11Kinematika materijalne tocke10. dio2Podjela mehanike3Mehanika krutog tijelaStatika KinematikaDinamika45Galilejevi pokusi kuglica na kosini6KinematikaKinematika je grana mehanike koja prouava gibanja materijalnih tijela i povezuje poloaje tijela s vremenom, ne analizirajui uzroke zbog kojihta gibanja nastaju .Kinematika je geometrija gibanja.Ne uzima u obzir:- masu tijelam i- siluF koja uzrokuje gibanje.27DinamikaDinamika je grana mehanike koja proucava zakone gibanja materijalnih tijela pod djelovanjem sila.U dinamici se utvrduju uzrocneveze izmedu sila i gibanja materijalnih tocaka ili tijela.Uzima u obzir:- masu tijelam i - siluF koja uzrokuje gibanje.8Idealizacija realnog cvrstog tijela u mehanici9KinematikaKinematikamaterijalnetockeKinematikakrutog tijelaDinamikaDinamikamaterijalne tockeDinamikakrutog tijela10Velicine u mehanici1. Skalari2. Vektori3. Tenzori II. reda4. Tenzori IV. reda111. Skalari: tenzori nultog reda(30= 1 podatak + mjerna jedinica)2. Vektori: tenzori prvog reda(31= 3 podatka + mjerna jedinica)3. Tenzori drugog reda32= 9 podataka + mjerna jedinica4. Tenzori cetvrtog reda 34= 81 podatak + mjerna jedinica121. Skalari1. duina l(m)2. masa m(kg)3. vrijeme t(s)4. povrina A(m2)5. obujam V(m3)6. gustoca r(kg/m3)7. kut a() (rad)8. temperatura T(C) (K)9. radA (J = Nm)10. snaga P (W = Nm/s)11. energija E(J= Nm)12. pritisak p(Pa = N/m2)3132. Vektori1. radijus vektor (m)2. vektor pomaka (m)3. brzina (m/s)4. ubrzanje (m/s2)rsva145. kolicina gibanja (kgm/s=Ns)6. sila (N=kgm/s2)7. staticki moment sile obzirom na neki pol (Nm)8. moment kolicine gibanja (Nms)9. impuls sile (Ns) = v m K = F r MO = v m r LO = t F I = a m F15MehanikaZadatak mehanike je prouavanje opih zakona mehanikog gibanja.Mehaniko gibanje je najjednostavniji oblik gibanja materije koje se prikazuje kaopremjetanje materijalnih tijela u prostoru i vremenu.16Materijalno tijeloPod materijalnim tijelom podrazumijevamo ograniceni prostor ispunjen materijom. Glavna svojstva materijalnih tijela su: oblik obujam poloaji ona cine prostorno stanje tijela.17Promjena poloaja tijela jegibanje.Kinematika je grana mehanike koja proucava gibanja materijalnih tijela i samo povezuje poloaje tijela s vremenom. Zakon gibanja: s = s(t)s = f (t)18Gibanje tocke na obodu kotaca vidi: biciklist kao gibanje tocke po krunicipromatrac sa strane kao gibanje tocke po krivulji cikloidi419Poloaj toke u bilo kojem trenutku vremena tzadajemo u referentnom koordinatnom sustavu.Referentni koordinatni sustav je Descartesovortogonalni koordinatni sustav odreden ishoditem i trima medusobno okomitim koordinatnim osima Oxyz.20Putanja ili trajektorija materijalne tocke je neprekinuta crta koju opisuje materijalna tocka pri gibanju u odnosu na referentni koordinatni sustav.21Treba razlikovati udaljenosti s od prevaljenogputaPrimjer: Poloaj tocke u trenutku t2 luk s2= OM2Prevaljeni put u intervalu t2 = luk (OM1+ M1M2)luk s2 luk (OM1+ M1M2)22Osnovne kinematicke velicine: put(m) vrijemet (s)Glavne kinematicke velicine: brzina (m/s) ubrzanje (m/s2)sva23 Zakon gibanjaodreduje poloaj tocke u odnosu na referentni koordinatni sustav u bilo kojem trenutku vremena. Zakon gibanja jednoznacno odreduje samo poloaj tocke na putanji ali ne i predeni put. Poznavajuci zakon gibanja tijela odredujemo kinematicke velicine koje definiraju gibanje a to su:- brzina i- ubrzanje.va) t ( f s = ) t ( s s =24Prema obliku putanje - trajektorijerazlikujemo slijedeca gibanja: prostorno i ravninsko gibanje krivocrtno i pravocrtno gibanje tockekruno gibanje - putanja tocke je krunicapovratno - oscilatorno gibanje kada se tocka gibajuci se po istoj putanji vraca u svoj prvobitni poloaj. 525Kinematikamaterijalne tockeKrivocrtnogibanjea) Krunogibanjeb) Pravocrtno gibanjec) Oscilatornogibanje26Prostorno gibanje27Ravninsko gibanje28Gibanje po krunici29Gibanje po pravcu30Oscilatorno gibanje631Kinematikakrutog tijela1.Translacija 2. RotacijaKrivocrtna Pravocrtna 32Krivocrtna translacija Pravocrtna translacija2. Rotacija33Kinematika materijalne tockea) Zadavanje krivocrtnog gibanjab) Brzina v i ubrzanje ac) Vrste krivocrtnih gibanja34Osnovne kinematicke velicine: put(m) vrijemet (s)Glavne kinematicke velicine: brzina (m/s) ubrzanje (m/s2)sva35Krivocrtno gibanjematerijalne tockePoloaj materijalne tocke u svakomtrenutku vremena moemo definirati naslijedece nacine: 1. Vektorski nacin definiranja gibanja2. Prirodni nacin definiranja gibanja) t ( r r =) t ( s s =361. Vektorski nacin definiranja gibanja Pri gibanju tocke M mijenja se vektor poloaja po pravcu i intenzitetu.r Zakon krivocrtnoggibanja vektorskomobliku:) t ( r r =7372. Prirodni koordinatni sustavOrtogonalni sustav s pravolinijskim osima koji se od Oxyzortogonalnog sustava razlikuje samo svojom pomicnocu.Zakon krivocrtnog gibanja:) t ( s s =38Koordinatni sustav je vezan uz materijalnu tocku M koja se giba po putanji trajektoriji s.2. Prirodni koordinatni sustavPrimjena prirodnog koordinatnog sustavamoguca je samo ako je poznata putanja:) t ( s s =391. Vektorski nacin definiranja gibanjaGibanje zadajemo vektorom poloaja radijusvektora u jednom od koordinatnih sustava: Descartesovom, cilindricnom (polarnom) ili sfernom.) t ( r r =401a. Descartesov koordinatni sustav) t ( z z) t ( y y) t ( x x===Zakon krivocrtnog gibanja:(Parametarske jednadbe) + + =+ + ==k ) t ( z j ) t ( y i ) t ( x rk ) t ( r j ) t ( r i ) t ( r r) t ( r rz y x41) t ( z z ) t ( y y) t ( x x: prostoru u gibanje Za===) t ( y y) t ( x x: avnini r u gibanje Za==) t ( x x: ravcu p o p gibanje Za =421.b. Cilindricni (polarni) koordinatni sustav Poloaj tocke u odnosu na referentni koordinatni sustav Oxyz definiran je dvjema duinama i zte jednim kutom koji se mijenjaju tijekom vremena Zakon krivocrtnog gibanja:) t ( z z) t () t (= = = 843 44Za gibanjauravninikoordinataz = z(t) = 0 pa se vektori irpodudaraju. ) t () t ( r r = =1.b. Polarni koordinatni sustav451.b. Kruno gibanje u ravnini Oxy najceci oblik krivocrtnog gibanja Zakon krunog gibanja:) t (. konst r = =461c. Sferni koordinatni sustav Poloaj tocke u sfernom koordinatnom sustavu odreden je jednom duinom r i dvama kutovima i koji se mijenjaju tijekom vremena.) t () t () t ( r r = = = Zakon krivocrtnog gibanja:472. Prirodni koordinatni sustavZakon krivocrtnog gibanja:) t ( s s =48Prirodni koordinatni sustava tvore: tangenta t,glavna normala n i binormala b(desni koordinatni sustav).949Iz osnovnih kinematskih velicina: putas (m) odnosno [kut (rad)] vremenat(s)moemo odrediti glavne karakteristike gibanja: brzinu v (m/s) [kutna brzina (1/s)] ubrzanjea (m/s2) [kutno ubrzanje (1/s2)]50Brzina v i ubrzanje tocke a Odredivanje brzine gibanja tocke u krivocrtnomgibanju ovisi o nacinu na koji je zadano gibanje1. vektorski u:a) Descartesovom koordinatnom sustavub) Polarnom koordinatnom sustavu2. u prirodnom koordinatnom sustavu51

dtdrv dtdrvyyxx= = + = j ) t ( r i ) t ( r ry xKomponente brzine:2y2xv v v + =Intenzitet brzine:Komponente ubrzanja:Intenzitet ubrzanja:2y2xa a a + =2y2yy2x2xxdtr ddtdvadtr ddtdva= == =1. Vektorski nacin:52

dtdyv dtdxvy x= = + = j ) t ( y i ) t ( x rKomponente brzine:2y2xv v v + =Intenzitet brzine:Komponente ubrzanja:Intenzitet ubrzanja:2y2xa a a + =22xxdtx ddtdva = =22yydty ddtdva = =1.a Descartesov koordinatni sustav531.b. Cilindricni koordinatni sustavPolarni koordinatni sustav (z=0)) t (. konst r = =Kruno gibanje:Kutna brzina: Kutno ubrzanje: 54Obodna brzina: = r v === == 22dtddtddtd1055. konst r) t (= = 2ntaatg= = Komponente ubrzanja:Intenzitet ubrzanja:4 2 2n2tr a a a + = + =( )22ntrrvardtr d dtdv a = = = = = = r vVektor ubrzanja a ima dvije komponente:tangencijalnu ati normalnu an. 56Kruno gibanjeRazlikujemo slucajeve: >0 d = .dt >0 ubrzano gibanje =konst. jednoliko ubrzano 0 ili usporenje: a0 at=konst. jednoliko ubrzano gibanje(dv = at.dt >0) 2. at

t a v v

tv vtvat 00t + ===2t 0 0t 0 0000 sr 0 0t a21t v s st2t a v vs t2v vs t v s s s s + + = + ++ = ++ = + = + =t v sv vsr0 = >802. Jednoliko usporeno krivocrtno gibanje. konst a0 at t= 0) 2. a 02. Jednoliko usporeno pravocrtno gibanjea > 03. Jednoliko pravocrtno gibanjea = 0Dijagrami:a tv ts t95Dijagrami:( )020220 00s s a 2 v vt a21t v s st a v v + = + + = + =t a v v t 0 + =1. Jednoliko ubrzano pravocrtno gibanjea > 096Primjer: Galilejeva kosina2t a21st a v = =16 : 9 : 4 : 1 4 : 3 : 2 : 1 s : s : s : s2 2 2 24 3 2 1= =1797Primjer: Slobodni pad2t g21st g v = =98Slobodni pads g 2 v gvg21sgvtt g v22 =

== =992. Jednoliko usporenopravocrtno gibanje( )020220 00s s a 2 v vt a21t v s st a v v = + = =a < 0100Vertikalni hitac:

gv 2t 2 T vrha) do (samo leta TrajanjeH g 2 vg 2vHhicaVisinat g21t v stg v vg a02020200= = = = = = = Usporeno pravocrtno gibanje:101

gv 2t 2 Tleta trajanje Ukupno

g 2vHgvg21gvv H: hicaVisinat g21t v s gvtt g v 0 tg v v02020 002000 0= ==

= == = =102Dijagrami:3. Jednoliko pravocrtno gibanjea = 0t v s s. konst v0 a0 0 + ===18103Formalna analogija pravocrtnog i krunog gibanjaJednoliko gibanje: = 0Jednoliko gibanje:a = 0Jednoliko promjenjivo gibanjekutno ubrzanjeubrzanjekutna brzinabrzina kut rotacije s putKrivocrtno gibanje Pravocrtno gibanjedtdsv =dtdva at = =20 00t a21t v s st a v vkonst. a + = ==20 00t21ttkonst. + = = = dtd= dtd= t v s s. konst v0 + ==t. konst0 + = = 104 Primjer:Jedancovjeks vrhazgradevisine12m pusti bez pocetne brzine loptuA.Uistovrijeme drugicovjeksvisineod 1,5modpodnoja zgradebaciuvisloptu B. Ako pretpostavimo da suseloptemimoilena visiniod6m,odredite brzinukojomjeloptaB bacena uvis.105? v m ,0 6 sm 5 , 1 s: B Lopta

m 6,0 s0 v 0 s : A LoptaB00 0== == = =s 106 , 1 22 , 18 , 96 2t t 8 , 9210 0 6,0t g21t v s s gibanje ubrzano jednoliko - ) s (padslobodan m 6,0 s0 v 0 s : A Lopta220 00 0= == + + = + + = += = =106

m/s 9,49 v 106 , 1106 , 1 9 , 4 4,5 v106 , 1 8 , 921106 , 1 v 1,5 6,0 t g21t v s s) s (gibanjeusporeno ednoliko j m ,0 6 s m 5 , 1 s: B LoptaB2B2B20 00= += + = + = += =107C. Oscilatorno gibanje materijalnetocke108 Oscilatorno gibanje je najrasprostranjenijegibanje u prirodi. To je gibanje materijalne tocke koje se u odredenom vremenskom intervalu ponavlja(potpuno u svim pojedinostima). Najvanije i najjednostavnije je harmonijsko oscilatorno titranje. Kulisni mehanizam je primjer harmonijskog gibanja. 19109Poluga OA vezana je zaosovinu u tocci O i rotirakonstantnom kutnombrzinom .Tocka B mehanizmakulise krece se gore - doljeizmedu tocaka D-O-C110 2cos r xOB x

== + = tZa = konst.prijedeni kut je: pocetni kut111 =

= sin r2cos r x + = tZakonharmonijskog gibanja:r amplituda pocetna faza( ) + = t sin r x112=2T = 2 TZa jedan okret kut 2 vrijedi relacija:Period oscilacija:Broj oscilacija u sekundi= =2 T1f113Brzinav i ubrzanje a = x a( ) + = t sin r x( ) + = =t cos r x v= x v( ) + = = t sin r x a2114( ) + = t sin r x( ) + = =t cos r x v20115t sin = r xBez poetne faze00 t0= = === 22T1116Brzinavt cos = = r x vv (m)117t sin = r xt cos = = r x v118119 === 22T1s = 5.sin t Primjer 1:120t sin 5dts ddtdvat cos 5dtdsvt sin 5 s22 = = = = = =0 5 0 -5 0 a = - 5 .sin t (m/s2)5 0 -5 0 5 v = 5 . cos t (m/s)0 -5 0 5 0 s = 5 . sin t (m)2 3/2 /2 0 t (s)21121 122 Primjer 2:(s) 42T(1/s)2 ) m ( 2 r(m) t2sin 2 x=== =

=123t2sin2x a t2cos x v t2sin 2 x2 = = = =

= 0 2/2 0 -2/2 0 a (m/s2) 0 - 0 v (m/s)0 -2 0 2 0 x (m)4 3 2 1 0 t (s)124125 Primjer 3:) (m/s 6t sin 3 x v a) (m/s6t cos 1 3 x v22T1 3 r) (m6t sin 3 x2

+ = = =

+ = = == = =

+ = 1262 / 3 3- 3/2 0 3 0 -3 -3/2 a (m/s2)3 0 -3 0 v (m/s)1 0 -1 0 cos(t+/6)3/2 0 -3 0 3 3/2 x (m)1/2 0 -1 0 1 1/2 sin(t+/6)13/6 12/6 9/6 6/6 3/6 /6 t+/612/6 11/6 8/6 5/6 2/6 0 t (s)2 / 3 32 / 32 / 3

+ =

+ =

+ =6t sin 3 a6t cos 3 v 6t sin 3 xDijagrami:s - t,v - tia - tdomaca zadaca