Analiticna geometrija in teorija številˇ - fmf.uni-lj.sihladnik/ZgodMat/Ang(b).pdf · Analiticna geometrijaˇ Teorija števil Huygens in ostali Vsebina Descartesove Geometrije 100

Analiticna geometrija Teorija števil Huygens in ostali

Analiticna geometrija in teorija števil

Milan Hladnik

Predavanja iz zgodovine matematikeFMF, Univerza v Ljubljani

12. december 2012


René Descartes (1596-1650)

Rojen blizu Toursa, jezuitska šola v La Flèchu. Leta 1612 sepreselil v Pariz, kjer je z Mersennom in Mydorgem zacelštudirati matematiko. Od 1617 dalje je nekaj let služboval kotvojak v armadi princa Mauricea Oranškega po Nemciji, Danski,Nizozemski, Švici in Italiji, nato pa nadaljeval študije.

Dvajset let preživel na Nizozemskem, leta 1649 pa se je napovabilo kraljice Kristine preselil na Švedsko, kjer je kmaluzbolel in umrl v Stockholmu za pljucnico.


René Descartes - portret

Slika: René Descartes


Descartesovo delo

1633 Le mond, fizikalna slika sveta

1637 Discourse de la méthode pour bien conduire saraison et chercher la vérité dans les sciencesz dodatki: La dioptrique, Les météores in La géométrie.

1641 Meditationes de prima philosophia

1644 Principia philosophiae


La géométrie 1637

Slika: Naslovna stran Descartesove knjige


Vsebina Descartesove Geometrije

100 strani dolga razprava in prinaša v prvem delu osnoveanaliticne geometrije:- konstrukcija tangente na krivuljo, podane z enacbo f (x ,y) = 0,npr. na stožnico, na Descartesov list, na Descartov oval(razdalji r1, r2 do dveh izbranih tock zadošcata relacijir1 +mr2 = a)- reševanje enacb stopnje vec kot 2 (tudi slavno Descartesovopravilo predznakov za dolocitev števila pozitivnih korenov)- standardizirana notacija (zacetne crke za koeficiente, zadnjeza neznanke ali spremenljivke, potence)- metoda nedolocenih koeficientov

Ni napisana jasno (težko branje), šele kasnejše latinske izdaje(npr. Fransa van Schootena 1649) so analiticno geometrijopopularizirale. Izraze, kot so npr. koordinate, abscisa, ordinata,je vpeljal Leibniz leta 1692.


Pierre de Fermat (1601-1665)

Rojen blizu Toulousa, sin trgovca, odvetnik, s 30 leti postalkancler lokalnega parlamenta in se odlikoval po skromnosti innatancnosti. Poleg pravnih zadev je vztrajno raziskovalmatematiko. Ceprav je za casa življenja objavil zelo malo, se jeveliko njegovih idej ohranilo v pismih mnogim vodilnimmatematikom tedanjega casa. Upraviceno ga štejejo za eneganajvecjih francoskih matematikov 17. stoletja.


Fermatov portret

Slika: Pierre de Fermat


Fermat in teorija števil

Mali Fermatov izrek: Ce je p praštevilo, ki ne deli a, jeap−1

−1 ≡ 0 (mod p).(pismo Fréniclu de Bessyju oktobra 1640, prvi objavljenidokaz je Eulerjev iz leta 1736)Vsako liho praštevilo je razlika dveh kvadratov in to na ensam nacin. Preprost (Fermatov) dokaz.Praštevilo oblike 4m +1 je vsota dveh kvadratov(Fermatovo pismo Mersennu decembra 1640, prviobjavljeni dokaz je iz leta 1754, ko je Euler pokazal tudienolicnost takega zapisa)Praštevilo oblike 4m +1 je (na en sam nacin) hipotenuzaceloštevilskega pravokotnega trikotnika; njegov kvadrat jehipotenuza dvakrat, kub trikrat itd.. Npr. 5 = 4 ·1+1,52 = 32 +42, 252 = 152 +202 = 72 +242,1252 = 752 +1002 = 352 +1202 = 442 +1172


Fermat in teorija števil - nadaljevanje

Vsako nenegativno število je vsota štirih ali manj kvadratov(netrivialni rezultat dokazal Lagrange leta 1770)

Plošcina celoštevilskega pravokotnega trikotnika ni kvadrat(tudi dokazal Lagrange)

Enacba x4 +y4 = z4 nima celoštevilske rešitve

Obstaja le ena celoštevilska rešitev enacbe x2 +2 = y3

(x = 5,y = 3) in le dve rešitvi enacbe x2 +4 = y3

(x = 2,y = 2 in x = 11,y = 5)


Redka Fermatova napaka

Mislil je, da so vsa števila oblike Fn = 22n+1 (Fermatova

števila) praštevila.

Euler, je pokazal, da je Fermatovo številoF5 = 232 +1 = 4294967297 deljivo s številom641 = 5 ·27 +1 = 54 +24.

Po eni strani 641 deli število 52·214

−1 = (5 ·27 +1)(5 ·27−1),

torej tudi 54·228

−1, po drugi strani pa število 54·228 +232.

Torej deli 641 tudi število 232 +1 = (54·228 +232)− (54

·228−1).


Veliki Fermatov izrek

Ne obstaja celoštevilska rešitev enacbe xn +yn = zn, ce jen > 2.

Opomba . Ta ugotovitev je bila zapisana kot opomba ob robu vFermatovi kopiji Bachetovega prevoda Diofantove Aritmetike ob8. problemu v II. knjigi. Fermat je še zapisal, da je našel cudovitdokaz, za katerega je na robu premalo prostora.

Mnogi poskusi dokaza niso uspeli:Fermat je znal dokazati primer n = 4, Euler n = 3, Legendre inDirichlet leta 1825 za n = 5 , Lamé leta 1837 za n = 7 itd.Veliko se je s problemom ukvarjal Eduard Kummer(1810-1893). Nerešljivost enacbe so potrdili za zelo velikaštevila n, splošne rešitve pa dolgo ni bilo.


Wilesova rešitev

Šele v letih 1994 in 1995 je angleški matematik Andrew Wiles(rojen leta 1953) dokazal domnevo Shimura-Taniyama in s tempo vec kot 350 letih potrdil resnicnost Fermatove trditve.

Slika: Andrew Wiles leta 2005


Fermatovo drugo delo

Leta 1897 so med Huygensovimi rokopisi v Leidnu našlibesedilo, ki pojasnjuje Fermatovo splošno metodoneskoncnega spusta, a katero je menda ugnal marsikateriproblem.

Nazadnje je dopisovanje med Fermatom in Pascalomglede vprašanj v zvezi z igrami rodilo osnovna spoznanja izverjetnostnega racuna.

Fermatov princip, po katerem svetloba potuje po poti, kjerporabi najmanj casa, je uporaben pri lomnem zakonu.


Christiaan Huygens (1629-1695)

Rojen v Hagu, študiral v Leidnu pri Fransu van Schootenumlajšemu , dvaindvajsetleten odkril napako pri Saint-Vincentovikvadraturi kroga in o tem objavil clanek. Objavil razprave okvadraturi stožnic ter o Snellovi trigonometricni izboljšaviklasicne metode za racunanje števila π.

Leta 1665 je na povabilo Ludvika XIV odpotoval v Pariz, postalclan novonastale akademije 1666, sodeloval tudi z Angleškokraljevsko družbo pri problemih dinamike trkov. Leta 1675 sopod njegovim vodstvom izdelali prvo uro na nihalno vzmet in jopodarili Ludviku XIV.

Leta 1681 se je po bolezni vrnil na Nizozemsko in se ukvarjal steleskopi, leta 1689 pa je obiskal Anglijo in se srecal zNewtonom. Zagovarjal je valovno naravo svetlobe, medtem kose je Newton ogreval za korpuskularno teorijo. Umrl je v Hagu.


Christiaan Huygens - portret

Slika: Vaillantov portret Christiaana Huygensa


Huygensovo delo

- Leta 1654 je z bratom izboljšal lece za astronomskaopazovanja in zastavil vrsto pomembnih astronomskih vprašanj.Izumil uro na nihalo.- Leta 1657 je napisal De ratiocinis in ludo aleae, najboljše deloo verjetnosti vse do razprave Jakoba Bernoullija Arsconjectandi iz leta 1713. V njej je uvedel pojem matematicnegaupanja in rešil vrsto težkih, a zanimivih problemov.- Leta 1673 je v Parizu izšla njegova velika razpravaHorologium oscillatorium. V prvem opisuje uro, ki jo je izumilleta 1656, v drugem dinamiko padajocih teles v vakuumuvzdolž razlicnih krivulj. Dokazana je izohronost cikloide. Vtretjem delu obravnava evolute in evolvente krivulj, v cetrtemsestavljena nihala, v petem delu pa opisuje cikloidno nihalo inuro. Konca pa se z izreki o centripetalni sili pri krožnem gibanju.


Horologium oscillatorium

Slika: Huygensova razprava Horologium oscillatorium


Druga manjša dela

- Rektifikacija Dioklove cisoide- Geometrijske raziskave verižnice, logaritmicne spirale indrugih krivulj- Uporaba Fermatovega pravila o maksimih in minimih v fiziki,poznal je nove metode analiticne geometrije ininfinitezimalnega racuna.


Evangelista Torricelli (1608-1647)

Galilejev ucenec, profesor matematike v Firencah

Fizika:Raziskovanje tlaka in gibanja v tekocinah, izum barometra

Matematika:- Prvi izracunal plošcino pod cikloidnim lokom in dolžino enegaloka logaritmicne spirale (prva krivulja razen krožnice, katero souspeli rektificirati).- Torricellijeva trobenta: prostornina zavrtene hiperbole y = 1/xna [1,∞) je koncna, površina ne.- Fermat-Steinerjeva tocka trikotnika (z minimalno vsoto razdaljdo njegovih oglišc)


Torricellijeva trobenta in tocka

Slika: Torricellijeva trobenta in Fermat-Steinerjeva tocka


Drugi italijanski matematiki

Vincenzo Viviani (1622-1703), Galilejev in Torricellijevucenec, je konstruiral tangento na cikloido, izvedeltrisekcijo kota z enakokrako hiperbolo, presenetil svet sproblemom, kako v polkrogelno kupolo napraviti štiri enakaokna, tako da se bo ostanek kupole dal kvadrirati. Znan posvoji krivulji, presecnici sfere in valja.

Giovanni Domenico Cassini (1625-1712) se je leta 1680ukvarjal z družino krivulj, dolocenih tako, da je produktocke do dveh izbranih tock konstanten (Cassinijevi ovali).Te krivulje nastanejo s preseki torusa z ravninami,vzporednimi osi (poseben primer Bernoullijeva lemniskata).


Vivianijeva krivulja

Slika: Vivianijeva krivulja


Cassinijevi ovali: r1r2 = b2

Slika: Cassinijevi ovali


Francoski matematiki

Bachet de Méziriac (1581-1638), znan po latinskemprevodu Diofantove Aritmetike 1621, ki jo je kupil tudiFermat. Napisal je uspešno zbirko matematicnihproblemov za kratek cas in rekreacijo Problèmes plaisantset délectables.Marin Mersenne (1588-1648), minoritski redovnik, ki si jeveliko dopisoval z vodilnimi matematiki. Najbolj znan je vzvezi s praštevili oblike 2p

−1 (Mersennova praštevila), kiso v bijekciji s popolnimi števili.Claude Mydorge (1585-1647), Descartesov prijatelj,geometer (stožnice) in fizik (optika), poenostavil mnogeApolonijeve izreke in zapustil vec kot tisoc geometrijskihproblemov za rekreacijo.Gilles Personne de Roberval (1602-1675), geometer,nedvisno iznašel Cavalierijev princip.


Angleški matematiki

William Brouncker (1620-1684), osnovatelj in prvipredsednik Londonske kraljeve družbe, si je stalnodopisoval z Wallisom, Fermatom in drugimi matematiki.James Gregory (1638-1675) je bil Škot, profesormatematike v St. Andrewsu in Edinburghu. V matematiki jeleta 1667 poiskal vrste za arkus tangens, tangens in arkussekans. Vrsta za arkus tangensarc tg x = x −x3/3+x5/5−x7/7+ ... se imenuje po njemin po Leibnizu. Gregory je locil med konvergentno indivergentno vrsto.Sir Christopher Wren (1632-1723), matematik, astronom inarhitekt, profesor astronomije na Oxfordu v letih 1661 do1673, nekaj casa predsednik Kraljeve družbe, ukvarjal seje tudi z dinamiko trkov, optiko, nebesno mehaniko; prvi jeleta 1658 izracunal dolžino loka cikloide.


Nemški matematiki

Ehrenfried Walther von Tschirnhausen (1651-1708), ki ještudiral kubicne krivulje in krivulje višjega reda.- Znana je njegova transformacija, ki odpravi drugi in tretjiclen v polinomski enacbi.- Katakavstika dane krivulje je ovojnica odbitih žarkov, kiizhajajo iz ene (lahko neskoncno oddaljene) tocke.Primeri:Katakavstika kroga za vzporedne žarke je epicikloidakoncentricnega kroga s pol manjšim polmerom z dvemaostema (nefroida).Katakavstika kroga za žarke z izvorom na obodu jeepicikloida koncentricnega kroga s trikrat manjšimpolmerom z eno ostjo (kardioida).


Primeri katakavstik kroga

Slika: Razlicni primeri katakavstike kroga glede na izvor žarkov


Nizozemski matematiki

Willebrord Snell (1580-1626) je bil cudežni otrok, zgodajobvladal matematiko, izumil je loksodromo in eden prvihraziskoval sfericno trigonometrijo. Odkril lomni zakon.Albert Girard (1595-1632), znan po formuli za plošcinosfericnega trikotnika z ekscesom, uredil Stevinovo deloGrégoire de Saint-Vincent (1584-1667) se je ukvarjal skvadraturo kroga.Frans van Schooten mlajši(1615-1660), uredil latinskoizdajo Decsartove Geometrije in ucil Huygensa.Johann Hudde (1633-1704), župan Amsterdama, ukvarjalse z iskanjem ekstremov ter reševanjem enacbRené Francois Walter de Sluze (1622-1685)Nocolaus Mercator (1620-1687), po njem se imenujelogaritemska vrsta ln(1+x) = x −x2/2+x3/3−x4/4+ ....


Girardov izrek: p(ABC) = α +β + γ −π

Slika: K dokazu Girardovega izreka o plošcini sfericnega trikotnika


Prve znanstvene akademije

1560 Napoli, prva (neformalna) akademija1603 Academia dei lincei v Rimu1652 Leopoldina v Halleju v Nemciji1662 Angleška kraljeva družba v Londonu1666 Francoska akademija v Parizu1700 Pruska akademija v Berlina1725 Ruska akademija v Sankt Peterburgu


Prve matematicne revije

Prva znanstvena casopisa:1665 angleški Philosophical Transactions in francoski Journaldes Sçavans1682 v Leipzigu: Acta Eruditorum (Leibniz in Mencke ).

Prva resnejša revija z zahtevnejšimi matematicnimi clanki:Journal de l’École Polytechnique z zacetkom leta 1794.

Prvo cisto matematicna revija:Annales de Mathématiques Pures et Appliquées, izdajal inurejal Joseph Diaz Gergonne (1771-1859 ) in jo urejal v letih1810-1831, nakar je prenehala izhajati.


Najstarejše še izhajajoce matematicne revije

Journal für die reine und angewandte Mathematik je leta 1826ustanovil nemški matematik August Leopold Crelle(1780-1855).Journal de mathématiques pures et appliquées, francoskicasopis, nadaljevanje Gergonnovih Analov se je pojavil leta1836 pod ustanoviteljstvom in uredništvom matematikaJosepha Liouvillea (1809-1882).Cambridge Mathematical Journal, ustanovljen leta 1839 se jekasneje veckrat preimenoval.The American Journal of Mathematics, prvi ameriškimatematicni casopis je leta 1878 ustanovilangleški matematik Joseph J. Sylvester (1814-1897).


Prva matematicna društva

1865 London Mathematical Society1872 Société mathématique de France1884 Circolo matematico di Palermo1890 Deutsche Mathematiker-Vereinigung (DMV)1894 The American Mathematical Society (AMS) iz 1888ustanovljenega društva New York Mathematical Society

Slovensko Društvo matematikov in fizikov (DMF),kasneje preimenovano vDruštvo matematikov, fizikov in astronomov (DMFA) Slovenije,je nastalo leta 1949.

Documents

Analiticna geometrija in teorija številˇ - fmf.uni-lj.sihladnik/ZgodMat/Ang(b).pdf · Analiticna geometrijaˇ Teorija števil Huygens in ostali Vsebina Descartesove Geometrije 100