VRSTE ELEMENATA ZA RJEŠAVANJE RAVNIH PROBLEMA 7.pdfPaskalov trougao Stepen polinoma Broj čvorova trougla Slika 7.2. Veza između vrste ravnog trokutnog elementa i reda polinoma Funkcija

Vrste elemenata za rješavanje ravnih problema

201

VRSTE ELEMENATA ZA RJEŠAVANJE RAVNIH PROBLEMA

777

7.1. Uvod Prethodno su opisani trougaoni i četverougaoni konačni elementi sa čvorovima u tjemenima i linearnom funkcijom pomjeranja. Postoje i vrste trougaonih i četverougaonih elemenata koji osim čvorova u tjemenima imaju i čvorove na sredinama stranica. Dakle, umjesto šest stepeni slobode i šest jednačina postoji dvanaest. Čak se može umjesto čvora na sredini elementa staviti dva ili više čvorova na stranicama. Osnosimetrični elementi su specijalni dvodimenzionalni elementi koji su simetrični u odnosu na osu i po geometriji i po opterećenju. Najčešće se koriste za analizu debelostjenih proizvoda.

7.2. Matrica krutosti i jednačine trougaonog elementa

Slika 7.1. Trougaoni element sa čvorovima na sredini stranica

x,u

v4

u4 4 v1

u1 1

v5

u5 5 v6

u6 6

v3

u3 3

v2

u2 2

O

y,v


202

U ponudi različitih tipova konačnih elemenata u različitim software-paketima može se odabrati element tipa kao na slici 7.1. Automatski će se generirati čvorovi 4, 5, 6 na sredinama stranica kada se unesu koordinate čvorova 1, 2, 3, slika 7.1.

7.2.1. Vektor pomjeranja trougaonog elementa Vektor pomjeranja u čvorovima koja treba odrediti dat je izrazom 7.1.

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

6

5

4

3

2

1

v

u

v

u

v

u

v

u

v

u

v

u

d

d

d

d

d

d

d (7.1)

7.2.2. Funkcija pomjeranja Za trougaoni element, slika (7.1), bira se funkcija u obliku polinoma drugog reda:

u (x,y) = a1+ a2 x +a3 y + a4 x2 + a5 xy + a6 y

2 (7.2)

v (x,y) = a7+ a8 x +a9 y + a10 x2 + a11 xy + a12 y

2 Broj koeficijenata (u ovom slučaju a1 do a12) određuje broj stepeni slobode elementa. Kompatibilnost duž odgovarajućih elemenata je zadovoljena zato što su čvorovi postavljeni na stranicama pa se može povući parabola kroz tri


203

tačke. Osim toga elementi su povezani u čvorovima pa će kompatibilnost biti zadovoljena i duž stranica i u čvorovima. U opštem slučaju broj čvorova ravnog elementa i stepen polinoma mogu se pokazati pomoću Paskalovog trougla prikazanog na slici 7.2. Paskalov trougao Stepen polinoma Broj čvorova trougla

Slika 7.2. Veza između vrste ravnog trokutnog elementa i reda polinoma

Funkcija pomjeranja za ravni element je

12

2

1

22

22

1000000

0000001

a

a

a

yxyxyx

yxyxyx

v

u

(7.3)

što se može napisati u obliku:

aMv

u*

(7.4)

Matrica M* funkcija varijabli x i y je reda 12x12, a koeficijenti a1 do a12 se dobiju rješavanjem jednačine:

v

uMa 1* (7.5)

xy

1

x y

x2 y2

x3 y3xy2 x2 y

0

1(linearan)

2 (kvadratni)

3 (kubni)

0 3 6

10


204

7.2.3. Veze deformacija-pomjeranje i naponi i deformacije

Deformacije ravnog elementa date su u obliku:

y

u

x

vy

vx

u

xy

y

x

(7.6)

Ako je funkcija pomjeranja definirana kao kvadratna funkcija (vidi desnu stranu izraza 7.3) vektor deformacije ravnog trougaonog elementa dobije se kada se naprave izvodi navedeni u izrazu (7.6), pa je:

12

2

1

0201010100

20100000000

00000002010

a

a

a

yxyx

yx

yx

(7.7)

ili

aM ' (7.8) Matrica M' sadrži linearne veze deformacija i pomjeranja pa se za takav trougao kaže da ima linearne deformacije. Izraz (7.8) se može pisati u obliku: dB (7.9) gdje je: B funkcija varijabli x i y i koordinata tačaka od 1 do 6. Veza napona i deformacija ostvaruje se preko matrice D koja je funkcija osobina materijala E i .


205

xy

y

x

xy

y

x

D

(7.10)

7.2.4. Matrica krutosti i jednačine elementa Matrica krutosti ravnog elementa sa konstantnim deformacijama dobije se sličnim postupkom kao za trougaoni element sa konstantnim deformacijama u obliku:

v

T dVBDBk (7.11)

U slučaju konstantnih deformacija, matrica B je funkcija koordinata čvorova, dok je kod elemenata sa linearnim deformacijama funkcija od x i y i koordinata čvorova. Kada se u čvorove dodaju opterećenja veza sa pomjeranjima je:

12

12

1

1

12,121,12

12,11,1

6

1

1

.......

.......

v

u

v

u

kk

kk

f

f

f

y

y

x

(7.12)

12x1 12x12 12x1 Sastavljanje globalne matrice krutosti obavlja se na isti način kao i kod prethodno opisanog elementa sa konstantnim deformacijama. Naponi se dobiju u težištu elemenata ili kao srednja vrijednost napona izračunatih u čvorovima.


206

7.3. Osnosimetrični element Osnosimetrični element, slika 7.3 je dio torusa čiji je poprečni presjek trokut. Element je simetričan i po geometriji i po opterećenju u odnosu na osu. Osa z u odnosu na koju se posmatra simetrija zove se osa simetrije elementa ili osa rotacije. Svaki vertikalni poprečni presjek je oblika trokuta. a) b)

c)

Slika 7.3. a) Podjela torusa na elemente; b) Osnosimetrični element c) Poprečni presjek

U ravanskim problemima (slika 7.3) naponi se javljaju u x-y ravni. U osnosimetričnim problemima radijalna pomjeranja dovode do deformacija zbog kojih nastaju naponi u radijalnom pravcu r u cirkularnom i longitudinalnom pravcu. Osnosimetrični elementi se često koriste za proračun naponsko deformacionog stanja složenih površina i jednostavni su za korištenje. Simetrija napona u odnosu na osu z je nezavisna od koordinate . Zato su

r

z

j

m

i

u+u/r

C

d

r

u A

D B

y

x

A B

C D

d

r dr

dz

z

r


207

svi izvodi po jednaki nuli i pomjeranje v u trangencijalnom pravcu, deformacije klizanja r , z i tangencijalni naponi r , z su jednaki nuli. Deformacije osnosimetričnog elementa u cilindričnim koordinatama pokazane su na slici 7.3b i c. Pomjeranja u i v su pomjeranja u radijalnom i longitudinalnom pravcu. Zbog djelovanja opterećenja strana AB se pomjera

za u, a strana CD za drr

uu

u odnosu na početno stanje. Deformacija u

radijalnom pravcu je:

r

ur

(7.13)

Slika 7.4. Pomjeranja elemenata ABCD u z-r ravni

Deformacija u tangencijalnom pravcu zavisi od pomjeranja v i pomjeranja u. Pošto je v = 0 tangencijalna deformacija zavisi samo od u i iznosi:

r

u

rd

rddur

)( (7.14)

z,w

w+(w/z)dz

dz

D

F

u

w

dr u+(u/r)dr

(w/r)dr

(u/z)dz

B

E

r,u


208

Longitudinalna deformacija može se naći analizom elementa BDEF, slika 7.4. Do pomjeranja elementa dolazi u radijalnom i longitudinalnom pravcu. Npr. tačka E pomjeri se za rastojanje u, u radijalnom pravcu, a tačka B za

još dodatnih z

u

dz u istom pravcu. Tačka E pomjeri se za u, u

longitudinalnom pravcu, a B za još z

w

dz u istom z pravcu.

Longitudinalna normalna deformacija je:

z

w

z (7.15)

a klizanje u r-z ravni je:

r

w

z

urz

(7.16)

Za izotropni materijal veza napona i deformacija je data izrazom (7.17)

rz

z

r

rz

z

r

2

21000

01

01

01

)21)(1(

E (7.17)

7.3.1. Funkcija pomjeranja Postupak izbora elementa i procedura za računanje naponsko deformacionog stanja osnosimetričnog elementa počinje diskretizacijom domena i izborom elementa. Na slici 7.5.a dato je osnosimetrično tijelo, a na slici 7.5.b naponi osnosimetričnog elementa.


209

a) b)

Slika 7.5. a) Osnosimetrično tijelo podjeljeno na elemente;

b) Naponi osnosimetričnog elementa Pomjeranja čvorova daju se kao funkcije:

u (r,z) = a1 + a2r + a3z (7.18)

v (r,z) = a4 + a5r + a6z Vidi se da su pomjeranja linearne funkcije od z i r, i da ima 6 nepoznatih pomjeranja datih izrazom (7.19):

m

m

j

j

i

i

w

u

w

u

w

u

d (7.19)

Ukupna funkcija pomjeranja elementa je:

z,w

r,u

rz

zr

r

z

r

z


210

6

2

1

654

321

1000

0001

a

a

a

zr

zr

zaraa

zaraa

w

u

(7.20)

Nepoznati koeficijenti ai odrede se iz jednačine (7.21) nakon što se izračuna inverzna matrica:

m

j

i

mm

jj

ii

u

u

u

zr

zr

zr

a

a

a1

3

2

1

1

1

1

(7.21)

m

j

i

mm

jj

ii

w

w

w

zr

zr

zr

a

a

a1

6

5

4

1

1

1

(7.22)

ili

m

j

i

mji

mji

mji

u

u

u

Aa

a

a1

3

2

1

2

1

(7.23)

m

j

i

mji

mji

mji

w

w

w

Aa

a

a1

6

5

4

2

1

(7.24)

gdje je:

i = rj zm – zj rm j = rm zi – zm ri m = ri zj – zi rj i = zj - zm j = zm - zi (7.25) m = zi - zj i = rm - rj j = ri - rm m = rj - ri


211

Funkcije oblika osnosimetričnog elementa:

zrA

N

zrA

N

zrA

N

mmmm

jjjj

ijii

2

12

12

1

(7.26)

Nakon zamjena funkcija promjeranja osnosimetričnog elementa je:

m

m

j

j

i

i

mji

mji

w

u

w

u

w

u

NNN

NNN

zrw

zru

000

000

),(

),( (7.27)

ili

dN (7.28)

7.3.2. Veza pomjeranja i deformacija i napona i deformacija

Izraz za deformacije osnosimetričnog elementa:

53

32

1

6

2

aar

zaa

r

aa

a

r

w

z

ur

uz

wr

u

(7.29)


212

Izraz se može napisati u proširenom obliku:

6

5

4

3

2

1

010100

00011

100000

000010

a

a

a

a

a

a

r

z

rrz

z

r

(7.30)

ili preko funkcije pomjeranja dobije se:

m

m

j

j

i

i

mmjjii

mm

mjj

jii

i

mji

mji

w

u

w

u

v

u

r

z

rr

z

rr

z

rA 000

000

000

2

1 (7.31)

ili dB (7.32) gdje je B funkcija od koordinata r i z. Naponi su dati u obliku funkcije:

dBD (7.33)

7.3.3. Matrica krutosti i jednačine elementa Kao i u svim prethodnim slučajevima matrica krutosti dobije se u obliku:

v

T dVBDBk (7.34)

ili

A

T rdrdzBDBk 2 (7.35)


213

Nakon integriranja dobije se matrica krutosti k koja je funkcija od r i z i reda 6x6. Za rješavanje se može koristiti jedna od tri metode: - numerička integracija - eksplicitna multiplikacija - ocjena B za središnju tačku zr , elementa

33

mjimji zzzzz

rrrrr

(7.36)

B se definira kao BzrB , u prvoj aproksimaciji:

BDBArkT2 (7.37)

Ako je podjela ravnomjerna, rezultat je tačan.

7.3.4. Opterećenje elementa Osim koncentrisanih sila, sile vlastite težine i površinsko opterećenje mogu činiti opterećenje elementa. Opterećenja od vlastite težine tj. gravitacione sile djeluju u z pravcu, ili centrifugalne sile kod rotirajućih dijelova mašina koje djeluju u r pravcu mogu se smatrati silama koje su rezultat materijalnosti samog tijela. Vektor tih sila dat je izrazom:

dzrdrZ

RNf

A b

bTb

2 (7.38)

ili šematski prikazan na slici

Slika 7.6 Centrifugalne i gravitacione sile

z

zb

Rb r


214

gdje su: Rb i Zb centrifugalne i gravitacione sile Rb = 2 r

pri čemu je = const, -gustina, r – radijalna koordinata

NT =

i

i

N

N

0

0 je matrica oblika

Površinske sile se mogu e naći prema izrazu:

S

TS dSTNf (7.39)

Površinsko opterećenje je radijalno kontinuirano opterećenje odnosno pritisak pr i aksijalno opterećenje pz pa se posljednji izraz piše u obliku:

S s

rTS dS

p

pNf (7.40)

Djelovanje površinskog opterećenja može se pokazati na slici 7.7. Jednačina 7.40 može se napisati za svaki čvor. Npr. za čvor j imaće oblik:

Slika 7.7. Djelovanje pritiska pr i pz

dzrp

p

zr

zr

Af j

z

r

jjj

jjjz

z

sj

m

i

2

0

0

2

1

(7.41)

Kada se napišu fsi i fsm za i i m čvorove dobije se stvarna distribucija površinskih sila u obliku:

m

ji

pr pz


215

z

r

z

rjmjs

p

p

p

pzzrf

0

0

2

)(2 (7.42)

U postupku rješavanja problema sabiranjem se dobije globalna matrica krutosti, ukupna matrica sila i jednačine problema. Nakon toga nađu se pomjeranja u čvorovima, a zatim deformacije i naprezanja u elementima. Primjer 7.1. Debelostjena posuda izložena je dejstvu pritiska od p = 1 N/cm2 i prikazana na slici 7.7. Odrediti pomjeranja i napone.

Slika 7.8. a) Debelostjena posuda izložena dejstvu pritiska; b) Dio diskretiziranog cilindra

Prvi korak u rješavanju problema je diskretizacija. Cilindar se podijeli na četiri trougaona elementa. Horizontalna projekcija male debljine karakterizira ponašanje cijelog cilindra. Ukupna matrica strukture je:

osa

sim

etrij

e

r =

0,5c

m

r=0,5cm

r=1cm

4 3

2

p

pz,w

r,u

1

5


216

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

w

u

w

u

w

u

w

u

w

u

K

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

z

r

z

r

z

r

z

r

z

r

(7.43)

Matrica K je reda 10x10. Matrica K dobije se sabiranjem matrice krutosti pojedinih elemenata. Zbog pojednostavljenja postupka može se koristiti aproksimativni metod gdje se ocijeni da je:

BDBrkT2 (7.44)

Za element 1 i koordinate: ri = 0,5, zi = 0, rj = 1, zj = 0, rm = 0,75, zm = 0,25, (i = 1, j = 2, m = 5) u globalnom koordinatnom sistemu datom na slici 7.8.b.

Prije matrice B (7.47) nađu se članovi matrice:

i = rj zm – zj rm = 10,25 – 00,75 =0,25 j = rm zi – zm ri = 0,750 – 0,250,5 = -0,125 m = ri zj – zi rj = 0,50 – 01= 0 i = zj – zm = 0-0,25 =- 0,25 j = zm – zi = 0,25-0 = 0,25 (7.45) m = zi – zj = 0-0 = 0 i = rm – rj = 0,75-1= -0,25 j = ri – rm = 0,5-0,75= -0,25 m = rj – ri = 1-0,5=0,5


217

206250250502

1

083303

25000

3

7503

750150

3

cm,,,A

cm,,zzz

z

cm,,,rrr

r

mji

mji

(7.46)

mmjjii

mmi

mjj

jii

i

mji

mji

r

z

rr

z

rr

z

rA

B

000

000

000

2

1 (7.47)

050250250250250

005560005560005560

50025002500

0002500250

2502

1

,,,,,

,,,

,,,

,,

,B (7.48)

Za GPacm

NEi 20010203,0

26

Za osnosimetrični slučaj naprezanja matrica D je

2

3,021000

03,013,03,0

03,03,013,0

03,03,03,01

3,0213,01

1020 6

D (7.49)

2,0000

07,03,03,0

03,07,03,0

03,03,07,0

107,57 6D (7.50)


218

015,035,015,0

1,00388,00166,00167,0

05,0075,0175,0075,0

05,0114,00917,0192,0

05,0075,0175,0075,0

05,00361,00583,0158,0

125,0

107,57 6

DBT

(7.51)

i=1 j=2 m=5

31,19006,915,9584,4915,9571,31

06,972,5666,2231,2072,3137,29

15,9566,22171,6152,3898,3326,2

84,4931,2052,3859,7233,1163,31

15,9572,3198,3333,1117,6145,29

71,3137,2926,263,3145,2946,54

1K (7.52)

Element 2 i = 2 j = 3 m = 5 ri = 1 zi = 0 rj = 2 rj = 1 zj =0,5 rm = 0,75 zm = 0,5 cm.

i = rj zm – zj rm = -0,125 j = rm zi – zm rj = 0,25 m = ri zj – zj ri = 0,5 i = zj - zm = 0,25 j = zm – zj = 0,25 m = zi – zj = -0,5 i = rm – rj = -0,25 j = ri – rm = -0,25 m = rj – ri = 0

20625,0

25,03

9167,03

cmA

cmzzz

z

cmrrr

r

mji

mji

(7.53)


219

Nakon toga odredi se B , zatim B T pa proizvod B T D . Matrica krutosti elementa 2 je i=2 j=3 m=5

46,66023,3323,3323,3323,33

041,21632,4592,11832,4592,118

23,3332,4577,7407,4654,4184,12

23,3392,11807,4674,8584,1252,52

23,3332,4554,4184,1277,7407,46

23,3392,11884,1252,5207,4675,85

106)2(k (7.54)

Element 3 i = 3 j = 4 m = 5 ri = 1 zi = 0,5 rj = 0,5 zj = 0,5 rm = 0,75 zm = 0,25 cm

i = rj zm – zj rm = 0,50,25-0,50,75=-0,25 j = rm zi – zm ri = 0,750,5-0,251=0,35 m = ri zj – zi rj = 10,5-0,50,5=0,25 i = zj – zm = 0,5-0,25=0,25 j = zm – zi = 0,25-0,5 = -02,5 m = zi – zj = 0,5-0,5=0 i

i = rm – rj = 0,75-0,5=0,25 i

j = ri – rm = 1-0,75=0,25 i

m = rj – ri = 0,5-1=-0,5

20625,0

416,03

25,05,05,0

75,03

5,112

3

75,05,01

cmA

cmz

cmr

(7.55)


220

i=1 j=4 m=5

31,19006,915,9572,3115,9584,40

06,972,5672,3137,2966,2231,20

15,9572,3117,6145,2998,3333,11

72,3137,2945,2946,5426,263,31

15,9566,2298,3326,217,6152,38

84.4931,2033,1163,3152,3858,72

)3(k (7.56)

Element 4 Istim postupkom dobije se matrica krutosti elementa 4 koja glasi i=4 j=1 m=5

28,42014,2114,2114,2114,21

014,16924,3645,6624,3645,66

14,2124,3657,4790,2143,2675,0

14,2145,6690,2153,4175,039,20

14,2124,3643,2675,057,4790,21

14,2145,6675,039,2090,2153,41

)4(k (7.57)

Superpozicijom matrica )1(k do )4(k dobije se ukupna matrica krutosti strukture koja je reda 10 x 10.

36,48903,11686,524,12807,834,12807,833,11686,52

099,49896,6782,9598,692,13998,672,13996,6782,95

3,11696,6774,10835,5198,3333,110043,2675,0

86,5282,9535,5199,9526,263,310075,039,20

4,12898,6798,3326,294,13559,8454,4184,1200

07,832,13933,1163,3159,8433,15884,1252,5200

4,12898,670054,4184,1294,13559,8498,3326,2

07,832,1390084,1252,5259,8434,15833,1163,31

3,11696,6743,2675,00098,3333,1174,10835,51

86,5282,9575,039,200026,263,3135,5199,95

106k (7.58)


221

Sile u čvorovima su

NFF rr 785,02

5,05,0241

(7.59)

Sve druge sile u čvorovima su nula. Iz jednačine

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

6

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

0

0

785,0

0

0

0

0

0

785,0

w

u

w

u

w

u

w

u

w

u

K

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

z

r

z

r

z

r

z

r

z

r

(7.60)

Pomjeranja su: u1 = 0,032210-6 cm w1 = 0,0011510-6 cm u2 = 0,021910-6 cm w2 = 0,0020610-6 cm (7.61) u3 = 0,021910-6 cm w3 = 0,0021110-6 cm u4 = 0,032210-6 cm w4 = - 0,0011510-6 cm u5 = 0,024410-6 cm w5 = 0 Nakon što su određena pomjeranja svih čvorova mogu se naći naprezanja u sva četiri elementa u radijalnom i cirkulacionom i aksijalnom pravcu po izrazu (7.62) dBD (7.62)

pa se dobije: za element 1: r = - 0,338 N/cm2 z = - 0,0126 N/cm2 = 0,942 N/cm2 rz = - 0,1037 N/cm2


222

za element 1: r = - 0,105 N/cm2 z = - 0,0747 N/cm2 = 0,690 N/cm2 rz = 0 (7.63)

za element 3: r = 0,337 N/cm2 z = 0,0125 N/cm2 = 0,942 N/cm2 rz = 0,1037 N/cm2

za element 4: r = - 0,470 N/cm2 z = 0,1493 N/cm2 = 1,426 N/cm2 rz = 0 Vrijednosti napona su izračunate u centrima elemenata.

7.3.5. Primjena osnosimetričnih elemenata Mnogi sistemi koje treba proračunati spadaju u osnosimetrične probleme. Osnosimetrični elementi su pogodni za računanje debelostjenih cilindara izloženih djelovanju unutrašnjeg pritiska. To mogu biti i kalupi za livenje čelika i drugih metala ili plastika. Zbog njihove simetričnosti koristi se samo četvrtina ili polovina koja se podijeli na veliki broj konačnih elemenata ovog tipa. Rezultat su vrijednosti napona preko kojih se mogu odrediti glavni naponi a zatim uporedni napon po nekoj od hipoteza. S obzirom na veliki broj rezultata neophodno je koristiti računar i software podršku. Najčešće se koriste komercijalni programi koji sadrže i modelere za crtanje nedeformiranog modela. Danas su to ANSYS, CATIA, Pro/E, I-DEAS i mnogi drugi.

7.4. Izoparametarska formulacija Postavljanje matrice krutosti za prethodno analizirane trougaone elemente je vrlo težak posao koji zahtijeva puno računanja. Kada neki problem koji se rješava ima mnogo elemenata onda je postavljanje matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu vrlo težak posao, pa čak za računar zahtijeva puno vremena. Izoparametarska formulacija problema može se primijeniti na dvo i trodimenzionalne probleme analize napona. Može se primjeniti i na elemente koji imaju zakrivljene stranice što je čest slučaj naročito kod livenih struktura. Livene strukture se vrlo teško mogu analizirati analitičkim metodama zbog niza radijusa i krivih stranica. Za rješavanje jednačina problema definiranih izoparametarskim elementima koristi se numerička integracija.


223

7.4.1. Matrice krutosti elementa štapa u izoparametarskoj formulaciji

Izraz "izoparametarski" koristi se jer su funkcije oblika ili interpolacione funkcije N kojim se definira geometrijski oblik iste kao i funkcija pomjeranja nad elementom. Tako npr. ako je funkcija oblika u = a1 + a2 s, funkcija pomjeranja je x = a1 + a2 s. Njima su opisane koordinate čvorova elementa štapa i fizčki oblik elementa. Za izoparametarsku formulaciju koristi se sistem prirodnih koordinata u kome je koordinata s određena geometrijom elementa, a ne orijentacijom u globalnom koordinatnom sistemu. Aksijalna koordinata s pridružena je štapu, slika 7.8 i ostaje u pravcu duž štapa bez obzira kako je štap postavljen u prostoru. Postoji veza između prirodnih i globalnih koordinata i ta veza se koristi u formulaciji jednačina.

7.4.2. Izbor tipa elementa Prirodna koordinata s je pridružena elementu sa početkom u centru elementa, slika 7.9. Osa s ne mora biti paralelna osi x, ali to je usvojena konvencija. a) b)

Slika 7.9. Element štapa sa linearnim pomjeranjem a) prirodni koordinatni sistem b) globalni koordinatni sistem

Element štapa ima 2 stepena slobode. To su pomjeranja u1 i u2, po jedno u svakom čvoru u globalnom koordinatnom sistemu i pravcu ose x. U specijalnom slučaju kada su s i x paralelne njihova veza je:

sL

xx c 2 (7.64)

gdje je xc koordinata centra elementa u globalnom koordinatnom sistemu.

2

s=-1

1

s=1 s=0 s

L

x1

1

x2

2

x u


224

Funkcije oblika koje se koriste za definiranje položaja štapa određuju se slično kao kod direktne formulacije (poglavlje 2). Počinje se od veze između prirodnih i globalnih koordinata datih izrazom: x = a1 + a2 s (7.65) gdje se s mijenja u granicama –1 s 1. Rješavanjem za a-ti član dobije se:

21 112

1xsxsx (7.66)

ili u matričnom obliku:

2

121 x

xNNx (7.67)

gdje su N1 i N2 funkcije oblika izražene kao:

2

1

2

121

sN

sN

(7.68)

Slika 7.10. Funkcije oblika u prirodnim koordinatama Ako se u (7.68) uvrsti s = -1, dobije se N1 = 1, N2 = 0 pa je x = x1. Funkcije oblika imaju iste osobine kao interpolacione funkcije. N1 predstavlja oblik kooridnate x kada se ova nacrta za element za vrijednosti x1 = 1 i x2 = 0 (slika 7.10). N2 predstavlja koordinatu x elementa nacrtanu za x2 = 1 i x1 = 0. Zbir funkcija oblika N1 + N2 = 1.

N1

1

1 -1

s

N2

1

1 -1

s


225

7.4.3. Funkcija pomjeranja Funkcije pomjeranja i funkcije oblika za izoparametarsku formulaciju su iste funkcije tj.

2

121 u

uNNu (7.69)

Kada se uvrsti odgovarajuća s koordinata čvora u funkciju N, zajedno sa pomjeranjima u čvorovima štapa u1 i u2 , dobije se funkcija pomjeranja.

7.4.4. Veze deformacije – pomjeranja i napon – deformacija

Prije dobivanja matrice k treba naći B u prirodnim koordinatama. Kao i u svim prethodnim slučajevima prvo se odredi vektor deformacija koji se dobije kao funkcija izvoda pomjeranja. U slučaju izoparametarskih elemenata izvodi funkcije "u" zavise od koordinate s pa je:

.ds

dx

dx

du

ds

du (7.70)

Izraz (7.70) može se pisati u obliku:

.

ds

dxds

du

dx

dux (7.71)

Koristeći (7.66), (7.68) može se pisati:

2

111

u

u

LLx (7.72)

pri čemu je korišteno 22

12 Lxx

ds

dx

.


226

Vektor deformacija štapa uobičajeno se piše u obliku (7.73): dB (7.73) Matrica B koja treba za računanje matrice krutosti elementa ima oblik

LLB

11 (7.74)

7.4.5. Matrica krutosti elementa Matrica krutosti elementa u svim razmatranim slučajevima bila je funkcija koordinate x

L

o

T dxABDBk (7.75)

Za izoparametarsku formulaciju mora se matrica krutosti izraziti preko koodrinate s. U literaturi je transformacija između prirodnih i Dekartovih koordinata data izrazom

L

o

dsJsfdxxf1

1

)()( (7.76)

U kome J predstavlja Jakobijan. Za element štapa Jakobijan je:

2

L

ds

dxJ (7.77)

gdje je x2 – x1 = L. Jakobijan predstavlja dužinu elementa u globalnom koordinatnom sistemu podijeljenu sa dužinom štapnog elementa datog u prirodnom koordinatnom sistemu. U opštem slučaju J je funkcija kooridnate s i zavisi od numeričkih vrijednosti koordinata čvorova. Matrica krutosti u prirodnim koordinatama je:


227

1

12dsABEB

Lk T

(7.78)

U slučaju štapa E = D i

11

11

L

AEk (7.79)

Primjer 7.1. Za izoparametarski jednodimenzionalni element na slici 7.11 sa četiri čvora odrediti: a) Funkcije oblika N1, N2, N3, N4, b) Matricu B koja povezuje pomjeranja i deformacije i vektor {}. Smatrati da je: u = a1 + a2 s + a3 s

2 + a4 s3

Slika 7.11. Jednodimenzionalni element

Funkcija pomjeranja u izoparametarskoj formulaciji je: u = a1 + a2 s + a3 s

2 + a4 s3 (7.80)

Pošto je koordinata s istog pravca kao x piše se: x = a1 + a2 s + a3 s

2 + a4 s3 (7.81)

x1 = a1 + a2 (-1) + a3 (-1)2 + a4 (-1)3 (7.82) x2 = a1 + a2 (-1/2) + a3 (-1/2)2 + a4 (-1/2)3 (7.83) x3 = a1 + a2 (1/2) + a3 (1/2)2 + a4 (1/2)3 (7.84) x4 = a1 + a2 (1) + a3 (1)2 + a4 (1)3 (7.85)

-1

1

-1/2 s

2

1

3 4

1/2


228

Iz posljednje 4 jednačine odrede se koeficijenti a1, a2, a3 i a4 (7.82)+(7.85) x1 + x4 = 2a1 + 2a3 (7.86)

2

2)84.7()83.7( 3132

aaxx (7.87)

)(3

232413 xxxxa (7.88)

(7.82)-(7.85) x1 - x4 = -2a2 - 2a4 (7.89)

2

)84.7()83.7( 4232

aaxx (7.90)

2

3)(2)90.7(2)89.7( 4

3241

axxxx

(7.91)

Kada se (7.91) uvrsti u (7.90) slijedi:

2

)(3/8)(3/1 32412

xxxxa

(7.92)

Zamjenama (7.88), (7.89), (7.91), (7.92) u (7.81)

6

)(4)(8

6

)(4

6

)(8)(

6

)(4

3411223241

324132

sxxxxs

xxxx

sxxxxxxx

(7.93)

Množenjem i sređivanjem u izrazu (7.93) dobije se:

423

323

223

123

6

1

63

2

3

2

3

2

3

4

3

2

3

4

3

2

3

4

3

2

3

4

6

1

63

2

3

2

xs

ssxsss

xsssxs

ssx

(7.94)

Pošto je vektor pomjeranja:


229

4

3

2

1

4321

x

x

x

x

NNNNx (7.95)

funkcije oblika su:

6

1

63

2

3

23

2

3

4

3

2

3

43

2

3

4

3

2

3

46

1

63

2

3

2

234

233

232

231

sssN

sssN

sssN

sssN

(7.96)

Izvod funkcije pomjeranja je vektor deformacija:

42

32

22

12

6

1

3

42

3

4

3

44

3

4

3

44

6

1

3

42

xssxss

xssxssds

dx

(7.97)

Napisano u drugom obliku:

23

4

23

8

24

6

1

23

82

3

4

3

44

6

1

3

42

23

2142

2323232

1414142

Lxxs

LsL

xxsLs

xxxxsxxs

xxxxsxxsds

dx


230

LxslsL

xsLsds

dxcc 3

2

3

82

63

82 22

2

L

ds

dx (7.98)

4

3

2

1

2222

6

1

3

42

3

4

3

44

3

4

3

44

6

1

3

42

u

u

u

u

ssssssssds

du (7.99)

dBdx

du

ds

dxds

du

ds

dux (7.100)

4

3

2

1

2222

3

1812

2

34412

2

34412

3

1812

u

u

u

u

L

ssL

ssL

ss

L

ssx

(7.101)

7.5. Ravni element pravougaonog oblika Sva procedura opisana u tački 7.3.1. može se primijeniti na pravougaoni element u ravni kako bi se dobila njegova matrica krutosti. Primjena pravougaonog konačnog elementa ima i prednosti i nedostataka u odnosu na trokutni element. Prednosti se sastoje u lakšoj interpretaciji rezultata i jednostavnijem zadavanju ulaznih podataka dok je nedostatak linearna funkcija pomjeranja koja loše aproksimira granične uslove.

7.5.1. Izbor funkcije pomjeranja Svi uglovi pravougaonog konačnog elementa su 90, čvorovi su 1, 2, 3 i 4, a stanice 2b i 2h. Obilježavanje čvorova vrši se u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, slika 7.10. Pomjeranje čvorova dato je izrazom (7.102)


231

4

4

3

3

2

2

1

1

v

u

v

u

v

u

v

u

d (7.102)

Slika 7.12. Konačni element oblika pravougaonika

Za kompatibilnost pomjeranja funkcije pomjeranja u i v moraju biti linearne duž svake stranice, jer na stranici postoje samo dva čvora. Funkcije pomjeranja mogu se pisati u linearnom obliku: u (x,y) = a1 + a2x + a3y + axxy (7.103) v (x,y) = a5 + a6x + a7y + a8xy Kada se uklone koeficijenti a1 do a8 dobije se:

4321

4321

4

1),(

4

1),(

byhxbvyhxbvyhxbvyhxbbh

yxv

uyhxbuyhxbuyhxbuyhhbbh

yxu

(7.104)

Iste funkcije pomjeranja mogu se izraziti i preko funkcija oblika i nepoznatih pomjeranja u čvorovima:

u4

u1

u3

u2

v1 v2

v4 v3

y, v

x, u

h

h

b b

1 2

4 3


232

dN (7.105) gdje su:

,

4,

4

,4

,4

43

21

bh

yhxbN

bh

yhxbN

bh

yhxbN

bh

yhxbN

(7.106)

Funkcije Ni su takve da su im vrijednosti u jednom čvoru jedan, a u svim ostalim nula. Npr. N1 = 1 u čvoru 1 dok je N1 = 0 u svim drugim čvorovima. Jednačina (7.103) može se napisati u obliku:

4

4

3

3

2

2

1

1

4321

4321

0000

0000

v

u

v

u

v

u

v

u

NNNN

NNNN

v

u (7.107)

7.5.2. Veze pomjeranje – deformacija i deformacija – napon

Deformacije su oblika:

x

v

y

uy

vx

u

xy

y

x

(7.108)

ili u obliku:


233

dB (7.109) gdje je: B

)()()()()()()()(

)(0)(0)(0)(0

0)'(0)(0)(0)/

4

1

yhxbyhxbyhxbyhxb

xbxbxbxb

yhyhyhyh

bhB

(7.110)

7.5.3. Matrica krutosti Za pravougaonik matrica krutosti

b

b

h

h

T dydxtBDBk (7.111)

je reda 8x8. Vektor sila je:

v s

TT dsNNPdVxNf (7.112)

gdje je N matrica sa 2 vrste i 8 kolona. Jednačine konačnog elementa daju se izrazom: dkf (7.113) Postupak združivanja matrica više elemenata u jednu globalnu matricu strukture je isti kao i za sve prethodno opisane slučajeve. Primjer 7.2. Pokazati da je suma N1 + N2 + N3 + N4 = 1 bilo gdje na pravougaoniku gdje su N1 i N2 dati izrazom (7.106) (Slika 7.12). Izrazi (7.106) definiraju funkcije oblika:


234

bh

yhxbN

bh

yhxbN

bh

yhxbN

bh

yhxbN

4,

4

4,

4

43

21

U centru pravougaonika je koordinatni početak pa je x = 0 i y = 0. Kada se uvrste vrijednosti u (7.106) dobije se

1;4

1,

4

1,

4

1,

4

143214321 NNNNNNNN (7.114)

U tački A 2

,2

hy

bx

116

3

16

9

16

3

16

1

16

3,

16

9

,16

3

422

,16

1

422

4321

43

21

NNNN

NN

bh

hh

bb

Nbh

hh

bb

N

(7.115)

7.5.4. Izoparametarska formulacija za ravni četverougaoni element

Osnovno obilježje izoparametarske formulacije u metodu konačnih elemenata je korištenje iste funkcije oblika i pomjeranja. Npr. neka je funkcija oblika: u = a1 + a2 s + a3 t + a4 s t (7.116) a funkcija pomjeranja: x = a1 + a2 s + a3 t + a4 s t . (7.117)


235

Prirodni koordinatni sistem s-t definiran je geometrijom elementa. Za svaki slučaj posebno, kao što je urađeno za štap, izvrši se transformacija između globalnog i lokalnog (prirodnog) koordinatnog sistema. a) b)

Slika 7.13. a) Linearni četverougaoni element u s-t koordinatnom sistemu; b) Četverougaoni element izdijeljen u x-y koordinatama čija

veličina i oblik su određeni sa 4 čvora odnosno 8 koordinate Na ravnom četverougaonom elementu može se pokazati izoparametarska formulacija. Ova formulacija može se primjeniti i na komplikovanije elemente slika 7.13.b) koji imaju i čvorove raspoređene duž stranica i kod kojih stranice mogu biti zakrivljene ili ravne. Elementi višeg reda imaju dodatne čvorove i koriste različite funkcije oblika u odnosu na linearni element. Međutim svi koraci u postupku dobivanja matrice krutosti su isti. Prvi je izbor tipa elementa. Za element na slici 7.13.a) početak prirodnog koordinatnog sistema postavljen je u središte elementa pri čemu s i t kooridnate ne moraju biti međusobno okomite niti paralelne sa osama x i y globalnog koordinatnog sistema. Orijentacija s-t koordinata je takva da su 4 čvora i stranice povezani sa +1 ili –1. Ovakav pristup ima prednosti kod numeričke integracije koja će se koristiti za dobivanje konkretnih vrijednosti. Pretpostavlja se da čvorovi imaju po dva stepena slobode u1 v1 ... u4, v4 u globalnim koordinatama. Element tada, slika 7.13.b) ima ravne stranice. Za specijalni slučaj kada se element čije su stranice krive linije poklapa tj. teži elementu čije su stranice ravne, koordinate s-t i x-y su paralelne. Veza između koordinata, slika 7.9. je: x = xc + b s, y = yc + h t (7.118)

s

1 2

4 3 1 1

1

1

t

s

t y, v

x, u

strana s=-1

4(x4,y4) 3(x3,y3)

2(x2,y2) 1(x1,y1)

strana t=1

strana t=-1

strana s=1


236

gdje su xc i yc koordinate centra elementa. Funkcije oblika (7.106) koje su korištene kod pravougaonog elementa koriste se i za kvadratni, slika 7.13.a) u izoparametarskim kooridnatama s-t i četverougaoni, slika 7.13.b) u x-y koordinatama. Veličina i oblik su određeni sa osom čvornih koordinata x1, y1 ... x4 , y4 u obliku : x = a1 + a2 s + a3 t + a4 s t (7.119) y = a5 + a6 s + a7 t + a8 s t Eliminacijom koeficijenata a1 i rješavanjem x i y u funkciji od x1, y1 ... x4, y4 dobije se:

43

21

43

21

11)1(1

)1(1114

1

1111

111)14

1

ytsyts

ytsytsy

xtsxts

xtsxtsx

(7.120)

ili u matričnom obliku:

4

4

1

1

4321

4321

0000

0000

y

x

y

x

NNNN

NNNN

y

x (7.121)

gdje su funkcije oblika linearne funkcije:

;

4

11;

4

11

;4

11;

4

11

43

21

tsN

tsN

tsN

tsN

(7.122)

Funkcije oblika mogu se vidjeti na šemi s-t koordinata u bilo kojoj tački kvadratnog elementa, slika 7.14. ili četverougaonog elementa slika 7.13.b.


237

Npr. neka su koordinate čvora 1 s = -1 i t = -1, iz (7.122) dobije se N1 = 1. Kada se te vrijednosti uvrste u jednačine (7.121) i (7.122) dobije se N2 = N3 = N4 = 0 x = x1 i y = y1 (7.123) Na sličan način mogu se postaviti koordinate drugih čvorova 2, 3 i 4 tako da se kvadratni element u s-t koordinatama mapira u četverougaoni element u globalnim koordinatama. Zbir svih funkcija oblika u svakom čvoru je N1 + N2 + N3 + N4 = 1 za sve vrijednosti s i t. Fizičko značenje i prikazivanje funkcija Ni koje variraju nad elementom u prirodnim koordinatama dato je na slici 7.14.

Slika 7.14. Funkcije oblika linearnog kvadratnog elementa

s 1

1

2

3 4 1

1

1 1

t N1

1

1

2

3 4 1

1

1 1

s

t

N3

1

1

2

3 4 1

1

1 1

s

t

N4

1

1

2

3 4

1

1

1 1

t N2


238

7.5.5. Izbor funkcija pomjeranja Funkcije pomjeranja unutar elementa su

4

4

1

1

4321

4321

0000

0000

v

u

v

u

NNNN

NNNN

v

u (7.124)

gdje su u i v pomjeranja u pravcu x i y koordinata.

7.5.6. Veza deformacija – pomjeranje i napon - deformacija

Prije postavljanja matrice krutosti k treba odrediti matricu B, kada se u njoj javljaju s i t koordinate. Korištenje s i t koordinata je lakše nego x i y, jer interpolacione funkcije su znatno jednostavnije. Računanje određenih integrala po elementu svodi se na jednostavan analitički oblik. Pomjeranje je također funkcija s i t koordinata kao i deformacije. Prethodno treba naći parcijalne izvode funkcije f po x i y gdje je f funkcija pomjeranja (u ili v):

t

y

y

f

t

x

x

f

t

f

s

y

y

f

s

x

x

f

s

f

(7.125)

Svi parcijalni izvodi po s i t su poznati a traži se .y

fi

x

f


239

t

ys

y

t

xs

x

t

fs

f

t

xs

x

y

f

t

ys

y

t

xs

x

t

ys

y

t

fs

f

x

f

(7.126)

Nazivnici izraza (7.126) predstavljaju determinante matrice Jakobijana:

t

y

t

xs

y

s

x

J (7.127)

Vektor deformacija je:

v

u

xy

y

s

xy

y

x

)()(

)(0

0)(

(7.128)

gdje su:

y

ix

)()(

- parcijalni izvodi bilo koje varijable stavljene u

zagradu i iznose:

st

x

ts

x

Jy

ts

y

st

y

Jx

)()(1)(

)()(1)(

(7.129)

gdje je J determinanta matrice J, izražena preko prirodnih koordinata:


240

v

u

ts

y

st

y

st

x

ts

xst

x

ts

xts

y

st

y

Jxy

y

x

)()()()(

)()(0

0)()(

1

(7.130)

Vektor deformacija može se izraziti preko funkcija oblika: dND ' (7.131)

gdje je D' matrica oblika data u izrazu (7.130) i predstavlja sve napisano ispred vektora pomjeranja. Matrica B potrebna za definisanje matrice krutosti je: B = D' N (7.132)

7.5.7. Matrica krutosti Za izoparametarsku formualciju matrica krutosti iz oblika (7.133)

A

T dydxtBDBk (7.133)

treba da se prevede u prirodne koordinate. U opštem slučaju prelazak sa Dekartovih u prirodne koordinate vrši se prema izrazu:

)(

),(,AA

dtdsJtsfdydxyxf (7.134)

Primjenjujući izraz (7.134) na matricu krutosti dobije se:

1

1

1

1

dtdsJtBDBk T (7.135)


241

Determinanta J je polinom od s i t.

Pravljenjem izvoda izraza (7.120) prema izrazu (7.127) dobije se:

cTc y

ttss

ttsts

tsst

sstt

xJ

011

10

101

110

8

1 (7.136)

gdje je: 4321 xxxxx Tc , a

4

3

2

1

y

y

y

y

yc (7.137)

Matrica B dobije se u obliku:

4321

1BBBB

JB , (7.138)

nakon što su u izraz (7.132) izvršene zamjene matrica D' i N. Submatrice matrice B se daju u obliku:

)()()()(

)()(0

0)()(

,,,,

,,

,,

tisisiti

siti

tisi

i

NbNaNdNc

NdNc

NbNa

B (7.139)

Koeficijenti a, b, c, d su:


242

)1()1()1()1(4

1

)1()1()1()1(4

1

)1()1()1()1(4

1

)1()1()1()1(4

1

4321

4321

4321

4321

sxsxsxsxd

txtxtxtxc

tytytytyb

sysysysya

(7.140)

Koristeći funkcije oblika (7.122) dobije se:

14

1

14

1

,1

,1

sN

tN

t

s

(7.141)

Matrica B je funkcija s i t. Matrica J i (7.137) su funkcije globalnih

koordinata od x1 do y4 . Postupak računanja J i B je složen i matrica

krutosti k za element određuje se metodom numeričke integracije. Nakon određivanja matrice krutosti nađu se sile od težine tijela po izrazu:

dtdsJtxNf Tb

1

1

1

1

(7.142)

Površinske sile obuhvaćene su vektorom:

dsL

tTNf Ts 2

1

1

(7.143)

računaju se po cijeloj dužini L duž ivica t = 1, slika 7.13.b. Površinske sile mogu se pisati i u obliku:


243

dsL

tp

p

NN

NN

f

f

f

f

t

s

T

ts

ss

ts

ss

200

001

1 43

43

4

4

3

3

(7.144)

Kada nema čvornih sila u čvorovima 1 i 2, N1 = 0 i N2 = 0 duž stranice t = 1.

7.6. Funkcije oblika višeg reda U opštem slučaju funkcije višeg reda se koriste kada se na sredini stranica doda čvor. Ovi elementi tada imaju viši red unutar svakog elementa, a konvergencija ka tačnom rješenju je brža. Druga prednost korištenja elemenata višeg reda ogleda se u činjenici da se zakrivljene stranice elemenata koje čine nepravilne oblike mogu jednostavno i tačno aproksimirati korištenjem linearnih elemenata sa ravnim stranicama. Koncept elemenata višeg reda može se ilustrirati na četverougaonom elementu sa četiri čvora u vrhovima i četiri na sredinama stranica, slika 7.15.

Slika 7.15. Četverougaoni izoparametarski element (kvadratni element)

strana s=-1

s

t y

x

4(-1,1) strana t=1

strana t=-1

strana s=1

8(-1,0)

7(0,1) 3(1,1)

6(1,0)

2(1,-1)

5(0,-1)

1(-1,-1)


244

Funkcije oblika četverougaonog elementa se zasnivaju na kubnom polinomu. Koordinate x i y su:

x = a1+ a2 s + a3 t + a4 s t + a5 s2 + a6 t

2 + a7 s2 t + a8 s t2

(7.145) y = a9 + a10 s + a11 t + a12 s t + a13 s

2 + a14 t2 + a15 s

2 t + a16 s t2

Ukupan broj stepeni slobode je 16. Za svaki čvor postoje po 2 stepena upravo onoliko koliko je koeficijenata ai . Funkcije oblika za čvorove u vrhovima 1, 2, 3, 4 i na sredinama stranica 5, 6, 7, 8 su različite. Za čvorove 1, 2, 3, 4 funkcije oblika su:

1114

1 iiiii ttssttssN

gdje su: si = -1, 1, 1, -1 za i = 1, 2, 3, 4 (7.146) ti = -1, -1, 1, 1 za i = 1, 2, 3, 4 kako je naznačeno na slici 7.15. Za čvorove 5, 6 funkcije oblika su:

8,61,1112

1

7,51,1112

1

2

2

izastssN

izatttsN

iii

iii

(7.147)

I u ovom slučaju važi da je Ni = 1 u čvoru i, a u svim drugim čvorovima Ni = 0. Nakon funkcija oblika odredi se funkcija pomjeranja:

8

1

1

87654321

87654321

00000000

00000000

v

v

u

NNNNNNNN

NNNNNNNN

v

u

(7.148)

i matrica deformacija:


245

NDB

dND

'

'

(7.149)

Postupak je dalje isti kao i kod funkcija nižeg reda. Element sa kubnom funkcijom pomjeranja ima četiri čvora u vrhovima četeverougla i po dva dodatna na svakoj stranici raspoređena na trećini i dvije trećine dužine stranice, slika 7.16.

Slika 7.16. Kubni izoparametarski element Ukupan broj pomjeranja za 12 čvorova iznosi 24 što je jednako broju koeficijenata ai u funkcijama pomjeranja. Funkcija pomjeranja u x pravcu je: x = a1 + a2 s + a3 t + a4 s

2 + a5 s t + a6 t2 + a7 s

2 t + (7.150) + a8 s t2 + a9 s

3 + a10 t3 + a11 s

3 t + a12 s t3

Analogan izraz može se napisati za funkciju pomjeranja u y pravcu sa još 12 koeficijenata a1 .

1 5 6

2

7

8

3 9 10

4

13

12

t

s


246

Primjer 7.3. Na četverougao duž njegove stranice 3-4 djeluje pritisak pt = p i ps = 0, slika 7.17. Odredi sile u čvorovima ako je t = 1

Slika 7.17. Četverougao Prema izrazima (7.143) i (7.144) površinske sile

dsL

tTNfT

s 2

1

1

(7.151)

za t = 1

dsL

tp

p

NN

NN

f

f

f

f

t

s

T

ts

ss

ts

ss

200

001

1 43

43

4

4

3

3

(7.152)

x

y 3(5,5)

2(5,2) 1(3,2)

4(3,4)


247

Slika 7.18. Djelovanje površinskih sila na četverougao Za ps = 0 pt = p

dsL

t

N

Nf

p

ps 20

01

1

4

3

(7.153)

dsL

t

pts

pts

f s 2

4

)1()1(04

)1()1(0

1

1

(7.154)

1

1

2

2

242

42

0

tLpsps

psps

fs (7.155)

1

st

3

2

4


248

2

02

0

4

4

3

3

tLpf

f

tLpf

f

ts

ss

ts

ss

(7.156)

Documents

VRSTE ELEMENATA ZA RJEŠAVANJE RAVNIH PROBLEMA 7.pdfPaskalov trougao Stepen polinoma Broj čvorova trougla Slika 7.2. Veza između vrste ravnog trokutnog elementa i reda polinoma Funkcija