Teorija plasticnosti_2010_11

Inkrementalna teorija

plastičnosti(rate theory of plasticity)

Klasične teorije nelinearnog ponašanja materijala

Mehanika kontinuuma

0

Za izotermale i statičke uvjete vrijedi

Prvi zakon termodinamike : u :

Drugi zakon termodinamike : :

sa :

u specifičnaunutarnjaenergija

tenzor deformacija

tenzornaprezanja

Helmholtz ova slobod

D

naenergija

disipacijeenergijeD

div

(m) m

T

Jednadžba ravnoteže : g 0

Tenzor deformacija (Boltzman - ov continuum) :

1(U I) ; m 0

m

sa :

U F : F right stretch tensor

F deformation gradient tensor

1Green Lagrange strain tensor (m 2) : (F F I)

2

Biot strain te

nsor (m 1) : U I

Logaritmic strain tensor (m 0) : lnU

Mehanika kontinuuma

Konstituitivni zakon :

: ( , )

( , ) ( , ): :

D

D

Mehanika kontinuuma

za elasticni materijal :

( )konstitutivni zakon

• Povijest:

- Coulomb (1773)

- Tresca (1864)

- Saint Venant (1870)

- Levy (1871)

- Haar i von Karman (1909)

- von Mieses (1913)

Teorija plastičnosti

Osnovne pretpostavke:

• Nelinearnost je posljedica prirasta plastične

deformacije

• Materijal je linearno elastičan

• Kriterij tečenja materijala

• Totalna deformacija se sastoji od elastičnog i

plastičnog dijela

• Pretpostavka maximalne disipacije energije

e p ε ε εDekompozicija deformacija:

e e e p( ) σ D ε D ε εKonstitutivni zakon (elastičnost):

Pravilo tečenja:

Uvjet plastičnog tečenja (ploha tečenja): 0),(f qσ

),(λp qσg ε

Zakon očvršćenja materijala: )();,(λ κhqκσkκ

f je funkcija tečenja; g definira smjer plastične deformacije;

je tzv. Plastični multiplikator; q & k su parametri vezani uz

svojstva materijala.

λ

Osnovne jednadžbe:

Iz uvjeta maksimalne disipacije energije (ireverzibilna termodinamika):

gdje je: = plastični potencijal( , )

g σ qσ

( , )

k σ κq

0

1

2

0

0

el

el

el pl

tot pl pl pl pl

pl

el

elel pl

el

pl

pl

: ( , )

( , , ) : D : ( )

Za elastični materijal :

D :

: :t t

:t

: q

D

D

D

D 0 q h( )t

Pravilo tečenja & očvršćenje materijala

0

0 0

0 0

pl

Y

pl

: q qt

Lagrange ova metoda maximizacije funkcionala :

( ,q) gdje je : ( ,q) ( ,q) (q)

Maximalna disipacija:

; g( ,q); k( , ); g ; kq q

uz uvjete :

D

D

0 0

Pravilo tečenja & očvršćenje materijala

Pravilo tečenja

pridruženo, (elasto - plastic stiffness matrix symetric)

/ normal to the yield surface (normality rule)

p

g f

f( , )

f

σ q ε

σ

σ

nepridruženo,

(elasto - plastic stiffness matrix non - symetric)

g f f

kombinacija

elastično stanje : f < 0

funkcija tečenja: f = 0 0p ε

0λ

plastično stanje : f = 0 0λ

Karush-Kuhn-Tucker-ovi uvjeti opterećenja-rasterećenja

(iz uvjeta maximalne disipacije):

Uvjet konzistentnosti plastičnog tečenja:

0fλ,0λ,0f

0fλ

Kriterij tečenja materijala (tzv. ploha tečenja)

Uvjeti opterećenja / rasterećenja

f 0 elastic loading / unloading

f 0 f 0 0 plastic loading

f 0 f 0 0 elastic unloading

f 0 f 0 0 neutral loading

f = 0

Drucker-ov postulat stabilnosti

0d)(,0dd p*TTpT εσσεσ

Očvršćenje materijala

)(F)(F),(f :hardening isotropic 1 qσqσ

stressbackα

F)α(F),(f :hardening kinematic 1

-σqσ

ncombinatio

Numerički algoritam

( , )p g σ qε

0ff

f

TT

q

qσ

σ gεDσ λe

kκ

hκ

κ

hq

λ

κh/f/f/withε

λ qσTqe

Tσ

eTσ

HqfσfHkfgDf

Df

εHkfgDf

DgfDDσ

Tqe

Tσ

eTσe

e

1)

2)

Tresca kriterij tečenja (1864)

hardening) (noconstant material k

stress yieldσ

σ2

1k

0k)σσ(2

1)(f

y

y

31

σ

Von Mises-ov kriterij tečenja (1913)

2 0

2 2 2

2 1 2 2 3 3 1

1 2 3

0

0

2

( ) ( ) 0

1( ) ( ) ( )

6

principal stresses

material constant (no hardening)

1

3

Representative stress :

3

y

f J

J

J

σ σ

Ekvivalentna naprezanja i deformacije

Kako bi se naprezanje u slučaju višeosnog stanje naprezanje direktno moglo usporediti

s jednoosnim stanjem naprezanje koriste se ekvivalentna naprezanja odnosno deformacije

Ekvivalentno naprezanje

Ekvivalentna deformacija

Ekvivalentni inkrement plastične deformacije

Von Mises sa očvrčćenjem (1913)

0 2 0

0

0 2 0

0 2 0

( , ) ( ) 0

2: ( )

3

: ( , ) ( )

: ( , ) ( )

T

p p

f J

or h

isotropic hardening f J

kinematic hardening f J

σ σ

hardening σ

σ σ

σ σ

Strain-hardening hypothesis

Work-hardening hypothesis

Plohe tečenja za kvazi krte

materijale(beton, keramika, ..)

Tipične plohe (krivulje) sloma betona za stanje više-osnog naprezanja

2

1

3,2

2,3

3,2

fcm1

2

3,2

Krivulje sloma i tipični razvoj pukotina za slučaj dvo-osnog stanja

naprezanja – relativno prema jedno-osnoj tlačnoj čvrstoći betona fC

Hofstetter/Mang 1995

Tipične krivulje opterečenja za slučaj dvo-osnog stanje naprezanja

Mohr-Coulomb kriterij tečenja (1773)

1 3 1 3

1 3

( ) ( ) (2 cos ) ( )sin 0

0

( ) ( ) 2 0 ( 2 )

σ

σ

f c

c kohezija

kut trenja

za

f c or k Tresca

Mohr-Coulomb-ov kriterij tečenja

Drucker-Prager-ova ploha tečenja

tcoefficienfriction α

stresses principalσσσ

3/)σσσ(3/Iσ

σσσI

0τ)α(J)(Iα)(f

321

3211V

3211

021

σσσ

Plohe tečenja materijala

Realne plohe tečenja beton + nepridruženo pravilo tečenja

1 2 1 1 2 2 3 2

33 1 2 33/ 2

2

2 2

( , , ) ( ) 1 0

3 3cos3 ( )( )( )

2

1cos arccos( cos3 ) cos3 0

3( )

1cos arccos( cos3 ) cos3 0

3 3

4(1 )cos (2( )

V V V

f I J c I c r J c J

JJ

J

K if

r

K if

e er

Ottosen :

Willam & Warnke :

2

2 2 2 2

1)

2(1 )cos (2 1) 4(1 )cos 5 4e e e e e

3-parameter model

5-parameter model

11-parameter model (ELM)

“Multi-surface” model plastičnosti

1

2

Rankine

Von Mises

M

M'

N

N'

15025

30

25

30

P'

P

10

01

00

5

65

50

50

S

T

Primjer: DEN uzorak (M.B. Nooru-Mohamed, 1992)

DEN uzorak (M.B. Nooru-Mohamed, 1992)

X

Y

Z

X

0. 15. 30. 45. 60. 75. 90. 105. 120. 135. 150. 165. 180. 195.

Y

0.

15.

30.

45.

60.

75.

90.

105.

120.

135.

150.

165.

180.

195.

210.

V3

L1

C1

“anisotropic damage”pridruženo pravilo tečenja

nepridruženo pravilo tečenjaexperiment

Plastična veza izmedju naprezanja i deformacije

Levi-Mieses jednadžba

Vrijedi za totalni inkrement deformacije uz uvjet da je elastični dio << od plastičnog

Potreban kriterij tečenja !

Pravilo tečenja

Prandtl-Reuss-ova jednadžba

Pravilo tečenja

Potreban kriterij tečenja !

Plastično tečenje anizotropnih materijala (Hill, 1948)

Pravilo tečenja: Prandtl-Reuss-ova jednadžba

Kriterij tečenja

Uvod u mehaniku oštećenja materijala

E0

Ed

mikropukotine

E0

Ed

naprezanje

deformacija

Mehanika oštećenja– mehanika loma

Mehanika oštećenja – osnovne jedn. za 1D

Mehanika oštećenja (naprezanje –deformacija)






Jednostavni izotropni model



Evolucija oštećenja


Zakon oštećenja

max( )

loadingunloading

Evolucija oštećenja (matematički opis)

32

1

1,2,3

( ) ( );

( ) : ( , ) ( )

.

/

Rankine - ov kriterij :

1 1 1max

i

i

T

e

e e ei ii

g ili samo za monotono opterecenje g

ploha krivulja ostecenja f

McAuley eva zagrada

or E

orE E E

Beton :

D

D D D

32

1i


( ) 0

( )

f

g






1n

n

Evolucija oštećenja (inkrementalni postupak)

Poznato:

Odrediti:

sec tan

secsec

secsec

secsec

secsec

sec e

sec e tan sec e

: d : d

dd d: :

dt dt dt

dd d d: : :

dt d dt dt

dd : d : : d

d

d dd : : d : : d

d d

dd : d : : : d

d

d dd : : : d : :

d d

D D

DD

DD

DD

DD

D D

D D D D D

Tangentna matrica krutosti

0

0

00

0

omeksanje : exp ; model parameter

0

ostecenje : ( )1 exp

t f

f

t

f

f

if

g fif

E

Izotropni model oštećenja betona (vlak)

0

tf

0E

Anizotropni model ostećenja

e

pqrsijklpqrs

e

ijklijkl DDD

Pojednostavljenja

• Princip ekvivalentnih deformacija

• Princip ekvivalentnih naprezanja

• Princip ekvivalentne energije

M

M'

N

N'

15025

30

25

30

P'

P

10

01

00

5

65

50

50

S

T

Primjer: DEN uzorak (M.B. Nooru-Mohamed, 1992)

DEN uzorak (M.B. Nooru-Mohamed, 1992)

X

Y

Z

X

0. 15. 30. 45. 60. 75. 90. 105. 120. 135. 150. 165. 180. 195.

Y

0.

15.

30.

45.

60.

75.

90.

105.

120.

135.

150.

165.

180.

195.

210.

V3

L1

C1

X

Y

Z X

Y

Z

PH= 10 kN

PH

PV

Double-Edge-Notched

uzorak

Izotropno oštećenje Anizotropno oštećenje

Documents

Teorija plasticnosti_2010_11