of 65/65
Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán tiểu học Liên hệ đăng ký học: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 1 BỒI DƯỠNG HSG TOÁN TIỂU HỌC Giáo viên giảng dạy: Thầy Toàn Đăng ký học: 0936.128.126 Website: www.daytoantieuhoc.com NỘI DUNG CHƯƠNG TRÌNH TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG MÔN TOÁN TIỂU HỌC A. LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY B. CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG MÔN TOÁN Mọi thông tin cần hỗ trợ tài liệu, bồi dưỡng HSG Toán tiểu học từ lớp 1 đến lớp 5, ôn luyện thi vào lớp 6 các trường chuyên, trọng điểm, vui lòng liên hệ theo số máy: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com

Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Tiểu Học

  • View
    1.713

  • Download
    5

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Tiểu Học từ lớp 1 đến lớp 5. Mọi thông tin cần hỗ trợ tài liệu, bồi dưỡng HSG, đăng ký học vui lòng liên hệ Hotline: 0936.128.126.

Text of Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Tiểu Học

  • 1. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 1 BI DNG HSG TON TIU HC Gio vin ging dy: Thy Ton ng k hc: 0936.128.126 Website: www.daytoantieuhoc.com NI DUNG CHNG TRNH TI LIU BI DNG MN TON TIU HC A. L LUN V PHNG PHP GING DY B. CC CHUYN BI DNG MN TON Mi thng tin cn h tr ti liu, bi dng HSG Ton tiu hc t lp 1 n lp 5, n luyn thi vo lp 6 cc trng chuyn, trng im, vui lng lin h theo s my: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com

2. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 2 A. L LUN V PHNG PHP GING DY 1. Pht hin v bi dng hc sinh c nng khiu ton 1) Biu hin ca hc sinh c nng khiu - C kh nng thay i phng thc hnh ng gii quyt vn ph hp vi cc thay i cc iu kin. Vd: Xp 5 hnh vung bng 6 que dim? Xp 3 hnh tam gic bng 7 que dim? Xp 8 hnh tam gic bng 6 que dim? Xp 10 hnh tam gic bng 5 que dim? - C kh nng chuyn t tru tng khi qut sang c th v t c th sang tru tng khi qut Vd: Cho dy s 5, 8, 11, 14 ... Tnh s hng th 2007 ca dy s? + S hng th hai : 5 + 1 3 + S hng th ba : 5 + 2 3 + S hng th t : 5 + 3 3 + S hng th nm: 5 + 4 3 ..................................... Hy so snh mi s hng vi s hng u v khong cch ca dy s tm ra quy lut? - C kh nng xc lp s ph thuc gia cc d kin theo c hai hng xui v ngc li. Vd: + S ph thuc ca tng cc gi tr ca cc s hng c th xc nh ph thuc ca cc s hng vo s bin i ca tng. abc = 20 (a + b + c) 80 a = 10 b + 19 c 19 c 10 c = 0 a = 1; b = 8 + iu kin mt s chia ht cho 3, 5, 9, 4, 11 v ngc li? - Thch tm li gii mt bi ton theo nhiu cch hoc xem xt mt vn di nhiu kha cnh khc nhau. Vd: Ni chung tch ca 2 s t nhin l mt s ln hn mi tha s ca n. t vn tm cc th d ph nh kt lun trn. - C s quan st tinh t nhanh chng pht hin ra cc du hiu chung v ring, nhanh chng pht hin ra nhng ch nt lm cho vic gii quyt vn pht trin theo hng hp l hn c o hn. 3. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 3 - C tr tng tng hnh hc mt cch pht trin. Cc em c kh nng hnh dung ra cc bin i hnh c hnh cng cng din tch, th tch. - C kh nng suy lun c cn c, r rng. C c t m, khng mun dng li vic lm theo mu, hoc nhng ci c sn, hay nhng g cn vng mc, hoi nghi. Lun c thc t kim tra li vic mnh lm. 2) Bin php s phm: - Thng xuyn cng c cc kin thc vng chc cho hc sinh v hng dn cc em o su cc kin thc hc thng qua cc gi hay cc cu hi hng dn i su vo kin thc trng tm bi hc: Yu cu hc sinh t tm cc v d minh ha, cc phn v d d (nu c), cc th d c th ha cc tnh cht chung, c bit thng qua vic vn dng v thc hnh, kim tra cc kin thc tip thu, cc bi tp lm ca hc sinh. - Tng cng mt s bi tp kh hn trnh chung trong i hi vn dng su cc khi nim hc hoc vn dng cc cch gii mt cch linh hot, sng to hn hoc phng php tng hp. - Yu cu hc sinh gii mt bi ton bng nhiu cch khc nhau nu c th. Phn tch so snh tm ra cch gii hay nht, hp l nht. Vd: Bi ton c: Va g va ch B li cho trn Ba mi su con Mt trm chn chn Tnh s g? S ch? - Tp cho hc sinh thng xuyn t lp cc ton v gii n. Vd: Lp ton v dng tm hai s khi bit tng v hiu hoc bit tng v t s ca hai s. - S dng mt s bi ton c nhng chng minh suy din (nht l ton hnh hc) dn dn hnh thnh v bi dng cho hc sinh phng php chng minh ton hc. Vd: Cho ABC c 2 im E thuc AB v F thuc BC sao cho EA = 3 EC, FB = 2 FC; Gi I l giao im ca AF v BE; Tnh t s IF : IA v IE : IB. - Gii thiu ngoi kha tiu s mt s nh ton hc xut sc c bit l nhng nh ton hc tr tui v mt s pht minh ton hc quan trng; c bit bit l tm gng nhng nh ton hc trong nc, nhng hc sinh gii ton a phng thnh t trong cuc sng th no gio dc tnh cm yu thch mn ton v knh trng cc nh ton hc. - T chc d hi ton hc, thi ton hc v nu c iu kin t chc cu lc b cc hc sinh yu ton - Bi dng cho cc em phng php hc ton v cch t t chc t hc nh cng gia nh. 4. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 4 - Kt hp vic bi dng kh nng hc ton vi vic hc tt mn Ting Vit pht trin dn kh nng s dng ngn ng. 2. SUY LUN TON HC 1) Suy lun l g? Suy lun l qu trnh suy ngh i t mt hay nhiu mnh cho trc rt ra mnh mi. Mi mnh cho trc gi l tin ca suy lun. Mnh mi c rt ra gi l kt lun hay h qu. K hiu: X1, X2, ..., Xn Y Nu X1, X2, ..., Xn Y l hng ng th ta gi kt lun Y l kt lun logic hay h qu logic K hiu suy lun logic: 1 2, , ...., nX X X Y 2) Suy din Suy din l suy lun hp logic i t ci ng chung n kt lun cho ci ring, t ci tng qut n ci t tng qut. c trng ca suy din l vic rt ra mnh mi t ci mnh c c thc hin theo cc qui tc logic. - Quy tc kt lun: ,X Y X Y - Quy tc kt lun ngc: ,X Y Y X - Quy tc bc cu: ,X Y Y Z X Z - Quy tc o : X Y Y X - Quy tc hon v tin : X Y Z Y X Z - Quy tc ghp tin : X Y Z X Y Z - X Y Z X Y X Y Z X Z 3) Suy lun quy np: Suy lun quy np l php suy lun i t ci ng ring ti kt lun chung, t ci t tng qut n ci tng qut hn. c trng ca suy lun quy np l khng c quy tc chung cho qu trnh suy lun, m ch trn c s nhn xt kim tra rt ra kt lun. Do vy kt lun rt ra trong qu trnh suy lun quy np c th ng c th sai, c tnh c on. Vd: 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 10 = 7 + 3 ................ 5. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 5 Kt lun: Mi s t nhin chn ln hn 2 u l tng ca 2 s nguyn t. a) Quy np khng hon ton : L php suy lun quy np m kt lun chung ch da vo mt s trng hp c th c xet n. Kt lun ca php suy lun khng hon ton ch c tnh cht c on, tc l n c th ng, c th sai v n c tc dng gi ln gi thuyt. S : A1 , A2 , A3 , A4 , A5... An l B A1 , A2 , A3 , A4 , A5... An l 1 s phn t ca A Kt lun: Mi phn t ca A l B Vd: 2 + 3 = 3 + 2 4 + 1 = 1 + 4 ...... Kt lun: Php cng ca hai s t nhin c tnh cht giao hon b) Php tng t: L php suy lun i t mt s thuc tnh ging nhau ca hai i tng rt ra kt lun v nhng thuc tnh ging nhau khc ca hai i tng . Kt lun ca php tng t c tnh cht c on, tc l n c th ng, c th sai v n c tc dng gi ln gi thuyt. S : A c thuc tnh a, b, c, d B c thuc tnh a, b, c Kt lun : B c thuc tnh d . Vd: + Tnh tng : S = 1 1 2 + 1 2 3 + 1 1 .... + 3 4 99 100 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 3 2 3 .......... 1 1 1 99 100 99 100 1 1 1 100 S Tng t tnh tng: P = 1 1 2 3 + 1 2 3 4 + 1 1 .... + 3 4 5 99 100 101 1 1 1 1 = ( - ) 1 2 3 1 2 2 3 2 1 1 1 1 = ( - ) 2 3 4 2 3 3 4 2 . 6. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 6 1 1 1 1 = ( - ) 99 100 101 99 100 100 101 2 T y d dng tnh c P c) Php khi qut ha: L php suy lun i t mt i tng sang mt nhm i tng no c cha i tng ny. Kt lun ca php khi qut ha c tnh cht c on, tc l n c th ng, c th sai v n c tc dng gi ln gi thuyt. Vd: Php cng hai phn s (Lp 4) * 3 2 ? 8 8 Ta c : 3 2 3 2 5 8 8 8 8 Suy ra quy tc chung v cng hai phn s cng mu s. * 1 1 ? 2 3 Ta c: 1 1 3 3 2 2 3 6 1 1 2 2 3 3 2 6 Cng hai phn s : 1 1 3 2 5 2 3 6 6 6 Suy ra quy tc chung cng hai phn s khc mu s. Vd: Chia mt tng cho mt s ( Lp 4) -Tnh v so snh hai biu thc : (35 + 21) : 7 v 35 : 7 +21 : 7 -Ta c: (35 + 21) : 7 = 56 : 7 = 8 35 : 7 + 21 : 7 = 5 + 3 = 8 -Vy suy ra: ( 35 + 21) : 7 = 35 : 7 + 21 : 7 - Suy ra quy tc chung chia mt tng cho mt s. c) Php c bit ha: L php suy lun i t tp hp i tng sang tp hp i tng nh hn cha trong tp hp ban u. Kt lun ca php c bit ha ni chung l ng, tr cc trng hp c bit gii hn hay suy bin th kt lun ca n c th ng, c th sai v n c tc dng gi ln gi thuyt. Trong ton hc php c bit ha c th xy ra cc trng hp c bit gii hn hay suy bin: im c th coi l ng trn c bn knh l 0; Tam gic c th coi l t gic khi mt cnh c di bng 0;Tip tuyn c th coi l gii hn ca ct tuyn ca ng cong khi mt giao im c nh cn giao im kia chuyn ng n n. 3 Hai phng php chng minh ton hc Tiu hc 1) Phng php chng minh tng hp: 7. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 7 Ni dung: Phng php chng minh tng hp l phng php chng minh i t iu cho trc hoc iu bit no n iu cn tm, iu cn chng minh. C s: Quy tc lgc kt lun S : A B C ... Y X Trong A l mnh bit hoc cho trc; B l h qu lgc ca A; C l h qu lgc ca B; ..... ; X l h qu lgc ca Y. Vai tr v ngha: + Phng php chng minh tng hp d gy ra kh khn t ngt, khng t nhin v mnh chn lm mnh xut pht nu l mnh ng bit no th n hon ton ph thuc vo nng lc ca tng hc sinh. + Phng php chng minh tng hp ngn gn v thng t mnh tin ta d suy lun trc tip ra mt h qu logic ca n. + Phng php chng minh tng hp c s dng rng ri trong trnh by chng minh ton hc, trong vic dy v hc ton trng ph thng. V d: Bi ton Hin nay tui ca b gp 4 ln tui ca con v tng s tui ca hai b con l 50 tui. Hi sau bao nhiu nm na th tui ca b gp 2 ln tui ca con? Cho t gic li ABCD v M, N, P, Q ln lt l im gia ca cc cnh AB, BC, CD, DA. Bit din tch ca ca MNPQ l 100 cm2 , hy tnh din tch ca r gic ABCD? 2) Phng php chng minh phn tch i ln: Ni dung: Phng php chng minh phn tich i ln l phng php chng minh suy din i ngc ln i t iu cn tm, iu cn chng minh n iu cho trc hoc bit no . C s: Quy tc lgc kt lun. S : X Y ... B A Trong : X l mnh cn chng minh; Y l tin lgc ca X ; ..... ; A l tin lgc ca B; A l mnh bit hoc cho trc; Vai tr v ngha: + Phng php chng minh phn tch i ln t nhin, thun tin v mnh chn lm mnh xut pht l mnh cn tm, mnh cn chng minh, hay mnh kt lun. + Phng php chng minh phn tch i ln thng rt di dng v thng t mnh chn l mnh kt lun ta c th tm ra nhiu mnh khc nhau lm tin logic ca n. + Phng php chng minh phn tch i ln c s dng rng ri trong phn tch tm ra ng li chng minh ton hc, trong vic dy v hc ton trng ph thng. V d: Bi ton Hai vi nc cng chy vo mt b khng cha nc sau 12 gi th y b. Bit rng lng nc mi gi chy vo b ca vi 1 gp 1, 5 ln lng nc ca vi 2 chy vo b. Hi sau mi vi chy mt mnh trong bao lu s y b? 8. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 8 B. CC CHUYN BI DNG HSG MN TON TIU HC 1. CU TO S T NHIN Bi 1: Tm mt s t nhin c 3 ch s, bit rng nu ly ch s hng chc chia cho ch s hng n v th c thng l 2 d 2, ch s hng trm chia cho ch s hng n v th c thng l 2 d 1. Hd: + Gi s cn tm l abc , (a, b, c l cc ch s t 0 n 9, a khc 0). Ta c: b = c 2 + 2. Ch s hng n v phi ln hn 2 ( v s d l 2). Ch s hng n v cng khng th ln hn 3 (v nu chng hn bng 4 th b = 4 x 2 + 2 = 10). Vy suy ra c = 3. + Ta thy: b = 3 x 2 + 2 = 8. Theo bi ta li c: a = c x 2 + 1 = 3 x 2 + 1 = 7. Th li: 8 = 3 2 + 2; 7 = 3 2 + 1. Bi 2: Tm mt s t nhin c 4 ch s, bit rng nu ly s cng vi tng cc ch s ca n th c 2000. Hd: + Gi s s l 10,,,0;0, dcbaaabcd Theo bi ta c 2000 - abcd = a + b + c + d hay 2000 (a + b + c + d) = abcd . Lp lun c ab = 19. + T tm c c = 8 v d = 1. Th li: 2000 1981 = 1 + 9 + 8 + 1 = 19. Vy s cn tm l 1981. Bi 3: Tm s t nhin A c 2 ch s, bit rng B l tng cc ch s ca A v C l tng cc ch s ca B, ng thi cho bit A = B + C + 51. Hd: + Gi s A = ab , 0;0 , 10a a b . Lp lun c C l s c mt ch s c nn 51 cbaab hay 519 ca T 519 ca lp lun c a = 6. + T a = 6 tm c c = 3. Nn s phi tm l b6 . Xt ln lt 60, , 69 ta thy ch c 66 l cho kt qu c = 3. Th li: 12 + 3 + 51 = 66. Vy 66 l s cn tm. Bi 4: 9. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 9 Tm mt s t nhin c hai ch s, bit rng khi chia s cho hiu ca ch s hng chc v ch s hng n v th c thng l 15 v d 2. Hd: + Gi s phi tm l )10,;0(, baaab Theo u bi ta c ab = (a b) 15 +2 Hay b 16 = a 5 + 2 Nu a ln nht l 9 th a 5 + 2 ln nht l 47. Khi b 16 ln nht l 47 nn b ln nht l 2 (v 47 : 16 = 2 d 15) + V a 5 + 2 0 nn b 0. b = 1 th a = 14 : 5 (loi) b = 2 th a = 6. Th li. (6 2) 15 + 2 = 62. S phi tm l 62. Bi 5: Tm mt s c 2 ch s, bit rng nu ly s chia cho tng cc ch s ca n th c thng l 5 d 12. Hd: + Gi s phi tm l ab , ( 0 a, b < 10, a 0). Ta c ab = 5 (a + b) + 12, vi a + b > 12. Sau khi bin i ta c: 5 a = 4 b + 12. + V 4 b + 12 chia ht cho 4 nn : 5 a , suy ra a = 4 hoc a = 8, thay vo ta tm c a = 8. Th li thy tho mn. Kt lun: S phi tm l 87. Bi 6: Tm mt s t nhin c 3 ch s, bit rng nu ly s chia cho tng cc ch s ca n th c thng l 11. Hd: + Gi s cn tm l abc, (a, b, c l cc ch s t 0 n 9, a khc 0). ( ) 11abc a b c (theo bi ra) 100 10 11 11 11a b c a b c (cu to s v nhn mt s vi mt tng) 89 10a b c (cng bt i 11 10a b c ) 89 1, 89 198a cb a cb abc Bi 7: Tm s chia v thng ca mt php chia c d m s b chia l 5544, cc s d ln lt l 10, 14 v cui cng l 9. 10. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 10 Hd: - Lp lun c thng l s c 3 ch s, cn s chia l s c 2 ch s. - M phng qu trnh chia: - Tm 3 tch ring tng ng vi 3 ln chia c 3 s d l 10, 14, 9. + Tch ca s chia v ch s hng cao nht ca thng l 55 10 = 45 + Tch ca s chia v ch s hng cao th 2 ca thng l 104 14 = 90. + Tch ca s chia v ch s hng cao th 3 ca thng 114 9 = 135 Trong 3 tch ring c s 45 l s l v nh nht nn s chia l s l, m s 45 ch chia ht cho s c 2 ch s l 45. Vy s chia l 45, thng l 123. Bi 8: Khi nhn mt s t nhin vi 2008, mt hc sinh qun vit mt ch s 0 s 2008 nn tch ng b gim i 221400 n v. Tm tha s cha bit. Hd: Tha s bit l 2008, nhng vit sai thnh 208. Tha s ny b gim i 2008 208 = 1800 (v). Tha s cha bit c gi nguyn, tha s bit b gim i 1800 n v th tch b gim i l 1800 ln tha s cha bit. Theo bi s gim i l 221400. Vy tha s cha bit l 221400 : 1800 = 123. Bi 9: Tm s t nhin c 2 ch s, bit rng nu ly s chia cho hiu ca ch s hng chc v ch s hng n v, ta c thng l 28 d 1. Hd: Gi s phi tm l ab , ( 0 a, b < 10, a 0). Ta c ab = (a b) 28 + 1. Khi 0 < a b < 4 v nu khng th ab khng phi l s c 2 ch s. Nu a b = 1 th ab = 29 loi v a khng tr c cho b. Nu a b = 2 th ab = 57 loi v a khng tr c cho b. Nu a b = 3 th ab = 85 chn v a b = 8 5 = 3. Bi 10: Tm s t nhin c 3 ch s, bit rng s gp 20 ln tng cc ch s ca n. Hd: 5544 -. 104 -. 144 -. 9 11. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 11 Gi s phi tm l abc , ( 0 a, b, c < 10, a 0). Theo bi ra ta c: abc = (a + b + c) 20. V tri c tn cng l 0 nn v phi c tn cng l 0, hay c = 0. khi ta c: 8 a = b suy ra a = 1, b = 8. Th li: 180 = (1 + 8 + 0) 20. Bi 11: Tm s t nhin c 3 ch s, bit rng s gp 5 ln tch cc ch s ca n. Hd: Gi s phi tm l abc , ( 0 a, b, c < 10, a 0). Theo bi ra ta c: abc = 5 a b c. iu ny chng t 5abc , tc l c = 0 hoc c = 5. D thy c = 0 v l ( Loi) Vi c = 5: Ta c 5 25ab . Vy suy ra b = 2 hoc b = 7. Vi b = 2 v l (Loi) Vi b = 7: Suy ra a = 1. S phi tm 175. Bi 12: Tm s t nhin c 3 ch s, bit rng nu chuyn ch s cui ln trc ch s u ta c s mi hn s cho 765 n v. Hd: Gi s phi tm l abc, ( 0 a, b, c < 10, a 0). Theo bi ra ta c: cab - abc = 765 11 c = 85 + b + 10 a V 85 + b + 10 a 95 11 c 95 c = 9 14 = b + 10 a a = 1, b = 4. Vy s phi tm l 149. Bi 13: Tm s t nhin c 3 ch s, bit rng nu ta xa ch s hng trm i ta c s mi gim i 7 ln so vi s ban u. Hd: Gi s phi tm l abc , ( 0 a, b, c < 10, a 0). Theo bi ra ta c: abc = 7 bc a 100 = 6 bc a 50 = 3 bc a l bi ca 3 a = 3, bc = 50 Vy s phi tm l 350 Bi 14: 12. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 12 Tm s t nhin c 3 ch s, bit rng nu ta vit s theo th t ngc li ta c s mi ln hn hn s cho 693 n v. Hd: Gi s phi tm l abc, ( 0 a, b, c < 10, a 0). Theo bi ra ta c: cba - abc = 693 99 (c a) = 693 c a = 693 : 99 = 7 a = 1, c = 8 ; a = 2, c = 9 v b = 0, 1, 2, , 9 Bi 15: Tm s t nhin c 4 ch s c ch s hng n v l 5, bit rng nu chuyn ch s 5 ln u th ta c s mi gim bt i 531 n v. Hd: Gi s phi tm l abc5 , ( 0 a, b, c < 10, a 0). Theo bi ra ta c: abc5 - 5abc = 531 abc 10 + 5 - ( 5000 + abc) = 531 abc = 614 Vy s phi tm l: 6145 Bi 16: Tm s t nhin c 4 ch s, bit rng nu xa ch s hng chc v ch s hng n v th ta c s mi gim i 4455 n v. Hd: Gi s phi tm l abcd , ( 0 a, b, c, d < 10, a 0). Theo bi ra ta c: abcd - ab = 4455 cd = 99 ( 45 - ab ) ( 45 - ab ) = 0, ( 45 - ab ) = 1 Nu ( 45 - ab ) = 0: S phi tm l 4500 Nu ( 45 - ab ) = 1: S phi tm l 4499 Bi 17: Tm s t nhin c 4 ch s, bit rng nu vit s theo th t ngc li th ta c s mi gp 4 ln s ban u. Hd: Gi s phi tm l abcd , ( 0 a, b, c, d < 10, a 0). Theo bi ra ta c: abcd 4 = dcba a = 1 hoc a = 2 v nu a 3 th tch abcd 4 khng l s c 4 ch s Nu a = 1: Ta c 1bcd 4 = dcb1 y l iu v l. Nu a = 2: Ta c 2bcd 4 = dcb2 4 d c tn cng l 2 d = 3 hoc d = 8. Nu d = 3: Ta c 2bc3 4 > 3cb2 l v l Nu d = 8: Ta c 2bc8 4 = 8cb2 390 b + 30 = 60 c 39 b + 3 = 6 c b = 1, c = 6 13. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 13 Vy s phi tm l: 2168 Bi 18: Tm s t nhin bit rng nu vit thm ch s 0 vo gia ch s hng chc v ch s hng n v th ta c s mi gp 7 ln s ban u. Hd: V s phi tm c ch s hng chc v ch s hng n v nn n t nht phi l s c 2 ch s. Vy gi s phi tm l Ab , ( 0 b < 10, A > 0). Theo bi ra ta c: Ab 7 = A0b b 6 = A 5 6 b = A 5 b = 5 (V A > 0) A = 1. S phi tm l 15. Bi 19: Tm s t nhin bit rng nu vit thm ch s 0 vo gia ch s hng chc v ch s hng trm th ta c s mi gp 6 ln s ban u. Hd: V s phi tm c ch s hng chc v ch s hng trm nn n t nht phi l s c 3 ch s. Vy gi s phi tm l Abc , ( 0 b, c < 10, A > 0). Theo bi ra ta c: Abc 6 = A0bc bc 5 = A 80 5 bc = A 80 bc = 80 (V A > 0) A = 1. S phi tm l 180. 2. DY S CCH U Bi 1: Cho dy s 2, 4, 6, 8, ..., 2006. a) Dy ny c bao nhiu s hng? S hng th 190 l s hng no? b) Ch s th 100 c dng vit dy s cho l ch s no? Hd: a) S cc s hng: (2006 2) : 2 + 1 = 1003. S hng th 190 l: (190 1) 2 + 2 = 380 b) Dy s 2, 4, 6, , 98 c 4 + [(98 10) : 2 + 1] 2 = 94 ch s. V 94 < 100 nn ch s th 100 phi nm trong dy s 100, 102, 104, , 998. Ch s th 100 c dng vit dy s cho l ch s th 100 94 = 6 ca dy s 100, 102, 104, , 998. Vy ch s th 100 l ch s 2. Bi 2: Cho dy s 11, 13, 15, ..., 175. a) Tnh s ch s dng vit tt c cc s hng ca dy s cho. Ch s th 136 c dng vit dy s cho l ch s no? b) Tnh tng cc s hng ca dy s cho. Hd: 14. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 14 a) Dy s 11, 13, , 99 c [(99 11) : 2 + 1] 2 = 90 ch s. Dy s 101, 103, , 175 c [(175 101) : 2 + 1] x 3 = 114 ch s. S cc ch s s dng trong dy cho l: 90 + 114 = 204 (ch s) + V 204 > 136 > 90 nn ch s th 136 phi nm trong dy s 101, 103, ,175. Ch s th 136 ca dy s 11, 13, 15,..., 175 l ch s th 136 90 = 46 ca dy s 101, 103, , 175. + Ta c: 46 : 3 = 15 (d 1). + Tm c s hng th 16 ca dy s 101, 103, , 175 l 131. Vy ch s th 136 ca dy cho l 1. b) S s hng ca dy s cho l 45 + 38 = 83. Vy suy ra:11 + 13 + 15 + + 175 = (11 + 175) 83 : 2 = 7719 Bi 3: Cho dy s 4, 8, 12, 16, ... a) Xt xem cc s 2002 v 2008 c thuc dy s cho khng? Nu n thuc th cho bit s th t trong dy ca n. b) Ch s th 74 c dng vit dy s cho l ch s no? Hd: a) c im ca dy s cho l cc s hng ca dy u chia ht cho 4. S 2002 khng chia ht cho 4 nn khng thuc dy s cho. S 2008 chia ht cho 4 nn thuc dy s cho. S th t trong dy ca s 2008 l (2008 4) : 4 + 1 = 502. b) Trong dy 12, 16, 20, , 96 c [(96 12) : 4 + 1] 2 = 44 ch s. Vy ch s th 74 ca dy s cho l ch s th 74 2 22 2 = 28 ca dy s 100, 104, 108, Ta c 28 : 4 = 7 nn ch s th 28 ca dy s 100, 104, 108, l ch s cui cng ca s hng th 7 ca dy s 100, 104, 108, Ch s cn tm l 4. Bi 4: Cho dy s 11, 14, 17, 20, a) Ch s th 166 c dng vit dy s cho l ch s no? b) Tnh tng ca 130 s hng u tin ca dy s cho. Hd: a) Dy s 11, 14, 17, , 98 c s ch s l: [(98 11) : 3 + 1] 2 = 60 . Dy s 101, 104, 107, , 998 c s ch s l: [(998 101) : 3 + 1] 3 = 900. V 60 < 166 < 900 nn ch s th 166 phi nm trong dy s 101, 104, , 998. Ch s th 166 ca dy s cho l ch s th 166 60 = 106 ca dy s 101, 104, , 998. Ta c: 106 : 3 = 35 (d 1) nn ch s th 166 ca dy s cho l ch s u tin ca s hng th 36 trong dy s 101, 104, , 998. S hng th 36 trong dy s101, 104, , 998 l 206. Vy ch s cn tm l 2. b) S hng th 130 l 398. Vy tng l (11 + 398) 100 : 2 = 20450. Bi 5: 15. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 15 Cho dy s 1, 3, 5, 7, ..., 2009. a) Dy ny c bao nhiu s hng? S hng th 230 l s hng no? b) Ch s th 100 c dng vit dy s cho l ch s no? Hd: a) S cc s hng: (2009 1) : 2 + 1 = 1005. S hng th 230 l: (230 1) 2 + 1 = 459 b) Ch s th 100 l ch s 0. Bi 6: Cho dy s 10, 12, 14,..., 138. a) Ch s th 103 c dng vit dy s cho l ch s no? b) Tnh tng cc s hng ca dy s cho. Hd: a) S cc ch s c s dng trong dy 10, 12, 96, 98 l 2 45 = 90 (ch s). V 103 > 90 nn ch s th 103 ca dy s cho phi nm trong dy s 100, 102, , 138. Ch s th 103 ca dy s cho l ch s th 103 90 = 13 ca dy s 100, 102, , 138. + Ta c: 13 : 3 = 4 (d 1) nn ch s th 103 ca dy s cho l ch s u tin ca s hng th 5 trong dy s 100, 102, , 138. S hng th 5 trong dy s100, 102, , 138 l 108. Vy ch s cn tm l 1. b) S cc s hng ca dy l (138 10) : 2 + 1 = 65 Vy 10 + 12 + 14 + + 138 = (10 + 138) 65 : 2 = 4810. Bi 7: Cho dy s 101, 102, 103, , 1000, 1001, ..., 2005 a) Dy ny c bao nhiu s hng? S hng th 75 l s hng no? b) Tnh s ch s dng vit tt c cc s hng ca dy s cho. Ch s th 116 c dng vit dy s cho l ch s no? Hd: a) S s hng l (2005 101) : 1 + 1 = 1905. S hng th 75 l (75 1) 1 + 101 = 175. b) S ch s l 899 3 + 1006 4 = 8721. V c: 116 < 899 3 nn ch s th 116 thuc dy s 101, 102, 999. Ta o 116 : 3 = 38 (d 2) nn ch s th 116 l ch s th 2 ca s hng th 39 ca dy s cho. S hng th 39 l (39 1) 1 + 101 = 139. Vy ch s cn tm l ch s 3. Bi 8: Cho dy s 11, 16, 21, 26, 31, ... 16. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 16 a) Tnh s ch s dng vit cc s hng ca dy s cho k t s hng u tin n s hng 2001. Ch s th 124 c dng vit dy s cho l ch s no? b) Tnh tng ca 203 s hng u tin ca dy s cho. Hd: a) [(96 11) : 5 + 1] 2 + [(996 101) : 5 + 1] 3] + 1 4 = 18 2 + 180 3 + 1 4 = 580. Ta c 18 2 < 124 < 180 3 nn ch s th 124 thuc dy s c ba ch s 101, 106, , 996. Ch s th 124 ca dy s cho l ch s th 124 18 2 = 88 ca dy s 101, 106, , 996. Ta c 88 : 3 = 29 (d 1) nn ch s th 88 dy s 101, 106, , 996 l ch s th 1 ca s hng th 30 ca dy s 101, 106, , 996. S hng th 30 l (30 1) 5 + 101 = 246. Vy ch s cn tm l ch s 2. b) S hng th 203 l (203 1) 5 + 11 = 1021. Tng l (11 + 1021) 203 : 2 = 104748. Bi 9: Cho dy s 2, 5, 8, 11, , 2009. a) Dy ny c bao nhiu s hng? S hng th 99 l s hng no? b) Ch s th 50 c dng vit dy s cho l ch s no? Hd: a) S cc s hng: (2009 2) : 3 + 1 = 670. S hng th 99 l: (99 1) 3 + 2 = 296. b) Dy s 2, 5, 8 c 3 ch s. Dy s 11, 14, 17, , 98 c [(98 11) : 3 + 1] 2 = 60 ch s. C 3 < 50 < 60 nn ch s th 50 ca dy s cho thuc dy s 11, 14, 17, , 98. Ch s th 50 ca dy s cho l ch s th 50 3 = 47 ca dy s 11, 14, 17, , 98. Ta c 47 : 2 = 23 (d 1) nn ch s th 47 dy s 11, 14, 17, , 98 l ch s th 1 ca s hng th 24 ca dy s 11, 14, 17, , 98. S hng th 24 l (24 1) 3 + 11 = 80. Vy ch s cn tm l ch s 8. Bi 10: Cho dy s 1, 5, 9, 13, a) Ch s th 135 c dng vit dy s cho l ch s no? b) Tnh tng ca 200 s hng u tin ca dy s cho. Hd: a) Dy s 1, 5, 9, 13, 17, 21, , 97 c 3 + [(97 13) : 4 + 1] 2 = 47 ch s. Dy s 101, 105, 109, , 997 c [(997 101) : 4 + 1] 3 = 675 ch s. V 47 < 135 < 675 nn ch s th 135 phi nm trong dy s 101, 105, , 997. 17. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 17 Ch s th 135 ca dy s 101, 105, , 997 l ch s th 135 47 = 88 ca dy s 101, 105, , 997. Ta c: 88 : 3 = 29 (d 1) nn ch s th 88 dy s 101, 105, , 997 l ch s th 1 ca s hng th 30 ca dy s 101, 105, , 997. S hng th 30 l (30 1) 4 + 101 = 217. Vy ch s cn tm l ch s 2. b) S hng th 200 l (200 1) 4 + 1 = 797. Tng l (1 + 797) 200 : 2 = 79800. Bi 11: Cho dy s 5, 8, 11, a) Tnh tng ca 205 s hng u tin ca dy s cho? b) Ch s th 135 c dng vit dy s cho l ch s no? Hd: a) S hng th 204 trong dy s l: [(204 1) 3] + 5 = 620 Tng ca 204 s hng u ca dy: (620 + 5) 102 = 62500 + 1250 = 63750 Tng ca 204 s hng u ca dy: 63750 + 623 = 64373 b) S c 1 ch s trong dy l: (8 5) : 3 + 1 = 2 S c 2 ch s trong dy l: (98 11) : 3 + 1 = 30 S c 3 ch s trong dy l: (998 111) : 3 + 1 = 330 Ta c 2 1 + 30 2 < 135 < 330 3 nn ch s th 135 thuc dy s c ba ch s 101, 104, , 998. Ch s th 135 ca dy s cho l ch s th 135 30 2 - 2 = 63 ca dy s 101, 104, , 998. Ta c 63 : 3 = 21 (d 0) nn ch s th 63 dy s 101, 104, , 998 l ch s th 3 ca s hng th 21 ca dy s 101, 104, , 998. S hng th 21 l (21 1) 3 + 101 = 161. Vy ch s cn tm l ch s 1 Bi 12: Tnh tng S = 10, 11 + 11, 12 + 12, 13 + .. + 98, 99 + 99, 100 Hd: S = (10 + 11 + 12 + .. + 98 + 99) + (0, 10 + 0, 11 + 0, 12 + .. + 0, 98 + 0, 99) = [(99 100) : 2 (9 10) : 2] + [(99 100) : 2 (9 10) : 2 : 100] = 4905 + 49, 05 = 4954, 05 Bi 13: Tnh tng S = 1 2 + 3 4 + - 1000 + 1001 Hd: S = 1 + (3 2) + (5 - 4) + + (1001 1000) = 1 + 1 + 1 + + 1 = 1 + [(1001 2) : 1 + 1] : 2 = 501 Bi 14: Cho dy s 1 3 , 2 3 3 , 7, 1 10 3 , a) Xc nh s hng th 2009 ca dy s cho? 18. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 18 b) Trong 2009 s hng u ca dy c bao nhiu s t nhin? Tnh tng ca tt c cc s t nhin ? Hd: a) Ta thy dy s trn l dy s cch u vi khong cch d = 10 3 Vy s hng th 2009 trong dy s trn l: 10 1 20081 (2009 - 1) + = 3 3 3 b) S hng th 2007 trong dy s trn l: 10 1 (2007 - 1) + = 669 3 3 Dy s t nhin c trong 2009 s hng u ca dy l: 7, 17, 27, , 669 T y d dng suy ra kt qu vi dy s t nhin cch u Bi 15: a) Tm x bit: (x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + + (x + 28) = 155 b) Tnh tng: S = 9, 8 + 8, 7 + + 2, 1 1, 2 2, 3 - .. 7, 8 8, 9 Hd: a) Ta c: x + 1 + x + 4 + x + 7 + + x + 28 = 155 (x + x + .. + x) + (1 + 4 + 7 + .. + 28) = 155 10 x + 145 = 155 x = 1 b) Ta c: S = 9, 8 + 8, 7 + + 2, 1 1, 2 2, 3 - .. 7, 8 8, 9 = (2, 1 1, 2) + (3, 2 2, 3) + .. (8, 7 7, 8) + (9, 8 8, 9) = 1, 1 8 = 8, 8 3. TON V TUI Bi 1: Nm nay, tui c gp 8 ln tui chu. Mi hai nm sau, tui c gp 2, 4 ln tui chu. Tnh tui ca hai c chu hin nay. Hd: Hiu s tui ca hai c chu hin nay l: 8 1 = 7 (ln tui chu hin nay) Hiu s tui ca hai c chu khi tui c gp 2, 4 ln tui chu l 2, 4 1 = 1, 4 (ln tui chu lc ) V hiu s tui ca 2 c chu khng thay i theo thi gian nn: 7 ln tui chu hin nay = 1, 4 ln tui chu lc . 19. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 19 Hay cch khc: 1ln tui chu hin nay = 0, 2 ln tui chu lc Ta c s : Tui chu hin nay l 12 : (5 1) 1 = 3 (tui) Tui c hin nay l 3 8 = 24 (tui) Bi 2: Hin nay tui cha gp 5 ln tui con. Trc y 6 nm tui cha gp 17 ln tui con.Tnh tui ca cha v ca con hin nay. Hd: Hiu s tui ca hai cha con hin nay l: 5 1 = 4 (ln tui con hin nay) Hiu s tui ca hai cha con khi tui cha gp 17 ln tui con l 17 1 = 16 (ln tui con lc ) V hiu s tui ca 2 cha con khng thay i theo thi gian nn: 4 ln tui con hin nay = 16 ln tui con khi . Hay cch khc: 1ln tui con hin nay = 4 ln tui con lc Ta c s : Tui con hin nay l: 6 : (4 1) 4 = 8 (tui) Tui c hin nay l : 8 5 = 40 (tui) Bi 3: Nm nay tui ca 2 cha con cng li bng 36. n khi tui con bng tui cha hin nay th tui con bng 5 9 tui cha lc . Tm tui 2 cha con hin nay. Hd: Nu coi tui con sau ny l 5 phn th tui cha sau ny l 9 phn nh th. Khi hiu s tui ca 2 cha con l 9 5 = 4 (phn) V hin nay tui cha bng tui con sau ny nn hin nay tui cha chim 5 phn m hiu s tui ca 2 cha con khng thay i theo thi gian (hiu l 4 phn) nn s phn tui con l 5 4 = 1(phn). Do hin nay s phn tui ca 2 cha con l 5 + 1 = 6 (phn) Ta c s : Tui chu hin nay: Tui chu sau 12 nm: Tui con hin nay: Tui con trc 6 nm: Tui cha sau ny: 36 tuiTui cha hin nay: Tui con sau ny: Tui con hin nay: 20. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 20 Vy tui con hin nay l 36 : 6 = 6 (tui). Tui cha hin nay l 36 6 = 30 (tui). Bi 4: Nm nay, tui b gp 2,2 ln tui con. Hai mi lm nm v trc, tui b gp 8,2 ln tui con. Hi khi tui b gp 3 ln tui con th con bao nhiu tui? Hd: Tui b hin nay hn tui con s ln l: 2, 2 1 = 1,2 (ln tui con hin nay). Tui b cch y 25 nm hn tui con s ln l 8, 2 1 = 7,2 (ln tui con lc ). Vy ta suy ra: 1,2 ln tui con hin nay = 7,2 ln tui con lc . Tui con hin nay gp tui con 25 nm trc s ln l: 7,2 : 1,2 = 6 (ln). Ta c s : Tui con hin nay l: 25 : (6 1) 6 = 30 (tui). Tui b hin nay l : 30 2,2 = 66 (tui). Hiu s tui ca 2 b con hin nay l: 66 30 = 36 (tui) Ta c hiu s tui ca 2 b con khi tu khi b gp 3 ln tui con l 2 ln tui con khi . Do 2 ln tui con sau ny = 36 tui Vy tui con khi l: 36 : 2 = 18 (tui) Bi 5: Hin nay tui cha gp 4 ln tui con. Trc y 6 nm tui cha gp 13 ln tui con. Tnh tui ca cha v ca con hin nay Hd: Ta c: Hiu s tui ca 2 cha con hin nay l 3 ln tui con hin nay Hiu s tui ca 2 cha con trc y 6 nm l 12 ln tui con khi Vy: 3 ln tui con hin nay = 12 ln tui con trc y. Ta c s : Tui con trc y l 6 : (4 1) 1 = 2 (tui) Tui con hin nay l: 2 + 6 = 8 (tui) Tui cha hin nay l : 8 4 = 32 (tui). Bi 6: Tui b nm nay gp 4,2 ln tui chu. Mi nm v trc, tui b gp 10,6 ln tui chu. Tnh tui b v tui chu hin nay. Hd: Tui con hin nay: Tui con trc y: 25 6 Tui con trc y: Tui con hin nay: 21. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 21 V hiu s tui ca hai b chu khng thay i theo thi gian nn 3,2 ln tui chu hin nay = 9,6 ln tui chu 10 nm trc. Hay tui chu hin nay = 3 ln tui chu 10 nm trc. Vy tui chu hin nay l: (10 : 2) 3 = 15 (tui). Tui b hin nay l :15 4,2 = 63 (tui) Bi 7: Nm nay, tui bc gp 3 ln tui chu. Mi lm nm v trc, tui bc gp 9 ln tui chu. Hi khi tui bc gp 2 ln tui chu th chu bao nhiu tui? Hd: Tui bc hin nay hn tui chu s ln l: 3 1 = 2 (ln tui chu hin nay). Tui bc cch y 15 nm hn tui chu s ln l 9 1 = 8 (ln tui chu lc ). Vy suy ra: 2 ln tui chu hin nay = 8 ln tui chu lc . Hay: 1 ln tui chu hin nay = 4 ln tui chu lc . Tui chu hin nay l: 15 : (4 1) 4 = 20 (tui). Tui bc hin nay l: 20 3 = 60 (tui). Khi tui bc gp 2 ln tui chu th tui chu l: 40 : 2 1 = 40 (tui). Bi 8: Nm nay, tui m gp 2,5 ln tui con. Nhng 6 v trc, tui m gp 4 ln tui con. Tnh tui ca 2 m con hin nay? Hd: Hiu s tui ca 2 m con hin nay l: 2,5 1, 5 = 1,5 (ln tui con hin nay). Hiu s tui ca 2 m con trc y 6 nm l: 4 1 = 3 (ln tui con lc ). Vy suy ra: 1, 5 ln tui con hin nay = 3 ln tui con trc y. Hay: 1 ln tui chu hin nay = 2 ln tui chu lc . Ta c s : Tui con hin nay l: 6 : (2 1) 2 = 12 (tui). Tui m hin nay l: 12 2,5 = 30 (tui). Bi 9: Nm nay anh 27 tui. Bit rng nm m tui ca anh bng tui ca em hin nay th tui ca anh ch bng na tui ca anh khi . Tnh tui ca em hin nay? Hd: Theo bi ra ta c: Tui ca anh trc y gp 2 ln tui ca em trc y Tui ca em hin nay gp 2 ln tui ca em trc y Hiu s tui ca 2 anh em trc y tui bng 1 ln tui ca em trc y. M hiu s tui ca 2 ngi khng i nn suy ra: Tui ca anh hin nay gp (2 + 1) ln tui ca em trc y. Do c s sau: Tui em trc y: Tui anh trc y: Tui em hin nay: Tui anh hin nay: 6 Tui con trc y: Tui con hin nay: 22. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 22 Tui ca em hin nay l: 27 : 3 2 = 18 (tui) Bi 10: Hin nay tng s tui ca 2 anh v em l 20 tui. Bit rng tui ca em hin nay gp 2 ln tui ca em khi anh bng tui em hin nay. Tnh tui 2 ngi hin nay? Hd: Theo bi ra ta c: Tui ca em hin nay gp 2 ln tui ca em trc y Tui ca anh trc y gp 2 ln tui ca em trc y Hiu s tui ca 2 anh em trc y tui bng 1 ln tui ca em trc y. M hiu s tui ca 2 ngi khng i nn suy ra: Tui ca anh hin nay gp (2 + 1) ln tui ca em trc y. Do c s sau: Tui ca em hin nay l: 20 : (3 + 2) 2 = 8 (tui) Tui ca anh hin nay l: 20 8 = 12 (tui) Bi 11: Hin nay tng s tui ca 2 anh v em l 15 tui. Bit rng khi tui ca em bng tui ca anh hin nay th tui ca anh gp 1,5 ln tui ca em khi . Tnh tui 2 ngi hin nay? Hd: Theo bi ra ta c: Tui ca anh sau ny gp 1,5 ln tui ca em sau ny Tui ca anh hin nay bng tui ca em sau ny Hiu s tui ca 2 anh em sau ny tui bng 0,5 ln tui ca em sau ny. M hiu s tui ca 2 ngi khng i nn suy ra: Tui ca em hin nay bng 0,5 ln tui ca em sau ny. Do c s sau: Tui ca em hin nay l: 15 : (1 + 2) 2 = 6 (tui) Tui ca anh hin nay l: 15 6 = 9 (tui) Bi 12: Hin nay An nhiu hn Bnh 14 tui. Tnh tui ca 2 ngi hin nay, bit rng khi tui ca Bnh bng tui ca An hin nay th tui ca An bng 3 5 ln tui ca Bnh khi . Tui em trc y: Tui anh trc y: Tui em hin nay: Tui anh hin nay: 20 Tui em hin nay: Tui anh hin nay: Tui em sau ny: Tui anh sau ny: 15 23. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 23 Hd: Theo bi ra ta c: Tui ca An sau ny bng 3 5 ln tui ca Bnh sau ny Hiu s tui ca 2 ngi sau ny bng 5 2 - 1 = 3 3 ln tui ca Bnh sau ny Tui ca An hin nay bng 1 ln tui ca Bnh sau ny Suy ta tui ca Bnh hin nay bng 2 1 1 - = 3 3 ln tui ca Bnh sau ny Vy ta c s nh sau: Theo s trn ta c: Tui ca An hin nay l: 14 : (3 1) 3 = 21 (tui) Tui ca Bnh hin nay l: 14 : (3 1) 1 = 7 (tui) Bi 13: Hin nay Hng nhiu hn Minh 12 tui. Tnh tui ca 2 ngi hin nay, bit rng khi tui ca Minh bng tui ca Hng hin nay th tui ca Minh bng 5 3 ln tui ca Hng khi . Hd: Theo bi ra ta c: Tui ca Hng sau ny bng 3 5 ln tui ca Minh sau ny Hiu s tui ca 2 ngi sau ny bng 5 2 - 1 = 3 3 ln tui ca Minh sau ny Tui ca Hng hin nay bng 1 ln tui ca Minh sau ny Suy ta tui ca Minh hin nay bng 2 1 1 - = 3 3 ln tui ca Minh sau ny Vy ta c s nh sau: Theo s trn ta c: Tui ca Hng hin nay l: 12 : (3 1) 3 = 18 (tui) Tui ca Minh hin nay l: 12 : (3 1) 1 = 6 (tui) Tui Bnh hin nay: Tui An hin nay: Tui Bnh sau ny: Tui An sau ny: 14 Tui Minh hin nay: Tui Hng hin nay: Tui Minh sau ny: Tui Hng sau ny: 12 24. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 24 Bi 14: Hin nay tui ca b gp 4 ln tui ca con v tng s tui ca 2 b con l 50 tui. Hi sau bao nhiu nm na tui b gp 2 ln tui con? Hd: Theo bi ra ta c: Tui ca b hin nay l: 50 : (4 + 1) 4 = 40 (tui) Tui ca con hin nay l: 50 : (4 + 1) 1 = 10 (tui) Hiu s tui ca 2 b con hin nay l 40 10 = 30 (tui) Hiu s tui ca 2 b con sau ny bng 1 ln tui ca con sau ny M hiu s tui ca 2 ngi khng i theo thi gian nn suy ra: 1 ln tui ca con sau ny bng 30 tui. Do c s v mi quan h gia tui con hin nay v sau ny nh sau: Tui ca con hin nay l: 20 : (3 - 1) 1 = 10 (tui) Vy s nm sau tui b gp 2 ln tui con l: 30 10 = 20 (nm) Bi 15: Hin nay tui ca b gp 4 ln tui ca con v sau 20 nm na tui ca b gp 2 ln tui con. Tnh tui ca hai b con hin nay? Hd: Theo bi ra ta c: Hiu s tui ca 2 b con hin nay bng 3 ln tui ca con hin nay Hiu s tui ca 2 b con sau 20 nm bng 1 ln tui ca con khi M hiu s tui ca 2 ngi khng i theo thi gian nn suy ra: 3 ln tui ca con hin nay bng 1 ln tui ca con sau 20 nm. Do c s v mi quan h gia tui con hin nay v sau ny nh sau: Tui ca con hin nay l: 20 : (3 - 1) 1 = 10 (tui) Tui ca b hin nay l: 10 4 = 40 (tui) Bi 16: Hin nay tng s tui ca 2 b con l 50 tui gp v bit rng sau 20 nm na tui ca b gp 2 ln tui con. Tnh tui ca hai b con hin nay? Hd: Theo bi ra ta c: Tng s tui ca 2 b con hin nay bng 50 tui Vy tng s tui ca 2 b con sau 20 nm l: 2 20 + 50 = 90 (tui) Tui con hin nay: Tui con sau 20 nm: 20 nm 25. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 25 M sau 20 nm tui b gp 2 ln tui con. Nh vy ta a bi ton v dng ton tm 2 s khi bit tng bng 90 v t s l 1 2 . Do ta tnh c tui con sau 20 nm nh sau: Tui ca con sau 20 nm l: 90 tui : ( 2 + 1) 1 = 30 (tui) Tui ca con hin nay l: 30 - 20 = 10 (tui) Tui ca b hin nay l: 50 - 10 = 40 (tui) Bi 17: Hin nay ch hn em 7 tui. Bit rng khi tui ca em bng tui ca ch hin nay th tui ca ch gp 1,5 ln tui ca em khi . Tnh tui 2 ngi hin nay? Hd: Theo bi ra ta c: Tui ca chi sau ny gp 1,5 ln tui ca em sau ny Tui ca ch hin nay bng tui ca em sau ny Hiu s tui ca 2 ch em sau ny tui bng 0,5 ln tui ca em sau ny. M hiu s tui ca 2 ngi khng i, nn suy ra: Tui ca em hin nay bng 0,5 ln tui ca em sau ny. Do c s sau: Tui ca em hin nay l: 7 : (2 - 1) 1 = 7 (tui) Tui ca anh hin nay l: 7 + 7 = 14 (tui) Bi 18: Nm nay ch 25 tui. Bit rng nm m tui ca ch bng tui ca em hin nay th tui ca em ch bng 1 3 tui ca ch khi . Tnh tui ca em hin nay? Hd: Theo bi ra ta c: Tui ca ch trc y gp 3 ln tui ca em trc y Tui ca em hin nay gp 3 ln tui ca em trc y Hiu s tui ca 2 ch em trc y tui bng 2 ln tui ca em trc y. M hiu s tui ca 2 ngi khng i nn suy ra: Tui ca ch hin nay gp (3 + 2) ln tui ca em trc y. Do c s sau: Tui ca em hin nay l: 25 : 5 3 = 15 (tui) Tui em hin nay: Tui ch hin nay: Tui em sau ny: Tui ch sau ny: 7 Tui em trc y: Tui ch trc y: Tui em hin nay: Tui ch hin nay: 25 26. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 26 Bi 19: Nm nay em 4 tui. Bit rng nm m tui ca em bng tui ca ch hin nay th tui ca em ch bng 3 5 tui ca ch khi . Tnh tui ca ch hin nay? Hd: Theo bi ra ta c: Tui ca ch sau ny bng 5 3 ln tui ca em sau ny Tui ca ch hin nay bng 1 ln tui ca em sau ny Hiu s tui ca 2 ch em sau ny tui bng 5 2 - 1 = 3 3 ln tui ca em sau ny. M hiu s tui ca 2 ngi khng i nn suy ra: Tui ca em hin nay bng 2 1 1 - = 3 3 ln tui ca em sau ny. Do c s sau: Tui ca ch hin nay l: 4 : 1 3 = 12 (tui) Bi 20: Hin nay ch hn em 6 tui. Bit rng khi tui ca em bng tui ca ch hin nay th tui ca ch gp 3 ln tui ca em hin nay. Tnh tui 2 ngi hin nay? Hd: Theo bi ra ta c: Tui ch hin nay bng tui em sau ny. Hiu s tui ca 2 ch em hin nay v sau ny u bng 6 tui. Do suy ra: Suy ra: Tui ca em hin nay + 12 tui = Tui ca ch sau ny M ta bit rng: Tui ca ch sau ny gp 3 ln tui em hin nay. Vy suy ra: Tui ca em hin nay + 12 tui = 3 Tui ca em hin nay 2 Tui ca em hin nay = 12 (tui) Tui ca em hin nay l: 12 : 2 = 6 (tui) Tui ca ch hin nay l: 6 + 6 = 12 (tui) Bi 21: Tnh tui ca hai anh em hin nay. Bit rng 62,5% tui anh hn 75% tui em l 2 tui v 50% tui anh hn 37,5% tui em l 7 tui Hd: Theo bi ra ta c: 50% tui anh hn 37,5% tui em l 7 tui 100% tui anh hn 75% tui em l 14 tui M 62,5% tui anh hn 75% tui em l 2 tui Tui em hin nay: Tui ch hin nay: Tui em sau ny: Tui ch sau ny: 4 Tui ca em hin nay + 6 tui = Tui ca em sau ny Tui ca em sau ny + 6 tui = Tui ca ch sau ny 27. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 27 100% - 62,5% = 37,5% tui anh l 14- 2 = 12 tui Vy tui anh l: 12 : 37,5 100 = 32 (tui) 75% tui em hin nay l: 32 - 14 = 18 (tui) Tui em hin nay l: 18 : 75 100 = 24 (tui) 4. TON CHUYN NG U Bi 1: Hai thnh ph cch nhau 186 km. Lc 6 gi mt ngi i xe my t A vi vn tc 30 km/gi b B, lc 7 gi mt ngi i xe my t B vi vn tc 35 km/gi v A. Hi lc my gi th hai ngi gp nhau v ch gp nhau cch A bao nhiu km? Hd: Khi ngi th 2 xut pht th ngi th nht cch B l 186 30 = 156 (km). Qung ng 2 ngi i c trong 1 gi l 30 + 35 = 65 (km). Thi gian 2 ngi gp nhau l 242)( 5 2 265:156 h h pht. 7h + 2h 24 = 9h 24. Vy hai ngi gp nhau lc 9 gi 24 pht. Qung ng t A n a im gp nhau l )(10230 5 2 230 km . Bi 2: Mt t chy t A n B. Nu chy mi gi 60 km th t s n B lc 14 gi. Nu chy mi gi 40 km th t s n B lc 16 gi. Hy tnh qung ng AB v tm xem trung bnh mi gi t phi chy bao nhiu km n B lc 15 gi? Hd: Do trn cng mt qung ng vn tc tng ln bao nhiu ln th thi gian gim i by nhiu ln nn ta c: Thi gian i vi vn tc 40 km/h gp 1, 5 ln thi gian i vi vn tc 40 km/h. Ta c s sau: Qung ng AB di l 60 2 2 = 240 (km). n B lc 15 gi, mi t phi chy 240 : 5 = 48 (km) Bi 3: Mt t chy t A n B mt 2 gi. Mt xe my chy t B n A mt 3 gi. Hy tnh qung ng AB, bit vn tc ca t hn vn tc ca xe my l 20km/gi. Nu hai xe khi hnh cng mt lc th chng gp nhau ti cng mt a im cch A bao nhiu km? Hd: 30 km 156 km C BA 2 gi Thi gian i vi vn tc 60 km/h: Thi gian i vi vn tc 40 km/h: 28. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 28 T s thi gian ca t v xe my l 2 3 . Do trn cng mt qung ng thi gian tng ln bao nhiu ln th vn tc gim i by nhiu ln nn ta c s : Vn tc xe my: Vn tc t: Vn tc t l : 20 3 = 60 (km/gi). Vn tc xe my l 60 20 = 40 (km/gi). Qung ng AB l 60 2 = 120 (km). Nu hai xe khi hnh cng mt lc th s gp nhau sau mt thi gian l 120 : (60 + 40) = 1,2 (gi) a im gp nhau cch A l 60 1,2 = 70 (km). Bi 4: Mt t chy t A n B. Nu chy mi gi 55 km th t s n B lc 15 gi. Nu chy mi gi 45 km th t s n B lc 17 gi. Hy tnh qung ng AB v tm xem trung bnh mi gi t phi chy bao nhiu km n B lc 16 gi? Hd: T s vn tc ca t v xe my i trn qung ng AB l 55 11 45 9 . Do trn cng mt qung ng vn tc tng ln bao nhiu ln th thi gian gim i by nhiu ln nn ta c: Thi gian i vi vn tc 45 km/h bng 11 9 ln thi gian i vi vn tc 55 km/h . Do ta c s : Thi gian i vi vn tc 55 km/h: Thi gian i vi vn tc 45 km/h: Qung ng AB di l 55 (2 : 2) 9 = 495 (km). n B lc 15 gi, mi t phi chy 495 : 10 = 49,5 (km). Bi 5: Mt t i t A qua B n C ht 8 gi. Thi gian i t A n B gp 3 ln i t B n C v qung ng t A n B di hn t B n C l 130 km. Bit rng mun i c ng thi gian nh, t B n C t phi tng vn tc thm 5 km mt gi. Hi qung ng BC di bao nhiu km? Hd: Theo bi ra ta c:Trn qung ng AB = BC + 130 km t i vi vn tc v1 trong 6 gi, cn trn qung ng BC t i vi vn tc v2 trong 2 gi. Do suy ra t i vi vn tc v1 trong 2 gi i c qung ng bng qung ng BC bt i l: 5 2 = 10 km Vy t i vi vn tc v1 trong 4 gi i c qung ng tng ng l: 130 + 10 = 140 (km). Vn tc ban u ca t l: 140 : 4 = 35 (km/h) Qung ng BC l 80 km. 2 gi 20 km/h A v1 8 gi v2= v1+5km B C 29. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 29 Bi 6: Lc 5 gi 30 pht, mt ngi i xe my khi hnh t tnh A vi vn tc 40km/gi v n tnh B lc 8 gi 15 pht, ngi ngh li tnh B l 30 pht ri quay v tnh A vi vn tc c. Lc 7 gi 45 pht mt ngi khc i xe p khi hnh t tnh A n tnh B vi vn tc 10km/gi. Hi hai ngi gp nhau lc my gi v ch gp nhau cch tnh B bao nhiu km? Hd: Thi gian ngi i xe my t tnh A n tnh B l: 8 gi 15 pht - 5 gi 30 pht = 2 gi 45 pht = 2,75 gi. Qung mg t A n B l: 40 2,75 = 110 (km) Ngi i xe my ri tnh B lc 8 gi 15 pht + 30 pht = 8 gi 45 pht Thi gian ngi i xe p i t 7 gi 45 pht n 8 gi 45 pht l: 8 gi 45 pht - 7 gi 45 pht = 1 gi. n 8 gi 45 pht ngi i xe p i c 10km. Lc 8 gi 45 pht hai ngi cch nhau l 110 10 = 100 (km). Thi gian hai ngi gp nhau l: 100 : (40 + 10) = 2 (gi) Hai ngi gp nhau lc 8 gi 45 pht + 2 = 10 gi 45 pht. Ch gp nhau cch B l: 40 2 = 80 (km). Bi 7: Xe th nht i t A n B ht 3 gi 20 pht. Xe th hai i t B n A ht 2 gi 48 pht. Bit rng hai xe cng khi hnh v sau 1 gi 15 pht th chng cn cch nhau 25 km. Tnh vn tc mi xe. Hd: i n v thi gian: 3 gi 20 pht = 200 pht = 10/3 gi; 2 gi 48 pht = 168 pht = 14/5 gi; 1 gi 15 pht = 75 pht; + Tnh phn s ch phn ng i c sau 75 pht ca hai xe l: 200 75 168 75 28 23 56 25 8 3 (qung ng AB). + Tnh phn s ch phn ng cn li l 28 23 5 28 28 28 (qung ng AB). + V 5 28 qung ng AB biu th 25km nn qung ng AB di l: 25 : 5 28 = 140 (km). + Vn tc ca xe th nht l )/(42 3 10 :140 hkm . + Vn tc ca xe th hai l )/(50 3 14 :140 hkm . Bi 8: Hai bn Vit v Nam i xe p xut pht cng lc t A n B, Vit i vi vn tc 12 km/gi, Nam i vi vn tc 10 km/gi. i c 1, 5 gi, i Nam, Vit gim vn tc xung cn 7 km/gi. Tnh qung ng AB, bit rng lc gp nhau cng l lc Vit v Nam cng n B. Hd: 30. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 30 Sau 1,5 gi Vit cch xa Nam l 12 1, 5 - 10 1, 5 = 18 15 = 3 (km). Lc Vit i vi vn tc 7 km/gi v Nam i vi vn tc 10 km/gi nn thi gian chuyn ng Nam ui kp Vit l 3 : (10 7) = 1 (gi). Qung ng AB di l 18 + 7 1 = 25 (km). Bi 9: Mt ca n xui mt khc sng ht 3 gi v ngc khc sng ht 5 gi. Tnh chiu di khc sng, bit vn tc dng nc l 50 m/ ph. Hd: Ta thy: Mi gi ca n xui dng c 1 3 khc sng v mi gi ca n ngc dng c 1 5 khc sng. Mi gi dng nc xui c 1 1 1 ( ) : 2 3 5 15 (khc sng) Thi gian dng nc xui t A n B l 1 1 : 15 15 (gi) V 50m/ph = 3km/h nn khc sng di l 3 15 = 45(km). Bi 10: Mt on tu chy ngang qua mt ct in ht 10 giy. Cng vi vn tc , on tu chy ngang qua mt ng hm di 210 m ht 52 giy. Tnh chiu di v vn tc tu. Hd: Trong khong thi gian 10 giy tu i c qung ng l chiu di tu Trong khong thi gian 52 giy tu i c qung ng l chiu di tu cng vi chiu di hm(210 m). Vy thi gian tu i c qung ng 210 m l: 52 8 = 42 (giy). Vn tc tu l: 210 : 42 = 5(m/s) (= 18km/h) Chiu di on tu l: 5 10 = 40 (m). Bi 11: Mt hnh khch ngi trn mt chic xe la ang chay vi vn tc 36km/h nhn thy mt chic xe la tc hnh di 75 mt i ngc chiu qua mt mnh ht 3 giy. Tnh vn tc ca xe la tc hnh. Hd: i n v: 36 km/h = 10 m/s Trong khong thi gian 3 giy ngi ngi trn xe la i c qung ng l: 10 3 = 30 (m) Trong khong thi gian 3 giy xe la tc hnh i c qung ng l chiu di tu tr i 30 m.Vy vn tc ca xe la tc hnh l: (75 30) : 3 = 15(m/s) = 54( km/h) Bi 12: 3 s 3 s 75 m 30 m 31. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 31 Mt xe la chy qua mt cu di 181 mt ht 47 giy. Bit cng vn tc y xe la lt qua mt ngi i b ngc chiu trong 9 giy. Tnh vn tc v chiu di xe la, bit vn tc ngi i b l 1 m/s. Hd: Trong khong thi gian 47 giy xe la i c qung ng l chiu di xe la cng chiu di cu (181m) Trong khong thi gian 9 giy xe la i c qung ng l chiu di tu bt i 9 m, tc l nu thm vo 9 m th xe la i c qung ng l chiu di xe la. Vy thi gian tu i c qung ng (181 + 9) = 190 m l: 47 9 = 38 (s) Vn tc ca xe la l: 190 : 38 = 5 (m/s) = 18 (km/h) Chiu di ca xe la l: 5 9 = 45 (m) Bi 13: Mt ngi i xe my t A ti B ht mt khong thi gian d nh no . Bit rng nu i vi vn tc 30 km/h th n B sm 1 gi, nu i vi vn tc 20 km/h th n B chm 1 gi. Tnh qung ng AB? Hd: Trn cng qung ng AB ta c thi gian t l nghch vi vn tc: 1 2 2 1 t v 20 = = t v 30 M d thy: t2 t1 = 2 (h). n y a v bi ton tm 2 s c t s l 2 3 v c hiu bng 2. Suy ra c qung ng AB l: 120 km. Bi 14: Mt t i t thnh ph A ti thnh ph B ht 10 gi. Lc u t i vi vn tc 40 km/h, khi ti v tr cn cch 100 km na c na qung ng th t tng vn tc ln thnh 60 km/h v n B ng hn. Tnh vn tc trung bnh ca t i t A ti B? Hd: 9 s 9 s 9 m 47 s 181 m v1=30 km ? km 20 km 30 km v2=20 km A BC D B ? km 100 kmA CD 100 km E t1, v1 =40km/h t2, v2 =60km/h 32. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 32 Gi C l im gia qung ng AB, D l im thuc on AC sao cho DC = 100 km. Ly im E thuc on CB sao cho CE = 100 km. D dng suy ra AD = EB. Trn 2 qung ng bng nhau ny ta c thi gian t l nghch vi vn tc, tc l: 1 2 2 1 t v 60 = = t v 40 M d thy: 1 2 200 t + t = 60 . T y d dng tnh c t1, t2 , suy ra qung ng AD v qung ng AB bng 520 km. Bi 15: Hai vi nc cng chy vo 1 b khng cha nc sau 12 gi y b. Bit rng lng nc mi gi vi 1 chy vo b bng 1, 5 ln lng nc vi 2 chy vo b. Hi mi vi chy mt mnh trong bao lu s y b? Hd: Theo bi ra ta c: + v1 = 1, 5 v2 + v1 + v2 = 1 12 T y d dng tnh c 1 1 v 20 (b)v 2 1 v 30 (b) Vy suy ra vi 1chy mt mnh trong 20 gi s y b, vi 2 chy mt mnh trong 30 gi s y b. Bi 16: Mt vi nc chy vo 1 b khng cha nc, cng lc c vi chy ra. Bit rng lng nc mi gi vi chy ra bng 4 5 ln lng nc vi chy vo b v sau 5 gi lng nc trong b t ti 1 8 dung tch ca b. Hi nu khng c vi chy ra m ch c vi chy vo th trong thi gian bao lu s y b? Hd: Theo bi ra ta c: + vra = 4 5 vvo + vvo - vra = 1 40 T y d dng tnh c vvo = 1 40 5 = 1 8 (b) Vy suy ra vi vo chy mt mnh trong 8 gi s y b. Bi 17: 33. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 33 Ngi ta dng hai vi nc cng chy vo 1 b khng cha nc. Nu cho 2 vi cng chy vo b th sau 3 gi y b. Nu cho vi 1 chy trong 2 gi v vi 2 chy trong 5 gi th cng y b. Hi mi vi chy mt mnh trong bao lu s y b? Hd: Theo bi ra ta c tng vn tc ca 2 vi l: v1 + v2 = 1 3 (b) Lng nc 2 vi cng chy trong 2 gi l: 1 2 2 = 3 3 (b) Lng nc vi 2 chy trong 3 gi l: 2 1 1 - = 3 3 (b) Vn tc ca vi 2 l: 1 1 : 3 = 3 9 (b) Vn tc ca vi 1 l: 1 1 2 - = 3 9 9 (b) Bi 18: Mt chic ng h 3 kim bn ang chy, ta thy lc 1 gi ng th kim gi tr s 1 cn kim pht tr s 12. Hi khong thi gian gn nht 2 kim gi v kim pht trng nhau? Cho bit thi im l my gi? Vy khong thi gian gn nht 2 kim gi v kim pht trng nhau l: 1 1 1 : [1 - ] = 12 12 11 (gi) Thi im gn nht 2 kim gi v kim pht trng nhau l: 1 1 + 1 = 1 11 11 (gi) Bi 19: Mt chic ng h 3 kim bn ang chy, ta thy lc 1 gi ng th kim gi tr s 1 cn kim pht tr s 12. Hi khong thi gian gn nht 2 kim gi v kim pht vung gc vi nhau? Cho bit thi im l my gi? Hd: Gi vn tc kim gi l vh, vn tc kim pht l vf, ta c: vh = 1 12 vng/h, vf = 1 vng/h Khong cch gia 2 kim lc 1 gi ng l 1 12 vng Hd: Gi vn tc kim gi l vh, vn tc kim pht l vf, ta c: vh = 1 12 vng/h, vf = 1 vng/h Khong cch gia 2 kim lc 1 gi ng l 1 12 vng 34. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 34 Khong cch gia 2 kim lc 2 kim vung gc l 1 4 vng Vy khong thi gian gn nht 2 kim gi v kim pht vung gc vi nhau tnh t lc trng nhau l: 1 1 3 : [1 - ] = 4 12 11 (gi) Vy khong thi gian gn nht 2 kim gi v kim pht vung gc vi nhau tnh t lc 1 gi ng l: 3 1 4 + = 11 11 11 (gi) Thi im gn nht 2 kim gi v kim pht vung gc vi nhau l: 4 4 + 1 = 1 11 11 (gi) Bi 20: ng sng t thnh ph A n thnh ph B ngn hn ng b 10 km. i t A n B ca n i ht 3 gi 20 pht, cn t i ht 2 gi.Tnh vn tc ca ca n v t, bit vn tc ca ca n km vn tc t 17 km/h. Hd: Sau 2 gi ca n ti v tr cn cch B tnh theo ng b l: 17 2 = 34 (km) Sau 2 gi ca n ti v tr cn cch B tnh theo ng sng l: 34 - 10 = 24 (km) Vn tc ca ca n l: 24 : 1 gi 20 = 18 (km/h) Bi 21: Anh Hng i xe p t nh n H Ni theo con ng di 48 km. Lc tr v anh Hng i theo ng tt di 35 km. ng tt kh i nn vn tc lc v ch bng 5 6 vn B 1/12 A DC 1/4 E 10 km ng b: A BC A ng sng: B 2 gi t Ca n 2 17 = 34 km 1 gi 20 35. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 35 tc lc i, tuy nhin thi gian lc v vn t hn thi gian lc i l 1 2 gi. Tnh vn tc lc i ca anh Hng? Hd: Quy v cng thi gian lc v ca anh Hng: + Thi gian lc v, vn tc lc v th anh Hng i c qung ng 35 km. + Thi gian lc v, vn tc i (vn tc lc v bng 5 6 vn tc lc i) th anh Hng i c qung ng bng bao nhiu km? V trong cng thi gian th qung ng t l thun vi vn tc, nn ta c qung ng anh Hng i c trong cng thi gian lc v v vi vn tc lc i l: 35 : 5 6 = 42 (km) Vn tc ca anh Hng lc v l: (48 - 42) : 1 2 = 12 (km/h) Bi 22: Nh anh H cch trung tm thnh ph 175 km, nh anh T cch trung tm thnh ph 220 km. Bit vn tc ti trung tm thnh ph ca anh H ch bng 7 8 vn tc ca anh T, tuy nhin thi gian ti trung tm thnh ph ca anh H vn t hn thi gian gian ti trung tm thnh ph ca anh T l 1 2 gi. Tnh vn tc ti trung tm thnh ph ca anh H l bao nhiu? Hd: Quy v cng thi gian lc v ca anh H: + Thi gian ca H, vn tc ca anh H th anh H i c qung ng 175 km. + Thi gian ca H, vn tc ca anh T (vn tc ca anh H bng 7 8 vn tc ca anh T) th anh T i c qung ng bng bao nhiu km? V trong cng thi gian th qung ng t l thun vi vn tc, nn ta c qung ng anh T i c trong cng thi gian ca anh H v vi vn tc ca anh T l: 175 : 7 8 = 200 (km) 13 km g lc i: A B A g lc v : B 48 km 35 km g anh T: A B A g anh H: B 220 km 175 km 36. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 36 Vn tc ca anh Hng lc v l: (220 - 200) : 1 2 = 40 (km/h) Bi 23: Mt my bay d tr nhin liu bay trong 6 gi vi vn tc 330 km/h khi tri khng c gi. Khi ct cnh th tri c gi vi vn tc gi l 30 km/h. Bit rng khi i tri ngc gi v khi quay tr v sn bay th tri xui gi. Hi khong cch m my bay ti cnh sn bay bao nhiu km khi quay v ti sn bay lc ct cnh th va ht nhin liu? Hd: Theo bi ra ta c: ti + tve = 6 (gi) di di ve ve ve di v 300 t v 12 6 = = = = v 360 t v 10 5 n y ta a v dng ton tm 2 s bit tng bng 6 v t s bng 5 6 . Do ta suy ra thi gian lc i l: 6 : (6 + 5) 6 = 36 11 (gi) Qung ng m my bay i c l: 300 36 11 = 10800 11 (km) Bi 24: Mt i my cy d nh cy mt din tch rung theo k hoch vi vn tc 40 ha mi ngy. Khi thc hin i cy 52 ha mi ngy, v vy i khng nhng cy xong trc thi hn 2 ngy v cn cy thm c 4 ha na. Tnh din tch rung phi cy theo k hoch? Hd: Theo bi ra ta c: Din tch i cy ht thi gian d nh vt so vi din tch theo k hoch l: 52 2 + 4 = 108 (ha) Din tch trong mi ngy i cy hn so vi d nh l: 52 40 = 12 (ha) Thi gian m i d nh cy xong din tch rung theo k hoch l: 108 : 12 = 9 (ngy) Vve=330 km ? km Vi =330 km A B t, 40 ha ? ha t, 52 ha A B 2 ngy + 4 ha C 37. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 37 Din tch rung m i phi cy theo k hoch l: 40 9 = 360 (ha) Cch gii khc: Thi gian d nh t1 vn tc d nh v1din tch rung theo k hoch Thi gian thc hin t2vn tc thc hin v2din tch rung theo k hoch Do suy ra: 1 2 2 1 t v 52 13 = = = t v 40 10 M ta li d thy: t1 = t2 + 4 2 52 . n y a v dng ton tm 2 s bit t s v hiu ca chng. Bi 25: Mt chic xe la chy qua mt mt ngi i xe p cng chiu c vn tc 18 km/h ht 24 giy v qua mt mt ngi i xe p ngc chiu c vn tc 18 km/h ht 8 giy. Tnh vn tc ca xe la. Hd: i n v: 18 km/h = 5 m/s Trong khong thi gian 24 giy ngi ngi trn xe la i c qung ng l: Chiu di xe la + ( 5 24) = Chiu di xe la + 120 (m) Trong khong thi gian 8 giy xe la tc hnh i c qung ng l: Chiu di xe la - ( 5 8) = Chiu di xe la - 40 (m) Thi gian xe la i c qung ng 120 + 40 = 160 (m) l: 24 8 = 16(s) Vn tc ca xe la l: 160 : 16 = 10(m/s) = 36 (km/h) Bi 26: Hai a im A, B cch nhau 72 km. Mt t i t A v B v mt xe p i t B v A cng xut pht mt lc v sau 1 gi 12 pht gp nhau ti a im C.Sau t tip tc chy n B ri quay tr v A ngay vi vn tc c. t ui kp ngi i xe p v tr D sau 48 pht k t lc gp nhau ln trc. Tnh vn tc ca t v xe p. Hd: 8 s 8 s 24 s 24 s Ngc chiu: Cng chiu: t B DC 72 km A t t Xe p Xe p 72 pht 72 pht 48 pht 38. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 38 Theo bi ra ta c: Tng vn tc ca t v xe p l: 72000 : 72 = 1000 (m/ph) Sau khong thi gian 72 + 48 = 120 (pht) ta c: Xe p i c qung ng l: BC + CD = BD t i c qung ng l: AC + CB + BC + CD = AB + BD Hiu ca hai qung ng ca t v xe p l: (AB + BD) BD = AB = 72000 Hiu ca hai vn tc ca t v xe p l: 72000 : 120 = 600 (m/ph) Vy vn tc ca t l: (1000 + 600) : 2 = 800 (m/ph) Vn tc ca xe p l: (1000 - 600) : 2 = 200 (m/ph) 5. TON HNH HC Bi 1: Cho tam gic ABC, vi im M, N l im chnh gia cnh AB, AC. Chng minh rng AMN ABC 1 S = S 4 Bi 2: Cho hnh thang ABCD vi hai y AB, CD. Hai ng cho AC, BD ct nhau ti E. Chng minh rng SAED = SBEC. N A B C M Hd: Ta c: SABC = 2 SABN (Chung c/cao t B ti AC v y AC = 2 AN) SABN = 2 SAMN (Chung c/cao t N ti AB v y AB = 2 AM) Do suy ra SABC = 4 SAMN A B CD E Hd: Ta c: SADC = SBDC (Chung y DC v cng c/cao ca hnh thang) SADC - SEDC = SBDC - SEDC Do suy ra SAED = SBEC 39. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 39 Bi 3: Cho hnh ch nht ABCD, I l im chia AB thnh hai phn bng nhau, on thng BD ct CI ti K. Tnh din tch hnh ch nht ABCD, bit din tch t gic ADKI l 20 cm2 . Hd: + Khng nh c SDIB = 2 1 SCDB h1 = 2 1 h2 SIDK = 2 1 SCDK SCDI = SIDK + SDKC = 3SDIK. +M SCDI = 2 SADI SADI = 2 3 SIDK hay SIDK = 3 2 SADI + SAIKD = SDAI + SIDK = 20 (cm2 ) nn suy ra: SADI + 3 2 SADI = 20 (cm2 ) hay SADI = 12 (cm2 ) + SABCD = 4 SADI = 4 12 = 48 (cm2 ). Bi 4: Cho hnh ch nht ABCD. Trn cnh AB ly 2 im M, N sao cho AM = MN = NB. P l im chia cnh DC thnh 2 phn bng nhau. ND ct MP ti O. Bit din tch tam gic DOP ln hn din tch tam gic MON l 3, 5 cm2 . Tnh din tch hnh ch nht ABCD. Hd: T SPOD = SMON + 3, 5 cm2 ta c: SPOD + SNOP = SMON + SNOP + 3,5 cm2 Hay SNPD = SMPN + 3,5 cm2 . Mt khc SNPD = 1, 5 SMPN (V y DP = 1, 5 MN v cng ng cao l chiu rng hnh ch nht). Do SNPD = 10, 5 cm2 ; SMPN = 7 cm2 . Vy SABCD = 4 SNPD = 42 (cm2 ). Bi 5: Cho hnh ch nht ABCD c din tch l 108 cm2 . M l im chnh gia cnh AB. Trn on thng DM ly im I sao cho DI = 3 1 DM. Hai on thng AI v BD ct nhau ti im K. Tnh din tch t gic MIKC. Hd: + Ta c: SABD = 2 1 SABCD = 108 : 2 = 54 (cm2 ). SADM = SBDM (chung ng cao AD, y MA = MB) SADM = 2 1 SABD = 54 : 2 = 27 (cm2 ). A B CD K I O h1 h2 MA B CD P N O M D C BA h2 K I h1 40. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 40 SAID = 3 1 SADM = 27 : 3 = 9 (cm2 ); SAMI = 3 2 SADM = 18 (cm2 ). SBID = 3 1 SBDM = 27 : 3 = 9 (cm2 ); SBMI = 3 2 SBDM = 18 (cm2 ). SAIB = 18 + 18 = 36 (cm2 ). SAID : SAIB = 9 : 36 = 4 1 1 2 h 1 h 4 SDIK : SBIK = 4 1 (chung y IK v 1 2 h 1 h 4 ) 4 1 BK DK (chung ng cao h t I) v SDIK = 5 1 SBID = 5 1 9 = 1, 8 (cm2 ). + Mt khc ta c SDCK : SBCK = 4 1 (chung y CK v 4 1 BK DK ) Nn SDCK = 5 1 SBCD = 5 1 SABD = 54 5 1 = 10, 8 (cm2 ). SBCM = SADM = 27 (cm2 ). Vy SMIKC = SABCD - SADM - SBCM - SDIK - SDCK = 108 27 27 - 1, 8 - 10, 8 = 41, 4 (cm2 ). Bi 6: Cho hnh thang ABCD c y AB nh hn y CD v AD = BC. Trn cnh AD ly im M, ko di BC v pha C, trn ly im N sao cho DM = CN. MN ct DC ti I. Chng t rng I l im chnh gia ca MN. Hd: Ta c SBDC = SADC (chung y CD v cc ng cao t1, t2 h t A v B bng nhau) t1 = t2 (V c 2 y AD = BC) SDNC = SDMC (V c y MD = NC v hai ng cao t1 = t2 ) h1 = h2 (chung y DC) SMIC = SNIC (chung y IC v chiu cao h1 = h2) IM = IN (chung ng cao h t C). Bi 7: Cho hnh ch nht ABCD c di cc cnh CD = 20cm, AD = 14cm. Hai im M, N thuc cnh AB sao cho AM = 8cm, BN = 4cm. Hai ng thng CM v DN ct nhau ti K. Tnh t s KN KD v din tch SAMKD ? Hd: - Tnh KN = ? KD I M h1 N D C BA h2 t1 t1 A BM N 14cm K 41. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 41 Ta c SNCM = 56 cm2 v SDCM = 140 cm2 NCM DCM S 56 2 = = S 140 5 1 2 h 2 = h 5 (h1, h2 l chiu cao t N, D ti CM) M h1, h2 l chiu cao ca MKN v MKD nn: MKN 1 MKD 2 S h 2 = = S h 5 Mt khc MKN MKD S KN = S KD ( V 2 tam gic ny chung chiu cao h t M ti DN) Vy ta suy ra: KN 2 = KD 5 - Tnh SAMKD = ? Ta c: MKN MKD S KN 2 = = S KD 5 v SMKN + SMKD = 56 a v dng ton tm 2 s biit tng bng 56 cn t s bng 2/5. Ta d dng tnh c SMKD = 56 : ( 2 + 5) 5 = 40 cm2 . Suy ra SAMKD = SADM + SMDK = 56 + 40 = 96 Bi 8: Cho hnh ch nht MNPQ c di cc cnh MN = 15cm, NP = 12cm. Hai im E, F thuc cnh MN sao cho ME = NF = 6cm. Hai ng QF v PE ct nhau ti K. Tnh t s KF KQ v din tch SMEKQ ? Hd: - Tnh KF = ? KQ Ta c SPEF = 18 cm2 v SEPQ = 90 cm2 FEP QEP S 18 1 = = S 90 5 1 2 h 1 = h 5 (h1, h2 l chiu cao t F, Q ti EP ) M h1, h2 l chiu cao ca FKE v QKE nn ta c: FKE 1 QKE 2 S h 1 = = S h 5 Mt khc FKE QKE S KF = S KQ ( V 2 tam gic ny chung chiu cao h t Eti QN ) Vy ta suy ra: KF 2 = KQ 5 - Tnh SAMKD = ? M N PQ E F 12cm 15cm K 42. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 42 Tnh FKE QKE S KF 1 = = S KE 5 v SQKE + SFKE = 18 a v dng ton tm 2 s biit tng bng 56 cn t s bng 1/5. Ta d dng tnh c SQKE = 18 : ( 1 + 5) 5 = 15 cm2 . Suy ra SMEKQ = SMEQ + SQKE = 36 + 15 = 51 cm2 Bi 9: ChoABC c din tch 120 cm2 . Hai im M, N ln lt thuc cnh CA v CB sao cho CM = 2 3 CA; CN = 1 3 CB. Hai ng BM ct AN ti K. Tnh SAMNB v t s KB KM ? Hd: - . Tnh SAMNB = ? SCAN = 1/3 SCAB = 1/3 120 = 40 SCMN = 2/3 SCAN = 2/3 40 = 80/3 SBCMN = 120 80/3 = 280/3 - Tnh KB KM =? Ta c: SABN = 2SACN ( V chung chiu cao h t A ti BC v y BN = 2CN ) SKBN = 2 SKCN ( V chung chiu cao h t K ti BC v y BN = 2CN ) SKAB = 2 SKAC M d thy SKAC = 3. SKAM ( V chng chung chiu cao h t K ti AC v y AC = 3.AM ) Do suy ra: SKAB = 2 3 SKAM = 6.SKAM KAB KAM S 6 = = 6 S 1 Mt khc KAB KAM S KB = S KM ( V 2 tam gic ny chung chiu cao h t A ti BM ) Vy ta suy ra: KB = 6 KM Bi 10: ChoABC c din tch 180 cm2 . Hai im M, N ln lt thuc cnh CA v CB sao cho CM = 1 3 CA; CN = 2 3 CB. Hai ng BM ct AN ti K. Tnh SAMNB v t s KM KB . Hd: - . Tnh SAMNB = ? SCAN = 2/3 SCAB = 2/3 180 = 120 A B C M N K A B C M N K 43. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 43 SCMN = 1/3 SCAN = 1/3 120 = 40 SBCMN = 180 40 = 140 - Tnh KM KB =? Ta c: SACN = 2SABN ( V chng chung chiu cao h t A ti BC v y CN = 2BN ) SKCN = 2SKBN ( V chng chung chiu cao h t K ti BC v y CN = 2BN ) SKAC = 2 SKAB M d thy SKAM = 2/3 SKAC ( V chng chung chiu cao h t K ti AC v y AM = 2/3AC ) Do suy ra: 3/2 SKAM = 2 SKAB KAM KAC S 3 = S 4 Mt khc KAM KAB S KM = S KB ( V 2 tam gic ny chung chiu cao h t A ti BM ) Vy ta suy ra: KM 3 = KB 4 Bi 11: Cho hnh thang ABCD vi hai y AB, DC v bit DC = 3AB. Hai ng cho AC ct BD ti E. Chng minh rng SADE = SBCE v tnh t s EA EC Hd: - Chng minh SADE = SBCE Ta c: SBCD = SACD ( Chng chung y DC v cng chiu cao hnh thang) Do : SADE - SCDE = SBCE - SCDE Suy ra: SADE = SBCE - Tnh EA = ? EC Ta c: BEA BEC SEA = EC S ( Chng chung chiu cao h t B ti AC ) BEA 1 BEC 2 S h = S h (Chung y BE v nhn h1, h2 l chiu cao h t A, C ti BE ) M 1 ABD 2 CBD h S = h S ( V h1, h2 l chiu cao h t A, C ti BD ) A B CD E h1 h2 44. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 44 D thy SCBD = 3SABD ( Do chng chung chiu cao l chiu cao ca hnh thang v DC = 3AB). T y d dng suy ra: EA 1 = EC 3 Bi 12: Cho hnh thang ABCD vi hai y AB, DC v bit DC = 3AB. Hai ng cho AC ct BD ti I. Chng minh rng SADI = SBCI v tnh t s IB ID Hd: - Chng minh SADI = SBCI Ta c: SBCD = SACD ( Chng chung y DC V cng chiu cao hnh thang) Do : SADI - SCDI = SBCI - SCDI Suy ra: SADI = SBCI - Tnh IB = ? ID Ta c: AIB AID SIB = ID S ( Chng chung chiu cao h t A ti BD ) AIB 1 AID 2 S h = S h ( Chung y AI v nhn h1, h2 l chiu cao h t B, D ti AI ) M BAC1 2 DAC Sh = h S ( V h1, h2 l chiu cao h t B, D ti AC ) D thy SDAC = 3SBAC (Do chng cng c chiu cao l chiu cao ca hnh thang v DC = 3AB). T y d dng suy ra: IB 1 = ID 3 Bi 13: Cho hnh thang ABCD vi hai y AB, DC v bit DC = 3AB. Hai ng cho AC ct BD ti I v hai cnh bn CB ct DA ti O. Chng minh rng SADI = SBCI v tnh t s OA OD Hd: - Chng minh SADI = SBCI Ta c: SBCD = SACD (Chng chung y DC v cng chiu cao ca hnh thang) Do : SADI - SCDI = SBCI - SCDI Suy ra: SADI = SBCI A B CD I h1 h2 O A B CD I h1 h2 45. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 45 - Tnh OA = ? OD Ta c: COA COD SOA = OD S ( Chng chung chiu cao h t C ti OD ) COA 1 COD 2 S h = S h (Chng chung y OC v nhn h1, h2 l chiu cao h t A, D ti OC ) M ABC1 2 DBC Sh = h S (V chung y BC v h1, h2 l chiu cao h t A, D ti BC) D thy SDBC = 3SABC (Do chng u c chiu cao l chiu cao ca hnh thang v DC = 3AB). T y d dng suy ra: OA 1 = OD 3 Bi 14: ChoABC vi hai im M, N ln lt l trung im ca cnh AB, AC. Hai ng thng CM ct BN ti E v k ng AE ct cnh BC ti im F. Hy tm t s EM EC v chng minh rng F l trung im ca cnh BC. Hd: - Tnh EM = ? EC D thy: SCAM = SBAN = ABC 1 S 2 Suy ra: SECN = SEBM Mt khc ta c: SEBM = SEAM v SECN = SEAN Do : SEBM = SEAM = SECN = SEAN = ABC 1 S 6 SEAC = SEAB = SEBC = ABC 1 S 3 SEAM = EBC 1 S 2 . Suy ra: EM 1 = EC 2 - Chng minh rng: BF = CF Theo chng minh trn ta c: SEAC = SEAB M hai tam gic ny li c chung cnh AE, nn suy ra: h1 = h2 (Vi h1, h2 l chiu cao h t B, C ti AE) Suy ra: SEBF = SECF (V hai tam gic ny cng nhn h1, h2 l chiu cao v chung y EF). Do suy ra: BF = CF Bi 15: ChoABC vi hai im M, N ln lt trn hai cnh AB, AC sao cho: AB = 3AM, AC = 3AM . Bit din tch SABC = 180 cm2 v hai ng thng CM ct BN ti E. Hy tnh SMNCB v tm t s EM EC . A B C M N E F h1 h2 46. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 46 Hd: - Tnh SMNCB = ? Ta c: AMN AMC 1 S S 3 (Chung chiu cao h t M ti AC v y AC = 3AN) AMC ABC 1 S S 3 (Chng chung chiu cao h t C ti AB v y AB = 3AM) Suy ra: 2 AMN ABC 1 S S = 20 cm 9 . Do : SMNCB = 180 20 = 160 cm2 - Tnh EM = ? EC Ta c: BAN BCN 1 S S 2 (Chung chiu cao h t B ti AC v y CN = 2AN) EAN ECN 1 S S 2 (Chung chiu cao h t E ti AC v y CN = 2AN) Do : BAN EAN BCN ECN 1 S S (S S ) 2 BAE BCE 1 S S 2 Mt khc c: EBM EAB 2 S S 3 (Chung chiu cao h t E ti AB v y AB = 3AM) Do suy ra: EBM BCE 3 1 S S 2 2 . Suy ra: EBM EBC S 1 = S 3 Bi 16: ChoABC vi hai im E, F ln lt trn hai cnh AB, AC sao cho: AB = 3AE, AC = 2AF . Bit din tch SABC = 240 cm2 v hai ng thng CE ct BF ti K. Hy tnh SEFCB v tm t s KE KC . Hd: - Tnh SEFCB = ? Ta c: AEF AEC 1 S S 2 (Chung chiu cao h t E ti AC v y AC = 2AN) A B C M N E A B C E F K 0, 5 + 0, 5 47. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 47 AEC ABC 1 S S 3 (Chung chiu cao h t C ti AB v y AB = 3AE) Suy ra: 2 AEF ABC 1 S S = 40 cm 6 . Do : SEFCB = 240 40 = 200 cm2 - Tnh KE = ? KC Ta c: BAF BCFS S ( Chng chung chiu cao h t B ti AC v y CF = AF) Ta c: KAF KCFS S ( Chng chung chiu cao h t K ti AC v y CF = AF) Do suy ra: SBAF - SKAF = SBCF SKCF BAK BCKS S Mt khc c: KBE KAB 2 S S 3 (Chng chung chiu cao h t K ti AB v y AB = 3AE). Do suy ra: KBE BCK 3 S S 2 . Suy ra: KBE KBC S 1 = S 3 KE 2 = KC 3 Bi 17: ChoABC c din tch 216 m2 , AB = AC v BC = 36m. Trn cnh AB ly im M sao cho 1 MB = AB 2 , trn cnh AC ly im N sao cho 1 NC = AC 2 v trn cnh BC ly im I sao cho 1 BI = BC 2 . Ni M vi N v N vi I, ta c hnh thang MNIB. Hy tnh : a) Din tch hnh thang MNIB b) di on thng MN. Hd: a) Din tch hnh thang MNIB Ta thy: SNAM = 1 2 SNBA SBNA = 1 2 SBCA Vy suy ra: SNAM = 1 4 SBCA = 54 m2 Tng t c: SCNI = 54 m2 Do c: SMNIB = 216 54 54 = 108 m2 b) di on thng MN: SBNC = 1 2 SBCA = 108 m2 , m BC = 36 m . Suy ra chiu cao h t N ti BC l: 2 108 : 36 = 3 (m) Din tch ca hnh thang MNCB l: 216 54 = 162 (m2 ) 36 m A B C M N I h 48. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 48 di y MN l: 2162 : 3 36 = 72 (m) Hd: - SAEID = SABCD SEBC SICD = 400 100 80 = 220 - D dng tnh c tng din tch ca hai tam gic ICF v ICD bng 100. - Xt vic tnh t s din tch ca hai tam gic ICF v ICD: ICF ECF1 ICD 2 ECD S Sh 50 1 = = = = S h S 200 4 - Suy ra: SICD = 100 : (4 + 1) 4 = 80 - SAEID = SABCD SEBC SICD = 400 Bi 20: Cho ABC c dt(ABC) = 100 cm2 . Ly hai im E cnh AC v F cnh BC sao cho BF = 1 2 FC v CE = 1 3 AE.Gi im K = EFAB. A B CD E F I20 Bi 18: Cho ABC c: AB = AC. Bit im E cnh AB v im F AC ko di sao cho BE = CF. Gi I = EF BC. Chng minh rng : IE = IF Hd: - c.m.r IE = IF ta c.m.r tam gic BEI v BFI chng c din tch bng nhau - c.m.r tam gic BEI v BFI c din tch bng nhau ta c.m.r h1 = h2 - c.m.r h1 = h2 ta c.m.r tam gic EBC v FBC c din tch bng nhau - c.m.r tam gic EBC v FBC c din tch bng nhau ta c.m.r l1 = l2 Ta thy l1 = l2 l thy tam gic ABC c AB = AC Bi 19: Cho hnh vungABCD c di cnh l 20cm Bit im E cnh AB v im F cnh BC sao cho EA = EB = FB = FC. Gi I = CE DF . Tnh dt(AEID) = ? h2 E F A B C I h1 l1 l2 49. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 49 Hy tnh dt (ABFE) = ? v tnh t s KB ? KA Hd: dt(KCF) = 2dt(KBF) + dt(ECF) = 2dt(EBF) dt(KCE) = 2dt(KBE) M dt(KCE) = 1 3 dt(KAE) dt(KBE) = 1 6 dt(KAE) KB 1 KA 6 Bi 21: Cho ABC c hai im M cnh AB v N cnh AC sao cho AM = 1 3 AB v AN = 1 3 AC. Ly im bt k E MN ; Gi F = AEBC Tnh t s AE ? AF Hd: Ta c dt(AMF) = 1 3 dt(ABF) dt(ANF) = 1 3 dt(ACF) dt(MNP) = 2dt(AMN) h2 = 2 h1 dt(MEF) = 2dt(AME) dt(NEF) = 2dt(ANE) AF EF = 2AE EF + AE = 3AE AE 1 EF 3 Bi 22: Cho ABCD l hnh ch nht Ly im E cnh AD v F cnh BC sao cho EA = ED = FB = FD. Hai im M cnh AB v N cnh DC.Gi im I = EF MN a) Tnh dt(ABFE) = ? dt(EFCD) = ? theo dt(ABCD) b) So snh MI v NI C A B E F K C A B E F N M h1 h2 A B CD E F M N I 50. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 50 Hd: a) dt(ABFE) = (AE+BF)AB ADAB 1 = = dt(ABC) 2 2 2 dt(DEFC) = ? Tng t v y l hai hnh thang b) 1 1 dt(AEM )+dt(BFM )= AM AE+ BM BF 2 2 1 1 = (AM +BM )AD = ABAD 4 4 Tng t ta c : 1 dt(D EM )+dt(C FN)= ABAD 4 dt(MEF) = dt(NEF) h1 = h2 IM = IN Bi 23: Cho ABCD l hnh ch nht. Ly im E, F trn hai cnh AB, CD sao cho EA = ED = FB = FC. Ly I trn EF sao cho EI = 2 FI a) So snh: dt(AMND) v dt(CNMB) b) Chng minh rng: AM + DN EI = 2 Hd: 1 d t(A E M )+ d t(D E N )= (A M + D N ) A E 2 1 = (A M + D N ) A D 4 1 = d t(A M N D ) 2 d t(A E M ) + d t(D E N ) = d t(E M N ) Tng t : dt(BFM) + dt(CFN) = dt(FMN) Ta c : dt(MEI) = 2 dt(MFI) dt(NEI) = 2 dt(NFI) dt(MEI) + dt(NEI) = 2 dt(MFI) + dt(NFI) dt(EMN) = 2 dt(FMN) 2dt(EMN) = 4 dt(FMN) Do suy ra: dt (AMND) = 2dt (CMNB) A B CD E F M N I 51. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 51 Bi 24: Cho ABCD l hnh ch nht. BC = 8 ; AB = 10 BM = DN ; EB = EC K EF song song vi AB, CD a) So snh: dt(AMND) v dt(BMNC) b) Tnh EF = ? Hd: a) - Chng t hai t gic BMNC v DNMA l hai hnh thang - p dng cng thc tnh din tch hnh thang vo 2 t gic BMFE v EFNC - T y suy ra din tch chng bng nhau v bng na din tch hnh ch nht b) Tnh tng din tch hai hnh thang BMFE v EFNC l hai hnh thang bng din tch hnh thang BMNC l 40. Ta c: 2 (BM + EF) + 2 (EF + CN) = 40 (BM + EF) + (EF + CN) = 20 M ta bit BM + CN = AB = 10 nn suy ra: 2 EF = 10 EF = 5 Bi 25: Cho ABCD l hnh ch nht c: Din tch hnh ch nht l 108 cm2 MA = MB ; DM = 3 DN Hy tnh: a) dt(DMI) =? b) dt(DIC) =? c) dt(MNIC) =? Hd: a) Ta c 21 dt(BDM) = dt(ABD) = 27 cm 2 dt(AMN) = 2 dt(ADN) v dt(IMN) = 2 dt(IDN) dt(AMN) + dt(IMN) = 2 [dt(ADN) + dt(IDN)] dt(AMI) = 2 dt(ADI) M dt(AMI) = dt(BMI) dt(AMI) = dt(BMI) = 2 dt(ADI) Ta d thy dt(AMI) + dt(BMI) + dt(ADI) = dt(ABD) = 54 cm2 Do suy ra: dt(BMI) = 54 : 5 2 = 21,6 cm2 dt(DMI) = dt(BMD) dt(BMI) = 27 21,6 = 5,4 cm2 b) Ta c 21 dt(BDM) = dt(BCD) = 27 cm 2 A B CD EF M N 4 4 CD A BM I N h1 h2 52. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 52 h1 = 2 h2 dt(DIC) = 2 dt(DMI) = 2 5,4 = 10,8 cm2 c) Ta c dt(DMI) = dt(DNI) + dt(MNI) = 5,4 cm2 dt(MNI) = 2 dt(DNI) dt(MNI) = 5,4 : (2 + 1) 2 = 3,6 cm2 Do duy ra: dt(MNIC) = dt(BMI) + dt(MNI) + dt(BCD) dt(CDI) dt(MNIC) = 21,6 + 3,6 + 54 10,8 = Bi 26: Cho ABCD l hinh thang c: Bit dt(ODC) = 4 cm2 , dt(OAB) = 1 cm2 Hy tnh dt(ABCD) = ? Hd: Ta c: OB dt(AOB) = OD dt(AOD) v OB dt(COB) = OD dt(COD) Do suy ra dt(COB) dt(AOB) = dt(COD) dt(AOD) . M d thy dt(COB) = dt(AOD) = x v gi thit cho dt(ODC) = 4 cm2 , dt(OAB) = 1 cm2 . Suy ra c: x 1 = 4 x x = 2 Vy din tch dt(ABCD) = 1 + 4 + 2 + 2 = 9 cm2 Bi 27: Co t gic ABCD l hnh thang im M trn AB sao cho MA = MB Gi giao im ACDB = O; MOCD = N Hy so snh di ca hai on NC v ND Hd: Ta c: dt (DMB) = dt(CMA) S4 + S3 + S2 + S6 = S1 + S2 + S3 + S5 M S4 +S3 = S1 +S2 ( V ta bit : dt(OAM) = dt (OBM) ) S2 + S6 = S3 + S5 dt( DOM) = dt( COM) h1 = h2 dt(DOM) = dt(COM) NC = ND Bi 28: Mt tha rung hnh ch nht c din tch l 675 m2 v tng ca chiu di v chiu rng gp 4 ln hiu ca chng. Tnh cc kch thc ca tha rung trn. Hd: Theo bi ra ta c s sau: A B CD O CD A B O M N Tng: Hiu: 53. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 53 Do ta c chiu rng ca mnh t l: (8 2) : 2 = 3 (Phn) Do ta c chiu di ca mnh t l: (8 + 2) : 2 = 5 (Phn) Ta chia chiu di thnh 5 phn bng nhau, chiu rng thnh 3 phn bng nhau v ng thi ni cc cp im tng ng ca chiu di chiu rng ta c 15 vung bng nhau vi cnh ca vung bng 1 phn. Vy din tch ca mi vung l: 675 : 15 = 25 (m2 ) Vy kch thc ca m vung l 5 m Kch thc ca chiu rng tha rung l: 5 3 = 15 (m) Kch thc ca chiu rng tha rung l: 5 5 = 25 (m) Bi 29: Chng t rng trong tt c cc hnh ch nht vung v hnh vung cng chu vi th hnh vung c din tch ln nht. Hd: Theo bi ra ta c hnh v sau: Bi 30: Cho tam gic vung ABC vung ti A, cnh AC = 3 cm, cnh AB = 4 cm. Hy tnh di cnh huyn BC Hd: A B CD M N Px x Q - Ct 4 tam gic vung ABC vung ti A, cnh AC = 3 cm, cnh AB = 4 cm nh bi ton cho - Ghp 4 tam gic vung li vi nhau to thnh 1 hnh vung ABCD c cnh l 4 cnh huyn ca chng v to ra 1 hnh vung MNPQ l rng gia (theo hnh v bn) - Ta c din tch ca hnh vung ABCD l: 4 6 + 1 = 25 Q N PM A B CD 54. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 54 Bi 31: Cho tam gic bt k ABC. Hy ct ghp tam gic trn to thnh hnh ch nht Hd: Bi 32: Khi tng bn knh ca hnh trn thm 20% th din tch hnh trn tng thm bao nhiu phn trm? Hd: Bn knh ca hnh trn c l R, din tch ca hnh trn c l: 3,14 R R Vy bn knh ca hnh trn mi l 120% R, din tch ca hnh trn mi l: 3,14 120% R 120%R = 3,14 R R 144% Do ta c din tch ca hnh trn tng ln l: 144% - 100% = 44% A B C H NME F - Cch ct: + Ly hai im M, N ln lt l im chnh gia ca AB, AC + H AH MN = H + H BE MN = E + H CF MN = F - Cch ghp: + Ghp AHM vo BEM + Ghp AHN vo CFN Ta c ABC c ct ghp thnh mt hnh ch nht BEFC Bi 33: Dng 5 que dim xp thnh 10 hnh tam gic? Hd: Xp theo hnh ng sao 5 cnh hnh bn Bi 34: Dng 6 que dim xp thnh 8 hnh tam gic? Hd: 55. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 55 Bi 36: Hy chia t gic li ABCD thnh 2 phn tng ng bng 1 ng thng i qua im M cho trc nm trn cnh AB ca t gic ? Bi 37: Khi tng chiu rng ca mt hnh ch nht thm 10% th phi gim chiu di ca n i bao nhiu phn trm din tch ca hnh ch nht khng i? Hd: Hnh ch nht c: Din tch = chiu di chiu rng Hnh ch nht mi: + Chiu rng mi = 1,1 chiu rng ND A B C M Bi 35: Hy chia tam gic thnh 2 phn tng ng bng 1 ng thng i qua im M cho trc nm trn mt cnh ca tam gic ? Hd: Cch dng: + Ly D l im gia ca cnh BC + K tia Ax // MD ct BC ti N. Ni MN l ng thng cn dng Chng minh: Dng phng php din tch NE F D C A B M Hd: Cch dng: + K tia Ax // MD ct CD ko di ti im E + K tia By // MC ct DC ko di ti im F. + Ly N l im gia ca cnh EF. Ni MN l ng thng cn dng Chng minh: Dng phng php din tch 56. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 56 + Chiu di mi = x chiu di + Din tch mi = 1,1 chiu rng x chiu di din tch khng i th ta c: Chiu di chiu rng = 1,1 chiu rng x chiu di 1,1 x = 1 10 x = 11 Vy suy ra chiu di phi gim i 10 1 1 - = 11 11 Bi 38: Hy chia mt hnh ch nht kch thc 4 cm 6 cm thnh 4 phn tng ng nhng c hnh dng i mt u khc nhau? Hd: + Cch 1: Dng mt li vung Chia chiu rng thnh 4 phn bng nhau mi phn 1 cm Chia chiu di thnh 6 phn bng nhau mi phn 1 cm Ni cc im chia tng ng trn 2 cnh i vi nhau to thnh 24 vung mi vung cnh 1 cm. Ct hnh ch nht thnh 4 hnh mi hnh 6 vung trong c hnh dng i mt khc nhau. + Cch khc: Khng dng mt li vung v ch s dng im gia (12 cch) M A B CD N A B CD N M P A B CD N MQ A B CD N M P Q O A B CD N To ra 3 hnh na l 4 hnh nh trn 57. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 57 Bi 39: Trong mt phng cho 10 im thng hng A1, A2, . , A10 v mt im O ngoi ng thng ni 10 im . Tnh s tam gic gic to thnh khi ni 11 im trn vi nhau? Hd: Ta thy: im A1 cng vi 9 im Ai cn li sau A1 v cng vi im O to thnh 9 hnh tam gic im A2 cng vi 8 im Ai cn li sau A2 v cng vi im O to thnh 8 hnh tam gic .. im A9 cng vi 1 im A10 cn li sau A9 v cng vi im O to thnh 1 hnh tam gic Vy s tam gic to thnh l: 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45 Bi 40: Trong mt phng cho 10 im thng hng A1, A2, . , A10 v hai im P, Q ngoi ng thng ni 10 im . Tnh s tam gic gic to thnh khi ni 12 im trn vi nhau? Hd: M A B CD O To ra 3 hnh na l 4 hnh nh trn O A1 A2 A3 A4 A5 A6 A8 A9A7 A10 P Q 58. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 58 Ta p dng kt qu bi ton trn: im P v 10 im thng hng ta c 45 tam gic to thnh; im Q v 10 im thng hng ta c 45 tam gic to thnh na. Xt 2 im P, Q, cng vi 1 trong 10 im thng hng khng thng hng ta c 10 tam gic hoc 9 tam gic Kt lun: Nu P, Q khng thng hng vi im no trong 10 im ta c 45 + 45 + 10 = 100 (tam gic) Nu P, Q thng hng vi 1 im no trong 10 im ta c 45 + 45 + 9 = 99 (tam gic) 6. MT S DNG TON KHC Bi 1: Mt ca hng go c tng s go np v go t 1950 kg. Sau khi bn 6 2 s go np v 7 3 s go t th s go np v go t cn li l bng nhau. Hi lc u ca hng c bao nhiu kg go np; bao nhiu kg go t? Hd: Ta c: 6 4 s go np lc u = 7 4 s go t lc u. Do 6 1 s go np lc u = 7 1 s go t lc u. Biu th s go np lc u l 6 phn, s go t lc u l 7 phn, ta c s : Gi tr mt phn l 1950 : (6 + 7) = 150 (kg) S go np lc u l 150 6 = 900 (kg) S go t lc u l 150 7 = 1050 (kg) Bi 2: 1950 kg Go np: Go t: 59. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 59 Mt ca hng rau qu c 2 r ng cam v chanh. Sau khi bn c 5 8 s cam v 3 5 s chanh th ngi bn hng thy cn li 150 qu hai loi, trong s cam bng 2 3 s chanh. Hi lc u ca hng c bao nhiu qu mi loi? Hd: Phn s ch s cam cn li l 5 3 1 8 8 . Phn s ch s chanh cn li l 3 2 1 5 5 . Ta c s : + 3 8 s cam cn li ca ca hng l 150 : (2 + 3) 2 = 60 (qu). + 2 5 s chanh cn li ca ca hng l 150 60 = 90 (qu). S cam lc u ca hng c l 60 : 3 8 = 160 (qu). S chanh lc u ca hng c l 90 : 2 5 = 225 (qu). Bi 3: Dung dch nc bin cha 5% mui. Hi cn thm bao nhiu gam nc tinh khit vo 45 gam dung dch nc bin t l mui trong cn l 3%? Hd: Lng mui c trong 45 gam dung dch nc bin t l mui 5% l: (5 45) : 100 = 2,25 (g) Lng dung dch nc bin vi t l mui 3% c cha 2,25 gam mui l: (2,25 100) : 3 = 75 (g) Lng nc tinh khit cn phi thm vo l: 75 - 45 = 30 (g) Bi 4: Dung dch nc bin cha 5% mui. Hi cn thm bao nhiu gam mui vo 45 gam dung dch nc bin t l mui trong tng ln l 9%? Hd: Lng nc tinh khit c trong 45 gam dung dch nc bin t l mui 5% l: (95 45) : 100 = 42,75 (g) Lng dung dch nc bin vi t l mui 9% c cha 42,75 gam nc tinh khit l: (42,75 100) : 9 = 47,5 (g) 150 3 8 s cam: 2 5 s cam: 60. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 60 Lng mui cn phi thm vo l: 47,5 - 45 = 2,5 (g) Bi 5: Hi c bao nhiu s t nhin gm 6 ch s khc nhau m chia ht cho 5? Hd: Trng hp 1: Ch s hng n v cha ch s 0 + Ch s v tr th 1 c 9 cch chn + Ch s v tr th 2 c 8 cch chn + Ch s v tr th 3 c 7 cch chn + Ch s v tr th 4 c 6 cch chn + Ch s v tr th 5 c 5 cch chn S cc s t nhin gm 6 ch s khc nhau chia ht cho 5 l: 5 6 7 8 9 Trng hp 2: Ch s hng n v cha ch s 5 + Ch s v tr th 1 c 8 cch chn + Ch s v tr th 2 c 8 cch chn + Ch s v tr th 3 c 7 cch chn + Ch s v tr th 4 c 6 cch chn + Ch s v tr th 5 c 5 cch chn S cc s t nhin gm 6 ch s khc nhau chia ht cho 5 l: 5 6 7 8 8 Kt lun: Vy s cc s t nhin gm 6 ch s khc nhau chia ht cho 5 l: (5 6 7 8 9) + (5 6 7 8 8) Bi 6: Hi c bao nhiu s t nhin gm 6 ch s khc nhau m chia ht cho 2? Hd: S cc s t nhin gm 6 ch s khc nhau: + Ch s v tr th 1 c 9 cch chn + Ch s v tr th 2 c 9 cch chn + Ch s v tr th 3 c 8 cch chn + Ch s v tr th 4 c 7 cch chn + Ch s v tr th 5 c 6 cch chn + Ch s v tr th 6 c 5 cch chn S cc s t nhin gm 6 ch s khc nhau chia ht cho 5 l: 5 6 7 8 9 9 M trong tp cc s t nhin trn s cc s chn v cc s l l bng nhau, nn suy ra s cc s t nhin gm 6 ch s khc nhau m chia ht cho 2 l: (5 6 7 8 9 9) : 2 = 5 3 7 8 9 9 Bi 7: Hi c bao nhiu s t nhin gm 6 ch s khc nhau m chia ht cho 4? Hd: 61. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 61 Ta bit rng iu kincn v mt s t nhin chia ht cho 4 l 2 ch s tn cng l s chia ht cho 4. S cc s gm 2 ch s hng chc v hng n v khc nhau m chia ht cho 4: {04, 08, 12, , 92, 96 }{44, 88} ---- [(96 04) : 4 +1] [2] = 22 Trong 22 s c 16 s khng cha ch s khng v 6 s cha mt ch s 0 l: 04, 08, 20, 40, 60, 80. Trng hp 1: Hai ch s cui cha 1 ch s 0 + Ch s v tr th 1 c 8 cch chn + Ch s v tr th 2 c 7 cch chn + Ch s v tr th 3 c 6 cch chn + Ch s v tr th 4 c 5 cch chn S cc s t nhin gm 6 ch s khc nhau chia ht cho 4 l: 6 [5 6 7 8] Trng hp 2: Hai ch s cui khng cha ch s 0 + Ch s v tr th 1 c 7 cch chn + Ch s v tr th 2 c 7 cch chn + Ch s v tr th 3 c 6 cch chn + Ch s v tr th 4 c 5 cch chn S cc s t nhin gm 6 ch s khc nhau chia ht cho 4 l: 16 [5 6 7 7] Kt lun: Vy s cc s t nhin gm 6 ch s khc nhau chia ht cho 4 l: (6 [5 6 7 8]) + (16 [5 6 7 7]) Bi 8: Hi c bao nhiu s t nhin gm 5 ch s khc nhau v chia ht cho 5 c cu to t cc ch s {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}? Hd: Trng hp 1: Ch s hng n v cha ch s 0 + Ch s v tr th 1 c 7 cch chn + Ch s v tr th 2 c 6 cch chn + Ch s v tr th 3 c 5 cch chn + Ch s v tr th 4 c 4 cch chn S cc s t nhin gm 5 ch s khc nhau chia ht cho 5 l: 4 5 6 7 Trng hp 2: Ch s hng n v cha ch s 5 + Ch s v tr th 1 c 6 cch chn + Ch s v tr th 2 c 6 cch chn + Ch s v tr th 3 c 5 cch chn + Ch s v tr th 4 c 4 cch chn S cc s t nhin gm 5 ch s khc nhau chia ht cho 5 l: 4 5 6 6 Kt lun: Vy s cc s t nhin gm 5 ch s khc nhau chia ht cho 5 l: (4 5 6 7 ) + (4 5 6 6 ) Bi 9: Cho cc ch s 0, 1, 2, 3, 4. Hi c th lp c bao nhiu s t nhin t nhng ch s trn, trong ch s 4 c mt 3 ln, cn cc ch s cn li c mt ng mt ln? Hd: 62. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 62 Theo bi ra ta thy s t nhin c ch s 4 c mt 3 ln, cn 4 ch s cn li c mt ng mt ln l s t nhin c 7 ch s. Do vy ch s 0 c 6 v tr chn Ch s 4 c mt ng 3 ln, tc l chim 3 v tr cn li trong 6 v tr cn li: Ch s 4 c C3 6 = 20 cch chn Vi 3 v tr cn li th 3 ch s 1, 2, 3 mi ch s chim mt, nn c 3! =1 2 3 cch chn. S cc s t nhin trong ch s 4 c mt 3 ln, cn cc ch s cn li c mt ng mt ln l: 6 20 6 = 120 s Bi 10: Hi c bao nhiu s t nhin c 4 ch s sao cho khng c ch s no lp li ng 3 ln? Hd: Ta c: + S cc s t nhin gm 4 ch s l: 9 10 10 10 + S cc s t nhin gm 4 ch s, trong c ng mt ch s lp li ng 3 ln l: Ch s 0 lp li ng 3 ln l: 9 Ch s 1 lp li ng 3 ln l: V tr th 1 c 8 cch chn 9 ch s ngoi s 1 V tr th 2 c 9 cch chn 9 ch s ngoi s 1 V tr th 3 c 9 cch chn 9 ch s ngoi s 1 V tr th 4 c 9 cch chn 9 ch s ngoi s 1 S cc s t nhin c 4 ch s trong ch s 1 lp li ng 3 ln l: 8 9 9 9 = 35 Ch s 9 lp li ng 3 ln l: V tr th 1 c 8 cch chn 9 ch s ngoi s 1 V tr th 2 c 9 cch chn 9 ch s ngoi s 1 V tr th 3 c 9 cch chn 9 ch s ngoi s 1 V tr th 4 c 9 cch chn 9 ch s ngoi s 1 S cc s t nhin c 4 ch s trong ch s 1 lp li ng 3 ln l: 8 9 9 9 = 35 Vy s cc s t nhin gm 4 ch s, trong c ng mt ch s lp li ng 3 ln l 9 + 9 35 = 324 Suy ra: S cc s t nhin c 4 ch s sao cho khng c ch s no lp li ng 3 ln l: [9 10 10 10] [324] = 8676 Bi 11: Cho cc ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hi c bao nhiu s t nhin c 5 ch s khc nhau v nht thit phi c mt ch s 5? 63. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 63 Hd: Trng hp 1: S t nhin to thnh cha ch s 0 - C 4 v tr c th chn ch s 0, sau cn 4 v tr chn ch s 5. - Ta thy 3 v tr cn li chn 3 trong 5 ch s {1, 2, 3, 4, 6}, tc l c 5 4 3 cch chn. Do vy s cc s t nhin trong trng hp ny l: 4 4 [5 4 3] Trng hp 2: S t nhin to thnh khng cha ch s 0 - C 5 cch chn v tr c th chn ch s 5, sau cn 4 v tr cn li chn 4 trong 5 ch s {1, 2, 3, 4, 6}, tc l c 5 4 3 2 cch chn. Do vy s cc s t nhin trong trng hp ny l: 5 [5 4 3 2] Tm li: S s t nhin c 5 ch s khc nhau v nht thit phi c mt ch s 5 l: {4 4 [5 4 3]} + {5 [5 4 3 2]} Bi 12: Mt on vn ng vin tham gia thi u th thao gm 2 mn bn sng v bi li. Trong on s vn ng vin nam c 10 ngi, s vn ng vin bn sng c 14 ngi.Tnh s ngi ca ton on, bit s n thi bi bng s nam bn sng. Hd: Ta c: S ngi ca ton on = S nam + S n S n ca ton on = S n bi + S n bn sng M theo bi ra ta c s n thi bi bng s nam bn sng, nn suy ra: S n ca ton on = S nam bn sng + S n bn sng = S ngi bn sng = 14 ngi. Vy s ngi ca ton on l: 10 + 14 = 24 (ngi) Bi 13: Mt nhm hc sinh gm 10 hc sinh, trong c 7 nam v 3 n. Hi c bao nhiu cch xp 10 ngi trn thnh mt hng dc sao cho 7 hc sinh nam ng cnh nhau? Hd: 7 hc sinh nam ng cnh nhau ta c s cch l 7! = 1 2 3 4 5 6 7 Khi 7 hc sinh nam ng cnh nhau ta coi nh cng 1 v tr v cng vi 3 hc sinh n xp vo 4 v tr. Ta c 4! = 1 2 3 4 cch Do vy s cch xp 10 hc sinh cho thnh mt hng dc sao cho 7 hc sinh nam ng cnh nhau l: 4! 7! Bi 14: Hi c bao nhiu cch xp 5 ngi A, B, C, D, E thnh mt hng ngang sao cho hai ngi A, B khng ng cnh nhau? Hd: 64. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 64 S cch xp 5 ngi A, B, C, D, E thnh mt hng ngang l: (1 2 3 4 5) Hai ngi A, B ng cnh nhau ta coi l mt ngi v hng ch cn 4 ngi v c 2 trng hp xy ra. M s cch xp 4 ngi thnh mt hng ngang l: 1 2 3 4 . Do s cch xp 5 ngi A, B, C, D, E thnh mt hng ngang sao cho hai ngi A, B ng cnh nhau l: (1 2 3 4) 2 Vy s cch xp 5 ngi A, B, C, D, E thnh mt hng ngang sao cho hai ngi A, B khng ng cnh nhau l: (1 2 3 4 5) - (1 2 3 4) 2 Bi 15: Trong mt thng no c 3 ngy th nm l ngy chn. Hi ngy 26 ca thng l ngy th my? Hd: V thng c 3 ngy th nm l ngy chn v mt thng ti a ch cha 5 ngy ca mt th, nn suy ra: Thng c 5 ngy th nm (2 ngy th nm l xen k 3 ngy th nm l ngy chn.) Cc ngy th nm ca thng c th ln lt l:. a, a + 7, a + 14, a + 21, a + 28 Nu a l s l th a + 7 v a + 21 phi l s chn. iu ny mu thun vi gi thit thng c 3 ngy th nm l ngy chn. Vy suy ra a phi l s chn V s ngy trong mt thng ch t 1 ti 31, nn ta c a + 28 31 a 3 T y suy ra a = 2 Do suy ra: Ngy 23 = 2 + 3 7 l th nm v ngy 26 l ngy ch nht. Bi 16: Mt nhm bn thn bao gm c nam v n. Tnh s ngi trong nhm ngi bit rng: - Mi bn nam trong nhm c s bn nam thn bng s bn n thn ca mnh. - Mi bn n trong nhm c s bn n thn bng na s bn nam thn ca mnh. Hd: Theo bi ra ta c: Mi bn nam trong nhm c s bn nam thn bng s bn n thn ca mnh, tc l: S nam nhiu hn s n l 1 ngi (S nam = S n + 1). Suy ra: 2 ln s nam bng 2 ln s n thm vo 2 ngi. Mi bn n trong nhm c s bn n thn bng na s bn nam thn ca mnh, tc l: S nam bng 2 ln s n bt i 2 ngi (S nam = 2 S n - 2). . Do suy ra: 2 ln s n bt i 2 chnh bng s n thm vo 1 ngi Vy suy ra: S n chnh bng 3 ngi. T y suy ra s nam bng 4 ngi. Vy ta c s ngi trong nhm l 7 ngi. Bi 17: Gi hoa ngy 8/3 tng 10% so vi trc ngy 8/3, gi hoa sau ngy 8/3 gim 10% so vi ngy 8/3. Hy so snh gi hoa trc ngy 8/3 v sau ngy 8/3? Hd: Gi gi hoa trc ngy 8/3 l 100% th ta c gi hoa ngy 8/3 l 110% v gi hoa sau ngy 8/3 l: 65. Bi dng Hc sinh gii Ton tiu hc Lin h ng k hc: 0936.128.126. Website: http://daytoantieuhoc.com 65 110 110 10 99 110% - 110% 10% = - = 99% 100 100 100 100 Vy gi hoa sau ngy 8/3 r hn gi hoa sau ngy 8/3 l 1% Bi 18: Nguyn tc iricl tng qut Cho mt tp hp A gm n phn t rin bit. Chng minh rng: Vi bt k cch phn hoch tp hp A thnh m tp con ri nhau: A1, A2, , Am. th lun lun tn ti 1 tp con cha t nht n [ ] + 1 m phn t Hd: Theo bi ra phn hoch tp hp A c phn hoch thnh m tp con ri nhau A1, A2, , Am , nn ta c: m i i j i =1 A = A & A A = vi I j Nu tt c cc Ai c s phn t bng nhau v bng n [ ] m th s phn t ca A s l n m [ ] < n m . Do suy ra phi tn ti 1 tp con Ai sao cho cha t nht n [ ] + 1 m phn t. Bi 19: Trong mt lp hc c 32 em hc sinh. Hy chng t rng trong c t nht 2 em c cng ngy sinh v c t nht 3 em c cng thng sinh? Hd: - p dng nguyn tc iricl tng qut vi n = 32 v m = 31 (V mt thng c ti a 31 ngy). Ta c kt qu l: n 32 [ ] + 1 = [ ] + 1 = 2 m 31 hc sinh cng ngy sinh - p dng nguyn tc iricl tng qut vi n = 32 v m = 12 (V mt c 12 thng). Ta suy ra kt qu l: n 32 [ ] + 1 = [ ] + 1 = 3 m 12 hc sinh cng thng sinh Bi 20: Trong mt trng hc c 740 em hc sinh. Hy chng t rng trong c t nht 3 em c cng ngy sinh v cng thng sinh? Hd: p dng nguyn tc iricl tng qut vi n = 740 v m = 366 (V mt nm c 365 ngy hoc 366 ngy). Ta suy ra kt qu l: n 740 [ ] + 1 = [ ] + 1 = 3 m 366 hc sinh cng ngy sinh v thng sinh.