom slu~aju to su temperatura i toplotni fluks.

Na sl. 6. date su raspodele tem per a ture i toplotnih flukseva u opisanom mo-

delu nehomogenog zida dobijene numeri~kom simulacijom pomo}u programa „Straus 7”.


129

Na sl. 7. i 8. prikazan je raspored izo-linija komponente vektora fluksa qy

za model sa 3840 elemenata, izra~unat u programskom paketu „Straus7” i doma}em pro -

gramskom paketu „FEMIX HC8/9” napisanom po me{ovitoj metodi kona~nih ele-

menata [12], gde se uo~ava dobro slagawe rezultata, a {to ide u prilog potvrdi

teorijskih rezultata iz standarda CEN [16].

Polistiren unutar bloka, kao i mineralna vuna, zna~ajno smawuju efekat

toplotnog mosta, {to je pokazano izra~unavawem u sva tri kori{}ena programska

paketa („Heat3”, „Straus7” i „FEMIX HC8/9”).

130

Slika 7. Rezultati za reprezent zida bez mineralne vune izra~unati u programima„Straus7” i „FEMIX HC8/9”

Slika 8. Rezultati za reprezent zida sa mineralnom vunom izra~unati u programima„Straus7” i „FEMIX HC8/9”

Slika 6. Poqe raspodele tem per a ture u problemu reprezenta nehomogenog zida

Vrednost koeficijenta prolaza toplote izra~unat u programu „Straus7”, a za

najfiniju mreù od kona~nih elemenata, smawuje se sa U = 0,3686 na U = 0,3035, {to je

relativno smawewe od 21,45%. U programskom paketu „Heat3”, za najfiniju refe-

risanu mreù od milion elemenata relativno smawewe iznosi 21,52%. Dok evropski

stan dard CEN [16], za isti primer navodi relativno smawewe koeficijenta prolaza

toplote U od 19,93%.Od interesa je izra~unati koliko se pove}ava cena posmatrane konstruk-

cije, ako se u ciqu smawewa toplotnih gubitaka u horizontalni sloj maltera ugradetrake od mineralne vune. Cena jednog bloka (sa polistirenom) iznosi 120 dinara,cena produ`nog maltera po celom bloku bez izolacije iznosi 15 dinara, dok cenaprodu`nog maltera po celom bloku sa mineralnom vunom iznosi 30 dinara, {to cenuzida standardne povr{ine 3,18 ´ 2,6 m2 pove}ava sa 11.407,00 na 12.675,00 dinaraodnosno za 11,12%.

Iz ove analize prora~una koeficijenta prolaza toplote kori{}ewem pro-

gramskog paketa „Straus7” proizilazi da se pove}awem cene zida za 11,12%, toplotni

gubici smawuju ~ak za 21,45%, sa napomenom da se ovde umawivao samo efekat

toplotnog mosta horizontalnog sloja maltera izme|u blokova.

U grejnoj sezoni toplotni gubici u ovom primeru izu~avanog zida navedene

standardne povr{ine se smawuju sa 288 kWh/god. na 237,13 kWh/god.Neka je DC razlika u ceni, gde je Cj jedini~na cena toplotne energije u

dinarima. a DQ razlika toplotnih gubitaka. Iz slede}eg obrasca [4] dobija se pe riodotplate t za zid sa mineralnom vunom u odnosu na onaj bez mineralne vune:

t = = =D

D

C

C Qj

1268 00

5 50 875

,

,godina (17)

Na osnovu prikazanih rezultata jasno se vidi pove}awe energetske efi-

kasnosti gra|evinskog objekta investicionim ulagawem u omota~ zgrade, ~iji je pe -

riod otplate za navedene uslove pet godina. Me|utim, treba imati u vidu da se ovde

intervenisalo samo u horizontalnim slojevima konstrukcije, a da bi se jo{ primet-

nija poboq{awa energetske efikasnosti dobila modifikacijom u vertikalnom

pravcu.

Zakqu~ak

U ovom radu je na jednom jednostavnom primeru nehomogenog omota~a zgrade,

prikazana upotreba metode kona~nih elemenata u analizi i poboq{awu energetske

efikasnosti gra|evinskih objekata. Pokazano je da se opisana metoda moè smatrati

jeftinom, efikasnijom i preciznijom u odnosu na standardne prora~unske metode.

Tako|e, pokazano je da ona pruà {iroke mogu}nosti u procesu projektovawa novih

gra|evinskih objekata i predvi|awu wihovog termi~kog pona{awa. Jednostavnim

primerom ulaznih karakteristika materijala, geometrije i grani~nih uslova, ana-

lizira se i optimizira wihov uticaj, uz trodimenzionalnu vizualizaciju izra~u-


131

natih temperatura i toplotnog fluksa ispitivane konstrukcije, bez obzira na

komplikovanost geometrije i tip termi~kog optere}ewa. Primenom predloènog

simulacionog modela pri projektovawu omota~a zgrade, kao i sistema KGH, omogu-

}ena je jeftina optimizacija oblika i kvaliteta omota~a zgrade u smislu cena /

energetska vrednost.

Oznake

A ‡ povr{ina, [m2]

C ‡ cena

Cj ‡ jedini~na cena

cp ‡ specifi~na toplota na konstantnom pritisku, [J/kgK]

d ‡ debqina posmatranog segmenta, [m]

E ‡ relativna gre{ka, [‡]

(e) ‡ kona~ni el e ment

f ‡ toplotni izvor, [W/m3]

h ‡ toplotni fluks na zidu, [W/m2]

hc ‡ koeficijent konvekcije, [W/m2K]

hr ‡ koeficijent radijacije, [–]

H1 ‡ Hilbertov prostor

L ‡ lokalni ~vorovi

NLN ‡ broj lokalnih ~vorova

n ‡ jedini~ni vektor, normala na posmatranu povr{inu

n ‡ koeficijent razmene vazduha, [l/h]

PL ‡ prostor funkcija polinoma

q ‡ vektor toplotnog fluksa, [W/m2]

Ql ‡ toplotni protok na zidu, [W]

qc, qr, qh ‡ konvektivni fluks, radijacioni fluks, ukupni fluks, [W/m2]

R ‡ toplotna otpornost, [m2K/W]

T ‡ temperatura, [K]

t ‡ vreme, [s]

U ‡ koeficijent prolaza toplote, [W/m2K]

Y, qy ‡ fluks na zidu u y-pravcu, [W/m2]

Gr~ki simboli

a ‡ koeficijent prelaza toplote, [W/m2]

l ‡ koeficijent toplotne provodqivosti, [W/mK]

s ‡ Stefan-Bolcmanova konstanta, [W/m2K4]

r ‡ gustina materijala , [kg/m3]

q ‡ test funkcija

W ‡ domen

Zahvalnica

Autori teksta se zahvaquju Ministarstvu za nauku i za{titu ìvotne

sredine Republike Srbije na podr{ci ovim istraìvawima, a kroz projekat EE197.

Tako|e, se zahvaquju prof. dr Branislavu Todorovi}u na nau~noj i stru~noj pomo}i.

132

Literatura

[1] Oka, S., Na tional En ergy Ef fi ciency Pro gram: Foun da tion, Strat egy, Pri or i ties For mu la tion,and Im ple men ta tion Ac tiv i ties, Termotehnika, 28 (2002), 1-4, pp. 13–23

[2] Hellen, T., How to Use El e ments Ef fec tively. NAFEMS Ltd. – The In ter na tional As so ci a tionfor En gi neer ing Anal y sis Com mu nity, http://www.nafems.org , 2002

[3] Oden, J. T., Fi nite El e ments of Non lin ear Con tinua, McGraw-Hill, New York, 1972[4] Todorovi}, B., Projektovawe postrojewa za centralno grejawe, Ma{inski fakultet

Univerzitet u Beogradu, 1966.[5] Todorovi}, M., @ivkovi}, B., Prednosti numeri~ke simulacije termi~kog pona{awa

zgrade pri projektovawu sistema za klimatizaciju, Zbornik radova, 32. kongres o grejawu,hla|ewu i klimatizaciji, Beograd, 2001.

[6] Jari}, J., Mehanika kontinuuma, Gra|evinska kwiga, Beograd, 1988.[7] John, H. Lienhard IV, John, H. Lienhard V., A Heat Trans fer Text book, Phlogiston Press,

Cam bridge, Ma., USA, 2003[8] Ar nold, D. N., Mixed Fi nite El e ment Meth ods for El lip tic Prob lems, Comput. Meth. Appl.

Mech. Eng. 82 (1990), pp. 281–300[9] Balocco, C., A Sim ple Model to Study a Ven ti lated Fa cade En ergy Per for mance, En ergy and

Build ings, 34 (2002), pp. 469–475[10] Mijuca, D., Fi nite El e ment Anal y sis Sys tem in-house Soft ware Pack age FEMIX-HC8/9, Fac -

ulty of Math e mat ics, Uni ver sity of Bel grade, http://www.matf.bg.ac.yu/@dmijuca, Bel grade,Ser bia and Montenegro

[11] Mijuca, D., On Hexa he dral Fi nite El e ment HC8/27 in Elas tic ity, Com pu ta tional Me chan ics,33 (2004), 6, pp. 466–480

[12] Mijuca, D., Žiberna, A., Me|o, B., A New Mixed Hexa he dral Fi nite El e ment in Heat Trans fer Anal y sis, 1st In ter na tional Con fer ence on Ad vanced Con cepts in Me chan i cal En gi neer ing,Pro ceed ings, Iasi, Ro ma nia, July 6-8, 2004, ac cepted for pub li ca tion

[13] G+D Com put ing, Straus7, Fi nite El e ment Anal y sis Sys tem Soft ware Pack age, Aus tra liahttp://www.strand.aust.com

[14] Blomberg, T., Heat Con duc tion in Two and Three Di men sions – Com puter Mod el ling ofBuild ing Phys ics Ap pli ca tions, Ph. D. the sis, Lund Uni ver sity, Swe den, 1996

[15] Blomberg, T., Com puter Pro grams for Tran sient and Steady-State Heat Con duc tion in ThreeDi men sions HEAT3, http://www.buildingphysics.com/heat3.htm, De part ment of build ingphys ics, Lund Uni ver sity, Swe den

[16] ***, CEN, 1996, Build ing Com po nents and Build ing El e ments – Ther mal Re sis tance andTher mal Trans mit tance – Cal cu la tion Method. Eu ro pean Com mit tee for Stan dard iza tion,Brussels, Bel gium, Ref. No. EN ISO 6946:1996

[17] Bazjanac, V., Build ing En ergy Per for mance Sim u la tion as Part of Interoperable Soft ware En -vi ron ments, Build ing and En vi ron ment, 39 (2004), 8, pp. 879–883


133

Ab stract

Threedimensional Fi nite El e mentMethod in the Heat Anal y sis of Build ings

by

Dubravka MIJUCA1, Du{an GAJI]2, andMarko VUKOBRAT2

1 Fac ulty of Matematics, Uni ver sity of Bel grade, Bel grade, Ser bia and Montenegro2 Kirilo Savi} In sti tute, Bel grade, Ser bia and Montenegro

In the pres ent pa per, the us age of the fi nite el e ment method in anal y sis and im -prove ment of en er getic ef fi ciency of build ings is dem on strated on the sim ple ex am ple ofinhomogeneous wall sug gested by the Eu ro pean Com mit tee for Stan dard iza tion. It wasshown that de scribed method may be con sid ered chip, ef fi cient and more pre cise thanstan dard “hand-out” cal cu la tions. In ad di tion, it was shown that it en ables a wide op por -tu ni ties in the pro cess of de sign ing of new build ings and eval u a tion of its ther mal be hav -ior. With the sim ple change of in put pa ram e ters as ma te rial char ac ter is tics, ge om e try and bound ary val ues, its in flu ence on the build ing’s over all be hav ior is an a lyzed and op ti -mized, re gard less of the type of com plex ness of ge om e try and type of ther mal load, withsi mul ta neous vi su al iza tion of the tem per a ture and heat flux field.

Key words: build ing's en ve lope, re vi tal iza tion, inhomogeneous wall, heat trans fer, com pu ta -tional me chan ics, math e mat i cal model, nu mer i cal sim u la tion, fi nite el e mentmethod, heat losses, en ergy ef fi ciency of build ings

Odgovorni autor / Coresponding au thor (D. Mijuca)E-mail: [email protected]

134

Documents

Trodimenziona metoda kona~nih elemenata u termi~koj ...termotehnika.vinca.rs/.../trodimenziona-metoda-konacnih-elemenata-u... · Dubravka Mijuca1, Du{an Gaji}2, Marko Vukobrat2 1