VEROVATNOCATeorija verovatnoce je matematicka disciplina koja se bavi izucavanjem slucajnih pojava, tj. takvihempirijskih fenomena ciji ishodi nisu uvek strogo denisani. Osnovni model u teoriji verovatnoce jeeksperiment (opit) pomocu koga se u prirodi i drustvu vrsi proucavanje veze izmedu uzroka i posledice.Na ishod eksperimenta obicno utice vise uslova. Ako se eksperiment ponavlja mnogo puta pod istim kom-pleksom uslova, pojavljuje se odredena zakonomernost u skupu ishoda. Teorija verovatnoce se bavi timzakonitostima uvodenjem odredene kvantitativne mere u obliku realnog nenegativnog broja verovatnoce,kojim se procenjuje mogucnost, odnosno nemogucnost nastupanja ishoda.Pocetak razvoja teorije verovatnoce se vezuje za XVII vek i za imena francuskih matematicara Pas-cala1i Fermata2. Oni su proucavali problem vezan za jednu kockarsku igru, i ova njihova studija iz1654. godine obicno se smatra pocetkom teorijskog razvoja verovatnoce (videti primer 2.2). Ona je dugobila usko povezana sa problemima hazardnih igara i prakticnih problema na bazi empirijsko-intuitivnihmotivacija. Tek posle 1933. godine, kada je N. A. Kolmogorov3objavio rad u kojem je izlozio os-novne postavke aksiomatske zasnovanosti teorije verovatnoce, teorija verovatnoce razvija se kao modernamatematicka disciplina koja se ne oslanja samo na empirijske i intuitivne motive, vec na jednu formalno-logicku teoriju povezanu sa drugim matematickim pojmovima. Danas je tesko naci neku naucnu disciplinuili covekovu delatnost koja se moze konkretno izucavati bez primene teorije verovatnoce i matematickestatistike, koja je zasnovana na teoriji verovatnoce.1. Slucajni dogadajiOsnovni polazni pojam u teoriji verovatnoce je neprazan skup koji predstavlja skup svih mogucihishoda jednog eksperimenta. Obicno se zove prostor elementarnih dogadaja. Skup moze bitikonacan, prebrojiv ili neprebrojiv. Slucajni dogadaj ili prosto dogadaj denise se kao neki podskup od. Dogadaj A( ) se realizuje ako i samo ako se realizuje neki ishod koji pripada podskupu A. Skupsvih dogadaja koji odgovaraju jednom eksperimentu nazivamo poljem dogadaja i oznacavamo sa T.Polje dogadaja uvek sadrzi ( T) (izvestan ili siguran dogadaj) i ( T) (nemoguc dogadaj). Unastavku, dogadaje cemo oznacavati velikim slovima latinice A, B, C, . . . i smatracemo da oni pripadajupolju dogadaja T.Ako realizacija dogadaja A povlaci realizaciju dogadaja B kazemo da dogadaj A implicira dogadajB, sto sa stanovista teorije skupova znaci A B.Primetimo da A B i B C povlaci A C. Takode, za svaki dogadaj A vazi A i A .Ako je A B i B A kazemo da su dogadaji ekvivalentni i pisemo A = B.Proizvod dva dogadaja A i B, u oznaci AB, je dogadaj koji se realizuje ako i samo ako se realizujuoba dogadaja A i B. Dakle, proizvod dogadaja je presek skupova A i B, tj. AB = A B. Ako su A i Bdisjunkni skupovi, tj. A B = , za dogadaje A i B kazemo da su nesaglasni ili da se iskljucuju.1Blaise Pascal (16231662), francuski matematicar, cita se Paskal.2Pierre de Fermat (16011665), francuski matematicar, cita se Ferma.3N. A. Kolmogorov (19031987), ruski matematicar.12 ra cun verovatno ceZbir dva dogadaja A i B, u oznaci A B, predstavlja dogadaj koji se realizuje ako se realizuje barjedan od dogadaja A i B. Ako su A i B nesaglasni dogadaji, umesto A B pisemo A+B.Razlikom dogadaja A i B, u oznaci AB ili A B, naziva se dogadaj koji odgovara razlici skupovaA i B; ovaj dogadaj se realizuje samo ako se realizuje A, a ne realizuje B.Za dogadaj A postoji suprotan (komplementaran) dogadaj A koji se realizuje ako se dogadaj Ane realizuje, tj. A = A.Koristeci elemente teorije skupova, imamo:A B = [ , A i B,A B = [ , A ili B,A B = [ , A i / B,A = [ , / A.Denicija preseka i unije moze se jednostavno prosiriti na konacno ili prebrojivo mnogo dogadaja. Naprimer, ako je A1, . . . , An familija konacno mnogo dogadaja i In := 1, . . . , n indeksni skup, tada jen

i=1Ai = [ za svako i In je Ai,n

i=1Ai = [ postoji i In tako da je Ai.Ako je AiAj = (i ,= j), umesto iAi pisemo iAi.Dogadaji A1, . . . , An obrazuju potpuni sistem dogadaja ako pri realizaciji odredenog kompleksauslova nastupi bar jedan od tih dogadaja, tj. ako jen

i=1Ai = . Posebno su interesantni potpuni sisteminesaglasnih dogadaja. U tom slucaju se kaze da oni cine disjunktno razbijanje skupa .Primer 1.1. Posmatrajmo eksperimente sa homogenom kockom za igranje cije su strane oznacene brojevimaod 1 do 6. Elementaran dogadaj koji znaci da se pri bacanju kocke pojavila strana sa brojem k I6 =1, 2, 3, 4, 5, 6 oznacimo sa k. Prostor elementarnih dogadaja je = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Neka su A, B iC dogadaji odredeni preko elementarnih dogadaja na sledeci nacin:A = 2, 4, 6, B = 1, 3, 5, C = 2, 3, 5.Tada je, na primer,A C = 2, 3, 4, 5, 6,B C = 3, 5,C = 1, 4, 6,(A C) ( C A) = 1, 2, 3, 4, 5, 6 = ,A B = .Prema tome, (A C) ( C A) je siguran dogadaj, dok je A B nemoguc dogadaj.2. Klasicna denicija verovatnoceTeorija verovatnoce se skoro trista godina razvijala bez strogo denisanih aksioma verovatnoce.Klasicna denicija verovatnoce se zasnivala na intuitivnoj i iskustvenoj predstavi verovatnoce dogadajaklasi cna definicija verovatno ce 3kao relativnoj ucestanosti broja povoljnih ishoda i generalizaciji tog pojma. Na primer, ako je A dogadajda se pri bacanju kocke pojavi, na primer, broj 4, a n i n(A) predstavljaju redom ukupan broj eksper-imenata i broj pojavljivanja broja 4, pri dovoljno velikom broju opita moze se zapaziti da se relativnaucestanost dogadaja A izrazena kolicnikom n(A)/n priblizava broju 1/6. Ovaj broj se uzima kao mera,,sanse za realizaciju dogadaja A.Iz opisanog primera vidi se da klasicna denicija verovatnoce ustvari koristi pojam verovatnoce jed-nakoverovatnih (jednakomogucnih) dogadaja, koji se smatra osnovnim pojmom i ne denise se. Ocigledanje nedostatak takvog pristupa vec samim timsto se pojam verovatnoce uvodi koriscenjem pojma ,,jednako-verovatnih dogadaja, dakle pojma koji treba denisati. Uprkos ove nedoslednosti, klasicna denicijaverovatnoce je omogucila da se dobiju mnogi znacajni rezultati.Posmatrajmo skup svih medusobno iskljucivih, jednakoverovatnih dogadaja 1, 2, . . . , n koji cinepotpunu grupu dogadaja, tj. neka jen

i=1i =n

i=1i = .Denicija 1. Neka je = 1, . . . n skup svih mogucih jednakoverovatnih elementarnih dogadajakoji su medusobno nesaglasni i neka je A = i1, . . . , im dogadaj koji se sastoji od m elementarnihjednakoverovatnih dogadaja koji imaju osobinu kojom se A denise. Verovatnoca nastupanja dogadajaA jednaka jeP(A) = mn . (2.1)Ovo je klasicna denicija verovatnoce i ona se moze iskazati i na sledeci nacin:Verovatnoca P(A) dogadaja A jednaka je kolicniku broja (povoljnih) ishoda opita, koji doprinoserealizaciji dogadaja A, i broja svih ishoda.Moze se reci da je verovatnoca P funkcija koja dogadaju A dodeljuje realan broj dat pomocu (2.1).Funkcija P ima sledece osobine koje sleduju na osnovu denicije (2.1):(i) Za svako A T je P(A) 0 (jer jemn 0).(ii) Za siguran dogadaj je P() = 1 (zato sto je P() = nn = 1).(iii) Ako je A = B +C, (A, B, C T), pri cemu su B i C nesaglasni dogadaji, tada jeP(A) = P(B) +P(C).Zaista, ako jeB = i1, . . . , ir, C = j1, . . . , js, A = i1, . . . , ir, j1, . . . , js, B C = ,tada je na osnovu (2.1)P(A) = r +sn = rn + sn = P(B) +P(C).Poslednja formula moze se uopstiti za slucaj konacnog broja medusobno nesaglasnih dogadajaA1, . . . , An. Matematickom indukcijom dokazuje se formulaP_ n

i=1Ai_=n

i=1P(Ai).(iv) Verovatnoca dogadaja A, suprotnog dogadaju A, jednaka je P( A) = 1 P(A).4 ra cun verovatno ceKako je A+ A = , na osnovu (ii) i (iii) je P(A+ A) = P(), tj. P(A) +P( A) = 1, odakle sledi (iv).(v) Verovatnoca nemoguceg dogadaja jednaka je nuli.Kako je = + , sledi P() = 1 = P( + ) = P() +P(), odakle je P() = 0.(vi) Ako je A B, tada je P(A) P(B).Kako je B = A+ AB, s obzirom da su A i AB nesaglasni na osnovu (i) i (iii) dobijamoP(B) = P(A+ AB) = P(A) +P( AB) P(A).(vii) Verovatnoca bilo kog dogadaja A T pripada intervalu [0, 1].Kako je A = A , na osnovu osobine (vi) sledi0 = P() P(A) P() = 1, dakle 0 P(A) 1.Sumirajuci napred navedene osobine mozemo konstatovati sledece:P je nenegativna, normirana, monotona, aditivna funkcija cija je promenljiva slucajni dogadaj, avrednosti su u intervalu [0, 1].Primer 2.1. U partiji od n proizvoda k je neispravno. Odrediti verovatnocu da od m slucajno izabranihproizvoda tacno r bude neispravno.Iz kombinatorike je poznato da m od n proizvoda mozemo izabrati na_nm_ razlicitih nacina. Povoljan slucajje kada od k neispravnih proizvoda uzmemo r, a od n k ispravnih proizvoda uzmemo m r. To je mogucnouciniti na_kr__nkmr_ razlicitih nacina. Prema tome, trazena verovatnoca jep =_kr__n kmr__nm_ . (2.2)Primer 2.2. Dva kockara A i B bacaju novcic, pri cemu jedan od njih, recimo A, igra na ,,pismo, a drugina ,,grb. Broj pojave ,,pisma (,,grba) predstavlja broj poena za igraca A (igraca B). Dobitnicki ulog namenjenje onom koji prvi dode do unapred utvrdene sume. Medutim, zbog nekih objektivnih razloga igra je prekinuta.Postavlja se pitanje kako podeliti ulog znajuci da su u momentu prekida kockaru A bila potrebna 2 poena dodobitne sume, a kockaru B 3 poena.Ovaj problem, postavljen od jednog poluprofesionalnog kockara, analizirali su i resili cuveni francuskimatematicari Pascal i Fermat. Kao sto je napomenuto u uvodu, njihova studija o ovom problemu iz 1654.godine uzima se za pocetak jedne nove matematicke oblasti teorije verovatnoce.Resenje: Ocigledno, ne vise od cetiri bacanja novcica je dovoljno da se igra okonca. Neka a oznacava opitgde A pobeduje (pojava ,,pisma), a b opit u kome B pobeduje (pojava ,,grba). Postoji 16 varijacija od dva slovaa i b duzine 4, kao sto je prikazano u donjoj tabeli.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16a a a a b a a b a b b b b b a ba a a b a a b a b a b b b a b ba a b a a b a a b b a b a b b ba b a a a b b b a a a a b b b baksiomatska definicija verovatno ce 5Izmedu 16 mogucih slucajeva, 11 je povoljno za igraca A (slucajevi 1-11, gde se a javlja 2 ili vise puta), dokje 5 povoljno za B (slucajevi 12-16, gde se b javlja 3 ili vise puta). Prema tome, verovatnoca dobitka je 11/16 zakockara A, i 5/16 za kockara B. Kockari bi trebalo da podele ulog proporcionalno verovatnocama dobitka, dakle,u odnosu 11:5.3. Aksiomatska denicija verovatnoceKao sto je vec pomenuto, aksiomatsko zasnivanje teorije verovatnoce prvi put je izlozeno u radu A.N. Kolmogorova iz 1933. godine. Ovaj pristip obuhvatio je sve bitne eksperimentalno i intuitivnouocene osobine funkcije P i prevazisao ogranicenja u razvoju verovatnoce kao moderne matematickediscipline. Uvedena aksiomatika bila je osnov za intenzivan razvoj novih pravaca u teoriji verovatnocekoji su omogucili istrazivanje veoma slozenih procesa i pojava u prirodi, nauci, tehnici i drustvu.U aksiomatskom zasnivanju verovatnoce osnovni pojam koji se ne denise jeste pojam elementarnog(slucajnog) dogadaja. Slucajan dogadaj je podskup skupa svih elementarnih dogadaja iz . Nekaje T() partitivni skup skupa i T T().Ako je familija podskupova T zatvorena u odnosu na operacije komplementiranja i prebrojive unije iako je T, onda se ova familija zove -polje.Aksioma 1. (aksioma -polja). Familija T T() je -polje ako su zadovoljeni uslovi:(1) T,(2) ako Ai T, tada Ai T (i N),(3) ako Ai T (i N), tada+

i=1Ai T.Osobine -polja:(i) T.(ii) A B T za svaka dva dogadaja A, B T.(iii) Ako Ai T, tada+

i=1Ai T.(iv) Ako A1, A2, . . . , An T, tadan

i=1Ai T.(v) Ako A1, A2, . . . , An T, tadan

i=1Ai T.Osobine (iv) i (v) za konacan broj dogadaja dokazuju se polazeci od reprezentacijan

i=1Ai = A1 A2 An ,n

i=1Ai = A1 A2 An .Aksioma 2. (aksioma verovatnoce). Neka je T -polje nad skupom . Funkcija P : T R zove severovatnoca nad T ako zadovoljava uslove:(1

) P() = 1,(2

) za sve A T, P(A) 0,(3

) ako Ai T (i N) i Ai Aj = (i ,= j), tada P_+

i=1Ai_=+

i=1P(Ai).6 ra cun verovatno ceTrojka (, T, P) odreduje tzv. prostor verovatnoce.Na osnovu aksioma 1 i 2 neposredno slede neke osnovne osobine verovatnoce, od kojih su neke vecdokazane koriscenjem klasicne denicije verovatnoce:(i) P() = 0.Kako je = + + + , iz (3

) dobijamoP() = P( + + + ) = P() +P() +P() + 0 = P() +P() + , tj. P() = 0.(ii) Ako je A B, tada je P(A) P(B).Sledi iz B = A+ AB. Kako su A i AB nesaglasni dogadaji, imamo P(B) = P(A) +P( AB), tj. P(A) P(B).(iii) P_ n

i=1Ai_=n

i=1P(Ai) (konacna aditivnost).Sledi izn

i=1Ai = A1 + +An + + + .(iv) Za svako A T vazi 0 P(A) 1.S obzirom da je A , na osnovu osobine (iv) sledi da je 0 P(A) 1.(v) P( A) = 1 P(A).Sledi iz A+ A = i P(A) +P( A) = P() = 1.(vi) P(A B) = P(A) +P(B) P(AB) (Teorema zbira).Dogadaji A i AB, odnosno AB i AB, su nesaglasni i vazi A B = A + AB, B = AB + AB (lako se vidi sa Venovihdijagrama), pa je na osnovu (iii)P(A B) = P(A) +P( AB) i P(B) = P(AB) +P( AB).Eliminacijom P( AB) dobijamo (vi).Generalizacija teoreme zbira:P_ n

i=1Ai_=n

i=1P(Ai)

i 0,nalazimo da je pA > pB, dakle, sistem A je pouzdaniji.4. Geometrijska denicija verovatnocePretpostavimo da skup G sadrzi elementarne dogadaje koji se mogu predstaviti kao tacke u nekom odprostora R1, R2ili R3. U oblasti G ,,nasumice se bira tacka. Moze se postaviti sledece pitanje:Kolika je verovatnoca da slucajno izabrana tacka pripada i oblasti G1 G?Neka je G ogranicen skup sa konacnom geometrijskom meromm(G) (u R1to je duzina, u R2povrsina, au R3zapremina). Pretpostavimo da trazena verovatnoca zavisi samo od mere oblasti G1, u oznaci m(G1),da joj je proporcionalna i da ne zavisi od polozaja i oblika posmatranih oblasti. Na ovaj nacin dolazimodo geometrijske denicije verovatnoce kao kolicnikaP(A) = m(G1)m(G) , (4.1)gde je A dogadaj koji se realizuje kada slucajno izabrana tacka padne u oblast G1.Napomena 1. U izvesnom smislu izmedu formula (2.1) i (4.1) postoji slicnost jer se u slucaju obedenicije vertovatnoca posmatra kao kolicnik povoljnih ishoda i svih mogucih ishoda. Primetimo da se uoba slucaja javlja nedostatak koji se ogleda u zasnivanju pomenutih denicija na pojmu jednakoverovatnihdogadaja. Kod geometrijske denicije verovatnoce (4.1) unapred se usvaja uslov nezavisnosti izbora tackeod oblika i polozaja oblasti, tj. pretpostavlja se jednaka mogucnost (jednakoverovatnost) izbora bilo kojetacke oblasti. Uprkos ovom nedostatku, geometrijska verovatnoca u mnogim slucajevima daje dobreprocene ,,sanse za realizaciju nekog slucajnog dogadaja.geometrijska definicija verovatno ce 9Primer 4.1. Osobe A i B dogovorile su se da se susretnu na odredenom mestu izmedu 13hi 13hi a minuta.Prema dogovoru, onaj ko prvi dode ceka na drugog b minuta. Odrediti verovatnocu da dode do susreta ako sepretpostavlja da je vreme dolaska za svaku od osoba podjednako verovatno rasporedeno izmedu 13hi 13hi aminuta.Resenje: Neka je osoba A dosla u 13hi x minuta, a osoba B u 13hi y minuta. Tada je, prema uslovu zadatka, 0 x a, 0 y a(moguci ishodi). Do susreta ce doci ako i samo ako pored ovih uslovabude i [x y[ b. Dakle, tacka sa koordinatama (x, y) moze se nalazitiu kvadratu K stranice a, a do susreta ce doci ako se nalazi u osencenojoblasti S (povoljni ishodi) koja je ogranicena pravama y = x b, y =x+b i stranicama kvadrata (slika 4.1). Odnos ovih povrsina daje trazenuverovatnocu:Slika 4.1p = SK = a2(a b)2a2 = b(2a b)a2 .Primer 4.2 (Buonov4problem). Na dovoljno velikom listu hartije nacrtane su medusobno paralelnelinije na jednakom rastojanju a. Igla duzine d (< a) baca se na povrs sa paralelnim linijama. Bifonov problemsastoji se u odredivanju verovatnoce da igla sece neku od pravih. Da bismo resili ovaj problem, koji pripadaoblasti geometrijske verovatnoce, posluzicemo se slikom 4.2a. Neka je C srediste igle. Oznacimo sa x rastojanjetacke C do najblize prave i sa ugao koji igla zaklapa sa familijom paralelnih pravih. Tacka (, x) moze senalaziti u pravougaonikuD =_(, x)[ 0 0 x a/2_.Slika 4.2 Buonov problemDa bi igla sekla jednu od pravih, tacka (, x) mora se nalaziti u oblastiD1 =_(, x)[ 0 x d2 sin 0 _.Trazena verovatnoca p jednaka je kolicniku povrsina oblasti D1 i D (slika 4.2b). Ove povrsine su redom jednakeSD = a/2 iSD1 =_0d2 sind = d2 cos 0= d,te jep = SD1SD= 2da.4J.L.L. Buon (17071788), francuski svestenik i matematicar, cita se Bifon.10 ra cun verovatno cePrimer 4.3 (Bertrandov5paradoks). U krugu poluprecnika r povucena je nasumice tetiva. Odreditiverovatnocu da je duzina tetive veca od strane ravnostranog trougla upisanog u krug.Ovako formulisan problem opisao je Bertrand 1889. godine i poznat je kao Bertrandov paradoks. Paradoksse sastoji u tome da se dobijaju (bar) tri razlicita rezultata za trazenu verovatnocu, zavisno od nacina na koji jepovucena tetiva. Posmatrajmo tri nacina (nasumicnog) povlacenja tetive:Slika 4.3 Tri nacina za izbor ,,slucajne tetiveI nacin. Na periferiji kruga uocimo tacku A i kroz nju povucimo tetivu u nasumice izabranom pravcu.Upisimo u dati krug ravnostran trougao cije je jedno teme tacka A i spojimo tacku A sa centrom kruga (slika4.3a)). Oznacimo sa ugao koji zaklapa tetiva sa poluprecnikom OA. Ocigledno je da ce nasumice povucenatetiva imati vecu duzinu nego stranica upisanog trougla ako i samo ako je (/6, /6). S obzirom da ugao moze da varira u granicama od /2 do /2, trazena verovatnoca jeP_6 < < 6_=3 = 13.II nacin. Fiksirajmo jedan pravac i povucimo nasumice tetivu kruga paralelno ksiranom pravcu.Upisimo u dati krug ravnostran trougao tako da jedna njegova stranica bude paralelna ksiranom pravcu (slika4.3b)). Rastojanje ove stranice od centra datog kruga je r/2. Tetiva ce imati vecu duzinu od stranice upisanogravnostranog trougla ako i samo ako je njeno rastojanje od centra kruga manje od r/2. Kako rastojanje x tetiveod centra kruga moze da varira od 0 do r (uzimajuci u obzir simetriju koja je gracki ilustrovana ,,inverznimtrouglom nacrtanim isprekidanim linijama) trazena verovatnoca jeP =r2r = 12.III nacin. Izaberimo u krugu jednu tacku i kroz nju povucimo tetivu koja ce biti prepolovljena tomtackom (slika 4.3c). U ovom slucaju tetiva ce imati vecu duzinu od stranice upisanog ravnostranog trougla akoi samo ako njeno srediste lezi unutar kruga koji je upisan u ravnostranom trouglu. Poluprecnik ovako upisanogkruga je r/2, a povrsina r2/4. Povrsina datog kruga je r2, pa je trazena verovatnocaP =r24r2 = 14.Dakle, u sva tri slucaja dobili smo razlicite verovatnoce, sto predstavlja paradoks. Objasnjenje za ovaj paradokslezi u cinjenici da problem nije precizno formulisan. U stvari, svi dobijeni rezultati su tacni jer u postavljenomzadatku imamo tri razlicita problema, u zavisnosti od toga sta podrazumevamo pod pojmom proizvoljne tetive.Kao sto smo videli, svaki od tri opisana nacina postavlja neke dodatne uslove, tako da slucajnost u stvari nijepotpuna.5J. L. Bertrand (18221900), francuski matematicar, cita se Bertran.statisti cka definicija verovatno ce 115. Statisticka denicija verovatnoceKlasicna denicija verovatnoce podrazuma takav kompleks uslova pri ekperimentima koji uvek dovodido pojave jednakoverovatnih elementarnih dogadaja. Sva navedena pravila za nalazenje verovatnoce uprethodnom odeljku izvedena su pod ovim uslovima. Medutim, cesto nije moguce utvrditi jednakoverovat-nost elementarnih dogadaja. Stavise, i u slucajevima kada je to moguce (kao u slucaju homogene kocke ilipravilnog novcica), situaciju pogorsava cinjenica da je u praksi tesko obezbediti nepromenljive i idealneuslove pri izvodenju eksperimenata. Zbog toga je jedini nacin da zaista odredimo verovatnocu dogadajaA statisticki pristup zasnovan na velikom broju eksperimenata.Pretpostavimo da se pri dovoljno velikom broju od n opita dogadaj A realizovao m puta. U slucaju daje kompleks uslova (skoro) nepromenjen pri ovim eksperimentima, iskustvo je pokazalo da se frekvencijadogadaja A grupise oko kolicnika m/n, koji se prema klasicnoj deniciji verovatnoce uzima za verovatnocurealizacije tog dogadaja. Pri stabilnim uslovima pri izvodenju eksperimenata odstupanje od kolicnika jeutoliko manje, ukoliko je broj opita n veci. Na osnovu ovog dolazi se do statisticke denicije verovatnoce:Ako je mn broj pojavljivanja dogadaja A u seriji od n eksperimenata izvedenih pod istim uslovima,tada jeP(A) = limn+mnn .Gornja denicija proizilazi iz tzv. zakona velikih brojeva, o cemu ce biti reci u 14. odeljku.Na primer, ako je A dogadaj da pri bacanju kocke padne broj 6, i ako kocku bacimo 3000 puta,ocekujemo da se sestica pojavi 500 puta jer je verovatnoca P(A) = 1/6. Ako bi se sestica pojavila,recimo, 400 puta, statisticki pristup daje verovatnocu koja je neki broj oko 215.Statisticka denicija verovatnoce koristi se pri statistickoj obradi podataka u onim naukama cija jemetodologija istazivanja zasnovana na statistici (na primer, u drustvenim naukama, biologiji, socio-loskim istrazivanjima, medicini, meteorologiji, zici, itd.). Ocena nekih parametara donosi se na osnovuverovatnoce koja se izrazava kolicnikom mn/n, dobijenim pri istrazivanju velikog broja slucajeva iliuzoraka.Primer 5.1. U prethodnom odeljku izlozen je Buffonov problem koji razmatra verovatnocu da igla duzine dpresece jednu od ekvidistantno nacrtanih paralelnih linija na rastojanju a (> d). Pokazano je da je ova verovatnocajednaka p = 2d/a. Ako se izvrsi veliki broj eksperimenata, odnos broja povoljnih ishoda m (tj. broja presekaigle i prave) i ukupnog broja eksperimenata n daje vrednost koja je priblizno jednaka gornjem razlomku, tj.2d/a m/n. Odavde je 2dnam.Ova formula daje mogucnost da se broj odredi eksperimentalnim putem. Prema statistickoj denicijiverovatnoce moglo bi se ocekivati da se sa povecanjem broja eksperimenata n broj moze odrediti iz gornjeformule sa vecom tacnoscu.Godine 1850. Volf je izvrsio 5000 bacanja i dobio vrednost 3.1596, Smit (1855.) je nasao 3.1553 (3204eksperimenta), Foks (1894.) je dobio 3.1419 (1120 eksperimenata), dok je Lazarini 1901. godine dosao do veomadobre aproksimacije 3.1415929 izvrsivsi 3408 eksperimenata (greska tek na sedmoj decimali). Povodom ovogposlednjeg rezultata ruski matematicar A.N. Zajdel je 1983. godine napisao rad pod naslovom ,,Obmana ilizabluda u kome je izrazio sumnju u Lazarinijev rezultat. Naime, zbog neizbeznih gresaka pri merenju duzinaa i d (makar to bio i hiljaditi deo milimetra), neidealnosti povrsine na koju se baca igla, raznih uticaja okoline,i nemogucnosti da se u potpunosti ocuva isti kompleks uslova u toku citavog ogleda, veoma je tesko ocekivatigresku manju od 0.001. U ovom radu Zajdel je pokazao da je greska pri eksperimentalnom odredivanju broja srazmerna reciprocnoj vrednosti korena iz broja eksperimenata. Prema ovom ,,zakonu 1/n , da bi dobiovrednost broja navedenu gore, Lazarini bi morao da vrsi eksperimente citavih 4 000 000 godina!12 ra cun verovatno ce6. Uslovne verovatnoce i nezavisnost dogadajaNeka je (, T, P) prostor verovatnoce i neka je A T dogadaj cija realizacija ne zavisi od nastu-panja bilo kog drugog dogadaja iz T. U tom slucaju verovatnoca ovog dogadaja zove se bezuslovnaverovatnoca. Ako je realizacija dogadaja A uslovljena nastupanjem jos nekog drugog dogadajaB (P(B) ,= 0), tada se verovatnoca dogadaja A pod uslovom da se desio dogadaj B naziva uslovnomverovatnocom i oznacava se sa P(A[B). Dakle, P(A[B) je verovatnoca dogadaja A pod uslovima kojisigurno dovode do realizacije dogadaja B.Posmatrajmo eksperiment sa konacnim brojem jednakoverovatnih elementarnih dogadaja. Oznacimosa nA, nB, nAB broj elementarnih dogadaja koji dovode do realizacija dogadaja A, B, AB u n opita.Prema klasicnoj deniciji verovatnoce jeP(B) = nBn , P(AB) = nABn .Kako je nastupanje slucajnog dogadaja A uslovljeno nastupanjem dogadaja B, to pri odredivanju uslovneverovatnoce P(A[B) broj nB predstavlja broj svih mogucnih elementarnih dogadaja za nastupanje do-gadaja B, a nAB onaj broj tih dogadaja koji dovode do realizacije dogadaja A. Zato jeP(A[B) = nABnB=nABnnBn= P(AB)P(B) , P(B) > 0. (6.1)U slucaju da je dogadaj B uslovljen nastupanjem dogadaja A, analogno se dokazuje da jeP(B[A) = P(AB)P(A) , P(A) > 0. (6.2)Iz (6.1) i (6.2) dobija seP(AB) = P(B) P(A[B) = P(A) P(B[A). (6.3)Relacija (6.3) izrazava teoremu proizvoda verovatnoca prema kojoj je verovatnoca nastupanja dvadogadaja jednaka proizvodu bezuslovne verovatnoce jednog od tih dogadaja i uslovne verovatnoce drugog,pod uslovom da je nastupio prvi dogadaj.Formula proizvoda verovatnoca moze se uopstiti i na slucaj vise dogadaja. Na primer, za tri dogadajaA, B, C vaziP(ABC) = P_(AB)C_= P(AB) P(C[AB) = P(A) P(B[A) P(C[AB). (6.4)Primenom matematicke indukcije prethodne formule se mogu uopstiti i na slucaj n dogadaja:P(A1A2 An) = P(A1) P(A2[A1) P(A3[A1A2) P(An[A1A2 An1). (6.5)Uslovna verovatnoca zadovoljava aksiom verovatnoca, tj. vazi sledece tvrdenje:Teorema 6.1 Ako je B T, P(B) > 0 i ako je P1(A) = P(A[B) za svako A T, tada je (, T, P1)prostor verovatnoce.Dokaz. Pokazacemo da P1 : T R zadovoljava uslove Aksiome 2:(1

) P1() = P([B) = P(B)P(B) = P(B)P(B) = 1.(2

) Za svako A T je P1(A) = P(A[B) = P(AB)P(B) 0.uslovne verovatno ce i nezavisnost dogadaja 13(3

) Neka je A1, A2, . . . , An, . . . niz medusobno disjunktnih dogadaja. Tada su dogadaji A1B, A2B,A3B, . . . takode medusobno disjunktni (videti sliku 6.1).Slika 6.1Koristeci (6.1) nalazimoP1_+

i=1Ai_= P__+

i=1Ai_[B_=P__+

i=1Ai_B_P(B) =+

i=1P(AiB)P(B)=+

i=1P(AiB)P(B) =+

i=1P(Ai[B) =+

i=1P1(Ai),sto je i trebalo dokazati. Primer 6.1. Koja je verovatnoca da u drustvu od n osoba postoje bar dve koje su rodene istog dana ugodini? Naci najmanji broj n potreban da bi ova verovatnoca bila 1/2. Uzima se da su svi dani podjednakomogucni da budu datumi rodenja jedne osobe, kao i da godina ima 365 dana.Neka je A dogadaj da ne postoje dve od n osoba koje imaju isti datum rodenja. Verovatnoca ovog dogadajajeP(A) = 365 364 (365 n + 1)365n .Odavde je verovatnoca da najmanje dve osobe imaju isti datum rodenjaP(A) = 1 P(A) = 1 365 364 (365 n + 1)365n .Probanjem za n = 1, 2, . . . nalazimo da je P(A) 1/2 za n 23, sto je sa intuitivnog stanovista dosta malibroj; naime, pre resavanja ovog problema ocekivao bi se mnogo veci broj osoba da bi P(A) bilo vece od 1/2.Primer 6.2. U kutiji se nalazi 10 sijalica od kojih su 4 neispravne. Nasumice se izvlace 3 sijalice bez vracanja.Naci verovatnocu da su sve tri izvucene sijalice ispravne.Neka je Ai (i = 1, 2, 3) dogadaj da je u i-tom izvlacenju uzeta ispravna sijalica. Tada se dogadaj A, kojioznacava da su sve tri sijalice ispravne, moze predstaviti kao A = A1A2A3, te je, na osnovu formule (6.4),P(A) = P(A1) P(A2[A1) P(A3[A1A2) = 610 59 48 = 16.Denicija 1. Za slucajan dogadaj A kaze se da je nezavisan od dogadaja B ako je uslovna verovatnocanastupanja dogadaja A pod uslovom da je nastupio dogadaj B, jednaka bezuslovnoj verovatnoci dogadajaA, tj. P(A[B) = P(A).14 ra cun verovatno ceIz denicije uslovne verovatnoce (6.1) sledi P(A[B) = P(AB)P(B) = P(A), odakle jeP(AB) = P(A) P(B). (6.6)Dakle, u slucaju kada jedan dogadaj ne zavisi od drugog, verovatnoca njihovog proizvoda jednakaje proizvodu njihovih verovatnoca. Ova formula predstavlja specijalan slucaj pravila o proizvoduverovatnoca datog pomocu (6.3). Napomenimo da neki autori uzimaju relaciju (6.6) za deniciju neza-visnosti dva dogadaja.Na osnovu (6.6) slediP(B[A) = P(AB)P(A) = P(A)P(B)P(A) = P(B).Odavde zakljucujemo da ako dogadaj A ne zavisi od B, tada ni B ne zavisi od A. Mozemo reci da sudogadaji A i B nezavisni ako je verovatnoca njihovog proizvoda jednaka proizvodu njihovih verovatnoca.Pojam nezavisnosti dva dogadaja moze se prosiriti na konacan ili najvise prebrojiv skup dogadaja.Denicija 2. Za dogadaje A1, A2, . . . T kaze se da su nezavisni u parovima ako za svaki par indeksa(i, j) (i ,= j) vaziP(AiAj) = P(Ai) P(Aj).Denicija 3. Dogadaji A1, A2, . . . , Ai, . . . T su u celini nezavisni ako za svaki konacan niz indeksak1 < k2 < < kn (ki 1, 2, . . . ) i proizvoljno m N vaziP(Am[Ak1Ak2 Akn) = P(Am),sto je ekvivalentno saP(Ak1Ak2 Akn) = P(Ak1) P(Ak2) P(Akn).Ocigledno je da nezavisnost dogadaja u celini implicira nezavisnost u parovima, ali obratno ne vazikao sto pokazuje sledeci primer.Primer 6.3. Tri strane pravilnog tetraedra obojene su redom crvenom, plavom i zutom bojom, dok je cetvrtastrana obojena sa sve tri boje. Neka A oznacava dogadaj da prilikom bacanja tetraedra padne crvena boja, B plava, C zuta. Tada je, P(A) = P(B) = P(C) = 12, i odavde, na primer, P(AB) = P(A)P(B) = 14. Sdruge strane je P(ABC) = 14 ,= P(A)P(B)P(C) =_12_3= 18.7. Totalna verovatnoca i Bayesova6formulaSledece dve teoreme imaju veliki znacaj u teoriji verovatnoce i njenim primenama.Teorema 7.1 (Formula totalne verovatnoce). Ako su H1, H2, . . . , Hn medusobno nesaglasnidogadaji, P(Hi) > 0 (i = 1, . . . , n) i H1 +H2 + +Hn = , tada jeP(A) =n

i=1P(Hi)P(A[Hi) za svaki dogadaj A T. (7.1)6T. Bayes (17021761), engleski matematicar, cita se Bajes.totalna verovatno ca i Bayesova formula 15Dokaz. Polazeci od jednakosti A = A = An

i=1Hi =n

i=1AHi, na osnovu (6.3) i osobine konacneaditivnosti, imamoP(A) = P_ n

i=1AHi_=n

i=1P(AHi) =n

i=1P(Hi)P(A[Hi). Verovatnoce P(Hi) su obicno poznate unapred, pre realizacije opita, pa se cesto nazivaju apriornimverovatnocama, a sami dogadaji hipotezama. Primetimo da hipoteze Hi cine potpuni sistem do-gadaja, tj. cine disjunktno razbijanje skupa .Primer 7.1. Date su tri jednake kutije. U prvoj se nalaze dve bele i jedna crna kuglica, u drugoj tri belei jedna crna, i u trecoj jedna crna i jedna bela kuglica. Neko nasumice bira jednu od kutija i uzima iz nje opetnasumice jednu kuglicu. Naci verovatnocu da ce izvucena kuglica biti bela.Resenje: Oznacima sa A dogadaj da bude izvucena bela kuglica i razmotrimo tri hipoteze:H1 izbor prve kutije;H2 izbor druge kutije;H3 izbor trece kutije.Najpre nalazimoP(H1) = P(H2) = P(H3) = 13, P(A[H1) = 23, P(A[H2) = 34, P(A[H3) = 12.Na osnovu formule totalne verovatnoce jeP(A) =3

i=1P(Hi)P(A[Hi) = 13 23 + 13 34 + 13 12 = 2336,sto predstavlja trazenu verovatnocu.Ako je rezultat opita pokazao da se dogadaj A realizovao, vazno je naci verovatnoce P(Hi[B) realizacijapojedinih hipoteza koje su dovele do realizacije dogadaja A. Drugim recima, interesuje nas aposteriornaverovatnoca hipoteza Hi pod uslovom da se realizovao dogadaj B. Odgovor daje sledece teorema.Teorema 7.2 (Bayesova formula). Ako su H1, H2, . . . , Hn medusobno nesaglasni dogadaji,P(Hi) > 0 (i = 1, . . . , n) i H1 +H2 + +Hn = , tada jeP(Hi[A) = P(Hi)P(A[Hi)n

j=1P(Hj)P(A[Hj)(i = 1, . . . , n, A T). (7.2)Dokaz. Kako jeP(HiA) = P(Hi)P(A[Hi) = P(A)P(Hi[A) (i = 1, . . . , n),imamoP(Hi[A) = P(Hi)P(A[Hi)P(A) .Primenjujuci teoremu 7.1 za P(A) dobijamo Bayesovu formulu (7.2). 16 ra cun verovatno cePrimer 7.2. Dva strelca nezavisno jedan od drugog gadaju istu metu ispaljujuci po jedan metak. Verovatnocapogadanja za prvog strelca je 0.8, a za drugog 0.4. Posle izvedenog gadanja utvrdeno je da je meta pogodenasamo jednom. Naci verovatnocu da je pogodio prvi strelac.Resenje: Oznacimo sa A dogadaj da je cilj pogoden jednom. Pre gadanja sledece cetiri hipoteze su moguce:H1 ni prvi ni drugi strelac nisu pogodili;H2 oba strelca su pogodila;H3 prvi strelac je pogodio, drugi nije;H4 drugi strelac je pogodio, prvi nije.Uslovne verovatnoce suP(A[H1) = 0, P(A[H2) = 0, P(A[H3) = 1, P(A[H1) = 1,tj. hipoteze H1 i H2 su nemoguce (jer je cilj pogoden samo jednom).Verovatnoce mogucih hipoteza suP(H3) = 0.8 0.6 = 0.48, P(H4) = 0.2 0.4 = 0.08.Na osnovu Bayesove formule nalazimo verovatnoce hipoteza H3 i H4 pod uslovom da je cilj pogoden samo jednom:P(H3[A) = P(H3)P(A[H3)P(H3)P(A[H3) +P(H4)P(A[H4) = 0.48 10.48 1 + 0.08 1 = 67,P(H4[A) = P(H4)P(A[H4)P(H3)P(A[H3) +P(H4)P(A[H4) = 0.08 10.48 1 + 0.08 1 = 17.Na osnovu dobijenih rezultata zakljucujemo da je verovatnije da je metu pogodio prvi strelac (P(H3[A) = 6/7),dok je verovatnoca da je to ucino drugi strelac P(H4[A) = 1/7.8. Slucajne promenljiveIz prethodnih izlaganja videli smo da se svakom elementarnom dogadaju moze dodeliti realanbroj X() i na taj nacin opisati rezultat nekog eksperimenta pomocu realne funkcije X(). Pritom,ova funkcija mora zadovoljiti neke uslove koji omogucavaju da ona na realnu pravu preslika ne samoelementarne dogadaje , vec i celu strukturu datog prostora verovatnoce (, T, P).Ilustracije radi, posmatrajmo jedan ekperiment koji se sastoji od 3 nezavisna opita u kome se nekidogadaj A realizije ili ne realizuje. Moguci su sledeci ishodi:1 = AAA, 2 = AA A, 3 = A AA, 4 = A A A, 5 = AAA, 6 = AA A, 7 = A AA, 8 = A A A.Svakom od 8 ishoda mozemo dodeliti relan broj X() koji oznacava broj realizacija dogadaja A, naprimer, X( A A A) = 0, X( AA A) = 1, X(A AA) = 2, X(AAA) = 3. Ocigledno je da X predstavlja pres-likavanje skupa ishoda = 1, . . . , 8 u skup 0, 1, 2, 3. Ovo nas dovodi do vaznog pojma slucajnepromenljive X koja preslikava u R.Uvodenje pojma slucajne promenljive (tj. funkcije koja preslikava u R) omogucava da se umestodirektnog i komplikovanog izucavanja prostora verovatnoce , T, P problem izucavanja svede na prostorrealnih brojeva R koji ima veoma bogatu matematicku strukturu i, samim tim, omogucuje denisanje iproucavanje mnogih novih pojmova i odnosa vezanih za izucavanje slucajnih pojava.Od najveceg interesa je slucaj kada je = R, gde se verovatnoca denise na otvorenim intervalima(a, b). Treba napomenuti da se ne moze na svakom podskupu skupa denisati verovatnoca. Na primer,slu cajne promenljive 17ako je P verovatnoca na skupu = (0, 1), takva da je P_(a, b)_= b a za svaki otvoreni interval u (0, 1),tada postoje podskupovi skupa na kojima verovatnoca nije denisana. Da bi se prevazisla ova teskoca,uvodi se pojam tzv. najmanjeg -polja ili Borelovog sigma polja, u oznaci B(R), koje sadrzi sveotvorene intervale (a, b) R. Svaki skup koji pripada Borelovom sigma polju naziva se Borelovimskupom.Vec smo pomenuli da preslikavanje X : R mora da zadovolji izvesne uslove. U radu sa slucajnimpromenljivim potrebno je odgovoriti na pitanje kolika je verovatnoca da vrednost slucajne promenljive Xbude manja od nekog realnog broja x? Dakle, treba odreditiP( [ , X() < x).Kako je funkcija P denisana nad T, potrebno je da za svako x R skup [ , X() < xbude element -polja T, odnosno slucajni dogadaj. Stoga se uvodi sledeca denicija.Denicija 1. Neka je (, T, P) prostor verovatnoce i X : R. Preslikavanje X zove se slucajnapromenljiva ako je [ , X() < x T za svako x R.U skladu sa prethodnim, slucajna promenljiva moze se interpretirati i na sledeci nacin. Ako je Xfunkcija koja preslikava u skup realnih brojeva R i ako je S podskup od R, tada cemo sa X1(S)oznaciti inverznu sliku skupa S denisanu saX1(S) = [ , X() S.Neka je (, T, P) prostor verovatnoce. Funkcija X : R, takva da za svako x R skup [ , X() < x (tj. inverzna slika X1(, x) intervala (, x)) pripada -polju T, zove se slucajnapromenljiva. Ovo je ilustrativno prikazano na slici 8.1.Slika 8.1 Slika 8.2Moze se pokazati da ako je X slucajna promenljiva, tada za svako S B(R) (gde je B(R) Borelovopolje) inverzna slika X1(S) takode pripada T.Primer 8.1. Neka je k elementaran dogadaj koji oznacava da se pri bacanju kocke pojavilo k tackica(k 1, . . . , 6) i neka je A = 2, 4, 6 dogadaj koji oznacava pojavu parnog broja tackica. Tada je = 1, . . . , 6 i T = , , A, A. Denisimo funkciju X na sledeci nacin: X(2k) = 1, X(2k1) = 0(k = 1, 2, 3) i ispitajmo da li je X slucajna promenljiva nad (, T, P).Prema prethodnom, ispitacemo da li X1(, x) T za svako x R. Kako je (videti sliku 8.2)X1(, x) =___, x > 1,A, 0 < x 1,, x 0,ocigledno je da X jeste slucajna promenljiva.18 ra cun verovatno ceZbog jednostavnosti, skup [ , X() < x cemo krace oznacavati sa (X < x), a skup [ , X() = x sa (X = x). Tako cemo, na primer, verovatnocu da slucajna promenljiva X uzme vrednostx obelezavati sa P(X = x). Verovatnocu da slucajna promenljiva X uzme vrednosti sa intervala (a, b)obelezavamo sa P(a < X < b). Sa P(X < x) oznacavamo verovatnocu da slucajna velicina X uzimavrednosti manje od x.9. Funkcija raspodeleU prethodnom izlaganju videli smo da je za svaki skup S B(R) denisana funkcijaPX(S) = P( [ , X() S).Na taj nacin slucajna promenljiva X ,,prenosi na realnu pravu R ne samo elementarne dogadaje nego i strukturu prostora verovatnoce (, T, P). Funkcija PX je denisana na skupu podskupova od R,sto predstavlja izvesno ogranicenje u primeni mnogih metoda matematicke analize u R. Zbog toga seuvodi jedan novi pojam, funkcija raspodele FX slucajne promenljive X, koja u sebi sadrzi sve potrebneinformacije o raspodeli verovatnoca nad B(R), ali ima pogodniji oblik jer predstavlja realnu funkcijurealne promenljive.Denicija 1. Funkcija FX : R [0, 1] slucajne promenljive X, denisana saFX(x) = P(X < x), (9.1)koja predstavlja verovatnocu da slucajna promenljiva X uzme vrednost manju od x za svako x R, zovese funkcija raspodele verovatnoca slucajne promenljive X ili krace funkcija raspodele.Ocigledno je da je funkcija raspodele FX jedinstvena za svaku slucajnu promenljivu X. Obrnuto nemora da vazi, naime, razlicite slucajne promenljive mogu imati istu funkciju raspodele. Ako je jasno okojoj se slucajnoj promenljivoj radi, umesto FX(x) koristicemo oznaku F(x).Primer 9.1. Funkcija raspodele FX slucajne promenljive X iz primera 8.1 je data saFX(x) =___1, x > 1,1/2, 0 < x 1,0, x 0,U sledecoj teoremi navedene su osnovne osobine funkcije raspodele.Teorema 9.1. Za funkciju raspodele verovatnoca slucajne promenljive X vazi:1 limxF(x) = F() = 0.2 limx+F(x) = F(+) = 1.3 P(a X < b) = F(b) F(a) (a < b, a, b R).4 Funkcija raspodele je neprekidna sleva, tj. limxa0= F(a).5 Funkcija raspodele je monotono neopadajuca funkcija, tj. ako je x1 < x2, tada je F(x1) F(x2).funkcija raspodele 19Dokaz:1 F() = limn+F(n) = limn+P(X < n) = P_+

n=1(X < n)_= P() = 0.2 F(+) = limn+F(n) = limn+P(X < n) = P_+

n=1(X < n)_= P() = 1.3 F(b) = P( [ , X() < b) = P( [ , X() < a) +P( [ , a X() < b)= F(a) +P(a X < b).4 limxa0F(x) = limn+F(a 1/n) = limn+P(X < a 1/n) = P_+

n=1(X < a 1/n)_= P(X < a) = F(a).5 Ako je x1 < x2 i ako je A = [ , X() < x1, B = [ , X() < x2, ocigledno jeA B, te je F(x1) +P(A) P(B) = F(x2).Na osnovu osobina 1, 2 i 5 sledi da za funkciju raspodele vazi0 F(x) 1.Vazi i sledeca teorema koju navodimo bez dokaza.Teorema 9.2 Ako je realna funkcija F, denisana na R, neopadajuca, neprekidna sleva i ako jeF() = 0, F(+) = 1, tada postoji slucajna promenljiva X takva da je F njena funkcija rasapodele.Diskretne slucajne promenljiveDenicija 2. Slucajna promenljiva koja uzima konacno ili prebrojivo mnogo vrednosti zove sediskretna slucajna promenljiva.Neka je RX skup slika slucajne promenljive X. Ovaj skup ima oblikRX = x1, x2, . . . , xk, . . . , ako je RX prebrojiv skupiliRX = x1, x2, . . . , xn, ako je RX konacan skup.Ocigledno je da vazi =

n [ , X() = xn =

n(X = xn) i (X = xi) (X = xj) = za sve i ,= j,sto znaci da je

iP(X = xi) =

ipi = P() = 1.Diskretna slucajna promenljiva potpuno je zadata ako je poznat:1 skup svih vrednosti RX = x1, x2, . . . koje moze da uzme slucajna promenljiva X;2 skup odgovarajucih verovatnoca pk = P(X = xk) (k = 1, 2, . . . ).Skup vrednosti diskretne slucajne promenljive x1, x2, . . . , zajedno sa odgovarajucim verovatnocamap1, p2, . . . , predstavlja zakon raspodele verovatnoca slucajne promenljive.Zakon raspodele obicno se predstavlja u obliku semeX _x1 x2 p1 p2 _.20 ra cun verovatno ceNapomenimo da je u radu sa slucajnom promenljivom diskretnog tipa X, umesto funkcije raspodele FXcesto jednostavnije koristiti zakon raspodele verovatnoca.Na osnovu denicije funkcije raspodele, ova funkcija za diskretne slucajne velicine moze se izraziti kaoF(x) =

k:xk 0.Za diskretnu slucajnu promenljivu X, koja sa odgovarajucim verovatnocama uzima konacan ili pre-brojiv skup vrednosti, ponekad se daje i sledeca denicija.Denicija 3. Slucajna promenljiva je diskretna ako je za svaki realan broj x odredena neopadajucafunkcija raspodele F(x) = P(X < x) koja ispunjava uslove F() = 0 i F(+) = 1, i koja u tackamaprekida xk ima skokove jednake verovatnocama pk :F(xk + 0) F(xk) = P(X = xk) = pk (k = 1, 2, . . . ).Neprekidne slucajne promenljiveSlucajna promenljiva neprekidnog tipa uzima vrednosti iz neprebrojivog skupa, na primer na realnomintervalu, na skupu realnih intervala ili na celoj realnoj pravoj. Kao ilustraciju takvog tipa promenljive,posmatrajmo slucajnu promenljivu koja predstavlja duzinu rada sijalice. Ova slucajna promenljiva mozeuzeti bilo koju vrednost izmedu 0 i, recimo, 1000 sati. Kako u intervalu [0, 1000] ima neprebrojivo mnogo(kontinuum) tacaka, ne postoji nacin da denisemo verovatnocu za svaku od pojedinacnih vrednosti,sto je bilo moguce u slucaju diskretne slucajne promenljive. Takode, na osnovu intuicije, znamo da jeverovatnoca da ce sijalica pregoreti bas u tacno odredenom momentu x [0, 1000] jednaka 0, dok jeverovatnoca da ce pregoreti u nekom vremenskom intervalu [a, b] [0, 1000] razlicita od nule.Opisane teskoce prevazilaze se uvodenjem jedne nove funkcije fX : R R+povezane sa funkcijomraspodele FX denisane pomocu (9.1). Novouvedena funkcija fX omogucuje nalazenje verovatnoce naodredenim skupovima realnih brojeva pomocu integrala. Sledeca denicija precizno odreduje tip slucajnepromenljive.Denicija 4. Ako je x FX(x) funkcija raspodele slucajne promenljive X i ako postoji integrabilnafunkcija fX : R R+takva da ispunjava uslove1 fX(x) 0, za svako x R,2 FX(x) =x_fX(t)dt,tada je X neprekidna slucajna promenljiva.Funkcija fX zove se gustina raspodele verovatnoce slucajne promenljive X ili krace gustina. Akose radi sa vise slucajnih promenljivih X, Y, . . . , njihove gustine cemo oznacavati sa fX, fY, . . . . Ako jejasno o kojoj promenljivoj se radi, funkciju gustine cemo oznacavati jednostavno sa f.Napomena 1. Na osnovu 2 sledi da je funkcija raspodele FX(x) neprekidne slucajne promenljiveuvek neprekidna funkcija. Obratno u opstem slucaju ne vazi, sto se moze pokazati na primerima izvesnihfunkcija raspodele 21,,patoloskih funkcija FX(x), ili specijalno konstruisanih primera. S obzirom da su ovakvi primeri saprakticnog stanovista izuzetno retki ili se uopste ne javljaju, u nastavku se necemo baviti ovim izuzecima.Napomena 2. Ako slucajna promenljiva X ne uzima sve vrednosti iz intervala (, +), usvaja seda je fX(x) = 0 za sve vrednosti x iz intervala na kojima X ne uzima vrednosti.Osobine gustine raspodele date su u sledecoj teoremi.Teorema 9.2. Neka su FX i fX redom funkcija raspodele i gustina raspodele slucajne promenljive X.Tada vazi:1 fX(x) = F

X(x) u svim tackama x R u kojima je fX neprekidna.2+_fX(x)dx = 1.3 P(X = a) = 0 za svako a R.4 P(a < X < b) =b_afX(x)dx za sve a, b R +.Dokazi navedenih tvrdenja slede na osnovu osobina funkcije raspodele datih u teoremi 9.1 i deniciji 4.Na primer, 2 sledi na osnovu cinjenice da je+_fX(x)dx = FX(+) = 1. Dalje jeP(X = a) = limh0P(a X < a +h) = limh0a+h_afX(x)dx = 0,sto dokazuje 3 . Na osnovu 3 i 4 dobija seP(a X b) = P(a < X b) = P(a X < b) =b_afX(x)dx.Na osnovu osobine 1 slediF(x) = F(x + x) F(x) = f(x)x +x,gde 0 kada x 0. Odavde je za dovoljno malo x F(x) f(x)dx, tj.f(x)dx F(x + x) F(x) = P(x X x + x).Odavde se moze zakljuciti da podintegralni izraz u funkciji raspodele (2 u deniciji 4) daje aproksima-tivnu vrednost verovatnoce da se slucajna promenljiva X nade u intervalu [x, x + x].Na osnovu prethodnih osobina graci funkcija FX i fX kvalitativno izgledaju kao na slici 9.1. Sobzirom na geometrijsku interpretaciju odredenog integrala, osencena povrsina na slici 9.1a brojno jejednaka FX(x) = P(X < x) za naznaceno x.Slika 9.1 Graci funkcije gustine i funkcije raspodele22 ra cun verovatno cePrimer 9.2. Slucajna promenljiva ne mora da bude ni neprekidna ni diskretna, kao sto pokazuje sledeciprimer. Funkcija denisana saF(x) =___0 x < 0x4 0 x 2x+14 2 < x 31 x 3je neopadajuca, neprekidna sleva i vazi F() = 0, F(+) = 1, tj. zadovoljava sve potrebne uslove da bibila funkcija raspodele (videti teoremu 9.2). Medutim, kako je F(2 0) = 1/2, F(2 + 0) = 3/4, ova funkcijaima prekid u tacki x = 2 tako da nije neprekidna. S druge strane, X moze da uzima vrednosti iz neprebrojivogskupa tacaka intervala [0, 3], te X nije ni diskretna promenljiva.Primer 9.3. Odrediti konstantu k tako da funkcijaf(x) = k1 +x2 (x R)bude funkcija gustine raspodele slucajne promenljive X, a zatim naci P(1 < X < 1).Iz uslova+_f(x)dx = 1, tj.+_k1 +x2dx = k+_11 +x2dx = 1,nalazimok = 1+_11 +x2dx= 1arctanx+= 1.Trazena verovatnoca je jednakaP(1 < X < 1) = 11_111 +x2dx = 1_arctan1 arctan(1)_= 12.10. Numericke karakteristike slucajnih promenljivihFunkcija raspodele ili raspodela verovatnoca za diskretnu slucajnu promenljivu i funkcija raspodele iligustina raspodele verovatnoce za neprekidnu slucajnu promenljivu, predstavljaju potpune karakteristiketih promenljivih. U praksi, medutim, cesto nam ove karakteristike nisu poznate ili, ako jesu, racunanjesa njima moze biti dosta komplikovano. Osim toga, ponekad postavljeni problem zahteva znatno manjibroj podataka o slucajnoj promenljivoj. Zato se u teoriji verovatnoce cesto koriste izvesni numerickiparametri koji do izvesnog stepena karakterisu bitne crte raspodele verovatnoca slucajne promenljive.Najvazniji medu njima su matematicko ocekivanje, disperzija i momenti.Matematicko ocekivanjeNeka je diskretna slucajna promenljiva X zadata zakonom raspodeleX _x1 x2 p1 p2 _,pri cemu je pi = P(X = xi).numeri cke karakteristike slu cajnih promenljivih 23Denicija 1. Matematicko ocekivanje diskretne slucajne promenljive X, u oznaci E(X), je brojdenisan pomocuE(X) =

ixiP(X = xi), (10.1)gde se sumiranje odnosi na sve moguce vredenosti xi slucajne promenljive X.Neka je neprekidna slucajna promenljiva X zadata preko gustine raspodele f(x).Denicija 2. Ako je slucajna promenljiva X neprekidnog tipa i ima funkciju gustine f(x), tada jeE(X) =+_xf(x)dx. (10.2)Na intervalima gde slucajna promenljiva X nije denisana uzima se f(x) = 0.U deniciji 1 pretpostavlja se da red (10.1)apsolutno konvergira u slucajuprebrojive sume, a u deniciji2 da nesvojstven Riemannov integral apsolutno konvergira. Drugim recima, E(X) postoji ako i samoako E([X[) postoji. U tom slucaju mozemo imati predstavu o matematickom ocekivanju kao srednjojvrednosti slucajne promenljive. Ukoliko red (10.1) ili integral u (10.2) ne konvergira apsolutno, kaze se damatematicko ocekivanje ne postoji. Uslov da red ixipi apsolutno konvergira obezbeduje nezavisnostzbira reda ixipi od redosleda sumiranja u redu.Na osnovu denicija 1 i 2 zakljucujemo da matematicko ocekivanje ne mora da postoji za svaku slucajnupromenljivu, kao sto pokazuju sledeca dva primera.Primer 10.1. Neka jeX ___2 4 8 2i 121418 12i ___zakon raspodele diskretne slucajne promenljive X. Tada je

iNxipi =

iN2i 12i =

iN1.Red

iN1 ne konvergira, te ne postoji matematicko ocekivanje E(X).Primer 10.2. Gustina raspodele neprekidne slucajne promenljive X data je saf(x) = 1(1 +x2) (x R)(tzv. Cauchyeva raspodela). U ovom slucaju je+_[x[ 1(1 +x2)dx = 1 limt+log(1 +x2)t0= +,te ne postoji E(X).24 ra cun verovatno ceNavodimo neke osobine matematickog ocekivanja:1 E(X) postoji ako i samo ako postoji E([X[).2 E(cX) = cE(X) (c konstanta). Specijalno, E(c) = c P(X = c) = c 1 = c.3 Ako je X 0, tada je E(X) 0.4 Ako je X Y, tada je E(X) E(Y ).5 Ako E(X) i E(Y ) postoje, tada je E(X +Y ) = E(X) +E(Y ).Vazi i opstije tvrdenje:5 a) Ako su c1, c2, . . . , cn konstante i postoje matematicka ocekivanja E(X1), . . . , E(Xn), tada jeE_ n

i=1ciXi_=n

i=1ciE(Xi).Specijalno, imamo5 b) E(X +c) = E(X) +E(c) = E(X) +c,i odavde,5 c) E(X E(X)) = E(X) E(E(X)) = E(X) E(X) = 0.6 Teorema o mnozenju matematickih ocekivanja:Ako su X1, . . . , Xn nezavisne slucajne promenljive i ako imaju matematicka ocekivanja, tada jeE(X1 X2 Xn) = E(X1) E(X2) E(Xn).7 Teorema o monotonoj konvergenciji:Ako je Xn niz slucajnih promenljivih takav da 0 Xn X, tada E(Xn) E(X).Dokazi osobina 1, 2 i 3 direktno slede iz denicije matematickog ocekivanja, dok su dokazi os-talih osobina izostavljeni jer zahtevaju poznavanje nekih pojmova i tvrdenja iz teorije verovatnoce kojiprevazilaze okvire ovog kursa.MomentiDenicija 3. Matematicko ocekivanje slucajne promenljive Xkzove se pocetni moment reda k slucajnepromenljive X.Pocetni moment reda k oznacavamo sa mk(X), ili, ako je jasno o kojoj se slucajnoj promenljivoj radi,sa mk. Pocetni moment postoji ako i samo ako postoji apsolutni pocetni moment E([X[k) reda k (naosnovu osobine 1 matematickog ocekivanja).Na osnovu denicija 1 i 2 imamomk(X) =___

ixkiP(X = xi), za diskretne promenljive,+_xkf(x)dx, za neprekidne promenljive.(10.3)U oba slucaja pretpostavlja se da red (za diskretnu promenljivu), odnosno nesvojstven intergral (zaneprekidnu promenljivu) apsolutno konvergiraju.numeri cke karakteristike slu cajnih promenljivih 25Denicija 4. Matematicko ocekivanje slucajne promenljive (X E(X))kzove se centralni momentreda k slucajne promenljive X.Centralne momente reda k slucajne promenljive X oznacavamo sa k, daklek(X) = E_(X E(X))k_. (10.4)Na osnovu denicije 3 imamok(X) =___

i(xiE(X))kP(X = xi) za diskretne promenljive,+_(x E(X))kf(x)dx za neprekidne promenljive.(10.5)Kako jek(X) = E_(X E(X))k_= E_ k

r=0_kr_(1)krXr(E(X))kr_=k

r=0E__kr_(1)krXr(E(X))kr_=k

r=0_kr_(1)kr(E(X))krE(Xr) =k

r=0_kr_(1)krmkr1 mr,centralni momenti mogu se izraziti preko pocetnih momenata. Tako je, na primer, 0 = 1, 1 = 0, 2 =m2m21.Takode, imamomk(X) = E(Xk) = E_(E(X) +X E(X))k_= E_ k

r=0_kr_(E(X))kr(X E(X))r_=k

r=0_kr_(E(X))krE_(X E(X)r_=k

r=0_kr_mkr1 r,odakle sledi da se i pocetni momenti mogu izraziti preko centralnih, pri cemu je pocetni moment prvogreda m1 = E(X) matematicko ocekivanje slucajne promenljive X.DisperzijaPosmatrajmo diskretne slucajne promenljive X i Y date pomocu zakona verovatnoceX _0.1 0 0.11/3 1/3 1/3_, Y _100 0 1001/3 1/3 1/3_.Tada jeE(X) = (0.1) 13 + 0 13 + 0.1 13 = 0, E(Y ) = (100) 13 + 0 13 + 100 13 = 0.Mozemo da zapazimo da su matematicka ocekivanja E(X) i E(Y ) jednaka, iako je ocigledno da je kodslucajne promenljive X manje ,,rasturanje mogucnih realizacija 0.1 i 0.1 od broja E(X) = 0, negosto je ,,rasturanje mogucnih realizacija 100 i 100 slucajne promenljive Y oko broja E(Y ) = 0. Izovog primera se jasno vidi da matematicko ocekivanje ne pruza dovoljno informacija o ,,rasturanju26 ra cun verovatno ceslucajne promenljive X oko E(X). Zbog toga se sledecom denicijom uvodi jos jedna vazna numerickakarakteristika slucajne promenljive.Denicija 5. Centralni moment drugog reda slucajne promenljive X zove se disperzija ili varijansaslucajne promenljive X. Pozitivna vrednost kvadratnog korena iz disperzije zove se standardna devijacijaili standardno odstupanje.Disperziju oznacavamo sa D(X), a standradnu devijaciju sa (X) (= +_D(X)).Disperzija predstavlja meru rasturanja vrednosti slucajne promenljive X oko matematickog ocekivanjaE(X). Polazeci od denicije X i osobina 5 za matematicko ocekivanje, nalazimoD(X) = (X)2= 2(X) = E_(XE(X))2_= E_X22XE(X)+E(X)2_= E(X2)2E(X)2+E(X)2,odakle dobijamo formulu koja se najcesce koristi za izracunavanje disperzije.D(X) = E(X2) E(X)2= m2m21. (10.6)Koristeci osobine matematickog ocekivanja dokazuju se sledece osobine disperzije:Teorema 10.1. Ako je X slucajna promenljiva sa konacnom disperzijom i c R konstanta, tadavazi:1 D(X) 0.2 D(c) = 0.3 D(cX) = c2D(X) ([c[ < +).4 D(X +c) = D(X).5 Jednakost Bienaymea: Ako su slucajne promenljive X1, . . . , Xn nezavisne i imaju disperzije,tada jeD_ n

i=1Xi_=n

i=1D(Xi).Dokaz.1 Sledi na osnovu osobine 3 matematickog ocekivanje za (X E(X))2 0.2 D(c) = E_(c E(c))2_= E_(c c)2_= 0.3 D(cX) = E_(cX E(cX))2_= E_c2(X E(X))2_= c2E_(X E(X))2_= c2D(X).4 D(X +c) = E_(X +c E(X +c))2_= E_(X +c E(X) c)2_= E_(X E(X))2_= D(X).5 Jednakost Bienaym ea dokazacemo koristeci cinjenicu da iz nezavisnosti slucajnih promenljivih Xi iXj (i ,= j) sledi nezavisnost slucajnih promenljivih XiE(Xi) i XjE(Xj) (i ,= j) (jer su E(Xi) i E(Xj)konstante). U dokazu cemo takode koristiti teoremu o mnozenju matematickih ocekivanja (osobina 5).ImamoD_ n

i=1Xi_= E__ n

i=1XiE_ n

i=1Xi__2_= E__ n

i=1Xin

i=1E(Xi)_2_= E__ n

i=1_XiE(Xi)__2_= E_ n

i=1_XiE(Xi)_2+

i=j_XiE(Xi)__Xj E(Xj)__=n

i=1E__XiE(Xi)_2_+

i=jE_XiE(Xi)_E_Xj E(Xj)_=n

i=1D(Xi) +

i=j1(Xi)1(Xj) =n

i=1D(Xi),numeri cke karakteristike slu cajnih promenljivih 27jer su centralni momenti prvog reda 1(X) = E(X E(X)) jednaki nuli (osobina 5 c) za matematickoocekivanje). Denicija 6. Standardizovana slucajna promenljiva ili normirano odstupanje slucajne promenljive Xjeste slucajna promenljivaX = X E(X)(X) .Za slucajnu promenljivu X je E(X) = 0 i D(X) = 1. Zaista, koristeci osobine disperzije 2 5 ,imamoE(X) = 1(X)E(X E(X)) = 1(X)(X) = 0,iD(X) = 1(X)2D(X E(X)) = 1D(X)D_X + (1)E(X)_= 1D(X)_D(X) +D_(1)E(X)__= 1D(X)_D(X) + (1)2D(E(X))_= 1D(X)_D(X) +D(E(X))_= 1D(X)_D(X) + 0_= 1.Sledeca teorema ima veliku primenu u teoriji verovatnoce.Teorema 10.2 (Nejednakost Cebiseva). Ako je X slucajna promenljiva za koju postoji E(X2),tada je za svako > 0P([X[ ) E(X2)2 . (10.7)Dokaz. Ako je X diskretnog tipa, imamo2P([X[ ) = 2

i:|xi|p(xi) =

i:|xi|2p(xi)

i:|xi|x2ip(xi) +

i:|xi| 0, tadaP(Sn = r) rer! kada n + (r = 0, 1, . . . ).Dokaz. Iz uslova np = imamo p = /n. Ako p zamenimo u formuli koja odreduje binomni zakonraspodele, dobijamoP(Sn = r) =_nr_prqnr= n(n 1) (n r + 1)r! rnr_1 n_nr= rr!_1 1n__1 2n_ _1 r 1n_

_1 n_n_1 n_r .8S. D. Poisson (17811840), francuski matematicar, cita se Puason.36 ra cun verovatno ceKada n +, tada clanovi 1 1/n, 1 2/n, . . . , 1 (r 1)/n i (1 /n)rteze ka 1, dok jelimn+(1 /n)n= e. Tada jelimn +p 0np = P(Sn = r) = P(S = r) = rer! (r = 0, 1, 2, . . . ),cime je dokaz zavrsen. Verovatnoce P(S = r) = rer! (r = 0, 1, 2, . . . ) denisu Poissonovu raspodelu T(). Na osnovuposlednje formule sledi+

r=0P(S = r) =+

r=0rer! = e+

r=0rr! = e e= 1.U Poissonovoj raspodeli imamo serije od beskonacno mnogo nezavisnih opita i slucajna promenljivaS je broj realizacija dogadaja A u jednoj takvoj seriji. Slucajna promenljiva S uzima svaku vrednostiz prebrojivog skupa 0, 1, 2, . . . .Poissonova raspodela vezana je za pojavu retkih dogadaja i ima siroku primenu u telefoniji, saobracaju,demograji, biologiji, zici, astronomiji, lingvistici, itd. Koristi se kao model za broj dogadaja koji sedesavaju u jedinici vremena, pri cemu parametar predstavlja srednju vrednost broja ovih dogadaja.Karakteristicna funkcija za slucajnu promenljivu S sa Poissonovom raspodelom T() je(t) =+

r=0eitrrer! = e+

r=0_eit_rr! = e eeit= e(eit1).Kako je

(t) = ieit e(eit1),

(t) = (1 +eit)eit e(eit1),nalazimo

(0) = i,

(0) = (1 + ), tako da su, na osnovu formula (11.5) i (11.6), parametriPoissonove raspodeleMatematicko ocekivanje: E(S) =

(0)i = ;Disperzija: D(S) =

(0)i2 _

(0)i_2= ( +2) 2= .Primer 12.2. U vremenskom intervalu duzine T signalna lampa zasvetli M puta. Ako je a broj koji pokazujekoliko puta lampa zasvetli u jedinici vremena, odrediti verovatnocu da u intervalu duzine t < T signalna lampazasvetli m puta kada T +.Resenje: Kako a oznacava broj paljenja signalne lampe u jedinici vremena, to je M = aT. Pojavu Msvetlosnih signala mozemo tretirati kao M nezavisnih ispitivanja, pri cemu je verovatnoca pojave signala u svakomispitivanju jednaka p = t/T. Na osnovu binomne raspodele tada imamoP(SM = m) =_Mm_pm(1 p)Mm= M(M 1) (M m+ 1)m!_ tT_m_1 tT_Mm,ili, zbog M = aT,P(SM = m) =aT(aT 1) (aT m+ 1)m!_ tT_m_1 tT_aTm= (aT)mm!_1 1aT__1 2aT_ _1 m1aT__ tT_m_1 tT_aT_1 tT_m .osnovne raspodele neprekidnih slu cajnih promenljivih 37Kada T +, izrazi_1 1aT_, ,_1 m1aT_ i_1 tT_m1. Osim toga, imamolimT+_1 tT_aT= limT+__1 tT_T/t_at= eat,pa jelimT+P(SM = m) = P(S = m) = (at)meatm! .Stavljajuci = at, dobijamo Poissonovu raspodeluP(S = m) = mem! (m = 0, 1, . . . ).Primer 12.3. Za vreme II svetskog rata Nemci su bombardovaliLondon letecim bombama V-1. Britanska vrhovna komanda ucinila jesve da sazna nesto vise o ovim bombama, narocito o njihovoj preciznostipogadanja. Obavestajna sluzba je bila nemocna i u pomoc su pozvanimatematicari, eksperti za statistiku. Oni su podrucje grada Londona(144 km2) podelili na 576 sektora i analizirali udare neprijatelja. Odukupno 537 bombi, 7 bombi palo je u jednom sektoru, po 4 bombe u7 sektora, po 3 u 35, 2 u 93, po jedna bomba u 211 sektora i, kona-cno, nijedna bomba u preostalih 229 sektora. Ovi podaci uneti su nagrakon (slika 12.1).Kriva na grakonu je poznata kao kriva Poissonove raspodele, kojakarakterise pojavu tzv. retkih dogadaja. Da su Nemci mogli da gadajuovim bombama zeljene ciljeve, one bi bile ,,rasejane po zakonu tzv.normalne raspodele, koja se uvek dobija kod (preciznog) gadanja ucilj. Zakljucak je bio da Nemci nisu mogli da gadaju izabrane ciljevebombama V-1, vec im je namera bio samo razaranje i unosenje panike.Proizvodnja ovih bombi ubrzo je obustavljena.Slika 12.113. Osnovne raspodele neprekidnih slucajnih promenljivihRavnomerna (uniformna) raspodelaNeprekidna slucajna promenljiva X ima ravnomernu ili uniformnu raspodelu na intervalu (a, b)ako je denisana gustinom raspodele verovatnocef(x) =___0, za x / [a, b],1b a, za x [a, b],Kako je F(x) =x_f(t)dt =x_af(t)dt, nalazimo funkciju raspodeleF(x) = P(X x) =___0, za x < a,x ab a, za x [a, b],1, za x > b.Ravnomerna (uniformna) raspodela oznacava se sa |(a, b).38 ra cun verovatno cePrema tvrdenju 3 teoreme 9.1, za svako , [a, b] vaziP( X ) = F() F() = b a ,odakle zakljucujemo da je verovatnoca da X pripada nekom intervalu [, ] unutar [a, b] proporcionalnaduzini tog intervala. Zbog toga se ova raspodela uzima kao model za izbor slucajnog broja u intervalu[a, b].Karakteristicna funkcija odredena je pomocu(t) =b_aeitxf(x)dx = 1b ab_aeitxdx = eitbeitait(b a) .U ovom slucaju matematicko ocekivanje i disperziju je lakse odrediti koristeci pocetne momente:Matematicko ocekivanje: E(X) =b_axf(x)dx = 1b ab_axdx = a +b2 ;Disperzija: D(X) = E(X2) E(X)2=b_ax2dx _a +b2_2= (b a)212 .Eksponencijalna raspodelaNeprekidna slucajna promenljiva ima eksponencijalnu raspodelu c() sa pozitivnim parametrom ako je njena gustina verovatnoce f data saf(x) = ex(x 0), f(x) = 0 (x < 0).Funkciju raspodele dobijamo integracijom:F(x) =x_f(t)dt = x_0etdt = 1 ex(x 0).Odredimo karakteristicnu funkciju eksponencijalne raspodele. Imamo da je(t) =+_0eitxexdx = itex(it)+0= it.Prva dva izvoda karakteristicne funkcije su

(t) = i( it)2,

(t) = 2( it)3, odakle je

(0) = i,

(0) = 22.Na osnovu ovog i formula (11.5) i (11.6) nalazimo parametre eksponencijalne raspodele:Matematicko ocekivanje: E(X) =

(0)i = 1;Disperzija: D(X) =

(0)i2 E(X)2= 22 12 = 12.osnovne raspodele neprekidnih slu cajnih promenljivih 39Eksponencijalna raspodela se cesto koristi u raznim primenama, na primer, pri analizi pouzdanostirada sistema, kao model za vreme izmedu dva kvara. U ovim situacijama reciprocna vrednost parametra se javlja kao mera prosecnog vremena rada uredaja koji se ispituje.Primer 13.1. Istaknimo jos jednu interesantnu i korisnu osobinu eksponencijalne raspodele, karakteristicnujedino za ovaj tip raspodele.Neka je X slucajna promenljiva sa eksponencijalnom raspodelom c(). Za svako x 0 vaziP(X > x) = 1 P(X x) = 1 x_0etdt = ex.Koristeci deniciju uslovne verovatnoce, odavde jeP(X > s +t[X > s) = P(X > s +t, X > s)P(X > s) = P(X > s +t)P(X > s) = e(s+t)es = et= P(X > t).Jednakost P(X > s + t[X > s) = P(X > t) izrazava osobinu odsustva memorije. Naime, ako slucajnapromenljiva X predstavlja duzinu rada (na primer u satima) nekog uredaja bez kvara, tada nejednakost X > sznaci da je uredaj ispravan posle s sati rada. Prethodna jednakost izrazava cinjenicu da je verovatnoca da uredajispravno radi jos bar t sati jednaka verovatnoci da je uredaj ispravan posle t sati od ukljucenja. Drugim recima,kao da uredaj ,,ne zna da je pre toga radio s sati. U praksi se pokazalo da ova osobina zaista karakterise radnekih elektronskih komponenti.Normalna (Gaussova) raspodelaOvu raspodelu uveo je cuveni nemacki naucnik Karl Friedrich Gauss u vezi sa obradom rezultatamerenja i, posebno, sa ocenom slucajnih gresaka, pa se zato cesto naziva Gaussovom raspodelom.Normalna raspodela ima najveci znacaj medu raspodelama verovatnoca neprekidne slucajne promen-ljive, iz sledecih razloga:1) mnoge slucajne promenljive, koje se pojavljuju u vezi sa eksperimentima ili observacijama, imajunormalnu raspodelu;2) veliki broj slucajnih promenljivih ima normalnu raspodelu aproksimativno;3) ako slucajna promenljiva nema normalnu raspodelu i ako je nema cak ni aproksimativno, onda semoze transformisati na normalnu slucajnu promenljivu relativno jednostavnim transformacijama;4) izvesne slucajne promenljive, koje sluze za verikaciju statistickih testova, imaju normalnuraspodelu.Denicija 1. Normalna slucajna promenljiva X ima normalnu (ili Gaussovu) raspodelu ^(, ) saparametrima i > 0, ako je njena gustina raspodele verovatnocef(x) = 12exp_(x )222_. (13.1)Zavisno od parametara i , graci krivih funkcija gustine raspodela su razliciti, ali se mogu uocitineke zajednicke karakteristike.Pre svega, lako je utvrditi da su sve krive gustine simetricne u odnosu na pravu x = . Tacka mak-simuma je _, 1/2_. Levo i desno od tacke maksimuma kriva gustine simetricno opada do nule,f(x) 0 kada x (apscisna osa je horizontalna asimptota). Ukoliko je manje, maksimalnavrednost je veca, i obratno, maksimalna vrednost je manja za vece , ali je rasturanje oko tacke x = vece (slika 13.1). Prevojne tacke su_ , e1/2/2_,_ +, e1/2/2_.40 ra cun verovatno ceSlika 13.1 Krive funkcije gustine normalne raspodeleKarakteristicna funkcija slucajne promenljive X ^(, ) data je sa(t) = exp_it 12t22_ (13.2)(videti primer 13.3). Iz (13.2) nalazimo

(t) = (i 2t) exp_it t222_,

(0) = i,

(t) =_(i ts2)22exp_it t222_,

(0) = 22.Na osnovu ovog i formula (11.5) i (11.6) dobijamo numericke parametre normalne raspodele ^(, ) :Matematicko ocekivanje: E(X) =

(0)i = ;Disperzija: D(X) =

(0)i2 E(X)2= 2.U teoriji verovatnoce se cesto radi sa tzv. integralom verovatnoce ili Laplaceovom funkcijom denisanom pomocu(x) = 12x_0et2/2dt. (13.3)Laplaceova funkcija ima sledece osobine:1 (0) = 0;2 (+) = 12;Zaista, imamo (+) = 12+_0et2dt = 1212+_0u1/21eudu = 12(12) = 12,pri cemu smo iskoristili poznati rezultat (12) = (videti 5 u 1. odeljku poglavlja Specijalne funkcijei ortogonalni polinomi).osnovne raspodele neprekidnih slu cajnih promenljivih 413 (x) = (x) (neparna funkcija);4 F(x) = 12 + _x _. (13.4)Uvodeci smenu t = x , dobijamoF(x) = 12x_exp_(x )222_dx = 12x_et2/2dt = 120_et2/2dt + 12x_0et2/2dt= 1212_12_+ _x _= 12 + _x _.Na osnovu teoreme 9.1 (tvrdenje 3 ) slediP(a < X < b) = F(b) F(a) = _b __a _. (13.5)Specijalno, ako je a = , iz poslednje formule dobijamoP(X < b) = 12 + _b _. (13.6)Relacije (13.5) i (13.6) omogucavaju da se odrede vrednosti funkcija raspodele, odnosno verovatnocena intervalu (a, b) za proizvoljno i , polazeci od vrednosti Laplaceove funkcije (x). Funkcija (x)se tabelira za razlicite vrednosti x i ima veliku primenu u teoriji verovatnoce i statistici. Jedna tablicavrednosti funkcije za x [0, 3.49] data je na kraju 14. odeljka.Takode, za 0 x +, moze se koristiti aproksimativna formula(x) 12 _a1t +a2t2+a3t3_ex2/2,gde su t = 1/(1 + px), p = 0.33267, a1 = 0.1740121, a2 = 0.0479399, a3 = 0.3739278. Apsolutnagreska prethodne aproksimacije za svako x > 0 nije veca od 1.25 105.Ako je interval (a, b) simetrican u odnosu na tacku x = , iz (13.5) dobijamoP([X [ < ) = 2__. (13.7)Na primer, ako treba odrediti simetrican interval ( , +) oko srednje vrednosti u kome slucajnapromenljiva X ^(, ) uzima vrednosti sa verovatnocom p, na osnovu formule (/) = p/2, trazi seiz tablica argument / Laplaceove funkcije i nalazi .Primer 13.2 (Pravilo tri sigme). Kolika je verovatnoca da se vrednosti slucajne promenljive X ^(, ) nadu na intervalu ( 3, + 3)?Kako jeP( 3 < X < + 3) = 2_3_= 2(3),iz tablica nalazimo (3) = 0.49865 te jeP([X [ < 3) 0.997(Pravilo tri sigme za normalnu raspodelu).42 ra cun verovatno ceU primenama se cesto koristi pravilo tri sigme, koje, slobodno receno, kaze da je skoro nemoguce da odstupanjeX od srednje vrednosti bude vece od 3. U praksi se vrednost za dobija na osnovu podataka, pa se ocekuje davrednosti skoro svih merenja (preciznije 99.7% na osnovu gornjeg rezultata za verovatnocu P) budu u intervalu(3, +3). Ako se, na primer, otkrije da su podaci dobijeni merenjem izvan opsega (3, +3), mozese zakljuciti da se radi o grubim greskama pri merenju. Drugi primer se odnosi na vrednosti, recimo elektronskihkomponenti. Ako merna karakteristika ovih komponenti treba da bude M jedinica, vrednosti proizvedenih kom-ponenti ce se gusto grupisati oko M, uz malo rasturanje, tj. imace normalnu raspodelu. Svako vece odstupanjeznaci da se radi o neispravnom proizvodu koji treba odbaciti kao ,,skart.Umesto slucajne promenljive X sa normalnom raspodelom ^(, ), cesto se u teoriji verovatnoce radisa standardizovanom slucajnom promenljivom X koja se, shodno izlaganju u 10. odeljku, uvodi nasledeci nacin:X = X E(X)_D(X) = X .Na osnovu osobina 2 i 5 matematickog ocekivanja i osobina 3 i 4 disperzije, nalazimo numerickekarakteristike standardizovane slucajne promenljive X :Matematicko ocekivanje: E(X) = E_X _= 1_E(X) E()_= = 0;Disperzija: D(X) = D_X _= 12D(X) = 1.Prema tome, standardizovana slucajna promenljiva ima normalnu raspodelu ^(0, 1). Na osnovu ovognjena gustina raspodele data je safX(x) = 12ex2/2,sto direktno sledi iz (13.1) za = 0 i = 1. Odgovarajuca funkcija raspodele jeFX(x) = 12x_et2/2dt.Za = 0 i = 1 iz (13.2) nalazimo da je karakteristicna funkcija standardizovane slucajnepromenljive X ^(0, 1) jednakaX(t) = et2/2.Ovaj rezultat moze se takode dobiti iz (13.2) koristeci osobinu 4 (teorema 11.1) karakteristicne funkcije.Zaista, primenjujuci formulu (13.2) za a = 1/ i b = /, dobija seX(t) = eit(/) eit/ e(2t2)/22= et2/2.Na osnovu prethodno izlozenog zakljucujemo da postoji ekvivalencijaX ^(, ) X = X, X ^(0, 1).Primer 13.3. Odredimo karakteristicnu funkciju za slucajnu promenljivu X ^(, ). Uzimajuci gustinuraspodele f(x) datu sa (13.1), imamo(t) = 12+_eitxexp_(x )222_dx.osnovne raspodele neprekidnih slu cajnih promenljivih 43Ako uvedemo smenu y = x , dobijamo(t) = 12+_eit(y+)ey2/2dy = 12eit+_eityey2/2dy.Posle razvoja funcije t eityu Taylorov red, imamo(t) = 12eit+_+

n=0(ity)nn! ey2/2dy = 12eit+

n=0(it)nn!+_yney2/2dx.Ako je n = 2k + 1, zbog neparnosti podintegralne funkcije je+_y2k+1ey2/2dy = 0.Ako je n = 2k, zbog parnosti podintegralne funkcije je+_y2key2/2dy = 2+_0y2key2/2dy = 2k+12+_0uk1/2eudu = 2k+12_k + 12_.Kako je (2k)! = 2kk!(2k 1)!!, _12_= i_k + 12_=_k 12__k 32_ 12_12_= (2k 1)!!,gornji izraz za (t) postaje(t) = 12eit+

k=0(it)2k(2k)! 2k+12_k + 12_= eit+

k=0(1)k(t)2k2k(2k 1)!!2kk!(2k 1)!! = eit+

k=0_(t)22_k1k!.Dobijeni red predstavlja razvoj funkcije t et22/2, te je karakteristicna funkcija slucajne promenljiveX ^(, ) data sa(t) = exp_it 12t22_.Primer 13.4. Neka je X ^(3, 4) slucajna promenljiva sa normalnom raspodelom sa parametrima = 3i = 4. Odrediti: a) P(X 10); b) P(1 X 1); c) x tako da je P(X x) = 0.99.Neka je X = (X )/ = (X 3)/4 standardna slucajna promenljiva sa normalnom raspodelom ^(0, 1).Pri resavanju postavljenih zadataka koristicemo Laplaceovu funkciju (x) datu tabelarno na kraju 14. odeljka.a) P(X 10) = P_X 10 34_= P(X 1.75) = 12 + (1.75) = 0.5 + 0.4599 = 0.9599.b) P(1 X 1) = P_1 34 X 1 34_= P(1 X 0.5) = (0.5) (1)= (0.5) + (1) = 0.1915 + 0.3413 = 0.1498.44 ra cun verovatno cec) 0.99 = P(X x) = P_X x 35_= 12 + _x 35_= 12 + (x), odakle je (x) = 0.49. Iz Ta-bele za (x) na marginama tablice trazimo broj x za koji je (x) = 0.49. Najblizi broj je x = 2.33,te iz jednacinex 34 = 2.33 nalazimo x = 12.32.Primer 13.5. Gama raspodela sa parametrima > 0 i > 0 denisana je funkcijom gustinef(x) = exx1() (x > 0), f(x) = 0 (x 0),gde je(z) =+_0ettz1dt (z = x +iy, x > 0)gama funkcija (videti 1. odeljak iz poglavlja Specijalne funcije i ortogonalni polinomi). Ako slucajna promen-ljiva X ima gama raspodelu sa parametrima i , pisemo X (, ). Ova funkcija ima vaznu ulogu u teorijiverovatnoce i statistici.Karakteristicna funkcija (, ) raspodele data je sa(t) = ( it).Odavde dobijamo

(0) = i ,

(0) = i2( + 1)2 , te jeE(X) =

(0)i = , E(X2) =

(0)i2 = ( + 1)2 , D(X) = E(X2) E(X)2= 2.Primer 13.6. Raspodela sa funkcijom gustinef(x) = 1B(, )x1(1 x)1(x (0, 1), , > 0)zove se beta raspodela sa parametrima i . Raspodela je dobila ime po beta funkcijiB(, ) = ()()( +) =1_0x1(1 x)1dx.Pocetni moment reda k za beta raspodelu dat je samk = B(, +k)B(, ) ,odakle jeE(X) = m1 = +, D(X) = m2m21 = ( +)2( + + 1).Pomocu linearnih kombinacija gustina beta raspodele, koje se dobijaju variranjem parametara i , mogu semodelirati razne gustine dobijene iz empirijskih podataka.grani cne teoreme 4514. Granicne teoremeMnogi vazni rezultati teorije verovatnoce su formulisani u formi granicnih teorema. Dve osnovne grupegranicnih teorema su zakoni velikih brojeva i centralne granicne teoreme. Granicne teoreme sunezamenljiv matematicki aparat u oblasti prakticnih primena verovatnoce. One daju teorijsku podloguza mogucnost ,,predskazanja rezultata masovnih slucajnih pojava i nalazenje gresaka takvih statistickihprocena. Prema misljenju istaknutih matematicara koji rade u oblasti teorije verovatnoce i statistike,prava saznajna vrednost teorije verovatnoce otkriva se tek u granicnim teoremama.Zakoni velikih brojeva, u sirem smislu, znace da pri vrlo velikom broju slucajnih pojava njihov sred-nji rezultat (aritmeticka sredina) prestaje da bude slucajan i moze se predskazati sa velikom pouz-danoscu. U uzem smislu, ovi zakoni razmatraju razne oblike konvergencije niza slucajnih promenljivihka matematickom ocekivanju i u vidu matematickih teorema daju uslove pod kojima ukupno dejstvoslucajnih uticaja dovodi do rezultata koji skoro ne zavisi od slucaja. Na primer, pri velikom broju po-navljanja bacanja kocke za igru, pri cemu ishod pri svakom bacanju smatramo slucajnom promenljivom,broj 1 (recimo) ce pasti u priblizno n/6 slucajeva, gde je n broj bacanja. Sto je n vece, to ce verovatnocada je broj pojava jedinice blizu n/6, biti veca.U okviru ovog kursa necemo se baviti zakonima velikih brojeva. Umesto toga, zbog istorijskog znacenja,navescemo jedino Bernoulliev zakon velikih brojeva iz 1713. godine:Neka je Sn = X1 + X2 + + Xn, Xi _0 1q p_ broj uspeha u n Bernoullievih eksperimenata saverovatnocom p. Tada za svako > 0 vazilimn+P_Snn p _= 0.Ovaj zakon je od velikog znacaja jer predstavlja pokusaj opravdanja statisticke denicije verovatnoce(videti 5. odeljak). Naime, ako se pri eksperimentu u kome dogadaj A (,,uspeh) moze da se dogodi saverovatnocom p, belezi broj uspeha Sn (broj povoljnih ishoda) i zatim podeli sa n (broj svih mogucihishoda), prema Bernoullievom zakonu sledi da ovaj kolicnik konvergira ka stvarnoj vrednosti p. Pravoopravdanje statisticke denicije verovatnoce dato je Borelovim strogim zakonom velikih brojeva iz 1909.godine, koji tvrdi da pomenuti kolicnik konvergira ka p skoro svuda9; preciznije:P_ limn+Snn = p_= 1.Drugu grupu granicnih teorema cine centralne granicne teoreme i one spadaju u red najznacajnijihteorema u verovatnoci i matematickoj statistici (otuda i termin ,,centralna teorema). Ova grupa teoremaustanovljava uslove pod kojima je granicni zakon raspodele normalni (Gaussov) zakon raspodele.Kako su ti uslovi u praksi vrlo cesto ispunjeni, normalni zakon raspodele je i najrasprostranjeniji. On senajcesce srece u slucajnim pojavama prirode, ali i mnogobrojnim procesima razlicitog tipa.Normalna raspodela se moze svrstati medu raspodele koje se najcesce mogu primeniti za aproksi-maciju empirijskih raspodela. Najvise prihvaceno tumacenje uzroka zbog koga je normalna raspodelanajrasprostranjenija je ono koje je dao Bessel. Po njemu, vrednosti statistickih obelezja zavise od mnogo,po velicini neznatnih uticaja. Ti uticaji poseduju neke svoje sopstvene karakteristike i prouzrokuju davrednosti statistickih obelezja odstupaju u razlicitim smerovima. Zbog toga ce sumarno odstupanje vred-nosti posmatranog obelezja od njegove aritmeticke sredine biti malo. Veca odstupanja u jednom smerusu malo verovatna. Dakle, uvek kada na posmatranu pojavu utice veliki broj nezavisnih slucajnih faktorai svaki od njih samo neznatno menja tok pojave, tada sumarno dejstvo tih faktora dovodi do toga daposmatrano obelezje pojave poseduje normalnu raspodelu verovatnoca.9Kazemo da niz {Xn} konvergira skoro svuda ka slucajnoj promenljivoj X ako je P( limn+Xn = X) = 1.46 ra cun verovatno cePrvi i istovremeno inspirativan rezultat u teoriji centralnih granicnih teorema jeste Moivre10-Laplaceova teorema, koja se odnosi na slucajnu promenljivu Sn sa binomnom raspodelom i na odgo-varajucu standardizovanu promenljivuSn = SnE(Sn)_D(Sn) = Snnpnpq .Teorema 14.1 (Moivre-Laplaceova teorema). U binomnoj raspodeli sa p > 0 i kada n +,vazi1) (lokalna teorema)P(Sn = r) 12npqex2/2, x = r npnpquniformno po x u svakom konacnom intervalu;2) (integralna teorema)P_a Snnpnpq b_ 12b_aex2/2dx, kada n +Dokaz. Imamo najpre dar = np +xnpq + i k = n r = nq xnpq + kada n +jer x ostaje u konacnom intervalu.Primenimo Stirlingovu asimptotsku formulu11m! 2mmmem.Tada je_nr_prqk= P(Sn = r) 2nnnen2r rrer2k kkekprqk= 12_ nrk_npr_r_nqk_k.Kako jerkn = n_p +x_pqn__q x_pqn_npq,imamoP(Sn = r) 12npq_npr_r_nqk_k.Koristeci razvoj log(1 +t) = t t22 +O(t3), dobijamolog_npr_r_nqk_k=_np +xnpq_log_1 +x_ qnp__nq xnpq_log_1 x_ pnq_= _np +xnpq__x_ qnp qx22np__nq xnpq__x_ pnq px22nq_= x22 +O_ 1n_,10Abraham de Moivre (16671754), francuski matematicar, cita se Muavr.11U slucaju asimptotskih relacija koristicemo simbol koji za razliku od simbola dozvoljava pojavu velike apsolutnegreske (uz malu relativnu gresku).grani cne teoreme 47odakle je_npr_r_nqk_k= exp_x22 +O(1/n)_exp(x2/2) kada n +.Ovim je prvi deo teoreme (lokalna teorema) dokazan.Da bismo dokazali integralnu teoremu, uvedimo standardizovanu slucajnu promenljivu za binomnuraspodelu Sn = Snnpnpq i stavimoxn,r = r npnpq (r = 0, 1, . . . , n, n = 1, 2, . . . ).Tada jexn,r+1xn,r = 1npq,pa na osnovu lokalne teoreme imamoP_a Snnpnpq b_= P(a Sn b) =

r : a xn,r bP(Sn = r) 12

r : a xn,r b1npq exp(x2n,r/2).Poslednji izraz je integralna suma za Riemannov integral 12b_aex2/2dx, tada jeP(a Sn b) 12b_aex2/2dx kada n +. Prema tome, u granicnom slucaju kada broj opita n neograniceno raste, standardizovana slucajnapromenljiva Sn = (Snnp)/npq za binomnu raspodelu ima normalnu raspodelu ^(0, 1).Prema integralnoj teoremi sledi i jednostavna formula za prakticno izracunavanje:P_a Snnpnpq b_= P(a Sn b) = (b) (a). (14.1)Primer 14.1. Koliko eksperimenata treba izvrsiti da bi se sa verovatnocom 0.9 tvrdilo da se frekvencijadogadaja koji nas interesuje razlikuje za ne vise od 0.1 od verovatnoce nastupanja tog dogadaja, koja je jednaka0.4?Neka je n broj eksperimenata i m broj nastupanja dogadaja u tim eksperimentima. Po uslovu zadatka jep = 0.4 i q = 0.6. Interesuje nas verovatnoca vazenja nejednakostimn p 0.1,sto je ekvivalentno sa nejednakoscumnp0.24n 0.1n0.24.48 ra cun verovatno ceNa osnovu formule (14.1) (za a = b) je0.9 = P_mnpnpq < 0.1n0.24_ _0.1n0.24__0.1n0.24_= 2_0.1n0.24_.Koriscenjem tablice za (x), dobijamo0.1n0.24 1.64 ,odakle nalazimo n 64.55. Prema tome, treba izvesti oko 65 eksperimenata.Teorema 14.2. Zbir proizvoljnog broja nezavisnih slucajnih promenljivih, od kojih svaka ima nor-malnu raspodelu, takode ima normalnu raspodelu.Dokaz. Uocimo slucajnu promenljivu X = X1+ +Xn, gde slucajne promenljive Xk imaju normalneraspodele ^(k, k) (k = 1, . . . , n) i karakteristicne funkcije Xk(t) = exp_itk 122kt2_. Na osnovuosobina matematickog ocekivanja i disperzije, imamo za X : = 1 + +n, 2= 21 + +2n.S obzirom da su slucajne promenljive X1, . . . , Xn nezavisne, na osnovu osobine 6 (videti 11. odeljak)karakteristicna funkcija slucajne promenljive X = X1 + +Xn jeX(t) = E_eitX_= E_eit(X1+X2++Xn)_= E_eitX1 eitX2 eitXn_=n

k=1E_eitXk_=n

k=1Xk(t) =n

k=1exp_ikt 122kt2_= exp_it(1 + +n) 12t2(21 + +2n)_= exp_it 122t2_,sto znaci da X ima normalnu raspodelu ^(, ). Pretpostavimo sada da nezavisne slucajne promenljive X1, . . . , Xn imaju istu raspodelu verovatnoca,tj.1 = 2 = = n = , 21 = 22 = = 2n = 2,i neka je X = X1 +X2 + +Xn. Tada je X = n, 2X = n2.Standardizovana slucajna promenljiva X ima oblikX = X XX= X nn , i posebno, Xk = Xk (k = 1, . . . , n).Dalje, imamoX = X nn = 1nn

k=1Xk = 1n_X1 + +Xn_.Teorema 14.3 (Lindeberg-Levieva teorema). Ako su X1, . . . Xn nezavisne slucajne promenljivesa istom raspodelom i konacnom disperzijom D(Xk) = 2, tada vazi centralna granicna teorema, tj.P(X < x) = F(x) 12x_et2/2dt kada n +.grani cne teoreme 49Dokaz. Karakteristicne funkcije k(t) slucajnih promenljivih Xk (k = 1, . . . , n) jednake su medusobom i vazik(t) = 1 t22 +O(t3)(osobina 8 za karakteristicnu funkciju razvoj u Maclaurinov red). Tada je karakteristicna funkcija(t) slucajne promenljiveX = X nn (X = X1 + +Xn)jednaka (osobina 6 )(t) =n

k=1k_ tn_=_k_ tn__n=_1 t22n +O_t3n__net2/2kada n +. Slucajne promenljive X i X imaju redom normalne raspodele X ^(0, 1) i X ^(X, X) =^(n,n).Primer 14.2. Pretpostavimo da prosecno svaki treci prolaznik pored kioska kupi novine, tj. verovatnoca dajedan prolaznik kupi novine je p = 1/3. Neka je S100 broj lica koja produ pored kioska dok se ne proda prvih100 primeraka novina. Odrediti pribliznu raspodelu slucajne promenljive S100.Resenje: Neka je Xk (k = 1, 2, . . . ) broj prolaznika od prodaje k 1 primeraka pa sve dok se ne prodak-ti primerak novina. Tada je S100 =

100k=1Xk. Slucajne promenljive Xk (k = 1, 2, . . . ) su nezavisne, sa istomraspodelom i to sa geometrijskom raspodelom (videti 12. odeljak raspodele diskretne promenljive):P(Xk = r) = qr1p =_23_r113 (r = 1, 2, . . . ).Parametri geometrijske raspodele suE(Xk) = 1p = 3, D(Xk) = qp2 = 6.Primenjujuci teoremu Lindeberg-Levia dobijamo da je raspodela slucajne promenljive S100 data sa^(300, 106), dok standardizovana slucajna promenljiva S100 = (S100 300)/106 ima raspodelu priblizno^(0, 1). Kao sto se vidi iz rezultata za matematicko ocekivanje ( = 300), ocekivani broj lica koji ce kupitiprvih 100 primeraka novina je 300, sto je i intuitivno jasno.50 ra cun verovatno ceTablice za normalnu raspodeluLaplaceova funkcija (x) = 12x_0et2/2dtTablice daju vrednost izraza(x) = 12x_0et2/2dtza vrednost argumenta x izmedu 0 i 3.5. Za negativne vrednosti koristimo relaciju(x) = (x).izabrani zadaci sa pismenih ispita 51Izabrani zadaci sa pismenih ispitaZadatak 1.12Dva kockara A i B igraju neku igru bacajuci dve kocke. A pobeduje ako dobije sumu6 pre nego sto B dobije sumu 7, i obratno, B pobeduje ako dobije sumu 7 pre nego sto A dobije sumu6. Koji od ova dva igraca ima vece sanse da dobije ako igru pocinje igrac A?Resenje: Neka su A i B dogadaji koji redom oznacavaju pojavu suma 6 (A dobija) i 7 (B do-bija). Suprotne dogadaje oznacicemo sa A i B. Ako su bacene dve kocke, tada postoji 36 mogucih ishoda:(1, 1), (1, 2), . . . , (1, 6), (2, 1), . . . , (6, 6). Postoji 5 povoljnih ishoda (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) za sumu6, i 6 povoljnih ishoda (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) za sumu 7. Tada su verovatnoce opisanih dogadajajednakeP(A) = 536, P( A) = 1 P(A) = 3136,P(B) = 636 = 16, P( B) = 1 P(B) = 3036 = 56.Kockar A dobija igru ako se desi sledeci slozen dogadaj:A+ A BA+ A B A BA+ A B A B A BA+ .Pojedinacni dodadaji koji se javljaju kao sabirci u gornjoj sumi su medusobno iskljucivi (ne mogu se desiti istovre-meno) tako da je verovatnoca slozenog dogadaja jednaka sumi verovatnoca pojedinacnih dogadaja. Osim toga,dogadaji koji se javljaju u gornjim proizvodima su medusobno nezavisni tako da je verovatnoca proizvoda dogadajajednaka proizvodu verovatnoca pojedinih dogadaja koji ucestvuju u proizvodu. Ako pA oznacava verovatnocu dakockar A dobija, tada jepA =P(A) +P( A)P( B)P(A) +P( A)P( B)P( A)P( B)P(A)+P( A)P( B)P( A)P( B)P( A)P( B)P(A) + = 536 + 3136 56 536 +_3136 56_2

536 +_3136 56_3

536 + = 536_1 +x +x2+x3+ _= 536 11 x = 3061,gde smo stavili x = 3136 56 = 155216.Kockar B dobija ako se desi sledeci slozen dogadaj:AB + A B AB + A B A B AB + A B A B A B AB + .Odavde, na slican nacin kao u slucaju igraca A, izracunavamo verovatnocu pB da igru dobije kockar B:pB =P( A)P(B) +P( A)P( B)P( A)P(B) +P( A)P( B)P( A)P( B)P( A)P(B)+P( A)P( B)P( A)P( B)P( A)P( B)P( A)P(B) + =3136 16 + 3136 56 3136 16 + 3136 16 _3136 56_2+ 3136 16 _3136 56_3+ =3136 16_1 +x +x2+x3+ _= 3136 16 11 x = 3161.12Ovaj zadatak postavljen je i resen u prvom stampanom radu iz teorije verovatnoce iz 1657. godine, ciji je autor cuveniholandski naucnik Cristiaan Huygens (16291695).52 ra cun verovatno ceNa osnovu dobijenih verovatnoca pA i pB zakljucujemo da kockar B ima neznatno vece sanse za pobedu uodnosu na svog rivala A.Zadatak 2. Bil i Toni igraju ruski rulet sa revolverom cije ,,burence ima 6 komora i, dakle, mozeda primi 6 metaka. U komorama su slucajnim izborom stavljena 3 metka i ,,burence je zarotirano samojednom, pre pocetka igre. Prvi igrac uzima revolver i povlaci okidac. Ako se cuje ,,bum (pucanj), ongubi igru, ako se cuje ,,klik (prazna komora) on daje revolver drugom igracu koji nastavlja na isti nacin.Igra se zavrsava posle prvog ,,buma (pucnja). Ako Bil pocinje prvi, kolike su sanse svakog igraca dapobedi?Resenje: Oznacima sa 0 situaciju da je komora prazna, a sa 1 da se u komori nalazi metak i formirajmonizove duzine 6 od tri nule i tri jedinice (broj metaka u revolveru). U donjoj tabeli date su sve moguce kombinacijeovakvih sestorki, njih ukupno_63_= 20 :0 0 0 1 1 1 B0 0 1 0 1 1 T0 0 1 1 0 1 T0 0 1 1 1 0 T0 1 0 0 1 1 B0 1 0 1 0 1 B0 1 0 1 1