4. TEORIJA IGARA - Ekonomski fakultet u · PDF file4. TEORIJA IGARA Teorija igara je matematička teorija za rešavanje problema konfliktnih situacija. Konfliktna situacija je ona

4. TEORIJA IGARA Teorija igara je matematička teorija za rešavanje problema konfliktnih situaci ja . Konfliktna situacija je ona u kojoj dolazi do sukoba interesa, tj . do konkurenci je učesnika u igri ( igrača, konkurenata). Osnovni pojam teorije igara je igra , kao matematički model realne konfliktne si tuacije. Osnovni zadatak teori je igara je određivanje optimalnog ponašanja učesnika u igri . Kriteri jum von Neumanna:

B j B1 B2 . . . Bn min. reda

A i qj

pi

q1 q

2 . . . qn (

jmin e i j)

A1 p1 e11 e12 . . . e1n

jmin e1 j

A2 p2 e21 e22 . . . e2n

jmin e2 j

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Am pm em1 em2 . . . emn

jmin emj

max. kolone

imax e i j

imax

e i 1 i

max

e i 2

. . . i

max

e i n i

max (j

min eij)=α≤ β =j

min (i

max eij)

Igra određena matricom

11 12 1

21 22 2

,

1 2

n

n

ij m n

m m mn

e e e

e e eE e

e e e

= =

L

L

M M M M

L

naziva se matrična

igra. A1 , A2 , . . . , Am su oznake za strategije (akcije) koje u igri ima na raspolaganju igrač A; B1 , B2 , . . . , Bn su oznake za strategije koje preduzima igrač B; eij=f(Ai,Bj) predstavl ja efekat (vrednost igre), kao posledica odabira akcije A i od strane igrača A i akcije B j od strane igrača B; Ako je e i j za igrača A dobit, onda je -e i j dobit (gubitak) za igrača B. Pošto je e i j + (-e i j) = 0, reč je o tzv. zero (nultoj) igri .

p1 , p2 , . . . , pm su oznake za verovatnoće da će igrač A odabrati odgovarajuće akcije A1 , A2 , . . . , Am pri čemu mora bit i :

pii

m

=∑ =

1

1 , ∀ ≥pi 0;

q1 , q2 , . . . , qn su oznake za verovatnoće da će igrač B odabrati strategije B1 , B2 , . . . , Bn pri čemu je:

qjj

n

=∑ =

1

1 , ∀ ≥qj 0 .

Kada je α β= , onda je reč o tzv. čistoj igri i tada postoji barem jedna tzv.

sedlasta tačka (tačka ravnoteže, prelomna tačka). Kada je α αk = i β βr =

i kada je α βk r kre= = , onda postoji jedna sedlasta tačka T(Ak , B r) , pa je Ak

optimalna strategi ja za igrača A, a B r optimalna strategija za igrača B, uz vrednost igre e0=W=ekr . Primer 1.

A i B j B1 B2 B3 B4 min reda

A1 100 50 20 10 10

A2 60 80 50 60 50 max(min) =α

A3 20 40 50 80 20 max kolone 100 80 50 80 α β= = 50

min(max)=β

Sedlasta tačka je T(A2 , B3) . Optimalna strategija za igrača A je A2 , a za igrača B je B3 . Vrednost igre u optimalnom slučaju je W=50. Kada je

α α αk s= = , a β βr = i kada je α β= = =e ekr sr onda postoje dve sedlaste

tačke T1(Ak , B r) i T2(A s , B r) . Primer 2.


A1 100 50 20 10 10

A2 60 80 50 60 50 max(min)= α

A3 60 60 50 80 50 max kolone 100 80 50 80 α β= = 50

min(max)=β

Sedlaste tačke su T1(A2 , B3) i T2(A3 , B3) . Optimalne strategi je za igrača A su A2 i A3 , dok je za igrača B optimalna strategi ja B3 . Vrednost igre u optimalnoj situacij i je W=50. Kada je α αk = , a β β βr s= = i kada je

α β= = =e ekr ks , onda postoje dve sedlaste tačke:

T1(Ak , B r) i T2(Ak , B s). Primer 3.


A1 100 50 20 10 10

A2 60 50 50 60 50 max(min)= α

A3 20 40 50 80 20 max kolone 100 50 50 80 α β= = 50

min(max)=β Sedlaste tačke su T1(A2 , B2) i T2(A2 , B3) . Optimalna strategija za igrača A je A2 , dok igrač B ima na raspolaganju dve optimalne strategije B2 i B3 . Vrednost igre u optimalnom slučaju je w=50. Po analogij i rešavamo probleme sa više sedlastih tačaka.

― . ―

Ako je α≠β, t j . ako je α < β, onda se radi o tzv . mešovitoj igri i onda ne postoji sedlasta tačka, pa se vrednost igre nalazi između α i β, tj . α<w=e0< β. U ovom slučaju se e0=w može odrediti uz pomoć verovatnoća p i , q j kao verovatna vrednost, pri čemu p i i q j predstavl jaju učestalosti korišćenja pojedinih strategija od strane igrača A odnosno igrača B u optimalnom slučaju. Neka je data igra sa matricom [e i j]m,n . Za igrača A(I1) postoji optimalna

strategija da odabere A1 sao

p1 , A2 sa o

p2 , . . . , Am sa o

mp i da tako sebi

obezbedi očekivanu dobit u najmanjem iznosu w. Ovu strategiju karakteriše vektor verovatnoća (frekvencija) :

),...,,(21

o

m

ooopppp =

Za igrača B(I2) optimalnu strategiju će karakterisati vektor:

=oq ),...,,(

21

o

n

ooqqq

a takvom strategijom će obezbediti da mu gubitak bude najviše w. Optimalna strategija za oba igrača se može dobiti rešavanjem sistema od m+n+2 jednačine i l i nejednačine, sa m+n+1 nepoznatih p1 , p2 , . . . , pm , q1 , q2 , . . . , qn , w:

p1 + p2 + . . . + pm =1 p i ≥ 0 e11p1 + e21p2 + . . . + em1pm ≥ w e12p1 + e22p2 + . . . + em2pm ≥ w . . . e1np1 + e2np2 + . . . + emnpm ≥ w q1 + q2 + .. . + qn = 1; q j ≥ 0 e11q1 + e12q2 + . . . + e1nqn ≤ w e21q1 + e22q2 + . . . + e2nqn ≤ w . . . em1q1 + em2q2+ .. . + emnqn ≤ w Jedan od efikasnih načina rešavanja ovog problema je simpleks metod l inearnog programiranja. Rešenje: Ako podelimo sve nejednačine sa w i uvedemo oznake p i/w = x i , a q j/w = y j , onda ćemo dobiti sledeća dva modela: x1 , x2 , . . . , xn ≥ 0 e11x1 + e21x2 + . . . + em1 xm ≥1 e12x1 + e22x2 + . . . + em2 xm ≥1 . . . e1nx1 + e2nx2 + . . . + emn xm ≥1 x1 + x2+ .. . + xm = v→ min y1 , y2 , . . . , yn ≥ 0 e11y1 + e12y2 + . . . + e1n yn ≤1 e21y1 + e22y2 + . . . + e2n yn ≤ 1 . . . em1y1 + em2y2 + . . . + emn yn ≤ 1 y1 + y2+ . . . + yn = z → max Rešavanjem drugog modela kao Primarnog dobiju se i rešenja prvog modela kao Duala. Polazna tabela za rešavanje problema:

y1 y2 . . . yn x1 e11 e12 . . . e1n 1 x2 e21 e22 . . . e2n 1 . . .

.

.

.

. . .

xm em1 em2 emn 1 1 1 . . . 1 z=0

Primer 4.

A i B j B1 B2 B3 min reda

A1 6 8 5 5 A2 9 6 10 6 max(min)

= α max kolone 9 8 10 α=6<w<β=8

min(max)=β

Optimalne učestalosti korišćenja pojedinih strategija za svakog igrača ćemo u ovom primeru odrediti pomoću simpleks metoda l inearnog programiranja (tabelarno). Rešenje:

y1 y2 y3

x1 6 (8) 5 1

x2 9 6 10 1

1 1 1 0

y1 x1 y3

y2 3/4 1/8 5/8 1/8

x2 9/2 -3/4 (25/4) 1/4

1/4 -1/8 3/8 -1/8

y1 x1 x2

y2 3/10 1/5 -1/10 1/10

y3 18/25 -3/25 4/25 1/25

-1/50 -2/25 -3/50 -7/50

iiii wxpx

w

p=⇒=

jjj

jwyqy

w

q=⇒=

max

1

zW =

zmax=7

50, y1=0, y2=

1

10, y3=

1

25 su rešenja primarnog problema.

vmin=zmax=7

50, x1=

2

25, x2=

3

50 su rešenja duala.

w=1 50

77

1

77143

zmax

,= = ≈

p1=x1 ⋅w=2

25

50

7

4

70 57143⋅ = ≈ ,

p2=x2 ⋅w=3

50

50

7

3

70 42857⋅ = ≈ ,

q1=y1 ⋅w= 050

70⋅ =

q2=y2 ⋅w=1

10

50

7

5

70 7143⋅ = ≈ ,

q3=y3 ⋅w=1

25

50

70 2857⋅ = ,

U optimalnom slučaju igrač A treba da u približno 57% pokušaja koristi strategi ju A1 , a u približno 43% pokušaja strategiju A2 . Igrač B ne treba da koristi strategiju B1 , dok strategije B2 i B3 treba da koristi približno u 71% odnosno 29% pokušaja. Vrednost igre u optimalnom slučaju je približno

w≈7,143.

-.- Do ovog rezultata može se doći na još jedan način. Za početak, posmatrajmo matričnu igru formata 2x2:

Strategije Strategije igrača B

igrača A B1 B2

A1 e11 e12

A2 e21 e22

Lako se proverava da matrične igre ovog formata nemaju sedlastu tačku ukoliko se dva maksimalna elementa nalaze na glavnoj ili na sporednoj dijagonali. Bez umanjenja opštosti, pretpostavimo da su dva maksimalna elementa e11 i e22 i pretpostavimo da igrač B bira strategiju B1 sa verovatnoćom q i strategiju B2 sa verovatnoćom 1 – q, tj. q1 = q i q2 = 1 – q. Tada se očekivana vrednost igre za igrača A može odrediti na sledeći način. Ukoliko

primeni strategiju A1 igrač A očekuje dobitak )1(1211 qeqe −⋅+⋅ , a ukoliko odabere

strategiju A2, )1(2221 qeqe −⋅+⋅ . Ako se ove dve očekivane vrednosti izjednače, dobija se

)()( 12222111

1222

eeee

eeq

−+−

−= ,

odakle sledi da vrednost igre iznosi

)()( 12222111

21122211

eeee

eeeew

−+−

⋅−⋅= .

Slično, ako je p1 = p i p2 = 1 – p, odnosno igrač A bira strategiju A1 sa verovatnoćom p i strategiju A2 sa verovatnoćom 1 – p, može se pokazati da je

)()( 21221211

2122

eeee

eep

−+−

−= .

Po dimenzijama i složenosti, sledeće su igre dimenzija 2xn, n>2, u kojima igrač B ima na raspolaganju n strategija, kao i igre dimenzija mx2, m>2, u kojima igrač A može da upotrebi neku od m raspoloživih strategija. Posmatrajmo primer 4 i pretpostavimo da igrač A bira strategiju A1 sa verovatnoćom p i strategiju A2 sa verovatnoćom 1 – p. Na slici 1 grafički su prikazani gubici igrača B s obzirom na strategije igrača A, tako što leva osa predstavlja strategiju A1 a desna strategiju A2. Za svaku vrednost sa x–ose, na pravoj koja odgovara strategiji Bi možemo očitati gubitak igrača B ako igrač A igra (1–x) A1 i x A2. Kada bi igrač B imao dovoljno informacija o potezu igrača A, najbolji odgovor nalazio bi se na donjoj obvojnici prikazanoj na slici 1. S druge strane, među svim navedenim vrednostima igrač A želi da izabere maksimalan iznos, odnosno tačku T.

1B

2B

3B

2A

1A

Slika 1.

Možemo uočiti da se tačka T nalazi u preseku pravih koje odgovaraju strategijama B2 i B3, što implicira da se vrednost igre u optimalnom slučaju može odrediti kao rešenje podproblema


igrača A B2 B3

A1 8 5

A2 6 10

Koristeći gore navedene obrasce dobija se 7

4=p ,

7

5=q i

7

50=w , odnosno

7

41

=p , 7

32

=p ,

01 =q , 7

52 =q ,

7

23 =q .

Primetimo da x–koordinata tačke T odgovara verovatnoći 1–p, dok y–koordinata pokazuje na vrednost igre w. Ako igrač A primeni mešovitu strategiju sa verovatnoćama p1=4/7,

p2=3/7, a B igra strategiju B1 tada može da očekuje gubitak 7

54

7

3

74 106 =⋅+⋅ , veći od

vrednosti igre u optimalnom slučaju. Ova tačka nalazi se u preseku prave koja odgovara strategiji B1 i vertikalne prave naspram tačke x.

- . - Tehnika primenjena u teorij i igara može se upotrebiti za rešavanje problema donošenja odluka u situacijama neizvesnosti , kada raspolažemo određenim brojem strategija koje odabiramo očekujući nastupanje i prisustvo manjeg i l i većeg broja različit ih okolnosti . Verovatnoće nastupanja pojedinih okolnosti su nepoznate, a eventualno možemo subjektivno da ih procenimo (pretpostavimo). Primer 5.


igrača A B2 B3

A1 4 0

A2 6 -4

A3 -6 6

A4 2 -2

A5 -6 2

Kako je 0=α i 6=β , navedeni primer nema sedlastu tačku, te se radi o mešovitoj igri. Na

Slici 2 grafički su prikazani dobici igrača A s obzirom na alternative igrača B.

1A

2A

3A

2B1B

4A

5A

Slika 2.

Za razliku od prethodnog primera, igrač A teži da ostvari maksimalan dobitak s obzirom na strategije igrača B. Stoga se vrednosti koje bira A nalaze na gornjoj obvojnici prikazanoj na Slici 2. Igrač B teži da ostvari minimalne gubitke, te bira tačku T sa navedene obvojnice. Očigledno je da se ovakav rezultat ostvaruje ukoliko igrač A bira strategije A1 i A3. Zato je podproblem koji vodi do optimalnog rešenja sledećeg oblika:


igrača A B1 B2

A1 4 0

A3 -6 6

Slično kao u prethodnom primeru, dobija se 75,0=p , 375,0=q i 5,1=w , tačnije

p 1=0,75; p2=0; p3=0,25; p4=0; p5=0; q1=0,375; q2=0,625. U optimalnom slučaju igrač A treba da u pribl ižno 75% pokušaja koristi stategiju A1, u 25% pokušaja strategiju A3 dok strategije A2, A4 i A5 ne treba da koristi. Igrač B u približno 37,5% pokušaja treba da koristi strategiju B1 a u 62,5% strategiju B2. Vrednost igre u optimalnom slučaju iznosi 1,5. Primetimo da ako igrač B igra mešovitu strategiju sa verovatnoćama q1=0,375; q2=0,625, a igrač A primeni neku od strategi ja A2, A4 i A5, može da očekuje manji dobitak od vrednosti igre (-0,25; -0,5 i -1, respektivno), što se može uočiti i na slici 2.

Teorema (John von Neumann, 1928): Svaka matrična igra dimenzija mxn ima optimalno rešenje. Tačnije, postoji jedinstvena vrednost igre w i optimalna (čista ili mešovita) strategija za igrače A i B, tako da:

a) Ako igrač A primeni optimalnu strategiju, njegov dobitak biće w≥ , bez obzira

na strategiju igrača B,

b) Ako igrač B primeni optimalnu strategiju, dobitak igrača A biće w≤ , bez obzira

na strategiju koju primeni igrač A.

c) Optimalno rešenje uvek se može odrediti kao rešenje odgovarajućeg

podproblema dimenzija kxk.

Drugim rečima, rešenje svake matrične igre dimenzija mxn može se odrediti kao rešenje podproblema dimenzija 1x1 (sedlasta tačka), 2x2, 3x3 ili neke veće kvadratne matrične igre.

Primer 6. Jedna veća fabrika elektrometalnog kompleksa treba da se opredeli za proizvodnju proizvoda između sledeće tri grupe: proizvodi investicionog karaktera, aparati za domaćinstvo i specijalne mašine. Procenjenu dobit u određenom periodu za svaku grupu proizvoda, pri nastupanju različit ih okolnosti (stanja tržišta, kao napr. konjunktura, recesija , depresija) prikazuje sledeća tabela:

Okolnosti (Oj) Strategije (Ai)

O1 Konjunktura

O2 Recesija

O3 Depresija

A1:Investicioni proizvodi 40 6 -15 A2:Aparati za domaćinstvo 22 16 2 A3: Specijalne mašine 12 10 8

Odrediti optimalnu strategiju za ovo preduzeće. Rešenje: a) Prema Waldovom kriterijumu (kriteri jumu pesimizma i l i MAXMIN kriteri jumu):

Oj Ai

O1 O2 O3

Minimum reda

A1 A2 A3

40 22 12

6 16 10

-15 2 8

-15 2 8

8=max(min)

Prema ovom kriteri jumu treba odabrati strategiju A3 , t j . odlučit i se za proizvodnju specijalnih mašina. b) Prema Hurwiczovom kriterijumu (kriteri jumu optimizma): Ovaj kriteri jum pretpostavlja uvažavanje određenog optimizma donosioca

odluke u vidu tzv. koefici jenta optimizma k , pri čemu je 0≤k≤1 . Neka je k=0,6 .

A i Očekivane vrednosti efekata pri k=0,6

A1

A2

A3

0,6 ⋅40+0,4 ⋅(-15)=18 → max

0,6 ⋅22+0,4 ⋅2=14

0,6 ⋅12+0,4 ⋅8=10,4

Prema ovom kri teri jumu i odabranom koefici jentu optimizma treba se odlučit i za strategiju A1 . Ako se uzme k=1 , onda se dobija tzv. MAXMAX kriteri jum potpunog optimizma.

A i maksimum reda

A1

A2

A3

40 →max

22

12

Odluka: A1 . Kada bi koefici jent optimizma bio k=0,4 onda bi bilo:

A i Očekivane vrednosti efekata pri k=0,4

A1

A2

A3

0,4 ⋅40+0,6 ⋅(-15)=7

0,4 ⋅22+0,6 ⋅2=10 → max

0,4 ⋅12+0,6 ⋅8=9,6

Optimalna strategija bi bila A2 . c) Prema Savageovom (Sejvidž) kriterijumu (kri teri jum žaljenja i l i MINMAX kriteri jum): Matrica gubitaka (propuštene dobiti ):

Oj

Ai

O1 O2 O3 Maksimum reda

A1

A2

0

18

10

0

23

6

23

18 min(max)

A3 28 6 0 28

Prema ovom kriteri jumu treba se odlučit i za A2 . d) Prema Laplaceovom (Laplas) kriterijumu nedovol jnog razloga (nedovoljnih informaci ja o mogućim nastupanjima pojedinih okolnosti) : Prema ovom kriteri jumu se, zbog nepoznavanja procene o mogućnosti nastupanja pojedinih okolnosti , uzima da je jednako verovatno da će nastupiti bilo koja od okolnosti ( u ovom slučaju je reč o verovatnoći

1/3≈33,33%)

A i Očekivane vrednosti efekata

A1

A2

A3

1

3⋅ (40+6-15)≈10,33

1

3⋅ (22+16+2)≈13,33 → max

1

3⋅ (12+10+8)=10

Prema ovom kriteri jumu treba se odlučit i za A2 . e) Prema Bayesovom kriterijumu : Prema ovom kriteri jumu se polazi od mogućnosti da donosilac odluke, na osnovu sopstvenog iskustva, i l i iskustva angažovanog eksperta, subjektivno proceni verovatnoće nastupanja pojedinih okolnosti . Neka su procene verovatnoća nastupanja pojedinih okolnosti redom 0,5; 0,3 i 0,2.

A i Očekivane vrednosti efekata

A1

A2

A3

0,5 ⋅40+0,3 ⋅6+0,2⋅(-15)=18,8 → max

0,5 ⋅12+0,3 ⋅16+0,2 ⋅2=16,2

0,5 ⋅12+0,3 ⋅10+0,2 ⋅8=10,6

Prema ovom kriteri jumu treba se odlučit i za A1 . Odabrane subjektivne verovatnoće se nazivaju još i a prior i verovatnoće , pa se prethodna analiza često naziva a priori analiza. Više eksperata posmatrane problematike daće bolje procene o

verovatnoćama nastupanja pojedinih okolnosti i veću sigurnost donosiocu odluke pri odlučivanju. Pretpostavimo da je dat zadatak stručnjacima ekspertskog tima da odgovore na pitanje kako se prihvataju proizvodi posmatranog preduzeća pri nastupanju pojedinih okolnosti . Dobijeni su rezultati u vidu tzv. uslovnih verovatnoća P(Sk(O j)) , koje npr. pokazuje sledeća tabela:

Oj

Sk

O1 O2 O3

S1

S2

0,8

0,2

0,5

0,5

0,4

0,6

Procena S1 neka znači da se prihvataju proizvodi posmatranog preduzeća na tržištu, a S2 da se ne prihvataju proizvodi istog preduzeća na tržištu. Za dalju analizu je potrebno odrediti a posteriori verovatnoće po Bayesovoj formuli :

( )( )

( )1

( ) ||

( ) |

j k j

j k n

j k j

j

P O P S OP O S

P O P S O=

⋅=

⋅∑

Rezultate postupka izračunavanja ovih verovatnoća prikazuje sledeća tabela:

Sk O j P(O j) P(Sk|O j

) P(O j)·P(Sk|O j) A posteriori verovatnoće

P(O j|Sk)

S1 O1

O2

O3

0,5

0,3

0,2

0,8

0,5

0,4

0,4

0,15

0,08

0,4:0,63=0,6349

0,15:0,63=0,2381

0,08:0,63=0,1270

0,63=P(S1) 1,0000

S2 O1

O2

O3

0,5

0,3

0,2

0,2

0,5

0,6

0,1

0,15

0,12

0,1:0,37=0,2703

0,15:0,37=0,4054

0,12:0,37=0,3243

0,37=P(S2) 1,0000

Očekivane vrednosti efekata u a posteriori analizi su: Za S1 :

E(A1) = 0,6349 ⋅40 + 0,2381 ⋅6 + 0,1270 ⋅(-15) = 24,92

E(A2) = 0,6349 ⋅22 + 0,2381 ⋅16 + 0,1270⋅2 = 18,03

E(A3) = 0,6349 ⋅12 + 0,2381 ⋅10 + 0,1270⋅8 = 11,02

Za S2 :

E(A1) = 0,2703 ⋅40 + 0,4054 ⋅6 + 0,3243 ⋅(-15) = 8,38

E(A2) = 0,2703 ⋅22 + 0,4054 ⋅16 + 0,3243⋅2 = 13,08

E(A3) = 0,2703 ⋅12 + 0,4054 ⋅10 + 0,3243⋅8 = 9,89

Radi preglednosti ove rezultate prikazujemo sledećom tabelom:

Sk

E(A i)

S1 S2

E(A1) 24,92 8,38

E(A2) 18,03 13,08

E(A3) 11,02 9,89

Pod pretpostavkom procene S1 optimalna je strategija A1 , a u slučaju procene S2 optimalna je strategija A2 . Verovatnoća da će se ostvarit i najveći efekat od 24,92 iznosi 63% (P(S1)=0,63).

Zadaci za vežbu

1. Da li sledeće matrične igre imaju sedlastu tačku? a)


igrača A B1 B2 B3 B4

A1 30 10 25 10

A2 10 5 -5 -20

A3 -5 0 10 5

A4 15 10 20 10

b)


igrača A B1 B2 B3

A1 5 -20 71

A2 -10 -40 -5

A3 -20 -30 20

c)


igrača A B1 B2 B3

A1 11 2 -5

A2 6 8 -2

A3 4 11 -2

d)


igrača A B1 B2 B3

A1 7 -1 2

A2 3 1 2

Rešenje: a) Pretpostavimo da je igrač A odabrao strategiju Ai i da je igrač B odabrao strategiju Bj. Za efekat eij kažemo da je sedalsta tačka ako je eij manje ili jednako od svih ostalih ishoda igre u redu i i istovremeno veće ili jednako od svih ishoda u koloni j. Na ovaj način, izborom strategije Ai igrač A ne može da dobije manje od ovog ishoda, dok izborom strategije Bj igrač B ne može da ostvari gubitak veći od eij.

Strategije Strategije igrača B minimum

igrača A B1 B2 B3 B4 Reda

A1 30 10 25 10 10

A2 10 5 -5 -20 -20

A3 -5 0 10 5 -5

A4 15 10 20 10 10

}10,5,20,10max{ −−=α

10=α

maksimum kolone

30 10 25 10

10}10,25,10,30min{ ==β

10== βα

Sedlaste tačke su T1(A1,B2), T2(A1,B4), T3(A4,B2), T4(A4,B4), a vrednost igre iznosi w=10. Primetimo da tačka T(A2,B1) nije sedlasta tačka iako bi odabirom strategija (A2,B1) ishod igre iznosio takođe 10. b) T(A1,B2). c) T1(A2,B3), T2(A3,B3). d) T(A2,B2). 2. Date su matrične igre: i)


igrača A B1 B2

A1 19 30

A2 21 12

ii)


igrača A B1 B2

A1 -3 8

A2 6 1

a) Naći donju i gornju granicu vrednosti igre. b) Odrediti optimalne strategije i vrednost igre. Rešenje: i) a) 19=α , 21=β .

b) p1= 0,45; p2= 0,55; q1= 0,9; q2= 0,1; w=20,1. ii) a) 1=α , 6=β .

b) p1= 0,3125; p2= 0,6875; q1= 0,4375; q2= 0,5625; w=3,1875. 3. Date su matrične igre: i)


igrača A B1 B2

A1 40 5

A2 10 60

A3 30 40

ii)



A1 55 40 10 20

A2 25 60 55 40

a) Naći donju i gornju granicu vrednosti igre. b) Grafički prikazati strategije igrača i odrediti optimalne strategije i vrednost igre rešavajući odgovarajući podproblem. c) Odrediti optimalne strategije i vrednost igre pomoću simpleks metoda. Rešenje: i) a) 30=α , 40=β .

b)

1A2A

3A

2B1B

Slika 3.

Na osnovu Slike 3. može se zaključiti da se optimalna vrednost igre dobija ukoliko igrač A odabere strategije A1 i A3. Stoga je podproblem koji vodi do optimalnog rešenja

Strategije

Strategije igrača B

igrača A B1 B2

A1 40 5

A3 30 40

čije rešenje glasi: p1= 0,2222; p2= 0,7778; q1= 0,7778; q2= 0,2222; w=32,2222.

Odavde sledi da u optimalnom slučaju igrač A ne treba da koristi strategiju A2, u približno 22,22% pokušaja koristi strategiju A1 a u približno 77,78% slučajeva strategiju A3. igrač B treba da u približno 77,78% pokušaja koristi strategiju B1, a u približno 22,22% slučajeva strategiju B2. Vrednost igre u optimalnom slučaju iznosi približno 32,2222. c) Samostalno. ii) a) 25=α , 40=β .

b)

1B

2B

3B

2A1A

4B

Slika 4.

p1= 0,3; p2= 0,7; q1= 0,4; q2= 0,6; w=34. c) Samostalno. 4. Date su matrične igre i)



A1 8 12 20 36

A2 14 26 10 40

A3 28 13 15 57

ii)


igrača A B1 B2 B3

A1 2 4 6

A2 4 2 2

A3 3 4 2

iii)


igrača A B1 B2 B3

A1 4 16 8

A2 21 4 6

A3 8 12 17

a) Naći donju i gornju granicu vrednosti igre. b) Odrediti optimalne strategije i vrednost igre pomoću simpleks metoda. Rešenje: i) a)

Strategije Strategije igrača B minimum

igrača A B1 B2 B3 B4 reda

A1 8 12 20 36 8

A2 14 26 10 40 10

A3 28 13 15 57 13

maksimum kolone

28 26 20 57 βα =<= 2013

Kako je βα =<= 2013 , ne postoji sedlasta tačka i vrednost igre w nalazi se u intervalu

(13,20). b)

y1 y2 y3 y4

x1 8 12 (20) 36 1

x2 14 26 10 40 1

x3 28 13 15 57 1

1 1 1 1 0

y1 y2 x1 y4

y3 4/5 3/5 1/20 9/5 1/20

x2 10 (20) -1/2 22 172

x3 22 4 -3/4 30 174

3/5 2/5 -1/20 -4/5 -1/20

y1 x2 x1 y4

y3 1/10 -3/100 13/200 57/50 7/200

y2 1/2 1/20 -1/40 11/10 1/40

x3 (20) -1/5 -13/20 128/5 3/20

2/5 -1/50 -1/25 -31/25 -3/50

x3 x2 x1 y4

y3 -1/200 -29/1000 273/4000 253/250 137/4000

y2 -1/40 11/200 -7/800 23/50 17/800

y1 1/20 -1/100 -13/400 32/25 3/400

-1/50 -2/125 -27/1000 -219/125 -63/1000

Odavde sledi:

1000

63max =z ,

400

31 =y ,

800

172 =y ,

4000

1373 =y ,

1000

63min

=v , 1000

271

=x , 125

22

=x , 50

13

=x , 03

=x ,

odnosno

87,1563

10001

min

≈==v

w ,

4286,063

1000

1000

2711

≈⋅=⋅= wxp , 2540,063

1000

125

222

≈⋅=⋅= wxp ,

3175,063

1000

50

133 ≈⋅=⋅= wxp , 0

63

1000044 =⋅=⋅= wxp ,

1190,063

1000

400

311

≈⋅=⋅= wyq , 3373,063

1000

800

1722

≈⋅=⋅= wyq ,

5437,063

1000

4000

13733 ≈⋅=⋅= wyq .

U optimalnom slučaju igrač A treba da u približno 42,86% pokušaja koristi strategiju A1, u približno 25,40% slučajeva strategiju A2, u približno 31,75% pokušaja strategiju A3, dok strategiju A4 ne treba da koristi. Igrač B u približno 11,20% pokušaja koristi strategiju B1, u približno 33,73% slučajeva strategiju B2, u približno 54,37% pokušaja strategiju B3. Vrednost igre u optimalnom slučaju iznosi približno 15,87. ii) a) 2=α , 4=β .

b) 7

231

== pp , 7

33

=p ,

7

41 =q ,

7

22 =q ,

7

13 =q .

7

22=w .

iii) a) 8=α , 16=β .

b) ≈1p 31,31%; ≈2p 30,98%; ≈3

p 37,71%;

≈1q 39,06%; ≈2q 54,21%; ≈3

q 6,73%;

≈w 10,74.

5. Koji od proizvoda A1, A2, A3, A4, plasirati na tržište, ako mogu nastupiti okolnosti O1, O2, O3, ako su dobiti od proizvoda u zavisnosti od pojedinih okolnosti prikazane u sledećoj tabeli:

Okolnosti Strategije O1 O2 O3

A1 30 40 25

A2 30 30 45

A3 25 35 50

A4 15 25 40

Odrediti optimalnu strategiju primenom: a) Valdovog kriterijuma.

b) Hurvičovog kriterijuma ako je koeficijent optimizma 45%.

c) Sejvidžovog kriterijuma.

d) Laplasovog kriterijuma.

e) Bajesovog kriterijuma, ako verovatnoće nastupanja okolnosti O1, O2, O3, iznose

30%, 60%, 10% respektivno. Pretpostaviti da su uslovne verovatnoće za navedene

okolnosti prema situaciji S1, da se proizvod prihvata, odnosno S2, da se proizvod

delimično prihvata date u sledećoj tabeli:

Okolnosti Situacije

O1 O2 O3

S1 0,7 0,8 0,4

S2 0,3 0,2 0,6

Rešenje: a) Kod Valdovog kriterijuma, prvo je potrebno odrediti minimalni dobitak za svaki proizvod, a potom se bira proizvod koji po ovom kriterijumu ima maksimalnu vrednost.

Okolnosti minimum Strategije O1 O2 O3 reda

A1 30 40 25 25

A2 30 30 45 30

A3 25 35 50 25

30}15,25,30,25max{ =

A4 15 25 40 15

Prema Valdovom kriterijumu treba odabrati strategiju A3. b) Kod Hurvičovog kriterijuma se za odgovarajući koeficijent optimizma k izračunavaju očekivani dobici za svaki proizvod Ai tako što se maksimalan dobitak množi sa koeficijentom optimizma k, a minimalan dobitak sa (1 – k). Potom se bira proizvod sa maksimalnom očekivanom vrednošću.

Strategije

Očekivani dobici za k = 0,45

A1 75,312555,04045,0 =⋅+⋅

A2 75,363055,04545,0 =⋅+⋅

A3 25,362555,05045,0 =⋅+⋅

75,36}25,26;25,36;75,36;75,31max{ =

A4 25,261555,04045,0 =⋅+⋅

Prema Hurvičovom kriterijumu, uz koeficijent optimizma 0,45, treba odabrati strategiju A2. c) Kod Sejvidžovog kriterijuma, postavlja se pitanje koliko iznosi propuštena dobit za svaki proizvod pod pretpostavkom da nastupi okolnost Oj, j = 1,2,3. Potom se određuje maksimalna propuštena dobit za svaki proizvod i bira proizvod koji po ovom kriterijumu ima minimalnu vrednost.

Okolnosti maksimum Strategije O1 O2 O3 reda

A1 0 0 25 25

A2 0 10 5 10

A3 5 5 0 5

A4 15 15 10 15

5}15,5,10,25min{ =

Prema Sejvidžovom kriterijumu, treba odabrati strategiju A3. d) Kod Laplasovog kriterijuma polazi se od pretpostavke da se svaka od okolnosti može pojaviti sa podjednakom verovatnoćom. Kako je broj okolnosti tri, verovatnoća da nastupi Oj j = 1,2,3 iznosi 1/3.

Strategije Očekivani dobici

A1 67,3125403031

31

31 =⋅+⋅+⋅

A2 3545303031

31

31 =⋅+⋅+⋅

A3 67,3650352531

31

31 =⋅+⋅+⋅

A4 67,2640251531

31

31 =⋅+⋅+⋅

67,36}67,26;67,36;35;67,31max{ =

Prema Laplasovom kriterijumu, treba odabrati strategiju A3. e) Kako su u ovom delu zadatka poznate verovatnoće nastupanja pojedinih okolnosti, izračunavaju se očekivane dobiti za svaki od proizvoda, a potom se bira proizvod koji ima najveću očekivanu vrednost.

Strategije Očekivani dobici

A1 5,35251,0406,0303,0 =⋅+⋅+⋅

A2 5,31451,0306,0303,0 =⋅+⋅+⋅

A3 5,33501,0356,0253,0 =⋅+⋅+⋅

A4 5,23401,0256,0153,0 =⋅+⋅+⋅

5,35}5,23;5,33;5,31;5,35max{ =

Prema ovom kriterijumu, treba odabrati strategiju A1. U cilju donošenja pouzdanije odluke, potrebno je izvšiti a posteriori analizu, koristeći uslovne verovatnoće. Tačnije, izračunavaju se Bajesove verovatnoće prema sledećem obrascu:

∑=

⋅

⋅=

m

j

jkj

jkj

kj

OSPOP

OSPOPSOP

1

)|()(

)|()()|( .

Situacije (Sk)

Okolnosti (Oj)

)( jOP )|( jk OSP )|()( jkj OSPOP ⋅ )|( kj SOP

S1 O1 0,3 0,7 0,21 0,2877

O2 0,6 0,8 0,48 0,6575

O3 0,1 0,4 0,04 0,0548

Ukupno: 0,73 1,0000

O1 0,3 0,3 0,09 0,3333

O2 0,6 0,2 0,12 0,4444 S2

O3 0,1 0,6 0,06 0,2222

Ukupno: 0,27 1,0000

Očekivani dobici za svaki od proizvoda, pod pretpostavkom nastupanja okolnosti Si, i = 1,2, izračunavju se na sledeći način: Za S1: E(A1)=0,2877·30+0,6575·40+0,0548·25=36,30

E(A2)=0,2877·30+0,6575·30+0,0548·45=30,82 E(A3)=0,2877·25+0,6575·35+0,0548·50=32,95 E(A4)=0,2877·15+0,6575·25+0,0548·40=22,95

Za S1: E(A1)=0,3333·30+0.4444·40+0,2222·25=33,33

E(A2)=0,3333·30+0,4444·30+0,2222·45=33,33 E(A3)=0,3333·25+0,4444·35+0,2222·50=35,00 E(A4)=0,3333·15+0,4444·25+0,2222·40=25,00

Odnosno, Očekivan

i Situacije

dobici S1 S2

E(A1) 36,30 33,33

E(A2) 30,82 33,33

E(A3) 32,95 35,00

E(A4) 22,95 25,00

Pod prepostavkom situacije S1 optimalna je strategija A1, dok je pod pretpostavkom nastanka situacije S2 optimalna je strategija A3. Verovanoća da se postigne najveći dobitak od 36,30 iznosi 73%. 6. Koji od proizvoda A1, A2, A3, plasirati na tržište, ako mogu nastupiti okolnosti O1, O2, O3, ako su dobiti od proizvoda u zavisnosti od pojedinih okolnosti prikazane u sledećoj tabeli:

Okolnosti Strategije O1 O2 O3

A1 20 30 1

A2 10 3 30

A3 -5 5 15


b) Hurvičovog kriterijuma ako je koeficijent optimizma 0,7.



e) Bajesovog kriterijuma, ako verovatnoće nastupanja okolnosti O1, O2, O3, iznose

25%, 35%, 40% respektivno. Pretpostaviti da su uslovne verovatnoće za navedene

okolnosti prema situaciji S1, da se proizvod prihvata, odnosno S2, da se proizvod

delimično prihvata date u sledećoj tabeli:

Okolnosti Situacije

O1 O2 O3

S1 0,6 0,35 0,5

S2 0,4 0,65 0,5

Rešenje: a) A2; b) A2; c) A3; d) A1; e) A priori analiza: A1;

A posteriori: pod pretpostavkom S1 optimalna strategija je A2, a pod pretpostavkom S2 optimalna strategija je A1. Verovatnoća da će se ostvariti najveći efekat(17,11) iznosi 52,75%.

7. Koji proizvod od A1, A2, A3, plasirati na tržište, ako mogu nastupiti dve okolnosti O1, O2, a dobiti od proizvoda u zavisnosti od pojedinih okolnosti prikazane u sledećoj tabeli:

Okolnosti Strategije O1 O2

A1 6 20

A2 12 2

A3 8 17


b) Hurvičovog kriterijuma ako je koeficijent optimizma 0,9.



e) Bajesovog kriterijuma, ako se zna da okolnost O1 može da nastupi sa verovatnoćom

40%. Izvršiti a posteriori analizu, pod pretpostavkom da mogu nastupiti dve

situacije: proizvod se prihvata S1 i proizvod se delimično prihvata S2, i da su ove

verovatnoće date u sledećoj tabeli.

Okolnosti Situacije

O1 O2

S1 0,8 0,3

S2 0,2 0,7

Rešenje: a) A3; b) A1; c) A3; d) A1; e) A priori analiza: A1;

A posteriori: pod pretpostavkom S1 optimalna strategija je A3, a pod pretpostavkom S2 optimalna strategija je A1. Verovatnoća da će se ostvariti najveći efekat(88,8) iznosi 50%.

Documents

4. TEORIJA IGARA - Ekonomski fakultet u · PDF file4. TEORIJA IGARA Teorija igara je matematička teorija za rešavanje problema konfliktnih situacija. Konfliktna situacija je ona