Predmet Metodika nastave matematike II

Geometrija Njena sistematizacija kroz istoriju

Profesor dr Lui Zoran cc

Student Sarajli Mina 121-01 c

1

1

Geometrija

Geometrija je grana matematike koja se bavi prouavanjem osobina i c medusobnih odnosa prostornih oblika, geometrijskih tela, povrina, linija i s taaka. U svom prvobitnom znaenju geometrija se shvatala kao nauka o c c gurama, o uzajamnom poloaju i razmerama njihovih delova, i takode o z transformisanju gura.

2

Istorijski razvoj geometrije

Istorija geometrije see do antikog doba, ali je njena kolevka nesumljivo z c Istok. Razvoj geometrije se moe podeliti na etiri perioda, ije je granice z c c nemogue obeleiti odredenim datumima: c z 1. period nastanka, do oko V veka stare ere 2. period sistematskog izlaganja, antika Grka c c 3. analitika geometrija, od nastanka kapitalizma u Evropi c 4. izgradnja neeuklidskih geometrija, do danas.

3

Period nastanka

Geometrija se kao nauka prvi put pojavila u drevnom Egiptu, Vaviloniji i Grkoj u vezi sa razvojem kulture premeravanja tla. Otuda i potie naziv c c geometrije. Egipani su razvili induktivan metod zakljuivanja od pojec c dinanog ka optem (npr. primetili su da jedan trougao ima tri ugla, pa su c s nacrtali drugi trougao i primetili isto, itd. dok nisu zakljuili da svi trouglovi c imaju po tri ugla, tada su to uzeli za neku osnovnu vrednost - aksiomu). Religiozni obredi su bili povezani s konstrukcijom rtvenika (Delski problem), a z praktine potrebe ljudi uinile su nunim da se izmere povrine delova zemlje, c c z s zapremine sudova i ostava za etvu. Geometrijska razmatranja su se svodila z na pravila izraunavanja povrina i zapremina i treba pretpostaviti da su c s ova pravila imala vie empirijski nego logiki karakter. U VII veku stare ere s c geometrijsko znanje je, po miljenju grkih istoriara, preneeno iz Egipta i s c c s Vavilonije u Grku. Oko IV-V veka p.n.e. Grki lozo su se poeli upozc c c navati sa egipatskom i vavilonskom mudrocu. Od tada nastaje drugi period s razvoja geometrije, period sistematskog izlaganja geometrije kao nauke, kada se sve tvrdnje(iskazi) dokazuju.

2

4

Period sistematskog izlaganja

U ovom periodu su ve poznate u Grkoj Talesove teoreme (VI vek stare c c ere). Tales iz Mileta je putovao u Egipat i tamo od svetenika upoznao njihove s geometrijske i astronomske zakljuke o sumi uglova u trouglu, o upisanom c uglu (u krug) itd. Grci su razvili novi metod zakljuivanja - deduktivan c metod (obrnuto od induktivnog - od opteg ka pojedinanom). Anaksagora s c (VI vek stare ere) se bavio kvadraturom kruga i perspektivom. Pitagora je otkrio nesamerljive dui (iracionalni brojevi). Pitagora je osniva uvene z cc kole Polukrugkoja je dala veliki doprinos matematici. Pitagorejci su zas kljuili da je zbir uglova u trouglu 180 stepeni, otkrili su prvi, trei i etvrti c c c stav podudarnosti trougla, i naravno uvenu Pitagorinu teoremu da je zbir c kvadrata kateta u pravouglom trouglu jednak kvadratu hipotenuze, iz koje su izvedene mnoge sloenije formule. Hipokrat Hionski (V vek stare ere), z Pitagorin sledbenik, izloio je sistematski geometriju (Elementi geometrije) z i odredio povrinu meseevog srpa. Platon i njegov uenik Aristotel (IV vek s c c stare ere), ako i nisu ostavili nikakvih dela u geometriji, pridavali su veliki znaaj sistemu i osnovama geometrije. Platon je prvi po eo da postavlja c c aksiome (osnovne zakone, koji se uzimaju pri izvodenju sloenijih), medutim z u njegovo vreme mnogo aksioma su iskljuivale jedna drugu, i bilo je veoma c teko znati ta je tano, a ta ne. Tako je geometrija u Grkoj dostigla onaj s s c s c stepen kad je postalo nuno da se ona sistematizuje. Sistematizaciju (elez mentarne) geometrije je uinio Euklid (III vek stare ere) izloivi je na bazi c z s osnovnih formulacija-aksioma u svojim znamenitim knjigama Elementi, koje obuhvataju trinaest tomova. Euklid je koristio postulate: 1.Pretpostavlja se da je mogue da se od svake take, do svake druge take c c c moe povui linija z c 2.Pretpostavlja se da je mogue da se svaka prava, pratei njen pravac, c c produi neogranieno z c 3.Pretpostavlja se da je mogue da se oko svake take u nekoj ravni moe c c z opisati krug bilo kojeg prenika c 4.Pretpostavlja se da su svi pravi uglovi medu sobom podudarni. Ako se pravom preseku dve prave, tako da grade unutranje uglove iji je zbir manji s c od zbira dva prava ugla, tada se te dve prave seku sa one strane, sa koje se ti uglovi nalaze. Posle Euklida javlja se u Grkoj niz istaknutih matematiara: c c Arhimed, Apolonije, Eratosten i drugi, koji su obogatili geometriju novim 3

otkriima. Raspad antikog robovlasnickog uredenja doveo je do zastoja u c c razvoju geometije u Grkoj, ali se ona i dalje razivjala u zemljama arapskog c Istoka, u srednjoj Aziji i Indiji.

5

Nastanak analitike geometrije c

Nastanak kapitalizma u Evropi je doveo do novog, treeg perioda razvoja c geometrije. U prvoj polovini XVII veka nastala je analitika geometrija, c iji su tvorci bili Dekart i Ferma. Analitika geometrija izuava svojstva gec c c ometrijskih gura na osnovu njihovih algebarskih jednaina, oslanjajui se na c c koordinatni metod. U vezi s razvojem diferencijalnog rauna i ispitivanjem c geometrijskih svojstava gura lokalnog karaktera ponikla je u XVIII veku diferencijalna geometrija u delima Ojlera i Mona. Radovima Z. Dezarga i z B. Paskala rada se u prvoj polovini XVII veka projektivna geometrija, koja je nastala u pocetku pri izuavanju predstava perspektive i posle toga se c razvijala pri izuavanju onih svojstava gura koje se ne menjaju ako se guc re projektuju s jedne ravni na drugu iz bilo koje take prostora (centralna c Ponselea. projekcija), i na kraju bila zavrena radovima Z. s

6

Izgradnja neeuklidskih geometrija

Cetvrti period razvoja geometrije obeleen je izgradnjom neeuklidovih z geometrija od kojih je prva bila geometrija Lobaevskog koju je Lobaevski izc c gradio istraujui osnove geometrije, i posebno, aksiome o paralelnim pravama. z c Sadraj svoje geometrije Lobaevski je prvi put izneo na sednici zikoz c c matematikog fakulteta Kazanskog univerziteta 1826. godine. Rad je bio c publikovan 1829. g. Madarski matematiar Jano Bojai je publikovao rad o c s istom ovom pitanju, u manje razvijenoj formi, 1832. godine. Od nastanka geometrije Lobaevskog uloga aksiomatickog metoda u matematici uopte i u c s geometriji posebno postala je veoma znaajna. Euklidova geometrija (obina c c elementarna geometrija koja se izucava u koli) je posle toga dobila takode s svoju aksiomatiku osnovu. Hilbert je na kraju XVIII veka prvi postavio c konkretan sistem aksioma Euklidove geometrije, tzv. Hilbertove aksiome. Aksiomatske osnove dobile su i druge geometrija: Lobaevskog, projektivna, c ana, viedimenzionalna Euklidova (n dimenzija) i drude. s

4

7

Teorija relativnosti

Istoriari prirodnih nauka jo uvek nisu reili dilemu da li je specijalna c s s rela-tivnost zaeta u danas uvenom Ajntajnovom lanku iz 1905. godine, c c s c ili je postojala i ranije u radovima Lorenca (Lorentz) i Poenkarea (Poincar). Ustvari pojam odgovarajuih stanjakoji Lorenc koristi u svom lanku iz c c 1904. u mnogo emu je pretea relativistikih ideja, mada se jo uvek oslanja c c c s na besmisleni pojam etra. Medutim, medu istoriarima ima veoma malo c dilema oko tvrdnje da je Ajntajn skoro potpuno sam stvorio optu teoriju s s relativnosti. Isto tako moe se rei da koreni ove teorije lee u dalekosenim z c z z geometrijskim istraivanjima G. F. Rimana (G. F. B. Riemann), koji je sa z svoje strane bio inspirisan Gausovim (Gauss) remek delom Disquistiones ge-nerales circa supercies curvas, o diferencijalnoj geometriji zakrivljenih povri. Glavna tema u optoj teoriji relativnosti je da prisustvo materije utie s s c na geometriju prostora, koji, usled toga prestaje da bude eulidski. Ajntajn je s imao prethodnike koji su imali udne, snane slutnje o buduem toku razvoja c z c nauke. Riman se jedno vreme poigravao idejom da je realni prostor zakrivljen. Poznati ziar i ziolog Helmholc (H. Helmholtz, 1821-1894.) istraivao c z je zike aspekte Rimanove teorije, i postavio je, na osnovu astronomskih c posmatranja, granice mogue zakrivljenosti prostora. Geometar Kliford (W. c K. Cliord, 1845-1879.) zamiljao je materiju kao talasanje u zakrivljenom s prostoru. Mnoge njegove ideje kasnije su se ponovo pojavile u optoj rels ativnosti. Svi ovi pokuaji, koliko god da budu briljantni, bili su preurans jeni. Fiziarima je nedostajao pojam prostorno-vremenske viestrukosti, a c s takode nije bila shvaena kljuna uloga elektrodinamike. Potpuno stvaranje c c relativistike teorije gravitacije desilo se tek na kraju Prvog svetskog rata. c Ajntajn nije lako doao do krajnjih rezultata. Bile su mu potrebne godine s s intelektualnih lutanja dok je otkrio oblik jednaina polja. Neki od njegovih c najboljih kolega i prijatelja su ak smatrali da je skrenuo, zanet nekom neostc varljivom fantazijom. Moe se pretpostaviti da ga je princip ekvivalentnosti z interesovao ak 1911. godine. Kad se vratio iz Praga u Cirih, 1912. godine, c sreo je Marsela Grosmana (M. Grossmann) i poeo da proucava Gausove c krivolinijske koordinate i njihova uoptenja. Preko Grosmana upoznao je i s apsolutni diferencijalni racun, koji su razvili italijanski matematicari Gregorio Rici i Tulio Levi - Civita (G. Ricci, T. Levi - Civita). Iz istorijskih izvora je poznato da je Luidi Bijanki (L. Bianchi), veoma uticajna licnost medu matematiarima onog doba u Italiji, bio veoma skeptian kritiar apc c c 5

solutnog diferencijalnog rauna, tako da je ova matematicka tehnika stekla c zaslueno priznanje tek zahvaljujuci razvoju teorije relativnosti. Posle niza neuspenih pokaja, konana verzija teorije bila je zavrena 1916. godine, s s c s samo godinu dana poto je Karl Svarcild (K. Schwarzchild) naao reenje s s s s jednaina gravitacionog polja koje danas nosi njegovo ime. Spektakularnu c potvrdu ispravnosti, teorija je dobila 1919. godine, kada je jedna ekspedicija na Prinevo ostrvo (Prince Island), pod vodstvom Edingtona, prilikom c posmatranja pomraenja Sunca uspela da izmeri skretanje svetlosnih zraka c u gravitacionom polju Sunca.

8

Podela geometrije

Danas geometrija sadri mnogobrojne geometrije i teorije, izmedu kojih z nema tanih granica. Pri tome se pojedine geometrijske teorije usko prepliu c c s analizom (diferencijalna geometrija), s teorijom skupova (teorija skupova taaka, topologija). Svaka geometrija se razlikuje od druge prema tome kakav c prostor izuava (Euklidov, Lobaevskovljev), kakvim metodama se slui (na c c z primer,analitika teorija krivih drugog reda u analitikoj geometriji, ili isto c c c geometrijska, sintetika teorija krivih drugog reda u Sintetikoj geometriji), c c kakve objekte (gure) ili njihova svojstva izucava (na primer, mogu se razmatrati poliedri i njihova svojstva, krive i povri, itd). Pitanja metrike (merenje s duina, uglova i povrina) dovode do pojma metrike geometije, dok pitanja z s c incidencije (pripadanja, rasporeda) dovode do pojma geometrije poloaja, tj. z projektivna geometrija. Pitanja o osnovama geometrije dovode do odeljka elementarna geometrije, koja izuava njene logike osnove, njenu aksiomatiku c c i ustrojstvo. Ova nauna disciplina se naziva osnovima geometrije. Svaka c od geometrija moe se okarakterisati (denisati), po predlogu Klajna ( Erz langenski program), odgovarajuom grupom onih transformacija koje ona c izuava. Tako se elementarna geometrija karakterie grupom Euklidovih krec s tanja, ana - grupom anih transformacija, projektivna - grupom svih kolineacija (projektivnih transformacija).

6

9

Euklidova geometrija

Geometrija izgradena na aksiomama apsolutne geometrije i Euklidovom aksiomu (postulatu) o paralelnim pravama: kroz taku A koja ne lei na c z c z c pravoj a, u ravni koja je odredena takom A i pravom a, moe se povui samo jedna prava koja ne see pravu a. Euklidovu geometriju esto nazivaju c c elementarna geometrija. Geometriju koja se izuava u srednjoj koli takode c s nazivaju Euklidova geometrija i to je u vezi s injenicom da je njenu prvu c sistematsku izgradnju izloio starogrki geometar Euklid u III veku pre n.e. z c u svojoj knjizi Elementi ( Euklidovi Elementi). Prva geometrija razliita od c Euklidove geometrije bila je geometrija Lobaevskog, koju je izgradio veliki c ruski matematiar Lobaevski. c c

10

Elementarna geometrija

Geometrija odredena u osnovi grupom kretanja i grupom slinosti. Sadraj c z elementarne geometrije ne iscrpljuje se navedenim transformacijama. U elementarnoj geometriji izuavaju se takode transformacija inverzije, elementi c sferne geometrije, elementi geometrijskih konstrukcija, teorija merenja gec ometrijskih veliina i druge oblasti matematike. Medutim, ne postoji ak c ni priblino jasno skiciran sadraj elementarne geometrije. Elementarna gez ometrija poput drugih geometrija, nastavlja se razvijati i danas. U veini c srednjokolskih programa, elementarna geometrija se naziva Euklidova ges ometrija ili euklidovska geometrija.

11

Osnovne oblasti geometrije

1.Planimetrija - geometrija ravni 2.Stereometrija (trodimenziona geometrija) prostora 3.Trigonometrija - merenje uglova i dui z Ravninska trigonometrija - na Euklidskoj ravni Sferna trigonometrija - na sfernim povrinama s Hiperbolika trigonometrija - na pseudosferama c Hiperbolike funkcije - sinus, kosinus, ..., kosekans hiperbolni c 4.Analitika geometrija - izraavanje koordinatama c z 5.Diferencijalna geometrija - proucavanje metodama diferencijalnog rauna. c 7

12

Planimetrija

Planimetrija(latinski: planum - ravan, grki: - merim) je deo elec mentarne geometrije u kojem se izuavaju svojstva gura koje lee u ravni. U c z srednjoj koli, u nastavi matematike, obino se nakon planimetrije prelazi na s c izuavanje drugog dela elementarne geometrije - stereometrije, koja izuava c c svojstva gura u trodimenzionalnom Euklidovom prostoru. Metodika nastave matematike, kada se oba dela elementarne geometrije izuavaju isc tovremeno, naziva se fuzionizam. Najpotpunije, sistematizovano izlaganje planimetrije prvi put je bilo sprovedeno u knjizi Elementi starogrkog naunika c c Euklida. Osnovni pojmovi planimetrije su: 1. Mnogougao (poligon) 2. Elementi pravilnih mnogouglova 3. Trougao 4. Pravougli trougao 5. Cetvorougao 6. Paralelogram 7. Pravougaonik i kvadrat 8. Romb 9. Trapez 10. Krunica z 11. Odseak (segment) i iseak (sektor) kruga c c 12. Kruni prsten z

12.1

Mnogougao

Mnogougao(poligon) je zatvorena izlomljena linija. Segmenti izlomljene linije nazivaju se stranice mnogougla, a krajevi segmenata - temena. Zbir unutranjih uglova mnogougla je 360, n-to ugla je 180(n-2), gde je n = 3, 4, s 5, ...

8

F

E a

D

S

A

C

B

Mnogougao Zbir spoljanjih uglova je 360. Povrinu odredujemo tako da mnogougao s s rastavimo na trouglove. Mnogougao je pravilan ako su mu sve stranice i svi uglovi medusobno jednaki. Druga denicija, mnogougao je pravilan, ako se oko njega i u njega moe upisati krunica. Za pravilne mnogouglove sa n z z stranica vai: centralni ugao =360/n; spoljanji ugao =360/n; unutranji z s s ugao =180-; ako je R poluprenik opisane i r poluprenik upisane krunice c c (apotema), onda je stranica a = 2 R2 r 2 = 2R sin 2 Povrina pravilnog n-to ugla je: s 1 1 P = nar = nr 2 tan = nR2 sin 2 2 2

12.2

Trougao

Nejednakost trougla: zbir dve stranice trougla uvek je vei od tree strac c nice b + c > a. Zbir uglova u trouglu jednak je ispruenom uglu z + + = 180.

9

C

b ta

A1

A

c

B

Trougao Trougao je potpuno odreden ako su zadate sve tri stranice; dve stranice i ugao medu njima; stranica i dva ugla na njoj; ako su zadate dve stranice i ugao nasuprot jednoj od tih stranica, onda su odredena dva, jedan ili nijedan trougao. Teina linija (medijana) trougla je du (prava) koja spaja vrh sa zs z sredinom suprotne stranice trougla. Teite je taka u kojoj se seku teinice. zs c zs Teite deli teinicu u odnosu 2:1 poev od vrha. zs zs c Duina teine linije na stranicu a je: z zsta

=

2(b2 + c2 ) a2 . 2

Simetrala ugla trougla je du (prava) koja polovi unutranji ugao trougla. z s Simetrale uglova seku se u jednoj taki koja je centar upisane krunice c z trougla. Duina simetrale ugla je: z S = bc[(b + c)2 a2 ] b+c

Ako simetrala ugla deli stranicu a na odsecke m i n, onda je m : n = c : b. Visina trougla je sputena iz vrha trougla na suprotnu stranicu. Ortocentar s je taka u kojoj se seku visine trougla. c

10

C

H A B

Ortocentar Centar opisane krunice trougla je taka preseka simetrala stranica trougla. z c Teinica, visina i simetrala ugla, ka istoj strani trougla, podudaraju se zs ako su druge dve stranice trougla jednake, tj. ako imamo jednakokraki trougao. Obrnuto, ako se dva od tih pravaca podudaraju, trougao ce biti jednakokrak. Jednakostranini trougao je onaj kod kojeg su sve tri stranice c jednake (a=b=c). Sva tri njegova ugla su po 60 stepeni. U njemu se podudaraju sve etiri znaajne take trougla: teite, ortocentar, centar upisane c c c zs krunice, centar opisane krunice. Srednja linija trougla (sredinjica) je du z z s z (prava) koja spaja sredine dve stranice trougla. Ona je paralelna sa treom c stranicom trougla i jednaka polovini njene duine. Povrina trougla: z s P = ab sin abc aha = = rp = = 2 2 4R p= p(p a)(p b)(p c)

a+b+c 2 gde je poluobim, r poluprecnik upisane, R poluprecnik opisane krunice z datog trougla. Trouglovi (mnogouglovi, sa jednakim brojem stranica) su slini ako su im odgovarajui uglovi jednaki i odgovarajue stranice proc c c porcionalne. Za slinost trouglova dovoljno je da su ispunjena dva od ovih c uslova: (1) tri stranice jednog trougla proporcionalne su trima stranicama drugog trougla; (2) dva ugla jednog trougla jednaki su sa dva ugla drugog trougla; (3) dve stranice jednog trougla proporcionalne su sa dve stranice drugog trougla, a uglovi medu njima su jednaki. Povrine slinih likova s c proporcionalne su kvadratima odgovarajuih linearnih elemenata (stranica, c visina, dijagonala itd.)

11

12.3

Pravougli trougaoa2 + b2 = c2C

Za pravougli trougao vezujemo Pitagorinu teoremu:

b

a

A

q

H

p

B

Pravougli trougao Povrina pravouglog trougla je: s 1 1 1 P = ab = b2 tan = c2 sin 2 2 2 4

12.4

Cetvorougao

Zbir (unutranjih) uglova svakog konveksnog etvorougla je 360 stepeni. s c Povrina etvorougla je: s c 1 P = d1 d2 sin 2D c d2 d d1 A a B b C

Cetvorougao Tangentni etvorougao je onaj u kojeg moemo upisati krunicu. U etvorougao c z z c moemo upisati krunicu ako i samo ako je a + b = c + d. Tetivni etvorougao z z c

12

je onaj oko kojeg se moe opisati krunica. Oko etvorougla moemo opisati z z c z krunicu tada i samo tada ako je + = + = 180, tj. ako su mu naspramni uglovi suplementni. Za upisani etvorougao je c a + b = d1 d2 . Povrina upisanog etvorougla je: s c P = p(p a)(p b)(p c)(p d) p= gde je poluobim etvorougla. c a+b+c+d 2

12.5

Paralelogram

Paralelogram je etvorougao koji ima jednu od sledeih osobina: suprotne c c stranice su paralelne; suprotne stranice su jednake; jedan par suprotnih stranica je paralelan i jednak; dijagonale se polove (seku se u taki koja je sredina c svake od njih posebno) suprotni uglovi su jednaki.

D d2 b h d1 H a S B

C

A

Paralelogram Dijagonale i stranice paralelograma su u relaciji: d2 + d2 = 2(a2 + b2 ) 1 2 Povrina paralelograma je: s P = ah. 13

12.6

Pravougaonik i kvadrat

Paralelogram je pravougaonik ako ima: sve uglove jednake, jednake dijagonale. Svaka od dve navedene osobine je posledica one druge.D C

d

b

A

a

B

Pravougaonik Povrina pravougaonika je: s P = ab gde su a,b susedne stranice. Pravougaonik je kvadrat, ako su mu susedne stranice jednake. Osobine kvadrata su: a=b d = 2a Povrina kvadrata je: s 1 P = a2 = d2 . 2

12.7

Romb

Paralelogram je romb ako ima: sve stranice jednake; dijagonale medusobno normalne. Dijagonale su simetrale uglova. Kada je ispunjeno jedno od ovih osobina onda su kao posledica ispunjena i ostala dva.

14

D d2 a h d1 A H B S

C

Romb Povrina romba je: s 1 P = ah = a2 sin = d1 d2 . 2

12.8

Trapez

Trapez je etvorougao koji ima jedan par paralelnih strana. Paralelne c strane trapeza nazivaju se osnovice, a neparalelne su kraci trapeza. Neka su a i b su osnovice trapeza, h visina, m je srednja linija (sredinjica), tj. du s z koja spaja sredine neparalelnih stranica. Ona je paralelna sa osnovicama i jednaka njihovom poluzbiru, m= Povrina trapeza je: s P = a+b 2

a+b h = mh 2b C

D

c h A H a

d

B

Trapez

15

Trapez je jednakokrak ako je d = c. U tom sluaju je: c P = (a c cos )c sin = (b + c cos )c sin .

12.9

Krunica z

Krunica k ima poluprenik (radijus) i prenik (dijametar). Tetiva je z c c du koja spaja dve take na krunici (AB). Centralni ugao ACB dvostruko z c z je vei od perifernog APB nad istom tetivom AB. Tangenta je prava t koja c dodiruje krunicu u (jednoj) tacki A. Ugao izmedu tangente i tetive u istoj z taki jednak je perifernom uglu nad istom tetivom. Seica (sekanta) je prava c c koja see krunicu.Ugao izmedu tetiva jednak je poluzbiru centralnih uglova c z nad krajevima tih tetiva. P = a+b h = mh 2k P C A B

t

Krunica z Za tetive AB i CD koje se seku u tacki E vai: z EA EB = EC ED gde je r poluprecnik krunice, a m je udaljenost od centra kruga do take z c preseka tetiva E. Ugao izmedu seica jednak je polurazlici centralnih uglova c c nad krajevima pridruenih tetiva. Ugao izmedu tangente i seice jednak je z polurazlici centralnih uglova nad krajevima pridruene tetive i dodirne tacke z tangente. Ugao izmedu tangenti jednak je polurazlici centralnih uglova nad 16

dodirnim takama tangenti. Mo take u odnosu na krug je broj jednak c c c proizvodu duina odsecaka z MA MB svake seice koja prolazi kroz taku M i preseca krunicu u tackama A i B. c c z Moc take se naziva i potencija take u odnosu na krug. Za obim kruga s i c c povrinu kruga P (r je poluprenik, d je prenik) vai: s c c z s = 2r P = r2 Broj je odnos obima i prenika kruga, tj: c = s = 3, 14159265... d

12.10

Odseak (segment) i iseak (sektor) kruga c c

Za poluprenik r kruga, duinu luka l, tetivu a, centralni ugao u stec z penima i visinu segmenta h vae izrazi: z a = 2 2hr h2 = 2r sin 2 h=r Povrina iseka (sektora): s c Pi = Povrina odseka (segmenta): s c r 2 Po = ( sin ) 2 180 Priblino je: z Po = h (6a + 8b). 15 r2 360 r2 a2 a = tg 4 2 2

17

12.11

Kruni prsten z

Kruni prsten prikazan je kruni prsten. Prenik veeg kruga je D = 2R, z z c c prenik manjeg kruga d = 2r, srednji poluprenik c c = R+r 2

irina prstena b = R - r. Povrina krunog prstena: s s z P = (R2 r 2 ) = 2 (D d2 ) = 2. 4

Povrina dela krunog prstena sa centralnim uglom u stepenima je: s z P = 2 (R r 2 ) = (D 2 d2 ) = . 360 140 180

13

Stereometrija

Stereometrija je deo elementarne geometrije koja izuava svojstva gura c smetenih u prostoru. U oblike stereometrije spadaju:kocka, kvadar, pis ramida, prizma, valjak, lopta, kupa, zarubljena kupa, kuglina kapa, sferni iseak. c

13.1

Kocka

Geometrijsko telo koje je jedno od Platonovih tela. Kocka spada u paralelepipede, to je pravilna etverostrana prizma. Sastoji se od est jednakih c s kvadrata, njenih stranica. Mrea kocke sastoji se od 6 jednakih kvadrata. z

18

D D C

C

A A B

B

Kocka Formule: (a - duina stranice) z V (zapremina): a3 O (obim): 6a2 d (manja dijagonala): a 2 D (prostorna dijagonala): a 3 r (radijus upisane krunice): a z 2 3a R (radijus opisane krunice): 2 z

13.2

Kvadar

Geometrijsko telo ogranieno sa est medusobno normalnih pravougaonih c s povri. Ove povri se dele na tri para medusobno naspramnih, paralelnih s s i jednakih povri, koje se mogu opisati sa tri duine a, b i c (c je nekad s z oznaceno i sa h). Ove tri duine se jo redom zovu irina, duina i visina c z s s z kvadra.

19

D D C

C

c A A a B B b

Kvadar Specijalan sluaj kvadra kome su sve ivice jednake se zove kocka. c Formule: Povrina S = 2(ab + ac + bc), s Zapremina V = abc, Male dijagonale dab = a2 + b2 dac = a2 + c2 dbc = b2 + c2 Velika dijagonala d = a2 + b2 + c2 Poluprecnik opisane sfere ro = d = 1 a2 + b2 + c2 c 2 2 ab Ugao izmedu velike dijagonale i baze = arctan dc

13.3

Piramida

Piramida je poliedar ogranien osnovom i stranicama koje se spajaju u c jednoj taki - temenu, koje se nalazi na suprotnoj strani od osnove. Piramida c moe biti pravilna ili nepravilna. Pravilna piramida je ona kod koje osnovu z ini pravilan mnogougao. Piramida moe biti prava ili kosa. Prava piramida c z je ona kod koje se projekcija temena na osnovu poklapa sa teitem osnove. zs Povrina piramide jednaka je zbiru povrina osnove i stranica. Osnova moe s s z biti bilo koji mnogougao, dok su stranice zapravo trouglovi.

20

V

H

A S A B

B

Piramida Povrina piramide se izraunava: s c P =B+M M - povrina omotaa s c Zapremina piramide se rauna po formuli: c V = BH 3

B - povrina osnove H - visina piramide s

13.4

PrizmaO = 2B + P V =Bh

Obim i povrina prizme: s

B-je povrina baze,P je povrina omotaa,h-visina. s s c

13.5

Valjak

Valjak je konveksna geometrijska prostorna gura koja se moe denisati z kao neprekidna familija elipsi koje pripadaju medusobno paralelnim ravnima, 21

imaju iste parametre oblika, a centri su im rasporedeni na jednoj neprekidnoj pravoj ili dui. Prava koja sadri sve centre elipsi valjka se zove osa z z valjka, a radijusi elipsi su takode radijusi valjka. Ove elipse mogu biti i krugovi. U ovom slucaju se valjak jo zove kruni valjak. U zavisnosti od c s z toga da li su ravni koje sadre elipse koje ine valjak normalne na osu valjka z c ili ne, valjak moe biti prav ili kos. Povrina valjka se odreduje kao zbir z s povrine omotaa valjka i dve njegove baze. Povrina omotaa se odreduje s c s c kao proizvod obima bazne elipse i duine ivice valjka. Duina ove ivice je i z z stvari jednaka duini osne dui koja sadri centre elipsa. Zapremina valjka se z z z odreduje kao proizvod povrine bazne elipse i visine valjka. Visina valjka se s odreduje kao maksimalno rastojanje izmedu dve ravni koje sadre dve elipse z valjka.

O

h

r

O

Valjak Kod pravog krunog valjka ovi izrazi izgledaju ovako: z Povrina s P = 2r h + 2 r 2 = 2r (h + r) Zapremina V = r2 h

gde su r - poluprenik baznog kruga i h - visina valjka. c Kod kosog krunog valjka ovi izrazi izgledaju ovako: z P = 2r h + 2 r 2 = 2r sin h +r sin = 2r (l + r)

gde su r - poluprecnik baznog kruga, h - visina valjka, l - duina ivice valjka, c z - ugao koji zaklapaju ivica i ravan baze valjka.

V = 2r 2 h = 2r 2 l sin

22

13.6

Lopta

Lopta je geometrijsko telo, ogranieno sferom. Lopta se moe posmatrati c z kao kao telo dobijeno obrtanjem kruga oko svoga prenika. Loptin iseak je c c geometrijsko telo, dobijeno obrtanjem krunog iseka oko dijametra prenika z c c koji nema unutranjih taaka sa lukom krunog iseka. Svaki presek lopte sa s c z c ravni jeste krug. Povrina povri lopte (povrina sfere) poluprenika r odreduje se formulom s c S = 4r 2 Zapremina lopte je 4 V = r 3 . 3l

r O

Lopta Lopta sa centrom O(a,b,c), i poluprenikom r je geometrijsko mesto taaka c c (x,y,z), prostora, ije koordinate zadovoljavaju uslov: c 0 (x a)2 + (y b)2 + (z c)2 r

Sferna kalota je deo sfere koji se nalazi sa jedne strani ravni koja see sferu. c Ako je R poluprenik sfere i H visina odgovaraju kalote tada je povrina c e s kalote P = 2RH Loptin odseak je deo lopte ogranien ravni koja see loptu i odgovarajuom c c c c kalotom. Kad ravan prolazi kroz centar lopte dobivaju se dve polulopte. Ako je R poluprenik lopte i H visina odgovarajug otseka tada je zapremnina c e c otseka c h2 (3R h) V = 3 23

Loptin sloj je deo lopte ogranien dvema paralelnim ravnima koje seku loptu c i odgovarajuom zonom. c Ako su r1 i r2 poluprenici osnova i h visina loptinog sloja tada je zapremina c loptinog sloja h 2 2 V = (3r1 + 3r2 + h2 ) 6 Ako je R poluprenik lopte tada je njena zapremina c 4 V = R3 . 3 Ako je R poluprenik sfere tada je njena povrina c s P = 4R2 .

14

Trigonometrija

Trigonometrija(latinski trigonon - trougao, metron - mera) je deo matematike koji izuava zavisnost izmedu strana i uglova trougla (trigonometrija c u uem smislu), a takode i osobine trigonometrijskih funkcija i vezu medu z njima (goniometrija). Trigonometrija se deli na sledece tri oblasti: 1.Ravninska trigonometrija, trigonometrija u uem smislu koja proucava z trigonometrijske funkcije, posebno: sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans i kosekans, nverzne trigonometrijske funkcije, tzv. ciklometrijske, ili arkusfunkcije 2.Sferna trigonometrija, na povri sfere s 3.Hiperbolika trigonometrija, trigonometrija Lobaevskog.Funkcije: sinus c c hiperboliki, kosinus hiperboliki, tangens hiperboliki, kotangens hiperboliki, c c c c sekans hiperboliki i kosekans hiperboliki, Inverzne hiperbolike funkcije, c c c tzv. area-funkcije. Osnovna linija razvoja trigonometrija bila je primena u geometrijskim istraivanjima. Razvoj prve i druge od nabrojanih trigonometrija iao je uz z s Euklidsku ravan, tj. elementarna geometrija i povrinu sfere, a trea od s c trigonometrija je bar u pocetku (XIX vek) bila vezana za otkria neeukc lidskih geometrija, (geometrija Lobaevskog, zatim Rimanova geometrija). c Primene trigonometrija danas su daleko ire. s

24

14.1

Poreklo

Prvi koreni trigonometrije su nadeni u zapisima iz Egipta i Mesopotamije. Egipatski papirus Rind (oko 1650. p.n.e.) sadri probleme sa odnosima stranz ica trougla primenjenim na piramide. Niti Egipani, niti Vavilonci nisu imali c nae shvatanje mere ugla, a relacije tog tipa su smatrali osobinama trouglova, s pre nego samih uglova. Vaan napredak napravljen je u Grkoj u vreme z c Hipokrata iz Kiosa (Elementi, oko 430. p.n.e.), koji je prouavao odnose c izmedu centralnih uglova krunice i tetiva. Hiparhus je 140. p.n.e. napravio z tablicu tetiva (prvu preteu savremenih sinusnih tablica). Menelaj iz Alekc sandrije (Sferna geometrija, oko 100. nove ere) je prvi koristio sferne trouglove i sfernu trigonometriju. Ptolomej (Almagest, oko 100. n.e.) je napravio tablicu tetiva uglova izmedu 0,5 i 180 sa intervalom od pola stepena. On je takode istraivao trigonometrijske identitete. Grku trigonometriju su dalje z c razvijali Hindu matematiari koji su ostvarili napredak razmetanjem tetiva c s preuzetih od Grka na polu tetive kruga sa datim radijusom, tj. ekvivalentom naoj sinusnoj funkciji. Prve takve tablice bile su u Sidhantasu (sistem za s astronomiju) u IV i V veku ove ere. Poput brojeva, moderna trigonometrija nam dolazi od Hindu matematiara preko Arapskih matematiara. Prevodi c c sa arapskog na latinski jezik tokom XII veka uveli su trigonometriju u Evropu. Osoba odgovorna za modernutrigonometriju bio je renesansni matematiar c Regiomontanus. Od doba Hiparha, trigonometrija je bila jednostavno alat za astronomska izraunavanja. Regiomontanus (De triangulis omni modis, c 1464. publikovano 1533.) bio je prvi koji je trigonometriju tretirao kao subjekt po sebi. Dalji napredak su napravili Nikola Kopernik u De revolutionibus orbium coelestium (1543.) i njegov uenik Retikus. U Opus palatinum de c trianulis (kompletirao njegov ucenik 1596.), Retikus je ustanovio upotrebu est osnovnih trigonometrijskih funkcija, pravei tablice njihovih vrednosti, s c i dreci se ideje da te funkcije predstavljaju odnose stranica u pravouglom z trouglu (rade nego tradicionalne polu-tetive krugova). Moderna analitika c geometrija datira od vremena Fransoisa Vietea, koji je uradio tablice est s funkcija do najblie minute (1579). Viete je takode izveo formulu za proizvod, z tangensnu formulu i formule za vie uglova. Krajem XV veka je prvi put s upotrebljen naziv trigonometrija.

25

15

Analitika geometrija c

Analitika geometrija predstavlja izuavanje geometrije korienjem princ c c cipa algebre. Geometrijske likove posmatra u dvodimenzionalnom ili trodimenzionalnom Dekartovom koordinatnom sistemu i predstavlja ih algebarskim jednainama. Drugim reima, ona denie geometrijske oblike na numeriki c c s c nain, i iz takve reprezentacije izdvaja numerike informacije. Numeriki c c c rezultat moe biti vektor ili geometrijski lik. Postoje miljenja da je pojavom z s analitike geometrije zapoeta moderna matematika. Smatra se da je Rene c c Dekart objavljivanjem svoje Geometrije, postavio osnove dananjoj anals itikoj geometriji. U pitanju je bio jedan od tri dodatka njegovoj Raspravi c o metodi (Discours de la mthode pour bien conduire sa raison, et chercher la vrit dans les sciences, 1637) - traktatu o naunim metodama, u kome c on, na svega 116 strana, pokazuje primenu svoje opte metode sinteze na s primeru spajanja algebre i geometrije. Ujedno, to je jedino matematiko c delo koje je objavio za ivota. Iako je presudno uticala na razvoj analz itike geometrije, u Dekartovoj Geometriji, onakvoj kakva je, nema nekih c njenih osnovnih elemenata, kao to su Dekartove koordinate, jednaina prave, s c jednaine konusnih preseka (iako se jednom jednainom drugog reda oznaava c c c konusni presek), a vei deo izlaganja je posveen teoriji algebarskih jednaina. c c c Iz sauvanih pisama Pjera Ferma moe se videti da je on razvio ideju analc z itike geometrije pre objavljivanja Dekartovog dela o toj temi. Dekart je c predloio predstavljanje krive jednainom, izuavanje dobijene jednaine i z c c c na taj nain utvrdivanje osobina same krive, dok je Ferma sutinski uradio c s isto proglaavajui jednainu pecijalnom osobinomkrive i izvodei sve oss c c s c tale osobine posmatrane krive iz nje. Cinjenica da je mogue interpretirati c euklidsku geometriju jezikom analitike geometrije (to znai da je svaka teoc s c rema prve, u isto vreme i teorema druge) je kljuni korak u dokazu Alfreda c Tarskog da je euklidska geometrija konzistenta i odluiva. c Vani pojmovi analitike geometrije su: z c - vektorski prostor - skalarni proizvod, za odredivanje ugla izmedu dva vektora - vektorski proizvod, za odredivanje vektora normalnog na dva data vektora, kao i zapremine paralelopipeda koji oni odreduju - denicija ravni - problem rastojanja - krive drugog reda

26

15.1

Vektorski prostor

Vektorski ili linearni prostor je algebarski pojam u matematici koji nalazi primenu u svim glavnim granama matematike. On se denie na sledei s c nain: Neka skup V ima strukturu Abelove grupe u odnosu na sabiranje. c Elemente skupa V zovemo vektori. Neutralni element oznaavamo sa 0 i c zovemo nulti vektor. Neka skup F ima strukturu polja. Elemente skupa F zovemo skalari, a neutralne elemente u odnosu na dve binarne operacija oznaavamo sa 0 i 1. Na skupu F V denisano je mnoenje vektora skalarom, c z tj. preslikavanje F V V , koje svakom skalaru F i svakom vektoru x V pridruuje vektor x V , tako da su ispunjeni sledei aksiomi: z c (I) (x) = ()x, , F, x V (II) (x + y) = x + y, F, x, y V (III) ( + )x = x + x, , F, x V (IV) 1x = x. Ovako denisano preslikavanje se zove mnoenje vektora skalarom, dok se z V naziva vektorski prostor nad poljem F i pie V (F ). Uobiajeno je da se s c vektorski prostori nad poljem realnih odnosno kompleksnih brojeva nazivaju realni, odnosno kompleksni vektorski prostori. Takode, vektorski prostor u kojem je denisan skalarni proizvod naziva se Euklidski vektorski prostor.

15.2

Skalarni proizvod

Skalarni proizvod je binarna operacija koja kao argumente uzima dva vektora a rezultat joj je skalar. Ako su ova dva vektora a i b iz vektorskog prostora V, zapis ove operacije je sledei: c (a, b) a b Skalarnim proizvodom se zove svako preslikavanje koje ima sledee osobine: c (u + v) w = u w + v w (u) v = (u v) uv = vu u =0 uu >0 pri emu su u, v i w vektori iz V a proizvoljan realan broj. Skalarni c proizvod vektora koji su pod pravim uglom (90) jednak je 0. Ovo je nain na c koji se najee proverava ortogonalnost dva vektora. Denicija standardnog c sc skalarnog proizvoda dva vektora a = (a1, a2, , an) i b = (b1, b2, , bn) se

27

moe denisati kao: zn

ab=

i=1

ai bi = a1 b1 + a2 b2 + + an bn

Primer skalarnog mnoenja vektora (1, 3, -5) i (4, -2, -1) u trodimenzionalnom z prostoru: (1, 3, 5) (4, 2, 1) = 1 4 + 3 (2) + (5) (1) =46+5 =3 (1) (2) (3) (4)

. Ovaj skalarni proizvod se moe denisati i kao proizvod duina prvog i z z drugog vektora i kosinusa ugla izmedu njih: a b = b a = |a| b cos Ovakav skalarni proizvod jednog vektora sa samim sobom daje kvadrat njegove duine, jer je u tom sluaju kosinus 0 stepeni jednako 1. c Geometrijska interpretacija: a b = |a| |b| cos = = arccos ab |a||b| .

15.3

Vektorski proizvod

Jo jedan tip proizvoda karakterestian za trodimenzionalne euklidske s c prostore (E3) je vektorski proizvod. Denie se na sledei nain: s c c : (E 3 , E 3 ) E 3 k a3 = b3

, E3 a b i j b = a a1 a2 b1 b2

a2 b3 a3 b2 i (a2 b3 a3 b2 ) j (a1 b3 a3 b1 ) + k (a1 b2 a2 b1 ) = a3 b1 a1 b3 , a1 b2 a2 b1 28

jer su i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) i k = (0, 0, 1) vektori kanonske baze E3. Kod vektorskog proizvoda je bitno primetiti sledee osobine: c , , a b a b tj. vektorski proizvod dva vektora je normalan na njih same. | b | = |a||b| sin , a gde je ugao izmedu ova dva vektora. Ovo zapravo znai da je intenzitet c vektorskog proizvoda dva vektora jednak povrini paralelograma koga ine s c ovi vektori. = ( ), a b b a vektorski proizvod nije komutativan. ( ) b = ( b ) a a Vektorski proizvod se lepo ponaa prema mnoenju skalarom sleva. s z

15.4

Ravan

Ravan je jedan od osnovnih pojmova geometrije kojim se oznaava ravna c povrina koja se u svakom smeru iri do beskonanosti. Da je ravna, znai s s c c da kroz svaku njenu taku moe biti povueno beskonano mnogo razliitih c c c c pravih koje ona u potpunosti sadri. Iz ovoga sledi i da svaka ravan prostor z u kome se nalazi razgraniava na dva jednaka dela. c Vane osobine ravni: z -Ako dve take prave pripadaju ravni, onda sve take prave pripadaju ovoj c c ravni. -Tri take koje ne lee na jednoj pravoj pripadaju samo jednoj ravni. c z Veliki ruski matematiar N. I. Lobaevski je za deniciju ravni uzimao sledeu c c c deniciju: Ravan je geometrijsko mesto taaka u prostoru koje su podjednako c udaljene od dve date take. U izgradnji geometrije Lobaevski je polazio od c c pojma kretanja, i prema tome, i od pojma rastojanja izmedu dve take. Vec liki nemaki matematiar Lajbnic denisao je pojam ravni kao povr koja c c s deli prostor na dva kongruentna dela (koja se kretanjem mogu poklopiti).

29

15.5

Ravan u analitikoj geometriji c

Ravan A u prostoru Rn se analitiki moe opisati jednom njenom takom c z c P A Rn i vektorom koji je normalan na nju, tj. svaki vektor koji joj a pripada. Tada e za svaku taku Q A vaiti: c c z , ili Q = 0 P a

(a1 , . . . , an )(Q1 P1 , . . . , Qn Pn ) = a1 (Q1 P1 )+ +an (Qn Pn ) = 0 Kako su i P konstante, izraz se moe drugaije zapisati: a z c (Q P ) = = C. a a Q a P a Q Ovo je takozvana vektorska jednaina ravni koja se nakon razvoja skalarnog c proizvoda, kao to je u izrazu ispod prikazano, naziva opta jednaina ravni: s s c a1 Q1 + + an Qn = C

16

Neeuklidska geometrija

Termin neeuklidska geometrija opisuje hiperboliku i eliptiku geometriju, c c koje su negacija euklidske geometrije. Sutinska razlika izmedu Euklidske i s Neeuklidske geometrije je priroda paralelnih pravih. U Euklidskoj geometriji, ako uzmemo pravu l i tacku A, koja ne lei na l, onda moemo nacrtati samo jednu pravu kroz tacku A koja je paralelna sa pravom l. U hiperbolikoj geometriji, nasuprot tome, ima beskonano mnogo pravih kroz A c c paralelnih sa l, dok u eliptikoj geometriji paralelne prave uopte ne postoje. c c Drugi nain da opiemo razlike izmedu ovih geometrija je sledei. Zamisc s limo dve linije na dvodimenzionalnoj povri koje su obe pod pravim uglom s na treu liniju. U Euklidskoj i hiperbolikoj geometriji ove dve linije su c c tada paralelne. U Euklidskoj geometriji linije ostaju na konstantnoj udaljenosti, sekui se samo u beskonanosti, dok u hiperbolikoj geometriji one se c c c akrivljujujedna od druge, poveavajui njihovu udaljenost to se vie udalz c c s s javaju od mesta preseka sa zajednickom normalom. U eliptikoj geometriji c linije se akrivljujujedna ka drugoj i konano se seku. Prema tome paralelne z c prave u eliptickoj geometriji ne postoje.

30

16.1

Istorija neeuklidske geometrije

Dok Euklidska geometrija spada medu najstarije poznate oblasti matematike, Neeuklidska geometrija nije bila ire prihvaena i priznata sve do XIX s c veka. Mada, rasprava koja je mogla da eventualno dovede do otkrica Neeuklidske geometrije poela je maltene istog trenutka kada je uveno Euklic c dovo delo Elementibilo objavljeno. U Elementima, Euklid zapoinje sa c ogranienim brojem pretpostavki (23 denicije, 5 osnovnih pojmova i pet c postulata) i tei ka tome da dokae sve ostale rezultate (propozicije) u ovome z z svome radu. Najproblematiniji ali zato i najpoznatiji od postulata, obino c c se naziva Euklidov peti postulat, ili jednostavno aksioma paralelnosti, i on u Euklidovoj originalnoj formulaciji glasi: Ako prava linija see dve c druge prave linije na takav nain da je zbir unutranjih uglova sa iste strane c s manji od dva prava ugla, tada prave linije, produene do beskonanosti, seku z c se sa one strane sa koje su uglovi manji od dva prava ugla.Drugi matematicari kasnije su izveli postulate koji su ekvivalentni ovom postulatu, ali imaju jednostavniju formu. Medutim u bilo kojoj formi pokazalo se da je ovaj Euklidov peti postulat mnogo komplikovaniji od njegovih ostalih postulata (medu kojima se nalazi na primer i postulat: Kroz bilo koje dve take moe c z se povuc prava linija). Nekoliko stotina godina, matematiari su se muili oko kompleksnosti petog c c postulata, verujui da se on moe dokazati kao teorema izvedena iz ostala c z etiri postulata. Mnogi su pokuavali da pronadu dokaz zasnovan na metodu c s svodenja na protivurenost, medu njima najpoznatiji je Italijan Dovani Sakc eri. U radu naslovljenom Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Euklid osoboden od svih greaka), objavljenom 1733. on odmah odbacuje eliptiku s c geometriju kao mogunost (neke od ostalih Euklidovih aksioma morale bi c biti modikovane da bi eliptika geometrija funkcionisala) i baca se na posao c dokazujui veliki broj rezultata u hiperbolikoj geometriji. Njegova konana c c c poenta je u tome da ovi rezultati koji su u suprotnosti sa teoremama euklidske geometrije dokazuju nemogunost hiperbolike geometrije. Medutim, c c nikakve logike protivurenosti unutar ovih rezultata nije bilo. Pokuavajui c c s c da dokae Euklidovu geometriju on umesto toga u stvari nenamerno otkriva z jednu novu geometriju sveta. Ipak u to vreme jo uvek je iroko bilo raspross s tranjeno verovanje da na Svet ili Univerzum funkcionie u skladu sa prins cipima Euklidske geometrije. Sto godina kasnije, tanije 1829. godine, Rus c Nikolaj Ivanovic Lobaevski objavljuje studiju o hiperbolikoj geometriji. Iz c c tog razloga, hiperbolika geometrija se esto naziva i geometrija Lobaevskog. c c c Otprilike u isto vreme, Madar Jano Boljaji takode pie svoju studiju o hipers bolikoj geometriji, koju objavljuje 1832. kao dodatak na jedan rad njegovog c oca. Veliki matematiar Karl Fridrih Gaus cita ovaj dodatak (apendiks) i c 31

odgovara Boljajiu da je od do istih rezultata i on licno doao neto ranije. Medutim prioritet u ovom otkriu pripao je Lobaevskom zbog ranijeg obc c javljivanja svog rada. Osnovna razlika izmedu ovog i ranijih radova, kao to je Sakerijev, je u tome to on prvi bez ikakve sumnje tvrdi da Euklidova s geometrija nije jedina moguca geometrija, niti je jedina opaajna struktura z naeg Univerzuma. Lobaevski naziva Euklidsku geometriju obinom ges c c ometrijom, a svoju novu hiperboliku geometriju imaginarnom geometric jom. Ipak, jo uvek se zadrala mogunost da su aksiomi hiperbolike ges z c c ometrije logiki nekozistentni. Kao to on napominje, jo dosta posla treblo bi c s s da bude uradeno da bi se potpunije zasnovala eliptika geometrija. Bernhard c Riman, u svojoj uvenoj lekciji iz 1854. zasniva oblast Rimanove geometrije, c razmatrajui posebno ideje koje se sada nazivaju mnogostrukost, Rimanova c metrika, i zakrivljenost. On konstruie beskonanu familiju Neeuklidskih ges c ometrija zadajui ovoj familiji formulu Rimanove metrike na jedinicnoj lopti c u euklidskom prostoru. Ponekad je njemu nepravedno pripisivana ast da c je jedini otkriva eliptine geometrije, ali u stvari, ova njegova konstrukc c cija pokazuje dalekovidost njegovog rada i injenicu da su njegove teoreme c vaee za sve vrste geometrija. Uobiajeni model za Euklidsku geometriju je z c c ravna povr. S druge strane, najjednostavnjiji model za eliptiku geometriju s c je sfera, gde su prave linije (neeuklidske prave) velike krunice (takve kao to z s su ekvator ili meridijani na globusu), dok se take suprotne jedna drugoj poc dudaraju (smatraju se istim takama). Cak i nakon radova Lobacevskog, c Gausa i Boljajia, ostalo je pitanje: Da li postoji model ociglednog predstavljanja hiperbolicke geometrije? Na ovo pitanje odgovorio je Eugenio Beltrami, 1868, koji je pokazao da povrina nazvana pseudosfera ima odgos varajuu zakrivljenost za jedan model deliminog hiperbolikog prostora, a c c c u drugom lanku objavljenom iste godine, denisan je Klajnov model (Fec liks Klajn), Poenkareov disk model i Poenkareov poluravanski model (Anri Poenkare) koji ine u potpunosti modele oiglednog predstavljanja hiperc c bolike geometrije, a ujedno pokazuju da su Euklidska geometrija i hiperc bolika geometrija ekvikonzistentne, to znai da je hiperbolika geometrija c s c c logiki konzistentna ukoliko je to i Euklidska geometrija. Razvoj neeuklidc skih geometrija pokazao se veoma znaajnim za ziku XX veka. Zadajui c c ogranienja brzini svetlosti, sabiranje brzina zahtevalo je nuno koricenje c z s hiperbolike geometrije. Ajntajnova Opta teorija relativnosti opisuje prosc s s tor kao generalno ravan (Euklidski), ali i eliptiki zakrivljen (Neeuklidski) u c oblastima u blizini kojih je prisutna materija. S obzirom da se vasiona iri s , ak i prostor gde ne postoji materija ili masa moe se opisivati uz pomoc c hiperbolikog modela. Ova vrsta geometrije, gde se zakrivljenost menja od c take do take nazvana je rimanovska geometrija. Postoje takode i drugi c c matematiki modeli povrsi na kojima Euklidov postulat paralelnosti vie ne c s 32

vai, kao na primer Denova povr (Dehn plane) koja se sastoji od svih taaka z s c (x, y), gde su x i y konani nadrealni brojevi. c

17

Geometrija Lobaevskog c

Lobaevski Nikolaj Ivanovi je Ruski matematiar, osniva neeuklidske c c c c geometrije (1792-1856) koja je predstavljala revolucionarnu taku u razvitku c matematikog miljenja XIX veka. Mnogi istaknuti matematiri pokuavali c s c s su pre Lobaevskog da dokau peti Euklidov postulat o paralelama: da se c z kroz jednu taku izvan neke prave, u ravni odredenoj tom takom i tom c c pravom, moe povui samo jedna prava koja nee sei datu pravu. To isto z c c c pokuao je da dokae i Lobaevski, to se vidi iz njegovih predavanja koja je s z c s drao 1816-1817. Ukazivao je na vaan problem u teoriji paralelnih pravih z z koji se sastoji u tome da se osnovno tvrdenje teorije paralelnih primalo bez analize neophodnosti. Naime, pri preseku trem pravom dveju pravih u o ravni, obrazuju se osam uslova, ako je pri tom zbir unutranjih uglova s s jedne strane jednak dvama pravim uglovima, onda su dve prave paralelne. Lobaevski je uvidao uzaludnost pokuaja da se dokae peti Euklidov posc s z tulat, pa na zasedanju Fiziko-matematikog odeljenja 1826. Izlae svoj rad c c z Saeto izlaganje osnova geometrije sa strogim dokazom teorema o paralez lama koja obeleava datum rodenja neeuklidske geometrije. Zahtevao je da z se rad objavi u Naunim zapisima Kazanjskog univerziteta, ali, ne shvativi c s sadrinu rada, komisija sastavljena od tri profesora nije prihvatila njegovoobz javljivanje. Geometrija Lobaevskog se zasniva na osnovnim stavovima kao I c Euklidova, samo to se peti postulat zamenjuje postulatom da se kroz jednu s taku izvan neke prave mogu povu najmanje dve prave koje lee sa datom c z pravom u istoj ravni i ne seku je. Svoju geometriju je konstruisao polazei c od osnovnih geometrijskih pojmova i svojih aksioma i dokazivao je teoreme geometrijskim metodama, slino Euklidovoj geometriji. Kao osnova sluila c z mu je teorija paralelnih pravih i to razlikuje geometriju Lobaevskog od Euc klidove. Geometrija Lobaevskog otkriva novi svet geometrijskih objekata: c prave paralelne u smislu Lobaevskog sve vie se pribliuju jedna drugoj u jedc s z nom smeru a u suprotnom smeru njihovo rastojanje se neogranieno uveava; c c dve prave prave u istoj ravni koje imaju zajedniku normalu, na obe strane c od te normale beskonano se razilaze; zbir uglova u trouglu manji je od 180 c stepeni, to znai da u geometriji Lobaevskog etvorougao moe imati nas c c c z jvie tri prava ugla a etvrti je otar; sve take koje se nalaze na jednakom s c s c odstojanju od date prave lee na krivoj liniji a ne na pravoj, kao u Eukliz 33

dovoj geometriji. Ravan i prostor Lobaevskog su skupovi taaka u kojima su c c odredene prave, kretanje gura, rastojanja, uglovi i drugi elementi. Izradio je odgovarajuu trigonometriju, kao i principe analitike i diferencijalne gec c ometrije. Kao neeuklidska geometrija, geometrija Lobaevskog imala je proc tivnike medu matematiarima koji nisu shvatili njenu sadrinu sve dok veliki c z italijanski matematiar Beltrami (Eugenio Beltrami, 1835-1900) nije 1868. c pokazao da geometrija Lobaevskog vredi na jednoj posebnoj povri nazc s vanoj pseudosfera. Ona je postala predmet ispitivanja velikih matematiara. c U tom pogledu znaajni su radovi Nemaca Klajna (Felix Klein, 1849-1925) c i Rimana i Francuza Poenkarea koji su veoma doprineli u smislu armacije geometrije Lobaevskog i njene primene. Ona je nala iroku primenu u c s s raznim granama matematike, posebno u modernim tokovima teorijske zike. Otkrie neeuklidske geometrije spada u red najveih otkria u matematici. c c c Ovim otkriem, kao i svojim celokupnim stavom matematiara i lozofa c c matematike, Lobaevski je otvorio nove puteve u razvitku matematike koji c su usledili aksiomatskim zasnivanjima svih grana matematike i uvrstio se u red genijalnih stvaralaca. Povodom stogodinjice njegovog rodenja utemels jena je Nagrada Lobaevskog za dela iz neeuklidske geometrije. c

17.1

O geometriji Lobaevskog c

Da bismo shvatli ideje koje su dovele do stvaranja ove geometrije,vratiemo c se daleko unazad,u period klasicne grcke matematike. Prvobitno,a za znai c u starom Egiptu i Vavilonu, geometrija je sadravala samo uputstva za z reavanje raznih praktinih problema koji su nastajali pri gradjenju piramida s c i hramova,navodnjavanju i ostalim gradanskim poduhvatima.U VII veku pre nove ere geometrija prelazi u staru Grku, gde poinje period njenog sisc c tematskog izgradivanja.Tada nastaje uvena jonska lozofska kola u Maloj c s Aziji, ijim se najznaajnijem predstavniku,Talesu iz Milita, pripisuje da c c je prvi dokazao neke geometrijske stavove. Zatim nastaje doba procvata grke kulture, kad se u matematici i lozoji javljaju znaajna imena, kao c c to su Pitagora, Hipokrat, Platon, Aristotel i dru. Medutim, antika ges c ometrija je dostigla vrhunac u vreme osnivanja Aleksandrijske kole(332. s god p.n.e), kroz radove velikog grkog matematiara Euklida. Glavno njec c govo delo Elementi, koja je bacila u zasenak sve ranije knjige o geometriji i ostala tokom dva milenijuma skoro jedina osnova svih geometrijskih istraivanja. U Elementimaje Euklid sistematski i logino povezao,izloio z c z do tada prikupljeno znanje iz geometrije. Pri tome je itavo delo izvedeno c po sledeem redosledu: denicije, postulati, aksiome, zatim teoreme i njihovi c dokazi. Elementiimaju ogroman istorijski znaaj jer je to prvi pokuaj c s 34

aksiomatkog zasnivanja neke oblasti matematike. U odnosu na geometrijske predstave koje su postojale u to vreme, Euklid je postigao prilino veliku c strogost u izlaganju i logikom povezivanju injenica. Tokom vremena mnogi c c matematiari su popravljali nedostatke u elementima, dodavali neke nove c delove, a baroito veliko nteresovanje je pobudivalo je ispitivanje aksioma i c postulata(sa savremene take gledita ne razlikujemo te dve vrste osnovnih c s stavova). Vremenom se pokazalo da su neke aksiome suvie, jer sledi is oss talih, a takode je zapaeno da neke nedostaju. Posebno interesovanje je izaz zvao V postulat. U stvari on je i doveo do stvaranja neeuklidske geometrije. Ovaj postulat glasi: Ako prava u preseku sa druge dve prave sa njima na istoj strani gradi unutranje uglove, iji je zbir manji od dva prava ugla, s c onda se ove prave seku sa one strane gde je taj zbir manji od dva prava ugla. Zbog manje oiglednosti izgledalo je da ovaj postulat mora biti posledica osc talih, i u tom pravcu vrena su vrlo opsena istraivanja. Treba odmah istai s z z c znaaj ovog postulata: na njemu se zasniva teorija paralelnih pravih, a sa c tim u vezi slinost geometrijskih likova, triigonometrija itd. Do poetka XIX c c bilo je mnogo uzaludnih pokuaja da se ovaj postulat dokae. Medutim, iak s z nisu dovela do eljenog rezultata, ova istraivanja su bila veoma znaajna z z c u razvoju geometrije, jer su dovela do otkria logike povezanosti medju c c mnogim znaajnim stavovima, kao i do niza teorema, logiki. ekvivalentih V c c postulatu.

18

Projektivna geometrija

Projektivna (nacrtna) geometrija je skup metoda za reavanje prostornih s problema crtanjem u ravni. Nacrtna geometrija je oblast u kojoj se prouavaju c metode preslikavanja kojima se prostorni likovi predstavljaju odgovarajuim c likovima u ravni. Na taj nain se postie da se reavanje prostornog zadatka c z s svodi na reavanje odgovarajueg zadatka u ravni. Skup osobina kojima se s c uspostavlja veza izmedu prostornog zadatka i odgovarajueg u ravni karakc terie sadraj ove oblasti geometrije. s z Preslikavanje koje se u geometriji koristi je projektovanje, pa se slika u ravni naziva projekcija. Kako je medu likovima u prostoru i njihovim slikama u ravni potrena obostrano jednoznana korespondencija, utvrdivanje elemec nata u ravni kojima se jednoznano predstavljaju likovi prostora denie c s metodu projektovanja. Rene Decartes (1596-1650) je uveo koordinatni sistem i povezao algebru i geometriju u analitiku geometriju. Mon Gaspar( Gaspard Monge )francuski c z 35

matematiar (1746-1818)je osniva projektivne geometrije (prvi je uveo isc c tovremeno posmatranje vie projekcija na jednom crteu). Njegov talenat s z se ispoljio u etrnaestoj godini pri konstrukciji vatrogasnog motora, gde je c pokazao neobinu sposobnost za uoavanje sloenih prostornih odnosa. Kad c c z mu je bilo esnaest godina samostalno je izradio kartu radnog mesta i odgos varaju merne instrumente, to je bio veliki uspeh. Iste godine postao je proe s fesor gimnazije i kole za vojne ininjere. Tu se detaljno upoznao sa teorijom s z utvrdivanja, iji je problem bio izrada plana a da nijedan deo utvrdenja ne c bude izloen neprijateljskoj vatri. Mon je dao svoje reenje tog problema z z s to je predstavljalo poetak nacrtne geometrije, a Monova metoda dugo s c z se uvala kao vojna tajna. Tek je 1794. bilo odobreno da se o njoj javno c govori. Potrebe tehnih nauka, posebno vojne innjerije podstakle su ga c z u radu na nacrtnoj geometriji pa je objavio delo Nacrtna geometrija (Geometrije descriptive,1765. kao skripta i 1795. kao knjiga) u kome denie s nacrtnu geometriju. Ima dva glavna cilja: prvo, da na crteu koji ima z samo dve dimenzije tano predstavi trodimenzionalne objekte koji se mogu c tano zadati, i drugo, da iz tane geometriske predstave tela izvede sve to c c s neophodno proizlazi iz njihovog oblika i uzajamnog polozaja. Monovo z stvaranje nacrtne geometrije bilo je revolucijarno delo za tehnike nauke, c jednostavno po metodama i idejama i neophodno za napredak tih nauka i njihovih primera. Niz geometriskih problema koji su se do tada reavali s analitikim putem Mon je pomou nacrtne geometrije sveo na geometrisku c z c konstrukciju, ali njegovo ime je ostalo istaknuto u teoriji povri gde je veto s s primenio innitezimalne metode. U svom delu Primena analize u geometriji (Application de lanalyse a la geometrie, 1795), napisao jasnim i ivim stilom, z bez stare sheme, pretpostavka-tvrdenje-dokaz obraduje analitiku geometriju c u prostoru. Ovde nalazimo probleme u vezi sa diferencijalnim odnosima kod obrtnih, zavojnih, pravoliniskih i razvojnih povrina. Mon je stvos z rio svoju geometrisku kolu za koju je karakteristuo potpuno proimanje s c z geometriske konstrukcije i analitike formule. Svojom diferencijalnom gec ometrijom pripremio je put Gausu koji e inspirisati Rimana u razvijanju c geometrije, neophodne za teoriju relativnosti. Mon je poznat u teoriji diferz encijalnih jednaina koje su usko povezane sa problemima koje je radio u c geometriji. Objavio je brojne radove na podruju nacrtne i diferencijalne c geometrije, teorije diferencijalnih jednaina i drugih oblasti u tada najisc taknutijim naunim asopisima Pariza. c c

36

19

Aksiomatsko zasnivanje geometrije

Sigurno je da osnovni podstrem za razvoj prirodnih nauka i matematike lei u ovekovoj potrebi za njihovim primenama.Herodot istie da je z c c geometrija potekla iz Egipta od stalne potrebe da se izmere granice pojedinih zemljita posle poplave Nila, jer je voda brisala granine znake. s c Stoga je prirodno to postoje podaci o matematikim znanjima starih kuls c tura. Matematiko obrazovanje tih naroda svodilo se poznavanje najosnovnic jih osobina geometrijskih likova,do koga se doslo islustvom, ili induktivnom metodom. U staroj Grkoj matematika pored potrebe postaje i umetnost. Moda je c z to jedan od razloga zato su se Grci prihvatili sredjivanja njihovih znanja u s jednu logiku celinu, gde osobine objekta koji se posmatraju nisu vise izoloc vane injenice, ve sainjavaju jedan logini niz u kome se svaki lan niza c c c c c izvodi kao posledica prethodnih lanova. Sredivanje nagomilanog znanja c nesumljiva je potreba, ali grci su mogli sa saine jednu enciklopediju, gde c navedeni pojmovi ne moraju imati medusobne veze. Izlaganje u obliku logikog niza je umetnost kojom poinje i do danas traje u nauci dedukc c tivni metod. Vrhunac grkog deduktivnog metoda predstavljaju Euklidovi c Elementi. Oni predstavljaju najsjajniji spomenik antike grke. Elememti c c predstavljaju izvrstan model aksiomatskog zasnivanja nauke. Za razliku od c formalne, obina aksiomatska matematika teorija izgraduje se na sledei c c nain: polazi od izvesnog broja rei govornog jezika koje se ne deniu i c c s od izvesnog broja reenica istog jezika u kojima uestvuju polazne rei. Te c c c reenice po dogovoru smatraju se tanim i da postoje jaki intuitivni razlozi c c za prihvatanje njihove tanosti. Te reenice nazivaju se aksiome. Teoreme c c su one reenice koje se dobijaju iz aksioma primenom nekih logikih pravc c ila. Dokaz aksiomatske matematike je konaan niz iji je svaki lan aksioma, c c c ranije dokazanih teorema, ili lan za koji postoje izvesni prethodni lanovi c c niza iz kojih se on dobija pomou nekog pravila izvodenja logikog pravila). c c Razlika izmedu formalne i aksiomatske matematike teorije nije velika. U c formalnoj teoriji govorni jezik i intuicija svode se na oaj neizbezni maximum. Prema Aristotelu, Euklid prvi pravi razliku izmedu postulata i aksioma. Aksiome su evidentne injenice zajednike svim naukama koje se uzimaju za c c tane, a postulati su zahtevi u geometriji. Aksiome kod Euklida su opte c s aksiome, a postulati su geometrijske aksiome. Sa savremenog gledita aks siomatskog zasnivanja geometrije, Euklid pravi nekoliko greaka jer on ne pris hvata potrebu za uvodenjem osnovnih pojmova, ve pokuava da ih denie. c s s Aksiome Euklidovog sistema nisu medusobno nezavisne. prilikom dokazivanja Eiklid se oslanjao na sliku, i time dokaze uio nekorektnim. I pored c 37

ovih nedostataka, Euklidovi Elementi predstavljaju jedno od najvanijih dela z u maematici i posredno su odgovorni za razvitak aksiomatskog metoda. Dugi niz godina glavni izvor ideja za matematiko stvaranje bili su Euklidovi elc ementi, i mnogi matematicari bavili su se usavravanjem i dopunjavanjem s Elemenata. Nemaki matamatiar David Hilbert(1862-1943) objavio je 1899. godine knc c jigu Grundlagen der Geometrie (osnove geometrije), u kojoj je izloio gez ometriju saglasno optim zahtevima za aksiomatsko zasnivanje teorije. One s je uzimao za osnovne pojmove taku, pravu i ravan, i zatim lei9pripada). c z izmedu, podudarno, paralelno i neprekidno. On je naveo 20 aksioma u pet grupa tako da su prve bile aksiome veze, druge aksiome rasporeda, zatim aksiome podudarnosti, aksiome paralelnih i aksiome neprekidnosti. Hilbert na odgovarajuim mestima uvodi i potrebne denicije onih pojmova koji se c pojavljaju u aksiomama. hilbertov sistem aksioma je neprotivreen, nezac visan i potpun. Neprotivrenost Hilbertovog sistema dokazuje se pomou c c modela, tako da ispravan zakljuak glasi: Ako je aritmetika sistema realnih c brojeva neprotivreena, tada je Hilbertiv sistem aksioma za geometriju nec protivreen. c Od samog poetka postojali su pokuaji da se dokae V postulat iz Euklic s z dovih Elemenata. Razlog je to je iskaz tog postulata daleko sloeniji od s z svoh ostalih postulata i aksioma koje Euklid navodi. U knjizi Saggio di una Bibliograa Euclidea od Riccardia, koja je objavljena u Bolonji 1890. godine, na dvadeset strana navedeni su naslovi monograja napisanih izmedu 1607. i 1887. godine koje se odnose na V postulat. Medu vanim pokuajima z s da se dokaze je Ptolomeja, priklusa, Wallis-a i drugi. Pokazalo se da se V postulat ne moe dokazati iz ostalih Euklidovih postulata i aksioma, tako z da se sa pravom moemo diviti Euklidu koji je V postulat uvrstio medu osz tale. Medutim ovi stavovi su doveli da mnogih stavova koji su ekvivalenti V postulatu u odnosu na ostale aksiome. Pored Hilberta, nevedeni su jo neki s stavovi koje zastupaju Lobaevski, J. Bolyai i K.F. Gauss. Ta geometrija je c geometrija Lobaevskog. pored euklidske i geometrije Lobaevskog postoje i c c druge geometrije koje se takode aksiomatski zasnivaju i za koje se dokazuju da su neprotivrene. c

20

O nastavi geometrije u koli s

Tokom mnogih vekova Elementi su bili jedini udzbenik po kome se predavala geometrija. Stoga je nastava geometrije optereena tradicijom daleko c 38

vie od nastave bilo kog drugog predmeta. Zaudujue je koliko su malo utis c c cala vana otkria u matematici na nastavu geometrije. Kada se razmislja o z c nastavi geometrije ili o nastavi matematike treba na prvom mestu imati na umu da e samo jedan manji deo uenika nastaviti da se bavi matematikom. c c Polazei od jednostavnijih primera, objasniti neke od osnovnih logikih pravc c ila koja se koriste u matematici. Vano je da uenik to pre upozna sa z c s pojmovima potrebnog i dovoljnog uslova, metodom dokazivanja, pravilom kontrapozicije. Treba polaziti od jednostavnijih primera.

39

2121.1

Veliki umoviPitagorac2 = b2 + a2 .

Pitagora(oko 596. p.n.e. - oko 475. p.n.e) - antiki losof i matematiar koji je najpoznatiji po svojoj c c teoremi o odnosu hipotenuze c i kateta a i b u pravouglom troglu

Sin Mnesarha, rezaa dragoga kamena. Rodjen na ostrvu Samosu(Jonija). Verovatno je da je po naredenju c samskoga tiranina Polikrata putovao u Egipat, da bolje upozna ustanove egipatskih svetenika. Zbog nes suglasica s Polikratom, a moda i samo zbog odvratnosti prema njegovoj tiraniji, preselio se u Kroton z u junoj Italiji ili Velikoj Heladi, gde su se, otkako je Jonija pod persijskom vla/cu poela da opada, z s c stvorila nova sredita helenske prosvete i mo s .

21.2

Tales

Tales(Talet Mileanin, Thales), (oko 625-548. pne.) iz Miletabio je svestrano obrazovan lozof.Aktivan c kao matematiar i kao dravnik, vaio je u starom veku kao prvi jonski prirodni lozof i ubrajali su ga c z z meddu Sedam mudraca. On je prvi pokuao da raznovrsnost pojava svede na jednu jedinu pramateriju s - vodu. Nije sigurno da li je ovo uenje izneo u nekom spisu. Kao matematiar poznat je po Talesovoj c c teoremi. Talesov uenik takode iz Mileta bio je lozof Anaksimandar (Anaximandros), iz prve polovine c VI veka pne.

21.3

Platon

Platon( 427. p.n.e.-347. p.n.e.)-roden u Atini. Neizmerno uticajan starogrki lozof, Sokratov uenik, c c a Aristotelov uitelj, i osniva Akademije u Atini. Platon je predavao na Akademiji, i pisao u formi dijaloga c c o mnogim lozofskim temama. Njegovo postojanje nam je poznato preko njegovih lozofskih i dramatikih c dela koja su ouvana u rukopisima obnovljenim i izdatim u mnogim izdanjima od poetka humanistikog c c c pokreta. Platonova pisana dela se skoro u potpunosti sastoje iz dijaloga, epigrama i pisama. Veina c poznatih platonovih dijaloga je sauvana, iako savremena izdanja njegovih dela sadre dijaloge koji se od c z lozofske javnosti smatraju ili sumnjivim (Alkibijad, Klitofon) ili verovatno lanim (Demodokus, Alkibiz jad Drugi). Sokrat se kao linost pojavljuje u veini Platonovih dijaloga, iako esto nije jasno koliko se c c c sadraj dijaloga i misli mogu pripisati Sokratu a koliko Platonu. U poslednjim Platonovim delima (Zakoni) z Sokrat se gubi kao uesnik u dijalogu. Poznati meseev krater je dobio ime Platonov krater, u njegovu ast. c c c

21.4

Euklid

Euklid(330. god. p.n.e- 275.god. p.n.e.)-Bio je poznati grki matematiar iz Atine. Ziveo je i radio c c u Aleksandriji gde je stvorio matematiku kolu. Napisao je brojna dela, od kojih neka nisu sauvana i c s c poznata su samo po naslovu. Sauvana dela su: c Elementi(geometrija kao nauka o prostoru) u 13 knjiga, Data (o uslovima zadavanja nekog matematikog objekta), c Optika (sa teorijom perspektive) U odnosu na druge naune oblasti, geometrija je dostigla zavidan nivo oko 300. god. pne. pojavom dela c Elementi. Tada u matematici geometrija dominira, pa su i brojevi interpretirani geometrijski. Euklid je pokuao da izlaganje bude stogo deduktivno i upravo zbog te doslednosti Elementiu vekovima s s smatrani najsavrenijim matematikim delom. Mnoge generacije matematiara i drugih naunika su uili s c c c c iz ove knjige kako se logiki zakljuuje i novo povezuje sa ranije utvrdenim injenicama. Kasnije su c c c Elementianalizirani i dopunjavani. Posebnu panju su privlaili aksiomi i postulati. U ovoj knjizi su z c sadrana sva saznanja i otkria do kojih su doli Euklid i njegovi prethodnici i savremenici u geometriji, z c s teoriji brojeva i algebri.

40

21.5

Aristotel

Aristotel(384. p. n. e. 322. p. n. e.), starogrki lozof, Platonov uenik i jedna od najuticajnijih c c linosti u istoriji evropske misli. Aristotel je roden u Stagiri, grkoj koloniji na makedonskom poluostrvu. c c Njegov otac, Nikomah, radio je kao dvorski lekar kod kralja Amintasa III Makedonskog, dede Aleksandra Velikog. Veruje se da su Aristotelovi preci bili na ovoj dunosti i kod ranijih makedonskih kraljeva. Pretz postavlja sa da je, kada je otiao u Atinu sa 18 godina, Aristotel imao i neka znanja iz medicine koja je s dobio od oca. Od 18. do 37. godine pohada Akademiju kao Platonov uenik. c

21.6

Nikolaj Ivanovi Lobaevski c c

Nikolaj Lobaevski(1793.-1856.)- ruski matematiar; sin arhitekte, roden u Novogordskoj oblasti, c c postavio temelje neeuklidske geometrije. Kada mu je bilo est godina, Lobaevskom je umro otac i poto s c s je njegova majka porodicu preselila u Kazanj, tamo je 1807. pohadao novootvoreni univerzitet. Studije zavrava 1811., docent postaje 1814., vanredni profesor 1816., redovni 1822., a 1827. postaje rektor to s ostaje sve do penzionisanja. Njegova vlada ga je odlikovala, ali je 1846, iz nejasnih razloga, pao u nemilost; tada se penzionie iz zdravstvenih razloga. Za ivota, Lobaevski je kao i Kopernik, bio nepoznat s z c i nepriznat ak i u svojoj domovini. Poznati nemac(ki matematic(ar Gaus, jedini je obratio panju na c z njegova velika otkria i pomagao njegov izbor za dopisnog lana Naunog udruenja u Getingenu. Ali c c c z tek kada je nakon Gausove smrti objavljeno da je on prihvatao teorije i dostignua Lobaevskog, tada je c c iznenadena matematika javnost prvi put ula za ime velikog ruskog matematiara. c c c

21.7

David Hilbert

David Hilbert(nem. David Hilbert, 23. 01. 1862 14.02.1943) je bio nemaki matematiar koji je dao c c vaan doprinos u nekoliko grana matematike. Hilbert je 1888. pooptio jednu vanu Zordanovu teoremu z s z na sisteme vieg reda, da bi 1899. godine objavio svoje uvene Osnove geometrije (Grundlagen der Ges c ometrie) u kojima je tu temu, konano, postavio na stroge aksiomatske osnove (Hilbertove aksiome). On c je takode pokazao da je geometrija jednako konzistentna kao aritmetika realnih brojeva. Godine 1900. Hilbert je postavio deo od 23 problema kao izazov matematiarima XX veka; reenja ili nekakav napredak s je uinjen za oko tri etvrtine njih. Kasnije se Hilbert posvetio radu na teorijskoj zici i osnovama matemc c atike. Razvijao je matematiki formalizam to ga je dovelo do dela Osnove matematike (Grundlagen der c Mathematik, 1934. - 1939.), zajedno sa Paulom Bernajsom. Drugi radovi Hilberta ukljuuju njegov dokaz c Varingovog problema, tj. pretpostavke koju je postavio Varing 1770, a prvo potpuno reenje je pronaao s s Hilbert 1909, zatim razvoj tzv. Hilbertovog prostora i doprinos u prouavanju integralnih jednaina i c c algebarske teorije brojeva.

21.8

Rene Dekart

Rene Dekart (1596.-1650.) bio je matematiar, lozof i naunik ije je delo Geometrija (La geometrie) c c c postavilo osnove dananjoj analitikoj geometriji. Zaetnik je novovjekovnog lozofskog pravca racionals c c izma, a esto se kae da se u njegovom djelu mogu nai i neke od prvih empiristikih teza. U Meditacijama c z c c o prvoj lozoji dosledno (tzv. metodskom sumnjom) izvodi ono prvo sigurno saznanja i uobliava ga u c uveno Cogito ergo sum stav koji e znaiti izvorni preokret u novovekovnoj evropskoj misli, odvajajui c c c c je od srednjevekovnog teocentrinog pogleda sholasticke provenijencije. U Dekartovoj lozoji, rekao bi c Hegel, subjekt postaje za sebe, konkretizuje se prevazilazei antiu objektivnost. c c

41

Sadraj z1 Geometrija 2 Istorijski razvoj geometrije 3 Period nastanka 4 Period sistematskog izlaganja 5 Nastanak analitike geometrije c 6 Izgradnja neeuklidskih geometrija 2 2 2 3 4 4 5 6 7 7 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 9 12 12 13 14 14 15 16 17 18 18 18 19 20 21 21 23 24 25 26 27 27 28 29 30 30 31 33 34 35 37

7 Teorija relativnosti 8 Podela geometrije 9 Euklidova geometrija 10 Elementarna geometrija 11 Osnovne oblasti geometrije 12 Planimetrija 12.1 Mnogougao . . . . . . . . . . . . . 12.2 Trougao . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Pravougli trougao . . . . . . . . . 12.4 Cetvorougao . . . . . . . . . . . . . 12.5 Paralelogram . . . . . . . . . . . . 12.6 Pravougaonik i kvadrat . . . . . . 12.7 Romb . . . . . . . . . . . . . . . . 12.8 Trapez . . . . . . . . . . . . . . . . 12.9 Krunica . . . . . . . . . . . . . . z 12.10Odseak (segment) i iseak (sektor) c c 12.11Kruni prsten . . . . . . . . . . . z 13 Stereometrija 13.1 Kocka . . 13.2 Kvadar . 13.3 Piramida 13.4 Prizma . . 13.5 Valjak . . 13.6 Lopta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14 Trigonometrija 14.1 Poreklo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Analitika geometrija c 15.1 Vektorski prostor . 15.2 Skalarni proizvod . 15.3 Vektorski proizvod 15.4 Ravan . . . . . . . 15.5 Ravan u analitikoj c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . geometriji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16 Neeuklidska geometrija 16.1 Istorija neeuklidske geometrije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Geometrija Lobaevskog c 17.1 O geometriji Lobaevskog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c 18 Projektivna geometrija 19 Aksiomatsko zasnivanje geometrije

42

20 O nastavi geometrije u koli s 21 Veliki umovi 21.1 Pitagora . . . . . . . . . . 21.2 Tales . . . . . . . . . . . . . 21.3 Platon . . . . . . . . . . . 21.4 Euklid . . . . . . . . . . . . 21.5 Aristotel . . . . . . . . . . . 21.6 Nikolaj Ivanovi Lobaevski c c 21.7 David Hilbert . . . . . . . . 21.8 Rene Dekart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38 40 40 40 40 40 41 41 41 41

43

Literatura [1] Zagorka Snajder, Nacrtna geometrija, Narodna knjiga, 1991. [2] Slobodanka Keckic, Aksiomatsko zasnivanje geometrije , Beograd, 1973. [3] Dr Branka Alimpic, O geometriji Lobacevskog , Beograd, 1973. [4] www.wikipedia.org [5] http://www.vets.edu.yu/

44