Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.1
Transformata Fourier Continua (TFC) TFC este instrumentul care face trecerea reprezentarii semnalelor din
domeniul timp in domeniul frecventa si invers.
Domeniul timp Domeniul frecventa
)(th )( fHTFC
TFC-1
))(()( thTFCfH ))(()( 1 fHTFCth
dtethfH ftj 2)()(
dfefHth ftj 2)()(
2
00 )()( thtp 2
)()( kk fHfP
Puterea semnalului la momentul t0 Puterea semnalului la frecventa fk
dtthE
2
)(
Energia semnalului in domeniul timp
dffHE
2
)(
Energia semnalului in domeniul frecventa
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.2
Transformata Fourier Continua (TFC) Reprezentarea semnalelor in domeniile timp si frecventa
Domeniul timp Domeniul frecventa
)( fHTFC
TFC-1 )(th
Daca h(t) este un semnal continuu aperiodic, H(f) este o functie continua.
h(t)
t
b
f
Re(f)
Im(f)
H(f)
Figura 3.1
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.3
Transformata Fourier Continua (TFC) Reprezentarea semnalelor in domeniile timp si frecventa
Domeniul timp Domeniul frecventa
)( fHTFC
TFC-1
|H(f)| poate fi amplitudinea sau valoarea efectiva a semnalului la frecventa fk
Figura 3.2
)(th
h(t)
t
T
|H(f)|
f
f1 2f1 3f1 4f1 5f1 -f1 -2f1
-3f1 -4f1
0
Daca h(t) este un semnal continuu periodic, H(f) este o functie discreta care
se reprezinta prin spectrul de frecvente |H(f)| sau spectrul de putere |H(f)|2
Prin aplicarea TFC pe o singura perioada, se obtine dezvoltarea in serie
Fourier a semnalului.
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.4
Transformata Fourier Continua (TFC)
H(f) este o functie complexa.
))(Im())(Re()( fHjfHfH
)Re(
)Im()(
)(Im)(Re)(
)()(
22
)(
f
farctgf
fffH
efHfH fj
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.5
Transformata Fourier Continua (TFC) Exemplu
00
0)(
tpentru
tpentrubeth
at
fja
be
fja
b
dtebdtebefHthTFC
tfja
tfjaftjat
2|
2
)())((
0)2(
0 0
)2(2
h(t)
t
b
Timp Frecventa
Figura 3.3
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.6
Transformata Fourier Continua (TFC) Exemplu
jfa
fb
fa
abfH
2222 )2(
2
)2()(
a
fj
efa
bfH
2arctan
22 )2()(
Re(f)
Im(f)
|H(f)|
θ(f) f
f
f
Figura 3.4
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.7
Transformata Fourier Continua (TFC)
0
21
2)())(( atfj bedfe
fja
bthfHTFC
Timp Frecventa
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.8
TFC a unor functii uzuale
0
00
0)(
Ttdaca
TtTdacaAtw
1. Fereastra dreptunghiulara simetrica
T0 -T0
A
w(t)
t
f
W(f) 2AT0
02
1
T 02
2
T
02
3
T
02
4
T02
1
T
02
2
T
02
3
T
)2(sin22
)2sin(2)( 00
0
00 fTcAT
fT
fTATfW
Figura 3.5
Figura 3.6
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.9
TFC a unor functii uzuale
restin
TtdacaAtw
0
20)(
0
2. Fereastra dreptunghiulara nesimetrica
2T0 0
A
w(t)
t
02
0
00
2
)2sin(2)(
fTje
fT
fTATfW
0
0
00
2)(
2
)2sin(2)(
fTf
fT
fTATfW
f
|W(f)|
2AT0
02
1
T 02
2
T 02
3
T 02
4
T02
1
T
02
2
T
02
3
T
|W(f)| 2AT0
Figura 3.7
Figura 3.8
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.10
TFC a unor functii uzuale
restin
tdacaAtAth
0
0)()(
3. Impuls Dirac
0
A
h(t)
t
AAedtetAfH ftj
02)()(
0
A
H(f)
f
Figura 3.9
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.11
TFC a unor functii uzuale
Ath )(
4. Semnal constant
0
A
H(f)
f
)()( 22 fAdteAdtAefH ftjftj
0
A
h(t)
t
Rt
Figura 3.10
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.12
TFC a unor functii uzuale
)2cos()( 0tfAth
5. Semnale periodice (cosinus)
0
H(f)
A
)(2
)(2
)( 00 ffA
ffA
fH
h(t)
t
2
A
2
A
f
-f0 f0
)(2
0ffA
)(2
0ffA
Figura 3.11
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.13
TFC a unor functii uzuale
)2sin()( 0tfAth
6. Semnale periodice (sinus)
0
Im(H(f))
A
)(
2)(
2)( 00 ff
Aff
AjfH
h(t)
t
2
A
2
A
f
-f0
f0
)(2
0ffA
)(2
0ffA
Figura 3.12
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.14
TFC a unor functii uzuale 7. Semnal pieptene
kk
kfffT
kf
TfP 00
00
1)(
k
kTttp )()( 0 kZ
t
1
p(t)
1 1 1 1 1 1 1
0 T0
2T0
3T0 -T0
-2T0
-3T0
t
P(f)
1/T0
0
1/T0 1/T0 1/T0
0
1
T 0
2
T 0
3
T0
1
T
0
2
T
0
3
T
0f 02 f 03 f0fFigura 3.13
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.15
TFC a unor functii uzuale 8. Semnal periodic limitat in timp (in fereastra)
)]()([)( 002 ffQffQTAfH
A
h(t)
t
2T
restin
TtTdacatfAth
0
)2cos()(
0
T -T
fT
fTfQ
2
)2sin()(
f
H(f)
A2T A2T
f0 -f0
Figura 3.14
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.16
Proprietatile TFC
1. Liniaritatea
Daca
TFC
TFC
Atunci TFC
Exemplu: adunarea unei componente continui la un semnal sinusoidal
)(tx )( fX
)(ty )( fY
)()( tbytax )()( fbYfaX
ktx )( )()( fkfX TFC
tfAty 02cos)( )(2
)(2
)( 00 ffA
ffA
fy TFC
TFC
A h(t)
t k
-f0 f0 0
H(f)
2
A
2
A
f
kTFC
tfAkth 02cos)( )(2
)(2
)()( 00 ffA
ffA
fkfH
Figura 3.15
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.17
Proprietatile TFC
2. Simetria
Daca TFC
Atunci
Exemplu: TFC a unei functii sinc
)(th )( fH
TFC )(tH
T0 -T0
A
h(t)
t
)( fh
f
H(f)
2AT0
t
H(t)
2AT0
T0 -T0
A
h(-f) = h(f)
f
Figura 3.16
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.18
Proprietatile TFC
3. Scalarea in timp
Daca
TFC Atunci
Expandarea scarii in timp corespunde comprimarii scarii in frecventa.
)(kth
k
fH
k
1
TFC )(th )( fH
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.19
Proprietatile TFC
3. Scalarea in timp (exemplu)
T0 -T0
A
h(t)
t f
H(f)
2AT0
02
1
T
2T0 -2T0
A
h(t)
t
H(f)
4AT0
04
1
T
3T0 -3T0
A
h(t)
t
H(f)
6AT0
06
1
T
f
f
TFC
TFC
TFC
Figura 3.17.c
Figura 3.17.a
Figura 3.17.b
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.20
Proprietatile TFC
4. Scalarea in frecventa
Daca
TFC Atunci
k
th
k
1 kfH
TFC )(th )( fH
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.21
Proprietatile TFC
5. Deplasarea in timp
Daca
TFC Atunci )( 0tth 02 tfj
efH
TFC )(th )( fH
T0 -T0
A
w(t)
t
)2(sin22
)2sin(2)( 00
0
00 fTcAT
fT
fTATfW
2T0 0
A
w(t-T0)
t
02
0
00
2
)2sin(2)(
fTje
fT
fTATfW
Figura 3.18
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.22
Proprietatile TFC
6. Deplasarea in frecventa
Daca
TFC Atunci tfj
eth 02)(
0ffH
TFC )(th )( fH
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.23
Proprietatile TFC
7. Formula inversa alternata
Daca
Atunci
*
2* )()(
dfefHth ftj
TFC )(th )( fH
* = conjugata complexa
dtethfH ftj 2)()(
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.24
Proprietatile TFC
8. TFC a semnalelor pare
Daca
Atunci
TFC )(th )( fH
dtftthfH )2cos()()(
)(th functie para )()( thth
H(f) functie pur reala si para
Exemplu: TFC a semnalului cosinusoidal
0
H(f) A
h(t)
t 2
A
2
A
f
-f0 f0
)(2
)(2
)( 00 ffA
ffA
fH
Figura 3.19
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.25
Proprietatile TFC
9. TFC a semnalelor impare
Daca
Atunci
TFC )(th )( fH
dtftthjfH )2sin()()(
)(th functie impara )()( thth
H(f) functie pur imaginara si impara
Exemplu: TFC a semnalului sinusoidal
A
h(t)
t
)(
2)(
2)( 00 ff
Aff
AjfH
0
Im(H(f))
2
A
2
A
f
-f0
f0
Figura 3.20
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.26
Proprietatile TFC
10. Teorema convolutiei in timp
Daca
Atunci
TFC )(tx )( fX
Convolutiei in domeniul timp ii corespunde produsul in domeniul frecventa
TFC )(th )( fH
)(*)()( thtxty )()()( fHfXfY TFC
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.27
Proprietatile TFC
T2
1
10. Teorema convolutiei in timp
Exemplu: TFC a convolutiei dintre o functie pieptene si o functie oarecare
t
1
p(t)
1
0
y(t) = x(t)p(t)
T0 2T0 -2T0 -T0 0
x(t)
-T T
A
* = t t
1 1 1
T0 2T0 -2T0 -T0
A A A A A
f
X(f)
T2
2
T2
1
T2
2
2AT
f
Y(f) = X(f)P(f)
f
P(f)
0
1
T0
1
T
0
2
T0
2
T
0
1
Tx 0
2
T
AT
Figura 3.21
Figura 3.22
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.28
Proprietatile TFC
11. Teorema convolutiei in frecventa
Daca
Atunci
TFC )(tx )( fX
Convolutiei in domeniul frecventa ii corespunde produsul in domeniul timp
TFC )(th )( fH
)()()( thtxty )(*)()( fHfXfY TFC
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.29
Proprietatile TFC
11. Teorema convolutiei in frecventa
Exemplul 1: TFC a unui semnal esantionat.Explicarea erorii de alias utilizand teorema convolutiei in frecventa.
t
1
p(t)
0
x(t)
-T T
x = t
1 1
T0 2T0 -2T0 -T0
f
Y(f) = X(f)P(f) P(f)
1 1 1 1 1 1 1 1
x(t)p(t)
-T
t
T T0 -T0
X(f)
f f
0 fmax -fmax
0
1
T
0
1
T
0
2
T0
1
T
0
2
T
0
1
T 0
1
T
0f02 f 0f 02 f
0f 02 f20ffNq
maxf
20
max
ff
Figura 3.23
Figura 3.24
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.30
Proprietatile TFC
11. Teorema convolutiei in frecventa
t
1
p(t)
0
x(t)
-T T
x = t
T0 2T0 -2T0 -T0
f
Y(f) = X(f)P(f) P(f)
1 1 1 1
x(t)p(t)
-T
t
T T0 -T0
X(f)
f f
0 fmax -fmax
0
1
T
0
1
T
0
2
T0
1
T
0
2
T
0
1
T 0
1
T
0f02 f 0f 02 f
0f 02 f20ffNq
maxf
20
max
ff
1 1 1 1
Exemplul 1: TFC a unui semnal esantionat.Explicarea erorii de alias utilizand teorema convolutiei in frecventa.
Figura 3.25
Figura 3.26
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.31
Proprietatile TFC 11. Teorema convolutiei in frecventa
x =
Exemplul 2: TFC a unui semnal trunchiat in timp prin inmultirea cu o fereastra dreptunghiulara
A
h(t)
t
w(t)
t
1
h(t)w(t)
t
T -T T -T
0
H(f)
2
A
2
A
f
-f0 f0
f
W(f)
2T
f
H(f)*W(f)
AT AT
f0
=
-f0 0 0
Figura 3.27
Figura 3.28
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.32
Proprietatile TFC
12. Teorema lui Parseval
Daca
Atunci
TFC )(tx )( fX
La trecerea din domeniul timp in domeniul frecventa,
energia semnalului se conserva
dffXdttx22
)()(
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.33
Legatura dintre Transformata Fourier si seriile Fourier
1
0
1
00 )2sin()2cos()(k
k
k
k tkfbtkfaats
Orice semnal periodic s(t) de frecventa f0 poate fi descompus in serie
Fourier dupa cum urmeaza:
0
00
0 )(1
T
dttsT
a dttkftsT
a
T
k 0
0
0
0
)2cos()(2
dttkftsT
b
T
k 0
0
0
0
)2sin()(2
s(t)
t
T0
ak, bk
f
3f1 4f1 5f1 0 f1 2f1 6f1 Figura 3.29
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.34
Legatura dintre Transformata Fourier si seriile Fourier
1
00 )2cos()(k
kk tkfAAts
sau
00 aA Componenta continua (valoarea medie) a semnalului
kkk baA 22 Amplitudinea componentei spectrale de ordin k
k
kk
a
barctg Faza componentei spectrale de ordin k
s(t)
t
T0
Ak
f
3f1 4f1 5f1 0 f1 2f1 6f1 Figura 3.30
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.35
Legatura dintre Transformata Fourier si seriile Fourier
k
tkfjkects 02
)(
sau
forma complexa a descompunerii in serie Fourier:
0
0
0
2
0
)(1
T
tkfjk dtets
Tc
unde ck sunt coeficientii Fourier complecsi ai dezvoltarii, dati de relatia:
Dar TFC a semnalului s(t) pentru o perioada T0 este:
0
0
2)()(
T
ftjpp dtetsfS )(
10
0
kfST
c pk
sp(t)
t Figura 3.31
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.36
Legatura dintre Transformata Fourier si seriile Fourier
Concluzii
1. Daca semnalul este periodic, spectrul sau este discret.
2. Valorile componentelor spectrale sunt valorile TFC ale lui s(t) pe o
perioada (sp(t)) , calculate in punctele kf0 si ponderate cu 1/T0.
t
s(t) p(t)
sp(t)
t t
0 0T
20T
20T
02T0T02T 0T 02T0T02T
1 1 1 1 1 =
k
pp kTttstptsts )(*)()(*)()( 0
kp
k
pp ckfST
kffT
fSfPfSfS
)(1
)(1
)()()()( 0
0
0
0
Figura 3.32
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.37
Transformata Fourier Discreta (TFD) h(t)
t
H(f)
f
t
1
p(t)
0 T0 2T0
-T0
1 1 1 1 1 1 1 1
P(f)
f
0 0
2
T
0
1
T
h(t)p(t)
t
1 1 1 1 1 1 1 1
0
1
T0
1
T
0
2
T
0
1
T
H(f)*P(f)
f
0 0
2
T0
1
T0
1
T
0
2
T
T0
a)
b)
c)
Figura 3.33
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.38
Transformata Fourier Discreta (TFD) w(t)
t
H(f)*P(f)*W(f)
f
0 0
1
T02
1
T02
1
T
0
1
T
2
T
2
T
1
f
W(f)
2AT0
02
1
T 02
2
T
02
3
T
02
4
T02
1
T
02
2
T
02
3
T
W(f)
f
T
1
T
P1(f)
f
0
T
2
T
1
T
1
T
2
1
e)
d)
1
p1(t)
t
T
T
f)
-T
h(t)p(t)w(t)
t
T=NT0
N esantioane
Figura 3.33
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.39
Transformata Fourier Discreta (TFD)
p1(t)
t
H(f)*P(f)*W(f)
f
0 0
1
T02
1
T02
1
T
0
1
T
T
h(t)p(t)w(t)
t
T=NT0
T
g)
f)
e)
h(t)p(t)w(t)] p1(t)
t
2
TT
2
TT
N esantioane
[H(f)*P(f)*W(f)]P1(f)
f
0
P1(f)
f
0 T
1
11
N esantioane N esantioane
0
-T
Figura 3.33
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.40
Transformata Fourier Discreta (TFD) Trecerea de la domeniul continuu la domeniul discret
)(th )(kh
Continuu Discret
)( fH )(nH
t 0kT
f0NT
n
T
n
t 10 Nk
1
0
N
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.41
Transformata Fourier Discreta (TFD) TFD este instrumentul care face trecerea reprezentarii semnalelor din
domeniul timpului discret in domeniul frecventelor discrete si invers.
Domeniul timp Domeniul frecventa
)(kh )(nHTFD
TFD-1
))(()( khTFDnH ))(()( 1 nHTFDkh
dtethfH ftj 2)()(
dfefHth ftj 2)()(TFC
1
0
2
)()(N
k
N
nkj
ekhnH
1
0
2
)(1
)(N
n
N
nkj
enHN
kh TFD
TFD-1
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.42
Transformata Fourier Discreta (TFD)
Δt=T 0
(t)
h(n)
n
T = NT0
N eşantioane
Δf
(f)
|H(n)|
n
NΔf
N eşantioane
f + f _
Rezolutia in timp
Rezolutia in frecventa
)1()(...;)1()1(;)1()0( kNHkHNHHNHH
0Tt
N
f
NTTf 0
0
11
)1()();2()1();1()0( kNkNN
Figura 3.34
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.43
Transformata Fourier Discreta (TFD)
)(kh )(nHTFD
TFD-1
2
2
2
)()()(*)(
N
nH
N
nHnHnSP
Spectrul de putere
Δf
SP(n)
n
Figura 3.35
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.44
Transformata Fourier Discreta (TFD)
Exercitii
1. Sa se calculeze TFD a semnalului periodic :
2. Sa se calculeze TFD a semnalului periodic :
restin
mnpentruns
0
41)( Zm
restin
mnpentruns
0
141)( Zm
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.45
Transformata Fourier Discreta (TFD)
Exercitii
3. Sa se calculeze TFD a secventei:
s(n) = {1, 0, 1, 0, 1, 0}
4. a) Sa se calculeze secventa obtinuta prin esantionarea semnalului
tts 200cos2)(
cu frecventa f0 = 600 Hz, pe parcursul unei perioade.
b) Sa se calculeze secventa S(n) = TFD (s(n)) si sa se reprezinte grafic spectrul
de amplitudine al semnalului.
c) Sa se verifice ca s(n) = TFD-1[S(n)]
d) Aceeasi problema pentru semnalul:
tts 200sin2)(
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.46
Transformata Fourier Discreta (TFD)
Concluzii
1. Esantionarea in domeniul timp cu perioada T0 conduce la periodizare in
domeniul frecventa cu perioada 1/T0 .
2. Esantionarea in domeniul frecventa cu perioada 1/T conduce la periodizare in
domeniul timp cu perioada T, unde T este lungimea ferestrei de trunchiere.
t
02
1
TTT
f
0 0T
02
1
T T
1
TN
T
NTT
11
0
0
N
N
Figura 3.36
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.47
Transformata Fourier Discreta (TFD)
Concluzii
3. La N esantioane in domeniul timp corespund N esantioane in domeniul
frecventa.
4. Daca in procesul de esantionare nu este indeplinita teorema lui Shannon,
spectrele perioadelor in domeniul frecventa se suprapun, rezultand erori de
“alias”.
5. TFD a unui semnal este intotdeauna o functie complexa.
6. Primelor N/2 esantioane din spectru le corespunde domeniul frecventelor
pozitive, care este spectrul frecventelor reale.
7. Spectrul de amplitudine este simetric, iar cel al fazelor este antisimetric.
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.48
Proprietatile TFD
1. Liniaritatea
Daca
TFD
TFD
Atunci TFD
)(kx )(nX
)(ky )(nY
)()( kbykax )()( nbYnaX
2. Simetria
Daca TFD
Atunci
)(kh )(nH
TFD )(
1kH
N)( nh
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.49
Proprietatile TFD
3. Deplasarea in timp
Daca TFD
)(kh )(nH
TFD Atunci )( ikh N
nij
enH2
4. Deplasarea in frecventa
Daca TFD
)(kh )(nH
TFD Atunci
N
kij
ekh2
)( inH
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.50
Proprietatile TFD
5. Formula inversa alternata
Daca TFD
)(kh )(nH
Atunci
*1
0
2*1
)(
N
n
N
nij
enHN
kh
6. TFD a semnalelor pare
Daca TFD
)(kh )(nH
Atunci
1
0
2cos)()(
N
k N
nkkhnH
si )()( khkh
H(n) para si pur reala
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.51
Proprietatile TFD
7. TFD a semnalelor impare
Daca TFD
)(kh )(nH
Atunci
1
0
2sin)()(
N
k N
nkkhjnH
si )()( khkh
H(n) impara si pur imaginara
8. Teorema convolutiei in timp
Convolutiei in domeniul timp ii corespunde produsul in domeniul frecventa
Daca
TFD
TFD
Atunci TFD
)(kx )(nX
)(ky )(nY
)(*)( kykx )()( nYnX
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.52
Proprietatile TFD
9. Teorema convolutiei in frecventa
Convolutiei in domeniul timp ii corespunde produsul in domeniul frecventa
Daca
TFD
TFD
Atunci TFD
)(kx )(nX
)(ky )(nY
)()( kykx )(*)(1
nYnXN
10. Teorema lui Parseval
Daca TFD
)(kx )(nX
Atunci
1
0
21
0
2 )(1
)(N
n
N
k
nXN
kx
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.53
Eroarea de “leakage”
Corect
T = 2Ts
h(n)
n
|H(n)|
n
h’(n)
n
T =1,5Ts
h(n)
n
h’(n)
n
|H(n)|
n
TFD
Leakage
T = mTs
T mTs
TFD-1
h’(n) = h(n)
h’(n) h(n) Figura 3.37
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.54
Eroarea de “leakage” - exemple
h(n)
n
h’(n)
n
h’(n)
n
h’(n)
n
h(n)
n
h(n)
n
Figura 3.38
c)
b)
a)
fereastra de trunchiere discontinuitati
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.55
Posibilitati de reducere a erorii de “leakage”
1. Achizitia intregului semnal (de la - la + )
2. Achizitia unui numar intreg de perioade
a) achizitie sincrona utilizand un multiplicator de frecventa
b) prelucrare off-line
3. Utilizarea ferestrelor de ponderare
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.56
Utilizarea ferestrelor de ponderare pentru reducerea
erorii de “leakage”
Fereastra de ponderare – o functie cu care se inmulteste semnalul de
analizat cu scopul reducerii discontinuitatilor la reconstruirea semnalului
din perioadele sale.
h(n)
n
w(n)
h(n)w(n)
n
n
X =
Figura 3.39
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.57
Tipuri de ferestre de ponderare
1,.....1,0 Nn
restin
Nnpentrunw
0
101)(
Aplicatii: Pentru analiza semnalelor tranzitorii de durata mai mica
decat lungimea ferestrei.
Fereastra rectangulara
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 20 40 60 80 100n
am
pli
tud
ine
Figura 3.40
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.58
Tipuri de ferestre de ponderare
N
nnw 2cos5,05,0)(
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 20 40 60 80 100n
am
pli
tud
ine
Aplicatii: Pentru analiza semnalelor tranzitorii de durata mai mare
decat lungimea ferestrei, in aplicatii de uz general.
1,.....1,0 Nn
Fereastra Hann
(Hanning) Figura 3.41
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.59
Tipuri de ferestre de ponderare
Fereastra
Hamming
Aplicatii: Asemanator cu Hanning, insa fereastra are pe capete
valori nenule
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 20 40 60 80 100n
am
pli
tud
ine
1,.....1,0 Nn
N
nnw 2cos46,054,0)(
Figura 3.42
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.60
Tipuri de ferestre de ponderare
fN
n
enwln
1)(
Fereastra
exponentiala
Aplicatii: Pentru analiza semnalelor tranzitorii a caror durata este
mai lunga decat lungimea ferestrei. Forma semnalului
trebuie sa fie tot exponentiala.
1,.....1,0 Nn
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 20 40 60 80 100n
am
pli
tud
ine
f = valoarea finala
Figura 3.43
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.61
Tipuri de ferestre de ponderare
N
n
N
nnw 4cos198,02cos52,0281,0)(
Fereastra
“flat-top”
Aplicatii: Pentru analiza semnalelor care prezinta componente
singulare in domeniul frecventei. Are cea mai buna precizie
in privinta amplitudinii.
1,.....1,0 Nn
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 20 40 60 80 100n
am
pli
tud
ine
Figura 3.44
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.62
Tipuri de ferestre de ponderare
N
n
N
nnw 4cos08,02cos5,042,0)(
Fereastra
Blackman
Aplicatii: Pentru detectarea frecventelor indepartate si de amplitudini
diferite.
1,.....1,0 Nn
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 20 40 60 80 100n
am
pli
tud
ine
Figura 3.45
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.63
Tipuri de ferestre de ponderare
N
na
I
aInw 21,
)(
1)(
0
20
Fereastra
Kaiser - Bessel
Aplicatii: Pentru detectarea a doua componente dintr-un semnal de
frecvente foarte apropiate, dar cu amplitudini foarte diferite.
1,.....1,0 Nn
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 20 40 60 80 100n
am
pli
tud
ine
= 10
= 1 = 0,2
I0 = functia Bessel de prima speta
Figura 3.46
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.64
Tipuri de ferestre de ponderare
N
Nnnw
21)(
Fereastra
triunghiulara
(Barlett)
1,.....1,0 Nn
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 20 40 60 80 100
n
am
pli
tud
ine
Figura 3.47
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.65
Tipuri de ferestre de ponderare
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 20 40 60 80 100
n
am
pli
tud
ine
Kaiser-Bessel (β=1)
rectangulara
Barlett
Flat top
Hamming Blackman
Hanning
Figura 3.48
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.66
Alegerea tipului de fereastra
Aplicatia Tip fereastra
Semnale a caror durata este mai mica decat lungimea
ferestrei
Rectangulara
Semnale a caror durata este mai mare decat lungimea
ferestrei
Exponentiala, Hanning
Aplicatii de ordin general Hanning
Separarea a doua tonuri de frecvente foarte apropiate dar
diferite ca amplitudine
Kaiser-Bessel
Separarea a doua tonuri de frecvente foarte apropiate si
amplitudini comparabile
Rectangulara
Masurarea cu precizie a amplitudinii unei frecvente singulare Flat top
Forme de unda sinusoidale si combinatii ale acestora Hanning
Semnale tranzitorii exponentiale Exponentiala
Forme de unda sinusoidale la care masurarea amplitudinii
trebuie facuta cu precizie
Flat top
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.67
Exemple de aplicare a ferestrelor
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0
20
40
60
80
100
120
0 5 10 15 20 25
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
f = 40 Hz; A = 20
+
f = 50 Hz; A = 100
0
10
20
30
40
50
60
70
0 5 10 15 20 25Fereastra rectangulara
Figura 3.49
Figura 3.50
Prelucrarea numerica a semnalelor Domeniul frecventa
Titular: Prof.dr.ing. Cristian Foşalău 3.68
Exemple de aplicare a ferestrelor
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 5 10 15 20 25
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 5 10 15 20 25
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 5 10 15 20 25
Fereastra Hann
Fereastra Hamming
Fereastra Barlett
Figura 3.51
Figura 3.52
Figura 3.53