Numericke Metode i Simulacije

7/22/2019 Numericke Metode i Simulacije

1/60

1

Numericke metode i simulacije

Numerika integracija

Ako je f : [a, b]R neprekidna funkcija, a G njena primitivna funkcija, onda se

Riemannov integral na intervalu [a, b] moe izraunati primjenom Newton-Leibnizove

formule:

U praksi se naje

e pojavljuju takve situacije, gdje nije mogu

e primijeniti ovu formulu


2/60

2


1. Newton Cotes formule

Trapezno pravilo

Simpsonovo pravilo

2. Gausova integracija

Metode numerike integracije

Newton Cotes formule su dobijene aproksimiranjem podintegralne funkcije

)()()()(22111

xLyxLyxLyxPnnn

+++= L

pomou Langrangeovih polinoma


3/60

3


)()()(22111

xLyxLyxP +=

Prisjetimo se: Za dvije intervalne toke (x1, y1) i (x2, y2) linearni intepolacijski polinom glasi:

Lagrange-ovi polinomi prvog stupnja :

21

2

1 )( xx

xx

xL

= 121

2

)(xx

xxxL

=

Trapezno pravilo

)()()(22111

xLfxLfxP +=

Aproksimacijom podintegralne funkcije f(x) Lagrange-ovim polinomom prvog stupnja:

)()()(22111

xLfxLfxP +=


4/60

4


dxxPdxxfIx

x

x

x

= 2

1

2

1

)()(1

slijedi:

( ) ( ) ( ) hffdxxxh

fdxxx

h

f

dxfxxxxf

xxxxdxxP

x

x

x

x

x

x

x

x

+=+=

+=

211

2

2

1

2

21

21

21

21

2

1

)(

2

1

2

1

2

1

2

1

12 xxh

( ) +=2

1

2121)(

x

x

hffdxxfI

gdje je:

Trapezno pravilo:

Trapezno pravilo koristi linearnu aproksimaciju poditengralne funkcije.


5/60

5


Trapezno pravilo primjenjeno na interval [a;b] podijeljen u (n-1) segmenata funkcije zadane sa n

ekvidistantnih toaka (vorova)

dxxfdxxfdxxfdxxfn

n

x

x

x

x

b

a

x

x

+++= 1

3

2

2

1

)()()()(

12 xxh ( 1) , 1,...,ix a i h i n= + =

++

=

b

a

n

ini

fffhdxxf1

21

2

1

2

1)(

Kompozitna trapezna formula


6/60

6


Tonost numeri

ke integracije ovisi o broju segmenata (panela):

=5

0

561 edxex xPrimjer:

++

=

b

a

n

ini

fffhdxxf1

21

2

1

2

1)(


7/60

7


Simpsonovo pravilo koristi kvadratnu aproksimaciju poditengralne funkcije.

Simpsonovo pravilo

)()()()(3322112

xLyxLyxLyxP ++=

Za tri toke (x1, y1), (x2, y2) i (x3, y3) kvadratni intepolacijski polinom glasi:

gdje su Lagrange-ovi polinomi:

31

3

21

2

1)(

xx

xx

xx

xxxL

=

32

3

12

1

2 )( xx

xx

xx

xxxL

=

23

2

13

1

2)(

xx

xx

xx

xxxL

=


8/60

8


2 2 3 1 1 3 2 1 2 32 2 21 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2P x x x x x f x x x x f x x x x f

h h h= + +

3 1( ) / 2h x x

3 3 3

1 1 1

3

1

2 2 3 1 1 3 22 2

1 2 3 1 2 32

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

1 1 4 1( ) ( )

2 3 3 3

x x x

x x x

x

x

P x dx x x x x f dx x x x x f dx

h h

x x x x f dx h f f fh

= +

+ = + +


9/60

9


1

1 2 3 4 5

4 3 2 1

( ) ( 4 2 4 2 ...3

2 4 2 4 )

nx

x

n n n n n

hf x dx f f f f f

f f f f f

+ + + + +

+ + + + +

( ) /( 1)h b a n=

Kompozitna Simpsonova formula zahtijeva da (n-1) bude paran broj

1

1 2

1

2,4,... 3,5,...

( ) ( 4 2 )3

nx n n

i i n

i ix

hf x dx f f f f

= =

+ + +

Kompozitna (opa) Simpsonova formula


10/60

10


1

1 2

1

2,4,... 3,5,...

( ) ( 4 2 )3

nx n n

i i n

i ix

hf x dx f f f f

= =

+ + +

Tonost numeri

ke integracije ovisi o broju segmenata (panela):

=5

0

561 edxex x


11/60

11


[ ]1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

1

( ) ( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ... ( )

...

b b

n n n

a a

b b b

n n

a a a

n

n n j j

j

P x dx L x f L x f L x f dx

L x dx f L x dx f L x dx f

c f c f c f c f =

= + + + =

= + + + =

= + + + =

=b

a

jj dxxLc )(

=

=

n

jkk

kj

k

jxx

xxxL

1

)(gdje je


12/60

12


Zatvoreni i otvoreni intervali (dali su rubne toke intervala ukljuene u kao vorovi)kod numerike integracije:

)4(3

)(321

fffh

dxxfb

a

++ )22(3

4)(

321 fff

hdxxf

b

a

+

vorovi ekvidistantni !


13/60

13


Gausova integracija

+

=

1

1 1

)()( j

n

j

j xfwdxxf

Gausova integracija optimira tonost integracije koritenjem vorova koji su nultoke

Legendreovih polinomaj

x

Integracija na intervalu [-1;1]

)f(xw)f(xw

f(x)dx:n

2211

1

12

+=

=

x2x1-1 1


14/60

14


Parametri Gaussove integracije odreuju se tako da formula

bude egzaktna za polinome to je mogue vieg stupnja

+

=

1

1 1

)()( j

n

j

j xfwdxxf

Toni integral za f = x0, x1, x2, x3

)3

1()

3

1()(

1

1ffdxxfI +==

=

=

=

=

+===

+===

+===

+===

3

1

3

1

1

1

0

3

2

0

211

2

1

2

1

3

22

3

1

1

11

33

2

22

2

1

1

11

22

221

1

11

2

1

11

x

x

w

w

xwxwdxxxf

xwxwdxxxf

xwxwdxxxf

wwdxf


15/60

15


x3x1-1 1x2

)()()()(:3 3322111

1xfwxfwxfwdxxfn ++==

Toni integral za f = x0, x1, x2, x3, x4, x5


16/60

16


5

33

5

22

5

11

1

1

55

4

33

4

22

4

11

1

1

44

3

33

3

22

3

11

1

1

33

2

33

2

22

2

11

1

1

22

332211

1

1

321

1

1

0

5

2

0

3

2

0

21

xwxwxwdxxxf

xwxwxwdxxxf

xwxwxwdxxxf

xwxwxwdxxxf

xwxwxwxdxxf

wwwxdxf

++===

++===

++===

++===

++===

++===

=

==

=

==

5/3

0

5/3

9/5

9/89/5

3

2

1

3

2

1

x

x

x

w

ww


17/60

17


)5

3(

9

5)0(

9

8)

5

3(

9

5)(

1

1fffdxxfI ++==

Gaussova integracija na intervalu [a;b]

Transformacija koordinata od [a,b] na [-1,1]

b

a

dttf )(

t2t1a b

==

==

++

=

btx

atx

abx

abt

1

1

22

=

++

=

1

1

1

1

)()

2

)(

22

()( dxxgdxabab

xab

fdttfb

a


18/60

18


+

=

1

1 1

)()( j

n

j

j xfwdxxf

Apscise i teinske funkcije za Gauss-ovu (Gauss-Legrende-ovu integracije)

++ =b

a

j

n

j

j baxabfwabdxxf )22

(2

)(1

n - Polinom n-tog stupnja


19/60

19


926477.52164

0

2 == dtteI tPrimjer:

+

+

=+=+===

=+

+

=

=+=+

+

=

1

1

1

1

441

1

)22(24

0

4

0

2

1

1

1

1

)()44()22(2)(

)()

2

)(

22

()(

2dxdt;2222

dxxgdxexdxexdttfdtteI

dxxgdxabab

xab

fdttf

xab

xab

t

xxt

b

a

Transformacija koordinata od [a,b] na [-1,1]

33.34%)(543936.3477376279.3468167657324.9

)3

44()3

44()3

1()3

1()( 34

43

441

1

==+=

++=+== +

eeffdxxfI

Integracija sa dvije Gaussove toke:


20/60

20


4.79%)(106689.4967

)142689.8589(9

5)3926001.218(

9

8)221191545.2(

9

5

)6.044(95)4(

98)6.044(

95

)6.0(9

5)0(

9

8)6.0(

9

5)(

6.04446.044

1

1

==

++=

+++=

++==

+

eee

fffdxxfI

Integracija sa tri Gaussove toke:

[ ][ ]

%)37.0(54375.5197

)339981.0()339981.0(652145.0

)861136.0()861136.0(34785.0)(1

1

==

++

+==

ff

ffdxxfI

Integracija sa etiri Gaussove toke:


21/60

21


Primjer: Povrina ispod parabole na intervalu [0;4]

++

=

b

aj

n

j j

bax

abfw

abdxxf )

22(

2)(

1

3

16

3

42

3

42)

3

2(2)

3

2(2

)3

2(2)3

2(2))3

1(2(12))3

1(2(12

)22(2)22(2)22(2

)2

04

2

04(

2

04)(

22

2211

2

1

4

0

2

1

=+=++

=+=++

=+++=+=

++

=

=

ffff

xfwxfwxfw

xfwdxxf

j

j

j

j

j

j

Egzaktno rjeenje ako je f(x) polinom n-tog stupnja


22/60

22


Numeriko rjeavanje obi

nih diferencijalnih jednadbi (Cauchy-evi problemi)

Diferencijalnih jednadbe prvog stupnja

Aproksimativno rjeenje je

postignuto za diskretnu vrijednost t

gdje je h veliina koraka (stepsize)

Grafika interpretacija rjeavanja ODJ (ODE)

Diferencijalnih jednadbe s poetnim uvjetima (initial value problem)


23/60

23


Euler-ova metoda

Taylor-ov razvoj

Nagib funkcije (slope) u t=t0

Aproksimacija dif. Jednadbe sa dva lana Taylorovog reda:


24/60

24


Za i poetni uvjet 0 0( )y y t=1 0h t t=

Eulerova metoda (Eulerova explicitna metoda):

Originalna diferencijalna jednadba:

Diskretni oblik diferencijalne jednadbe:


25/60

25


Primjer:

Analitiko rjeenje:

2.0=h


26/60

26


Primjer:

1 1 1( , )

k k k k y y h f x y = +

Kod Eulerove metode sljedeu aproksimaciju funkcije uvijek izraunavamo samo

na bazi jedne prethodne aproksimacije. Zato kaemo da je to jednokorana

metoda.

Eulerova metoda:


27/60

27


x

y

h h

Analitiko rjeenje:

Primjer

xi xi+1

yi

x

yyi+1

y(xi+1)

greka

h

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5

x

y

Egzaktno rjeenje

Eulerova metoda h=0,25



Smanjenjem koraka integracije

poboljavamo tonost prorauna


28/60

28


lokalna greka

Numerika greka se dijeli u dva dijela: greka zaokruivanjagreka metode

lokalna globalna


29/60

29


Za odreeni h najvea greka u numerikom rjeenju naziva se Globalna diskretizacijska pogreka

(Global Discretization Error, GDE)

Npr. za jednadbu:


30/60

30


Lokalna pogreka u bilo kojem koraku (time step) je: gdje je y(tj) tono rjeenje

Matlab kod:


31/60

31


Poboljana Eulerova metoda (midpoint method): koeficijent smjera (nagib)

se rauna u dva koraka.


32/60

32


Heunova metoda Vrijednost dobijenaEulerovom metodom


33/60

33


Analitiko rjeenje:Primjer:

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5

x

y

Egzaktno rjeenje


Heunova metoda h=0,25

0

0,15

0,3

0,45

0,6

0,75

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5

x

greka

Greka-Heunova metoda

Greka-Eulerova metoda

j


34/60

34


k1

k2

k3

k4

k

( )4321 22

6

1kkkkk +++=

Runge-Kutta metoda

Runge-Kutta metoda je metoda koja koristi koja koristi teinski prosjek koeficijenata smjera.Veoma popularna je RK-4 (Runge Kutta metoda etrvtog reda)

N i k d i i l ij


35/60

35


Runge-Kutta drugog reda

)(2

)),(,(),(

),(

211

12

1

kkh

yy

yxhfyhxfkhyhxfk

yxfk

ii

iiiiii

ii

++=

++=++=

=

+

Runge-Kutta etvrtog reda

Eulerov postupak se moe klasificirati kao Runge-Kutta postupak prvog reda, a Heunov postupak

kao varijanta Runge-Kutta drugog reda.

N i k t d i i l ij


36/60

36


Primjer:

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

x

y

Egzaktno rjeenje

Runge-Kutta 2. reda h=0,5Runge-Kutta 4. reda h=0,5

Euler h=0,25



37/60

37


Numeriko rjeenje jednadbe je nestabilno ako greka koja nastane u odreenom koraku prorauna(npr. zbog pogreke u poetnom uvjetu, lokalne pogreke ili pogreke zaokruivanja) postaje sve vea

u sljedeim koracima prorauna.

Za veinu obinih diferencijalnih jednadbi, veliina koraka potrebna za dobivanje eljene tonosti

znaajno manja od veliine koraka potrebnog za postizanje stabilnosti. To znai da stabilnost openito

nije problem kod obinih diferencijalnih jednadbi. Meutim problem stabilnosti se moe javiti kod

sustava jednadbi.

-1,2

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5 6

x

y

Egzaktno rjeenje Euler h=1 Runge-Kutta 2. reda Runge-Kutta 4. reda

Numerika su rjeenja dobivena

s korakom h=1.Primjer:



38/60

38


Runge-Kutta drugog reda

)(2

)),(,(),(

),(

211

12

1

kkh

yy

yxhfyhtfkhyhtfk

ytfk

kk

kkkkkk

kk

++=

++=++==

+

Runge-Kutta etvrtog reda

2

yt

dt

dy

=y(0)=1

Potrebno je nai numeriko rjeenje jednadbe u intervalu [0,3] uz h=0.6 i h=0.3, koritenjem

Runge-Kutta metode drugog i etvrtog reda.

tetyt

+=

23)( 2Primjer: Poetni uvjet:Analiti

ko rjeenje:

)22(2

),(

)2

1,

2

1(

)2

1,

2

1(

),(

43211

34

23

12

1

kkkkh

yy

khyhtfk

khyhtfk

khyhtfk

ytfk

kk

kk

kk

kk

kk

++++=

++=

++=

++=

=

+



39/60

39


k tk Pravo rjeenje

y(tk)

RK2 RK4

yk Greka

|y(tk)-yk|

Greka1

[%]

yk Greka

|y(tk)-yk|

Greka

[%]

0 0 1 1 0 0 1 0e 0

1 0.6 0.8224547 0.835 0.0125453 1.5024 0.8225125 0.0000578 0.00703

2 1.2 0.8464349 0.865075 0.0186400 2.1547 0.8465206 0.0000857 0.01012

3 1.8 1.019709 1.0404809 0.0207719 1.9964 1.0198042 0.0000952 0.00934

4 2.4 1.3035826 1.3241583 0.0205756 1.5539 1.3036767 0.000094 0.00722

5 3 1.6693905 1.6884979 0.0191074 1.1316 1.6694776 0.0000871 0.00522

h=0.6

Greka [%]=|y(tk)-yk|/y(tk)



40/60

40


k tk Pravo rjeenje

y(tk)

RK2 RK4

yk Greka

|y(tk)-yk|Greka

[%]

yk Greka

|y(tk)-yk|Greka

[%]

0 0 1 1 0 0 1 0 0

1 0.3 0.8821239 0.88375 0.0016261 0.1840 0.8821258 0.0000018 0.00021

2 0.6 0.8224547 0.8252547 0.0028 0.3393 0.8224579 0.0000032 0.00039

3 0.9 0.8128845 0.816501 0.0036161 0.4429 0.8128886 0.0000041 0.00051

4 1.2 0.8464349 0.8505861 0.0041512 0.4880 0.8464396 0.0000047 0.00056

5 1.5 0.9170997 0.9215673 0.0044677 0.4848 0.9171047 0.0000051 0.00055

6 1.8 1.019709 1.0243249 0.0046159 0.4506 1.0197142 0.0000053 0.00051

7 2.1 1.1498133 1.1544498 0.0046365 0.4016 1.1498185 0.0000053 0.00046

8 2.4 1.3035826 1.3081449 0.0045622 0.3488 1.3035878 0.0000052 0.00040

9 2.7 1.4777208 1.4821398 0.004419 0.2981 1.4777258 0.0000050 0.00034

10 3 1.6693905 1.6736179 0.0042274 0.2526 1.6693953 0.0000048 0.00029

h=0.3



41/60

41


),,(

),,(

yxtgdt

dy

yxtf

dt

dx

=

=

Jednadbe vieg reda se uvijek mogu svesti na sustav jednadbi prvog reda

x(t0)=x0,

y(t0)=y0.

Rjeavanje sustava obinih diferencijalnih jednadbi

Poetni uvjeti:

),,(

),,(

1

1

kkkkk

kkkkk

yxtghyy

yxtfhxx

+=

+=

+

+

Eulerova metoda:



42/60

42

j

)22(6

)22(6

43211

43211

ggggh

yy

ffffh

xx

kk

kk

++++=

++++=

+

+

Metoda RK-4

),,(

),,(

)2

1,

2

1,

2

1(

)2

1,

2

1,

2

1(

)2

1,

2

1,

2

1(

)21,

21,

21(

),,(

),,(

334

334

223

223

112

112

1

1

ghyfhxhtfg

ghyfhxhtff

ghyfhxhtg

ghyfhxhtff

ghyfhxhtgg

ghyfhxhtff

yxtgg

yxtff

kkk

kkk

kkk

kkk

kkk

kkk

kkk

kkk

+++=

+++=

+++=

+++=

+++=

+++=

=

=

gdje je:



43/60

43

j

yxtdt

dy

yxtdt

dx

++=

= 432Poetni uvjeti: x(t=0)=0; y(t=0)=0

)45()1(9

)43(2)1(14

tt

tt

etey

etex

++=

+=

Analitiko rjeenje:

Interval [0,1], h=0.1

k tk Analitiko rjeenje Numeriko rjeenje RK4

x(tk) y(tk) xk Greka

|x(tk)-xk|Greka

[%]

yk Greka

|y(tk)-yk|Greka

[%]

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0.1 0.008406 0.005472 0.008442 0.000036 0.4200 0.005296 0.000176 3.3214

2 0.2 0.027800 0.023561 0.027910 0.000109 0.3915 0.023278 0.000284 1.2177

3 0.3 0.050581 0.056346 0.050770 0.000189 0.3718 0.056019 0.000327 0.5839

4 0.4 0.070495 0.105392 0.070747 0.000252 0.3554 0.105080 0.000313 0.2975

5 0.5 0.082448 0.171837 0.082731 0.000283 0.3421 0.171591 0.000247 0.1438

6 0.6 0.082341 0.256453 0.082616 0.000275 0.3328 0.256316 0.000137 0.0532

7 0.7 0.066928 0.359707 0.067152 0.000224 0.3333 0.359717 0.000011 0.0030

8 0.8 0.033689 0.481813 0.033818 0.000129 0.3819 0.482001 0.000188 0.0390

9 0.9 -0.019277 0.622778 -0.019283 0.000006 -0.0348 0.623166 0.000388 0.0623

10 1 -0.093348 0.782433 -0.093528 0.000180 -0.1924 0.783038 0.000605 0.0773

Primjer:



44/60

44

Moderni algoritmi imaju adaptivni korak prorauna (adaptive stepsize)



45/60

45

Matlab: Koritenje ode45



46/60

46

Sustavi nelinearnih diferencijalnih jednadbi

-20-15

-10-5

05

1015

2025

-30

-20

-10

0

10

20

30

0

10

20

30

40

50

60

X-OSY-OS

Z-OS

dx/dt=10(y-x)

dy/dt=-xz+28x-y

dz/dt=xy-8z/3

x(0)=0.6

y(0)=0.6

z(0)=0.6

Osjetljivost sustava na male promjene poetnih

uvjeta.

dy/dt=10(y-x)

dy/dt=-xz+28x-y

dz/dt=xy-(8/3)z

Primjer:



47/60

47

-20-15

-10-5

05

1015

2025

-30

-20

-10

0

10

20

30

0

10

20

30

40

50

60

X-OSY-OS

Z-OS

dx/dt=10(y-x)

dy/dt=-xz+28x-y

dz/dt=xy-8z/3

x(0)=0.6

y(0)=0.6

z(0)=0.60001



48/60

48

-20-15

-10 -5

05

1015

2025

-30

-20

-10

0

10

20

30

0

10

20

30

40

50

60

X-OSY-OS

Z-OS

x(0)=y(0)=z(0)=0.6

x(0)=y(0)=0.6 z(0)=0.60001

dx/dt=10(y-x)

dy/dt=-xz+28x-y

dz/dt=xy-8z/3

Male promjene poetnih uvjeta. Dugorono ponaanje nelinearnog sustava nepredvidivo.

Teorija kaosa.



49/60

49

TRANZIJENTNA ANALIZA LINEARNIH STRUJNIH KRUGOVA

Osnovna razlika izmeu tranzijentne i stacionarne analize linearnih strujnih krugova je u tome to

kod tranzijentne analize, proceduru rjeavanja ponavljamo za svaki vremenski inkrement.

Poopeno gledajui grana nekog elektrinog kruga se sastoji od elektromotorne sile, kapaciteta,

induktiviteta i radnog otpora.

e elektromotorna sila (EMS) na odgovarajuem konanom elementu

R radni otpor na odgovarajuem konanom elementu

1i struja koja ulazi u lokalni vor 1 konanog elementa

2i struja koja ulazi u lokalni vor 2 konanog elementaL induktivitet na odgovarajuem konanom elementu

C kapacitet na odgovarajuem konanom elementu, k odgovarajui globalni vorovi konanog elementa

i broj konanog elementa



50/60

50

Cd U (t)i(t) Cdt

=

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )tetUdt

tdiLtRitt c +++= 21

Poetna to

ka za modeliranje grane linearnog strujnog kruga kao kona

nog elementa sunaponske diferencijalne jednadbe:

Slijedei korak je integracija jednadbi po vremenu. Time umjesto sustava obinih

diferencijalnih jednadbi dobijamo sustav algebarskih jednadbi.

Da provedemo numeriku integraciju navedenih jednadbi koristitemo pouak o srednjoj

vrijednosti integrala ( - metoda) napisan u priblinom obliku:

( )t

t

f (t) dt 1 f f t

+

+ +



51/60

51

Interpolacijski faktor se kree u granicama 10 . Veli

ina t t t

+

= je dovoljno malvremenski interval unutar kojega moemo podintegralnu funkciju smatrati monotonom. Izbointerpolacijskog parametra = 0 odgovara Eulerovoj eksplicitnoj metodi, izbointerpolacijskog parametra = 1 odgovara implicitnoj metodi, dok izbor interpolacijskog

parametra 0.5 = odgovara trapeznom pravilu.

+t f

t f

d f (t)dt d f (t) f f

dt

+

+= =

Nadalje vrijedi:

Primjenom theta metode na polazne diferencijalne jednadbe slijedi:

1 1 2 2

C C

(1- ) t t (1- ) t t R (1- ) i t L i

R i t + L i U (1 ) t U t e (1 ) t e t

+ +

+ + + +

+ = +

+ + + + +

C C

(1- ) t tU U i i

C C

+ + = + +



52/60

52

2 2

1 2 1 2

2

C

t(R t L ) i t t (1- ) t - (1- ) t

C

(1 ) t

U t (L R (1- ) t - ) i e (1 ) t e t 0C

+ + +

+

+ + = +

+ =

Kombinacijom prethodnih relacija slijedi:

Preuredimo li prethodno jednadbu tako da s lijeve strane znaka jednakosti stavimo struju

konanom trenutku t+ , a s desne strane znaka jednakosti stavimo sve ostale veliine slijedi:

1 2 12 2 2 2 2 2

2 c2 2 2 2 2 2

2

t t (1- ) ti

t t t(R t L ) (R t L ) (R t L )

C C C

(1- ) t t t U e

t t t

(R t L ) (R t L ) (R t L )C C C

(1- ) t

t(R t L

+ + +

+

= +

+ + + + + +

+ + + + + +

+ +

2

2 2 2

(1 ) t(L R (1- ) t- )

Ce it

) (R t L )C C

+

+ +



53/60

53

Elementne jednadbe radi jednostavnosti, moemo pisati krae u obliku:

+

1 2 1 2 Ci A B D E F U H e + K e+G i+ + += + + + + +

Na osnovu jednadbe koja predstavlja struju na konanom elementu, moemo napisati potpunilokalni sustav jednadbi za granu strujnog kruga kao konani element.

1 1 1 1+

C

2 22 2

i iA B D E F H K G 0U e e

A B D E F H K 0 G i i

+ +

+ +

= + + + + +

Budui da za svaki globalni vor mora vrijediti I. Kirchoffov zakon, vektor struja na kraju

vremenskog intervala se prilikom postupka asembliranja poniti sa vektorima struja ostalih konanih

elemenata spojenih na taj vor. Posljedica te injenice je da se nepotpuni lokalni sustav jednadbi

dobije iz prethodne jednadbe, na nain da vektor struja na kraju vremenskog intervala proglasimo

nul vektorom:

1 1 1+

C

2 22

iA B D E F H K G 0 0U e e

A B D E F H K 0 G i 0

+

+

= + + + + +



54/60

54

Nakon asembliranja nepotpunih lokalnih sustava jednadbi pojedinih konanih elemenata

dobijemo nepotpuni globalni sustav jednadbi:

{ } { } { }g g gK D 0+ = +

Slijedei korak je kompletiranje globalnog sustava jednadbi dodavanjem rubnih uvjeta.

Dodavanjem struja injektiranih u globalne vorove dobijemo potpuni globalni sustav

jednadbi:

{ } { } { }g g g gK D I+

= +

Budui da svaki strujni krug mora imati referentni vor, moramo dodati u globalni susta

ednadbi i drugi rubni uvjet, a to je definiranje globalnih vorova sa zadanim potencijalom.Rjeavanjem globalnog sustava jednadbi s ukljuenim rubnim uvjetima, raunamo nepoznate

potencijale globalnih vorova{ }g+ .

Nakon toga uporabom potpunog lokalnog sustava jednadbi (17), raunamo struje

pridruene lokalnim vorovima svih konanih elemenata. Proceduru rjeavanja ponavljamo

za svaki vremenski inkrement, na nain da nepoznati naponi i struje na kraju prethodnog

vremenskog intervala postaju poetni uvjeti za slijedei vremenski interval.



55/60

55

Nakon toga uporabom potpunog lokalnog sustava jednadbi :

raunamo struje pridruene lokalnim vorovima svih konanih elemenata.

Proceduru rjeavanja ponavljamo za svaki vremenski inkrement, na nain da nepoznati

naponi i struje na kraju prethodnog vremenskog intervala postaju poetni uvjeti za slijedei

vremenski interval.

1 1 1 1+

C

2 22 2

i iA B D E F H K G 0U e e

A B D E F H K 0 G i i

+ +

+ +

= + + + + +



56/60

56



57/60

57

[ ]t 4 te(t) 10 (e e ) V =

PRIMJER:



58/60

58

1i (t) i(t)=

2 3

1i (t) i (t) i(t)

2= =

4 5

1i (t) i (t) i(t)

4= =

1000 t 4 t t

1 2 3 4i(t) (K K t) e K e K e = + +

2

1K 3.03019 10=

2K 30.15063=

23K 4.03219 10= 2

4K 1.002 10=

Nakon analitikog rjeavanja sustava diferencijalnih jednadbi, koje opisuju prezentirani strujni krug

dobiju se struje grana:



59/60

59

Pored topologije problema za proraun su potrebni podaci:

- poetno vrijeme simulacije je 0t 0= - vremenski inkrement t 0.1 ms = -

interpolacijski faktor 0.5 = - vrijeme trajanja simulacije maxt 15 ms=



60/60

60

Documents

Numericke Metode i Simulacije