TEORI BAHASA DAN AUTOMATA.pdf

7/24/2019 TEORI BAHASA DAN AUTOMATA.pdf

1/105


2/105

i

Kata Pengantar

Teori bahasa dan automata merupakan salah satu mata kuliah yang wajib di

jurusan-jurusan informatika maupun ilmu komputer. Salah satunya pada STMIK Asia

Malang. Mata kuliah ini mempelajari tentang notasi-notasi bahasa yang digunakan dalam

komputer. Bahasan dalam mata kuliah ini akan banyak diimplementasikan pada teknik

kompilasi. Oleh sebab itu akan terasa manfaatnya pada saat anda mempelajari tentang

kompilasi.

Penulis mencoba menyajikan sesuatu dengan cara sesederhana mungkin dengan

bahasa yang mudah diterima sehingga mengurangi kesulitan mahasiswa pada perkuliahan

ini. Penulis mengharapkan pembaca bisa menangkap materi dan persoalan-persoalan

yang diberikan. Diharapkan pembaca dapat menikmati permasalahan tanpa

memandangnya sebagai sesuatu yang sulit. Sesuai dengan namanya, mata kuliah ini

hanya memuat teori saja, tanpa memuat hal-hal praktis yang dapat diterapkan langsung

dalam praktek.

Penulis menyadari bahwa maz banyak kekurangan di sini, baik kesalahan

pengetikan maupun kekurangtepatan dalam penjelasan. Penulis dengan senang hati akan

menerima saran dan kritik membangun dari pembaca, dapat disampaikan melalui e-mail

[email protected].

Tidak lupa penulis mengucapkan terima kasih yang tak terhingga lepada ALLAH

SWT atas segala berkahnya, Ibunda tercinta yang akhir-akhir ini sering missed, Suamiku

tercinta yang kadang-kadang juga nyebelin, dan calon dede dalam perutku yang akan

menjadi semangat sepanjang hidupku. Serta semua saudaraku, sahabatku serta rekan

rekan kerja di ASIA Malang.

Malang, Agustus 2008

Rina Dewi Indah Sari


3/105

ii

Daftar Isi

Kata Pengantar ............................................................................................. i

Daftar Isi ........................................................................................................ ii

Bab I : Pengantar .......................................................................................... 1

1.1 Teori Pengantar ................................................................................ 1

1.1.1 Teori Himpunan ...................................................................... 1

1.1.2 Fungsi dan Relasi..................................................................... 4

1.1.3 Teori Pembuktian..................................................................... 4

1.1.4 Graph dan Tree ....................................................................... 5

1.2 Kompilasi ......................................................................................... 7

1.2.1 Bahasa Pemrograman .............................................................. 7

1.2.2 Translator ................................................................................ 7

1.2.3 Interpreter ................................................................................ 8

1.2.4 Assembler ............................................................................... 8

1.2.5 Compiler ................................................................................. 9

Bab II : Konsep Bahasa Automata .............................................................. 13

2.1 Konsep Bahasa dan Automata ......................................................... 13

2.1.1 Teori Bahasa ........................................................................... 13

2.1.2 Automata ................................................................................. 13

2.1.3 String ....................................................................................... 14

2.1.4 Operasi Dasar String ............................................................... 14

2.1.5 Sifat-sifat Operasi String ......................................................... 16

2.2 Grammar dan Bahasa ....................................................................... 17

2.2.1 Definisi .................................................................................... 17

2.2.2 Simbol ..................................................................................... 17

2.2.3 Aturan Produksi ...................................................................... 18

2.2.4 Grammar ................................................................................. 18

2.2.5 Klasifikasi Chomsky ............................................................... 19

2.2.6 Analisa Grammar .................................................................... 21

Bab III : Finite State Automata (FSA) ........................................................ 24


4/105

iii

3.1 Definisi Formal ................................................................................ 24

3.2 Fungsi Transisi ................................................................................. 25

3.3 Jenis-jenis FSA ................................................................................ 25

3.4 Deterministic finite automata (DFA) ............................................... 26

3.5 Non deterministik finite automata (NFA) ........................................ 27

3.6 Ekuivalen ......................................................................................... 29

3.7 Indistinguishable .............................................................................. 29

3.8 Distinguishable ................................................................................ 29

3.9 Prosedur menentukan pasangan status indistinguishable ................ 30

3.10 Prosedur Reduksi DFA .................................................................... 30

Bab IV : Ekuivalensi NFA ke DFA ............................................................. 32

4.1 Algoritma Ekivalensi NFA ke DFA ................................................ 32

4.2 NFA dengan -move ........................................................................ 34

4.3 Ekuivalensi NFA dengan -move ke NFA tanpa -move ................ 34

4.4 Penggabungan FSA .......................................................................... 35

Bab V : Ekspresi Reguler ............................................................................. 37

5.1 Bahasa regular .................................................................................. 37

5.2 Sifat Bahasa Reguler ........................................................................ 38

5.3 Konversi ekspresi reguler ke FSA ................................................... 395.4 DFA dan Tatabahasa Reguler .......................................................... 39

5.5 Penerapan ekspresi regular .............................................................. 41

5.6 Pumping Lemma............................................................................... 41

Bab VI : FSA dengan Output ...................................................................... 43

6.1 Mesin Moore .................................................................................... 43

6.2 Mesin Mealy .................................................................................... 44

6.3 Ekuivalensi mesin Moore dengan mesin Mealy .............................. 45

Bab VII : Bahasa Bebas Konteks ................................................................ 47

7.1 Tata Bahasa Bebas Konteks ............................................................. 47

7.2 Leftmost dan Rightmost Derivation ................................................. 48

7.3 Pohon Urai ....................................................................................... 49

7.4 Parsing dan Keanggotaan ................................................................. 49


5/105

iv

7.5 Ambiguitas pada Tatabahasa dan Bahasa ........................................ 50

7.6 Pumping Lemma untuk bahasa bebas konteks ................................ 50

7.7 Sifat - sifat tertutup bahasa bebas konteks ....................................... 51

7.8 Substitusi .......................................................................................... 52

7.9 Tatabahasa Bebas Konteks dan Bahasa Pemrograman .................... 52

Bab VIII : Penyederhanaan Tata Bahasa Bebas Konteks ........................ 53

8.1 Penghilangan Produksi Useless ....................................................... 53

8.2 Penghilangan Produksi Unit ............................................................ 55

8.3 Penghilangan Produksi .................................................................. 57

8.4 Pengembangan praktek .................................................................... 58

Bab IX : Bentuk Normal Chomsky ............................................................. 60

9.1 Pengertian ........................................................................................ 60

9.2 Aturan Produksi ............................................................................... 60

9.3 Pembentukan CNF ........................................................................... 60

9.4 Bagan Tahapan Pembentukan CNF ................................................. 61

9.5 Algoritma CYK untuk Tata Bahasa Bebas Konteks ........................ 63

Bab X : Penghilangan Rekursif Kiri ........................................................... 69

10.1 Aturan Produksi Rekursif ................................................................ 69

10.2 Pohon Penurunan ............................................................................. 69

10.3 Tahapan Penghilangan Rekursif Kiri ............................................... 70

Bab XI : Bentuk Normal Greibach ............................................................. 73

11.1 Pengertian Bentuk Normal Greibach ............................................... 73

11.2 Pembentukan GNF dengan Substitusi ............................................. 73

Bab XII : Pushdown Automata (PDA) ........................................................ 77

12.1 Pendahuluan ..................................................................................... 77

12.2 Transisi ............................................................................................. 77

12.3 Definisi Formal PDA ....................................................................... 78

Bab XIII : Mesin Turing .............................................................................. 83

13.1 Sejarah .............................................................................................. 83

13.2 Mekanisme TM ................................................................................ 83

13.3 Definisi Formal ................................................................................ 83


6/105

v

13.4 Ilustrasi TM sebagai sebuah mesin ............................................... 84

13.5 Ilustrasi TM sebagai sebuah Graf berarah ....................................... 84

Bab XIV : Aplikasi FSA dan CFG pada Pengembangan Kompilator ..... 87

14.1 Scanner ............................................................................................. 87

14.2 Parser ................................................................................................ 87

14.3 Tool bantuan untuk konstruksi Scanner dan Parser.......................... 88

14.4 Implementasi Scanner dan Parser .................................................... 90

Daftar Pustaka .............................................................................................. 99


7/105

1

Bab I

PENGANTAR

1.1.Teori Pengantar1.1.1. Teori Himpunan

Definisi sebuah himpunan adalah kumpulan obyek atau simbol yang memiliki

sifat yang sama. Anggota himpunan disebut elemen

Contoh:

Terdapat sebuah himpunan X = {1, 2, 4}, maka

1 X 1 merupakan elemen dari himpunan X

3 X 3 bukan elemen dari himpunan X

A. Himpunan Sama

Himpunan dikatakan sama bila memuat elemen - elemen yang sama.

Contoh :

Terdapat beberapa himpunan,

X = {1, 2, 4}

Y = {4, 1, 2}

Z = {1, 2, 3}

Maka,

X = Y

X Z

B. Himpunan Bagian (Subset)

Himpunan bagian adalah jika semua elemen dari himpunan A adalah elemen

dari himpunan B.Contoh :

Terdapat beberapa himpunan,

A = {1, 2, 3}

B = {1, 2, 3, 4}

C = {1, 2, 3}


8/105

2

Maka,

A B dan C B, maka A = C

C. Himpunan Kosong

Himpunan kosong atau null() merupakan bagian dari semua himpunan.

Contoh :

Terdapat himpunan,

A = {1, 2, 3}

B = {1, 2, 3, 4}

C = {1, 2, 3}

Maka,

A

B

C

D. Operasi operasi himpunan

1. Gabungan (Union), dinyatakan dengan

Misal, A = {1, 2, 3}

B = {2, 4}

Jika P = A B, maka

P = {x | x A atau x B}

P = {1, 2, 3, 4}

Bisa dianalogikan dengan penjumlahan

A B = A B = A + B

2. Irisan (Intersection), dinyatakan dengan

Misal, A = {1, 2, 3}

B = {2, 4}

C = {10, 11}

Jika P = A B, maka

P = {x | x A dan x B}P = {2}

A C = , disebut saling lepas (disjoint)

Bisa dianalogikan dengan perkalian

A B = A B = A . B


9/105

3

3. Komplemen, adalah semua elemen yang tidak menjadi elemen himpunan

tersebut. Semua himpunan yang dibahas diasumsikan merupakan bagian

dari suatu himpunan semesta (Universal).

Jadi komplemen A = A = U A

Misal A = {1, 2, 3}

B = {2, 4}

C = {10, 11}

Maka, A B = {1, 3}

B C =

E. Beberapa ketentuan pada operasi himpunan

o A = A

o A =

o A B A B = A

o A B A B = B

o A A = A

o A A = A

o Komunikatif, A B = B A

A B = B A

o Assosiatif, A ( B C ) = (A B) C

A ( B C ) = (A B) C

o Distributif, A ( B C ) = (A B) ( A C)

A ( B C ) = (A B) ( A C)

o Hukum DeMorgan, A B = A B

(A B) = A B

o (A B) = A B

o (A) = A

o = U

o U =


10/105

4

1.1.2. Fungsi dan Relasi

Suatu fungsi adalah sebuah relasi yang memenuhi suatu kriteria.

Contoh:

f : A B dan g : A B, maka

f = g f(x) = g(x) untuk semua x di dalam A

Beberapa ketentuan fungsi

1. f() =

2. f({x}) = {f(x)} untuk semua x A

3. X Y A f(x) f(y)

4. X Y B f-1(x) f-1(y)

5. X B dan Y B f-1(x-y) = f-1(x) - f-1(y)

Kombinasi

Fungsi dapat dikombinasikan dengan cara komposisi, dinotasikan dengan o

Misal:

f(x) = 2x + 1

g(x) = x2

Maka,

g o f(x) = g(2x + 1) = (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1

1.1.3. Teori Pembuktian

Pembuktian menggunakan prinsip induksi matematika.

Langkah-langkah dalam melakukan pembuktian :

o Tunjukkan hal itu berlaku untuk semua P0, disebut basis step.

o Tunjukkan hal itu berlaku untuk Pn+1, disebut induction step.

o Maka dapat ditarik kesimpulan hal tersebut berlaku untuk semua n

Contoh Pembuktian

S(n) = 1 + 2 + . + n = n(n+1)/2, n bilangan bulat positif

S(0) = 0(0+1)/2 = 0 (terbukti)

S(1) = 1(1+1)/2 = 1 (terbukti)


11/105

5

S(i) = 1 + 2 + . + i = i(i+1)/2 (anggap benar)

Akan dibuktikan S(i+1) juga benar

S(i+1) = (i+1)((i+1)+1)/2

= 1+2+.+i+(i+1)

= i(i+1)/2 + (i+1)

= (i+1)(i/2+1)

= (i+1)(i+2)/2

= (i+1)((i+1)+1)/2 (terbukti)

Jadi, S(n) benar

1.1.4. Graph dan Tree

Suatu graph adalah himpunan vertex (titik) yang tidak kosong dengan setiap sisi

(edge) menghubungkan 2 buah titik.

G = ( V , E ); V = vertex / titik

E = edge / sisi

|V(G)| = banyak titik pada graph G = E+1

|E(G)| = banyak sisi pada graph G = V-1

Contoh sebuah Graph

Istilah-istilah dalam teori graph

o Lup/ gelung, adalah sisi yang menghubungkan titik dengan titik itu sendiri.

o Titik terminal, adalah titik yang berderajat 1

o Derajat, adalah banyaknya sisi dalam 1 titik

o Titik terasing, adalah titik yang berderajat nol

V2

V1

V3V4

V5

V6

V7

V8

V9


12/105

6

o Adjantcy/ berdekatan, adalah bila titik-titik terhubung langsung oleh suatu

sisi.

o Incident/ bersisian, adalah bila titik tidak terhubung langsung.

o Lintasan/ Path, adalah urutan titik dan sisi dalam suatu graph terhubung.

o Jalan/ Trail, adalah urutan titik dan sisi dalam graph yang tidak mengulang

sisi.

o Sikel, adalah path yang dimulai dan diakhiri pada titik yang sama.

o Graph terhubung, adalah graph yang semua titiknya dihubungkan oleh

sisi.

o Graph sederhana, adalah graph yang tidak ada simpul/ lup.

o Graph berarah/ directed graph, adalah graph yang sisinya mempunyai

arah.

o Graph tidak berarah/ undirected graph

o Graph komplit, adalah graph yang semua titik-titiknya terhubung langsung

(lema jabat tangan)

- Jumlah sisi |E(G)| = degV(G)/2

- Derajat max = V-1

|E(G)| = 6/2 = 3

Deg = 3-1 = 2

o Euler

- Lintasan Euler, adalah lintasan yang melalui semua sisi tepat 1

kali dalam graph.

- Sirkuit Euler, adalah lintasan Euler yang berangkat dan

berakhir pada titik yang sama.

o Hamilton

- Lintasan hamilton, adalah lintasan yang melalui semua titik

tepat 1 kali dalam graph.

- Sirkuit hamilton, adalah lintasan hamilton yang berangkat dan

berakhir pada titik yang sama.

v1 v2

v3


13/105

7

1.2.Kompilasi

1.2.1. Bahasa Pemrograman

1. Bahasa mesin merupakan bentuk terendah dari bahasa komputer. Instruksi

direpresentasikan dalam kode numerik.

2. Bahasa Assembly merupakan bentuk simbolik dari bahasa mesin. Kode

misalnya ADD, MUL, dsb

3. Bahasa tingkat tinggi (user oriented) lebih banyak memberikan fungsi

kontrol program, kalang, block, dan prosedur.

4. Bahasa problem oriented sering juga dimasukkan sebagai bahasa tingkat

tinggi, misalnya SQL, Myob, dsb.

1.2.2. Translator

Translator melakukan pengubahan source code/ kode program kedalam target

code/ object code. Interpreter dan Compiler termasuk dalam kategori translator.

BahasaPemrograman

Bahasamesin

Bahasa

Assembly

BahasaTingkat tinggi

BahasaProblem Oriented


14/105

8

1.2.3. Interpreter

1.2.4. Assembler

SourceCode

ObjectCode

Assembl

erFile

TargetLingker

.ASM .OBJ .EXE / .COM

Proses Sebuah Kompilasi padaBahasa Assembler

Translator

Interpreter

Compiler

Tidak membangkitkan object code.

Source code dan data diproses bersamaan.

Contoh: BASICA, SPSS, DBASE III.

Source Codeadalah bahasa tingkat tinggi.

Object Code adalah bahasa mesin atau assembly.

Source code dan data diproses tidak bersamaan.

Contoh: PASCAL, C.

Assembler

Source Codeadalah bahasaAssembly

Object Code adalah bahasa mesin.

AnalisaLeksikal

AnalisaSintaks

IntermediateProgram

Interpretasi

PengelolaanTabel

Program

PenangananKesalahan

HasilOperasi


15/105

9

Keterangan :

Source Code adalah bahasa Assembler, Object Code adalah bahasa Mesin.

Object Code dapat berupa file object (.OBJ), file .EXE, atau file .COM

Contoh : Turbo Assembler (dari IBM) dan Macro Assembler (dari Microsoft).

1.2.5. Compiler

Kompilator (compiler) adalah sebuah program yang membaca suatu program

yang ditulis dalam suatu bahasa sumber (source language) dan menterjemah-

kannya ke dalam suatu bahasa sasaran(target language).

Proses kompilasi dapat digambarkan melalui sebuah kotak hitam (black box)

berikut :

A. Fase Compiler

Proses kompilasi dikelompokkan ke dalam dua kelompok besar :

1. Analisis (front-end):

a. program sumber dipecah-pecah dan dibentuk menjadi bentuk

antara (inter-mediate representation)

b. Language Independent

2. Sintesis (back-end) :

a. membangun program sasaran yang diinginkan dari bentuk antara

b. Language dependent


16/105

10

B. Blok Diagram Compiler

Keterangan

1. Program Sumber : ditulis dalam bahasa sumber (Pascal, Assembler, dsb)

2. Program Sasaran : dapat berupa bahasa pemrograman lain atau bahasa

mesin pada suatu komputer.

3. Penganalisa Leksikal : membaca program sumber, karakter demi

karakter. Sederetan (satu atau lebih) karakter dikelompokkan menjadi satu

kesatuan mengacu kepada pola kesatuan kelompok karakter (token)yang

ditentukan dalam bahasa sumber. Kelompok karakter yang membentuk

sebuah token dinamakan lexeme untuk token tersebut. Setiap token yang

dihasilkan disimpan di dalam tabel simbol. Sederetan karakter yang tidak

mengikuti pola token akan dilaporkan sebagai token tak dikenal

(unidentified token).

4. Penganalisa sintaks : memeriksa kesesuaian pola deretan token dengan

aturan sintaks yang ditentukan dalam bahasa sumber. Sederetan token

yang tidak mengikuti aturan sintaks akan dilaporkan sebagai kesalahan

sintaks (sintax error). Secara logika deretan token yang bersesuaian

dengan sintaks tertentu akan dinyatakan sebagai pohon parsing (parse

tree).

PenganalisaLeksikal

(scanner)

PenganalisaSintaks(parser)

PenganalisaSemantik

PembangkitKode antara

Pembentukkode

Pengoptimalkode

ProgramSumber

ProgramSasaran

TABELSIMBOL

ANALISA SINTESA

Bagan pokok proses kompilasi


17/105

11

5. Penganalisa semantik : memeriksa token dan ekspresi dari batasan-

batasan yang ditetapkan. Batasan-batasan tersebut misalnya :

a. panjang maksimum token identifier adalah 8 karakter,

b. panjang maksimum ekspresi tunggal adalah 80 karakter,

c. nilai bilangan bulat adalah -32768 s/d 32767,

d. operasi aritmatika harus melibatkan operan-operan yang bertipe

sama.

Melakukan analisa semantik, biasanya dalam realisasi akan digabungkan

Dengan intermediate code generator (bagian yang berfungsi

membangkitkan kode antara).

6. Pembangkit kode antara : membangkitkan kode antara (intermediate

code) berdasar-kan pohon parsing. Pohon parse selanjutnya diterjemahkan

oleh suatu penerjemah yang dinamakan penerjemah berdasarkan sintak

(syntax-directed translator). Hasil penerjemahan ini biasanya merupakan

perintah tiga alamat (three-address code) yang merupakan representasi

program untuk suatu mesin abstrak. Perintah tiga alamat bisa berbentuk

quadruples (op, arg1, arg2, result), tripels (op, arg1, arg2). Ekspresi

dengan satu argumen dinyatakan dengan menetapkan arg2 dengan - (strip,

dash)

7. Pembentuk Kode : membangkitkan kode objek dalam bahasa target

tertentu (misalnya bahasa mesin).

8. Pengoptimal Kode : Melakukan optimasi (penghematan space dan waktu

komputasi), jika mungkin, terhadap kode antara sehingga dapat

memperkecil hasil dan mempercepat proses.

9. Tabel : Menyimpan semua informasi yang berhubungan dengan proses

kompilasi.

C. Pembuatan Compiler

Pembuatan kompilator dapat dilakukan dengan:

1. Bahasa Mesin

Tingkat kesulitannya tinggi, bahkan hampir mustahil dilakukan.


18/105

12

2. Bahasa Assembly

Bahasa Assembly bisa dan biasa digunakan sebagai tahap awal pada

proses pembuatan sebuah kompilator.

3. Bahasa Tingkat Tinggi lain pada mesin yang sama

Proses pembuatan kopilator akan lebih mudah.

4. Bahasa tingkat tinggi yang sama pada mesin yang berbeda

Misal, pembuatan kompilator C untuk DOS, berdasar C pada UNIX.

5. Bootstrap

Pembuatan kompilator secara bertingkat.

Keterangan :

o Pembentukan fileExecutableberdasar dari beberapa Source Code.

o Source Code dapat terdiri dari satu atau lebih behasa

pemrograman.

D. Penggunaan Compiler selain untuk programming

o Mentranslasikan javadoc ke html.

o Mendapatkan hasil dari SQL query (query optimization).

o Printer parsing PostScript file.

o Screen Scrapping.

o Konversi LaTeX ke PDF.

Source

Code 1

SourceCode 2

SourceCode n

Object

Code 1

Object

ObjectCode n

Compiler 1

Compiler 2

Compiler n

Lingker Executable

Library ObjectCode


19/105

13

Bab II

KONSEP BAHASA AUTOMATA

2.1Konsep Bahasa dan Automata

2.1.1 Teori Bahasa

Teori bahasa membicarakan bahasa formal (formal language), terutama untuk

kepentingan perancangan kompilator (compiler) dan pemroses naskah (text

processor). Bahasa formal adalah kumpulan kalimat. Semua kalimat dalam

sebuah bahasa dibangkitkan oleh sebuah tata bahasa (grammar) yang sama.

Sebuah bahasa formal bisa dibangkitkan oleh dua atau lebih tata bahasa berbeda.

Dikatakan bahasa formal karena grammar diciptakan mendahului pembangkitan

setiap kalimatnya. Bahasa manusia bersifat sebaliknya; grammar diciptakan untuk

meresmikan kata-kata yang hidup di masyarakat. Dalam pembicaraan selanjutnya

bahasa formal akan disebut bahasa saja.

2.1.2 Automata

Automata adalah mesin abstrak yang dapat mengenali (recognize), menerima

(accept), atau membangkitkan (generate) sebuah kalimat dalam bahasa tertentu.

Automata berkaitan dengan teori mesin abstrak, yaitu mesin sekuensial yang

menerima input, dan mengeluarkan output, dalam bentuk diskrit.

Contoh :

o Mesin Jaja / vending machine

o Kunci kombinasi

o Parser/compiler

Teori Otomata dan bahasa formal berkaitan dalam hal, yaitu:

o Pembangkitan kalimat/ generation : menghasilkan semua kalimat dalam

bahasa L berdasarkan aturan yang dimilikinya.

o Pengenalan kalimat/ recognition: menentukan suatu string (kalimat) termasuk

sebagai salah satu anggota himpunan L.


20/105

14

2.1.3 String

2.1.3.1 Definisi

Simbol adalah sebuah entitas abstrak. Sebuah huruf atau sebuah angka

adalah contoh simbol.

String adalah deretan terbatas (finite) simbol-simbol. Sebagai contoh, jika a,

b, dan c adalah tiga buah simbol maka abcb adalah sebuah string yang

dibangun dari ketiga simbol tersebut.

Alfabet adalah hinpunan hingga (finite set) simbol-simbol

2.1.3.2 Panjang String

Definisi 1: sebuah string dengan panjang n yang dibentuk dari himpunan A

adalah barisan dari n simbol. Misalnya a1a2...an; aiA

Jika w adalah sebuah string maka panjang string dinyatakan sebagai w

dan didefinisikan sebagai cacahan (banyaknya) simbol yang menyusun

string tersebut.

Sebagai contoh, jika w = abcbmaka w= 4

2.1.3.3 String Hampa :

Definisi 2 : String kosong/ String hampa (null string), dilambangkan dengan

(atau ^) adalah untaian dengan panjang 0 dan tidak berisi apapun.

String hampa adalah sebuah string dengan nol buah simbol. Maka panjang

string hampa = 0.

String hampa dapat dipandang sebagai simbol hampa karena keduanya

tersusun dari nol buah simbol.

2.1.4 Operasi Dasar String

Diberikan dua string :x = abc, dany = 123

o Prefik string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan

menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol paling belakang dari string w

tersebut.

Contoh : abc, ab, a, dan adalah semua Prefix(x)


21/105

15

o ProperPrefix string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan

menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol paling belakang dari string w

tersebut.

Contoh : ab, a, dan adalah semua ProperPrefix(x)

o Postfix (atau Sufix) string w adalah string yang dihasilkan dari string w

dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol paling depan dari string

w tersebut.

Contoh : abc, bc, c, dan adalah semua Postfix(x)

o ProperPostfix (atau PoperSufix) string w adalah string yang dihasilkan dari

string w dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol paling depan

dari string wtersebut.

Contoh : bc, c, dan adalah semua ProperPostfix(x)

o Head string w adalah simbol paling depan dari string w.

Contoh : a adalah Head(x)

o Tail string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan

menghilangkan simbol paling depan dari string w tersebut.

Contoh : bc adalah Tail(x)

o Substring string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan

menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol paling depan dan/atau simbol-

simbol paling belakang dari string w tersebut.

Contoh : abc, ab, bc, a, b, c, dan adalah semua Substring(x)

o ProperSubstring string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan

menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol paling depan dan/atau

simbolsimbol paling belakang dari string w tersebut.

Contoh : ab, bc, a, b, c, dan adalah semua Substring(x)

o Subsequence string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan

menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol dari string w tersebut.

Contoh : abc, ab, bc, ac, a, b, c, dan adalah semua Subsequence(x)

o ProperSubsequence string w adalah string yang dihasilkan dari string w

dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol dari string w tersebut.

Contoh : ab, bc, ac, a, b, c, dan adalah semua Subsequence(x)


22/105

16

o Concatenation adalah penyambungan dua buah string. Operator concatenation

adalah concate atau tanpa lambang apapun.

Contoh : concate(xy) =xy = abc123

o Alternation adalah pilihan satu di antara dua buah string. Operator alternation

adalah alternate atau |.

Contoh : alternate(xy) =x|y = abc atau 123

o Kleene Closure :x* = |x|xx|xxx| = |x|x2|x3|

o Positive Closure :x+=x|xx|xxx| =x|x2|x3|

2.1.5 Sifat-sifat Operasi String

o Tidak selalu berlaku :x = Prefix(x)Postfix(x)

o Selalu berlaku :x = Head(x)Tail(x)

o Tidak selalu berlaku : Prefix(x) = Postfix(x) atau Prefix(x) Postfix(x)

o Selalu berlaku : ProperPrefix(x) ProperPostfix(x)

o Selalu berlaku : Head(x) Tail(x)

o Setiap Prefix(x), ProperPrefix(x), Postfix(x), ProperPostfix(x), Head(x), dan

Tail(x) adalah Substring(x), tetapi tidak sebaliknya

o Setiap Substring(x) adalah Subsequence(x), tetapi tidak sebaliknya

o Dua sifat aljabar concatenation :

a. Operasi concatenation bersifat asosiatif :x(yz) = (xy)z

b. Elemen identitas operasi concatenation adalah : x =x=x

o Tiga sifat aljabar alternation :

a. Operasi alternation bersifat komutatif :x|y =y|x

b. Operasi alternation bersifat asosiatif :x|(y|z) = (x|y)|z

c. Elemen identitas operasi alternation adalah dirinya sendiri :x|x =x

o Sifat distributif concatenation terhadap alternation :x (y|z) =xy|xz

o Beberapa kesamaan :

a. Kesamaan ke-1 : (x*)* = (x*)

b. Kesamaan ke-2 : |x+=x+|=x*

c. Kesamaan ke-3 : (x|y)* = |x|y|xx|yy|xy|yx| = semua string yang

merupakan concatenation dari nol atau lebihx,y, atau keduanya.


23/105

17

2.2Grammar dan Bahasa

2.2.1 Definisi

Tata Bahasa (grammar) bisa didefinisikan secara formal sebagai kumpulan dari

himpunan-himpunan variabel, simbol-simbol terminal, simbol awal, yang dibatasi

oleh aturan-aturan produksi.

Bahasaadalah himpunan kalimat-kalimat. Anggota bahasa bisa tak hingga kalimat.

Kalimatadalah deretan hingga (string) yang tersusun atas simbol-simbol terminal.

Sentensial adalah string yang tersusun atas simbol-simbol terminal atau simbol-

simbol non terminal atau campuran keduanya.

Kalimat adalah merupakan sentensial, sebaliknya belum tentu.

Derivasiadalah proses pembentukan sebuah kalimat atau sentensial. Sebuah derivasi

dilambangkan sebagai : .

2.2.2 Simbol

A. Simbol Terminal

Pengertian terminal berasal dari kata terminate (berakhir), maksudnya derivasi

berakhir jika sentensial yang dihasilkan adalah sebuah kalimat (yang tersusun atas

simbol-simbol terminal itu).

Simbol terminal adalah simbol yang tidak dapat diturunkan lagi.Simbol-simbol berikut adalah simbol terminal :

- huruf kecil awal alfabet, misalnya : a, b, c

- simbol operator, misalnya : +, , dan

- simbol tanda baca, misalnya : (, ), dan ;

- string yang tercetak tebal, misalnya : if, then, dan else.

B. Simbol Non Terminal

Pengertian non terminal berasal dari kata not terminate (belum/tidak berakhir),

maksudnya derivasi belum/ tidak berakhir jika sentensial yang dihasilkan

mengandung simbol non terminal.

Simbol variabel /non terminal adalah simbol yang masih bisa diturunkan.

Simbol-simbol berikut adalah simbol non terminal :


24/105

18

- huruf besar awal alfabet, misalnya : A, B, C

- huruf S sebagai simbol awal

- string yang tercetak miring, misalnya :

- expr dan stmt

Huruf besar akhir alfabet melambangkan simbol terminal atau non terminal,

misalnya : X, Y, Z.

Huruf kecil akhir alfabet melambangkan string yang tersusun atas simbol-simbol

terminal, misalnya : x, y, z.

Huruf yunani melambangkan string yang tersusun atas simbol-simbol terminal

atau simbol-simbol non terminal atau campuran keduanya, misalnya : , , dan .

2.2.3 Aturan Produksi

Aturan produksi men-spesifikasikan bagaimana suatu tatabahasa melakukan

transformasi suatu string ke bentuk lainnya. Melalui aturan produksi didefinisikan

suatu bahasa yang berhubungan dengan tata bahasa tersebut. Sebuah produksi

dilambangkan sebagai (bisa dibaca menghasilkan ),

artinya : dalam sebuah derivasi dapat dilakukan penggantian simbol dengan

simbol .Simbol dalam produksi berbentuk disebut ruas kiri produksi sedangkan

simbol disebut ruas kanan produksi.

Contoh aturan produksi :

T a , dibaca: T menghasilkan a

E T | T+E, dibaca: E menghasilkan T atau E menghasilkan T+E

merupakan pemendekan dari aturan produksi :

E TE T+E

2.2.4 Grammar

Grammar G didefinisikan sebagai pasangan 4 tuple : VT, VN, S, dan P.

Dituliskan sebagai G(VT, VN, S, P), dimana :


25/105

19

- VT : himpunan simbol-simbol terminal (alfabet) kamus.

- VN : himpunan simbol-simbol non terminal.

- SVN : simbol awal (atau simbol start)

- P : himpunan produksi.

Contoh Grammar :

1. G1: VT= {I, Love, Miss, You}, VN= {S,A,B,C},

P = {S ABC, AI, BLove | Miss, CYou}

S ABC

IloveYou

L(G1)={IloveYou, IMissYou}

2. G2: VT= {a}, VN= {S}, P = {S aSa}

S aS

aaS

aaa

L(G2) ={ann 1}

L(G2)={a, aa, aaa, aaaa,}

2.2.5 Klasifikasi Chomsky

Noam Chomsky melakukan penggolongan tingkatan bahasa berdasarkan aturan

produksinya yang disebut dengan Hierarki Chomsky (1959). Berdasarkan

komposisi bentuk ruas kiri dan ruas kanan produksinya (), Noam Chomsky

mengklasifikasikan 4 tipe grammar.

Tipe sebuah grammar (atau bahasa) ditentukan dengan aturan sebagai berikut :

A language is said to be type-i (i = 0, 1, 2, 3) language if it can be specified

by a type-i grammar but cant be specified any type-(i+1) grammar.

Klasifikasi Chomsky

1. Grammar tipe ke-0 : Unrestricted Grammar(UG)

Ciri : , (VTVN)*, > 0


26/105

20

Mesin automata : Mesin Turing

Aturan Produksi : tidak ada batasan

Contoh : Bahasa manusia/bahasa alami, misalnya Abc De

2. Grammar tipe ke-1 : Context Sensitive Grammar(CSG)

Ciri : , (VTVN) *, 0 <

Mesin automata : Linier Bounded Automata

Aturan Produksi : ||||

Contoh : Ab DeF, CD eF, S

* |s| = 1, || = 0, ada perkecualian sehingga S dianggap

memenuhi context sensitive grammar.

3. Grammar tipe ke-2 : Context Free Grammar(CFG)

Ciri : VN, (VTVN)*

Mesin automata : PDA

Aturan Produksi : berupa sebuah simbol variable

Contoh : B CDeFg, D BcDe

4. Grammar tipe ke-3 :Regular Grammar(RG)

Ciri : VN, {VT, VTVN} atau VN, {VT, VNVT}

Mesin automata : FSA meliputi DFA & NFA

Aturan Produksi :

- adalah sebuah simbol variable

- maksimal memiliki sebuah symbol variabel yang bila ada

terletak di posisi paling kanan

Contoh : A e, A efg, A efgH, C D


27/105

21

Mesin Pengenal Bahasa

Kelas Bahasa Mesin Pengenal Bahasa

Unrestricted Grammar (UG) Mesin Turing (Turing Machine), TM

Context Sensitive Grammar (CSG) Linear Bounded Automaton, LBAContext Free Gammar(CFG) Pushdown Automata, PDA

Regular Grammar, RG Finite State Automata, FSA

Keterkaitan Bahasa

2.2.6 Analisa Grammar

A. Analisa Penentuan Type Grammar

1. Grammar G1dengan P1= {S aB, B bB, B b}.

Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah VN, maka G1

kemungkinan tipe CFG atau RG. Selanjutnya karena semua ruas kanannya

terdiri dari sebuah VTatau string VTVNmaka G1adalah RG (3).

2. Grammar G2dengan P2= {S aAb, B aB}.

Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah VN maka G2kemungkinan tipe CFG atau RG. Selanjutnya karena ruas kanannya

mengandung string yang panjangnya lebih dari 2 (yaitu aAb) maka G2

bukan RG, dengan kata lain G2adalah CFG (2).

3. Grammar G3dengan P3= {S aA, S aB, aAb aBCb}.


28/105

22

Ruas kirinya mengandung string yang panjangnya lebih dari 1 (yaitu aAb)

maka G3kemungkinan tipe CSG atau UG. Selanjutnya karena semua ruas

kirinya lebih pendek atau sama dengan ruas kananya maka G3adalah CSG

(1).

4. Grammar G4dengan P4= {S aAb, B aB}.

Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah VNmaka G4 kemungkinan

tipe CFG atau RG. Selanjutnya karena ruas kanannya mengandung string

yang panjangnya lebih dari 2 (yaitu aAb) maka G4bukan RG, dengan kata

lain G4adalah CFG (2).

B. DerivasiKalimat dan Penentuan Bahasa

Tentukan bahasa dari masing-masing gramar berikut :

1. G1dengan P1= {1. S aAa, 2. A aAa, 3. A b}.

Jawab :

Derivasi kalimat terpendek : Derivasi kalimat umum :

S aAa (1) S aAa (1)

aba (3) aaAaa (2)

anAan (2)

anban (3)

Dari pola kedua kalimat disimpulkan : L1(G1) = {anbann 1}

2. G2dg P2= {1. S aS, 2. S aB, 3. B bC, 4. C aC, 5. C a}.

Jawab :

Derivasi kalimat terpendek : Derivasi kalimat umum :

S aB (2) S aS (1)

abC (3) aba (5) an-1S (1)

anB (2)

anbC (3)

anbaC (4)


29/105

23

anbam-1C (4)

anbam (5)

Dari pola kedua kalimat disimpulkan : L2(G

2)={anbamn 1, m1}

C. MenentukanGrammar Sebuah Bahasa

1. Tentukan sebuah gramar regular untuk bahasa L1= { ann 1}

Jawab : P1 (L1) = {S aSa}

2. Tentukan sebuah gramar bebas konteks untuk bahasa :

L2: himpunan bilangan bulat non negatif ganjil

Jawab :

Langkah kunci : digit terakhir bilangan harus ganjil.

Vt={0,1,2,..9}

Vn ={S,G,J}

P = {SHT|JT|J; TGT|JT|J; H2|4|6|8; G0|2|4|6|8;J1|3|5|7|9}

P={SGS|JS|J; G0|2|4|6|8;J1|3|5|7|9}

Buat dua buah himpunan bilangan terpisah : genap (G) dan ganjil (J)

P2(L2) = {S JGSJS, G 02468, J 13579}


30/105

24

Bab III

FINITE STATE AUTOMATA

Finite State Automata/ FSA adalah mesin yang dapat mengenali bahasa reguler tanpa

menggunakan storage (memory). FSA tidak memiliki tempat penyimpanan (memory),

tetapi hanya bisa mengingat state terkini saja.

FSA disebut juga dengan AutomataHinga (AH). FSA/ AH sangat berhubungan dengan

Regular Grammar. Dan merupakan kelas mesin dengan kemampuan-kemampuan yang

paling terbatas.

FSA memiliki state yang berhingga banyaknya dan dapat berpindah dari satu state ke

statelainnya berdasar input dan fungsi transisi. Sejumlah status dapat didefinisikan pada

mesin untuk mengingat beberapa hal secara terbatas.

Manfaat nyata:

1. Software untuk mendesain dan mengecek perilaku sirkuit digital. Contoh: mesin

ATM.

2. BagianLexical Analyzer dari berbagai kompiler yang berfungsi membagi teks

input menjadi logical unitseperti Keyword,Identifier, dan pungtuasi.

3. Search enginemenscan web, dan menemukan kata,fraseatau pola yang tepat.

3.1 Definisi Formal

Definisi 1: FSA didefinisikan sebagai pasangan 5 tupel : (Q, , , S, F).

Q : himpunan hingga state

: himpunan hingga simbol input (alfabet)

: fungsi transisi, menggambarkan transisi state FSA akibat pembacaan

simbol input. Fungsi transisi ini biasanya diberikan dalam bentuk tabel.

S Q : state AWAL

F Q : himpunan state AKHIR

Mekanisme kerja FSA dapat diaplikasikan pada: elevator, text editor, analisa

leksikal, pencekparity.


31/105

25

3.2 Fungsi Transisi

Untuk q, r Q dan a , jika (q,a) = r terdefinisi, maka saat mesin berada dalam

status q menerima masukan simbol a, mesin akan bertransisi ke status r. Dengan

diagram status digambarkan dengan bulatan dan transisi dengan panah, sbb:

Contoh : FSA untuk mengecek parity ganjil

Q ={Gnp, Gjl}

= {0,1}

=

S = Gnp

F = {Gjl}

Diagram Transisi untuk mengecek parity ganjil

3.3 Jenis jenis FSA

Ada dua jenis FSA :

1. Deterministic finite automata (DFA).

o Transisi state FSA akibat pembacaan sebuah simbol bersifat tertentu.

: Q Q

o Dari suatu state ada tepat satu state berikutnya untuk setiap simbol

masukan yang diterima.

2. Non deterministik finite automata(NFA).

o Transisi stateFSA akibat pembacaan sebuah simbol bersifat tak tentu.

: Q 2Q


32/105

26

q1

q2 q3

1

0 0

1

1

0 0

1

start q0

o Dari suatu state ada 0, 1 atau lebih state berikutnya untuk setiap

simbol masukan yang diterima.

3.4 Deterministic finite automata (DFA)

DFA disebut juga dengan Automata Hingga Deterministik (AHD). AHD sering

digambarkan dengan dua cara :

Table Transisi State

Transisi Digraph

Contoh DFA :

1. Pengujian parity ganjil.

2. Pengujian untuk menerima bit string dengan banyaknya 0 genap, serta

banyaknya 1 genap.

- 0011 : diterima.

- 10010 : ditolak, karena banyaknya 0 ganjil.

Diagram transisi-nya :

DFA nya :

Q = {q0, q1, q2, q3}

= {0,1}

S = q0

F = {q0}

Fungsi transisi () =

- ( q0,011)= ( q2,11) =( q3,1)= q2 (Ditolak)

- ( q0,1010)= ( q1,010) =( q3,10)=( q2,0)= q0 (Diterima)

3. Variabel dalam bahasa pascal diawali oleh huruf (besar/kecil), dan diikuti

dengan huruf atau angka. Diagram Transisinya sebagai berikut:


33/105

27

q0

A..Z,a..zstart q0

q0

0..9

A..Z,a..z,0..9

A..Z,a..z,0..9

4. AHD F(Q, , , S, F), dimana:

Q = {q0, q1, q2}

= {a, b}

diberikan dalam tabel berikut :

S = q0

F = {q0, q1}

Ilustrasi graf untuk AHD F adalah sebagai berikut:

- Lambang stateawal adalah nodedengan anak panah.

- Lambang stateawal adalah nodeganda.

Contoh kalimat yang diterima AHD: a, b, aa, ab, ba, aba, bab, abab, baba

Contoh kalimat yang tidak diterima AHD: bb, abb, abba

AHD ini menerima semua kalimat yang tersusun dari simbol a dan b yang

tidak mengandung substring bb

3.5 Non deterministik finite automata (NFA)

Disebut juga Automata Hingga Non Deterministik (AHN). Fungsi transisi dapat

memiliki 0 atau lebih fungsi transisi.

Sebuah kalimat di terima NFA jika :

- Salah satu tracing-nya berakhir di state AKHIR, atau

- Himpunan state setelah membaca string tersebut mengandung state

AKHIR


34/105

28

q2

q0

q1

q4

q3

0,1

0,1

0

0

1

1

0,1

Contoh NFA:

1. NFA (Q, , , S, F). dimana :

Q = {q0, q1, q2,q3, q4}

= {a, b,c}

diberikan dalam tabel berikut:

S = q0

F = {q4}

Diagram Transisinya:

Kalimat yang diterima NFA di atas : aa, bb, cc, aaa, abb, bcc, cbb

Kalimat yang tidak diterima NFA di atas : a, b, c, ab, ba, ac, bc

2. G = ({q0, q1, q2, q3, q4}, {0,1}, , q0, {q2, q4}}

Diagram transisi:


35/105

29

Mengecek, apakah string 01001 diterima oleh mesin NFA di atas:

3.6 Ekuivalen

Definisi 2: Dua buah FSA disebut ekuivalen apabila kedua FSA tersebut menerima

bahasa yang sama.

Contoh : FSA yang menerima bahasa {an| n0 }

3.7 Indistinguishable

Definisi 3: Dua buah state dari FSA disebut indistinguishable (tidak dapat

dibedakan) apabila :- (q,w)F sedangkan (p,w)F dan

- (q,w) F sedangkan (p,w) F untuk semua w *

3.8 Distinguishable

Definisi 4: Dua buah state dari FSA disebut distinguishable (dapat dibedakan) bila

terdapat w * sedemikian hingga:

- (q,w)F sedangkan (p,w)F dan

- (q,w) F sedangkan (p,w) F untuk semua w *

q0

q0

q0

q0

q0

q0

q3

q3

q3

q1

q1

q4

q4

0 1 0 0 1

0 1 100

0

1

q4

a

a q4

q4

a


36/105

30

q0

q1

q2

q3

q4

0

10

0 0

1

1

1

0,1

3.9 Prosedur menentukan pasangan status indistinguishable

1. Hapus semua state yang tak dapat dicapai dari state awal.

2. Catat semua pasangan state (p,q) yang distinguishable, yaitu {(p,q) | p F q

F}

3. Untuk setiap pasangan (p,q) sisanya,

4. untuk setiap a, tentukan (p,a) dan (q,a)

Contoh:

- Hapus stateyang tidak tercapai (tidak ada)

- Pasangan distinguishable(q0,q4), (q1,q4), (q2,q4), (q3,q4).

- Pasangan sisanya (q0,q1), (q0,q2), (q0,q3), (q1,q2) (q1,q3) (q2,q3)

- Catatan : jumlah pasangan seluruhnya :

3.10 Prosedur Reduksi DFA

1. Tentukan pasangan status indistinguishable.

2. Gabungkan setiap group indistinguishablestateke dalam satu statedengan

relasi pembentukan grup secara berantai : Jika p dan q indistingishabledan jika

q dan r indistinguishablemaka p dan r indistinguishable, dan p,q serta r

indistinguishablesemua berada dalam satu grup.

3. Sesuaikan transisi dari dan ke state-stategabungan.

10!3!2

!5

2

5==

C


37/105

31

Contoh :

- pasangan status indistinguishable(q1,q2), (q1,q3) dan (q2,q3).

- q1,q2,q3ketiganya dapat digabung dalam satu state q123

- Menyesuaikan transisi, sehingga DFA menjadi

q0

q123

q4

0,1 1

0 0,1


38/105

32

Bab IV

Ekuivalensi NFA ke DFA

4.1 Algoritma Ekivalensi NFA ke DFA

a. Buat semua state yang merupakan subset dari state semula. Jumlah state

menjadi 2Q

b. Telusuri transisi statestateyang baru terbentuk, dari diagram transisi.

c. Tentukan state awal : {q0}

d. Tentukan stateakhir adalah stateyang elemennya mengandung stateakhir.

e. Reduksi stateyang tak tercapai oleh stateawal.

Contoh:

1. Ubahlah NFA berikut menjadi DFA

Diketahui M(Q, , , S, F), dimana:

Q = {q0,q1}

= {0,1}


S = q0

F = {q1}


State yang akan dibentuk :

{}, {q0} {q1},{q0,q1}

Telusuri state

State awal : {q0}

State akhir yang mengandung q1, yaitu {q1},{q0,q1}

q0

q1

0,1

0 1

1


39/105

33

2. Ubahlah NFA berikut menjadi DFA

Diketahui M(Q, , , S, F), dimana:

Q = {q0,q1,q2}

= {p,r }


S = q0

F = {q1}


State yang akan dibentuk :

{}, {q0} {q1},{q2}, {q0,q1}, {q0,q2}, {q1,q2}, {q0,q1,q2}

Telusuri state

State awal : {q0}

State akhir yang mengandung q1, yaitu {q1},{q1,q2}

Reduksi {q0,q1} {q0,q2} {q0,q1,q2} sehingga FSA menjadi :

{q0}

0

1

1 0,1{q

1}

{q0

,q1

}

1 {}

q0

p r

p,r

p

q2

q1

{q0} p p

r

r

{q1,q

2} {q

1}

{q2}{ }

p,r

p,r

pr


40/105

34

q0

q4

q1

b

q2

q3

b

b

4.2 NFA dengan -move

Def 1. -move adalah suatu transisi antara 2 status tanpa adanya input. Contoh

transisi antara status q1ke q2

Def 2. -closure adalah himpunan stateyang dapat dicapai dari suatu state tanpa

adanya input. Contoh gambar :

- -closure(q0) = [q0,q1,q3]

- -closure(q1) = [q1,q3]

- -closure(q3) = [q3]

4.3 Ekuivalensi NFA dengan -moveke NFA tanpa -move

Algoritma:

a. Buat tabel transisi NFA dengan -move

b. Tentukan -closuresetiap state

c. Carilah fungsi transisi/ tabel transisi yang baru, rumus :

(state,input) = -closure((-closure(state,input))

d. Tentukan stateakhir ditambah dengan stateyang -closurenya menuju state

akhir, rumusnya : F = F {q | (-closure(q) F }

Contoh :

Tabel transisi-nya

q0

q1

q3

q2

a

b


41/105

35

-closuredari FSA tersebut

- -closure(q0) = [q0,q1]


- -closure(q2) = [q

2]


Cari tabel transisi yang baru () :

Hasilnya menjadi :

4.4 Penggabungan FSA

Bila diketahui L1adalah bahasa yang diterima oleh M1dan L2adalah bahasa yang

diterima oleh M2maka :a. FSA M3yg dapat menerima L1+L2dibuat dengan cara

- Tambahkan state awal untuk M3, hubungkan dengan state awal M1dan

state awal M2menggunakan transisi

- Tambahkan state akhir untuk M3, hubungkan dengan state-state akhir

M1dan state-state akhir M2menggunakan transisi

q0

q2

a

b q3

q1

a

b


42/105

36

b. FSA M4yg dapat menerima L1L2dibuat dengan cara

- State awal M1menjadi state awal M4

- State-state akhir M2menjadi state-state akhir M4

- Hubungkan state-state akhir M1 dengan state awal M2 menggunakan

transisi

Contoh :

- FSA M1dan M2

- FSA M3

- FSA M4

qA1

qA0

0

1 qB1

qB0

1

1

0

qA0

0

1

qB0

1

1

0

qS

qA1

qB1

qF

qA0

0

1 qA1

qB1

qB0

1

1

0


43/105

37

Bab V

Ekspresi Reguler

5.1 Bahasa regular

Bahasa disebut reguler jika terdapat FSA yang dapat menerimanya. Bahasa reguler

dinyatakan secara sederhana dengan ekspresi reguler/regular expression(RE).

Contoh penerapan : searchingstring pada file

Hubungan RE dan NFA : Setiap RE ada satu NFA dengan -moveyang ekuivalen.

Konversi bentuk dari ekspresi regular menjadi bentuk DFA:

RE -> NFA dengan Move -> DFA

Definisi ekspresi reguler

Jika merupakan himpunan simbol, maka

- , , dan a adalah ekspresi reguler dasar

- Jika r dan t masing masing merupakan ekspresi reguler maka komposisi

berikut merupakan ekspresi reguler :

Ekspresi Makna

r+t himpunan string gabungan RTrt operasi penyambungan string thd himpunan

r* Kleene closure dari R

(r) r

Contoh ekspresi reguler

- (0+1)* : himpunan seluruh string yang dapat dibentuk dari simbol 0 dan 1

- (0+1)*00(0+1)* : himpunan string biner yang mengandung paling sedikit satusubstring 00

- (0+1)*00 : himpunan string biner yang diakhiri dengan 00

Apabila r adalah RE, maka L(r) adalah bahasa reguler yang dibentuk menggunakan

ekspressi reguler r.


44/105

38

1. Tentukan bahasa reguler yang dibentuk oleh r = (aa)*

Jawab:

L(r) = L( (aa)* )

= {, aa, aaaa, aaaaaa, ... }

= { a2n | n 0 }

menyatakan himpunan string a dengan jumlah genap

2. Tentukan ekspresi reguler pembentuk bahasa pada = {0,1}, yaitu

L(r) = { w * | w memiliki substring 00}

Jawab: r = (0+1)*00(0+1)*

5.2 Sifat Bahasa Reguler

a. Tertutup terhadap operasi himpunan sederhana

Jika L1dan L2 adalah bahasa reguler, maka L1L2, L1L2, L1L2, ~(L1) dan L1*

adalah bahasa reguler juga

b. Tertutup terhadap homomorphic image

- Jika L1adalah bahasa reguler, maka homomorphic imageh(L1) adalah bahasa

reguler juga.

- Dimisalkan dan adalah alfabet, maka fungsi homomorphic dinyatakan

dengan h : - Jika w = a1a2... an, maka h(w) = h(a1) h(a2) ... h(an)

- Jika L adalah bahasa pada maka homomorphic image bahasa L adalah

h(L)= { h(w) | wL}

Contoh:

Dimisalkan = {a,b} dan = {a,b,c} dan didefinisikan h(a) = ab dan h(b) =bbc

homomorphic imagebahasa L = {aa,aba } adalah :

Jawab: h(L)= { abab, abbbcab}


45/105

39

5.3 Konversi ekspresi reguler ke FSA

Contoh : Tentukan FSA untuk ekspresi reguler r = 0(1 |23)*

5.4 DFA dan Tatabahasa Reguler

5.4.1 Tatabahasa Linier kiri dan linier kanan

Suatu tatabahasa G(T,N,S,P) disebut linier kiri jika seluruh aturan

produksinya berbentuk A xB dengan A, B N dan x T*

Suatu tatabahasa G(T,N,S,P) disebut linier kanan jika seluruh aturan

produksinya berbentuk A Bx dengan A, B N dan x T*

Tatabahasa reguler bisa bersifat linier kiri atau linier kanan.


46/105

40

Contoh :

- Tatabahasa G = { {a,b}, {S}, S, P } dengan aturan produksi P adalah

S abS |a adalah tatabahasa linier kanan /regular

- Tatabahasa G = {{a,b}, {S, S1,S2}, S, P } dengan aturan produksi P

adalah S S1ab, S1S1ab | S2, S2a

adalah tatabahasa linier kiri /reguler

- Tatabahasa G = {{a,b}, {S, A, B}, S, P } dengan aturan produksi P

adalah S A, A aB | , B Ab, adalah bukan tatabahasa regular.

5.4.2 Konversi DFA ke tatabahasa linier

Setiap DFA dapat diubah menjadi tatabahasa yang memiliki aturan produksi

yang linier. Aturan pengubahan ini adalah sebagai berikut :

- setiap transisi status (A,a)=B diubah menjadi aturan produksi A aB

- setiap status akhir P diubah menjadi aturan produksi P

Contoh FSA berikut

Tatabahasa linier untuk FSA tersebut yaitu

G = ({a,b}, {S,S1,S2,S3}, S, P ) dengan aturan produksi P adalah :

S S1, S1aS2, S1bS3, S3

5.4.3 Konversi tatabahasa linier ke DFA

- setiap aturan produksi A aB diubah menjadi transisi status (A,a)=B

- setiap aturan produksi A a diubah menjadi (A,a)=SF-untuk a T* dengan |a|>1 dapat dibuat state tambahan

- setiap aturan produksi A B diubah menjadi (A,)=B

Contoh: Tata bahasa G = ({a,b}, {V0,V1}, V0, P ) dengan P:

V0aV1

q0

q1

q3

q2

a

b


47/105

41

V1abV0| b

Mesin FSA nya menjadi

5.5 Penerapan ekspresi regular

Digunakan untuk memerinci unit-unit leksikal sebuah bahasa pemrograman (token).

Contoh:

- ekspresi reguler bilangan real positif (0+1+...+9)(0+1+...+9)*.(0+1+...+9)

(0+1+...+9)*

- ekspresi reguler bilangan bulat (+ + - + ) (0+1+...+9)(0+1+...+9)*

- Editor text

5.6 Pumping lemma

Apabila suatu bahasa merupakan bahasa reguler maka akan dapat diterima oleh

mesin DFA M=(Q,,,q0,F), dgn sejumlah state n. Apabila string w dengan |w| n

diinputkan dalam DFA, maka pasti ada simpul k dalam DFA yang dikunjungi lebihdari satu kali. Apabila string diantara simpul k yang sama tersebut dipompa, maka

sisanya pasti masih diterima oleh DFA tersebut.

Contoh : Bahasa yang menerima ekspresi reguler 0(10)*11

Ambil string wL , dengan |w|n: w= 01011

q0 0 q1 1 q2 0 q1 1 q3 1 q4

V0

a b

a

V1

Vf

b

q0 0 1

1

q1 q4

0

q3 1

q2


48/105

42

simpul q1 dikunjungi 2 kali. String diantara simbol q1 tersebut dapat

dipompa keluar menjadi q0 0 q1 1 q3 1 q4

string 011 tersebut masih dapat diterima oleh FSA.

Secara formal,

Misal L adalah sebuah bahasa reguler infinite, maka terdapat sebuah konstanta n

dengan sifat bahwa jika w adalah sebuah string dalam L yang panjangnya lebih

besar atau sama dengan n maka kita bisa menulis w = uvx sedemikian sehingga uv ix

L untuk semua i 0. dengan |v|1 dan |uv| n .

Notasi matematisnya

Penjelasan,

Untuk memperlihatkan bahwa suatu bahasa infinite tidak reguler, maka kita

tunjukkan bahwa untuk nilai n yang cukup besar, sekurang-kurangnya satu untai

yang panjangnya n atau lebih besar gagal untuk dapat dipompa

Contoh : L = {ai^2 | i1}

{a1, a4,a9, a16, ...}

{a , aaaa , aaaaaaaaa , aaaaaaaaaaaaaaaa, ... }Suatu string dalam L harus mempunyai panjang yang berupa nilai kuadrat

(1,4,9,16, ..., n2, ...). Misal bahwa L adalah bahasa reguler.

Perhatikan bahwa terdapat sebuah nilai n sedemikian sehingga an^2L,

Menurut pumping lemma dapat kita tuliskan an^2= uvx, sedemikian hingga

- 1 |v|n

- (i) (uviw L)

karena |v| 1 maka jelas bahwa |uvw|


49/105

43

Bab VI

FSA dengan Output

Konsep FSA dengan output

FSA: merupakan accepter, dapat menerima atau tidak.

FSA dengan output : transducer

- Mesin Moore :output berasosiasi dengan state

- Mesin Mealy :output berasosiasi dengan transisi

6.1Mesin Moore

M = (Q,,,S,,)Q : himpunan state

: himpunan simbol input

: fungsi transisi

S : state awal S Q

: himpunan output

: fungsi output untuk setiap state

Contoh:

Mesin moore untuk memperoleh modulus 3 pada suatu bilangan biner:

M = (Q,,,S,,)

Q : q0,q1,q2

: [0,1]

S : q0

: [0,1,2]

(q0) =0(q1) =1

(q2) =2

Prinsip:

- jika i diikuti dengan 0, maka hasilnya 2i


50/105

44

1012=5 10102= 2*5 =10

- jika i diikuti dengan 1, maka hasilnya 2i+1

1012=5 10112= 2*5+1 =11

- jika i/3 mempunyai sisa p, maka untuk input berikutnya bernilai 0 maka

2i/3 mempunyai sisa 2p mod 3

a. untuk p=0 maka 2p mod 3 = 0

b. untuk p=1 maka 2p mod 3 = 2

c. untuk p=2 maka 2p mod 3 = 1

- jika i/3 mempunyai sisa p, maka untuk input berikutnya bernilai 1 maka

(2i+1)/3 mempunyai sisa (2p+1) mod 3

a. untuk p=0 maka (2p+1) mod 3 = 1

b. untuk p=1 maka (2p+1) mod 3 = 0

c. untuk p=2 maka (2p+1) mod 3 = 2

- Sehingga didapat mesin FSA sbb :

- Contoh :

a. input 5 (1012) , state terakhir q

2/2 , 5 mod 3 = 2

b. input 10 (10102) ,state terakhir q1/1, 10 mod 3=1

6.2Mesin Mealy

M = (Q,,,S,,)

Q : himpunan state

: himpunan simbol input

: fungsi transisi

S : state awal S Q

: himpunan output

: fungsi output untuk setiap transisi

Contoh:

Mesin Mealy untuk mendeteksi ekspresi reguler (0+1)*(00+11)

q0/0 1 0

0

q1/1

1

q2/2

0 1


51/105

45

Jawab :

M = (Q,,,S,,)

Q : q0,q1,q2

: [0,1]

S : q0

: [0,1,2]

(q0,0) =T

(q0,1) =T

(q1,0) =Y

(q1,1) =T

(q2,0) =T

(q2,1) =Y

6.3Ekuivalensi mesin Moore dengan mesin Mealy

6.3.1 Mesin Moore ke mesin Mealy

Jml state = jml state sebelum * jml output

6.3.2 Mesin Mealy ke mesin Moore

- Menambah label output pada transisi

- Menghapus label output pada state

q0

0/T

1/T

0/T

q1

1/T

q2

0/Y

1/Y

q0T 0 0q

1T q

2T

1

1

q0Y

0

q1Y q

2Y

0

1

0 10 1


52/105

46

Contoh kasus 1:

Tentukan FSA dari rangkaian sirkuit berikut ini. Asumsi bahwa terdapat

waktu yang cukup untuk perambatan sinyal menuju kondisi yang stabil.

Contoh kasus 2

Kelereng dijatuhkan dari A atau B. Percabangan x1,x2dan x3menentukan

saluran mana yang akan dilewati kelereng (kiri / kanan). Ketika percabangan

dilewati, kelereng berikutnya akan melewati dengan saluran berbeda.

Buatlah FSA nya

q0

1/1 0/2

0/1

q1

1/0

q2

0/0 1/2

input x

F

y2

y1

A B

C D

X1 X2

X3


53/105

47

Bab VII

Bahasa Bebas Konteks

7.1Tata Bahasa Bebas Konteks

Deskripsi bahasa alami

kucing

berlari

menyapu

Contoh kalimat yang dapat dihasilkan

kucing berlari

kucing menyapu (sintaks yes, semantik no)

Dalam tatabahasa bebas konteks

- Ruas kiri dari aturan produksi terdiri dari SATU simbol non terminal

- Ruas kanan dapat berupa string yang dibentuk dari simbol terminal dan non

terminal.

Contoh

1. S aSb |

Kalimat-kalimat yang dibangkitkan dari aturan produksi itu adalah

,ab,aabb,aaabbb,... , anbn

2. A 0A0

A 1A1Aa

Kalimat-kalimat yang dibangkitkan dari aturan produksi itu adalah a,01a10,

1001a1001 , 110a011 aR

3. S aSb | SS |


54/105

48

Bahasa yang dihasilkan oleh tatabahasa dengan aturan produksi di atas:

L = {w (a + b)* |na(w) =nb(w) }

7.2Leftmost dan Rightmost Derivation

Suatu penguraian/ penurunan dikatakan leftmostderivation bila setiap tahapan

penurunan variabel / non terminal terkiri yang diuraikan.

Apabila setiap tahapan penurunan variabel / non terminal paling kanan yang

diuraikan disebut rightmost derivation.

Contoh 1:

- G = ({A,B,S}, {a,b},S,P} dengan aturan produksi P :

S AB

AaaA |

BBb |

- Menspesifikasikan bahasa

L(G) = {a2nbm| n0 , m0}

- Leftmost derivation untuk menghasilkan string aab

S AB aaAB aaB aaBb aab

- Righmost derivation untuk menghasilkan string aab

S AB ABb aaABb aaAb aab

Contoh 2:

- G = ({A,B,S}, {a,b},S,P} dengan aturan produksi P :

S aAB

AbBb

BA |

- Leftmost derivation untuk menghasilkan string abbbb

S aAB abBbB abAbB abbBbbB abbbbB abbbb

- Righmost derivation untuk menghasilkan string aab

S aAB aA abBb abAb abbBbb abbbb


55/105

49

7.3Pohon urai

Untuk menampilkan penguraian, dapat dilakukan dengan membentuk pohon urai

(urutan penguraian tidak terlihat). Pohon urai untuk contoh sebelumnya :

7.4Parsing dan Keanggotaan

Untuk menentukan apakah string w berada di L(G), dengan cara secara sistematis

membangun semua kemungkinan penurunan, dan mencocokkan hasilnya apakah

ada yang sama dengan string w. (disebut exhaustive search parsing)

Contoh : Menentukan apakah string ab berada pada bahasa yang dibentuk oleh

grammar dengan aturan produksi S SS | aSb | bSa |

Untuk penguraian pertama1. S SS

2. S aSb

3. S bSa

4. S

Penguraian nomor 3 dan 4 tidak perlu dilanjutkan.

Penguraian 1 membentuk: Penguraian 2 membentuk:

1a. S SS SSS 2a. S aSb aSSb

1b. S SS aSbS 2b. S aSb aaSbb

1c. S SS bSaS 2c. S aSb abSab

1d. S SS S 2d. S aSb ab

S

a

bBb

BA

bBb

A


56/105

50

7.5Ambiguitas pada Tatabahasa dan Bahasa

Tatabahasa bebas konteks G disebut ambigu jika terdapat beberapa w L(G) yang

mempunyai paling sedikit dua buah pohon penurunan.

Contoh pada tatabahasa dengan aturan produksi S SS | aSb |

string aabb mempunyai 2 pohon penurunan :

7.6Pumping Lemma untuk bahasa bebas konteks

Jika suatu rangkaian simbol /string yang cukup panjang yang merupakan sebuah

bahasa bebas konteks, maka kita dapat menemukan dua substring yang jaraknya

berdekatan yang jika dipompa, string baru yang diperoleh merupakan bahasa bebas

konteks juga.Secara formal, lemma diatas dinyatakan dengan

Syarat kedua lokasi berdekatan dinyatakan dengan kondisi |vwx| n

Jika salah satu v atau x diambil sebagai string kosong, maka lemma diatas berubah

menjadi lemma untuk bahasa regular.

Contoh tatabahasa dengan aturan produksi:

S uAy

A vAx

A w

maka aturan derivasinya

bSa

S

bSa

bSa

S

bSa

S

S

( )( )( )( )

( )( )

=

Lywxuvi

vxnvwxuvwxyzyxwvu

nzLz

znL

ii

1,,,,


57/105

51

S uAy uwy

S uAy uvAxy uvwxy

S uAy uvAxy uvvAxxy uvvwxxy

sehingga untuk setiap i 0 , uviwxiy L

7.7Sifat - sifat tertutup bahasa bebas konteks

1. Gabungan dua CFL merupakan CFL juga

Jika diketahui dua buah CFG G1= (N1,T1,S1,P1) dan G2=(N2,T2,S2,P2) yang

menghasilkan bahasa L1dan L2, maka CFG L1L2dapat dibentuk dengan

cara :

- Menggabungkan kedua himpunan dan menambahkan satu simbol variabel

baru S.

- Menggabungkan kedua himpunan simbol terminal.

- Menggabungkan kedua himpunan aturan produksi dan menambahkan satu

aturan produksi baru S S1|S2yang digunakan untuk memilih salah satu

simbol awal S1atau S2dari simbol awal baru S.

G3= (N1N2{S},T1T2,S,P1P2{SS1|S2}}

2. Penyambungan dua CFL merupakan CFL juga

Jika diketahui dua buah CFG G1= (N1,T1,S1,P1) dan G2=(N2,T2,S2,P2) yang

menghasilkan bahasa L1dan L2, maka bahasa L1L2dapat dibentuk oleh :

G4= (N1N2{S},T1T2,S,P1P2{SS1S2}}

3. Kleene Klosuredari CFL adalah CFL juga.

Kleene Klosuredari tatabahasa G=(N,T,S1,P) adalah

G5= (N {S} , T , S , P {S S1S | } )

4. Bahasa bebas konteks tertutup terhadap substitusi

Contoh:

La= {0n1n| n 1 } dan Lb= { wwR| w (0+2)* }

dihasilkan oleh tatabahasa Gadengan aturan produksi Sa0Sa1 | 01

serta tatabahasa G2dengan aturan produksi Sb0Sb0 | 2Sb2 |


58/105

52

7.8Substitusi

Didefinisikan tatabahasa G dengan aturan produksi S aSbS | bSaS |

jika f adalah substitusi f(a)= La dan f(b) = Lb maka f(L) adalah bahasa yang

dihasilkan oleh tatabahasa dengan aturan produksi

S SaSSbS | SbSSaS |

Sa0Sa1 | 01

Sb0Sb0 | 2Sb2 |

7.9Tatabahasa Bebas Konteks dan Bahasa Pemrograman

Tatabahasa bebas konteks digunakan untuk mendefinisikan sintaks bahasa

pemrograman menggunakan notasi BNF (Backus-Naur Form)

- variabel / non terminal :

- terminal : tanpa tanda

- diganti dengan ::=

Contoh statemen if then else

< if_statement> ::= if


59/105

53

Bab VIII

Penyederhanaan Tata Bahasa Bebas Konteks

Tujuan

Melakukan pembatasan sehingga tidak menghasilkan pohon penurunan yang memiliki

kerumitan yang tidak perlu atau aturan produksi yang tidak berarti.

Contoh

1. SAB | a

Aa

Aturan produksi SAB tidak berarti karena B tidak memiliki penurunan

2. SA

AB

BC

CD

D a | A

Memiliki kelemahan terlalu panjang jalannya padahal berujung pada S a,

produksi DA juga menyebabkan kerumitan.

Cara Penyederhanaan:

1. Penghilangan produksi useless(tidak berguna)

2. Penghilangan produksi unit

3. Penghilangan produksi

8.1 Penghilangan Produksi Useless

Di sini produksi useless didefinisikan sebagai produksi yang memuat simbol

variabel yang tidak memiliki penurunan yang akan menghasilkan terminal-terminal

seluruhnya. Produksi yang tidak akan pernah dicapai dengan penurunan apapun dari

simbol awal, sehingga produksi itu redundan(berlebih)

Prinsipnya

Setiap kali melakukan penyederhanaan diperiksa lagi aturan produksi yang tersisa,

apakah semua produksi yang uselesssudah hilang.


60/105

54

Contoh :

1. S aSa | Abd | Bde

A Ada

BBBB | a

Maka,

- Simbol variabel A tidak memiliki penurunan yang menuju terminal,

sehingga bisa dihilangkan.

- Konsekuensinya, aturan produksi S Abd tidak memiliki penurunan

Penyederhanaan menjadi:

SaSa | Bde

BBBB | a

2. SAa | B

Aab | D

Bb | E

Cbb

EaEa

Maka,

- Aturan produksi A D, simbol variabel D tidak memiliki penurunan.

- Aturan produksi C bb, Penurunan dari simbol S, dengan jalan manapun

tidak akan pernah mencapai C

- Simbol variabel E tidak memiliki aturan produksi yang menuju terminal

- Konsekuensi no (3) Aturan produksi B E, simbol variabel E tidak

memiliki penurunan.

Maka produksi yang useless:

A D

C bb

E aEa

B E

Penyederhanaannya menjadi:

SAa | B

A ab

B b

3. S aAb | cEB


61/105

55

A dBE | eeC

B ff

C ae

D h

Analisa :

- Aturan produksi ScEB, A dBE dapat dihilangkan (E tidak memiliki

penurunan)

- Aturan produksi D h, redundan

Sisa aturan produksi

SaAb

AeeC

B ff

C ae

Hasil penyederhanaan :

SaAb

AeeC

C ae

Analisis lagi

B ff juga redundan,

8.2 Penghilangan Produksi Unit

Produksi dimana ruas kiri dan kanan aturan produksi hanya berupa satu simbol

variabel, misalkan: A B, C D. Keberadaannya membuat tata bahasa memiliki

kerumitan yang tak perlu. Penyederhanaan dilakukan dengan melakukan

penggantian aturan produksi unit.

Contoh :

1. SSb

SC

C D

C ef

Ddd


62/105

56

Dilakukan penggantian berturutan mulai dari aturan produksi yang paling

dekat menuju ke penurunan terminal-terminal (=> dibaca menjadi):

C D => C dd

S C => S dd | ef

Sehingga aturan produksi setelah penyederhanaan:

S Sb

S dd | ef

C dd

C ef

C dd

2. SA

SAa

AB

B C

B b

C D

C ab

Db

Penggantian yang dilakukan :

C D => C b

B C => B b | ab, karena B b sudah ada, maka cukup

dituliskan B ab

A B => A ab | b

S A => ab | b

Sehingga aturan produksi setelah penyederhanaan:

S ab | b

S Aa

A ab | b

B ab

B b

C b

C ab

D b


63/105

57

8.3 Penghilangan Produksi

Produksi adalah produksi dalam bentuk , atau bisa dianggap sebagai

produksi kosong (empty). Penghilangan produksi dilakukan dengan melakukan

penggantian produksi yang memuat variabel yang bisa menuju produksi , atau

biasa disebut nullable.

Prinsip penggantiannya bisa dilihat kasus berikut:

S bcAd

A

A nullable serta A satu-satunya produksi dari A, maka variabel A bisa

ditiadakan, hasil penyederhanaan tata bahasa bebas konteks menjadi: Sbcd

Contoh:

1. Tetapi bila kasusnya:

S bcAd

A bd |

A nullable, tapi A bukan satu-satunya produksi dari A, maka hasil

penyederhanaan:

S bcAd | bcd

A bd

2. SAb | Cd

Ad

C

Variabel yang nullable adalah variabel C. Karena penurunan C

merupakan penurunan satu-satunya dari C, maka kita ganti S Cd menjadi

Sd. Kemudian produksi C kita hapus.

Setelah penyederhanaan menjadi:

S Ab | d

A d

3. Contoh tata bahasa bebas konteks:

S AaCD


64/105

58

A CD | AB

B b |

C d |

D

Variabel yang nullableadalah variabel B, C, D.

Kemudian dr A CD, maka variabel A juga nullable( A ). Karena D

hanya memilki penurunan D , maka kita sederhanakan dulu:

S AaCD => S AaC

A CD => A C

D kita hapus

Selanjutnya kita lihat variabel B dan C memiliki penurunan , meskipun

bukan satu-satunya penurunan, maka dilakukan penggantian:

A AB => A AB | A | B

S AaC => S AaC | aC | Aa | a

B dan C kita hapus

Setelah penyederhanaan:

S AaC | aC | Aa | a

A C | AB | A | B

B b

C

8.4 Pengembangan praktek

Ketiga penyederhanaan tersebut dilakukan bersama pada suatu tata bahasa bebas

konteks, yang nantinya menyiapkan tata bahasa bebas konteks tersebut untuk

diubah kedalam suatu Bentuk Normal Chomsky(BNF)

Urutan penghapusan aturan produksi :

- Hilangkan produksi

- Hilangkan produksi unit

- Hilangkan produksi useless

Contoh:

SAA | C | bd


65/105

59

A Bb |

B AB | d

C de

Jawab:

- Hilangkan produksi , sehingga menjadi:

S A | AA | C | bd

A Bb

B B | AB | d

C de

- Selanjutnya penghilangan produksi unit menjadi:

S Bb | AA | de | bd

A Bb

B AB | d

C de

Penghilangan produksi unit bisa menghasilkan produksi useless.

- Terakhir dilakukan penghilangan produksi useless:

S Bb | AA | de | bd

A Bb

B AB | d

- Hasil akhir aturan produksi tdk lagi memiliki produksi , produksi unit,

maupun produksi useless.


66/105

60

Bab IX

Bentuk Normal Chomsky

9.1Pengertian

Bentuk normal Chomsky / Chomsky Normal Form (CNF) merupakan salah satu

bentuk normal yang sangat berguna untuk tata bahasa bebas konteks (CFG). CNF

dapat dibuat dari sebuah tata bahasa bebas konteks yang telah mengalami

penyederhanaan yaitu penghilangan produksi, useless, unit, dan .

Dengan kata lain, suatu tata bahasa bebas konteks dapat dibuat menjadi CNFdengan

syarat tata bahasa bebas konteks tersebut :

o Tidak memiliki produksi useless

o Tidak memiliki produksi unit

o Tidak memiliki produksi

9.2Aturan produksi

Aturan produksi dalam CNF ruas kanannya tepat berupa sebuah terminal atau dua

variabel. Misalkan:

o A BC

o A b

o B a

o C BA | d

9.3Pembentukan CNF

Langkah-langkah pembentukan CNF secara umum sbb:

1. Biarkan aturan produksi yang sudah dalam CNF.

2. Lakukan penggantian aturan produksi yang ruas kanannya memuat simbol

terminal dan panjang ruas kanan > 1.

3. Lakukan penggantian aturan produksi yang ruas kanannya memuat > 2 simbol

variabel.


67/105

61

4. Penggantian-penggantian tersebut bisa dilakukan berkali-kali sampai akhirnya

semua aturan produksi dalam CNF.

5. Selama dilakukan penggantian, kemungkinan kita akan memperoleh aturan-aturan

produksi baru, dan juga memunculkan simbol-simbol variabel baru.

9.4Bagan Tahapan Pembentukan CNF

Contoh (kita anggap CFG sudah mengalami penyederhanaan )

1. SbA | aB

A bAA | aS | aB aBB | bS | b

- Aturan produksi yang sudah dalam CNF:

A a

B b

- Dilakukan penggantian aturan produksi yang belum CNF

S bA => S P1A

S aB => SP1B

A bAA => S P1AA => A P1P3

A aS => A P2S

B aBB => B P2BB => B P2P4

B bS => B P1S

- Terbentuk aturan produksi dan simbol variabel baru:


68/105

62

P1b

P2a

P3AA

P4BB

- Hasil akhir aturan produksi dalam CNF:

A a

B b

S P1A

S P2B

A P1P3

A P2S

B P2P4

B P1S

P1b

P2a

P3AA

P4BB

2. SaB | CA

A a | bc

B BC | Ab

C aB | b

- Aturan produksi yang sudah dalam CNF:

S CA

A a

B BC

C b

- Penggantian aturan produksi yang belum dalam CNF:

S aB => SP1B

A bc => SP2P3

B Ab => B A P2


69/105

63

C aB => C P1B

- Terbentuk aturan produksi dan simbol variabel baru:

P1a

P2b

P3c

- Hasil akhir aturan produksi dalam CNF:

S CA

A a

B BC

C b

S P1B

S P2P3

B A P2

C P1B

P1a

P2b

P3c

9.5Algoritma CYK untuk Tata Bahasa Bebas Konteks

Algoritma CYK merupakan algoritma parsingdan keanggotaan (membership)untuk

tata bahasa bebas konteks. Algortima ini diciptakan oleh J. Cocke, DH. Younger, dan

T. Kasami.

Syarat untuk penggunaan algortima ini adalah tata bahasa harus berada dalam bentuk

CNF. Obyektif dari algortima ini adalah untuk menunjukkan apakah suatu string

dapat diperoleh dari suatu tata bahasa.

Algoritma CYK sebagai berikut:

begin

1. for i:= 1 to n do

2. Vi1:= {A| A a aturan produksi dimana simbol ke- i adalah a };

3. for j:= 2 to n do


70/105

64

4. for i:= 1 to (n-j+1) do begin

5. Vij:=;

6. for k:=1 to (j 1) do

7. Vij:= Vij ( A | ABC adalah suatu produksi, dimana B di Vik

dan C di Vi+k,j-k}

end

end

Penjelasan

n = panjang untai yang akan diperiksa, missal : untuk untai ada, n= | ada | = 3

i akan menyatakan kolom ke-

j akan menyatakan baris ke-

tahapan no (1) dan (2) untuk mengisi table baris pertama kolom 1 n

no (3), interasi dari baris ke- 2 sampai n

no (4), interasi untuk mengisi kolom 1 sampai ( n baris + 1) pada suatu baris.

no (5) inisialisasi Vijdengan

no (6) dan no (7), interasi untuk memeriksa mana saja yang menjadi anggota V ij

Contoh kasus terdapat tata bahasa bebas konteks (simbol awal S ) :

SAB | BC

ABA | a

B CC | b

C AB | a

Periksalah apakah untai baaba termasuk kedalam bahasa tersebut !

Pertama tama kita akan membuat tabel untuk Vij( Vkolom,baris ) sebagai berikut :


71/105

65

Tabel diatas kita gunakan untuk mempermudah kita dalam menyelesaikan persoalan,

i akan menyatakan kolom,jakan menyatakan baris.

Kita ketahui n= 5. Dari Algoritma langkah (1) dan (2) kita bisa mengisi baris pertama

pada tabel, sebagai berikut:

Untuk V11, kita periksa variabel yang bisa menurunkan b, dari B b kita isi

V11= {B}

Untuk V21, kita periksa variabel yang bisa menurunkan a, dari Aa dan C

a kita isi V21={A,C}

Untuk V31, kita periksa varibel yang bisa menurunkan a, dari A a dan C

a kita isi V31={A,C}

Untuk V41, kita periksa variabel yang bisa menurunkan b, dari B b kita isi

V41={B}

Untuk V51, kita periksa variabel yang bisa menurunkana, dari A a dan C

A kita isi V51={A,C}

Dari hasil tersebut kita bisa mengisi tabel :

Selanjutnya kita akan mengisi baris ke-2 sampai nsebagai berikut :

Pada baris ke -2 (k =1 )

Untuk V12, periksa Vik- Vi+k, j-k, berarti V11-V21, yaitu B-A,C, variabel yang

bisa menurunkan BA atau BC adalah S dan A, maka V12kita isi {S, A}

Untuk V22, periksa Vik Vi+k, j-k, berarti V21-V31, yaitu A,C-A,C, variabel yang

bisa menurunkan AA, AC, CA, atau CC adalah B maka V22kita isi {B}

Untuk V32, periksa Vik-Vi+k, j-k, berarti V31-V41yaitu A, C-B, variabel yang

bisa menurunkan AB atau CB adalah S dan C, maka V32kita isi {S, C}

Untuk V42, periksa Vik-Vi+k, j-kberarti V41-V51, yaitu A,C-B, variabel yang bisa

menurunkan AB atau CB adalah S dan C, maka V42kita isi {S,A}


72/105

66

Dari hasil tersebut kita bisa mengisi tabel:

Pada baris ke 3 (k= 1 sampai 2):

Untuk V13, periksa Vik-Vi+k, j-k, berarti V11-V22& V12-V31, yaitu B-B & S,A-

A,C, variabel yang bisa menurunkan BB, SA,SC,AA, atau AC adalah tidak

ada, maka V13 kita isi

Untuk V23, periksa Vik-Vi+k, j-k, berarti V21-V32& V22-V41, yaitu A,C-S,C & B-B, variabel yang bisa menurunkan AS, AC, CS, CC, atau BB adalah B , maka

V23 kita isi {B}

Untuk V33, periksa Vik-Vi+k, j-k, berarti V31-V42& V32-V51, yaitu A,C-S,A &

S,C-A,C variabel yang bisa menurunkan AS, AA, CS, CA, SA, SC, CA, atau

CC adalah B, maka V33kita isi {B}


Pada baris ke 4 ( k= 1 sampai 3):

Untuk V14, periksa Vik-Vi+k, j-k, berarti V11-V23& V12-V32 & V13-V41, yaitu B-

B & S,A-S,C & -B, variabel yang bisa menurunkan BB, SS, SC, AS AC

adalah tidak ada, maka V14kita isi

Untuk V24, periksa Vik-Vi+k, j-k, berarti V21-V33& V22-V42 & V23-V51, yaitu

A,C-B & B-S,A & B-S,A & B-A,C, variabel yang bisa menurunkan AC, AB,

BS, BA, BC adalah S, C, A, maka V24kita isi {S,A,C}


73/105

67


Pada baris ke 5 ( k= 1 sampai 4 )

Untuk V15, periksa Vik-Vi+k, j-k, berarti V11-V24& V12-V33 & V13-V42& V14-

V51yaitu B-S,A,C & S,A-B & -S,A & -A,C, variabel yang bisa

menurunkan BA, BC, SA, SC, SB, atau AB adalah A,S,C maka V15kita isi

{S,A,C}

Dari hasil tersbut kita bisa mengisi tabel:

Perhatikan

Syarat suatu untai dapat diturunkan dari simbol awal, V1nmemuat simbol

awal.

Terlihat pada tabel, simbol awal S termuat di V15, maka untai baaba dapat

diturunkan oleh tata bahasa tersebut.

Kita bisa mencoba-coba untuk membuat pohon penurunan dari untai baaba,


74/105

68

Pohon penurunan untuk untai baaba


75/105

69

Bab X

Penghilangan Rekursif Kiri

10.1 Aturan Produksi Rekursif

Aturan Produksi yang rekursif memiliki ruas kanan (hasil produksi) yang memuat

simbol variabel pada ruas kiri.

- Sebuah aturan produksi dalam bentuk: A A merupakan aturan produksi yang

rekursif kanan. = (VT)* atau kumpulan simbol variabel dan terminal.

Contoh aturan produksi yang rekursif kanan:

S dS

B adB

- Produksi dalam bentuk: A Amerupakan aturan produksi yang rekursif kiri,

Contohnya:

S Sd

B Bad

Produksi yang rekursif kanan menyebabkan pohon penurunan tumbuh ke kanan,

sebaliknya produksi yang rekursif kiri menyebabkan pohon penurunan tumbuh ke

kiri.

10.2 Pohon Penurunan

Bisa dilihat pohon penurunan pada gambar dari tata bahasa bebas konteks dengan

aturan produksi:

SaAc

AAb |

Pohon penurunan sebuah CFG yang rekursif kiri


76/105

70

Dalam banyak penerapan tata bahasa, rekursif kiri tak diinginkan. Untuk

menghindari penurunan yang bisa mengakibatkan loop kita perlu menghilangkan

sifat rekursif kiri dari aturan produksi. Penghilangan rekursif kiri disini

memungkinkan suatu tata bahasa bebas konteks nantinya diubah ke dalam bentuk

normal Greibach.

10.3 Tahapan Penghilangan Rekursif Kiri

1. Pisahkan aturan produksi yang rekursif kiri dan yang tidak,

- Misal : aturan produksi rekursif kiri: A A1|A2|A3|....... An

- Aturan produksi yang tidak rekursif kiri (termasuk produksi ):

A 1| 2| 3| ........ m

2. Dari situ kita bisa tentukan 1, 2, .... n, dan 1, 2, .... m dari setiap aturan

produksi yang memiliki simbol ruas kiri yang sama

3. Lakukan penggantian aturan produksi yang rekursif kiri, menjadi sebagai berikut:

- A1Z | 2Z | .... mZ

- Z 1| 2| 3| .... n

- Z 1Z | 2Z | 3Z | .... nZ

Penggantian diatas dilakukan untuk setiap aturan produksi dengan simbol ruas kiri

yang sama. Bisa muncul simbol variabel baru Z1,Z

2 dan seterusnya, sesuai

banyaknya variabel yang menghasilkan produksi yang rekursif kiri.

4. Hasil akhir berupa aturan produksi pengganti ditambah dengan aturan produksi

semula yang tidak rekursif kiri.

5. Tahapan-tahapan tersebut bisa dilihat pada Gambar berikut :

CFGmengandungaturanproduksi yangrekursif kiri

Aturan produksiyang tidakrekursif kiri

Aturan produksiyang rekursif kiri

Lakukan penggantianmunculkan aturanproduksi baru dansimbol variabel baru

CFG bebasdari aturanproduksi yangrekursif kiri


77/105

71

Contoh :

1. Tata bahasa bebas konteks:

S Sab | aSc |dd | ff | Sbd

- Pertama-tama kita lakukan pemisahan aturan produksi

Aturan produksi yang rekursif kiri:

S Sab | Sbd

Dari situ kita tentukan untuk simbol ruas kiri S: 1=ab, 2=bd

Aturan produksi yang tidak rekursif kiri:

S aSc | dd | ff

Dari situ kita dapatkan untuk simbol ruas kiri S: 1=aSc, 2=dd, 3=ff

- Kita lakukan penggantian aturan produksi yang rekursif kiri:

Untuk yang memiliki simbol ruas kiri

Documents

TEORI BAHASA DAN AUTOMATA.pdf