Metoda Konacnih Elemenata_v1

8/10/2019 Metoda Konacnih Elemenata_v1

1/13

SEMINARSKI RAD

METODA KONANIH ELEMENATA

UNIVERZITET U TUZLI

Mainski fakultet

Student:

Porobi Emir


2/13

Pojam MKE (FEM) i njen razvo j

Metoda konanih elemenata predstavlja numeriki postupak rjeavanja inenjerskihproblema i problema matematike fizike. FEM- finite element method

- Prvi radovi iz podruja MKE pojavili su se etrdesetih godina ( Hrenikoff 1941. oblastistrukturalne analize i naponske analize vrstog tijela)

- Nakon zastoja poela je primjena metoda konanih elemenata u avionskoj industriji- Posebnu ulogu odigrale su matrice kao vrlo pogodne za primjenu u metodi sila i

deformacija

- 1960 prvi put koriteno ime konani element (Argyris i saradnici)- Saznanja u podruju MKE sumirana na konferenciji US Air Force (NASTRAN - Nasa

Structural Analysis dalje SAP -Structural Analysis Program)

- Prvi univerzitetski udbenik u oblasti MKE napisao je Cook 1974. godine, prihvaen.- Matematiari su sedamdesetih godina generalizirali (proirena primjenu na

viedimenzionalno podruje, euklidske prostore i podruje nelinearne analize)- Dalje se MKE razvija sa razvojem raunara (omoguili rjeavanje velikih problema

sloene geometrije i optereenja)- Do devedesetih nema vizualizacije problema. Sa dananjim mogunostima raunara

mogue je dobiti potpunu sliku naponskog, deformacionog, termikog polja ili nekogdrugog problema

- MKE je odavno u masovnoj upotrebi za proraun razliitih problema- Nastavlja se razvoj alata i istrauju nove mogunosti primjene MKE.


3/13

Klasifikacija metoda za analizu struktura

- Metoda analize

o svojstva otpornosti, pouzdanosti, nosivosti, kinematsko i dinamiko ponaanje

o postavljaju se uproeni mehaniki modeli

o usavravaju strukturu po sistemu "korak po korako nizom iteracija dolazi se do rjeenja

- Metoda sinteze

o pogodnije za funkcionalne i geometrijske probleme

o zahtjevaju najsavremeniji pristup, koritenje ekspertnih znanja i efikasnih raunarskih sredstava

o rijeila je zahtjeve sistematskog predstavljanja kontinuuma, uvoenja polja spoljanjihkoncentrisanih sila, polja povrinskih optereenja, polja temperatura svojstvena za raketnekonstrukcije, toplotne turbine i nuklearne reaktore

o rijeavanje zadataka plastinosti, puzanja i ojaanja elemenata


4/13

KAKO MKE FUNKCIONIRA?

Metoda konanih elemenata (MKE) je zasnovana na diskretizaciji(kontinuuma) konstrukcije

jednostavnim dijelovima konanih dimenzija meusobno povezanim u vorovima.

Nad tim dijelovima -konanim elementima, metodama i principima fizike uspostavljaju se osnove

statike, kinematike, dinamike i termodinamike veze, koje se proiruju do granica kontinuuma.

Osnovne jednadnaine pomou kojih se opisuje stanje u pojedinim elementima (formulira problem) umjesto

diferencijalnih ili integralnih, obine algebarske.

S obzirom na to da je broj diskretnih modela za jedan granini

problem neogranieno veliki, osnovni zadatak je da se izabere

onaj model koji najbolje aproksimira odgovarajui granini problem.

Sloenije probleme mehanike kontinuuma (nepravilne geometrija,

nelinearno ponaanje materijala, rubni uvjeti i slino)

nije mogue rijeiti klasinim nainom.

Moramo rijeiti problem koji sesastoji od ukupno15 jednaina, meu kojima9 parcijalnih diferencijalnih

jednaina. Nemogue.


5/13

OSNOVNI KORACI MKE

Postoje dva osnovna pristupa u MKE : metod sila i metod pomjeranja ili metod krutosti (vorovi)

Na osnovu poznatih vrijednosti napona i deformacija u jednom voru i elementu mogu se odrediti naponi

deformacije za bilo koji drugi vor.

Ukupan broj jednaina strukture opisuje ponaanje svih vorova i predstavlja sistem algebarskih jednaina

(najpogodnije predstaviti u matrinom obliku)

KORAK 1. Diskretizacija domena i izbor vrste elementa

Opti kriterijumi diskretizacije:

1. Kriterijum broja stepeni slobode

2. Kriterijum manjih aproksimacija

3. Kriterijum spoljanjeg oblika

4. Kriterijum poznavanja unutranje distribucije komponentnih napona lanova kontinuuma

5. Kriterijum simetrinosti:


6/13

Korak 2. Izbor funkcije pomjeranja

- Izbor funkcije pomjeranja vri se za svaki element. Funkcija je definirana unutar elementa i koristi vrijednosti

izraunate u vorovima. Kao funkcije pomjeranja biraju se linearni, kvadratni ili kubni polinomi.

- Polinomi se koriste kao funkcije zato to su jedostavni za rad i primjenu u MKE.

- Za dvodimenzionalni element funkcija pomjeranja je funkcija koordinata uxyravni.

- Funkcije su nepoznate veliine u vorovima. Ista funkcija pomjeranja moe se izabrati za svaki element u modelu

- Nakon izbora funkcije pomjeranja uspostavi se veza izmeu deformacija i pomjeranja kao i veza izmeu napon

i deformacija.

Trodimenzioni elementi imaju najee i dodatnevorove po ivicama (3 stepena slobode u voru).Heksaedarski element sa 8 vorova u uglovimaa i po jednim izmeusvih uglova na konturi, ima ukupno 20 vorova sa 60 stepeni slobode.Primena 3D elemenata dovodi do velikih dimenzija raunskog modela.

Posebno pogodni za modeliranje


7/13

Korak 3. Definiranje relacije deformacija - pomjeranje i napon - deformacija

Za svaki konani element treba postaviti jednaine. Ako je problem jednodimenzionalan, tj. postoji deformacija

samo u jednom pravcu npr. u x pravcu,tada je deformacija s x i ona je povezana sa pomjeranjem "u" u x pravcu.

Izmeu napona i deformacija takoer postoje relacije koje se zovu konstitutivne relacije.

Jedna od najjednostavnijih je Hooke-ov zakon. Za jednodimenzionalni problem veza napona i deformacija je:

Korak 4. Matrica krutosti i jednaine

Razvijeno je vie metoda za odreivanje matrice krutosti.

1. Direktni ravnoteni metod (Direct Finite Element Method)

Matrica krutosti povezuje sile u vorovima elementa i pomjeranja vorova elementa.

Ona se dobije iz uslova ravnotee sila za svaki razmatrani element. Direktni pristup u raunanju matrice krutosti dobar je

samo u sluaju jednodimenzionalnih (tapnih) elemenata,

2. Varijacioni metodi (Variational Finite Element Methods)

Zasnivaju se na principu stacionarnosti funkcionala. Osim toga varijacionim metodama mogu se odrediti matrice krutosti

elemenata nestrukturalnih problema, analiza polja (napona, toplote).

3. Metodi teinskog reziduala (Methods of Weighted Residuals)

Ovaj metod zasniva se na diferencijalnim jednainama razmatranog problema. Od svih metoda

reziduala najpoznatiji je Galerkinov metod. Na osnovu metoda reziduala dobiju se jednaine koje opisuju ponaanje

elementa.

Jednaina vai za male deformacije


8/13

U matrinom obliku to je:

4. Metodi energetskog balansa (Energy Balance Finite Element Methods)

Zasnivaju se na balansu razliitih vrsta energije. Koriste se u termostatikoj

termodinamikoj analizi kontinuuma.

Korak 5. Raunanje globalne matrice krutosti

- Dobije se primjenom nekog metoda navedenog u koraku 4.

- Primjenom direktnog metoda i superpozicije, matrice pojedinih elemenata mogu se sabrati (globalna matrica krutosti)

- Globalna matrica krutosti [K] je singularna matrica jer je njena determinanta jednaka nuli. Problem

singulariteta matrice rijeava se uvoenjem odgovarajuih graninih uslova (ogranienja ili oslonci), tako da struktura

zadri postojee mjesto i da se ne kree kao kruto tijelo.

- Poznata optereenja unose se u globalnu matricu sila {f).

Korak 6. Odreivanje pomjeranja cijele strukture

Matrina jednaina strukture - konstrukcije u koju su uneseni granini uslovi predstavlja spregnuti sistem algebarskih jednaina u obliku.

- gdje je "n" ukupan broj nepoznatih stepeni slobode.Jednaine se mogu rijeiti Gausovom metodom eliminacije ili primjenom nekogiterativnog metoda. Osnovne nepoznate su pomjeranja u vorovima.


9/13

Korak 7. Raunanje deformacija i napona

- Naponi i deformacije su nepoznate veliine koje se odreuju u strukturalnoj analizi.

- Pomjeranja se izraunaju u koraku 6.

- Nakon toga koritenjem veze izmeu deformacija i pomjeranja i napona i deformacija

koja je data u koraku 3 izraunaju se deformacije i naponi.

Korak 8. Interpretacija rezultata

- Dobiveni rezultati primjenom MKE se analiziraju i interpretiraju.

- Zakljuak svake analize se svodi na odreivanje tanog mjesta djelovanja najveih napona i deformacija.

- Na osnovu poznavanja naponsko-deformacionog stanja kao jednog od vanih faktora, dizajner e donositi odluke.

- Postprocesorski kompjuterski programi pomau korisniku da intepretira rezultate

prikazujui ih u grafikoj formi.

PROVJERA REZULTATA

- Provjere modela i ispravke vri se raunanjem ( broj elemata)

- Provjera rezultata se vri prije analize (provjera funkcija)

- Ukoliko je mogue analitiki dobiti neke rezultate oni se

porede sa numerikim rezultatima dobivenim iz modela.

- Drugi nain je eventualno poreenje sa eksperimentalno

dobivenim naponima i deformacijama


10/13

ZADATAK: Geometrijska sloenost lamelaste kuke, nameezahtjev tanog odreivanja napona po cijelom kontinumu. Zaanalizu je izabrana proizvoljna kuka iz DIN 15407standarda, nosivosti 160 tona, visine 2660 mm, sa osamlamelapojedinane debljine 25 mm. Potrebno je proraunati napone iodrediti procenjenu greku modela.

2660 konanih elemenata Procjenjena greka5674 konanih elemenata Von-Mises napon

Procjenjena grekaVon-Mises-ovog napona prema kriterijumu relativnogodstupanja od prosenih vrednosti Von-Mises-ovihnapona, dala je skladno maksimalno odstupanje odsamo 5.66 % na osnovu ega se moe prihvatiti itanost Modela-1. Model-2 imamanje relativno odstupanje (procenjenu greku)


11/13

PRIMER FEM ANALIZE

Dato je tijelo (kuite) dimenzija 200x100x60 mm. Konzola je ukljetena na jednom kraju a na drugom kraju je (donjom ivicom)

optereena vertikalnom silom od F=10000. N. Kuite je sloene geometrije, forme lake konstrukcije sa 16 otvora po obimu I

uzdune cevaste konstrukcije. Debljina uzdunih zidova se kree od 4-10 mm.

- uraditi statiku FEM proveru i utvrditi rezerve u materijalu, naponsku distribuciju, stepen deformacije.

Vrijeme realizacije: 39s

CATIA

NOSTRAN

REZULTATI

VIZUELNI PRIKAZ


12/13

- U modernom konstrukcionom mainstvu koriste se razliiti kompjuterski software CAE (kinematikih ili dinamikih karakteristikakonstrukcije)

- Prvi programi nisu imali mogunost vizualizacije (NASTRAN, SAP)

- Danas: ABAQUS, NASTRAN, ANSYS, ADINA, PAFEC, SAMFEC, ELFEN, IDEAS, FLOW, ALGOR, CATIA, SOLID WORKS itd

- Ranija primjena MKE odnosila se samo na strukturalnu mehaniku - kasnije i rijeavanje problema prenosa toplote, elektrostatikipotencijal, mehaniku fluida, vibracionu analizu i razne druge probleme u mainstvu.

- MOLDFLOW, C-MOLD softwari koji simuliraju tok tene plastike kod ubrizganja plastike- U razvoju elektromainstva, nuklearne tehnike, magnetizma i za analize tokova fluida, simulaciju nelinearnih problema koriste se

superraunari (kao to je CRAY).

- Dalji razvoj MKE

FEM simulation of the damage of San

Francisco Oakland Bay Bridge

caused by the 1989 Loma Prieta earthquake


13/13

Literatura:

o PROJEKTOVANJE RAUNAROM DR. MIOMIR JOVANOVI, Mainski fakultet Ni, predavanja, 2010 g.

o http://www.colorado.edu/MCEN/MCEN4173/MCEN4173.html

o http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_finite_element_software_packages

o Modeliranje ravanskih problema i analiza rezultata, UNZE predavanja
http://www.colorado.edu/MCEN/MCEN4173/MCEN4173.htmlhttp://www.colorado.edu/MCEN/MCEN4173/MCEN4173.htmlhttp://www.colorado.edu/MCEN/MCEN4173/MCEN4173.htmlhttp://www.colorado.edu/MCEN/MCEN4173/MCEN4173.html

Documents

Metoda Konacnih Elemenata_v1