Zavod za strojarske konstrukcije

NUMERIKE METODE

. seminarski rad

METODA KONANIH RAZLIKA

Sadraj 1 UVOD .......................................................................................................................................... 1

1.1 Metoda konanih razlika ....................................................................................................... 1

1.2 Bandae parnih kotlova ......................................................................................................... 3

2 ZADATAK ................................................................................................................................... 53 RJEENJE ZADATKA METODOM KONANIH DIFERENCIJA ......................................... 64 PRORAUN PROGIBA ANALITIKIM POSTUPKOM RJEAVANJA ............................. 155 ZAKLJUAK ............................................................................................................................ 18

1

1 UVOD

1.1 Metoda konanih razlika

Metoda konanih razlika (engl. finite difference method) numerika je metoda za rjeavanje diferencijalnih jednadbi pri emu se numeriko rjeenje dobiva u odabranim tokama razmatrane konstrukcije. Derivacije odgovarajuih funkcija koje su zavisne varijable u diferencijalnoj jednadbi , zamjenjuju se s razlikom vrijednosti tih funkcija u susjednim tokama podijeljenom s meusobnim razmakom toaka. Te toke nazivaju se vorovi i ine mreu konanih razlika. Za svaki vor dobiva se jedna algebarska diferencijska jednadba koja povezuje nepoznatu vrijednost u voru s vrijednostima te varijable u odgovarajuem broju susjednih vorova.

Ideja za aproksimaciju derivacije u metodi konanih razlika proizila je iz definicije same derivacije:

Geometrijska interpretacija prve derivacije u toki xi nagib je tangente na krivulju u toj toki. Taj nagib mogue je aproksimirati s pravcima koji prolaze kroz susjedne toke na krivulji, prema slici:

Slika 1.1 Prikaz aproksimacije derivacije

Tangentu na krivulju koja opisuje prvu derivaciju mogue je aproksimirati pravcem koji predstavlja razliku unaprijed, pravcem koji opisuje razliku unazad te pravcem koji oznauje sredinju razliku.

Shema sredinje razlike daje bolju aproksimaciju derivacije nego sheme razlike unaprijed i razlike uanzad. Procjena greke provodi se pomou razvoja funkcije u Taylorov red.

2

Primjena MKD kod savijanja ravnog grednog nosaa:

Diferencijalna jednadba savijanja grede:

dd

Slika 1.2 Savijanje ravnog grednog nosaa

Domena (greda) se dijeli na jednake segmente duljine z meusobno povezane u vorove (i-1, i, i+1, ) te se infinitezimalni prirast funkcije progiba v(z) zamjeni konanom diferencijom (razlikom) v, uz konani prirast z varijable z.

Diskretizacija je postupak raspodjele grede na jednake segmente (z).

Diskretizacijom diferencijalne jednadbe savijanja grede dobiva se diferencijalna jednadba elastine linije za i-ti vor:

2 ! "

koja se postavlja samo za unutranje vorove ime se rjeavanje diferencijalne jednadbe svodi na rjeenje sustava diferencijalnih jednadbi.

3

1.2 Bandae parnih kotlova

Parni kotao je za vrijeme rada konstantno izloen odreenoj vrijednosti unutarnjeg tlaka i promjenama temperature koji uzrokuju pojavu deformacija membranskih zidova. Membranski zidovi su sklopovi cijevi i ravnih ipki koji slue provoenju topline. Kao oslonci membranskim zidovima postavljaju se bandae u obliku greda I profila. Funkcija im je da prilikom deformacija osiguraju da membranski zidovi zadre svoj poloaj i oblik.

Slika 1.3 Prikaz bandae membranskog zida

Cijevi membranskih zidova su zavarom spojene sa nosaima. Nosai se spajaju kliznim elementima sa bandaama koje su fiksne, kako bi omoguili gibanje membranskih zidova.

4

Bandae su u obliku okvira, elastino spojene na uglovima pomou pominih elemenata (svornjaka) kako bi kompenzirali meusobne deformacije uslijed promjene temperature.

Slika 1.4 Spojevi bandaa

5

2 ZADATAK

Bandaa parnog kotla izvedena je kao okvirni nosa i funkcija joj je sprijeiti nekontroliranu deformaciju membranskih zidova parnog kotla koja moe nastati uslijed djelovanja pretlaka/potlaka dimnih plinova. Potrebno je primjenom metode konanih diferencija odrediti progibe i nagibe tangente na elastinu liniju za bandau parnog kotla. Zbog provjere numerikog rjeenja, progibe i nagibe tangente na elastinu liniju potrebno je odrediti i nekom od analitikih metoda. Skicirajte elastinu liniju savijanja bandae. Korak diskretizacije odabrati takav da odstupanje numerikog od analitikog rjeenja bude manje od 5 %. Statiki model zadan je prema skici A, B, C, D, E, F, G ili H. Bandaa je optereena kontinuiranim optereenjem q koje se dobije redukcijom tlaka dimnih plinova s pripadajueg dijela membranskog zida. Bandae se obino izrauju od standardnih valjanih I-profila prema DIN1025, koji ovdje mogu biti HE-M, HE-B ili u HE-A izvedbi (nazivna mjera 300 mm). Bandaa je optereena na savijanje oko teine osi s veim aksijalnim momentom tromosti poprenog presjeka. Proraunska temperatura tc bandaa je temperatura zasienja vodene pare pri proraunskom tlaku u membranskim zidovima kao isparivakim povrinama. Bandae se obino izvode od S235JRG2, S355J2G3 ili 16Mo3. Budui se modul elastinosti mijenja s poveanjem temperature potrebno je za materijal bandae, a prema ASME B31.1-1995, odrediti iznos modula elastinosti za proraunsku temperaturu i primijeniti ga u proraunima. Osim rjeenja navedenog zadatka, u seminarskom radu je potrebno dati osnovni teorijski pregled o metodi konanih diferencija. Prema dostupnoj literaturi opiite primjenu i konstrukcijske izvedbe bandaa vodocjevnih parnih kotlova s osvrtom na mogunosti povezivanja bandaa s membranskim zidovima te na konstrukcijske izvedbe kutnih spojeva bandaa. Zadano:

Statiki model: C q = 5 N/mm I profil HE-B 300mm tc = 290C proraunska temperatura Materijal: S355J2G3 a1 = 6500 mm b = 3000 mm

Slika 2.1. Statiki model C

6

3 RJEENJE ZADATKA METODOM KONANIH DIFERENCIJA

Zbog dvostruke simetrije mogue je promatrati samo jednu etvrtinu okvirnog nosaa. Pravilo je da ako na simetrinu konstrukciju djeluje simetrino optereenje u presjecima simetrije antisimetrine sile su jednake nuli (Q = 0). Konstrukcija osloboena veza je prikazana na slici 2.

Slika 3.1 Konstrukcija osloboena veza

Jednadbe statike ravnotee: $ 0

&' ( *2 0 &' ( *2 7500N

$. 0 &/ ( 02 0

&/ ( 02 16250N ' 0

/ &/ 02 ( *8 (

08 ' 0

/ ' 20781250 0

Diskretizacijom je konstrukcija podijeljena na 19 jednakih segmenata duljine 250mm. x = 250 mm

7

Slika 3.2 Diskretizirana konstrukcija

Diferencijalna jednadba elastine linije za i-ti vor: 2 ! 4

Diferencijalne jednadbe elastine linije za pojedine vorove, prema slici 3: VOR 1:

' 5 5

57 25 5 ' VOR 2:

' 0,5( 5 25 59 ' 0,5(

VOR 3:

9 ' 2( 5 259 5: ' 2q

VOR 4:

: ' 4,5( 59 25: 5= ' 4,5q

VOR 5:

= ' 8( 5: 25= 5> ' 8q

8

VOR 6: > ' 12,5(

5= 25> 5? ' 12,5q

VOR 7:

? ' 18( 5> 25? 5@ ' 18q

VOR 8:

@ ' 24,5( 5? 25@ 5A ' 24,5q

VOR 9:

A ' B2( 5@ 25A 5 ' B2q

VOR 10:

' 40,5( 5A 25 5 ' 40,5q

VOR 11:

' 50( 5 25 5 ' 50q

VOR 12:

' 20,5( 5 25 59 ' 20,5q

VOR 13:

9 ' +2( 5 259 0 ' +2q

VOR 14: U toki B se smatra da nema pomaka pa je:

5: 0 59 0 5= 0

VOR 15: = / 12,5(

0 25= 5> / 12,5q

VOR 16:

> / 8( 5= 25> 5? / 8q

9

VOR 17: ? / 4,5(

5> 25? 5@ / 4,5q

VOR 18:

@ / 2( 5? 25@ 5A / 2q

VOR 19: A / 0,5(

5@ 25A 5 / 0,5q

VOR 20:

/ 5A7 5A

5A 25 5A7 /

Nakon sreivanja dobiva se sustav 21 jednadbe s 21 nepoznanicom koji glasi: 1.

25 25

' 0 2.

5 25 59

' 0,5( :

3.

5 259 5:

' 2( :

4.

59 25: 5=

' 4,5(

5.

5: 25= 5>

' 8(

6.

5= 25> 5?

' 12,5(

7.

5> 25? 5@

' 18(

8.

5? 25@ 5A

' 24,5(

10

9.

5@ 25A 5

' B2(

10.

5A 25 5

' 40,5(

11.

5 25 5

' 50(

12.

5 25 59

' 20,5(

13.

5 259

' +2(

14. 59 5= 0

15.

25= 5>

/ 12,5(

16.

5= 25> 5?

/ 8 (

17.

5> 25? 5@

/ 4,5(

18.

5? 25@ 5A

/ 2(

19.

5@ 25A 5

/ 0,5(

20.

25A 25

/ 0 21.

/ ' 20+81250

Sustav jednadbi e se rijeiti u obliku: CDE FGH FIH

11

Lijeva strana sustava jednadbi se pretvara u matricu sustava [A]:

Desna strana sustava jednadbi se pretvara u vektor {C}:

12

{b} je vektor nepoznanica:

Prije rjeavanja potrebni su jo sljedei podaci: Ix = 25170 cm4 moment inercije oko osi x, iz tablice toplo valjanih profila prema EURONORM 53-62 (HE-B), za nazivnu mjeru 300 mm za nazivnu mjeru 300mm: E = 184,6 GPa modul elastinosti, iz tablice ovisnosti modula elastinosti o temperaturi (ASME B31.1 1995), za ugljine elike s manje od 0,3% ugljika, za temperaturu 290C, linearnom interpolacijom.

Sustav se rjeava pomou programa Microsoft Excel. Kako bi dobili iznose nepoznanica potrebno je prvo izraunati inverz matrice sustava [A] pomou naredbe minverse koji glasi:

13

Mnoenjem inverza matrice [A]-1 sa vektorom {C} pomou naredbe mmult dobiva se rjeenje sustava:

Momenti MA i MC: ' 1

14

Elastina linija je prikazana na slici:

Slika 3.3 Skica elastine linije

15

4 PRORAUN PROGIBA ANALITIKIM POSTUPKOM RJEAVANJA

Problem e biti rijeen energijskom metodom za odreivanje sila i deformacija. Jednadbe statike ravnotee:

$ 0 &' ( *2 0

&' ( *2 7500N

$. 0 &/ ( 02 0

&/ ( 02 16250N

' 0 / &/ 02 (

*8 (

08 ' 0

/ ' 20781,25 0

Progib u toki A e se odrediti pomou uvjeta da je nagib elastine linije u toki A A=0.

K' MN' 0 Nosa je osloboen veza te je podijeljen na dva integracijska podruja, x1 i x2, duljina AB i BC.

Slika 4.1 Integracijska podruja nosaa

16

Momenti za pojedina podruja integracije: ' ( )

' &' ) ( ) 0

3 ( )

Parcijalne derivacije momenata po MA: NL' 1

NL' 1

K' LMN' 1O )

LL' %

1 ) PQ

QQRO S' ( )

T

UV

) 1 O S' &' ) ( ) 0

3 ( )

T ) 1W

XYYYZ

% [)

S' ) ( ) 9

2 T\UV ' ) 1 &' )

13 ( ) 0 )

12 ) ( ) 9]

W %

' ) ^ 1

17

5' 1 PQQQRO S' ( )

T )

UV

O S' &' ) ( ) 0

3 ( )

T ) 0

W

XYYYZ

5' 1 '3 0

11 3 ( ) 0:

1< ' ) 0 ) *

1B ( ) 09 ) *

1J2 ( ) 0 ) *9

&'12 ) * ) 0

Daljnjim sreivanjem i uvrtavanjem poznatih vrijednosti dobiva se izraz:

5' 1

18

5 ZAKLJUAK

Maksimalni progib je progib wA u toki A. Iznos progiba dobiven numerikim postupkom metodom konanih razlika:

5 5' %8J Iznos progiba dobiven analitiki:

5' %8JJ+, Razlika dobivenih rezultata iznosi 7,8%.