Temeljna Pitanja SiS v 1.11

Signali i Sustavi - Temeljna pitanja za usmeni 2014/2015

1

1. Definicija signala i sustava. Sustav je cjelina sastavljena od međusobno vezanih objekata gdje svojstva objekata i njihova interakcija određuju vladanje i svojstva cjeline.

Varijable sustava kao vremenske funkcije često se u inženjerskoj literaturi nazivaju signalima. Signalom se općenito smatra fenomen koji nosi neku informaciju. U sustavu relevantne varijable nose informaciju o procesima u sustavu.

2. Vremenski kontinuirani sustav prvog reda (formulacija jednadžbi, blok dijagram, stanje ravnoteže, stabilnost). - Eksplicitni sustav prvog reda

- Implicitni sustav prvog reda

• formulacija jednadžbi sustava prvog reda model varijable stanja:

1. pisanje diferencijalne jednadžbe (jed. stanja)

• ulazni signal integratora v izražen je vrijednošću stanja x(t) izlaza integratora i ulaza u sustav u(t)

• početnu vrijednost x0 = x(t0) potrebno je ustanoviti

2. pisanje izlazne jednadžbe

• veličina izlaza y(t) određena je vrijednostima x(t) i u(t) • stanje ravnoteže je stanje sustava u kojem sustav može ostati neodređeno dugo

• ako nema pobude (autonomni sustav) stanje ravnoteže je:


2

• ako je pobuda konstantna u = u0 = konst.(neautonomni sustav) ravnotežno stanje xe je dano s:

• za linearni vremenski nepromjenljivi sustav

stanje ravnoteže je xe = 0 za a ≠ 0, dok za a = 0 ima ih beskonačno mnogo

• nelinearni sustav može imati nijedno, jedno ili više stanja ravnoteže.

• stanje ravnoteže xe je:

– stabilno, ako se sustav iz bilo kojeg stanja x0 vraća u stanje ravnoteže xe,

– nestabilno, ako se sustav udaljuje iz stanja ravnoteže xe na najmanji mogući poremećaj,

– polustabilno, ako se sustav iz nekih stanja x0 vraća, a iz nekih ne u ravnotežno stanje xe.

3. Vremenski kontinuirani sustavi drugog i višeg reda - model s ulazno-izlaznim varijablama (formulacija jednadžbi, klasifikacija, blok dijagram, rješavanje [riješiti i komentirati primjer koji mora odgovarati zadanom modelu]).

Koeficijenti {ai} i {bi}

- konstantni → vremenski stalan linearni sustav,

- funkcija vremena → vremenski promjenjiv linearni sustav,

- zavise od ulaznih ili izlaznih varijabli i njihovih derivacija → nelinearni sustav


3

4. Vremenski kontinuirani sustavi drugog i višeg reda - model s varijablama stanja (formulacija jednadžbi, klasifikacija, blok dijagram, rješavanje [riješiti i

komentirati primjer koji mora odgovarati zadanom modelu]).

Klasifikacija: - vremenski stalan linearni sustav

- vremenski promjenjiv linearni sustav

- nelinearni sustav

5. Vremenski diskretni sustavi prvog reda (formulacija jednadžbi, blok dijagram, stanje ravnoteže, stabilnost).

Vektori sustava

u(k), x (k), y (k)

Jednadžbe sustava

x (kTI) = f ( x(k), u(k))

y (k) = g ( x(k), u(k))

E-1 - > operator pomaka

- pomoću njega se piše jednadžba diferencija

k ≥ 0

Klasifikacija: - vremenski stalan sustav

- sustav promjenjiv po koraku


4

6. Vremenski diskretni sustav drugog i višeg reda - model s ulazno-izlaznim varijablama (formulacija jednadžbi, klasifikacija, blok dijagram, rješavanje [riješiti i komentirati primjer koji mora odgovarati zadanom modelu]).

y (k+2) = f ( y(k+1), y(k), u(k+2), u(k+1), u(k))

I<I

y (k) = f ( y(k-1), y(k-2), u(k), u(k-1), u(k-2))

E-1 – jedinični pomak unazad

X - varijabla stanja

Y – izlazna veličina



7. Vremenski diskretni sustav drugog i višeg reda - model s varijablama stanja (formulacija jednadžbi, klasifikacija, blok dijagram, rješavanje [riješiti i

komentirati primjer koji mora odgovarati zadanom modelu]).

x1(k+1) = f ( x1(k), x2(k), u(k))

x1(0) = x10

x2(k+1) = f ( x1(k), x2(k), u(k))

x2(0) = x20

y(k) = g ( x1(k), x2(k), u(k))

E-1 – jedinični pomak unazad

X - varijabla stanja

Y – izlazna veličina




5

8. Superpozicijski integral i sumacija (definicija, svojstva, primjena).

Da bi sustav s jednim ulazom i izlazom bio linearan treba zadovoljavati:

- uvjet homogenosti: F(ax) = aF (x)

- uvjet aditivnosti: F(x1 + x2) = F(x1) + F(x2)

Oba uvjeta napisana zajedno daju uvjet superpozicije : F(ax1 +bx2) =aF(ax1) +bF(ax2)

-superpozicijski integral i sumaciju dobivamo iz principa superpozicije

Superpozicijski integral : za trenutne vrijednosti signala imamo

Superpozicijska sumacija: 1

* ,n

y k a i y k i

Primjena: pogodni su za analizu vremenski promjenjivih sustava

9. Konvolucijski integral i sumacija (definicija, svojstva, primjena)

Konvolucija – preslikavanje funkcije u u funkciju y

Konvolucijska sumacija – omogućuje određivanje odziva za bilo kakvu pobudu kad je

poznat odziv na δ (Diracov) niz, s druge strane ova operacija je veoma važna u

teorijskim razmatranjima i razumijevanju linearnih sustava (primjena).

),()( ikiuyi

Ili za vremenski stalan sustav:

)()()( ikuihkyi

Operacija između „h“ i „u“ naziva se konvolucijom.

Konvolucijski integral

duthty )()()(

Konvolucijski integral preslikava funkciju pobude „u“ u funkciju odziva „y“.

Svojstva konvolucije: komutativnost, asocijativnost, distributivnost, multiplikacija s

konstantom, diferenciranje


6

10.Laplaceova transformacija (definicija, svojstva, primjena).

Laplaceova transformacija - integralni oblik dobiven za transfer funkciju, koja

predstavlja ekvivalent za vremensku funkciju h(t) [tj. Integralna transformacija]

α-transformacija je operator koji funkciji u domeni t pridružuje funkciju u domeni s

dtetxsX st)()( ,

pod pretpostavkom da gornji integral konvergira (tada α-transformacija postoji).

Svojstva: Linearnost, vremenska kompresija, vremenski pomak, frekvencijski pomak,

konvolucija u vremenu, integracija u vremenu, vremenska derivacija, frekvencijska

derivacija.

Primjena: analiza sustava, transformacija iz t u s domenu, radioaktivni raspad (broj

radioaktivnih atoma), analiza strujnih krugova, primjena na integralne i diferencijalne

jednadžbe itd.

11.Z-transfomacija (definicija, inverzna Z-transformacija, svojstva, primjena).

Z - transformacija je operatorski postupak pogodan za rješavanje jednadžbi

diferencija. Postupkom Z-transformacije transformira se niz brojeva u funkciju

kompleksne varijable z.

Za kauzalne signale koristi se jednostrana z-transformacija:

k

kzkxzX

)()(

0

Inverzna Z-transformacija – služi za pretvorbu i z (diskretnog) područja nazad u t

(kontinuirano) područje.

Možemo razvijati u parcijalne razlomke (jer je pomoću ove metode je omogućeno

prikazivanje u redove). Imamo:

1. Razvoj u McLaurentov red oko točke z-1=0 (opći slučaj):

0

1

1

1)(

)(

!

1)(

z

k

k

zd

zYd

kky

2. Razvoj racionalne funkcije na parcijalne razlomke:

...)(21

qz

B

qz

AzzY


7

3. Temelji se na općem izrazu – integral po zatvorenoj krivulji radijusa većeg od

radijusa apsolutne konvergencije:

1)(

2

1)( kzzY

jky

Svojstva: konvergencija, linearnost, pomak unaprijed za n-koraka, kašnjenje za n-

koraka, multiplikacija sa ak, multiplikacija sa ejωk (frekvencijski pomak), multiplikacija

sa k, početna i konačna vrijednost niza.

Primjena: koristi se kod linearno vremenskih diskretnih sustava za analizu sustava

(kao Laplace kod vremenski kontinuiranih)

12.Fourierov red (definicija, spektar, svojstva [nije dovoljno samo navesti

nazive svojstava], primjena).

Fourierov red - rastavlja periodičnu funkciju u sumu jednostavnih oscilatornih

funkcija (u sinuse i kosinuse). Možemo rastaviti neperiodične funkcije na nekom

intervalu, ali ih moramo učiniti periodičnima!

Svaka periodička funkcija može se zapisati kao suma sinusa različitih amplituda, faza i

frekvencija.

)sin()cos(2

)(~

11

0 ntbntaa

txn

n

n

n

a0, an, bn - Fourierovi koeficijenti, n – broj harmonika

Svojstva:


8

Primjena: služi za pojednostavljenje složenih signala pobude zbog lakšeg određivanja

odziva sustava

13.Vremenski diskretni Fourierov red (definicija, spektar, svojstva [nije

dovoljno samo navesti nazive svojstava], primjena).

Vremenski diskretni Fourierov red (DFTS) – vremenski diskretni periodičan niz može

razložiti na sumu periodičkih sinusoida ili eksponencijala frekvencije.

Svojstva:

Primjena: služi za pojednostavljenje složenih signala pobude zbog lakšeg određivanja

odziva sustava

14.Furierova transformacija (definicija, spektar, svojstva [nije dovoljno samo

navesti nazive svojstava], primjena).

Fourierova transformacija – upotrebljava se za predstavljanje aperiodskih signala

superpozicijom eksponencijala ili sinusoida, a može se izvesti iz Fourierovog reda.

dtetxfX ti)()(

Svojstva:


9

Primjena: za analizu beskonačno dugačkih signala (možemo dobiti informacije o

vrijednostima amplitudi i faze)

15.Vremenski diskretna Fourierova transformacija (definicija, spektar,

svojstva [nije dovoljno samo navesti nazive svojstava], primjena).

Diskretni Fourierov red – numeričko određivanje spektra signala

Da bi se mogla računati F.T. numerički, trebat će oblik signala i njegov spektar

predstaviti uzorcima (brojevima) [otipkavanje signala i spektra]

Svojstva:

Primjena: digitalna ili numerička spektralna analiza ili računanje odziva sustava u

vremenskoj i frekvencijskoj domeni, pojednostavljenje složenih signala pobude zbog

lakšeg određivanja odziva sustava.


10

Fourierov Spektar signala [predavanja 14_Fourierov spektar signala]

Spektar signala napisan u pravokutnim obliku sa svojim realnim i imaginarnim

dijelom:

)()()( jjXjXjX ir

Polarni oblik:

)()()( jejXjX

Da bi signal imao Fourierovu transformaciju, funkcija mora biti apsolutno integrabilna

te imati konačan broj maksimuma i minimuma, tj. Konačan broj diskontinuiteta u

konačnom intervalu.

Transformacija postoji za praktički upotrebljive signale; postoje signali kao što su

stepenica i sinusoida koje nisu apsolutno integrabilne, ali se mogu predstaviti

transformacijom, ako dozvolimo upotrebu impulsa u vremenskoj i frekvencijskoj

domeni.


11

16.Ekvivalencija vremenski kontinuiranih i diskretnih signala (otipkavanje,

obnavljanje, aliasing).

Diskretni signal se može smatrati ekvivalentnim kontinuiranom samo ako je moguće

rekonstruirati izvorni signal f iz otipkanog f*, odnosno ako se iz spektra F* može

dobiti originalni F.

Otipkavanje:

Postupak uzimanja uzoraka ili tipkanja kontinuiranog signala f(t) možemo

matematički modelirati kao pridruživanje funkciji f niza impulsa fs, čiji intezitet je

proporcionalan trenutnim vrijednostima kontinuiranog signala. Sinusni signal se može

u potpunosti rekonstruirati iz uzorkovanog signala ukoliko je frekvencija uzorkovanja

bar dvostruko veća od frekvencije sinusnog signala(Nyquistov teorem uzorkovanja).

Obnavljanje:

Rekonstrukcija ili obnavljanje kontinuiranog signala je inverzna operacija operaciji

uzorkovanja. Zadatak je diskretni signal x*(t) rekonstruirati u dijelovima vremena u

kojima nije definiran. Rekonstrukcija je kontinuirana funkcija xR(t).

Aliasing:

Preklapanje signala – ako frekvencija osnovnog kontinuiranog signala ωg prelazi

Nyquistovu frekvenciju ωN=ω0/2.

Documents

Temeljna Pitanja SiS v 1.11