TEORI BAHASA AUTOMATA

412013024 – Yunita Kristyanti

Chapter 1

Teori Automata mempelajari tentang mekanisme komputer abstrak atau mesin abstrak yang dapat didefinisikan secara matematis.

Tujuan utama adalah mendefinisikan: • apa yang bisa dilakukan oleh komputer dan apa yang tidak• bagaimana komputasi dilakukan

Teori ini dapat mengenali(recognize), menerima(accept),atau membangkitkan(generate) sebuah kalimat dalam bahasa tertentu .

Tipe paling sederhana dari mesin abstrak adalah finite automaton atau finite state machine. Prinsip yang mendasari mesin ini adalah sistem pada setiap saat dalam salah satu dari sejumlah state berhingga dan bergerak diantara state-state tersebut dalam merespon sinyal input individual.

Why Study Automata Theory ?

Finite automata merupakan suatu model yang sangat bermanfaat, berikut beberapa contoh bagaimana konsep ini dipergunakan:

• Software untuk perancangan dan pemeriksaan prilaku sirkuit digital (Circuitsdigitalbehaviour).

•Lexical analyzer sebuah compiler yang merupakan komponen dari compiler yang membagi/memecah teks input menjadi beberapa unit logikal seperti identifier ,keyword, atau pun tanda baca.

•Software untuk pencarian urutan kata , phrase ataupun pola lainnya, untuk scanning sekumpulan text seperti halaman Web

•Software untuk verifikasi semua jenis sistem yang memiliki sejumlah hingga state, seperti communication protocol atau protokol untuk keamanan pertukaran informasi.

Contoh 1 Model FA Sederhana Model switch on/off mengingat apakah

switch berada dalam state “on” atau state “off”. off on

Push

Push•Model memungkinkan user untuk menekan tombol yang memiliki pengaruh berbeda tergantung pada keadaan switch:

– Jika switch berada dalam state “off” maka setelah tombol ditekan state berubah menjadi “on”.

– Jika switch berada dalam state “on” maka setelah tombol ditekan state berubah menjadi “off”.

Komponen dalam FA State dinyatakan oleh lingkaran, dalam Contoh 1 state

diberi nama “on” dan “off”. Arc diantara state diberi label “input “ yang menyatakan

pengaruh eksternal pada sistem. Dalam Contoh 1 kedua arc diberi label ‘push” yang

menyatakan user menekan tombol tertentu. Start state atau initial state merupakan state dimana

sistem berada dalam keadaan awal. Dalam Contoh 1 start state adalah off. Selanjutnya, start state ditunjukan oleh kata start dan

panah menuju start state tersebut. Final atau accepting state.

Dalam Contoh 1 state on dinyatakan sebagai final state. Selanjutnya, final State dinyatakan dalam lingkaran

ganda.

Contoh 2 Model FA Sederhana•FA untuk mengenali kata “then” •dapat dinyatakan sebagai bagian dari lexical analyzer.

t th the thent h e n

Input dinyatakan oleh huruf. Start state merupakan string kosong Setiap state memiliki transisi pada huruf selanjutnya dari

kata then ke state yang menyatakan prefix selanjutnya yang lebih besar.

State “then” adalah accepting state.

Grammar◦Grammar seringkali digunakan dalam perancangan

perangkat lunak yang memproses data dengan struktur rekursif.

◦Grammar digunakan dalam salah satu komponen kompilator yaitu parser yang bekerja dengan struktur rekursif dari bahasa pemograman seperti operasi aritmatika, dan kondisional.

◦Sebagai contoh aturan gramatikal

E E + E

◦menyatakan bahwa ekspresi dapat dibentuk dari dua ekspresi yang dihubungkan dengan tanda +.

Ekspresi regular (1)

◦Ekspresi regular menyatakan struktur dari data, khususnya string teks. Contoh:

[A – Z][a – z]*[ ] [A – Z] [A – Z]

◦menyatakan kata-kata yang diawali huruf kapital yang diikuti oleh spasi dan 2 huruf kapital.

◦Ekspresi tersebut mengenali/menerima kata-kata, diantaranya Ithaca NY, It NY, I NY

◦Ekspresi tersebut tidak menerima kata-kata berikut ITHACA NY,

Ithaca, ithaca NY, Ithaca ny, Ithaca23 NY, Ithaca 1Y, Palo Alto CA

Ekspresi Regular (2)

◦Perhatikan ekspresi berikut

([A – Z][a – z]*[ ])*[ ] [A – Z] [A – Z]

◦Ekspresi tersebut menerima kata-kata, diantaranya Palo Alto CA, Ithaca NY, I Thaca NY, Palo A CA

◦Ekspresi tersebut tidak menerima kata-kata: Palo Alto, palo Alto CA, Palo AltoCA

Ekspresi Regular (3)◦Dalam kedua ekspresi yang diberikan,

◦[A – Z] menyatakan range karakter dari huruf kapital “A” ke “Z”◦[ ] menyatakan karakter blank◦simbol * menyatakan “sejumlah” ekspresi yang mendahului◦Tanda kurung digunakan untuk mengelompokkan komponen-

komponen dari ekspresi. Tanda kurung tidak menyatakan karakter dalam teks.

Pembuktian Deduktif (1)◦Pembuktian deduktif terdiri dari serangkaian pernyataan yang memiliki kebenaran.

◦Pembuktian tersebut berawal dari pernyataan awal yang dinamakan hipotesis (H) menuju penyataan kesimpulan (C).

◦Setiap langkah dalam pembuktian merupakan ◦Prinsip logika yang diterima ◦Fakta yang diberikan◦Pernyataan sebelumnya dalam pembuktian deduktif ◦Kombinasi dari ketiga bentuk tersebut.

Pembuktian Deduktif (1)◦Hipotesa dapat bernilai benar atau salah, khususnya tergantung pada nilai parameternya. ◦Biasanya hipotesa terdiri dari beberapa pernyataan yang independen yang dihubungkan oleh operator logika AND.◦Teorema yang dibuktikan dari hipotesa H untuk kesimpulan C ditulis dalam pernyataan

IF H THEN C. ◦Contoh 3: pernyataan berikut dapat dibuktikan benar:

Jika x 4 maka 2x x2

Contoh ◦Buktikan bahwa teorema berikut benar

Jika x adalah penjumlahan dari kuadrat dari empat integer positif, maka 2x x2

◦Bukti:

Langkah Pernyataan Justifikasi

1 x = a2 + b2 + c2 + d2 Diberikan

2 a 1, b 1, c 1, d 1 Diberikan

3 a2 1, b2 1, c2 1, d2 1 (2) dan sifat aritmatika

4 x 4 (1), (3) dan sifat aritmatika

5 2x x2 Pernyataan dalam Contoh 1.3

Pembuktian Deduktif (2)◦Dalam pembuktian pada Contoh 3 dan 4, digunakan aturan logika modus ponens, yaitu jika diketahui H benar dan diketahui kita simpulkan bahwa C benar

“IF H benar THEN C benar”

◦Bentuk “IF H THEN C” dalam teorema sering kali dinyatakan dalam bentuk lain seperti

H implies C, H only IF C, C IF H

◦Notasi lain untuk “IF H THEN C” adalah H C.

Pembuktian Deduktif (3)◦Bentuk lain yang sering dijumpai adalah “A IF and only IF B”. Bentuk lain dari pernyataan ini adalah ◦“A IFF B” ◦A ekuivalen dengan B

◦Bentuk “A IFF B” terdiri dari dua pernyataan IF:

“IF A then B” and “IF B then A”.

◦Untuk membuktikan pernyataan tersebut benar, kita harus membuktikan 2 pernyataan berikut:◦“IF B then A” dan ◦“IF A then B”

Konsep dalam Teori Otomata Alphabet

◦ Sebuah alphabet adalah himpunan berhingga dan tak kosong dari simbol. Alphabet disimbolkan oleh .

◦ Contoh:◦ = {0, 1} alphabet biner◦ = {a, b,..., z}, himpunan semua huruf kecil.◦ Himpunan semua karakter ASCII.

Konsep dalam Teori Otomata (lanjutan)String

◦Sebuah string (atau word) adalah deretan simbol berhingga yang dipilih dari alphabet.

◦Contoh : 011011 dan 1111 adalah string dari alphabet biner = {0, 1}.

◦String kosong adalah string dimana tidak ada kemunculan simbol.

◦String tersebut dinotasikan oleh .

Konsep dalam Teori Otomata (lanjutan)◦Panjang dari string adalah banyaknya posisi untuk simbol dalam string. ◦Contoh, 01101 memiliki panjang 5. ◦Umumnya panjang dari string adalah banyaknya simbol dalam string. ◦Pernyataan tersebut tidak sepenuhnya benar, sebagai contoh terdapat 2 simbol dalam

string 01101 yaitu 0 dan 1, tetapi terdapat 5 posisi untuk simbol, dan panjangnya adalah 5. ◦Notasi standar untuk panjang string w adalah |w|. Contoh: |011| = 3 dan || = 0.

Konsep dalam Teori Otomata (lanjutan)◦ x adalah sebuah substring dari string lain y jika ada string w dan z, keduanya dapat

berupa string kosong, sedemikian sehingga y = wxz.

◦ Sebagai contoh, car adalah substring dari carry, car, vicar.

Konsep dalam Teori Otomata (lanjutan)Pangkat dari Alphabet

◦Jika adalah alphabet, dapat dinyatakan himpunan dari semua string dengan panjang tertentu dari alphabet tersebut dengan menggunakan notasi eksponensial.

◦Kita mendefinisikan k sebagai himpunan dari string dengan panjang k, setiap string tersebut memiliki simbol dalam .

Konsep dalam Teori Otomata (lanjutan), Contoh 9◦Perhatikan bahwa 0 = {}, untuk alphabet apapun.

◦Bahwa adalah string yang memiliki panjang 0. Jika = {0, 1} maka

1 = {0, 1}

2 = {00, 01, 10, 11}

3 = {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111} dan seterusnya.

◦Semua string pada alphabet dinotasikan *.

◦Contoh: {0,1}* = {, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, ...} dan * = 0 1 2 ...

Konsep dalam Teori Otomata (lanjutan)

◦Kadang-kadang kita tidak ingin memasukkan string kosong dalam himpunan string.

◦Himpunan string-string tak kosong dari alphabet dinotasikan +.

◦Dengan demikian :

+ = 1 2 3 ... * = + {}.

Konsep dalam Teori Otomata (lanjutan)Perangkaian String (concatenation)◦Misalkan x dan y adalah string, maka xy menyatakan perangkaian dari x dan y,

bahwa string dibentuk dengan membuat salinan dari x dan diikuti oleh salinan dari y.

◦ Jika x adalah string yang disusun oleh i simbol,

x = a1a2 ... ai dan y adalah string yang disusun oleh j simbol,

y = b1b2 ... bj maka xy adalah string dengan panjang i + j,

xy = a1a2 ... aib1b2 ... bj ◦Contoh: x = 01101 dan y = 110, maka xy = 01101110 dan yx = 11001101. ◦Untuk suatu string w, persamaan w = w = w dipenuhi. Bahwa adalah identitas

untuk perangkaian.

Konsep dalam Teori Otomata (lanjutan)Bahasa◦Himpunan string-string yang semuanya dipilih dari *, dimana adalah

alphabet, dan L *, maka L adalah bahasa pada . ◦Perhatikan bahwa bahasa pada tidak harus meliputi string-string

dengan semua simbol dari . ◦Dengan demikian, jika L adalah bahasa pada , diketahui bahwa L

adalah bahasa pada alphabet yang merupakan superset dari . ◦Bahasa umum dapat dipandang sebagai himpunan dari string.

Konsep dalam Teori Otomata (lanjutan), Contoh 10

◦Bahasa Inggris, yang merupakan koleksi dari kata-kata dalam bahasa Inggris yang benar. ◦Kata-kata tersebut merupakan string pada alphabet yang

mengandung semua huruf.

◦Bahasa C atau bahasa pemrograman lainnya.◦Dalam bahasa tersebut, program yang benar adalah subset dari

string-string yang mungkin yang dibentuk dari alphabet. ◦Alphabet tersebut adalah subset dari karakter-karakter ASCII.

Konsep dalam Teori Otomata (lanjutan)

Contoh bahasa dalam teori otomata: ◦ Bahasa dari semua string yang berisi n buah 0 dan diikuti oleh n buah 1,

untuk n 0:

{, 01, 0011, 000111, ...} ◦ Himpunan string-string dari 0 dan 1 dengan banyaknya 0 sama dengan

banyaknya 1.

{, 01, 10, 0011, 0101, 1001 ...} ◦ Himpunan bilangan biner yang memiliki nilai prima

{10, 11, 101, 111, 1011, ...} ◦ * adalah bahasa untuk alphabet ◦ adalah bahasa kosong, merupakan bahasa pada suatu alphabet.◦ {}, bahasa yang hanya mengandung string kosong, juga merupakan

bahasa pada suatu alphabet. Perhatikan bahwa {}

Contoh

Berikut adalah contoh bahasa pada = {a, b}:

1.L1 = {, a, aa, aab}

2.L2 = {x {a, b}* |x| ≤ 8}

3.L3 = {x {a, b}* |x| adalah ganjil}

4.L4 = {x {a, b}* na(x) ≥ nb(x)}

5.L5 = {x {a, b}* |x| ≥ 2, x diawali dan diakhiri dengan b}

Notasi lain dari Bahasa (1)

1. Berdasarkan string-string yang dikonstruksi di dalamnya.

Contoh: L1 = {ab, bab}* {b}{bb}*

2. Sifat atau karakteristik dari string dalam L,

Contoh: L = {byb y {a, b}*}.

3. Definisi rekursif

Contoh: Definisi rekursif dari L*:◦ L*

◦ Untuk suatu x L* dan suatu y L, xy L*

◦ Tidak ada string dalam L* selain yang diperoleh menggunakan aturan 1 dan 2.

Notasi lain dari Bahasa (2)

Definisi rekursif untuk bahasa pal dari string-string palindrom pada :◦ pal

◦ Untuk suatu a , a pal

◦ Untuk suatu x , dan suatu a , axa a pal

◦ Tidak ada string dalam pal selain yang diperoleh menggunakan aturan 1, 2 dan 3.

Notasi lain dari Bahasa (3)

Definisi rekursif dari bahasa (LAE) yang string-string di dalamnya berupa ekspresi aljabar dengan tanda kurung penuh (sepasang) untuk setiap operator dengan

= {i, (, ), +, }. ◦ i LAE

◦ Untuk suatu x, y LAE, (x+y) dan (xy) adalah anggota dari LAE.

◦ Tidak ada string dalam LAE selain yang diperoleh menggunakan aturan 1 dan 2.

Contoh string dalam bahasa tersebut: i, (i+i), (ii), ((i+i)i), ((i(ii))+i).

Perangkaian Bahasa

◦Jika L1 dan L2 adalah bahasa, L1 dan L2 *. Perangkaian dari L1 dan L2 dinotasikan L1L2 = {xy | x L1 dan y L2}.

◦Sebagai contoh, {hope, fear}{less, fully} = {hopeless, hopefully, fearless, fearfully}.

◦Untuk L adalah bahasa, L{} = {}L karena untuk setiap x L, x = x = x.

Chapter 2

Sebuah Finite Automata (FA) memiliki sebuah himpunan dari state dan kontrolnya yang bergerak dari state ke state sebagai respon dari adanya input eksternal

FA dibedakan ke dalam dua kelas , yaitu : 1. Deterministic FA (DFA) , yaitu FA yang tidak dapat berada pada lebih dari satu state pada suatu

waktu2. Non Deterministic FA (NFA) , yaitu FA yang dapat berada pada beberapa state pada waktu yang

bersamaan.

Pada DFA , dari suatu state ada tepat satu state berikutnya untuk setiap input eksternal yang diterima Sedangkan pada NFA , untuk setiap pasangan state input kita bisa memiliki 0 atau lebih pilihan ke state berikutnya.

Deterministic Finite Automata (DFA)

• Deterministic Finite Automata (DFA) akan berada pada suatu state tunggal setelah pembacaan dari serangkaian input .

• Istilah “deterministic” menunjukkan kepada fakta bahwa pada setiap input terdapat satu dan hanya satu state yang dituju oleh automata dari state tertentu.

Definisi DFA Suatu DFA terdiri dari :1. Sebuah himpunan berhingga dari state dinotasikan Q.2. Sebuah himpunan berhingga dari simbol input, dinotasikan .3. Fungsi transisi yang memiliki argumen sebuah state dan sebuah simbol input, serta

mengembalikan sebuah state, biasanya dinotasikan sebagai . Untuk q Q dan a : Q Q

dan (q,a) menyatakan state kemana DFA bergerak. Dalam bentuk graf, direpresentasikan oleh arc antara state dan label pada arc. Jika q adalah state, dan a adalah simbol input, maka (q,a) adalah state p sedemikian sehingga terdapat sebuah arc yang diberi label a dari q ke p.

4. Sebuah state awal (start state), merupakan salah satu dari state-state dalam Q.

5. Sebuah himpunan dari final state F.Himpunan F adalah subset dari Q.

DFA seringkali dinotasikan sebagai sebuah tuple 5 elemen A = (Q, , , q0, F), dimana

A : Nama dari DFAQ : Himpunan state : Simbol-simbol input : Fungsi transisi

q0: Start state F : Himpunan accepting state.

Nondeterministic Finite Automata ◦Perbedaan antara DFA dan NFA adalah dalam bentuk . ◦Untuk NFA, adalah fungsi yang memiliki argumen sebuah state dan sebuah simbol (seperti dalam DFA), tetapi mengembalikan himpunan dari nol, satu atau lebih state.

Contoh ◦Gambar berikut adalah sebuah NFA yang menerima string yang terdiri dari 0 dan 1

dan diakhiri oleh 01.

0q 1q0 1

0,1

start2q

Definisi NFA

Sebuah NFA dinyatakan sebagai sebuah tuple 5 elemen, yaitu A = (Q, , , q0, F), dimana :

1. Q : Sebuah himpunan berhingga dari state-state2. : Sebuah himpunan berhingga dari simbol-simbol input

3. q0 : Sebuah start state q0 Q4. F : Sebuah himpunan final state, F Q5. : Fungsi transisi yang memiliki argumen sebuah state dalam Q dan sebuah

simbol input dalam dan mengembalikan sebuah himpunan bagian dari Q.

◦NFA dalam Contoh 6 dapat dinyatakan

A = ({q0, q1, q2}, {0, 1}, , q0, {q2})

dengan fungsi transisi :

0 1

q0 {q0, q1} {q0}

q1 {q1}

* q2

Jika tidak terdapat transisi dari state tertentu untuk simbol input yang diberikan, fungsi transisi mengembalikan himpunan kosong, dinotasikan

Fungsi Transisi yang Diperluas ◦Definisi fungsi transisi yang diperluas ( ) untuk sebuah fungsi transisi () dari NFA:

◦Basis: (q,) = {q}. Yaitu, tanpa membaca simbol input, NFA tidak berubah. NFA berada dalam state pada saat mulai membaca input.

◦ Induksi: Anggap bahwa w berbentuk w = xa, dimana a adalah simbol terakhir dari w dan x adalah simbol-simbol lain dalam w selain simbol terakhir. Anggap bahwa

(q,x) = {p1, p2, ..., pk}, dan misalkan

◦Maka (q,w) = {r1, r2, ..., rm}

k

1im21i r,...,r,ra,p

Bahasa dari NFA ◦ Jika A = (Q, , , q0, F) adalah sebuah NFA, maka

◦Artinya bahwa, L(A) adalah himpunan dari string-string dalam * sedemikian sehingga (q0,w) mengandung sedikitnya satu accepting state.

Fw,qwAL 0

Ekuivalensi dari DFA dan NFA (1)◦Dalam banyak kasus lebih mudah membuat NFA yang menerima bahasa

tertentu daripada DFA yang menerima bahasa yang sama.

◦Akan tetapi semua bahasa yang dapat dijelaskan oleh NFA juga dapat dijelaskan oleh DFA.

◦Bukti bahwa DFA dapat mengerjakan apa yang dikerjakan oleh NFA melibatkan “ konstruksi subset”, yaitu mengkonstruksi semua subset dari state-state NFA.

Ekuivalensi dari DFA dan NFA (2)

◦ Konstruksi subset bermula dari sebuah NFA, N = (QN, , N, q0, FN).

◦ Tujuannya adalah ingin ditentukan deskripsi dari DFA D = (QD, , D,

{q0}, FD) sedemikian sehingga L(D) = L(N).

◦ Perhatikan bahwa alphabet input untuk N dan D sama yaitu , dan start state dari D adalah himpunan yang hanya mengandung start state dari N.

Ekuivalensi dari DFA dan NFA (3)◦Komponen/elemen lain dikonstruksi sebagai berikut:◦QD adalah himpunan dari himpunan bagian (subset) dari QN, yaitu QD adalah himpunan

kuasa (power set) dari QN. Jika QN memiliki n state, maka QD mempunyai 2n state.

◦Seringkali tidak semua dari state-state ini dapat diakses dari start state dari QD.

◦State-state yang tidak dapat diakses dapat dibuang, sehingga banyaknya state-state dari D dapat lebih sedikit dari 2n.

Ekuivalensi dari DFA dan NFA (4)

◦FD adalah himpunan dari subset-subset S dari QN sedemikian sehingga S FN , bahwa FD adalah semua himpunan-himpunan dari state-state N yang mengandung sedikitnya accepting state dari N.◦Untuk setiap S QN dan untuk setiap simbol input a,

◦bahwa untuk menghitung D(S, a), kita lihat semua state-state p dalam S, selanjutnya ditentukan state yang dituju state N dari p pada input a, dan ambil union dari semua state-state tersebut.

SdalamPND a,pa,S

Lazy evaluation (1) ◦Untuk menghindari langkah untuk membuat elemen-elemen dari tabel transisi

yang memerlukan waktu eksponensial untuk setiap subset dari state-state.

◦Caranya:◦Basis: singleton set yang hanya berisi start state dari N dapat diakses.◦ Induksi: anggaplah kita telah menentukan bahwa himpunan S dari state-state dapat diakses.

Kemudian untuk setiap simbol input a, hitung himpunan dari state-state D(S, a), himpunan-himpunan dari state ini juga dapat diakses.

Lazy evaluation (2)◦Dengan menggunakan lazy evaluation, diperoleh DFA yang

ekuivalen dengan NFA pada Contoh 6:

Start 0q 20 q,q 10 q,q

1

1

1

0

0

0

Teorema

Teorema 1:

◦Jika D = (QD, , D, {q0}, FD) adalah DFA yang dibuat dari NFA N = (QN, , N, q0, FN) dengan konstruksi subset, maka L(D) = L(N).

Teorema 2:

◦Sebuah bahasa L diterima oleh suatu DFA jika dan hanya jika L diterima oleh suatu NFA.

Bukti : dapat dilihat pada buku rujukan.

John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman. 2001. Introduction to Automata Theory, Languange, and Computation. Edisi ke-2. Addison-Wesley.

Daftar Pustaka