36
4-1 BAB IV TEGANGAN, REGANGAN, DAN DEFLEKSI 4.1. Tegangan Salah satu masalah fundamental dalam mechanical engineering adalah menentukan pengaruh beban pada komponen mesin atau peralatan. Hal ini sangat essensial dalam perancangan mesin karena tanpa diketahuinya intensitas gaya di dalam elemen mesin, maka pemilihan dimensi, material, dan parameter lainnya tidak dapat dilakukan. Intensitas gaya dalam pada suatu benda didefinisikan sebagai tegangan (stress). Gambar 4.1 menunjukkan sebuah benda yang mendapat beban dalam bentuk gaya-gaya. Untuk mengetahui intensitas gaya di dalam benda maka dapat dilakukan dengan membuat potongan imaginer melalui titik O. Untuk menjaga prinsip kesetimbangan, tentu pada penampang potongan imajiner tesebut terdapat gaya-gaya dalam yang bekerja. Kalau penampang imaginer tersebut dibagi menjadi elemen-elemen yang sangat kecil A, maka pada masing masing A tersebut akan bekerja gaya dalam sebesar F. Gambar 4.1 Konsep intensitas gaya dalam sebuah benda yang mendapat beban

Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

Embed Size (px)

DESCRIPTION

defleksi

Citation preview

Page 1: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-1

BAB IV

TEGANGAN, REGANGAN, DAN DEFLEKSI

4.1. Tegangan

Salah satu masalah fundamental dalam mechanical engineering adalah

menentukan pengaruh beban pada komponen mesin atau peralatan. Hal ini sangat

essensial dalam perancangan mesin karena tanpa diketahuinya intensitas gaya di dalam

elemen mesin, maka pemilihan dimensi, material, dan parameter lainnya tidak dapat

dilakukan. Intensitas gaya dalam pada suatu benda didefinisikan sebagai tegangan

(stress). Gambar 4.1 menunjukkan sebuah benda yang mendapat beban dalam bentuk

gaya-gaya. Untuk mengetahui intensitas gaya di dalam benda maka dapat dilakukan

dengan membuat potongan imaginer melalui titik O. Untuk menjaga prinsip

kesetimbangan, tentu pada penampang potongan imajiner tesebut terdapat gaya-gaya

dalam yang bekerja. Kalau penampang imaginer tersebut dibagi menjadi elemen-elemen

yang sangat kecil ∆A, maka pada masing masing ∆A tersebut akan bekerja gaya dalam

sebesar ∆F.

Gambar 4.1 Konsep intensitas gaya dalam sebuah benda yang mendapat beban

Page 2: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-2

Definisikan vektor tegangan (Stress vector)

dAdF

AP

0A≈

ΔΔ

=→Δ

limT (4.1)

Vektor tegangan ini adalah intensitas gaya pada seluruh penampang dan arahnya tidak

harus sama antara satu dengan yang lain. Dari definisi ini jelas bahwa tegangan pada

suatu elemen mesin terjadi karena adanya beban yang bekerja pada elemen tersebut.

4.2. Pengaruh Beban Terhadap Kondisi Tegangan

Dalam analisis elemen mesin masing-masing jenis beban perlu dipelajari

pengaruhnya terhadap tegangan, regangan, maupun deformasi yang ditimbulkan.

Berdasarkan lokasi dan metoda aplikasi beban serta arah pembebanan, beban dapat

diklasifikasikan menjadi : beban normal, beban geser, beban lentur, beban torsi, dan

beban kombinasi. Pengaruh jenis-jenis pembebanan tersebut terhadap tegangan,

regangan maupun defleksi elemen mesin dapat ditentukan secara analitik untuk

komponen yang sederhana. Sedangkan untuk komponen yang kompleks, dapat

digunakan metoda numerik maupun metoda eksperimental.

4.2.1. Kasus I : Beban uniaksial

Pembebanan uniaksial pada suatu elemen mesin sering terjadi pada suatu elemen

mesin seperti ditunjukkan pada gambar 4.2. Tegangan yang terjadi pada elemen yang

mendapat beban uniaksial adalah tegangan normal yang arahnya selalu tegak lurus

penampang. Distribusi tegangan normal akibat ganya uniaksial dapat diasumsikan

terdistribusi secara seragam. Formula sederhana untuk menghitung tegangan normal

akibat beban uniaksial adalah

AP

=σ (4.2)

dengan P = beban uniaksial dan A = luas penampang tegak lurus arah beban

Page 3: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-3

Gambar 4.2 Distribusi tegangan normal akibat beban uniaksial

Untuk kondisi elastis linear, karakteristik beban dan deformasi pada beberapa jenis

material ditunjukkan pada gambar 4.3.

Gambar 4.3 Karakteristik beban – deformasi benda elastis linear

Dari definisi tegangan dan regangan maka hubungan tegangan regangan elemen yang

mengalami beban uniaksial dapat diformulasikan menjadi Hukum Hooke satu dimensi.

ε=σ E ; Lδ

=ε (4.3)

Page 4: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-4

Perpindahan yang terjadi pada elemen yang mengalami beban uniaksial

diilustrasikan pada gambar 4.4. Formulasi untuk menghitung perpindahan dapat dilakukan

dari definisi deformasi AB uu −=δ dan dengan menggunakan hukum Hooke, maka

dapat diturunkan bahwa

AEFL)u(uδ AB =−= (4.4)

Gambar 4.4 Gaya dan perpindahan pada elemen yang mengalami beban uniaksial

Studi Kasus 1:

Pada gambar E.1, batang rigid DHC digantung

pada kawat elastis AD dan BC (modulus

elastisitas E, dimensi pada gambar). Beban P

bekerja pada H. Berapa jarak x supaya batang

rigid tetap horisontal? (Abaikan massa batang

rigid dan kawat)

Gambar E.1 Contoh soal 1

Page 5: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-5

Penyelesaian

Diagram benda bebas :

Gambar E.2 Diagram benda bebas

PFFF BCADy =+⇔=∑ 0 a

( ) ADBCH xFxLFH =−⇔=∑ 0 b

Langkah selanjutnya adalah mencari deformasi pada C dan D (uC dan uD).

BC⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

AEFLu C dan

AD⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

AEFLu D c

Supaya batang rigid tetap horisontal, maka

uC=uD. d

Dari persamaan a dan b dan ABC=4AAD, didapat :

ADBCAD

1BC

AD

1AD F4FE4A

LFEA

LF=⇔= e

Dari persamaan b dan e :

L54x4

FF

x-Lx

AD

BC =⇔== f

Page 6: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-6

4.2.2. Kasus II : Beban torsi

Beban torsi akan menimbulkan efek “puntiran” atau deformasi sudut (angular

deformation) seperti ditunjukkan pada gambar 4.5. Poros adalah salah satu contoh

elemen mesin yang mengalami beban puntir. Tegangan yang terjadi akibat beban torsi

adalah tegangan geser dengan distribusi yang bervariasi linear dari titik tengah

penampang ke permukaan.

Tegangan geser yang terjadi pada suatu elemen poros pada jarak r dari sumbu

dan diakibatkan adanya torsi T, diformulasikan sebagai berikut :

JTrτ = (4.5)

J adalah momen inersia polar, besarnya tergantung pada dimensi dan bentuk

penampang. Nilai J untuk berbagai macam penampang bisa dilihat pada tabel 4.1.

Gambar 4.5 Poros penampang lingkaran dengan panjang L dan jari-jari a, diputar dengan torsi T

Elemen yang diberi beban torsi akan mengalami tegangan geser sebesar τ yang

akan mengakibatkan terjadinya regangan geser sebesar γ, hubungannya seperti pada

formulasi Hukum Hooke untuk tegangan geser berikut :

Gγτ = (4.6)

Page 7: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-7

dengan G=modulus geser, ( )υ12EG+

=

Deformasi sudut yang diakibatkan adanya torsi bisa dilihat pada gambar 4.6.

Besarnya adalah :

GJTL

=Φ−Φ=Φ AB (4.7)

Tabel 4.1 Sifat penampang

Page 8: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-8

Gambar 4.6 Sebuah poros dengan panjang L yang diberi beban torsi T

Studi Kasus 2:

Momen torsi bekerja pada poros 2

segmen, segmen AB dan BC seperti

pada gambar. Masing-masing

segmen berbeda material dan momen

inersia polar. Tentukan :

Gambar E.3 Contoh soal 2

a. momen puntir masing-masing segmen,

b. deformasi sudut karena beban torsi,

Penyelesaian

Diagram benda bebas :

Page 9: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-9

Gambar E.4 Diagram benda bebas

Pada bagian B :

TTT BCAB += a

Dari diagram benda bebas sebelah kanan :

( )ABAB

AB ΦΦL

GJT −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= b

( )BCBC

BC ΦΦL

GJT −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= c

Karena poros fix di A dan C, maka :

0=Φ=Φ CA d

Dari persamaan a, b, c dan d, didapat :

( ) ( )BCAB L

GJL

GJ +=

TΦB e

Dari b, c, dan e didapat momen torsi tiap segmen :

( )( ) ( )

BCAB

ABAB

LGJ

LGJ

LGJT

T+

= dan ( )

( ) ( )BCAB

ABBC

LGJ

LGJ

LGJT-

T+

= f

Page 10: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-10

Tanda minus pada TBC menandakan bahwa arahnya terbalik dari gambar diagram benda

bebas.

4.2.3. Kasus III : Beban bending

Contoh sederhana pembebanan bending pada beam ditunjukkan pada gambar

4.7. Tegangan yang terjadi pada pembebanan momen bending M yang diakibatkan oleh

beban P adalah tegangan normal dan tegangan geser. Besarnya tegangan normal yang

terjadi bervariasi semakin membesar menjauhi sumbu netral dan besarnya adalah:

zx I

Myσ = (4.8)

y adalah jarak titik yang ditinjau dari sumbu netral, I adalah momen inersia, sedangkan A

adalah luas penampang melintang beam. Nilai I untuk berbagai macam penampang bisa

dilihat pada tabel 4.1.

Gambar 4.7 Beam dengan beban bending

Tegangan normal dan tegangan geser akibat beban bending ditunjukkan pada

gambar 4.8. Beban bending mengakibatkan terjadinya regangan seperti pada gambar

4.9. Besar regangan pada elemen beam berjarak y dari sumbu netral adalah :

Page 11: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-11

Gambar 4.8 Beam dengan beban bending

Gambar 4.9 Regangan yang terjadi pada beam

zx EI

Myε −= (4.9)

4.2.4. Kasus IV : Beban geser

Beban geser akan menimbulkan tegangan geser pada bidang yang sejajar dengan

arah bekerjanya beban. Beban geser bisa ditemui pada elemen mesin paku keling seperti

pada gambar 4.10. Diasumsikan beban geser terdistribusi merata pada bidang kerja,

sehingga tegangan yang terjadi pada bidang itu nilainya seragam:

Gambar 4.10 Paku keling yang

dibebani dengan beban geser

Page 12: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-12

Tegangan geser yang diakibatkan adanya beban P pada sebuah paku keling

dengan luas penampang A, diformulasikan sebagai berikut :

2AP

A2

Pτ == (4.10)

Khusus pada pembebanan transversal pada beam, seperti pada gambar 4.11,

akan terjadi kombinasi tegangan bending dan tegangan geser.

Gambar 4.11 Pembebanan pada beam

Gambar 4.12 Segmen beam

Dari gambar 4.12 di atas, besarnya tegangan geser dihitung :

( )

∫∫

=

−+

=

=

c

y

c

y

c

y

ydA

dAI

MydAI

ydMM

1

11

1x2xxy

Ib1

dxdMτ

dxbτ

-FFF

(4.11)

dengan b adalah tebal penampang. dM/dy adalah gaya geser pada setiap titik, V,

sehingga :

Page 13: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-13

∫=c

y

ydA1

xy IbVτ (4.12)

dengan ∫=c

y

ydA1

Q , maka

IbVQτ xy = (4.13)

Untuk beam dengan penampang persegi panjang :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=== ∫∫ 2

1

2

11 42Q yhbydybydA

c

y

c

y

(4.14)

Sehingga :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

1

2

42yh

IVτ (4.15)

Tegangan geser bervariasi seperti pada gambar 4.13. Pada y1=h/2, τ=0. Pada y1=0,

τmax=Vh2/8I. Untuk penampang persegi panjang, I=bh3/12, sehingga :

AV

23

max =τ (4.16)

Gambar 4.13 Distribusi tegangan geser pada beam persegi panjang

Studi Kasus 3:

Geometry “brake lever” sepeda diberikan pada gambar E.5. Rata-rata tangan manusia

dapat menimbulkan gaya cengkeram sekitar 267 N. Tangan yang sangat kuat dapat

memberikan gaya cengkeram sekitar 712 N. Diameter pin pivot 8 mm. Hitung tegangan

pada posisi kritis pada brake lever.

Page 14: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-14

Gambar E.5 Contoh soal 3

Idealisasi :

Kegagalan terjadi pada 2 lubang pin dan pada pangkal kantilever (brake lever)

Penampang berebentuk lingkaran

Analisis :

a. Handle dimodelkan sebagai batang kantilever dengan diameter 14.3 mm, seperti

pada gambar:

a

b

Gambar E.6 Model handle sebagai batang kantilever

Dari studi kasus 3, bab 3, didapat R1=712 dan M1=54.6 Nm.

b. Buat DBB brake lever (Asumsi berat dan konsentrasi tegangan diabaikan)

Page 15: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-15

Gambar E.7 Diagram benda bebas

Tegangan tarik bending pada pangkal kantilever akan maksimal pada sisi paling

luar (titik P), nilainya :

( )MPa

m

mNm190

640143.0

20143.06.54

IMyσ

44

zx =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

==π

a

c. Dihitung tegangan geser :

( )( )

MPamm

N 6

43.143

71243A4V

22xy ===

πτ

b

Tegangan geser maksimal terjadi pada sumbu netral (titik Q). Tegangan utama

pada sisi luar bagian atas σ1=σx=190 MPa, σ2=σ3=0, sehingga dari lingkaran Mohr :

τmax=95 MPa.

Gambar E.8 Lingkaran Mohr

d. Dilakukan juga pengecekan pada lokasi lain yang memungkinkan terjadinya

kegagalan, yaitu pada dua lubang pin. Material di antara 2 lubang harus di dicek

terhadap 3 mode kegagalan, yaitu tegangan bearing, tegangan geser langsung dan

tearout.

Page 16: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-16

e. Tegangan bearing yang terjadi adalah tekan, bekerja pada area proyeksi lubang.

( ) 2bearing 1024.628 mmketebalandiaA =××=×= c

MPaA

F 301022993

bearing

12bearing ===σ d

f. Kegagalan tearout bisa dilihat pada gambar :

Pada kasus ini, kegagalan terjadi pada area dengan ketebalan 4(6.4) mm dengan

lebar 7.1 mm.

( ) 2tearout 1814.641.7 mmketebalanlebarA =××=×= e

MPaAF

171812993

tearout

12tearout ===τ f

g. Tegangan bearing dan tearout yang terjadi kecil.

h. Kegagalan yang terjadi karena beban kabel adalah pada bagian C pada gambar

E.7, Bagian ini dimodelkan sebagai batang kantilever dengan lebar penampang (25-

5)/2=10 mm dan lebar 5 mm (konservatif tanpa mempertimbangkan adanya

kenaikan lebar karena adanya jari-jari lubang). Lengan momen diasumsikan sama

dengan jari-jari pin, 4 mm. Gaya yang bekerja pada setengah lebarnya adalah

setengah gaya total. Tegangan bending yang terjadi sebesar :

( )MPa137

12510

425

22858

IMyσ 3

zx =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

== g

Tegangan geser karena pembebanan transversal pada sumbu netral :

( )( )( ) MPa76

510228583

2A3V

xy ===τ h

Page 17: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-17

4.3. Tensor Tegangan 3D

Vektor tegangan T yang bekerja pada bidang potongan imajiner dapat diuraikan

sebagai berikut :

kjiT xzxyx τ+τ+σ= (4.17)

Gambar 4.14 Komponen tegangan pada bidang x-y

Komponen tegangan yang bekerja tegak lurus terhadap bidang disebut tegangan normal, sedangkan komponen yang bekerja dalam arah bidang kerja disebut tegangan geser.

Jika potongan imajiner dilakukan untuk bidang-bidang yang lain maka akan

didapatkan elemen tegangan 3 dimensi seperti ditunjukkan pada gambar 4.15.

Komponen-komponen tegangan yang lengkap untuk tiga dimensi adalah merupakan

tensor orde 2. Tensor tegangan untuk elemen tiga dimensi dapat dituliskan dalam bentuk

matrik pada persamaan 4.18.

Page 18: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-18

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

=

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ij

στττστττσ

σ (4.18)

Gambar 4.15 Komponen tegangan tiga dimensi

Subskrip untuk tegangan normal adalah menandakan arah tegangan. Sedangkan

untuk tegangan geser subskrip pertama menandakan bidang kerja tegangan, dan

subskrip kedua menandakan arah tegangan. Konvensi tanda untuk tegangan adalah

sebagai berikut :

Tegangan normal berhaga positif jika arahnya keluar dari bidang (tarik), dan berharga

negatif untuk sebaliknya

Tegangan geser berharga positif jika :

o Pada bidang positif searah sumbu positif

o Pada bidang negatif searah sumbu negatif.

4.4. Tegangan Bidang (Plane Stress)

Umumnya elemen mesin mengalami kondisi tegangan tiga dimensi, tetapi untuk

beberapa kasus terdapat elemen yang bisa diidealisasikan dengan kondisi tegangan

dalam bidang dua dimensi. Untuk kondisi plane stress ini, semua tegangan tegak lurus

bidang berharga nol (σz = τxz = τyz = 0). Contohnya adalah elemen pelat yang mendapat

beban pada bidang pelat sendiri, tegangan pada elemen tipis seperti straingage, dll.

Untuk tegangan bidang x-y, tensor tegangan dapat disederhanakan menjadi

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

yyx

xyxij στ

τσσ (4.19)

Page 19: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-19

Gambar 4.16 Elemen tegangan bidang (plane stress x-y)

4.5. Tegangan Utama

Untuk menentukan kekuatan suatu elemen mesin maka diketahui tegangan

maksimum yang terjadi pada elemen tersebut. Nilai atau besar suatu tegangan pada

elemen tegangan sangat tergantung pada orientasi dari sistem koordinat. Pada suatu

orientasi tertentu terdapat kondisi dimana tegangan normal berharga maksimum dan

Gambar 4.17 Tegangan utama

tiga dimensi

semua tegangan geser berharga nol. Kondisi ini disebut dengan Principal stress atau

tegangan utama. Nilai tegangan utama dan orientasinya dapat ditentukan dari

persamaan karakteristik berikut :

0=⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

z

y

x

pyzyzx

yzpyyx

xzxypx

nnn

σστττσστττσσ

(4.20)

Page 20: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-20

dimana nx, ny, nz adalah arah cosinus vektor n (normal terhadap principal plane). Supaya

persamaan (4.20) memiliki solusi maka determinant matrik koefisien haruslah bernilai nol.

Dengan demikian maka nilai tegangan utama dapat dihitung dari akar persamaan pangkat

tiga berikut

0IσIσIσ 31

p22

p13

p =−+− (4.21)

dengan

zyzxz

yzyxy

xzxyx

3

2yz

2xz

2xyzyzxyx2

zyx1

στττστττσ

I

τττσσσσσσI

σσσ

=

−−−++=

++=

Setelah nilai tegangan utama didapatkan (σp1, σp2, σp3) maka arah orientasi tegangan

utama (nx, ny, nz) dapat dihitung dengan memasukkan nilai tegangan utama ke

persamaan (4.20). Arah ketiga tegangan utama pasti saling tegak lurus.

Tegangan geser maksimum atau sering disebut “tegangan utama geser” dapat

dihitung dengan menggunakan persamaan

231

13σ−σ

=τ 2

1221

σ−σ=τ

223

32σ−σ

=τ (4.22)

Perlu dicatat bahwa pada saat tegangan geser bernilai maksimum, tegangan normal

belum tentu bernilai nol. Orientasi tegangan geser maksimum adalah 450 terhadap arah

tegangan utama.

Untuk kasus tegangan bidang (2D), persamaan (4.21) diatas dapat

disederhanakan menjadi

2xy

2yxyx

1,2 τ2σσ

2σσ

σ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±

+= (4.23)

dan orientasi tegangan utama adalah

Page 21: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

+= −

yx

xy1p σσ

2τtan

21θ (4.24)

Gambar 4.18 Tegangan utama dua dimensi

Sedangkan tegangan geser maksimum untuk kasus dua dimensi juga dapat

disederhanakan menjadi :

2xy

2yx

max τ2σσ

τ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−= −

xy

yx1s 2τ

σσtan

21θ (4.25)

4.6. Lingkaran Mohr

Untuk memberikan gambaran kondisi tegangan pada berbagai arah dalam bentuk

grafis, Otto Mohr (1914) memperkenalkan Mohr’s Circle. Lingkaran Mohr ini sangat

reperestatif untuk kondisi tegangan dua dimensi. Sedangkan untuk kasus tiga dimensi,

lingkaran Mohr cukup kompleks kecuali untuk kasus-kasus tertentu seperti misalnya saat

salah satu tegangan utama berhimpit dengan salah satu sumbu koordinat.

Langkah-langkah untuk menggambar Lingkaran Mohr (lihat gambar 4.19) adalah

sebagai berikut :

Page 22: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-22

Gambar 4.19 Konstruksi Lingkaran Mohr dan hubungannya dengan state of stress

1. Hitung kondisi tegangan dua dimensi untuk mendapatkan nilai σx, σy, τxy

2. Buat sumbu datar σ dan sumbu vertikal τ

3. Buat titik pusat lingkaran Mohr ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ+σ0

2yx ,

4. Buat dua titik yang saling berlawanan yaitu (σx, -τxy) dan (σy, τxy). Lingkaran dapat

digambar dengan titik pusat pada step 2

5. Radius lingkaran dapat dihitung dengan persamaan

22

yxxy2

r τ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ−σ= (4.26)

6. Tegangan utama terletak pada posisi garis lingkaran memotong sumbu σ (σ1, σ2)

7. Tegangan geser maksimum sama dengan radius lingkaran

8. Sudut orientasi tegangan utama adalah = setengah dari sudut yang dibentuk oleh

garis yang menghubungkan titik (σx, -τxy) dan (σy, τxy) dengan sumbu datar

9. Untuk mendapatkan nilai tegangan pada arah tertentu (φ) : gambar busur 2φ dari garis

yang menghubungkan titik (σx, -τxy) dan (σy, τxy).

Page 23: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-23

4.7. Konsentrasi Tegangan

Adanya diskontinuitas geometri pada elemen mesin seperti lubang, fillet, notch,

inclusi dan lain-lain akan menaikkan nilai tegangan yang terjadi disekitar diskontinuitas

tersebut. Gambar 4.20 menunjukkan distribusi tegangan disekitar pelat yang berlubang

dan diberi beban tarik. Diskontinuitas ini sering disebut stress raiser dan kenaikan nilai

tegangan ini diberi istilah stress concentration (konsentrasi tegangan). Parameter yang

digunakan untuk merepresentasikan konsentrasi tegangan adalah Faktor Konsentrasi Tegangan (Kc) dengan definisi :

nominalTegangan

terjadiyang maksimum TeganganKc = (4.27)

Nilai tegangan maksimum yang terjadi pada bagian diskontinuitas sangat sulit untuk

dihitung secara analitik. Metoda yang umum untuk analisis tegangan pada stress raiser

adalah metoda numerik (Finite Element method, Boundary Element Method), dan metoda

ekperimental seperti photoelastic, straingage dan lain-lain.

Gambar 4.20 Distribusi

Tegangan disekitar pelat

berlubang yang mendapat beban

tarik

Untuk memudahkan penggunaan aspek kosentrasi tegangan oleh para engineer

dalam perancangan elemen mesin, faktor konsentrasi tegangan telah dibuat dalam

bentuk grafik. Grafik konsentrasi tegangan pertama dibuat oleh Peterson (1951).

Parameter-parameter geometri dibuat dalam varibel non dimensional. Beberapa grafik

faktor konsentrasi tegangan yang umum digunakan dalam perancangan elemen mesin

untuk berbagai pembebanan ditunjukkan pada gambar 4.21-4.24.

Page 24: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-24

Gambar 4.21 Faktor konsentrasi tegangan untuk pelat berlubang

Page 25: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-25

Gambar 4.22 Faktor konsentrasi tegangan untuk pelat dengan fillet

Page 26: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-26

Gambar 4.23 Faktor konsentrasi tegangan untuk pelat beralur

Page 27: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-27

Page 28: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-28

Gambar 4.24 Faktor konsentrasi tegangan pada fillet untuk poros

Studi Kasus 4:

Plat datar terbuat dari material britle, tinggi mayor H=4.5 in., tinggi minor h=2.5 in., Jari-jari

fillet r=0.5 in. Tentukan Faktor konsentrasi tegangan dan tegangan maksimal untuk

kondisi :

a. Pembebanan aksial,

b. Bending murni,

c. Pembebanan aksial dengan jari-jari fillet dirubah menjadi 0.25 in.

Analisis :

a. Pembebanan aksial

8.15.25.4==

hH

2.05.25.0==

hr

Dari gambar 4.22-a, Kc=1.8. Dari persamaan 4.27, Tegangan maksimalnya adalah :

Page 29: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-29

bhP

AP 8.18.1max =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=σ

b. Bending murni. Dari gambar 4.22-b, Kc=1.5. Tegangan maksimalnya adalah :

22max965.1bhM

bhM

==σ

c. Pembebanan aksial dengan jari-jari fillet dirubah menjadi 0.25 in.

1.05.2

25.0==

hr

Dari gambar 4.22-a, Kc=2.2. Dari persamaan 4.27, Tegangan maksimalnya adalah :

bhP2.2

max =σ

Bisa dilihat, dengan mengurangi jari-jari fillet menjadi setengahnya, akan menaikkan

tegangan maksimal satu stengah kalinya.

4.8. Regangan Elastis

Benda elastis yang mendapat beban-beban luar seperti ditunjukkan pada gambar

4.1 akan mengalami deformasi. Nilai deformasi dibagi dengan dimensi awal benda

sebelum dibebani didefinisikan sebagai Regangan (strain). Parameter regangan sangat

penting dalam dunia teknik karena dapat diukur langsung dalam eksperimen. Sedangkan

tegangan adalah paremeter yang tidak dapat diukur secara langsung dari eksperimen.

Dengan menggunakan hubungan tegangan-regangan selanjutnya akan dapat ditentukan

tegangan yang terjadi pada komponen mesin.

Jika sebuah benda isotropik dan elastis linear seperti ditunjukkan pada gambar

4.25 diberikan beban tarik dalam arah sumbu x (uniaksial), maka benda tersebut akan

mengalami deformasi dalam arah x (memanjang) dan arah y, z (memendek). Jadi

regangan normal dapat didefinisikan sebagai

x

dxLim0xx →

=ε y

dyLim0yy →

=ε z

dzLim0zz →

=ε (4.28)

Page 30: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-30

Gambar 4.25 Ilustrasi

regangan untuk benda yang

mengalami beban tarik

uniaksial

Jika benda isotropik pada gambar 4.25 diberi beban geser murni dalam pada

bidang y dalam arah x, maka benda tersebut hanya akan mengalami deformasi geser

seperti ditunjukkan pada gambar 4.26. Dari deformasi geser tersebut didefinisikan regangan geser atau shear strain

θ≈θ==γ→

tany

dxLim0yxy (4.29)

Dengan cara yang sama, regangan γxz dan γyz dapat ditentukan dengan memberikan

beban geser murni dalam arah y dan z.

Gambar 4.26 Ilustrasi regangan untuk benda yang

mengalami regangan geser murni

Dari definisi di atas, jelaslah bahwa strain adalah tensor orde dua sehingga dapat

dituliskan dalam bentuk

Page 31: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-31

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

εγγγεγγγε

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij (4.30)

dengan menggunakan prinsip kesetimbangan selanjutnya dapat dibuktikan bahwa γxz =

γzx dan γyz = γzy sehingga tensor regangan untuk 3 dimensi juga memiliki 6 komponen.

Untuk kasus regangan 2 dimensi yang juga disebut regangan bidang (plain strain),

elemen regangan ditunjukkan pada gambar 4.27. Tensor regangan dapat disederhanakan

menjadi

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡εγγε

=εyyyx

xyxxij (4.31)

Gambar 4.27 Elemen regangan 2D

Nilai regangan maksimum serta arahnya untuk suatu elemen regangan dapat dicari

dengan menggunakan lingakaran Mohr seperti pada analisis tegangan.

4.9. Hubungan Tegangan-Regangan

Hubungan antara tegangan dan regangan untuk benda elastis linear pertama kali

diusulkan oleh Hooke, sehingga sering disebut dengan hukum Hooke. Untuk kasus

regangan bidang hukum Hooke dapat dituliskan

[ ])( zyxx E1

σ+σν−σ=ε Gxy

xy

τ=γ

[ ])( zxyy E1

σ+σν−σ=ε Gxz

xzτ

=γ (4.32)

[ ])( yxzz E1

σ+σν−σ=ε Gyz

yz

τ=γ

Page 32: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-32

dengan E adalah modulus elastisitas dan G adalah modulus geser. Hubungan modulus

geser dan modulus elastisitas adalah

)( ν+

=12EG (4.33)

Dalam analisis eksperimental, parameter yang dapat diukur adalah regangan.

Regangan biasanya diukur dengan straingage. Dengan demikian formula (4.32) perlu

diubah menjadi

λe2Gεσ xxx += xyxy Gγτ =

λe2Gεσ yyy += xzxz Gγτ = (4.34)

λe2Gεσ zzz += yzyz Gγτ =

dengan e adalah dilatasi dan λ konstanta Lame :

zzyyxxe ε+ε+ε=

))(( ν−ν+ν

=λ211

E (4.35)

Soal-Soal Latihan

1. Untuk kondisi tegangan dibawah ini, gambarlah diagram Mohr, tentukan tegangan

utama normal dan geser, serta gambarkan elemen tegangan (satuan Mpa).

a. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=σ

64412

ij b. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=σ94

416ij c. ⎥

⎤⎢⎣

⎡−−−−

=σ8442

ij

2. Tentukanlah nilai dan arah tegangan utama untuk kondisi tegangan berikut (satuan

Mpa). Untuk material baja (E = 210 Gpa, ν = 0,3) tentukanlah juga kondisi regangan

dan regangan utama benda tersebut.

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

−=σ

6232124348

ij

Page 33: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-33

3. Sebuah hook terbuat dengan

penampang dan geometri seperti

ditunjukkan pada gambar.

Tentukanlah nilai dan arah tegangan

pada bagian dalam dan bagian luar

penampang A-A jika beban F yang

diberikan adalah 1000 lb. (asumsi

tidak ada konsentrasi tegangan).

4. Papan loncat indah menggunakan konstruksi (a) overhang dan (b) cantilever seperti

ditunjukkan pada gambar. Tentukanlah tegangan utama yang maksimum pada

konstruksi papan jika orang dengan berat 100 kg berdiri diujung papan. Diketahui

penampang papan adalah 305 mm x 32 mm, dan modulus elastisitas papan papan

adalah E = 10,3 Gpa. Berapakah defleksi maksimum papan ?

5. Sebuah poros mendapat beban

tarik, torsi, dan beban

melintang seperti pada gambar.

Tentukanlah konsentrasi

tegangan dan tegangan utama

pada bagian poros yang

mengalami diskontinuitas.

Page 34: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-34

6. Sebuah “hand crank” mendapat beban

statik seperti ditunjukkan pada gambar.

Tentukanlah lokasi dimana terjadi

tegangan maksimum. Gambarkan elemen

tegangan dan buat diagram Mohr. (asumsi

tidak ada konsentrasi tegangan)

7. Sebuah pelat dengan dimensi seperti

pada gambar mendapat beban momen

M = 300 Nm dan gaya tarik P = 150 kN.

Tentukanlah kondisi tegangan pada

bagian yang mengalami konsentrasi

tegangan. Tentukan juga kondisi

regangan yang terjadi.

8. Tentukanlah perpindahan angular dan

perpindahan linear pada elemen mesin

berikut :

9. Poros dibebani secara aksial seperti pada gambar. Pada segmen yang manakah rata-

rata tegangan tekan sama dengan P/A? Pada segmen yang manakah tegangan tekan

maksimal sama dengan P/A?

Page 35: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-35

10. Potongan AA sebuah crane hook dianggap berbentuk

trapezoidal dengan dimensi seperti pada gambar.

Tentukan resultan tegangan (bending dan tarik) pada

titik P dan Q.

11. Poros ditumpu bearing pada

lokasi A dan B dan dibebani

dangan gaya ke bawah

sebesar 1000 N, seperti pada

gambar. Tentukan tegangan

maksimal pada fillet poros.

Fillet berjarak 70 mm dari B.

12. Gambar kondisi tegangan utama dan tegangan geser maksimal secara analitik dan

cek hasilnya dengan menggunakan lingkaran Mohr, untuk :

σx σy σz τxy τyz τzx a 0 -1500 0 750 0 0 b 750 500 250 500 0 0

13. Clamping fixture digunakan untuk membebani sebuah batang

hingga mencapai tegangan tarik sebesar 30 kpsi dan

disambungkan pada hydrolic ram, dengan menggunakan

sambungan clevis. Sambungan clevis seperti pada gambar.

Tentukan diameter pin clevis untuk menahan beban yang

terjadi. Asumsikan tegangan geser ijin dan tegangan normal ijin

masing-masing sebesar 40000 psi. Tentukan pula diameter luar

ujung clevis supaya tegangan tearout dan bearing yang terjadi

tidak melebihi tegangan ijin jika tebal flens clevis masing-

masing 0.8 in.

Page 36: Bab 04 Tegangan Regangan Defleksi Hari 3

4-36

14. Dua macam kunci roda digunakan untuk mengencangkan mur roda, yaitu kunci roda

berbentuk L (a) dan berbentuk T (b). Untuk mengencangkan mur roda dengan

masing-masing bentuk, digunakan 2 buah tangan, A dan B, seperti pada gambar.

Untuk kedua bentuk,

jarak A dan B 1 ft,

diameter pemegang

0.625 in. Dibutuhkan

70 ft-lb untuk

mengencangkan mur

roda. Hitung tegangan

utama maksimal dan

defleksi maksimal

masing-masing bentuk.

15. Sebuah bracket seperti pada

gambar dengan data pada tabel,

tentukan tegangan bending pada

titik A dan tegangan geser karena

beban transversal pada titik B.

Tentukan juga tegangan geser

karena beban torsi pada kedua

titik. Tentukan juga tegangan utama pada titik A dan B. catatan (satuan panjang mm;

gaya N)

l a t h F OD ID E a 100 400 10 20 50 20 14 steel b 70 200 6 80 85 20 6 steel