of 23/23
Gia Sư Dạy Kèm Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn/tai-lieu-mon-toan-lop-7.html Tài liệu ôn thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 phần hình học Bài toán 1: Cho tam giác ABC có 0 30 ABC 0 130 BAC . Gọi Ax là tia đối ca tia AB, đường phân giác của góc ABC cắt phân giác CAx tại D. Đường thng BA cắt đường thng CD tại E. So sánh độ dài AC và CE. Gii: Gọi Cy là tia đối ca tia CB. Dng DH, DI, DK ln lượt vuông góc với BC, AC, AB. Tgithiết ta suy ra DI = DK; DK = DH nên suy ra DI = DH (CI nằm trên tia CA vì nếu điểm I thuộc tia đối của CA thì DI > DH). Vậy CD là tia phân giác ca ICy ICy là góc ngoài của tam giâc ABC suy ra 0 0 0 30 130 80 2 2 A B ACD DCy Mặt khác 0 0 0 180 130 50 CAE . Do đó, 0 50 CEA nên CAE cân tại C. Vy CA = CE Bài toán 2: Cho tam giác ABC có BC = 10 cm. Các đường trung tuyến BD và CE có độ dài theo thứ tbằng 9 cm và 12cm. Chứng minh rng: BD CE Gii: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó ta có: 2 2 .12 8 3 3 GC CE cm 2 2 .9 6 3 3 GB BD cm . Tam giác BGC có 2 2 2 10 6 8 hay 2 2 2 BC BG CG . Suy ra BGC vuông tại G hay BD CE Bài toán 3: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BD. Trên tia đối ca tia DB lấy điểm E sao cho DE = DB. Gi M, N theo thttrung điểm của BC và CE. Gọi I, K theo thtlà giao điểm ca AM, AN vi BE. Chng minh rng BI = IK = KE

Tài liệu ôn thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 phần hình học

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Tài liệu ôn thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 phần hình học

https://giasudaykem.com.vn/tai -lieu-mon-toan-lop-7.html
Tài liu ôn thi hc sinh gii môn Toán lp 7 phn hình hc
Bài toán 1: Cho tam giác ABC có 030ABC và 0130BAC . Gi Ax là tia i ca tia AB,
ng phân giác ca góc ABC ct phân giácCAx ti D. ng thng BA ct ng thng
CD ti E. So sánh dài AC và CE.
Gii:
Gi Cy là tia i ca tia CB. Dng DH, DI, DK ln
lt vuông góc vi BC, AC, AB. T gi thit ta
suy ra DI = DK; DK = DH nên suy ra DI = DH
(CI nm trên tia CA vì nu im I thuc tia i
ca CA thì DI > DH). Vy CD là tia phân giác
ca ICy và ICy là góc ngoài ca tam giâc ABC suy ra
0 0 030 130

Mt khác 0 0 0180 130 50CAE . Do ó, 050CEA nên CAE cân ti C. Vy CA = CE
Bài toán 2: Cho tam giác ABC có BC = 10 cm. Các ng trung tuyn BD và CE có
dài theo th t bng 9 cm và 12cm. Chng minh rng: BD CE
Gii:
Gi G là trng tâm ca tam giác ABC. Khi ó ta có:
2 2
.9 6 3 3
GB BD cm . Tam giác BGC có 2 2 210 6 8
hay 2 2 2BC BG CG . Suy ra BGC vuông ti G hay BD CE
Bài toán 3: Cho tam giác ABC, ng trung tuyn BD. Trên tia i ca tia DB ly im
E sao cho DE = DB. Gi M, N theo th t trung im ca BC và CE. Gi I, K theo th t
là giao im ca AM, AN vi BE. Chng minh rng BI = IK = KE
Gia S Dy Kèm Tài Nng Vit
https://giasudaykem.com.vn/tai -lieu-mon-toan-lop-7.html
Gii:
Do AM và BD là hai trung tuyn ca tam giác
ABC ct nhau ti I nên I là trng tâm ca tam
giác ABC, ta có: 2
(1) 3
BI BD
Ta có K là trng tâm tam giác ACE nên 2
3 EK ED (2)
Mà BD = DE t (1) và (2) suy ra BI = EK (3). Mt khác, ta li có: 1
3 ID BD và
1
3 KD ED suy ra ID = KD (do BD = ED) nên
2
3 IK BD (4). T (3) và (4) suy ra BI = IK
= KE.
Bài toán 4: Cho tam giác ABC có ng trung tuyn AD = 12cm.Trung tuyn BE = 9cm
và trung tuyn CF = 15cm. Tính dài BC (hính xác n 0,1 cm)
Gii:
Trên tia i ca tia DG ly im M sao cho DM = DG khi ó AG = GM =
2 2 .12 8( )
3 3 AD cm ;
2 2 .9 6( )
3 3 BG BE cm ;
( . . )BDM CDG c g c nên suy ra GCD DBM (so le trong) nên
BM//CG và MB = CG mà 2 2
.15 10( ) 3 3
CG CF cm . Mt khác,
ta có 2 2 210 6 8 hay 2 2 2BM BG MG . Suy ra BGD vuông
ti G. Theo nh lý Pythagore ta có 2 2 2 26 4 52BD BG GD . Vy BC = 2BD
= 2 52 14,4( )cm
Bài toán 5: Chng minh rng tng dài ba ng trung tuyn ca mt tam giác ln hn
3
4 chu vi và nh hn chu vi ca tam giác y.
Gii:
2CF BC AC nên suy ra
Gia S Dy Kèm Tài Nng Vit
https://giasudaykem.com.vn/tai -lieu-mon-toan-lop-7.html
hay AD BE CF AB BC CA (1)
Trong tam giác BGC có: BG + GC > BC mà 2
3 BG BE
Tng t ta có 3
2 CF AD AC ;
3
2 BE AD AB . Cng các bt ng thc v theo v ta
có:
2 2 4
AD BE CF AB BC CA D BE CF AB BC AC (2).
Kt hp (1) và (2) suy ra 3
4 AB BC AC AD BE CF AB BC AC (pcm)
Bài toán 6: Cho tam giác ABC, gi D, E theo th t là trung im ca AB và BC. V các
im M, N sao cho C là trung im
ca ME và B là trung im ca ND.
Gi K là giao im ca AC và DM.
Chng minh N, E, K thng hàng.
Gii:
Tam giác MND có BE = EC = CM nên 2
3 ME MB mà MB là trung tuyn nên E là trng
tâm suy ra NE là trung tuyn ca tam giác NMD. Mt khác, DE //AC do DE là ng
trung bình ca tam giác ABC hay DE // KC mà C là trung im ca ME nên K là trung
im ca DM. Nên ba im N, E, K thng hàng.
Bài toán 7: Cho tam giác ABC ng trung tuyn AM. Gi I là trung im ca BM. Trên
tia i ca tia IA ly im E sao cho IE = IA. Gi N là trung im ca EC. Chng minh
rng ng thng AM i qua N
Gii:
Tam giác AEC có CI là ng trung tuyn (vì IE = IA) nên
Gia S Dy Kèm Tài Nng Vit
https://giasudaykem.com.vn/tai -lieu-mon-toan-lop-7.html
2
3 CM CI nên M là trng tâm ca tam giác AEC do ó AM i qua N
Bài toán 8: Cho tam giác ABC có AH vuông góc vi BC và 2BAH C . Tia phân giác
ca B ct AC ti E.
a) Tia phân giác BAH ct BE ti I. Chng minh rng tam giác AIE vuông cân.
b) Chng minh rng HE là tia phân giác AHC
Gii:
a) Chng minh AIE vuông cân:
Ta có AH BC nên tam giác AHC vuông ti H nên 090CAH HCA (1).
Do AI là phân giác ca BAH
nên 1
2 2
IAH BAI BAH BAH IAH
mà 2BAH C (gt) nên IAH C (2). T (1) và (2)
suy ra 090CAH IAH nên tam giác AIE vuông ti A. Ta có 1
2 ABI B ;
2 BAI BAH
Do AIE là góc ngoài ca tam giác BIA nên 0 01 1 ( ) .90 45
2 2 AIE ABI BAI B BAH
nên tam giác AIE vuông cân
b) Chng minh HE là tia phân giác AHC
Ta có IA AC mà AI là phân giác trong ca tam giác BAH nên AE là phân giác ngoài
ca tam giác ABH ti A. BE là phân giác trong ca tam giác
ABH suy ra HE là phân giác ngoài ti AHC
Bài toán 9: Cho tam giác ABC có góc 0120A . ng phân giác AD, ng phân giác
ngoài ti C ct AB ti K. Gi E là giao im ca DK và AC. Tính s o ca góc BED
Gia S Dy Kèm Tài Nng Vit
https://giasudaykem.com.vn/tai -lieu-mon-toan-lop-7.html
Gii:
Tam giác ADC có hai phân giác ngoài ti A và C ct nhau ti K nên DK là phân giác trong
ca ADC
Trong tam giác BAD có AE và DE là hai phân giác ngoài ca các góc A và D ct nhau ti
E nên BE là phân giác trong ca góc B.
EDC là góc ngoài ca tam giác BDE nên ta có EDC DBE DEB mà EDC ADE (do
DE là phân giác ADC )
suy ra 0

Bài toán 10: Cho tam giác ABC có 0120A các ng phân giác AD, BE, CF.
a) Chng minh rng DE là tia phân giác ngoài ca tam giác ADB
b) Tính EDF
Gii
a) Chng minh rng DE là tia phân giác ngoài ca tam giác ADB.
Tam giác BAD có AE và BE là hai phân giác ngoài và trong ti nh
A và B (Do 0120A ) nên DE là phân giác ngoài ca tam giác ABD.
b) Tính EDF
Trong tam giác ACD có AF và CF là hai phân giác ngoài và trong ti các nh A và C cu
tam giác ADC nên DF là phân giác ngoài ca góc D ca tam giác ADC suy ra DE là phân
giác trong ti nh D nên DE DF hay 090EDF
Bài toán 11: Cho tam giác ABC cân ti A, M là trung im ca BC. K MH vuông góc
vi AB. Gi E là mt im thuc on AH. Trên cnh AC ly im F sao cho
2.AEF EMH . Chng minh FM là tia phân giác ca góc EFC
Gii:
Tam giác ABC cân ti A có AM là trung tuyn nên AM là phân
giác BAC . Tam giác AEF có AM là phân giác trong ti góc A
nên ta phI chng minh EM là phân giác góc ngoài ti E ca tam
Gia S Dy Kèm Tài Nng Vit
https://giasudaykem.com.vn/tai -lieu-mon-toan-lop-7.html
giác AEF.
Tht vy, Do tam giác EMH vuông ti H nên 090HEM EMH mà
2.AEF EMH (gt) nên 1
2 AEF EMH . Do ó 0 0 1
90 90 1 2
HEM EMH AEF . Mt
khác ta có 0 0 0 01 1 180 ( ) 180 90 90 (2)
2 2 FEM AEF BEM AEF AEF AEF

.
T (1) và (2) suy ra HEM = FEM hay EM là phân giác ca BEF . Tia phân giác trong
AM ca góc A và tia EM là phân giác ngoài ca tam giác AEF ct nhau ti M nên FM là
phân giác ngoài ca AFE hay FM là phân giác EFC
Bài toán 12: Cho tam giác ABC có các ng phân giác BD và CE ct nhau ti I và
ID = IE. Chng minh rng B =C hay B + 0120C
Gii
Qua I k IH AB và IK AC , Do I là giao im
ca hai ng phân giác nên IH IK
và ID IE gt nên IHE IKD
(cnh huyn, cnh góc vuông)
nên suy ra ADB BEC (1)
a) Trng hp ;K AD H BE thì ta có 1
2 BEC A C ( BEC là góc ngoài ca AEC ) (2)
1
2 ADB C B ( ADB là góc ngoài ca DBC ) (3) . T (1); (2) và (3)
1 1
0 0 01 1 2 3 180 60 120
2 2 A C B A C B A A C B A C B
b) Nu H AE và K DC thì suy ra tng t trên ta có 0120C B
c) Nu H EB và K DC thì 1 1
2 2 A C A B C B
d) H AE và K DA thì 1 1
2 2 C B B C C B .
Vy c bn trng hp trên ta luôn có B =C hoc 0120C B
Gia S Dy Kèm Tài Nng Vit
https://giasudaykem.com.vn/tai -lieu-mon-toan-lop-7.html
Bài toán 13: Cho tam giác ABC. Tìm im E thuc phân giác góc ngoài ti nh A sao
cho tam giác EBC có chu vi nh nht.
Gii:
Chu vi tam giác EBC nh nht khi và ch khi tng EB + CE nh nht. V BH vuông góc
vi phân giác ngoài ti góc A ct AC ti D vì ng thng a (ng phân giác ngoài ti
nh A) cu tam giác ABC nên a là ng trung trc ca BD nên EB = ED. Do ó
EB EC ED EC DC vi mi im E thuc a ta có EB EC DC xy ra du ng thc
thì E nm gia D và C. Vy E A thì chu vi tam giác EBC nh nht
Bài toán 14: Cho tam giác ABC nhn. Tìm im M trên cnh BC sao cho nu v các
im D, E trong ó AB là ng trung trc MD, AC là ng trung trc ca ME thì DE
có dài nh nht.
Gii
Ta có AB là ng trung trc ca MD nên
AD AM ( 1)
AC là ng trung trc ca ME nên AM AE (2)
T (1) và (2) suy ra AD AE nên tam giác ADE
cân ti A và
2.DAE BAC không i nên DE t nh nht nu AD nh nht. AD AM AH vi
AH BC xy ra du bng khi M H khi ó DE t giá tr nh nht.
Bài toán 15: Cho A nm trong góc xOy nhn. Tìm im
B,C ln lt thuc Ox, Oy sao cho tam giác ABC có chu
vi nh nht.
Gii:
V D i xng vi A qua Oy, E i xng vi A qua Ox
Nên Oy, Ox ln lt là các ng trung trc ca AD và AE.
Khi ó ta có CA = CD và BE = BA nên chu vi ca tam giác
ABC là: CB + AB + CA = CB + CD + BE DE . Du ng thc xy ra khi và ch khi
;B M C N . Do ó ABC có chu vi nh nht v trí AMN
Gia S Dy Kèm Tài Nng Vit
https://giasudaykem.com.vn/tai -lieu-mon-toan-lop-7.html
Bài toán 16: Cho tam giác ABC vuông ti A, ng cao AH. Tia phân giác ca góc HAB
ct BC ti D, tia phân giác ca góc HAC ct BC ti E. Chng minh rng giao im các
ng phân giác ca tam giác ABC là giao im các ng trung trc ca tam giác ADE
Gii:
Ta có ADE là góc ngoài ca tam giác ADB nên
ADE DBA BAD . Mt khác ta có: DAC CAH HAD
mà ABH HAC (cùng ph vi BAH ); BAD DAH
(Do AD là tia phân giác ca BAH nên ADC DAC . Vy
tam giác CAD cân ti C mà CK là ng phân giác nên
CK cng là ng trung trc ca AD.
Tng t ABE cân ti E mà BP là ng phân giác nên BP cng là ng trung trc
ca AE. Nên M là giao im ca hai ng phân giác CK và BP cng là giao im ca
hai ng trung trc ca tam giác ADE.
Bài toán 17: Cho tam giác ABC cân ti A, các im E và D theo th t di chuyn trên hai
cnh AB và AC sao cho AD = CE. Chng minh rng các ng trung trc ca DE luôn i
qua mt im c nh
Gii
Khi D B E A . ng trung trc ca DE chính là ng trung trc ca AB
Khi D A E C . ng trung trc ca DE chính là ng trung trc ca AC.
Gi O là giao im ca hai ng trung trc AB và AC. Ta
phi chng minh ng trung trc ca DE i qua O.
Ta có tam giác ABC cân ti A nên O nm trên ng trung
trc ca BC. Suy ra AH = KC mà AD = CE (gt) nên DH =
KE và OH = OK nên . .HDO KEO c g c . Do ó OD =
OC. Vy mi ng trung trc ca DE u i qua mt im c nh O
Khai thác bài toán trên:
Nu ABC bt k vi AC > AB và BD = CE thì các
Gia S Dy Kèm Tài Nng Vit
https://giasudaykem.com.vn/tai -lieu-mon-toan-lop-7.html
ng trung trc ca DE luôn i qua im c nh nào?
Tìm im c bit:
Khi D B E C . ng trung trc ca DE chính
là ng trung trc ca BC.
Khi D A E G . Vi G AC . ng trung trc ca AG là (d’) ct ng trung trc
(d) ca BC ti K. Vy mi ng trung trc ca DE u i qua K.
Tht vy, trên cnh AC ly im G sao cho AB = CG. Gi K là giao im ca hai ng
trung trc (d) và (d’) ca các on thng BC và AG khi ó ta có KB = KC và KA = KG
nên . .AKB GKC c c c nên suy ra ABK GCK
hay DBK ECK nên . .DKB EKC c g c suy ra KD = KE. Vy ng trung trc ca
DE luôn qua K (pcm)
Bài toán 18: Cho tam giác ABC, ng phân giác
AD. Trên on thng AD ly im E và F sao cho
ABE CBF . Chng minh rng ACE BCF .
Gii:
V K, H, I sao cho BC, AC, AB là các ng trung
trc ca KF, EH, EI. Khi ó ta có 2.HCE ACE ;
2.KCF FCB . Ta phi chng minh ACE BCF
Ta có AI = AE = AH (vì AB là ng trung trc ca EI) nên tam giác AHI cân ti A mà
AE là phân giác nên AD là ng trung trc ca IH do ó IF = FH (1). Ta li có BK =
BF ; IBE FBK và BI = BE nên . .BEK BIF c g c
suy ra EK = IF (2). T (1) và (2) suy ra EK = FH (3)
Xét tam giác HCF và ECK ta có HC = EC (4) ( vì AC là ng trung trc ca EH);
CF = CK (vì BC là ng trung trc ca KF) (5). T (3), (4) và (5) nên
. .HCF ECK c c c suy ra
HCF ECK HCE ECF KCF FCE HCE KCF ACE BCF (pcm)
Bài toán 19: Cho tam giác ABC vuông ti A, ng cao AH. Gi E,I,K theo th t là
Gia S Dy Kèm Tài Nng Vit
https://giasudaykem.com.vn/tai -lieu-mon-toan-lop-7.html
giao im các ng phân giác ca tam giác ABC, ABH, ACH. Chng minh rng
AE IK
2
B ABI IBC (Do BI là tia phân giác ca góc
B)
2
CAH HAD DAC ( Do AD là tia phân giác ca gócCAH ) T nhng ng thc trên suy
ra ABI DAC mà 0 0 090 90 90DAC KAB ABI KAB ADB nên BD AD .
Chng minh tng t ta cng có CE AI . Tam giác AIK có hai ng cao ct nhau ti E
nên E là trc tâm ca tam giác nên AE IK
Bài toán 20: Cho tam giác ABC, ng cao AH, v ngoài tam giác y các tam giác vuông
cân ABD, ACE vi B = 090C
a) Qua im C v ng thng vuông góc vi BE ct ng thng HA ti K. Chng minh
rng DC BK .
Gii:
Ta có BEC KCA cùng ph vi KCE
HKC HBE cùng ph vi KIE nên suy ra KAC ECB và
AC = CE (gt) nên . .KAC BCE g c g suy ra KA = BC. Mt
khác ta có BD =AB; KAB DBC ; KA = BC nên
. .DBC BAK c g c suy ra BKH DCB và 090HKB KBH
suy ra 0 090 90DCB KBH BMC (vi M giao im ca DC và KB) nên DC BK
ti M.
b) Trong tam giác KBC ba ng cao AH, CD, BE nên ng quy ti I.
Bài toán 21: Gi H là trc tâm ca tam giác ABC. Chng minh rng:
Gia S Dy Kèm Tài Nng Vit
https://giasudaykem.com.vn/tai -lieu-mon-toan-lop-7.html
b) 2
Gii
a) Chng minh HA + HB + HC < AB + AC.
Ta k NH // AC và HM //AB. Khi ó ta có HA < AM + HM = AM + AN (1) (Theo tính
cht on chn). Do BH vuông góc vi AC mà HN //AC nên BH HN . Do ó BH < BN.
(2) Tng t ta cng chng minh c HC < CM (3).
T (1) ; (2) và (3) suy ra HA + HB + HC < AM + AN + BN + CM = AC + AB (pcm)
a) Ta có HA + HB + HC < AB + AC (Theo câu a)
Tng t HA + HB + HC < BC + AC
HA + HB + HC < AB + BC
Cng các bt ng thc trên v theo v ta c:
2
3 2 3
HA HB HC AB BC AC HA HB HC AB BC AC (pcm)
Bài toán 22: Cho tam giác ABC vuông cân ti A. Gi M, N ln lt là trung im ca AB,
AC. K NH CM ti H. K HE AB ti E. Chng minh rng tam giác ABH cân và
HM là phân giác ca góc BHE.
Gii:
T A ta k AK CM ti K và AQ HN ti Q. Hai tam giác
vuông MAK và NCH có MA = NC = 1
2 AB
(cnh huyn, góc nhn). Suy ra AK = HC (1)
Ta li có . .BAK ACH c g c BKA AHC .
Hai tam giác vuông AQN và CHN có NA = NC và ANQ HNC (.)
nên ANQ CNH (cnh huyn, góc nhn). Suy ra AQ = CH (2).
T (1) và (2) suy ra AK = AQ nên HA là tia phân giác ca góc KHQ
suy ra 0 0 0 0 045 90 45 135 135AHQ AHC AKB .
Gia S Dy Kèm Tài Nng Vit
https://giasudaykem.com.vn/tai -lieu-mon-toan-lop-7.html
T 0 0360 135AKB BKH AKH BKH . Tam giác AKH có 045KHA nên nó vuông
cân ti K KA KH . Xét hai tam giác BKA cà BKH có BK chung ;
0135 ; . . ;BKA BKH AK KH BKA BKH c g c KHB MAK AB BH
hay tam giác BAH cân ti B
Ta có KHB MAK và KE // CA nên ACH EHM (ng v) vì ACH MAK suy ra
EHM MHB nên HM là tia phân giác ca EHB.
Dùng phng pháp phn chng chng minh hình hc
Bài toán 23: Tam giác ABC có hai góc B và C nhn. K AH BC . Chng minh rng H
nm gia BC.
Gii:
Ta thy H, B, C là ba im phân bit . Tht vy, nu H
trùng vi B hoc C thì 090B hoc 090C . Trái vi gi
thit . Trong ba im phân bit thì có mt và ch mt im
nm gia hai im kia. Gi s C nm gia B và H thì 090ACH suy ra 090BCA trái
vi gi thit. Gi s B nm gia C và H thì 090ABH suy ra
090CBA trái vi gi thit. Vy H nm gia B và C.
Bài toán 24:
2 BC AB . Chng minh 090C
b) Tam giác ABC có 060B và BC = 2dm; AB = 3dm. Gi D là trung im ca BC.
Chng minh rng AD = AC
Gii
a) Gi s 090C K AH BC thì H không trùng C nên ABH vuông ti H suy ra
030BAH nên 1
1
trùng vi C mâu thun. Nên 090C
b) Gi H là trung im ca DC thì 1,5BH dm . Do ó 1
2 BH AB .
https://giasudaykem.com.vn/tai -lieu-mon-toan-lop-7.html
Theo câu a) 090AHB nên . .AHD AHC c g c suy ra AD = AC
Bài toán 25: Cho tam giác ABC u, ng cao AH. Trên tia HD ly im C sao cho HD
= HA. Trên na mt phmg b BD không cha im A v tia Dx sao cho 015BDx . Dx
ct AB ti E. Chng minh HD = HE
Gii
Gi s HD > HE thì 015HED (1). Mt khác HD > HE nên HA > HE do ó 030AEH
(2). T (1) và (2) 045BED nên 0 0 045 15 60ABD BED BDE . Trái vi gi thit
tam giác ABC u. Tng t gi s HD < HE ta cng chng minh c 060ABD , trái
vi gi thit. Nên HD = HE (pcm)
Bài toán 26: Tam giác ABC nhn, ng cao AH, ng trung tuyn BI, ng phân
giác CK ct nhau ti ba im phân bit D, E, F. Chng minh
tam giác DEF không th là tam giác u
Gii
Gi s tam giác DEF u thì 060CFH nên 030FCH suy ra
030ACF . Ta li có 060CEI suy ra 090BIC . Tam giác
ABC có BI là trung tuyn cng là ng cao nên tam giác ABC cân ti B. li có
060ACB nên tam giác ABC u. Do ó AH, BI, CK ng quy tc là D, E, F trùng nhau,
trái vi gi thit. Vy tam giác DEF không th là tam giác u.
Bài toán 27: Tam giác ABC có ba góc nhn, các ng phân giác AD, ng trung tuyn
BM, và ng cao CH ng quy. Chng minh rng 045A
Gii
Gi s 045A . Trên tia Hx ly im E sao cho HE = HA thì
0 045 90AEC EAC ACE . Ta chng minh ACB ACE nên trái vi gi thit tam
giác ABC các góc nhn.
Tht vy, ta chng t B thuc tia Ex. Gi O là giao im ca các ng CH,BM,AD và F
là giao im ca EO và AC. Xét tam giác EAC có EA > EC (vì EA i din vi góc ln
Gia S Dy Kèm Tài Nng Vit
https://giasudaykem.com.vn/tai -lieu-mon-toan-lop-7.html
hn) mà FE là phân giác ca góc CEA nên AF > FC suy ra 2
AC AF còn M là trung im
ca AC nên M nm gia A và F vì th B thuc tia Ex. Do ó ABC ACE mà
0 090 90ACE ACB . Trái vi gi thit nên 045A .
Bài toán 28: Cho tam giác ABC có BC = 2 AB. Gi M là trung im ca BC và D là
trung im ca BM. Chng minh rng AC = 2AD
Gii
Trên tia AD ly im E sao cho AD = DE nên ta có ADB EDM
(.). DB = DM nên ABD EMD (c.g.c) suy ra AB = ME và
ABD DME .
BC nên MC = ME.
Ta li có AMC B BAM (góc ngoài bng tng hai góc trong không
k nó ca tam giác ABM) mà ABD DME và BAM BMA (Do tam giác BAM cân ti
B). Suy ra AMC BME BMA AMC AME . Vy . .AME AMC c g c . Suy ra AC =
AE =2AD (pcm).
Bài toán 29: Cho tam giác ABC vuông cân ti A và M là trung im ca BC. Trên tia BC
ly im D vi D khác B và M. K BK vuông góc vi AD
ti K. Chng minh KM là phân giác trong hoc phân giác
ngoài ca tam giác BKD ti nh K
Gii:
Khi D trùng vi C thì K trùng vi A. Khi ó AM BC ti
M nên kt lun úng. T M ta h MH KB và MI KD nên MH MI ti M và MH
//KD. Do ó 090AMI AMH BMH và 090AMI BMI BMH
Khi M nm ngoài on BD. Do ó BMH AMI (cnh huyn, góc nhn). Suy ra MI =
MH. Do M cách u hai on thng KB và KD nên KM là phân giác ca
BKD .
Gia S Dy Kèm Tài Nng Vit
https://giasudaykem.com.vn/tai -lieu-mon-toan-lop-7.html
Bài toán 30: Tam giác ABC cân ti A có 020A . Trên cnh AB ly im D sao cho AD
= BC. Tính ACD ?
Cách gii 1:
V tam giác BCE u (vi E nm cùng phia vi A có b ng thng BC) nên
0 0 0 0180 20
60 20 2
. Hay 020ECA DAC .
Xét tam giác DAC và ECA có DA = EC; ECA DAC
AC cnh chung nên DAC = ECA (c.g.c)
Suy raCAE ACD mà . .AEB AEC c c c
nên 010BAE CAE . Vy 010ACD .
Cách gii 2:
V tam giác u ADE nm ngoài tam giác ABC
thì 080CAE . Do ó . .CAE ABC c g c nên CE =AC
020ACE BAC . Nên . .ACD ECD c c c
suy ra 010ACD ECD
Cách gii 3: V tam giác u ACK ta chng minh c tam giác CDK cân ti K (vì
080KAD , KA = AB; AD = BC nên . .KAD ABC c g c suy ra KD = AC = KC ) nên
0 0 060 20 40DKC AKC AKD
suy ra 0 0 0 0 0 0 0(180 ) : 2 (180 40 ) : 2 70 70 60 10KCD DKC DCA
Cách gii 4: V tam giác u FAB vi F và C cùng phía i vi AB. Nên tam giác AFC
cân ti A Tính c 040FAC nên
0 0
0 0 0 0180 40 70 10 20 . . 10

Chú ý: Nu gi thit cho 010ACD thì AD = BC ta xét DAC = ECA (c.g.c).
Bài toán 31: Cho tam giác ABC cân có 050B C . Gi K là im
Gia S Dy Kèm Tài Nng Vit
https://giasudaykem.com.vn/tai -lieu-mon-toan-lop-7.html
trong tam giác sao cho 0 010 ; 30KBC KCB . Chng minh rng tam giác ABK cân và
tính BAK ?
Gii
Dng tam giác u EBC có nh E và A cùng nm trên mt na mt phng có b là BC.
Nên . .EAB EAC c c c Do 050B C
nên 0 0 060 50 10EBA ECA và EA là phân giác ca 030BEC BEA CEA . Do ó
EBA CBK (g.c.g) nên AB = BK hay tam giác BAK cân ti B.
0 0 0 0180 : 2 180 40 : 2 70BAK ABK .
Bài toán 32: Tính các góc ca tam giác ABC cân ti A bit rng trên cnh AB ly
im D sao cho AD = DC = BC.
Gii:
t A x thì ACD x .Do ó 2BDC x ; 2B x mà tam giác ABC có
0180A B C nên 0 0 02 2 180 5 180 36x x x x x . Vy 036x A .
Nên 0 0 0180 36 : 2 72B C .
Bài toán 33: Tam giác ABC có 0 060 ; 30B C . Ly im D trên cnh AC. im E trên
cnh AB sao cho 020ABD ; 010ACE . Gi K là giao im ca BD và CE. Tính các
góc ca tam giác KDE.
Gii:
Tam giác ABC có 0 060 ; 30B C suy ra 090A .
Do ó 0 0 090 10 80CEA ; 0 0 090 20 70BDA ;
0 0 0 0 0180 180 (20 40 ) 120CKB DKE KCB CBK . Gi I là giao im ca hai
ng phân giác ca các góc ;BCK KBC nên 060CKI BKI .
Gia S Dy Kèm Tài Nng Vit
https://giasudaykem.com.vn/tai -lieu-mon-toan-lop-7.html
Do ó 0 0 080 20 60KEA BKE KBE BKE KEA KBE
nên . .IKB EKB g c g suy ra KI = KE.
Tng t ta chng minh c . .IKC DKC g c g
suy ra KI = KD. Do ó KD = KE.
Tam giác KDE cân ti K suy ra 0 0 0(180 120 ) : 2 30KDE KED .
Bài toán 34: Cho tam giác ABC góc 090A và các góc B, C nhn, ng cao AH v
im D và E sao cho AB là ng trung trc ca HD, AC là ng trung trc ca HE.
Gi I, K theo th t là giao im ca DE vi AB và AC. Tính các góc AIC và AKB
Gii:
Trng hp 090A Thì IB và KC là hai phân giác ngoài ca tam giác IHK. Do ó HA là
phân giác trong. Do 090AHC nên HC là phân giác ngoài
ti nh H. Các phân giác ngoài ct nhau ti C nên IC là
phân giác ca góc HIK
Do ó 0
hay 090AIC .
Chng minh tng t ta cng có BK KC (phân giác trong KB và phân giác ngoài ti góc
K) nên 090AKB .
Trng hp 090A . Tam giác HIK có KC, IB là các tia phân giác trong góc ,HKI HIK
và KB, IC là các tia phân giác ngoài ,HKI HIK nên 090AIC AKB
Bài toán 35: Cho tam giác ABC có AH là ng cao, phân giác BD và 045AHD . Nêu
cách v hình và tính ADB
Gii:
*) V tam giác BHD sao cho 0135BHD , v ng thng
vuông góc vi BH ti H. v tia Bx sao cho HBD DBx
ct ng thng va v ti im A. Hai tia AD và BH ct
Gia S Dy Kèm Tài Nng Vit
https://giasudaykem.com.vn/tai -lieu-mon-toan-lop-7.html
nhau ti C, ta c hình tho mãn cn v.
Xét ABH ta có 0 090 2 90HAx ABH AHB ABH ABD ( Do BD là tia phân giác
ca góc B). Ta li có 2HAx CAx (vì tia BD là phân giác trong và tia HD là phân
giác ngoài ct nhau ti D nên AD là phân giác ngoài ca tam giác BHA). Vy
02 90ABD = 2CAx 045ABD = CAx (1). Mt khác, trong tam giác ABD có
2CAx ABD ADB (nh lý góc ngoài ca tam giác ABD). T (1) và (2) suy ra
045ABD = 045ABD ADB ADB
Bài toán 36: Cho tam giác ABC có K là giao im ca các ng phân giác, O là giao
im các ng trung trc, BC là ng trung trc ca OK. Tính các góc ca tam giác
ABC.
Gii:
Do O là giao im ca các ng trung trc ca tam giác ABC
nên OB = OC. Suy ra OBC cân ti O suy ra OBC OCB , Mà
BC là ng trung trc ca OK nên BO = BK; OC = CK.
Do ó ;OBC KBC OCB BCK . K là giao im các ng phân
giác nên OBC KBC KBA OCB BCK KCA .
Ta li có OA = OB nên OBA OAB và CA = OC nên OCA OAC .
Do ó, 3 3 6BAC BAO OAC ABO OCA mà ABC có
0 0 0 0180 2 6 2 180 10 180 18BAC ABC BCA .
Vy 0 036 ; 108ABC BCA BAC .
Bài toán 37: Cho tam giác ABC có 0 060 ; 45B C . Trong góc ABC v tia Bx sao cho
015xBC . ng vuông góc vi BA ti A ct Bx ti I. Tính ICB .
Gii:
Trên cnh BC ly im K sao cho AB = BK nên tam giác ABK cân
ti B có 060B nên tam giác ABK u . Do ó KB = KA. Ta li có
tam giác ABI vuông ti A mà 0 0 060 15 45ABI ABC IBC nên
Gia S Dy Kèm Tài Nng Vit
https://giasudaykem.com.vn/tai -lieu-mon-toan-lop-7.html
tam giác ABI vuông cân ti A suy ra AB = AK = AI. Do 0 060 ; 45B C nên 075A .
Nên 0 0 075 60 15KAC BAC BAK ; 0 0 0 090 90 75 15CAI A .
Do ó 0 0. . 45 90AKC AIC c g c ACK ACI ICB ACK ACI .
Vy 090ICB
Bài toán 38: Cho tam giác ABC có 0 075 ; 45B C . Trên cnh BC ly im D sao cho
045BAD . ng vuông góc vi DC ti C ct tia phân giác ca
ADC ti E. Tính CBE .
Gii
Ta có 0 075 ; 45B C và 045BAD suy ra 060BDA nên
0120ADC mà DE là phân giác ca ADC nên 060ADE EDC .
Ta li có CE là phân giác trong ca DCE và DA là phân giác ngoài ca EDC ct nhau
ti A nên EA là phân giác ngoài ti E.
DCE vuông ti C có 060EDC 030DEC .
Do ó 0 0 0 0180 : 2 180 30 : 2 75AED DEC (do EA là phân giác ngoài ti E) suy
ra 045DAE . Do ó . .ABD ADE g c g BD = ED nên tam giác BDE cân ti D nên
ta có 0 0 0(180 120 ) : 2 30EBD .
Bài toán 39: Cho tam giác ABC, v v phía ngoài tam giác y các tam giác u ABE;
ACF. Gi I là trung im ca BC, H là trc tâm ca tâm giác
ABE. Tính các góc cu tam giác FIH.
Gii:
Trên tia i ca tia IH ly im K sao cho IH = IK.
Gi BAC thì 0 0 060 30 90 1HAF
(vì ACF u nên 060FAC và tam giác EAB u có H là trc
tâm nên 030HAB nu 00 90 ). Ta li có: . .BIH CIK c g c
nên suy ra 030KCI HBI ABC nên 0180ACB ABC .
Gia S Dy Kèm Tài Nng Vit
https://giasudaykem.com.vn/tai -lieu-mon-toan-lop-7.html
Do ó: KCI BCA ACF 030ABC + 0 0 0180 60 270ABC
0 0 0 0360 360 270 90 2KCF KCI BCA ACF .
T (1) và (2) suy ra HAF KCF .
Nên 0. . ; 60AHF CKF c g c HF KF AFH CFK HFK do ó tam giác HFK
u suy ra tam giác HFI là na tam giác u cnh HF. Các góc ca tam giác HFI có s o
là: 0 0 090 ; 60 ; 30HIF IHF HFI .
Bài toán 40: Cho tam giác ABC cân ti A có 020BAC . Trên na mt phng
không cha B có b AC v tia Cx sao cho 060ACx , trên tia y ly im D sao
cho AB = CD. Tính ADC .
Gii:
Trên na mt phng cha B có b AC v tia Cy sao cho 060ACy . Tia này ct
AB ti E. Do tam giác ABC cân ti A có 020BAC nên 0 0 0(180 20 ) : 2 80B C .
Trong tam giác BCE có 080B . Góc BEC là góc ngoài ca tam giác AEC nên ta có
0 0 020 60 80BEC A ECA . Nên tam giác CEB cân ti C suy ra CE = CB. T ó ta có
0 0 0. . 180 80 100AEC ADC c g c AEC ADC
Bài toán 41: Cho tam giác ABC vuông cân ti A. im E nm
trong tam giác sao cho tam giác EAC cân ti E và có góc áy
015 . Tính góc BEA .
Cách gii 1: V tam giác u ACD.
Ta có tam giác EAC cân ti E nên 015EAC ACE
nên 0 0 090 15 75BAE .
Xét BAE và DAE có AB = AD = AC ; 075BAE DAE ;
AE cnh chung. Nên . .BAE DAE c g c AEB AED . Do AD = AC và EA = EC nên
ED là ng trung trc ca AC. ng thi AE là phân giác ca AEC nên
Gia S Dy Kèm Tài Nng Vit
https://giasudaykem.com.vn/tai -lieu-mon-toan-lop-7.html

Cách gii 2: V tam giác u EAK nm ngoài tam giác AEC.
Ta c . .ABK ACE c g c và
. .ABK BEK c g c 0 0 015 60 75BEA BEK KEA
Bài toán 42: Cho tam giác ABC cân ti A có 0100A . im M
nm trong tam giác ABC sao cho 0 010 ; 20MBC MCB . Tính
AMB .
Gii
0180 100 40

0 020 20MBC MCA nên CM là tia phân giác ca BCA . Trên tia CA ly im E sao
cho CB = CE nên . .MCB MCE c g c ME MB
và 0 0 0180 30 150EMC BMC 0 0 0 0360 2. 360 300 60EMB BMC . Do ó tam
giác BME u suy ra BM =BE. Ta có: 0 0 080 10 90EAB AEM nên AB ME suy ra
BA là phân giác ca góc 0 060 : 2 30MBE EBA MBA
nên 0 0 0. . 60 10 70ABM ABE c g c BEA AMB .
Bài toán 43: Cho tam giác cân ti A có 080A . Trên cnh BC ly im D sao cho
030CAD . Trên cnh AC ly im E sao cho 030EBA . Gi I là
giao im ca AD và BE. Chng minh rng tam giác IDE cân và
tính các góc ca nó.
Gii:
Ta có tam giác ABC cân ti A có 080A nên 050B C mà
030CAD nên 0 0 080 30 50BAD A DAC . Khi ó DBA cân ti D suy ra AD =
BD. Trên BI ly im K sao cho 010BAK
nên 0 0 0 0 0180 ( ) 180 (80 30 ) 70BEA BAE EBA (1)
Gia S Dy Kèm Tài Nng Vit
https://giasudaykem.com.vn/tai -lieu-mon-toan-lop-7.html
0 0 080 10 70KAE ABC BAK (2)
T (1) và (2) suy ra KAE cân ti K nên KA = KE. Ta cng chng minh c tam giác
AkD cân ti A nên AK = AD. Do ó AD = KE. (3)
Mt khác, 040KAI AKI IKA cân ti I nên IA = IK (4). T (3) và (4) suy ra IE = ID
nên tam giác IED cân ti I. 0 0 0 0180 2 180 80 100AIK DIE IAK .
0 0 0180 100
.
Bài toán 44: Cho tam giác ABC cân ti A có 020A , các im M,N theo th t thuc
các cnh bên AB, AC sao cho 050BCM ; 060CBN . Tính MNA
Gii:
Trên cnh AB ly im D sao cho AN = AD thì DN //BC và 080AND .
Ta tính DNM .
Gi I là giao im ca BN và CD thì các tam giác IBC và IDN là các tam giác
u vì 060IBC và tam giác ABC cân ti A. Ta chng minh MN là tia phân
giác ca DNB .Tht vy, Trong tam giác BDC
có 0 0 0 0180 180 80 60 40MDI BDC DBC DCB (1)
Trong tam giác BMC có 0 0 080 ; 50 50MBC MCB BMC BMC cân ti B. Do ó
BM = BC mà tam giác BIC u nên IB = BC suy ra MB = BI hay tam giác BMI cân ti B
mà 0 0
2 MBI BIM
.
Do ó 0 0 0 0 0180 180 80 60 40MID MIB DIN (2) T (1) và (2) suy ra
MDI DIM nên MDI cân ti M. Suy ra MD = MI. Ta li có NI = ND nên MN là
ng trung trc ca DI suy ra MN là phân giác ca DNB
hay 0
060 30
2 2
DNB DNM .
Gia S Dy Kèm Tài Nng Vit
https://giasudaykem.com.vn/tai -lieu-mon-toan-lop-7.html
Bài toán 45: im M nm bên trong tam giác ABC vuông cân ti B sao cho
KA: MB: MC = 1: 2: 3. Tính AMB
Gii:
V tam giác MBK vuông cân ti B ( K và A nm cùng phía i vi
BM). t MA = a; MB = 2a; MC = 3a. Khi ó ta có AB = BC;
MBC ABK ; BM = BK nên . .ABK CBM c g c suy ra CM =
KA = 3a.
Xét tam giác vuông MBK vuông ti B ta có 2 22 2 2 22 2 8MK MB MK a a a
Xét tam giác AMB có 22 2 2 2 2 28 9 3AM MK a a a a AK (vì AK = MC) nên tam
giác KMA vuông ti M. Vy 0 0 090 45 135AMB AMK KMB
Bài toán 46: Nu a, b, c là dài ba cnh ca mt tam giác tho mãn iu kin
2 2 25a b c thì c là dài cnh nh nht.
Gii
Gi s c a thì 2 22 4c c a c b c b c b và 2 2c a c a nên ta có 2 2 25c a b
trái vi gi thit
Gi s c b thì 2 22 4c c b c a c a c a và 2 2c b c b nên ta có 2 2 25c a b