Transformata Fourier Continua (TFC) - iota.ee.tuiasi.roiota.ee.tuiasi.ro/~tns/Domeniul frecventa.pdf · Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa Titular: Prof.dr.ing

Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa

Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.1

Transformata Fourier Continua (TFC) TFC este instrumentul care face trecerea reprezentarii semnalelor din

domeniul timp in domeniul frecventa si invers.

Domeniul timp Domeniul frecventa

)(th )( fHTFC

TFC-1

))(()( thTFCfH ))(()( 1 fHTFCth

dtethfH ftj 2)()(

dfefHth ftj 2)()(

2

00 )()( thtp 2

)()( kk fHfP

Puterea semnalului la momentul t0 Puterea semnalului la frecventa fk

dtthE

2

)(

Energia semnalului in domeniul timp

dffHE

2

)(

Energia semnalului in domeniul frecventa



Transformata Fourier Continua (TFC) Reprezentarea semnalelor in domeniile timp si frecventa


)( fHTFC

TFC-1 )(th

Daca h(t) este un semnal continuu aperiodic, H(f) este o functie continua.

h(t)

t

b

f

Re(f)

Im(f)

H(f)

Figura 3.1



Transformata Fourier Continua (TFC) Reprezentarea semnalelor in domeniile timp si frecventa


)( fHTFC

TFC-1

|H(f)| poate fi amplitudinea sau valoarea efectiva a semnalului la frecventa fk

Figura 3.2

)(th

h(t)

t

T

|H(f)|

f

f1 2f1 3f1 4f1 5f1 -f1 -2f1

-3f1 -4f1

0

Daca h(t) este un semnal continuu periodic, H(f) este o functie discreta care

se reprezinta prin spectrul de frecvente |H(f)| sau spectrul de putere |H(f)|2

Prin aplicarea TFC pe o singura perioada, se obtine dezvoltarea in serie

Fourier a semnalului.



Transformata Fourier Continua (TFC)

H(f) este o functie complexa.

))(Im())(Re()( fHjfHfH

)Re(

)Im()(

)(Im)(Re)(

)()(

22

)(

f

farctgf

fffH

efHfH fj



Transformata Fourier Continua (TFC) Exemplu

00

0)(

tpentru

tpentrubeth

at

fja

be

fja

b

dtebdtebefHthTFC

tfja

tfjaftjat

2|

2

)())((

0)2(

0 0

)2(2

h(t)

t

b

Timp Frecventa

Figura 3.3



Transformata Fourier Continua (TFC) Exemplu

jfa

fb

fa

abfH

2222 )2(

2

)2()(

a

fj

efa

bfH

2arctan

22 )2()(

Re(f)

Im(f)

|H(f)|

θ(f) f

f

f

Figura 3.4



Transformata Fourier Continua (TFC)

0

21

2)())(( atfj bedfe

fja

bthfHTFC

Timp Frecventa



TFC a unor functii uzuale

0

00

0)(

Ttdaca

TtTdacaAtw

1. Fereastra dreptunghiulara simetrica

T0 -T0

A

w(t)

t

f

W(f) 2AT0

02

1

T 02

2

T

02

3

T

02

4

T02

1

T

02

2

T

02

3

T

)2(sin22

)2sin(2)( 00

0

00 fTcAT

fT

fTATfW

Figura 3.5

Figura 3.6




restin

TtdacaAtw

0

20)(

0

2. Fereastra dreptunghiulara nesimetrica

2T0 0

A

w(t)

t

02

0

00

2

)2sin(2)(

fTje

fT

fTATfW

0

0

00

2)(

2

)2sin(2)(

fTf

fT

fTATfW

f

|W(f)|

2AT0

02

1

T 02

2

T 02

3

T 02

4

T02

1

T

02

2

T

02

3

T

|W(f)| 2AT0

Figura 3.7

Figura 3.8




restin

tdacaAtAth

0

0)()(

3. Impuls Dirac

0

A

h(t)

t

AAedtetAfH ftj

02)()(

0

A

H(f)

f

Figura 3.9




Ath )(

4. Semnal constant

0

A

H(f)

f

)()( 22 fAdteAdtAefH ftjftj

0

A

h(t)

t

Rt

Figura 3.10




)2cos()( 0tfAth

5. Semnale periodice (cosinus)

0

H(f)

A

)(2

)(2

)( 00 ffA

ffA

fH

h(t)

t

2

A

2

A

f

-f0 f0

)(2

0ffA

)(2

0ffA

Figura 3.11




)2sin()( 0tfAth

6. Semnale periodice (sinus)

0

Im(H(f))

A

)(

2)(

2)( 00 ff

Aff

AjfH

h(t)

t

2

A

2

A

f

-f0

f0

)(2

0ffA

)(2

0ffA

Figura 3.12



TFC a unor functii uzuale 7. Semnal pieptene

kk

kfffT

kf

TfP 00

00

1)(

k

kTttp )()( 0 kZ

t

1

p(t)

1 1 1 1 1 1 1

0 T0

2T0

3T0 -T0

-2T0

-3T0

t

P(f)

1/T0

0

1/T0 1/T0 1/T0

0

1

T 0

2

T 0

3

T0

1

T

0

2

T

0

3

T

0f 02 f 03 f0fFigura 3.13



TFC a unor functii uzuale 8. Semnal periodic limitat in timp (in fereastra)

)]()([)( 002 ffQffQTAfH

A

h(t)

t

2T

restin

TtTdacatfAth

0

)2cos()(

0

T -T

fT

fTfQ

2

)2sin()(

f

H(f)

A2T A2T

f0 -f0

Figura 3.14



Proprietatile TFC

1. Liniaritatea

Daca

TFC

TFC

Atunci TFC

Exemplu: adunarea unei componente continui la un semnal sinusoidal

)(tx )( fX

)(ty )( fY

)()( tbytax )()( fbYfaX

ktx )( )()( fkfX TFC

tfAty 02cos)( )(2

)(2

)( 00 ffA

ffA

fy TFC

TFC

A h(t)

t k

-f0 f0 0

H(f)

2

A

2

A

f

kTFC

tfAkth 02cos)( )(2

)(2

)()( 00 ffA

ffA

fkfH

Figura 3.15



Proprietatile TFC

2. Simetria

Daca TFC

Atunci

Exemplu: TFC a unei functii sinc

)(th )( fH

TFC )(tH

T0 -T0

A

h(t)

t

)( fh

f

H(f)

2AT0

t

H(t)

2AT0

T0 -T0

A

h(-f) = h(f)

f

Figura 3.16



Proprietatile TFC

3. Scalarea in timp

Daca

TFC Atunci

Expandarea scarii in timp corespunde comprimarii scarii in frecventa.

)(kth

k

fH

k

1

TFC )(th )( fH



Proprietatile TFC

3. Scalarea in timp (exemplu)

T0 -T0

A

h(t)

t f

H(f)

2AT0

02

1

T

2T0 -2T0

A

h(t)

t

H(f)

4AT0

04

1

T

3T0 -3T0

A

h(t)

t

H(f)

6AT0

06

1

T

f

f

TFC

TFC

TFC

Figura 3.17.c

Figura 3.17.a

Figura 3.17.b



Proprietatile TFC

4. Scalarea in frecventa

Daca

TFC Atunci

k

th

k

1 kfH

TFC )(th )( fH



Proprietatile TFC

5. Deplasarea in timp

Daca

TFC Atunci )( 0tth 02 tfj

efH

TFC )(th )( fH

T0 -T0

A

w(t)

t

)2(sin22

)2sin(2)( 00

0

00 fTcAT

fT

fTATfW

2T0 0

A

w(t-T0)

t

02

0

00

2

)2sin(2)(

fTje

fT

fTATfW

Figura 3.18



Proprietatile TFC

6. Deplasarea in frecventa

Daca

TFC Atunci tfj

eth 02)(

0ffH

TFC )(th )( fH



Proprietatile TFC

7. Formula inversa alternata

Daca

Atunci

*

2* )()(

dfefHth ftj

TFC )(th )( fH

* = conjugata complexa

dtethfH ftj 2)()(



Proprietatile TFC

8. TFC a semnalelor pare

Daca

Atunci

TFC )(th )( fH

dtftthfH )2cos()()(

)(th functie para )()( thth

H(f) functie pur reala si para

Exemplu: TFC a semnalului cosinusoidal

0

H(f) A

h(t)

t 2

A

2

A

f

-f0 f0

)(2

)(2

)( 00 ffA

ffA

fH

Figura 3.19



Proprietatile TFC

9. TFC a semnalelor impare

Daca

Atunci

TFC )(th )( fH

dtftthjfH )2sin()()(

)(th functie impara )()( thth

H(f) functie pur imaginara si impara

Exemplu: TFC a semnalului sinusoidal

A

h(t)

t

)(

2)(

2)( 00 ff

Aff

AjfH

0

Im(H(f))

2

A

2

A

f

-f0

f0

Figura 3.20



Proprietatile TFC

10. Teorema convolutiei in timp

Daca

Atunci

TFC )(tx )( fX

Convolutiei in domeniul timp ii corespunde produsul in domeniul frecventa

TFC )(th )( fH

)(*)()( thtxty )()()( fHfXfY TFC



Proprietatile TFC

T2

1


Exemplu: TFC a convolutiei dintre o functie pieptene si o functie oarecare

t

1

p(t)

1

0

y(t) = x(t)p(t)

T0 2T0 -2T0 -T0 0

x(t)

-T T

A

* = t t

1 1 1

T0 2T0 -2T0 -T0

A A A A A

f

X(f)

T2

2

T2

1

T2

2

2AT

f

Y(f) = X(f)P(f)

f

P(f)

0

1

T0

1

T

0

2

T0

2

T

0

1

Tx 0

2

T

AT

Figura 3.21

Figura 3.22



Proprietatile TFC

11. Teorema convolutiei in frecventa

Daca

Atunci

TFC )(tx )( fX

Convolutiei in domeniul frecventa ii corespunde produsul in domeniul timp

TFC )(th )( fH

)()()( thtxty )(*)()( fHfXfY TFC



Proprietatile TFC


Exemplul 1: TFC a unui semnal esantionat.Explicarea erorii de alias utilizand teorema convolutiei in frecventa.

t

1

p(t)

0

x(t)

-T T

x = t

1 1

T0 2T0 -2T0 -T0

f

Y(f) = X(f)P(f) P(f)

1 1 1 1 1 1 1 1

x(t)p(t)

-T

t

T T0 -T0

X(f)

f f

0 fmax -fmax

0

1

T

0

1

T

0

2

T0

1

T

0

2

T

0

1

T 0

1

T

0f02 f 0f 02 f

0f 02 f20ffNq

maxf

20

max

ff

Figura 3.23

Figura 3.24



Proprietatile TFC


t

1

p(t)

0

x(t)

-T T

x = t

T0 2T0 -2T0 -T0

f

Y(f) = X(f)P(f) P(f)

1 1 1 1

x(t)p(t)

-T

t

T T0 -T0

X(f)

f f

0 fmax -fmax

0

1

T

0

1

T

0

2

T0

1

T

0

2

T

0

1

T 0

1

T

0f02 f 0f 02 f

0f 02 f20ffNq

maxf

20

max

ff

1 1 1 1

Exemplul 1: TFC a unui semnal esantionat.Explicarea erorii de alias utilizand teorema convolutiei in frecventa.

Figura 3.25

Figura 3.26



Proprietatile TFC 11. Teorema convolutiei in frecventa

x =

Exemplul 2: TFC a unui semnal trunchiat in timp prin inmultirea cu o fereastra dreptunghiulara

A

h(t)

t

w(t)

t

1

h(t)w(t)

t

T -T T -T

0

H(f)

2

A

2

A

f

-f0 f0

f

W(f)

2T

f

H(f)*W(f)

AT AT

f0

=

-f0 0 0

Figura 3.27

Figura 3.28



Proprietatile TFC

12. Teorema lui Parseval

Daca

Atunci

TFC )(tx )( fX

La trecerea din domeniul timp in domeniul frecventa,

energia semnalului se conserva

dffXdttx22

)()(



Legatura dintre Transformata Fourier si seriile Fourier

1

0

1

00 )2sin()2cos()(k

k

k

k tkfbtkfaats

Orice semnal periodic s(t) de frecventa f0 poate fi descompus in serie

Fourier dupa cum urmeaza:

0

00

0 )(1

T

dttsT

a dttkftsT

a

T

k 0

0

0

0

)2cos()(2

dttkftsT

b

T

k 0

0

0

0

)2sin()(2

s(t)

t

T0

ak, bk

f

3f1 4f1 5f1 0 f1 2f1 6f1 Figura 3.29




1

00 )2cos()(k

kk tkfAAts

sau

00 aA Componenta continua (valoarea medie) a semnalului

kkk baA 22 Amplitudinea componentei spectrale de ordin k

k

kk

a

barctg Faza componentei spectrale de ordin k

s(t)

t

T0

Ak

f

3f1 4f1 5f1 0 f1 2f1 6f1 Figura 3.30




k

tkfjkects 02

)(

sau

forma complexa a descompunerii in serie Fourier:

0

0

0

2

0

)(1

T

tkfjk dtets

Tc

unde ck sunt coeficientii Fourier complecsi ai dezvoltarii, dati de relatia:

Dar TFC a semnalului s(t) pentru o perioada T0 este:

0

0

2)()(

T

ftjpp dtetsfS )(

10

0

kfST

c pk

sp(t)

t Figura 3.31




Concluzii

1. Daca semnalul este periodic, spectrul sau este discret.

2. Valorile componentelor spectrale sunt valorile TFC ale lui s(t) pe o

perioada (sp(t)) , calculate in punctele kf0 si ponderate cu 1/T0.

t

s(t) p(t)

sp(t)

t t

0 0T

20T

20T

02T0T02T 0T 02T0T02T

1 1 1 1 1 =

k

pp kTttstptsts )(*)()(*)()( 0

kp

k

pp ckfST

kffT

fSfPfSfS

)(1

)(1

)()()()( 0

0

0

0

Figura 3.32



Transformata Fourier Discreta (TFD) h(t)

t

H(f)

f

t

1

p(t)

0 T0 2T0

-T0

1 1 1 1 1 1 1 1

P(f)

f

0 0

2

T

0

1

T

h(t)p(t)

t

1 1 1 1 1 1 1 1

0

1

T0

1

T

0

2

T

0

1

T

H(f)*P(f)

f

0 0

2

T0

1

T0

1

T

0

2

T

T0

a)

b)

c)

Figura 3.33



Transformata Fourier Discreta (TFD) w(t)

t

H(f)*P(f)*W(f)

f

0 0

1

T02

1

T02

1

T

0

1

T

2

T

2

T

1

f

W(f)

2AT0

02

1

T 02

2

T

02

3

T

02

4

T02

1

T

02

2

T

02

3

T

W(f)

f

T

1

T

P1(f)

f

0

T

2

T

1

T

1

T

2

1

e)

d)

1

p1(t)

t

T

T

f)

-T

h(t)p(t)w(t)

t

T=NT0

N esantioane

Figura 3.33



Transformata Fourier Discreta (TFD)

p1(t)

t

H(f)*P(f)*W(f)

f

0 0

1

T02

1

T02

1

T

0

1

T

T

h(t)p(t)w(t)

t

T=NT0

T

g)

f)

e)

h(t)p(t)w(t)] p1(t)

t

2

TT

2

TT

N esantioane

[H(f)*P(f)*W(f)]P1(f)

f

0

P1(f)

f

0 T

1

11

N esantioane N esantioane

0

-T

Figura 3.33



Transformata Fourier Discreta (TFD) Trecerea de la domeniul continuu la domeniul discret

)(th )(kh

Continuu Discret

)( fH )(nH

t 0kT

f0NT

n

T

n

t 10 Nk

1

0

N



Transformata Fourier Discreta (TFD) TFD este instrumentul care face trecerea reprezentarii semnalelor din

domeniul timpului discret in domeniul frecventelor discrete si invers.


)(kh )(nHTFD

TFD-1

))(()( khTFDnH ))(()( 1 nHTFDkh

dtethfH ftj 2)()(

dfefHth ftj 2)()(TFC

1

0

2

)()(N

k

N

nkj

ekhnH

1

0

2

)(1

)(N

n

N

nkj

enHN

kh TFD

TFD-1




Δt=T 0

(t)

h(n)

n

T = NT0

N eşantioane

Δf

(f)

|H(n)|

n

NΔf

N eşantioane

f + f _

Rezolutia in timp

Rezolutia in frecventa

)1()(...;)1()1(;)1()0( kNHkHNHHNHH

0Tt

N

f

NTTf 0

0

11

)1()();2()1();1()0( kNkNN

Figura 3.34




)(kh )(nHTFD

TFD-1

2

2

2

)()()(*)(

N

nH

N

nHnHnSP

Spectrul de putere

Δf

SP(n)

n

Figura 3.35




Exercitii

1. Sa se calculeze TFD a semnalului periodic :

2. Sa se calculeze TFD a semnalului periodic :

restin

mnpentruns

0

41)( Zm

restin

mnpentruns

0

141)( Zm




Exercitii

3. Sa se calculeze TFD a secventei:

s(n) = {1, 0, 1, 0, 1, 0}

4. a) Sa se calculeze secventa obtinuta prin esantionarea semnalului

tts 200cos2)(

cu frecventa f0 = 600 Hz, pe parcursul unei perioade.

b) Sa se calculeze secventa S(n) = TFD (s(n)) si sa se reprezinte grafic spectrul

de amplitudine al semnalului.

c) Sa se verifice ca s(n) = TFD-1[S(n)]

d) Aceeasi problema pentru semnalul:

tts 200sin2)(




Concluzii

1. Esantionarea in domeniul timp cu perioada T0 conduce la periodizare in

domeniul frecventa cu perioada 1/T0 .

2. Esantionarea in domeniul frecventa cu perioada 1/T conduce la periodizare in

domeniul timp cu perioada T, unde T este lungimea ferestrei de trunchiere.

t

02

1

TTT

f

0 0T

02

1

T T

1

TN

T

NTT

11

0

0

N

N

Figura 3.36




Concluzii

3. La N esantioane in domeniul timp corespund N esantioane in domeniul

frecventa.

4. Daca in procesul de esantionare nu este indeplinita teorema lui Shannon,

spectrele perioadelor in domeniul frecventa se suprapun, rezultand erori de

“alias”.

5. TFD a unui semnal este intotdeauna o functie complexa.

6. Primelor N/2 esantioane din spectru le corespunde domeniul frecventelor

pozitive, care este spectrul frecventelor reale.

7. Spectrul de amplitudine este simetric, iar cel al fazelor este antisimetric.



Proprietatile TFD

1. Liniaritatea

Daca

TFD

TFD

Atunci TFD

)(kx )(nX

)(ky )(nY

)()( kbykax )()( nbYnaX

2. Simetria

Daca TFD

Atunci

)(kh )(nH

TFD )(

1kH

N)( nh



Proprietatile TFD

3. Deplasarea in timp

Daca TFD

)(kh )(nH

TFD Atunci )( ikh N

nij

enH2

4. Deplasarea in frecventa

Daca TFD

)(kh )(nH

TFD Atunci

N

kij

ekh2

)( inH



Proprietatile TFD

5. Formula inversa alternata

Daca TFD

)(kh )(nH

Atunci

*1

0

2*1

)(

N

n

N

nij

enHN

kh

6. TFD a semnalelor pare

Daca TFD

)(kh )(nH

Atunci

1

0

2cos)()(

N

k N

nkkhnH

si )()( khkh

H(n) para si pur reala



Proprietatile TFD

7. TFD a semnalelor impare

Daca TFD

)(kh )(nH

Atunci

1

0

2sin)()(

N

k N

nkkhjnH

si )()( khkh

H(n) impara si pur imaginara



Daca

TFD

TFD

Atunci TFD

)(kx )(nX

)(ky )(nY

)(*)( kykx )()( nYnX



Proprietatile TFD



Daca

TFD

TFD

Atunci TFD

)(kx )(nX

)(ky )(nY

)()( kykx )(*)(1

nYnXN

10. Teorema lui Parseval

Daca TFD

)(kx )(nX

Atunci

1

0

21

0

2 )(1

)(N

n

N

k

nXN

kx



Eroarea de “leakage”

Corect

T = 2Ts

h(n)

n

|H(n)|

n

h’(n)

n

T =1,5Ts

h(n)

n

h’(n)

n

|H(n)|

n

TFD

Leakage

T = mTs

T mTs

TFD-1

h’(n) = h(n)

h’(n) h(n) Figura 3.37



Eroarea de “leakage” - exemple

h(n)

n

h’(n)

n

h’(n)

n

h’(n)

n

h(n)

n

h(n)

n

Figura 3.38

c)

b)

a)

fereastra de trunchiere discontinuitati



Posibilitati de reducere a erorii de “leakage”

1. Achizitia intregului semnal (de la - la + )

2. Achizitia unui numar intreg de perioade

a) achizitie sincrona utilizand un multiplicator de frecventa

b) prelucrare off-line

3. Utilizarea ferestrelor de ponderare



Utilizarea ferestrelor de ponderare pentru reducerea

erorii de “leakage”

Fereastra de ponderare – o functie cu care se inmulteste semnalul de

analizat cu scopul reducerii discontinuitatilor la reconstruirea semnalului

din perioadele sale.

h(n)

n

w(n)

h(n)w(n)

n

n

X =

Figura 3.39



Tipuri de ferestre de ponderare

1,.....1,0 Nn

restin

Nnpentrunw

0

101)(

Aplicatii: Pentru analiza semnalelor tranzitorii de durata mai mica

decat lungimea ferestrei.

Fereastra rectangulara

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 20 40 60 80 100n

am

pli

tud

ine

Figura 3.40




N

nnw 2cos5,05,0)(

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 20 40 60 80 100n

am

pli

tud

ine

Aplicatii: Pentru analiza semnalelor tranzitorii de durata mai mare

decat lungimea ferestrei, in aplicatii de uz general.

1,.....1,0 Nn

Fereastra Hann

(Hanning) Figura 3.41




Fereastra

Hamming

Aplicatii: Asemanator cu Hanning, insa fereastra are pe capete

valori nenule

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 20 40 60 80 100n

am

pli

tud

ine

1,.....1,0 Nn

N

nnw 2cos46,054,0)(

Figura 3.42




fN

n

enwln

1)(

Fereastra

exponentiala

Aplicatii: Pentru analiza semnalelor tranzitorii a caror durata este

mai lunga decat lungimea ferestrei. Forma semnalului

trebuie sa fie tot exponentiala.

1,.....1,0 Nn

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 20 40 60 80 100n

am

pli

tud

ine

f = valoarea finala

Figura 3.43




N

n

N

nnw 4cos198,02cos52,0281,0)(

Fereastra

“flat-top”

Aplicatii: Pentru analiza semnalelor care prezinta componente

singulare in domeniul frecventei. Are cea mai buna precizie

in privinta amplitudinii.

1,.....1,0 Nn

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 20 40 60 80 100n

am

pli

tud

ine

Figura 3.44




N

n

N

nnw 4cos08,02cos5,042,0)(

Fereastra

Blackman

Aplicatii: Pentru detectarea frecventelor indepartate si de amplitudini

diferite.

1,.....1,0 Nn

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 20 40 60 80 100n

am

pli

tud

ine

Figura 3.45




N

na

I

aInw 21,

)(

1)(

0

20

Fereastra

Kaiser - Bessel

Aplicatii: Pentru detectarea a doua componente dintr-un semnal de

frecvente foarte apropiate, dar cu amplitudini foarte diferite.

1,.....1,0 Nn

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 20 40 60 80 100n

am

pli

tud

ine

= 10

= 1 = 0,2

I0 = functia Bessel de prima speta

Figura 3.46




N

Nnnw

21)(

Fereastra

triunghiulara

(Barlett)

1,.....1,0 Nn

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 20 40 60 80 100

n

am

pli

tud

ine

Figura 3.47




-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 20 40 60 80 100

n

am

pli

tud

ine

Kaiser-Bessel (β=1)

rectangulara

Barlett

Flat top

Hamming Blackman

Hanning

Figura 3.48



Alegerea tipului de fereastra

Aplicatia Tip fereastra

Semnale a caror durata este mai mica decat lungimea

ferestrei

Rectangulara

Semnale a caror durata este mai mare decat lungimea

ferestrei

Exponentiala, Hanning

Aplicatii de ordin general Hanning

Separarea a doua tonuri de frecvente foarte apropiate dar

diferite ca amplitudine

Kaiser-Bessel

Separarea a doua tonuri de frecvente foarte apropiate si

amplitudini comparabile

Rectangulara

Masurarea cu precizie a amplitudinii unei frecvente singulare Flat top

Forme de unda sinusoidale si combinatii ale acestora Hanning

Semnale tranzitorii exponentiale Exponentiala

Forme de unda sinusoidale la care masurarea amplitudinii

trebuie facuta cu precizie

Flat top



Exemple de aplicare a ferestrelor

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0

20

40

60

80

100

120

0 5 10 15 20 25

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

f = 40 Hz; A = 20

+

f = 50 Hz; A = 100

0

10

20

30

40

50

60

70

0 5 10 15 20 25Fereastra rectangulara

Figura 3.49

Figura 3.50



Exemple de aplicare a ferestrelor

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 5 10 15 20 25

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 5 10 15 20 25

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 5 10 15 20 25

Fereastra Hann

Fereastra Hamming

Fereastra Barlett

Figura 3.51

Figura 3.52

Figura 3.53

Documents

Transformata Fourier Continua (TFC) - iota.ee.tuiasi.roiota.ee.tuiasi.ro/~tns/Domeniul frecventa.pdf · Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa Titular: Prof.dr.ing