teorija polinoma

PolinomiPrsten polinoma

Polinomi kao izrazi

(R,+, ·) prsten;

polinom p(x) nad R je izraz

p(x) = a0 + a1x + · · ·+ an−1xn−1 + anxn;

a0, a1, . . . , an ∈ R - koeficijenti; an 6= 0;x - promenljiva;n ∈ {0, 1, 2, . . . } - stepen polinoma;aix

i - clanovi polinoma;anxn - vodeci clan.

POLINOMI


Polinomi kao izrazi

(R,+, ·) prsten;


p(x) = a0 + a1x + · · ·+ an−1xn−1 + anxn;



POLINOMI


Polinomi kao izrazi

(R,+, ·) prsten;


p(x) = a0 + a1x + · · ·+ an−1xn−1 + anxn;



POLINOMI


Polinomi kao izrazi

(R,+, ·) prsten;


p(x) = a0 + a1x + · · ·+ an−1xn−1 + anxn;

a0, a1, . . . , an ∈ R - koeficijenti; an 6= 0;

x - promenljiva;n ∈ {0, 1, 2, . . . } - stepen polinoma;aix


POLINOMI


Polinomi kao izrazi

(R,+, ·) prsten;


p(x) = a0 + a1x + · · ·+ an−1xn−1 + anxn;

a0, a1, . . . , an ∈ R - koeficijenti; an 6= 0;x - promenljiva;

n ∈ {0, 1, 2, . . . } - stepen polinoma;aix


POLINOMI


Polinomi kao izrazi

(R,+, ·) prsten;


p(x) = a0 + a1x + · · ·+ an−1xn−1 + anxn;

a0, a1, . . . , an ∈ R - koeficijenti; an 6= 0;x - promenljiva;n ∈ {0, 1, 2, . . . } - stepen polinoma;

aixi - clanovi polinoma;

anxn - vodeci clan.

POLINOMI


Polinomi kao izrazi

(R,+, ·) prsten;


p(x) = a0 + a1x + · · ·+ an−1xn−1 + anxn;


i - clanovi polinoma;

anxn - vodeci clan.

POLINOMI


Polinomi kao izrazi

(R,+, ·) prsten;


p(x) = a0 + a1x + · · ·+ an−1xn−1 + anxn;



POLINOMI


Primeri

I 65− 13x + 7x2 - polinom drugog stepena nad prstenom Z.

I Svaki realan broj osim nule - polinom nultog stepena nadpoljem R.

I 0 + 0 · x + · · ·+ 0 · xn - polinom koji nema stepena,nula-polinom.

I Izrazi 51 + x−3;1

2 + x2nisu polinomi. 2

POLINOMI


PrimeriI 65− 13x + 7x2 - polinom drugog stepena nad prstenom Z.





POLINOMI







POLINOMI







POLINOMI







POLINOMI


Dva polinoma po x nad istim prstenom su jednaka ako su imjednaki koeficijenti uz odgovarajuce stepene promenljive x .

R[x ] - skup svih polinoma po x nad datim prstenom R.Operacije sabiranja (+) i mnozenja (·) R[x ]: za m 6 np(x) = a0 + a1x + · · ·+ am−1xm−1 + amxm,q(x) = b0 + b1x + · · ·+ bn−1xn−1 + bnxn,p(x) + q(x) :=(a0 + b0) + (a1 + b1)x + · · ·+ (am + bm)xm + bm+1xm+1 + . . .

+bn−1xn−1 + bnxn;

p(x) · q(x) := a0b0 + (a0b1 + a1b0)x + . . .+(a0bk + a1bk−1 + a2bk−2 + · · ·+ akb0)xk +

· · ·+ ambnxm+n.

POLINOMI



R[x ] - skup svih polinoma po x nad datim prstenom R.

Operacije sabiranja (+) i mnozenja (·) R[x ]: za m 6 np(x) = a0 + a1x + · · ·+ am−1xm−1 + amxm,q(x) = b0 + b1x + · · ·+ bn−1xn−1 + bnxn,p(x) + q(x) :=(a0 + b0) + (a1 + b1)x + · · ·+ (am + bm)xm + bm+1xm+1 + . . .



· · ·+ ambnxm+n.

POLINOMI



R[x ] - skup svih polinoma po x nad datim prstenom R.Operacije sabiranja (+) i mnozenja (·) R[x ]: za m 6 n

p(x) = a0 + a1x + · · ·+ am−1xm−1 + amxm,q(x) = b0 + b1x + · · ·+ bn−1xn−1 + bnxn,p(x) + q(x) :=(a0 + b0) + (a1 + b1)x + · · ·+ (am + bm)xm + bm+1xm+1 + . . .



· · ·+ ambnxm+n.

POLINOMI



R[x ] - skup svih polinoma po x nad datim prstenom R.Operacije sabiranja (+) i mnozenja (·) R[x ]: za m 6 np(x) = a0 + a1x + · · ·+ am−1xm−1 + amxm,q(x) = b0 + b1x + · · ·+ bn−1xn−1 + bnxn,

p(x) + q(x) :=(a0 + b0) + (a1 + b1)x + · · ·+ (am + bm)xm + bm+1xm+1 + . . .



· · ·+ ambnxm+n.

POLINOMI






· · ·+ ambnxm+n.

POLINOMI






· · ·+ ambnxm+n.

POLINOMI






· · ·+ ambnxm+n.

POLINOMI


Tvrdenje

Ako je R[x ] skup svih polinoma po x nad prstenom R, onda jestruktura (R[x ],+, ·) isto prsten. Taj prsten je

- komutativan,- sa jedinicom,- bez delitelja nule,ako i R poseduje odgovarajuce svojstvo. �

POLINOMI


Tvrdenje

Ako je R[x ] skup svih polinoma po x nad prstenom R, onda jestruktura (R[x ],+, ·) isto prsten. Taj prsten je- komutativan,

- sa jedinicom,- bez delitelja nule,ako i R poseduje odgovarajuce svojstvo. �

POLINOMI


Tvrdenje

Ako je R[x ] skup svih polinoma po x nad prstenom R, onda jestruktura (R[x ],+, ·) isto prsten. Taj prsten je- komutativan,- sa jedinicom,

- bez delitelja nule,ako i R poseduje odgovarajuce svojstvo. �

POLINOMI


Tvrdenje

Ako je R[x ] skup svih polinoma po x nad prstenom R, onda jestruktura (R[x ],+, ·) isto prsten. Taj prsten je- komutativan,- sa jedinicom,- bez delitelja nule,

ako i R poseduje odgovarajuce svojstvo. �

POLINOMI


Tvrdenje

Ako je R[x ] skup svih polinoma po x nad prstenom R, onda jestruktura (R[x ],+, ·) isto prsten. Taj prsten je- komutativan,- sa jedinicom,- bez delitelja nule,ako i R poseduje odgovarajuce svojstvo. �

POLINOMI


Polinomi kao nizovi

(R,+, ·) komutativan prsten sa jedinicom;

polinom p(x) nad R je niz(a0, a1, a2, . . . )nad R koji ima samo konacno mnogo ne-nula elemenata.

(a0, . . . , an, 0, . . . ) - polinom;an elemenat sa najvecim indeksom koji je razlicit od nule,n - stepen polinoma.Dva polinoma su jednaka ako im se redom poklapaju clanovi.R[x ] - skup polinoma nad R.

POLINOMI


Polinomi kao nizovi




POLINOMI


Polinomi kao nizovi




POLINOMI


Polinomi kao nizovi



(a0, . . . , an, 0, . . . ) - polinom;

an elemenat sa najvecim indeksom koji je razlicit od nule,n - stepen polinoma.Dva polinoma su jednaka ako im se redom poklapaju clanovi.R[x ] - skup polinoma nad R.

POLINOMI


Polinomi kao nizovi



(a0, . . . , an, 0, . . . ) - polinom;an elemenat sa najvecim indeksom koji je razlicit od nule,

n - stepen polinoma.Dva polinoma su jednaka ako im se redom poklapaju clanovi.R[x ] - skup polinoma nad R.

POLINOMI


Polinomi kao nizovi



(a0, . . . , an, 0, . . . ) - polinom;an elemenat sa najvecim indeksom koji je razlicit od nule,n - stepen polinoma.

Dva polinoma su jednaka ako im se redom poklapaju clanovi.R[x ] - skup polinoma nad R.

POLINOMI


Polinomi kao nizovi



(a0, . . . , an, 0, . . . ) - polinom;an elemenat sa najvecim indeksom koji je razlicit od nule,n - stepen polinoma.Dva polinoma su jednaka ako im se redom poklapaju clanovi.

R[x ] - skup polinoma nad R.

POLINOMI


Polinomi kao nizovi




POLINOMI


p = (a0, . . . , am, 0, 0, . . . ), q = (b0, . . . , bn, 0, . . . )

p + q := (a0 + b0, a1 + b1, . . . );p · q := (c0, c1, . . . ), gde je

ck = a0bk + a1bk−1 + · · ·+ akb0.

Za a ∈ R, polinom (a, 0, 0, . . . ) oznacava se sa a.Polinom (0, a, 0, 0, . . . ) oznacava se sa ax ,polinom (0, 0, a, 0, . . . ) oznacava se sa ax2 itd.x := (0, 1, 0, 0, . . . ).x · x = x2 = (0, 0, 1, 0, . . . ), x3 = (0, 0, 0, 1, 0, . . . ) itd.

(a0, a1, a2, . . . , an, 0, . . . ) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anxn.

POLINOMI


p = (a0, . . . , am, 0, 0, . . . ), q = (b0, . . . , bn, 0, . . . )p + q := (a0 + b0, a1 + b1, . . . );

p · q := (c0, c1, . . . ), gde jeck = a0bk + a1bk−1 + · · ·+ akb0.


(a0, a1, a2, . . . , an, 0, . . . ) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anxn.

POLINOMI


p = (a0, . . . , am, 0, 0, . . . ), q = (b0, . . . , bn, 0, . . . )p + q := (a0 + b0, a1 + b1, . . . );p · q := (c0, c1, . . . ), gde je

ck = a0bk + a1bk−1 + · · ·+ akb0.


(a0, a1, a2, . . . , an, 0, . . . ) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anxn.

POLINOMI



ck = a0bk + a1bk−1 + · · ·+ akb0.


(a0, a1, a2, . . . , an, 0, . . . ) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anxn.

POLINOMI



ck = a0bk + a1bk−1 + · · ·+ akb0.

Za a ∈ R, polinom (a, 0, 0, . . . ) oznacava se sa a.

Polinom (0, a, 0, 0, . . . ) oznacava se sa ax ,polinom (0, 0, a, 0, . . . ) oznacava se sa ax2 itd.x := (0, 1, 0, 0, . . . ).x · x = x2 = (0, 0, 1, 0, . . . ), x3 = (0, 0, 0, 1, 0, . . . ) itd.

(a0, a1, a2, . . . , an, 0, . . . ) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anxn.

POLINOMI



ck = a0bk + a1bk−1 + · · ·+ akb0.

Za a ∈ R, polinom (a, 0, 0, . . . ) oznacava se sa a.Polinom (0, a, 0, 0, . . . ) oznacava se sa ax ,

polinom (0, 0, a, 0, . . . ) oznacava se sa ax2 itd.x := (0, 1, 0, 0, . . . ).x · x = x2 = (0, 0, 1, 0, . . . ), x3 = (0, 0, 0, 1, 0, . . . ) itd.

(a0, a1, a2, . . . , an, 0, . . . ) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anxn.

POLINOMI



ck = a0bk + a1bk−1 + · · ·+ akb0.

Za a ∈ R, polinom (a, 0, 0, . . . ) oznacava se sa a.Polinom (0, a, 0, 0, . . . ) oznacava se sa ax ,polinom (0, 0, a, 0, . . . ) oznacava se sa ax2 itd.

x := (0, 1, 0, 0, . . . ).x · x = x2 = (0, 0, 1, 0, . . . ), x3 = (0, 0, 0, 1, 0, . . . ) itd.

(a0, a1, a2, . . . , an, 0, . . . ) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anxn.

POLINOMI



ck = a0bk + a1bk−1 + · · ·+ akb0.

Za a ∈ R, polinom (a, 0, 0, . . . ) oznacava se sa a.Polinom (0, a, 0, 0, . . . ) oznacava se sa ax ,polinom (0, 0, a, 0, . . . ) oznacava se sa ax2 itd.x := (0, 1, 0, 0, . . . ).

x · x = x2 = (0, 0, 1, 0, . . . ), x3 = (0, 0, 0, 1, 0, . . . ) itd.

(a0, a1, a2, . . . , an, 0, . . . ) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anxn.

POLINOMI



ck = a0bk + a1bk−1 + · · ·+ akb0.


(a0, a1, a2, . . . , an, 0, . . . ) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anxn.

POLINOMI



ck = a0bk + a1bk−1 + · · ·+ akb0.


(a0, a1, a2, . . . , an, 0, . . . ) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anxn.

POLINOMI


Polinomna funkcija

p(x) = a0 + a1x + · · ·+ anxn polinom iz R[x ], R prsten;

polinomna funkcija - preslikavanjefp : R → R, definisano na sledeci nacin:Za svako b ∈ R,

fp(b) = a0 + a1b + · · ·+ anbn.

POLINOMI


Polinomna funkcija



fp(b) = a0 + a1b + · · ·+ anbn.

POLINOMI


Polinomna funkcija


polinomna funkcija - preslikavanjefp : R → R, definisano na sledeci nacin:

Za svako b ∈ R,

fp(b) = a0 + a1b + · · ·+ anbn.

POLINOMI


Polinomna funkcija



fp(b) = a0 + a1b + · · ·+ anbn.

POLINOMI


p(x) - polinom nad prstenom R;

b ∈ R;

Ako je p(b) = 0, onda je b nula polinoma p(x), ili korenjednacine p(x) = 0.

PrimeriI Nula polinoma p(x) = 2− 3x + x3 nad prstenom Z je broj−2, jer je

p(−2) = 2− 3(−2) + (−2)3 = 0.

I Polinom p(x) = x2 + 1 kao elemenat prstena R(x) nema nula,a ako se smatra polinomom nad poljem C, nule su mu i i −i .

2

POLINOMI



b ∈ R;



p(−2) = 2− 3(−2) + (−2)3 = 0.


2

POLINOMI



b ∈ R;



p(−2) = 2− 3(−2) + (−2)3 = 0.


2

POLINOMI



b ∈ R;


Primeri

I Nula polinoma p(x) = 2− 3x + x3 nad prstenom Z je broj−2, jer je

p(−2) = 2− 3(−2) + (−2)3 = 0.


2

POLINOMI



b ∈ R;



p(−2) = 2− 3(−2) + (−2)3 = 0.


2

POLINOMI



b ∈ R;



p(−2) = 2− 3(−2) + (−2)3 = 0.


2

POLINOMI



b ∈ R;



p(−2) = 2− 3(−2) + (−2)3 = 0.


2

POLINOMI

PolinomiPolinomi nad poljem

Polinomi nad poljem

Tvrdenje

Ako je P polje, onda je (P[x ],+, ·) integralni domen. �

Definise se funkcija iz P × P[x ] u P[x ] : (k, f (x)) 7→ kf (x);kf (x) je proizvod u polju P.

Tvrdenje

Abelova grupa (P[x ],+) je vektorski prostor nad poljem P, uodnosu na mnozenje polinoma skalarom. �

POLINOMI


Polinomi nad poljem

Tvrdenje



Tvrdenje


POLINOMI


Polinomi nad poljem

Tvrdenje



Tvrdenje


POLINOMI


Polinomi nad poljem

Tvrdenje



Tvrdenje


POLINOMI


Deljenje sa ostatkom

Tvrdenje

Neka su f (x) i g(x) polinomi nad poljem P, pri cemu g(x) nijenula-polinom. Tada nad P postoje jedinstveni polinomi q(x) i r(x)tako da je ispunjeno:

f (x) = g(x)q(x) + r(x);

pri tome je ili r(x) = 0 ili je stepen polinoma r(x) manji odstepena polinoma g(x). �

POLINOMI


Deljenje sa ostatkom

Tvrdenje

Neka su f (x) i g(x) polinomi nad poljem P, pri cemu g(x) nijenula-polinom. Tada nad P postoje jedinstveni polinomi q(x) i r(x)tako da je ispunjeno:

f (x) = g(x)q(x) + r(x);

pri tome je ili r(x) = 0 ili je stepen polinoma r(x) manji odstepena polinoma g(x). �

POLINOMI


Primer

(2x3 − 3x + 5) : (x + 1) = 2x2 − 2x − 1−(2x3 + 2x2)

−2x2 − 3x + 5−(−2x2 − 2x)

−x + 5−(−x − 1)

62

POLINOMI


Primer

(2x3 − 3x + 5) : (x + 1) = 2x2 − 2x − 1−(2x3 + 2x2)

−2x2 − 3x + 5−(−2x2 − 2x)

−x + 5−(−x − 1)

62

POLINOMI


Polinom f (x) deljiv polinomom g(x) ako postoji polinom q(x),tako da je f (x) = g(x)q(x).

Ako je f (x) stepena n, onda je stepen polinoma g(x) manji ilijednak n; ako su istog stepena, q(x) je stepena 0.

Tvrdenje (Bezuov stav)

Neka je a ∈ P. U prstenu P[x ] ostatak pri deljenju polinoma p(x)polinomom (x − a) je p(a). �

PosledicaZa a ∈ P, polinom p(x) ∈ P[x ] deljiv je sa (x − a) ako i samo akoje p(a) = 0. �

POLINOMI


Polinom f (x) deljiv polinomom g(x) ako postoji polinom q(x),tako da je f (x) = g(x)q(x).Ako je f (x) stepena n, onda je stepen polinoma g(x) manji ilijednak n; ako su istog stepena, q(x) je stepena 0.




POLINOMI






POLINOMI






POLINOMI


P - polje, a ∈ P, p(x) ∈ P[x ];

a - visestruka nula polinoma p(x), ako je p(x) deljiv sa(x − a)k , gde je k > 1.

Ako p(x) nije deljiv sa (x − a)k+1, visestrukost nule je k.

Tada u P[x ] postoji polinom q(x), tako da je

p(x) = (x − a)kq(x).

PrimeriI p(x) = x4 + x3 − x2 + x − 2 - polinom nad poljem R.

Iz p(−2) = 0, sledi da je p(x) deljiv sa (x + 2), pa je

p(x) = (x + 2)(x3 − x2 + x − 1).I p(x) = x3 + x2 − 16x + 20, polinom nad R;

2 - dvostruka nula; −5 - nula;

p(x) = (x − 2)2(x + 5). 2

POLINOMI


P - polje, a ∈ P, p(x) ∈ P[x ];




p(x) = (x − a)kq(x).





p(x) = (x − 2)2(x + 5). 2

POLINOMI


P - polje, a ∈ P, p(x) ∈ P[x ];




p(x) = (x − a)kq(x).





p(x) = (x − 2)2(x + 5). 2

POLINOMI


P - polje, a ∈ P, p(x) ∈ P[x ];




p(x) = (x − a)kq(x).





p(x) = (x − 2)2(x + 5). 2

POLINOMI


P - polje, a ∈ P, p(x) ∈ P[x ];




p(x) = (x − a)kq(x).

Primeri

I p(x) = x4 + x3 − x2 + x − 2 - polinom nad poljem R.




p(x) = (x − 2)2(x + 5). 2

POLINOMI


P - polje, a ∈ P, p(x) ∈ P[x ];




p(x) = (x − a)kq(x).





p(x) = (x − 2)2(x + 5). 2

POLINOMI


P - polje, a ∈ P, p(x) ∈ P[x ];




p(x) = (x − a)kq(x).





p(x) = (x − 2)2(x + 5). 2

POLINOMI


P - polje, a ∈ P, p(x) ∈ P[x ];




p(x) = (x − a)kq(x).



p(x) = (x + 2)(x3 − x2 + x − 1).

I p(x) = x3 + x2 − 16x + 20, polinom nad R;


p(x) = (x − 2)2(x + 5). 2

POLINOMI


P - polje, a ∈ P, p(x) ∈ P[x ];




p(x) = (x − a)kq(x).





p(x) = (x − 2)2(x + 5). 2

POLINOMI


P - polje, a ∈ P, p(x) ∈ P[x ];




p(x) = (x − a)kq(x).





p(x) = (x − 2)2(x + 5). 2

POLINOMI


P - polje, a ∈ P, p(x) ∈ P[x ];




p(x) = (x − a)kq(x).





p(x) = (x − 2)2(x + 5). 2

POLINOMI


R - integralni domen;

a ∈ R je invertibilan ako postoji b tako da je ab = 1;b ∈ R je pridruzen elementu a ako je b = εa, gde je ε invertibilanelemenat;a ∈ R je nesvodljiv, ako nije nula i nije invertibilan i ako iz b | asledi da je b ili invertibilan ili elemenat pridruzen elementu a.

POLINOMI


R - integralni domen;a ∈ R je invertibilan ako postoji b tako da je ab = 1;

b ∈ R je pridruzen elementu a ako je b = εa, gde je ε invertibilanelemenat;a ∈ R je nesvodljiv, ako nije nula i nije invertibilan i ako iz b | asledi da je b ili invertibilan ili elemenat pridruzen elementu a.

POLINOMI


R - integralni domen;a ∈ R je invertibilan ako postoji b tako da je ab = 1;b ∈ R je pridruzen elementu a ako je b = εa, gde je ε invertibilanelemenat;

a ∈ R je nesvodljiv, ako nije nula i nije invertibilan i ako iz b | asledi da je b ili invertibilan ili elemenat pridruzen elementu a.

POLINOMI


R - integralni domen;a ∈ R je invertibilan ako postoji b tako da je ab = 1;b ∈ R je pridruzen elementu a ako je b = εa, gde je ε invertibilanelemenat;a ∈ R je nesvodljiv, ako nije nula i nije invertibilan i ako iz b | asledi da je b ili invertibilan ili elemenat pridruzen elementu a.

POLINOMI


Tvrdenje

Polinom iz P[x ] je invertibilan ako i samo ako je konstantan irazlicit od nula-polinoma. �

Sledi da je polinom p(x) nesvodljiv nad poljem P ako nijekonstantan, a deljiv je samo konstantama i njemu pridruzenimpolinomima (oblika cp(x), c ∈ P, c 6= 0).

Tvrdenje

Svaki linearni polinom iz P[x ] je nesvodljiv. �

Tvrdenje

Ako je n 6= 0, onda svaki polinom stepena n iz P[x ] ima najvise nnula. �

POLINOMI


Tvrdenje



Tvrdenje


Tvrdenje


POLINOMI


Tvrdenje



Tvrdenje


Tvrdenje


POLINOMI


Tvrdenje



Tvrdenje


Tvrdenje


POLINOMI

PolinomiPolinomi nad poljem C

Polinomi nad poljem kompleksnih brojeva

C[x ] - prsten polinoma nad poljem kompleksnih brojeva;

Tvrdenje (Osnovni stav algebre)

Svaki polinom iz C[x ] koji nije nultog stepena ima bar jednu nulu upolju C. �

PosledicaSvaki polinom n-tog stepena nad poljem C ima tacno n nula u tompolju; pri tome se svaka nula broji onoliko puta kolika je njenavisestrukost. �

POLINOMI


Polinomi nad poljem kompleksnih brojevaC[x ] - prsten polinoma nad poljem kompleksnih brojeva;




POLINOMI






POLINOMI






POLINOMI


Tvrdenje

Neka je dat polinom p(x) = anxn + · · ·+ a0 ∈ C[x ] sa realnimkoeficijentima. Ako je w ∈ C nula tog polinoma, onda je i wtakode njegova nula. �

Predstavljanje polinoma kao proizvoda nesvodljivih faktora -faktorizacija.Nesvodljivi faktori polinoma n-tog stepena sa realnimkoeficijentima:Nad poljem C nesvodljivi faktori su oblika x − c, c ∈ C.Ako se polinom smatra elementom prstena R[x ], onda sunesvodljivi faktori ili oblika x − c, c ∈ R, ili su to polinomix2 + px + q, p, q ∈ R.

POLINOMI


Tvrdenje


Predstavljanje polinoma kao proizvoda nesvodljivih faktora -faktorizacija.

Nesvodljivi faktori polinoma n-tog stepena sa realnimkoeficijentima:Nad poljem C nesvodljivi faktori su oblika x − c, c ∈ C.Ako se polinom smatra elementom prstena R[x ], onda sunesvodljivi faktori ili oblika x − c, c ∈ R, ili su to polinomix2 + px + q, p, q ∈ R.

POLINOMI


Tvrdenje


Predstavljanje polinoma kao proizvoda nesvodljivih faktora -faktorizacija.Nesvodljivi faktori polinoma n-tog stepena sa realnimkoeficijentima:

Nad poljem C nesvodljivi faktori su oblika x − c, c ∈ C.Ako se polinom smatra elementom prstena R[x ], onda sunesvodljivi faktori ili oblika x − c, c ∈ R, ili su to polinomix2 + px + q, p, q ∈ R.

POLINOMI


Tvrdenje


Predstavljanje polinoma kao proizvoda nesvodljivih faktora -faktorizacija.Nesvodljivi faktori polinoma n-tog stepena sa realnimkoeficijentima:Nad poljem C nesvodljivi faktori su oblika x − c, c ∈ C.

Ako se polinom smatra elementom prstena R[x ], onda sunesvodljivi faktori ili oblika x − c, c ∈ R, ili su to polinomix2 + px + q, p, q ∈ R.

POLINOMI


Tvrdenje


Predstavljanje polinoma kao proizvoda nesvodljivih faktora -faktorizacija.Nesvodljivi faktori polinoma n-tog stepena sa realnimkoeficijentima:Nad poljem C nesvodljivi faktori su oblika x − c, c ∈ C.Ako se polinom smatra elementom prstena R[x ], onda sunesvodljivi faktori ili oblika x − c, c ∈ R, ili su to polinomix2 + px + q, p, q ∈ R.

POLINOMI


Primer

I p(x) = x4 + x3 − x2 + x − 2

U C[x ]:

p(x) = (x + 2)(x − 1)(x − i)(x + i).

U R[x ]:

p(x) = (x + 2)(x − 1)(x2 + 1). 2

POLINOMI


Primer

I p(x) = x4 + x3 − x2 + x − 2

U C[x ]:

p(x) = (x + 2)(x − 1)(x − i)(x + i).

U R[x ]:

p(x) = (x + 2)(x − 1)(x2 + 1). 2

POLINOMI


Primer

I p(x) = x4 + x3 − x2 + x − 2

U C[x ]:

p(x) = (x + 2)(x − 1)(x − i)(x + i).

U R[x ]:

p(x) = (x + 2)(x − 1)(x2 + 1). 2

POLINOMI


Primer

I p(x) = x4 + x3 − x2 + x − 2

U C[x ]:

p(x) = (x + 2)(x − 1)(x − i)(x + i).

U R[x ]:

p(x) = (x + 2)(x − 1)(x2 + 1). 2

POLINOMI


Primer

I p(x) = x4 + x3 − x2 + x − 2

U C[x ]:

p(x) = (x + 2)(x − 1)(x − i)(x + i).

U R[x ]:

p(x) = (x + 2)(x − 1)(x2 + 1). 2

POLINOMI


Primer

I p(x) = x4 + x3 − x2 + x − 2

U C[x ]:

p(x) = (x + 2)(x − 1)(x − i)(x + i).

U R[x ]:

p(x) = (x + 2)(x − 1)(x2 + 1). 2

POLINOMI


Vijetove formule

p(x) = anxn + · · ·+ a0 - polinom nad poljem C,an 6= 0, nule x1, . . . , xn;

Faktorizacija nad C:

p(x) = an(x − x1) · · · · · (x − xn).

POLINOMI


Vijetove formule

p(x) = anxn + · · ·+ a0 - polinom nad poljem C,

an 6= 0, nule x1, . . . , xn;


p(x) = an(x − x1) · · · · · (x − xn).

POLINOMI


Vijetove formule



p(x) = an(x − x1) · · · · · (x − xn).

POLINOMI


Vijetove formule



p(x) = an(x − x1) · · · · · (x − xn).

POLINOMI


Vijetove formule



p(x) = an(x − x1) · · · · · (x − xn).

POLINOMI


anxn + · · ·+ a0 = an(x − x1) · · · · · (x − xn);

Sledix1 + x2 + · · ·+ xn = −an−1

an,

x1 · x2 + x1 · x3 + · · ·+ xn−1 · xn =an−2

an,

...x1 · x2 · · · · · xk + · · ·+ xn−k+1 · xn−k+2 · · · · · xn = (−1)k

an−k

an...x1 · · · · · xn = (−1)n

a0an

.

Ove jednakosti su Vijetove formule.

POLINOMI


anxn + · · ·+ a0 = an(x − x1) · · · · · (x − xn);Sledi

x1 + x2 + · · ·+ xn = −an−1

an,

x1 · x2 + x1 · x3 + · · ·+ xn−1 · xn =an−2

an,

...x1 · x2 · · · · · xk + · · ·+ xn−k+1 · xn−k+2 · · · · · xn = (−1)k

an−k

an...x1 · · · · · xn = (−1)n

a0an

.


POLINOMI


anxn + · · ·+ a0 = an(x − x1) · · · · · (x − xn);Sledix1 + x2 + · · ·+ xn = −an−1

an,

x1 · x2 + x1 · x3 + · · ·+ xn−1 · xn =an−2

an,

...x1 · x2 · · · · · xk + · · ·+ xn−k+1 · xn−k+2 · · · · · xn = (−1)k

an−k

an...x1 · · · · · xn = (−1)n

a0an

.


POLINOMI



an,

x1 · x2 + x1 · x3 + · · ·+ xn−1 · xn =an−2

an,

...

x1 · x2 · · · · · xk + · · ·+ xn−k+1 · xn−k+2 · · · · · xn = (−1)kan−k

an...x1 · · · · · xn = (−1)n

a0an

.


POLINOMI



an,

x1 · x2 + x1 · x3 + · · ·+ xn−1 · xn =an−2

an,

...x1 · x2 · · · · · xk + · · ·+ xn−k+1 · xn−k+2 · · · · · xn = (−1)k

an−k

an...

x1 · · · · · xn = (−1)na0an

.


POLINOMI



an,

x1 · x2 + x1 · x3 + · · ·+ xn−1 · xn =an−2

an,

...x1 · x2 · · · · · xk + · · ·+ xn−k+1 · xn−k+2 · · · · · xn = (−1)k

an−k

an...x1 · · · · · xn = (−1)n

a0an

.


POLINOMI



an,

x1 · x2 + x1 · x3 + · · ·+ xn−1 · xn =an−2

an,

...x1 · x2 · · · · · xk + · · ·+ xn−k+1 · xn−k+2 · · · · · xn = (−1)k

an−k

an...x1 · · · · · xn = (−1)n

a0an

.


POLINOMI


Vijetove formule za polinom treceg stepena

p(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0,

ako su x1, x2, x3 njegove nule:

x1 + x2 + x3 = −a2a3

,

x1x2 + x1x3 + x2x3 =a1a3

,

x1x2x3 = −a0a3

.

POLINOMI



p(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0,


x1 + x2 + x3 = −a2a3

,

x1x2 + x1x3 + x2x3 =a1a3

,

x1x2x3 = −a0a3

.

POLINOMI



p(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0,


x1 + x2 + x3 = −a2a3

,

x1x2 + x1x3 + x2x3 =a1a3

,

x1x2x3 = −a0a3

.

POLINOMI



p(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0,


x1 + x2 + x3 = −a2a3

,

x1x2 + x1x3 + x2x3 =a1a3

,

x1x2x3 = −a0a3

.

POLINOMI


Tvrdenje

Ako je razlomakp

q, gde su p i q uzajamno prosti i pq 6= 0, nula

polinomap(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a0, ai ∈ Z, a0an 6= 0,onda p | a0 i q | an. �

POLINOMI

Documents

teorija polinoma