Click here to load reader

ôn thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 phần hình học ... fileDoAMvàBDlàhaitrungtuyếncủatamgiácABCcắtnhautạiInênIlàtrọngtâmcủa tamgiácABC,tacó: 2 (1)

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of ôn thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 phần hình học ......

  • Ti liu n thi hc sinh gii mn Ton lp 7 phn hnh hc

    Bi ton 1: Cho tam gic ABC c 030ABC v 0130BAC . Gi Ax l tia i ca tia AB,

    ng phn gic ca gcABC ct phn gicCAx ti D. ng thng BA ct ng thng

    CD ti E. So snh di AC v CE.

    Gii:

    Gi Cy l tia i ca tia CB. Dng DH, DI, DK ln

    lt vung gc vi BC, AC, AB. T gi thit ta

    suy ra DI = DK; DK = DH nn suy ra DI = DH

    (CI nm trn tia CA v nu im I thuc tia i

    ca CA th DI > DH). Vy CD l tia phn gic

    ca ICy v ICy l gc ngoi ca tam gic ABC suy ra

    0 0

    030 130 802 2

    A BACD DCy

    Mt khc 0 0 0180 130 50CAE . Do , 050CEA nn CAE cn ti C. Vy CA = CE

    Bi ton 2: Cho tam gic ABC c BC = 10 cm. Cc ng trung tuyn BD v CE c

    di theo th t bng 9 cm v 12cm. Chng minh rng: BD CE

    Gii:

    Gi G l trng tm ca tam gic ABC. Khi ta c:

    2 2 .12 83 3

    GC CE cm

    2 2 .9 63 3

    GB BD cm . Tam gic BGC c 2 2 210 6 8

    hay 2 2 2BC BG CG . Suy ra BGC vung ti G hay BD CE

    Bi ton 3: Cho tam gic ABC, ng trung tuyn BD. Trn tia i ca tia DB ly im

    E sao cho DE = DB. Gi M, N theo th t trung im ca BC v CE. Gi I, K theo th t

    l giao im ca AM, AN vi BE. Chng minh rng BI = IK = KE

    Gii:

    https://download.com.vn/hoc-tap-lop-7
  • Do AM v BD l hai trung tuyn ca tam gic ABC ct nhau ti I nn I l trng tm ca

    tam gic ABC, ta c: 2 (1)3

    BI BD

    Ta c K l trng tm tam gic ACE nn 23

    EK ED (2)

    M BD = DE t (1) v (2) suy ra BI = EK (3). Mt khc, ta li c: 13

    ID BD v

    13

    KD ED suy ra ID = KD (do BD = ED) nn 23

    IK BD (4). T (3) v (4) suy ra BI = IK

    = KE.

    Bi ton 4: Cho tam gic ABC c ng trung tuyn AD = 12cm.Trung tuyn BE = 9cm

    v trung tuyn CF = 15cm. Tnh di BC (hnh xc n 0,1 cm)

    Gii:

    Trn tia i ca tia DG ly im M sao cho DM = DG khi AG = GM =

    2 2.12 8( )3 3AD cm ; 2 2 .9 6( )

    3 3BG BE cm ;

    ( . . )BDM CDG c g c nn suy ra GCD DBM (so le trong) nn

    BM//CG v MB = CG m 2 2 .15 10( )3 3

    CG CF cm . Mt khc,

    ta c 2 2 210 6 8 hay 2 2 2BM BG MG . Suy ra BGD vung

    ti G. Theo nh l Pythagore ta c 2 2 2 26 4 52BD BG GD . Vy BC = 2BD

    = 2 52 14,4( )cm

    Bi ton 5: Chng minh rng tng di ba ng trung tuyn ca mt tam gic ln hn

    34

    chu vi v nh hn chu vi ca tam gic y.

    Gii:

    Ta c 2AD AB AC ; 2BE AB BC

    2CF BC AC nn suy ra

    2 2AD BE CF AB BC CA

    hay AD BE CF AB BC CA (1)

  • Trong tam gic BGC c: BG + GC > BC m 23

    BG BE

    23

    CG CF nn 2 2 33 3 2BE CF BC BE CF BC .

    Tng t ta c 32

    CF AD AC ; 32

    BE AD AB . Cng cc bt ng thc v theo v ta

    c:

    3 322 4

    AD BE CF AB BC CA D BE CF AB BC AC (2).

    Kt hp (1) v (2) suy ra 34AB BC AC AD BE CF AB BC AC (pcm)

    Bi ton 6: Cho tam gic ABC, gi D, E theo th t l trung im ca AB v BC. V cc

    im M, N sao cho C l trung im

    ca ME v B l trung im ca ND.

    Gi K l giao im ca AC v DM.

    Chng minh N, E, K thng hng.

    Gii:

    Tam gic MND c BE = EC = CM nn 23

    ME MB m MB l trung tuyn nn E l trng

    tm suy ra NE l trung tuyn ca tam gic NMD. Mt khc, DE //AC do DE l ng

    trung bnh ca tam gic ABC hay DE // KC m C l trung im ca ME nn K l trung

    im ca DM. Nn ba im N, E, K thng hng.

    Bi ton 7: Cho tam gic ABC ng trung tuyn AM. Gi I l trung im ca BM. Trn

    tia i ca tia IA ly im E sao cho IE = IA. Gi N l trung im ca EC. Chng minh

    rng ng thng AM i qua N

    Gii:

    Tam gic AEC c CI l ng trung tuyn (v IE = IA) nn

    23

    CM CI nn M l trng tm ca tam gic AEC do AM i

    qua N

  • Bi ton 8: Cho tam gic ABC c AH vung gc vi BC v 2BAH C . Tia phn gic

    ca B ct AC ti E.

    a) Tia phn gic BAH ct BE ti I. Chng minh rng tam gic AIE vung cn.

    b) Chng minh rng HE l tia phn gic AHC

    Gii:

    a) Chng minh AIE vung cn:

    Ta c AH BC nn tam gic AHC vung ti H nn 090CAH HCA (1).

    Do AI l phn gic ca BAH

    nn 1 22

    IAH BAI BAH BAH IAH

    m 2BAH C (gt) nn IAH C (2). T (1) v (2)

    suy ra 090CAH IAH nn tam gic AIE vung ti A. Ta c 12

    ABI B ; 12

    BAI BAH

    Do AIE l gc ngoi ca tam gic BIA nn 0 01 1( ) .90 452 2

    AIE ABI BAI B BAH

    nn tam gic AIE vung cn

    b) Chng minh HE l tia phn gic AHC

    Ta c IA AC m AI l phn gic trong ca tam gic BAH nn AE l phn gic ngoi

    ca tam gic ABH ti A. BE l phn gic trong ca tam gic

    ABH suy ra HE l phn gic ngoi ti AHC

    Bi ton 9: Cho tam gic ABC c gc 0120A . ng phn gic AD, ng phn gic

    ngoi ti C ct AB ti K. Gi E l giao im ca DK v AC. Tnh s o ca gc BED

    Gii:

    Tam gic ADC c hai phn gic ngoi ti A v C ct nhau ti K nn DK l phn gic trong

  • ca ADC

    Trong tam gic BAD c AE v DE l hai phn gic ngoi ca cc gc A v D ct nhau ti

    E nn BE l phn gic trong ca gc B.EDC l gc ngoi ca tam gic BDE nn ta c EDC DBE DEB m EDC ADE (do

    DE l phn gic ADC )

    suy ra 0

    01 2 60 302 2 2 2 2

    EDA ABD ADC ABC BADDEB EDC DBE EDA ABD

    Bi ton 10: Cho tam gic ABC c 0120A cc ng phn gic AD, BE, CF.

    a) Chng minh rng DE l tia phn gic ngoi ca tam gic ADB

    b) Tnh EDF

    Gii

    a) Chng minh rng DE l tia phn gic ngoi ca tam gic ADB.

    Tam gic BAD c AE v BE l hai phn gic ngoi v trong ti nh

    A v B (Do 0120A ) nn DE l phn gic ngoi ca tam gic ABD.

    b) Tnh EDF

    Trong tam gic ACD c AF v CF l hai phn gic ngoi v trong ti cc nh A v C cu

    tam gic ADC nn DF l phn gic ngoi ca gc D ca tam gic ADC suy ra DE l phn

    gic trong ti nh D nn DE DF hay 090EDF

    Bi ton 11: Cho tam gic ABC cn ti A, M l trung im ca BC. K MH vung gc

    vi AB. Gi E l mt im thuc on AH. Trn cnh AC ly im F sao cho 2.AEF EMH . Chng minh FM l tia phn gic ca gc EFC

    Gii:

    Tam gic ABC cn ti A c AM l trung tuyn nn AM l phn

    gic BAC . Tam gic AEF c AM l phn gic trong ti gc A

    nn ta phI chng minh EM l phn gic gc ngoi ti E ca tam

    gic AEF.

    Tht vy, Do tam gic EMH vung ti H nn 090HEM EMH

    m

  • 2.AEF EMH (gt) nn 12AEF EMH . Do 0 0 190 90 1

    2HEM EMH AEF . Mt

    khc ta c 0 0 0 01 1180 ( ) 180 90 90 (2)2 2

    FEM AEF BEM AEF AEF AEF

    .

    T (1) v (2) suy ra HEM =FEM hay EM l phn gic ca BEF . Tia phn gic trong

    AM ca gc A v tia EM l phn gic ngoi ca tam gic AEF ct nhau ti M nn FM l

    phn gic ngoi ca AFE hay FM l phn gic EFC

    Bi ton 12: Cho tam gic ABC c cc ng phn gic BD v CE ct nhau ti I v

    ID = IE. Chng minh rng B = C hay B + 0120C

    Gii

    Qua I k IH AB v IK AC , Do I l giao im

    ca hai ng phn gic nn IH IK

    v ID IE gt nn IHE IKD

    (cnh huyn, cnh gc vung)

    nn suy ra ADB BEC (1)

    a) Trng hp ;K AD H BE th ta c 12

    BEC A C (BEC l gc ngoi ca AEC ) (2)

    12

    ADB C B (ADB l gc ngoi ca DBC ) (3) . T (1); (2) v (3) 1 12 2

    A C C B

    0 0 01 1 2 3 180 60 1202 2

    A C B A C B A A C B A C B

    b) Nu H AE v K DC th suy ra tng t trn ta c 0120C B

    c) Nu H EB v K DC th 1 12 2

    A C A B C B

    d)H AE v K DA th 1 12 2

    C B B C C B .

    Vy c bn trng hp trn ta lun c B = C hoc 0120C B

    Bi ton 13: Cho tam gic ABC. Tm im E thuc phn gic gc

    ngoi ti nh A sao cho tam gic EBC c chu vi nh nht.

    Gii:

  • Chu vi tam gic EBC nh nht khi v ch khi tng EB + CE nh nht. V BH vung gc

    vi phn gic ngoi ti gc A ct AC ti D v ng thng a (ng phn gic ngoi ti

    nh A) cu tam gic ABC nn a l ng trung trc ca BD nn EB = ED. Do

    EB EC ED EC DC vi mi im E thuc a ta c EB EC DC xy ra du ng thc

    th E nm gia D v C. Vy E A th chu vi tam gic EBC nh nht

    Bi ton 14: Cho tam gic ABC nhn. Tm im M trn cnh BC sao cho nu v cc

    im D, E trong AB l ng trung trc MD, AC l ng trung trc ca ME th DE

    c di nh nht.

    Gii

    Ta c AB l ng trung trc ca MD nn

    AD AM ( 1)

    AC l ng trung trc ca ME nn AM AE (2)

    T (1) v (2) suy ra AD AE nn tam gic ADE

    cn ti A v 2.DAE BAC khng i nn DE t nh nht nu AD nh nht. AD AM AH vi

    AH BC xy ra du bng khi M H khi DE t gi tr nh nht.

    Bi ton 15: Cho A nm trong gc xOy nhn. Tm im

    B,C ln lt thuc Ox, Oy sao cho tam gic ABC c chu

    vi nh nht.

    Gii:

    V D i xng vi A qua Oy, E i xng vi A qua Ox

    Nn Oy, Ox ln lt l cc ng trung trc ca AD v AE.

    Khi ta c CA = CD v BE = BA nn chu vi ca tam gic

    ABC l: CB + AB + CA = CB + CD + BE DE . Du ng thc xy ra khi v ch khi

    ;B M C N . Do ABC c chu vi nh nht v tr AMN

    Bi ton 16: Cho tam gic ABC vung ti A, ng cao AH. Tia phn gic ca gc HAB

    ct BC ti D, tia phn gic ca gc HAC ct BC ti E. Chng minh rng giao im cc

    ng phn gic ca tam gic ABC l giao im cc ng trung trc ca tam gic ADE

  • Gii:

    Ta c ADE l gc ngoi ca tam gic ADB nn ADE DBA BAD . Mt khc ta c: DAC CAH HAD

    m ABH HAC (cng ph vi BAH ); BAD DAH

    (Do AD l tia phn gic ca BAH nn ADC DAC . Vy

    tam gic CAD cn ti C m CK l ng phn gic nn

    CK cng l ng trung trc ca AD.

    Tng t ABE cn ti E m BP l ng phn gic nn BP cng l ng trung trc

    ca AE. Nn M l giao im ca hai ng phn gic CK v BP cng l giao im ca

    hai ng trung trc ca tam gic ADE.

    Bi ton 17: Cho tam gic ABC cn ti A, cc im E v D theo th t di chuyn trn hai

    cnh AB v AC sao cho AD = CE. Chng minh rng cc ng trung trc ca DE lun i

    qua mt im c nh

    Gii

    Khi D B E A . ng trung trc ca DE chnh l ng trung trc ca AB

    Khi D A E C . ng trung trc ca DE chnh l ng trung trc ca AC.

    Gi O l giao im ca hai ng trung trc AB v AC. Ta

    phi chng minh ng trung trc ca DE i qua O.

    Ta c tam gic ABC cn ti A nn O nm trn ng trung

    trc ca BC. Suy ra AH = KC m AD = CE (gt) nn DH =

    KE v OH = OK nn . .HDO K