Calculul n domeniul elastic i calculul n domeniul plastic. Teoremele fundamentale calculului n domeniul plastic. Metode generale de calcul n domeniul plastic

1. Metode de calcul elastic

n proiectarea structurilor la actiunea seismica se pot folosi mai multe metode de analiza structurala. nproiectarea curenta se foloseste un calcul liniar elastic, fiind posibile doua alternative: metoda de calcul cu forte laterale (metoda fortelor statice echivalente) metoda de calcul modal cu spectre de raspuns (calcul spectral)

1.1. Metoda de calcul cu forte laterale

Aceasta metoda se poate aplica constructiilor care pot fi calculate prin considerarea a doua modele plane,cte unul pentru fiecare directie principala a cladirii, si al caror raspuns seismic total nu este influentat semnificativ de modurile proprii superioare de vibratie. n acest caz, modul propriu fundamental de vibratie are o contributie predominanta asupra raspunsului seismic total. Aceste cerinte pot fi considerate satisfacute de structurile care au perioada fundamentala de vibratie T1 1.5 sec, o naltime de pna la 30 m si sunt regulate pe verticala.Metoda de calcul cu forte laterale reprezinta un calcul spectral simplificat, care ia n considerare doar aportul modului fundamental de vibratie la raspunsul structurii. Pe baza acestei simplificari, calculul spectral se reduce la un calcul static al structurii sub efectul unor forte laterale aplicate la nivelul maselor concentrate (la nivelul planseelor). Fortele laterale reprezinta fortele statice echivalente. Determinarea fortelor laterale se efectueaza n doua etape. n prima etapa se determina forta taietoare de baza, iar n cea de-a doua etapa aceasta se distribuie pe naltimea structurii conform modului fundamental.Rezultatele unui calcul cu forte laterale reprezinta valorile de vrf ale eforturilor si deplasarilor structurii.Forta taietoare de baza se poate determina cu relatia:

unde Mn* este masa modala efectiva din modul propriu n, An este pseudo-acceleratia spectrala corespunzatoare perioadei proprii de vibratie din modul n.

Formulnd expresia lui Vbn pentru modul fundamental de vibratie (n=1) si folosind notatiile din P100-1/2006 aceasta devine:

unde:Fb - forta taietoare de baza corespunzatoare modului propriu fundamental, pentru fiecare directieorizontala principala considerata n calculul cladirii Sd( T1) - ordonata spectrului de raspuns de proiectare corespunzatoare perioadei fundamentale T1T1 - perioada proprie fundamentala de vibratie a cladirii n planul ce contine directia orizontala consideratam - masa totala a cladirii -factor de corectie care tine seama de contributia modului propriu fundamental prin masa modalaefectiva asociata acestuia, ale carui valori sunt: = 0.85 daca T1 TC si cladirea are mai mult de doua niveluri si= 1.0 n celelalte situatii.

Expresiile fortelor statice echivalente fin din modul propriu n, ale factorului de participare modala si ale masei modale efective sunt date de relatiile:

unde: fin - este forta statica echivalenta pe directia gradului de libertate i n modul propriu n.

Se poate obtine urmatoare expresie pentru pseudo-acceleratia spectrala An:

nlocuind expresia n, An si Mn* n relatia fortelor statice echivalente fin, obtinem:

Folosind notatiile din P100-1 (2006) si particulariznd pentru modul fundamental de vibratie, relatia devine:

Unde:Fi - forta seismica orizontala static echivalenta de la nivelul iFb- forta taietoare de baza corespunzatoare modului fundamental, si componenta formei fundamentale pe directia gradului de libertate dinamica de translatie la nivelul iN- numarul de niveluri al cladiriimi masa de la nivelul iForma proprie fundamentala poate fi aproximata printr-o variatie liniara proportionala cu naltimea. n acest caz fortele orizontale de nivel sunt date de relatia:

Unde:zi - reprezinta naltimea nivelului i fata de baza constructiei considerata in model.Fortele seismice orizontale se aplica sistemelor structurale ca forte laterale la nivelul fiecarui planseuconsiderat indeformabil n planul sau. n figura de mai jos sunt prezentate schematic fortele orizontale de nivel din metoda fortelor laterale. De mentionat ca distributia "invers triunghiulara" a fortelor laterale (proportionale cu naltimea) reprezinta n mod simplificat forma modului fundamental de vibratie. Fortele laterale fiind proportionale cu masa de la nivelul i, vor avea aceasta distributie doar n cazul n care masele de nivel sunt egale ntre ele.

Fig : Reprezentarea schematica a fortelor orizontale de nivel folosite in metoda de calcul cu forte laterale.

O alta simplificare permisa de normativul P100-1 (2006) o reprezinta determinarea perioadei fundamentalede vibratie. Astfel, pentru proiectarea preliminara a cladirilor cu naltimi de pna la 40 m, se poate utiliza urmatoarea formula simplificata pentru estimarea perioadei fundamentale de vibratie:

unde:T1 - este perioada fundamentala a cladirii, n secundeCt- este un coeficient ale carui valori sunt functie de tipul structurii, dupa cum urmeaza:Ct = 0.085 pentru cadre metalice (necontravntuite),Ct = 0.075 pentru cadre din beton armat (necontravntuite) sau cadre metalice cu contravntuiri excentrice,Ct = 0.05 pentru celelalte tipuri de structuri.H- naltimea cladirii, n metri, masurata de la nivelul fundatiei sau de la extremitatea superioara ainfrastructurii rigide.

1.2. Metoda de calcul modal cu spectre de raspuns

Metoda de calcul modal cu spectre de raspuns descrisa n P100-1 (2006) se aplica cladirilor care nu ndeplinesc conditiile specificate pentru utilizarea metodei simplificate cu forte laterale static echivalente. Metoda de calcul modal cu spectre de raspuns se foloseste n cazul structurilor cu forme complexe, sau cu distributii neuniforme ale masei si rigiditatii, deoarece raspunsul unor astfel de sisteme este dat de aportul mai multor moduri proprii de vibratie.n calcul se considera modurile proprii cu o contributie semnificativa la raspunsul seismic total. Aceasta conditie este ndeplinita daca: suma maselor modale efective pentru modurile proprii considerate reprezinta cel putin 90% din masa totala a structurii, sau au fost considerate n calcul toate modurile proprii cu masa modala efectiva mai mare de 5% din masa totala.n cazul modelelor spatiale, conditiile de mai sus se verifica pentru fiecare directie de calcul.n cazul n care conditiile anterioare nu pot fi satisfacute pentru un numar suficient de mare de moduri proprii de vibratie (spre exemplu, la cladirile cu o contributie semnificativa a modurilor de torsiune),numarul minim r de moduri proprii ce trebuie incluse ntr-un calcul spatial trebuie sa satisfaca urmatoarele conditii:

unde:r - numarul minim de moduri proprii care trebuie consideraten- numarul de niveluri deasupra terenuluiTr - perioada proprie de vibratie a ultimului mod de vibratie considerat rRaspunsurile modale pentru doua moduri proprii de vibratie consecutive, k si k + 1 sunt considerate independente daca perioadele proprii de vibratie Tk si Tk+1 (n care Tk+1Tk) satisfac urmatoarea conditie:

Pentru doua moduri proprii de vibratie independente se poate folosi metoda de combinare radical din suma patratelor (RSP). n caz contrar se va folosi fie metoda de combinare suma valorilor absolute (ABS), fie combinarea patratica completa (CPC).

2. Metode de calcul in domeniul elasto - plastic

Studiul legilor de comportare ale seciunilor i ale elementelor n elasto-plastic permite nelegerea i modelarea comportrii structurilor ncrcate progresiv pn la rupere. Considerm o structur elasto-plastic simpl un cadru ncrcat ca n figura 1 pentru care se cunosc legile de comportare a fiecrei seciuni.

Fig. 1Comportarea structurii n domeniul elasto-plastic depinde n mod esenial de istoria ncrcrii (maniera n care n fiecare din ncrcri cresc proporional cu parametrul ( multiplicatorul ncrcrilor)). Fie P0 i H0 valorile iniiale ale ncrcrii i multiplicatorul ncrcrii cu =0u. Se poate scrie c:

Cnd ncrcarile exterioare cresc, eforturile interioare cresc de asemenea. Conform valorilor eforturilor seciunile structurii sunt n stadia de comportare definite prin legile de comportare a seciunii: elastic, post-elastic sau rupere.

Fig. 2Comportarea global a structurii este rezultatul comportrii tuturor seciunilor. n consecin, prin creterea progresiv a ncrcrilor exterioare structura va parcurge urmtoarele stadii de comportare:1. Stadiul elastic (fig. 2.a). Momentele ncovoietoare n toate seciunile structurii nu depesc valoarea momentului de plastificare Mc. Dac se descarc structura ( n acest stadiu de comportare) nu exist deformaii remanente,2. Stadiul elasto-plastic (fig.2 b). Pentru o valoare concret a ncrcrilor ( caracterizat de multiplicatorul ncrcrii ) momentul unei seciuni I atinge valoarea momentului de plastificare:

Aceast seciune intr n stadiul post-elastic i rigiditatea se diminuaeaz rapid. Dac ncrcarea exterioar continu s creasc deformaiile plastice se extind pe lungimea plastic lp i fenomenele post-elastice se dezvolt de o manier identic cu cele descries n paragraful dedicat legilor de comportare a elementelor. Treptat i pe msur ce ncrcrile cresc alte seciuni ale structurii vor suporta acelei fenomen. Rezult diminuarea rigiditii seciunilor (date de deformaiile plastice), rigiditatea global a structurii diminundu-se progresiv dar structura este capabil nc s suporte i s transmit la reazeme ncrcrile exterioare. 3. Stadiul de colaps ( de rupere sau ultim ) Diminund progresiv rigiditatea structurii, urmat de dezvoltarea articulaiilor plastice pe seciunile critice pentru o valoare concret a ncrcrilor exterioare- au o rigiditate global practic nul, deci deformaiile structurii cresc nelimitat pentru o cretere infinit mic a ncrcrilor exterioare. O reprezentare sugestiv a evolutiei comportrii structurii se obine plecnd de la stadiul elastic pn la stadiul de colaps dac se consider c deformaiile plastice sunt concentrate n articulaiile plastice. O articulaie plastic apare n seciunea i dac momentul ncovoietor tinde n aceast seciune spre valoarea Mp a momentului plastic.Fiecare articulaie plastic aprut n structur diminueaz cu o unitate gradul de nedeterminare static al acesteia. Stadiul elastic corespunde momentului ncovoietor care n toate seciunile structurii are valori inferioare momentului plastic Mpl. Stadiul elasto-plastic ncepe din momentul cnd ntr-o seciune i o articulaie plastic se formeaz i gradul de nedeterminare static scade cu o unitate. Pe msur ce ncrcrile exterioare cresc vor apare noi articulaii plastice care vor diminua gradul de nedeterminare static i rigiditatea structurii. Cnd numrul de articulaii plastice este n structura devine izostatic.Stadiul ultim (de colaps) este atins cnd a n+1 articulaie plastic se formeaz i ncrcarea exterioar crete n continuare. n acest moment structura se transform n mecanism.

2.2 Teoreme fundamentale

Starea ultima a unei structure este caracteristica de indeplinirea urmatoarelor trei grupe de conditii:a.) Conditia de echilibru static (static admisibil) compatibilitatea intre distributiile de eforturi si actiuni.b.) Conditia de mecanism (cinematic admisibila) eforturile trebuie sa aiba valori limita intr-un numar de sectiuni sau elemente, in asa fel incat structura sa devina partial sau in intregime un mecanism.c.) Conditia de siguranta (curgere plastica) in nici o sectiune sau element, eforturile efective nu trebuie sa depaseasca efortul limita (capabil): -Sp(t) S t +Sp(t)

Indeplinirea simultana a celor trei conditii care definesc starea limita este sintetizata de teorema unicitatii:

Teorema Unicitatii

Daca pentru o structura actiunata de sarcini proportionala este posibil sa se gaseasca pentru un factor de incarcare pozitiv o distributie de eforturi care satisface cele trei grupuri de conditii ale starii ultime, atunci respectiv este factorul de incarcare corespunzator cedarii structurii si este imposibil sa se obtina pentru un alt factor pozitiv o distributie de eforturi care sa indeplineasca cele trei grupuri de conditii.

Pe langa aceasta teorema, care exprim unictiatea starii ultime, mai exista doua teoreme particulare, care reunesc cate doua din cele trei grupuri de conditii ale starii ultime corespunzatoare carora s-au dezvoltat doua grupe de metode de calcul in domeniul postelastic si anume:

Teorema cinematica: Daca pentru o structura actionata de un grup de sarcini proportionale P exista o distributie de eforturi statice admisibila si care indeplinesc conditia de mecanism, valoarea corespunzatoare a lui ste mai mare sau cel putin egala cu factorul de proportionalitate ultim u .

In metodele cinematice de calcul in domeniul postelastic , plecand de la distributiile de eforturi statice admisibile si care corespund unor mecanisme posibile de cedare, se determina factorii de incarcare corespunzatori acestor mecanisme, factorul de incarcare ultim fiind cel mai mic dintre valorile obtinute:u=min(k)Dintre metodele cinematice, cea mai utilizata este metoda combinarii mecanismelor elementare.

Teorema statica:

Daca pentru o structura si o incarcare data exista o distributie de eforturi care pe intreaga structura indeplinesc conditiile de siguranta si este static admisibila cu grupul de sarcini proportionale P, valoarea corespunzatoare a lui este cea mai mica sau cel mult egala cu factorul de proportionalitate ultim u

In metodele statice de calcul in domeniul postelastic se pleaca de la distributii de eforturi care indeplinesc conditiile de echilibru static si de curgere plastica (siguranta) si se ajusteaza succesiv aceste distributii, pana cand se determina solutia care satisface si conditia de mecanism, factorul de incarcare ultim stabilindu-se pe baza criteriului:u=max(k)k reprezinta factorii de incarcare corespunzatori distributiilor intermediare de eforturi.Dintre metodele statice, cele mai utilizate sunt metoda inegalitatilor si metoda distribuirii momentelor in domeniul postelastic, tot in aceasta grupa putandu-se de asemenea incadra o parte dintre metodele de analiza a comportarii elasto-plastice ale structurilor.In paralel au fost dezvoltate si o serie de metode mixte in care se folosesc alternativ etape statice si etape cinematice , determinandu-se astfel limite inferioare si respectiv limite superioare pentru factorul de incarcare, astfel ca:c(j) u s(j+1)Referitor la structurile multietajate, pentru calculul acestora se folosesc fie metodele generale amintite mai sus adaptate corespunzator fie metode specifice bazate pe descompunerea in subansambluri sau, mai nou, metoda de tip PUSHOVER.

2.3 Metode de calcul static a structurilor n domeniul elasto-plastic

Metodele de calcul static al structurilor n domeniul elasto-plastic se clasific innd seama de urmtoarele criterii: legile de comportare acceptate pentru seciuni sunt identice cu cele acceptate pentru elementele structurale. Modelul cel mai utilizat este cel n care seciunile se comport ideal elasto-plastic care admite ipoteza articulaiilor plastice. Cu toate acestea programele de calcul actuale accept de asemenea legi de comportare foarte generale care conduc la zonele plastice studiate pentru unele lungimi plastice ale elementelor. stadiul de comportare de referin al structurii. Din acest punct de vedere, principalele tipuri de metode de calcul static ale structurilor elasto-plastice sunt: 1. Metodele de calcul pas cu pas ( metode biografice sau n englez push-over). Stadiul de referin considerat n aceste metode este stadiul elasto-plastic.2. Metode de calcul bazate pe echilibru limit, cunoscute ca metode de analiz limit. Acestea sunt metode care consider direct stadiul ultim al unei structure fr trecerea prin etapele intermediare, elasto-plastice. Prin aceste metode se determin direct valoarea ncrcrii exterioare care transforma structura n mecanism. Baza teoretic a acestor metode este teoria plastic simpl care a fost prezentat n capitolele anterioare.

Un aspect important care poate fi luat n considerare pentru definirea diferitelor metode de calcul static elasto-plastic este obligatoriu luarea n considerare a datelor experimentale i a rezultatelor diferitelor procedee de calcul. Din acest punct de vedere trebuie s distingem ntre:

a) problemele de dimensionare, specifice structurilor noi, calculate pentru a rezista la un sistem de ncrcri date. n problemele de acest tip: datele iniiale sunt ncrcrile exterioare considerate cu valorile lor maxime, care pot provoca colapsul structurii; necunoscutele problemei sunt valorile eforturilor ultime n seciunile critice ale structurii sau eforturile capabile necesare.b) Problemele de verificare, specifice structurilor existente dj dimensionate. Calculul are ca obiectiv s stabileasc capacitatea de rezisten a structurii n totalitatea acesteia. Datele problemei sunt eforturile capabile efective n toate seciunile critice ale structurii fie momentele plastice ale anumitor seciuni; Necunoscutele problemei sunt valorile maximale ale ncrcrilor exterioare care pot fi suportate de structur.Metodele de calcul static post-elastic sunt adaptate conform problemelor de dimensionare sau verificare care trebuie s fi rezolvate.

3. Calculul static post elastic, pas cu pas (calculul biographic).

Calculul static post-elastic al structurilor, care descrie comportarea structurilor n toate stadiile, se realizez prin metoda pas cu pas ( metoda biografic ). Acest calcul pune n eviden apariia succesiv a articulaiilor plastice, schimbarea continu a matricii de rigiditate a structurii n fiecare etap de ncrcare. Principiul de calcul este determinarea eforturilor i deformaiilor structurii care este ncrcat pas cu pas si care conduc la schimbarea rigiditii seciunilor ce depesc succesiv limita elastic n comportarea lor. ncrcarea monoton poate fi un sistem de fore care crete sau un sistem de deplasri impuse. Acestea pot fi adaptate pentru ncrcri variabile sau ncrcri constante. Se accept c ncrcrile {S} cresc proporional cu parametrul care este multiplicatorul ncrcrii:

unde {S0} reprezint valoarea iniial a ncrcrilor exterioare. Se accept de asemenea ca model de comportare seciunile modelului ideal elasto-plastic. Deci dac ntr-o seciune i, Mi=Mpl n seciune apare o articulaie plastic.Distribuia eforturilor n structur depinde de stadiul de solicitare al fiecrei seciuni. Pentru seciunile fiecrui element se verific dac MMc pentru determinarea domeniului de calcul. Seciunile critice sunt seciunile unde articulaiile plastice pot apare.Notaii. m numrul seciunilor critice ( depinde de alura diagramei M ),n gradul de nedeterminare static. Diagrama elastic este valabil cnd valorile momentelor de ncovoiere nu depesc Mpl pentru fiecare seciune critic. Comportarea elastic a structurii este caracterizat prin:

pentru i=1,..m.Dac ncrcrile exterioare cresc pn ce Mi=Mpl, acest moment corespunde apariiei unei articulaii plastice n seciunea i. Dup, analiza continu ca analiza elastic cnd structura are o articulaie plastic n seciunea i. Cu fiecare apariie a unei articulaii plastice gradul de hiperstaticitate se diminueaz pn ce numrul articulaiilor plastice devine n. Dup acest stadiu structura devine izostatic. Dac se ncearc s exprimm o lege de comportare pentru o structur ntreag, similar n cazul elementelor se poate scrie relaia ntre ncrcrile exterioare (care cresc progresiv pn la colapsul complet al structurii) i deplasrile corespunztoare:

Matricea de rigiditate [K] este calculat la fiecare pas, pentru structur, cu articulaii n seciunile n care M=Mpl. Date pentru calcul: structura (geometria i topologia); seciunile ( caracteristicile geometrice i mecanice ); valorile iniiale ale ncrcrilor permanente ( n general gravitaionale ) i variabile, prin ncrcrile orizontale.Etape de calcul:1. calculul static la ncrcri gravitaionale;2. calculul static sub aciunea ncrcrilor variabile (cu valorile iniiale ale ncrcrilor);3. calculul momentelor plastic n seciunile critice ( n funcie de seciuni innd seama de valoarea forei axiale);4. calculul rapoartelor:

pentru i=1..m unde s-a notat: MH,i- momentul ncovoietor calibrat prin ncrcrile orizontale; MGi- momentele date de ncrcrile gravitaionale.Aceste raporturi reprezint raporturile ntre ncrcrile variabile i rezerva de rezisten a seciunii.5. seciunea care are:

va fi prima n care apare plastificarea.

6. H=H0/k, 1=1/k reprezint valoarea parametrului ncrcrii care produce apariia primei articulaii plastice.7. luarea unei articulaii plastice n seciunea k i calcularea noii matrici de rigiditate;8. repetarea etapelor 2-7 pn la colapsul structurii;nainte de etapa 8 trebuie s verificm: Dac valoarile rotirilor seciunilor critice nu depinde de capacitatea de rotire a seciunilor; Dac efortul secional nu depete Tcap.Dac verificrile sunt satisfcute trebuie s decidem dac putem continua calculul eliminnd din structur elementul degradat sau s oprim calculul considernd c stadiul ultim al structurii a fost atins. Oricum, la apariia a n+1 articulaie plastic structura ajunge n stadiul de colaps.

Fig. 9.3

Deci un calcul static post-elastic este n principiu o succesiune de calcule elastice pentru o structur avnd articulaii plastice n seciunile critice unde momentul plastic a fost atins ( aceste aproximaii sunt uoare din punct de vedere algebric). Pentru fiecare etap de ncrcare de ncrcare exist o alt matrice de rigiditate. Rigiditatea se diminuaz pe msur ce apar articulaiile plastice. Relaia for exterioar (variabil) deplasare poate fi considerat ca o lege de comportare neliniar a structurii compus din segmente liniare. Cnd mecanismul de cedare este format, matricea de rigiditate devine degenerat. Echilibrul ntre ncrcrile exterioare i eforturile interioare rmne n toate etapele chiar pentru n+1 articulaii plastice (echilibrul limit).

APLICAIESe consider cadrul cu ncrcarea orizontal i ncrcarea vertical prezentat n figur.

Fig. 9.4

Pentru determinarea momentelor ncovoietoare se va utilize metoda forelor cu necunoscutele X2,X4 i X5. Sistemul de baz ales este prezentat n figura 9.5.

Fig. 9.5

Diagramele Mp i diagramele unitare m2, m3 i m5 sunt prezentate n figura 9.6.

Plecnd de la diagramele Mp i mi pentru i=2,4,5, se vor calcula ij i ip cu relaiile:

i

Se obin expresiile:

, , ,

, ,

Sistemul de ecuaii cu necunoscutele X2, X4 i X5 se obine cu relaiile:

pentru i=2,4,5, se obine:

Diagrama de moment ncovoietor n aceast prim etap de ncrcare va fi determinat prin suprapunerea efectelor:

4. Calculul static post elastic, metoda combinarii mecanismelor elementare

Aceasta metoda, elaborata de catre B.G. Neak si P.S. Symonds, consta in determinarea valorii factorului de incarcare corespunzator fiecarui mechanism de cedare posibil, factorul de incarcare ultim fiind conform teoremei cinematice cea mai mica dintre valorile astfel obtinute.La sistemele de solicitare preponderente la incovoiere, mecanismul se formeaza prin aparitia unor articulatii plastic intr-un numar suficient de sectiuni critice (varfuri ale diagramei de moment), iar valoarea factorului de incarcare pentru fiecare mechanism se determina din relatia de echilibru: LF=LaUnde LF este lucrul mecanis efectuat de incarcari si La lucrul mecanis efectuat de momentele plastic cu rotirile din articulatii, numit si lucru mechanic absolute.Mecanismele posibile de cedare sunt de doua tipuri: mecanisme elementare si mecanisme combinate.a.) Mecanismele elementare la randul lor pot fi: mecanisme de bara cazul barelor incarcare in noduri pe care se formeaza cel putin trei articulatii plastic; mecanisme de deplasare cate unul pentru fiecare grad de libertate cinematic al structurii; mecanisme de nod (articulatii in toate capetele barelor concurente in nod ), posibile in nodurile in care concura mai mult de doua bare).

Numarul de mecanisme elementare se determina folosind recatia generala:

N= X-nin care X este numarul de sectiuni critice si n gradul de nedeterminare static al structurii.

b.) Mecanismele combinate rezulta din combinarea mecanismelor elementare, tinandu-se cont de criteriul conform caruia se fac combinari numai intre mecanisme care conduc la un nou mechanism in care lucrul mechanic absorbit este mai mic decat suma lucrurilor mecanice absorbite ale mecanismelor intrate in combinative. Practic, pentru realizarea acestui deziderat se proceseaza astfel: nu se fac, in general, combinari intre mecanismele elementare de pe bare diferite; se fac combinari intre mecanismele care au, in articulatiile plastic din aceleasi secituni, rotiri de sensuri inverse, ceea ce poate conduce la inchiderea articulatiilor plastic respective si deci la redcerea lucrului mechanic absorbit. se utilizeaza mecanismele elementare de nod, ceea ce inseamnca de fapt rotirea nodurilor respective in senc orar sau antiorar, in asa el incat lucrul mechanic absorbit calculate in urma rotii unui nor (tinand cont de inchiderea unor articulatii plastic si eventual deschiderea altora) sa fie mai mic decat cel determinat inainte de aceasta rotire. Mai trebuie notat ca, dupa stabilirea mecanismului de cedare, este necesara determinarea distributiei fotale de moment, pentru verificare indeplinirii conditiilor de siguranta.

5. Aplicatie5.1 Metoda biografica :

Pentru cadrul considerat sa se calculeze valoarea lui Ppl.

Date de tema:Sectiune : IPE 200 ; A = 2850 mm2;Wply=194300 mm3;Wely=221000mm3;Material : S235 c=235 N/mm2;

1. Iteratia 1:Mmax=M5=1.07P=Mpl;Mpl=Wy*c;Pel_lim=Mpl/1.07=0.93Mpl;

2. Iteratia 2:M4=0.98*Pel_lim+1.05*P14=Mpl;

M1=0.7*Pel_lim+1.35*P1=Mpl;

P1=min(P1,P14)=0.084Mpl;Pel_pl2=Pel-lim+P1=1.01Mpl

3. Iteratia 3:M1=M11+M12+2.19P2=Mpl;M1=0.7Pel-lim+1.35*0.084Mpl+2.19P2;

Pel_lim3=Pel_pl2+P2=1.17Mpl

4. Iteratia 4:M3=M31+M32+M33+2.5P1=Mpl;=0.075Mpl;

Ppl=Pel_pl3+P3=1.117Mpl+0.075Mpl=1.2Mpl;

Ppl=1.2Mpl;

5.2 Principiul lucrului mechanic virtual

Pentru cadrul considerat sa se calculeze valoarea lui Ppl.

Date de tema:Sectiune : IPE 200 ; A = 2850 mm2;Wply=194300 mm3;Wely=221000mm3;Material : S235 c=235 N/mm2;

Din teorema lucrului mechanic virtual avem:Fi=FextFi*i=Fext*extPpl*3+Ppl*2=8Mpl*Ppl=8/5Mpl=1.6Mpl;

Mecanismul Elementar 1:LMV: Ppl*2=Mpl*4 Ppl1=2Mpl;

Mecanismul Elementar 2:LMV: Ppl*3=4Mpl Ppl2=1.33Mpl;

Mecanismul Combinat :LMV: 8Mpl*pl=5Ppl*plPpl3=1.6Mpl

Rezultate din metoda lucrului mechanic

Ppl=min(Ppl1,Ppl2,Ppl3)=1.33Mpl;

Rezultat din metoda biografica:

Ppl=1.2Mpl;

18 | Page