Deskriptivna teorija sloˇzenosti: Veriﬁkacija modelamabotinc/downloads/seminar_MagistarskiRad.pdf · Deskriptivna teorija sloˇzenosti Veriﬁkacija modela 1 Deskriptivna teorija

Deskriptivna teorija slozenostiVerifikacija modela

Deskriptivna teorija slozenosti:Verifikacija modela

Matko [email protected]

PMF – Matematicki odjel

15. lipnja 2005.

Matko Botincan Deskriptivna teorija slozenosti: Verifikacija modela


1 Deskriptivna teorija slozenostiHvatanje klasa slozenostiLogike fiksne tocke

2 Verifikacija modelaBeskonacne igreVerifikacija modela pomocu igara



Hvatanje klasa slozenostiLogike fiksne tocke

Motivacija

Deskriptivna teorija slozenosti

Teorija konacnih modela

Uspostava veze izmedu racunske slozenosti i logickedefinabilnosti

Verifikacija modela

Fundamentalni problem u logici

Fundamentalni problem u teorijskom racunarstvu

Fundamentalni problem u “prakticnom” racunarstvu

Veza prema teoriji beskonacnih automata i teoriji beskonacnihigara




Motivacija




Verifikacija modela








Motivacija




Verifikacija modela








Motivacija




Verifikacija modela








Motivacija




Verifikacija modela








Motivacija




Verifikacija modela








Motivacija




Verifikacija modela








Motivacija




Verifikacija modela








Motivacija




Verifikacija modela








Osnovni problemi u logici

Problem ispunjivosti

Za recenicu ψ ∈ L potrebno je odrediti postoji li struktura A ∈ Dtakva da vrijedi A ψ.

Primjeri:SAT → NPtime-potpunQSAT → Pspace-potpunproblem konacne ispunjivosti za FO[τ ] → neodluciv

Problem verifikacije modela

Za recenicu ψ ∈ L i strukturu A ∈ D potrebno je odrediti vrijedi liA ψ.
















Primjeri:

SAT → NPtime-potpunQSAT → Pspace-potpunproblem konacne ispunjivosti za FO[τ ] → neodluciv









Primjeri:SAT → NPtime-potpun

QSAT → Pspace-potpunproblem konacne ispunjivosti za FO[τ ] → neodluciv









Primjeri:SAT → NPtime-potpunQSAT → Pspace-potpun

problem konacne ispunjivosti za FO[τ ] → neodluciv
























Hvatanje klasa slozenosti

Sto znaci da logika L hvata klasu slozenosti C na domeni konacnihstruktura D?

Hvatanje klase slozenosti

1 Za svaku signaturu τ i svaku recenicu ψ ∈ L[τ ] problemverifikacije modela za ψ na D[τ ] nalazi se u klasi slozenosti C.

2 Za svaku klasu struktura K ⊆ D[τ ] koja se nalazi u klasislozenosti C postoji recenica ψ ∈ L[τ ] takva da jeK = A ∈ D[τ ] | A ψ.




































Osnovni rezultati o hvatanju klasa slozenosti

Na domeni svih konacnih struktura:

Σ11 hvata NPtime

Π11 hvata co-NPtime

SO hvata PH

Na domeni uredenih konacnih struktura:

SO-HORN, Σ11-HORN, LFP i IFP hvataju Ptime

PFP hvata Pspace

SO-KROM, Σ11-KROM, Σ1

1-KROM-HORN i TC hvatajuNLOGspace

DTC hvata LOGspace






Σ11 hvata NPtime


SO hvata PH



PFP hvata Pspace



DTC hvata LOGspace






Σ11 hvata NPtime


SO hvata PH



PFP hvata Pspace



DTC hvata LOGspace






Σ11 hvata NPtime


SO hvata PH



PFP hvata Pspace



DTC hvata LOGspace






Σ11 hvata NPtime


SO hvata PH



PFP hvata Pspace



DTC hvata LOGspace






Σ11 hvata NPtime


SO hvata PH



PFP hvata Pspace



DTC hvata LOGspace






Σ11 hvata NPtime


SO hvata PH



PFP hvata Pspace



DTC hvata LOGspace






Σ11 hvata NPtime


SO hvata PH



PFP hvata Pspace



DTC hvata LOGspace






Σ11 hvata NPtime


SO hvata PH



PFP hvata Pspace



DTC hvata LOGspace






Σ11 hvata NPtime


SO hvata PH



PFP hvata Pspace



DTC hvata LOGspace




Relacijski operatori

Formula ψ(R, x) za svaku strukturu A definira relacijski operatorFψ : P(|A|k) → P(|A|k):

Fψ : R 7→ a : (A,R) ψ[R, a]

Fiksna tocka od Fψ:relacija R za koju je Fψ(R) = R.

Razliciti nacini konstrukcije fiksne tocke od Fψ→ razne varijante logike fiksne tocke.






Fψ : R 7→ a : (A,R) ψ[R, a]








Fψ : R 7→ a : (A,R) ψ[R, a]








Fψ : R 7→ a : (A,R) ψ[R, a]








Fψ : R 7→ a : (A,R) ψ[R, a]






Najmanje i najvece fiksne tocke

Teorem (Knaster,Tarski)

Neka je F : P(A) → P(A) monotona funkcija. Tada postojelfp(F ) i gfp(F ), te su dane s:

lfp(F ) =⋂

X ∈ P(A) | F (X ) ⊆ X ,

gfp(F ) =⋃

X ∈ P(A) | X ⊆ F (X ) .

Induktivna konstrukcija najmanje fiksne tocke

X 0 := ∅,Xα+1 := F (Xα),

Xλ :=⋃α<λ

Xα, za granicni ordinal λ.







lfp(F ) =⋂

X ∈ P(A) | F (X ) ⊆ X ,

gfp(F ) =⋃

X ∈ P(A) | X ⊆ F (X ) .


X 0 := ∅,Xα+1 := F (Xα),

Xλ :=⋃α<λ








lfp(F ) =⋂

X ∈ P(A) | F (X ) ⊆ X ,

gfp(F ) =⋃

X ∈ P(A) | X ⊆ F (X ) .


X 0 := ∅,Xα+1 := F (Xα),

Xλ :=⋃α<λ








lfp(F ) =⋂

X ∈ P(A) | F (X ) ⊆ X ,

gfp(F ) =⋃

X ∈ P(A) | X ⊆ F (X ) .


X 0 := ∅,Xα+1 := F (Xα),

Xλ :=⋃α<λ








lfp(F ) =⋂

X ∈ P(A) | F (X ) ⊆ X ,

gfp(F ) =⋃

X ∈ P(A) | X ⊆ F (X ) .


X 0 := ∅,Xα+1 := F (Xα),

Xλ :=⋃α<λ





Inflatorne fiksne tocke

Inflatorna fiksna tocka funkcije F : P(A) → P(A) je fiksna tockaX∞ funkcije X 7→ X ∪ F (X ) dobivena induktivnom konstrukcijom:

ifp(F ) = X∞

Induktivna konstrukcija inflatorne fiksne tocke

X 0 := A,

Xα+1 := Xα ∪ F (Xα),

Xλ :=⋂α<λ







ifp(F ) = X∞


X 0 := A,

Xα+1 := Xα ∪ F (Xα),

Xλ :=⋂α<λ







ifp(F ) = X∞


X 0 := A,

Xα+1 := Xα ∪ F (Xα),

Xλ :=⋂α<λ







ifp(F ) = X∞


X 0 := A,

Xα+1 := Xα ∪ F (Xα),

Xλ :=⋂α<λ





Parcijalne fiksne tocke

Neka je A konacan. Svaka funkcija F : P(A) → P(A) odredujeinduktivno definiran niz:

X 0 := ∅, Xα+1 := F (Xα)

Dvije mogucnosti:

Niz dostize fiksnu tocku X∞, tj. postoji α < 2card(A) t.d.Xα = Xα+1

Elementi niza se ciklicki ponavljaju

Parcijalna fiksna tocka

pfp(F ) :=

X∞, ako niz (Xα)α dostize fiksnu tocku,∅, inace.






X 0 := ∅, Xα+1 := F (Xα)

Dvije mogucnosti:




pfp(F ) :=







X 0 := ∅, Xα+1 := F (Xα)

Dvije mogucnosti:




pfp(F ) :=







X 0 := ∅, Xα+1 := F (Xα)

Dvije mogucnosti:




pfp(F ) :=







X 0 := ∅, Xα+1 := F (Xα)

Dvije mogucnosti:




pfp(F ) :=







X 0 := ∅, Xα+1 := F (Xα)

Dvije mogucnosti:




pfp(F ) :=







X 0 := ∅, Xα+1 := F (Xα)

Dvije mogucnosti:




pfp(F ) :=







X 0 := ∅, Xα+1 := F (Xα)

Dvije mogucnosti:




pfp(F ) :=





Sintaksa i semantika logika fiksne tocke

Sintaksa

Iz formule ϕ(R, x) sa slobodnim varijablama prvog redax = x1 . . . xk i relacijskom varijablom R arnosti k, te k-torketerama t mozemo formirati formulu fiksne tocke:

[fpRx . ϕ(R, x)](t)

Semantika

A [lfpRx . ϕ(R, x)][a] ako i samo ako a ∈ lfp(Fϕ)

A [ifpRx . ϕ(R, x)][a] ako i samo ako a ∈ ifp(Fϕ)

A [pfpRx . ϕ(R, x)][a] ako i samo ako a ∈ pfp(Fϕ)





Sintaksa



Semantika








Sintaksa



Semantika








Sintaksa



Semantika








Sintaksa



Semantika








Sintaksa



Semantika








Sintaksa



Semantika







Najmanje fiksne tocke

LFP logika

LFP = FO + lfp

µ-calculus

Lµ = ML + lfp

Teorem (Immerman, Vardi)

Na uredenim konacnim strukturama LFP hvata Ptime.





LFP logika

LFP = FO + lfp

µ-calculus

Lµ = ML + lfp







LFP logika

LFP = FO + lfp

µ-calculus

Lµ = ML + lfp







LFP logika

LFP = FO + lfp

µ-calculus

Lµ = ML + lfp







IFP logika

IFP = FO + ifp

MIC (Modal Iteration Calculus)

MIC = ML + ifp


Na uredenim konacnim strukturama IFP hvata Ptime.

Teorem (Gurevich-Shelah, Kreutzer)

LFP = IFP





IFP logika

IFP = FO + ifp


MIC = ML + ifp




LFP = IFP





IFP logika

IFP = FO + ifp


MIC = ML + ifp




LFP = IFP





IFP logika

IFP = FO + ifp


MIC = ML + ifp




LFP = IFP





IFP logika

IFP = FO + ifp


MIC = ML + ifp




LFP = IFP





PFP logika

PFP = FO + pfp

Teorem (Abiteboul-Vianu, Vardi)

Na uredenim konacnim strukturama PFP hvata Pspace.





PFP logika

PFP = FO + pfp







PFP logika

PFP = FO + pfp





Beskonacne igreVerifikacija modela pomocu igara

Verifikacija modela


Ulaz: struktura A i recenica ψ ∈ LIzlaz: A ψ?

Verifikacija modela pomocu igara

Reducirati problem verifikacije modela A ψ na problem nalazenjapobjednika u igri za verifikaciju modela G(A, ψ):

A ψakko

Igrac 0 (Verifikator) ima pobjednicku strategiju u igri G(A, ψ)




Verifikacija modela





A ψakko





Verifikacija modela


Ulaz: struktura A i recenica ψ ∈ L

Izlaz: A ψ?



A ψakko





Verifikacija modela





A ψakko





Verifikacija modela





A ψakko





Verifikacija modela





A ψakko





Verifikacija modela





A ψ

akkoIgrac 0 (Verifikator) ima pobjednicku strategiju u igri G(A, ψ)




Verifikacija modela





A ψakko





Verifikacija modela





A ψakko





Beskonacne igre

Igra G = (V0,V1,E ,Ω)

Arena za igru:V0 – skup vrhova igraca 0V1 – skup vrhova igraca 1E ⊆ V × V

Pobjednicki skup:Ω ⊆ V ω

Osnovna pitanja

1 Da li je igra determinirana, te imaju li igraci 0 i 1 pobjednickestrategije?

2 Da li je pobjednicke strategije moguce efektivno konstruirati?

3 Kolika je racunska slozenost pripadnih algoritama?




Beskonacne igre




Osnovna pitanja







Beskonacne igre


Arena za igru:

V0 – skup vrhova igraca 0V1 – skup vrhova igraca 1E ⊆ V × V


Osnovna pitanja







Beskonacne igre


Arena za igru:V0 – skup vrhova igraca 0

V1 – skup vrhova igraca 1E ⊆ V × V


Osnovna pitanja







Beskonacne igre


Arena za igru:V0 – skup vrhova igraca 0V1 – skup vrhova igraca 1

E ⊆ V × VPobjednicki skup:

Ω ⊆ V ω

Osnovna pitanja







Beskonacne igre




Osnovna pitanja







Beskonacne igre



Pobjednicki skup:

Ω ⊆ V ω

Osnovna pitanja







Beskonacne igre




Osnovna pitanja







Beskonacne igre




Osnovna pitanja







Beskonacne igre




Osnovna pitanja







Beskonacne igre




Osnovna pitanja







Beskonacne igre




Osnovna pitanja







Beskonacne igre

Primjeri beskonacnih igara

Igra dostizivosti G = (V0,V1,E ,X ), X ⊆ V→ Igrac 0 pobjeduje ukoliko tijek igre obide vrh iz skupa X

Igra parnosti G = (V0,V1,E , χ), χ : V → C ⊆fin N→ Igrac 0 pobjeduje ukoliko je najmanji prioritet koji je obidenbeskonacno puta paran:

min p ∈ C | ∀i ∃j > i χ(vj) = p je paran.




Beskonacne igre








Beskonacne igre


Igra dostizivosti G = (V0,V1,E ,X ), X ⊆ V

→ Igrac 0 pobjeduje ukoliko tijek igre obide vrh iz skupa X






Beskonacne igre








Beskonacne igre



Igra parnosti G = (V0,V1,E , χ), χ : V → C ⊆fin N

→ Igrac 0 pobjeduje ukoliko je najmanji prioritet koji je obidenbeskonacno puta paran:





Beskonacne igre








Beskonacne igre








Primjer igre parnosti

Primjeri tijekova igre:

π = v3v4(v5v6)ω

→ χ(π) = 10(01)ω

π′ = v0v7(v0v1v2v3)ω

→ χ(π′) = 12(1121)ω






π = v3v4(v5v6)ω

→ χ(π) = 10(01)ω


→ χ(π′) = 12(1121)ω






π = v3v4(v5v6)ω

→ χ(π) = 10(01)ω


→ χ(π′) = 12(1121)ω






π = v3v4(v5v6)ω

→ χ(π) = 10(01)ω


→ χ(π′) = 12(1121)ω






π = v3v4(v5v6)ω

→ χ(π) = 10(01)ω


→ χ(π′) = 12(1121)ω




Rezultati o determiniranosti

Teorem

Svaka igra dostizivosti G = (V0,V1,E ,X ) je pozicionalnodeterminirana.

Teorem

Svaka igra parnosti G = (V0,V1,E , χ) je pozicionalnodeterminirana.

Teorem (Martin)

Ako je skup Ω Borelov tada je igra G = (V0,V1,E ,Ω)determinirana.





Teorem


Teorem


Teorem (Martin)






Teorem


Teorem


Teorem (Martin)






Teorem


Teorem


Teorem (Martin)





Verifikacija modela za logiku prvog reda

Pozicije u igri G(A, ψ[a])

Izrazi oblika ϕ[b], gdje je ϕ potformula od ψ, b ∈ |A|

Potezi Verifikatora

(ϕ ∨ ϑ)[b] → ϕ[b] ili ϑ[b];

∃yϕ(x , y)[b] → ϕ[b, c] za bilo koji c ∈ A;

ϕ[b] (ϕ atomarna) su terminalne pozicije akko A 2 ϕ[b].

Potezi Falsifikatora

(ϕ ∧ ϑ)[b] → ϕ[b] ili ϑ[b];

∀yϕ(x , y)[b] → ϕ[b, c] za bilo koji c ∈ A;

ϕ[b] (ϕ atomarna) su terminalne pozicije akko A ϕ[b].







Potezi Verifikatora

(ϕ ∨ ϑ)[b] → ϕ[b] ili ϑ[b];




(ϕ ∧ ϑ)[b] → ϕ[b] ili ϑ[b];









Potezi Verifikatora

(ϕ ∨ ϑ)[b] → ϕ[b] ili ϑ[b];




(ϕ ∧ ϑ)[b] → ϕ[b] ili ϑ[b];









Potezi Verifikatora

(ϕ ∨ ϑ)[b] → ϕ[b] ili ϑ[b];




(ϕ ∧ ϑ)[b] → ϕ[b] ili ϑ[b];









Potezi Verifikatora

(ϕ ∨ ϑ)[b] → ϕ[b] ili ϑ[b];




(ϕ ∧ ϑ)[b] → ϕ[b] ili ϑ[b];









Potezi Verifikatora

(ϕ ∨ ϑ)[b] → ϕ[b] ili ϑ[b];




(ϕ ∧ ϑ)[b] → ϕ[b] ili ϑ[b];









Potezi Verifikatora

(ϕ ∨ ϑ)[b] → ϕ[b] ili ϑ[b];




(ϕ ∧ ϑ)[b] → ϕ[b] ili ϑ[b];









Potezi Verifikatora

(ϕ ∨ ϑ)[b] → ϕ[b] ili ϑ[b];




(ϕ ∧ ϑ)[b] → ϕ[b] ili ϑ[b];









Potezi Verifikatora

(ϕ ∨ ϑ)[b] → ϕ[b] ili ϑ[b];




(ϕ ∧ ϑ)[b] → ϕ[b] ili ϑ[b];









Potezi Verifikatora

(ϕ ∨ ϑ)[b] → ϕ[b] ili ϑ[b];




(ϕ ∧ ϑ)[b] → ϕ[b] ili ϑ[b];














Verifikacija modela za LFP logiku

Potezi Verifikatora

(ϕ ∨ ϑ)[b] → ϕ[b] ili ϑ[b];




(ϕ ∧ ϑ)[b] → ϕ[b] ili ϑ[b];


ϕ[b] (ϕ atomarna) su terminalne pozicije akko A ϕ[b];

[fpTx . ϕ(T , x)][b] → ϕ(T , x)[b];

Tc (T varijabla fiksne tocke) → ϕ(T , x)[c].





Potezi Verifikatora

(ϕ ∨ ϑ)[b] → ϕ[b] ili ϑ[b];




(ϕ ∧ ϑ)[b] → ϕ[b] ili ϑ[b];



[fpTx . ϕ(T , x)][b] → ϕ(T , x)[b];






Potezi Verifikatora

(ϕ ∨ ϑ)[b] → ϕ[b] ili ϑ[b];




(ϕ ∧ ϑ)[b] → ϕ[b] ili ϑ[b];



[fpTx . ϕ(T , x)][b] → ϕ(T , x)[b];






Potezi Verifikatora

(ϕ ∨ ϑ)[b] → ϕ[b] ili ϑ[b];




(ϕ ∧ ϑ)[b] → ϕ[b] ili ϑ[b];



[fpTx . ϕ(T , x)][b] → ϕ(T , x)[b];






Potezi Verifikatora

(ϕ ∨ ϑ)[b] → ϕ[b] ili ϑ[b];




(ϕ ∧ ϑ)[b] → ϕ[b] ili ϑ[b];



[fpTx . ϕ(T , x)][b] → ϕ(T , x)[b];














Teorem

Neka je:ψ(x) formula logike FO, LFP ili IFP,A dana struktura,a ∈ |A|.

Tada:Verifikator ima pobjednicku strategiju u igri G(A, ψ[a])ako i samo ako A ψ[a].





Teorem







Teorem

Neka je:

ψ(x) formula logike FO, LFP ili IFP,A dana struktura,a ∈ |A|.






Teorem

Neka je:ψ(x) formula logike FO, LFP ili IFP,

A dana struktura,a ∈ |A|.






Teorem

Neka je:ψ(x) formula logike FO, LFP ili IFP,A dana struktura,

a ∈ |A|.






Teorem







Teorem


Tada:

Verifikator ima pobjednicku strategiju u igri G(A, ψ[a])ako i samo ako A ψ[a].





Teorem


Tada:Verifikator ima pobjednicku strategiju u igri G(A, ψ[a])

ako i samo ako A ψ[a].





Teorem


Tada:Verifikator ima pobjednicku strategiju u igri G(A, ψ[a])ako i samo ako

A ψ[a].





Teorem






Daljnji rad

Aktualno

Igre parnosti na grafovima omedenog ispreplitanjaD. Berwanger and E. Gradel. Entanglement -- AMeasure for the Complexity of Directed GraphsWith Applications to Logic and Games.LPAR 2004.

Verifikacija modela za IFP logiku pomocu igara s povratomA. Dawar and S. Kreutzer and E. Gradel.Backtracking Games and Inflationary Fixed Points.ICALP 2004.

Verifikacija modela na automatskim strukturama.




Daljnji rad

Aktualno







Daljnji rad

Aktualno

Igre parnosti na grafovima omedenog ispreplitanja

D. Berwanger and E. Gradel. Entanglement -- AMeasure for the Complexity of Directed GraphsWith Applications to Logic and Games.LPAR 2004.






Daljnji rad

Aktualno







Daljnji rad

Aktualno


Verifikacija modela za IFP logiku pomocu igara s povratom

A. Dawar and S. Kreutzer and E. Gradel.Backtracking Games and Inflationary Fixed Points.ICALP 2004.





Daljnji rad

Aktualno







Daljnji rad

Aktualno







Daljnji rad

Otvoreni problemi

Algoritmi za rjesavanje igara s povratom. Postoje li efikasnorjesivi fragmenti?

Igre za verifikaciju modela za PFP logiku?

PFP na beskonacnim strukturama?

Logicka svojstva MIC-a?

On-the-fly algoritmi za verifikaciju modela za LFP i IFP?

Igre parnosti (beskonacne igre) u model-based testiranju(testiranje fairness, liveness svojstva)?




Daljnji rad

Otvoreni problemi










Daljnji rad

Otvoreni problemi










Daljnji rad

Otvoreni problemi










Daljnji rad

Otvoreni problemi










Daljnji rad

Otvoreni problemi










Daljnji rad

Otvoreni problemi










Daljnji rad

Otvoreni problemi








Deskriptivna teorija sloˇzenosti: Veriﬁkacija modelamabotinc/downloads/seminar_MagistarskiRad.pdf · Deskriptivna teorija sloˇzenosti Veriﬁkacija modela 1 Deskriptivna teorija

Text of Deskriptivna teorija sloˇzenosti: Veriﬁkacija...

SEMINAR 8 DESKRIPTIVNA ANALIZA PROMJENAkm.com.hr/wp-content/uploads/2018/04/8.-Deskriptivna-analiza-promjena.pdf · PROMJENA Deskriptivna analiza grupnih promjena Ako je korelacija

Deskriptivna analiza

Teorija vzorčenja Teorija vzorčenja Teorija vzorčenja Verjetnostne

Exercises 1 deskriptivna gramatika

DESINATURA TKANINA DESKRIPTIVNA GEOMETRIJAtehnika.lzmk.hr/tehnickaenciklopedija/deskriptivna_geometrija.pdf · DESKRIPTIVNA GEOMETRIJA (nacrtna geometrija), nauka koja pomoću slika

I:Documents and SettingsdbaschDesktopMISRpredavanja 1 ... · P Teorija redova je analiti ka metoda koja daje op enita i egzaktna rješenja modela P Teorija redova razvijena je samo

Teorija Konstrukcija - Teorija Stapa

Metode merenja i obrade podataka - Deskriptivna statistika

Teorija sekuritizacije i teorija rutinskih aktivnosti

osnovni element svakog matematičkog modela procesa · PDF file(Whitmanova) Teorija dva filma B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Konstitutivne veze - u stanju ravnoteže

POLOŽAJ MAĐARSKE NACIONALNE MANJINE U VOJVODINI ... · na dva rivalska modela o nastanku i osobenostima nacija5, s obzirom na ograničenja postojećih teorija nacionalizma i etničkih

Deskriptivna statistička analiza - ef.uns.ac.rs · PDF file1 Deskriptivna statistička analiza Predavač: Dr Mirko Savić [email protected] Deskriptivna statistička analiza

MODELA GASIFICACIÓN

Doc. dr. sc. Jelena Lončar Faktori lokacije industrije i ... · Osnove i teorija policentričnog razvoja Neke specifičnosti prostornih modela - Polovi razvoja Osovine razvoja Prostorno

NORMATIVNA I DESKRIPTIVNA TEORIJA DONOŠENJA ODLUKA U ... · u uslovima rizika (poznate su vam verovatnoće za dobitak, odnosno gubitak). Kada Kada igrate rulet i odlučite da stavite

Scanned Image - University of Belgrade...Superova teorija izbora zanimanja se zovejoš i: teorija osobina teorija životnog modela Hopokova teorija c. metoda Životne istorije teorija

Analiza modela galakti čke hemijske evolucije ...d-632... · Na osnovu brojnih vangalakti čkih merenja i teorija, Steigman (2007) je za ... kasnije evolucije svemira, deuterijum

Teorije - · 2019. 9. 25. · • Teorija apsolutnih prednosti • Teorija komparativnih prednosti (teorija komparativnih troškova) TEORIJA VANJSKE TRGOVINE ... Model životnog

14.3e-student.fpz.hr/Predmeti/I/Informacijski_sustavi_mreznih_operatera/Materijali/03... · o Teorija informacije omogu ćuje stvaranje matematičkih modela na temelju kojih se lakše

PredavanPredavanje1_DESKRIPTIVNA_STATISTIKA-2012.pdfje1 Deskriptivna Statistika-2012

2 Deskriptivna statistika

Poslovna strategija - ekof.bg.ac.rs · 3 Ekonomska teorija vs. Poslovna ekonomija Ekonomska teorija koristi pristup izučavanja realnih fenomena posredstvom modela: Model, kao apstrakcija

STVARANJE EKONOMSKE POLITIKE: TEORIJA I · PDF filenetarne politike nego konstruisanja modela. ... teorija i primena 1 Benjamin Friedman, „The Relative Stability of Money and Credit

o MOGUĆNOSTI SINTEZE NEKIH TEORIJA LIČNOSTI NA … · o moguĆnosti sinteze nekih teorija liČnosti na temelju jednog kibernetiČkog modela konativnih faktora konstantin momiroviĆ,

21-08-08 deskriptivna statisticka analiza

DIPLOMSKI RAD 1848 MODEL DISTRIBUCIJE ......4 2 Teorija svjetlosnog polja 2.1 Transportna teorija Prilikom izgradnje modela širenja svjetla u okolinu koristi se geometrija tokova

Deskriptivna Statistika

STATISTIKA - osnove · Matemati čka statistika: • teorija numeri čkog opisa i ispitivanja velikog broja doga đaja koji se pojavljuju u prirodi i društvu. Deskriptivna statistika

KLASIČNA TESTNA TEORIJA (TEORIJA PRAVEGA DOSEŽKA)

Deskriptivna statistička analiza-DS BLC