Elvira Đorđević 459/13

Visina i ortocentar trougla

DEFINICIJA: Visina trougla je prava koja sadrži jedno teme trougla i koja zaklapa prav ugao sa suprotnom stranicom trougla.

DEFINICIJA: Ortocentar se nalazi u preseku visina trougla.

Ortocentar u različitim trouglama

U oštrouglom trouglu ortocentar je unutar trougla, a u tupougli trougao ortocentar će biti u spoljašnjoj oblasti trougla.

Oštrougli trougao Tupougli trougao

Elvira Đorđević 459/13

Teme pravog ugla pravouglog trougla je ujedno i ortocentar tog trougla. U jednakostraničnom trouglu ortocentar, centar opisane kružnice, centar upisane kružnice i težište se poklapaju.

Jednakostranični trougao Pravougli trougao

TEOREMA: U svakom trouglu visine se seku u jednoj tački.

DOKAZ:

p – prava kroz C paralelna sa p(A , B)

q – prava kroz A paralelna sa p(B ,C)

r – prava kroz B paralelna sa p(A ,C)

r ∩ p= {A ' }

p∩q={B' }q∩ r={C ' }

Posmatrajmo trouglove ∆ ABC i ∆CB ' A :

AC ≅CA

¿ BAC≅<B' CA (što su transverzalni uglovi)

¿ BCA≅<B ' AC (što su transverzalni uglovi)

⇒ ∆ ABC ≅∆C B' A

Elvira Đorđević 459/13

Analogno, ∆ ABC ≅∆ BAC ' i ∆ ABC ≅∆ A ' CB.

Neka je C1 tačka na stranici AB tako da duž CC1 bude visina iz temena C.

Tada p (C ,C1 )⊥ p (A ,B), pa p (C ,C1 )⊥ p (A ' ,B '). Znamo, da je C središte duži A ' B' . Sledi da je p (C ,C1 ) simetrala duži A ' B' .

Elvira Đorđević 459/13

Analogno i p (A , A1 ) i p (B ,B1 ) su simetrale, i znamo, da se simetrale duži seku u jednoj tački, pa prave p (A , A1 ), p (B ,B1 ) i p (C ,C1 ) se sve seku u jednoj tački.

Kako da konstruišemo ortocentar

Konstruišemo proizvoljan trougao ∆ ABC. Produžimo stranicu AB i tako dobijamo pravu AB.

Šestarom crtamo kružni luk čiji je centar u tački C, a koja seče pravu AB u tačkama M i N .

Uzimamo pomoćnu duž, koja je duža od polovine duži MN .

Elvira Đorđević 459/13

Konstruišemo kružnice čiji je centar u tačkama M i N , a poluprečnik je jednak dužini te pomoćne duži. Te kružnice se seku.

Preko presečnih tačaka kružnica povučemo pravu, koja je u stvari visina trougla hc.

Istu konstrukciju ponovimo i za stranu BC i za stranu AC.

U preseku tako dobijenih visina se nalazi ortocentar H .

Elvira Đorđević 459/13