Deformasi & Proses PembentukanKelompok :Dyan Ratna M. 2709 100 048

Imah Luluk K.

2709 100 077

TEGANGANTegangan adalah Perbandingan antara gaya tarik yang bekerja terhadap luas penampang benda. Tegangan dinotasikan dengan (sigma), satunnya Nm-2 Tegangan merupakan tensor derajat dua, sedangkan vektor merupakan tensor derajat satu. Besaran skalar merupakan tensor derajat nol

Pada sistem koordinat sumbu silang, tegangan tersebut adalah xx , yy , zz , txy , tyx , txz , tzx , tyz , dan tzy seperti ditunjukkan pada Gambar 1.1(a).

Tegangan normal ialah tegangan yang bekerja tegak lurus terhadap bidang Tegangan geser ialah tegangan yang bekerja sejajar dengan bidang pembebanan. Jadi keenam tegangan yang mendeskripsikan tegangan pada suatu titik terdiri atas tiga tegangan normal, xx , yy , dan zz , serta tiga tegangan geser, txy , tyz , dan tzx. Tegangan bernilai positif bila tegangan tersebut bekerja pada bidang positif dengan arah positif, atau bekerja pada bidang negatif dengan arah negatif. Selain itu, nilainya negatif. Besar tegangan rata-rata pada suatu bidang dapat didefinisikan sebagai intensitas gaya yang bekerja pada bidang tersebut. Sehingga secara matematis tegangan normal rata-rata dapat dinyatakan sebagai F i=j (1a) ij = n A ij Fn A i, j

= = = =

tegangan normal rata-rata (N/mm2 = MPa) gaya normal yang bekerja (N) luas bidang (mm2) sumbu koordinat pada sistem sumbu silang, x, y, z

Sedangkan tegangan geser rata-rata dapat dinyatakan sebagaiF tij = t , A i j

(1b)

t ij = Ft = A = i, j =

tegangan geser rata-rata (N/mm2 = MPa) gaya tangensial atau sejajar bidang yang bekerja (N) luas bidang (mm2) x, y, z

Regangan regangan juga merupakan tensor derajat dua. Regangan juga dapat diklasifikasikan menjadi dua, yakni regangan normal, dengan notasi eij , i = j, serta regangan geser dengan simbul ij , .

Regangan normal merupakan perubahan panjang spesifik. Regangan normal rata-rata dinyatakan oleh perubahan panjang dibagi dengan panjang awal, atau secara matematis dapat dituliskan

e ij =

D li li

=

ui li

,

i=j

(3)

e ij

= regangan normal rata-rata Dl = u = perubahan panjang pada arah (mm) l = panjang awal pada arah (mm) i, j = sumbu koordinat pada sistem sumbu silang, x, y, z.

Sedangkan regangan geser merupakan perubahan sudut dalam radial. Regangan geser bernilai positif bila sudut pada kuadran I dan atau kuadran III pada sistem koordinat sumbu silang mengecil, Gambar 1.3(a), sedangkan selain itu bernilai negatif.

Transformasi Tegangan Bidang Tegangan dapat ditransformasi dari suatu sumbu koordinat ke sumbu koordinat lainnya. Dengan transformasi pula dapat dicari sumbu koordinat pada suatu titik yang memberikan tegangan utama dari kondisi tegangan yang telah diketahui di titik itu.

Tegangan utama ialah tegangan yang hanya memiliki nilai tidak nol untuk tegangan normal saja, sedangkan nilai tegangan gesernya nol. Dengan demikian juga dimungkinkan transformasi tegangan dari sistem koordinat sumbu silang (x, y, z), Gambar 1.4(a), ke sistem koordinat polar (r, q, z), Gambar 1.4(b).

S Fx ' = 0

x ' x ' . A - ( t xy . A sin q) cos q - ( yy . A sin q) sin q - ( t xy . A cos q) sin q

-( xx . A cos q) cos q = 0

x ' x ' = xx cos2 q + yy sin2 q +2t xy sin q cos q

(1.4a)

Dengan memasukkan harga (90o + q) untuk harga persamaan (1.4a), sehingga dengan identitas-identitas:2 2 o o o 2 cos (9 0 + q) = (cos9 0 cos q - sin 9 0 sin q ) = si n q

q

pada

(9 0o + q) = (sin 9 0o cosq + cos 9 0o sin q )2 = co s2 q sin2

sin(9 0o + q)cos(9 0o + q) = (sin 9 0o cosq + cos 9 0o sin q)(cos9 0o cosq - sin 9 0o sin q)= - sinq cosq akan didapat

y' y' = yy cos2 q + xx sin2 q -2t xy sin q cosqS Fy ' = 0

(1.4b)

tx' y' .A + (txy .A sin q)sin q - (yy .A sin q)cosq -(txy .A cosq)cosq+( xx . A cos q) sin q = 0

t x ' y ' = t xy (cos2 q - sin2 q) - ( xx - yy) sin q cos q

(1.4c)

Dengan substitusi identitas trigonometri, persamaan (1.4a, b, c) bisa ditulis x'x' = xx + yy xx - yy+ cos 2q + t xy sin 2q

(1.5a)

2 2 xx + yy xx - yy cos 2q - t xy sin 2q y'y' = 2 2 xx - yy =sin 2q + t xy cos 2q t x' y' 2

(1.5b)(1.5c)

Tegangan Utama (Principal Stress) dan Tegangan Geser MaksimumTegangan Utama (principal stress) adalah tegangan normal yang terjadi pada sumbu koordinat baru setelah transformasi yang menghasilkan tegangan geser nol. Sudut transformasi yang menghasilkan tegangan utama tersebut dengan sudut utama (principal angle). Secara analitik, besar tegangan utama dan sudut utama dapat diturunkan. Menurut pengertian tentang tegangan utama,akan didapatkan :

xx - yy 0=.sin 2q + t xy .cos 2q 2

atau

2 t xy sin 2 q p = tan 2 q p = cos 2 q p xx - yyDari persamaan di atas dapat dilukiskan segitiganya sebagai berikut

-( xx - yy ) 2 t xy xx - yy + t x' y' = 2 2 2 2 2 ( xx - yy ) + 4 t xy ( xx - yy ) + 4 t xy2

=

1 2. ( xx - yy ) + 4 t xy2 2

{

( xx - yy ) +4 t xy2

2

}

Regangan Utama dan Regangan Geser Maksimumregangan utama (principal strain) adalah regangan normal yang terjadi pada set sumbu koordinat baru setelah transformasi yang menghasilkan setengah regangan geser nol, sudut transformasinya juga disebut sudut utama (principal angle). Secara analitik, dengan penerapan prosedur yang sama, maka akan didapat persamaan sebagai berikut: xy sin 2 q p = tan 2 q p = cos 2 q p e xx - e yy

(1.12a)

e xx + e yy 1 e1,2 = 2 2.

{

(e xx - e yy ) + xy2

2

}

(1.12b)

qp = sudut utama e1,2 = regangan-regangan utama gxy = 2exy = regangan geser

sin 2 qmax e xx - e yy = tan 2 qmax = cos 2 qmax xy

(1.13a)

max 1 = 2 2.

{

(e xx -e yy ) + xy2

2

}

(1.13b)

qmax = sudut regangan geser maksimum xy = 2exy = regangan geser

Hubungan Antara Tegangan Dengan Regangan Untuk deformasi normal, geser maupun gabungan keduanya, hubungan antara tegangan dan regangan pada pembebanan dalam batas proporsional diberikan oleh hukum Hooke. Jadi hukum Hooke tidak berlaku untuk pembebanan di luar batas proporsional. Hukum Hooke diturunkan dengan berdasarkan pada analisis tentang energi regangan spesifik.

Apabila besar tegangan-tegangannya yang diketahui, maka hukum Hooke untuk persoalan-persoalan tiga dimensi, hubungan antara tegangan normal dengan regangan normal dapat dituliskan secara matematis sebagai berikut:1 ( xx - n yy - n zz) E 1 e yy = ( yy - n xx - n zz) E 1 = ( zz - n xx - n yy ) e zz E e xx =

(1.18)

Dengan E dan v berturut-turut adalah modulus alastis atau modulus Young dan angka perbandingan Poisson. Sedangkan pada deformasi geser untuk G adalah modulus geser , hubungannya adalah:t xy (1 + n) t xy = 2 2G E t xz (1 + n) t xz = e xz = xz = 2 2G E yz t yz (1 + n) t yz = = e yz = 2 2G E e xy = xy =

(1.19)

Sedangkan untuk mencari tegangan normal yang terjadi bila regangan normal dan sifat-sifat mekanis bahannya diketahui, digunakan persamaan-persamaan: xx = yy = zz = E (1 - n) e xx + n( e yy + e zz) (1 + n)(1 - 2 n)

{

}(1.20)

E {(1 - n) e yy + n(e xx + e zz)} 1 + n)(1 - 2 n) ( E (1 - n) e zz + n( e xx + e yy ) (1 + n)(1 - 2 n)

{

}

Selanjutnya untuk deformasi geser, bentuk hukum Hooke adalah:t xy = t xz = t yz = E E xy = G xy e xy = 1+ n 2(1 + n) E E xz = G xz e xz = 1+ n 2(1 + n) E E yz = G yz e yz = 1+ n 2(1 + n)

(1.21)

Contoh : Sebuah elemen dari bagian konstruksi yang dibebani, menerima tegangan tarik pada arah sumbu x sebesar 280 MPa, tegangan tekan pada arah sumbu y sebesar 40 MPa serta tegangan geser pada bidang tersebut sebesar 120 Mpa, untuk bahan dengan sifatsifat mekanis: modulus Young, E = 200 GPa dan angka perbandingan Poisson, n = 0,29. Modulus geser ditentukan dengan, G = E / 2(1 + n). Diminta: Hitunglah regangan-regangan yang terjadi. Penyelesaian: a) Dari persamaan (1.18) dan (1.19) akan didapat:e xx = e yy 1 ( 280 + 0,29.40 - 0,29.0) = 0,001458 = 1458me 200000 1 ( -40 - 0,29.280 - 0,29.0) = -0,000606 = -606me = 200000 xy 2 =

e xy

=

(1+ 0,29 ).120200000

= 0,000774 = 774 me

atau

xy = 1548me