of 32 /32
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE ZAVOD ZA MATEMATIKU Uvod u matematičke metode u inženjerstvu SEMINARSKI RAD Fraktali STUDENTICE: Vanja Kelava Nikolina Kolić Marija Mitrevski Kristina Poljak VODITELJI: Dr. sc. Ivica Gusić Dr. sc. Miroslav Jerković Zagreb, 2013.

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE ZAVOD ZA MATEMATIKU

Embed Size (px)

DESCRIPTION

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE ZAVOD ZA MATEMATIKU. Uvod u matematičke metode u inženjerstvu SEMINARSKI RAD Fraktali. STUDENTICE: Vanja Kelava Nikolina Kolić Marija Mitrevski Kristina Poljak. - PowerPoint PPT Presentation

Text of SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE ZAVOD ZA MATEMATIKU

  • SVEUILITE U ZAGREBUFAKULTET KEMIJSKOG INENJERSTVA I TEHNOLOGIJEZAVOD ZA MATEMATIKUUvod u matematike metode u inenjerstvuSEMINARSKI RADFraktali

    STUDENTICE: Vanja Kelava Nikolina Koli Marija Mitrevski Kristina PoljakVODITELJI:Dr. sc. Ivica GusiDr. sc. Miroslav JerkoviZagreb, 2013.

  • SADRAJ: 1. FRAKTALI1.1. Povijest fraktala1.2. Podjela fraktala1.3. Primjena1.4. Fraktali u prirodi1.5. Matematika konstrukcija fraktala

    2. ZAKLJUAK

    3. LITERATURA

  • 1. FRAKTALI

    Fraktali su geometrijski objekti ija je fraktalna dimenzija strogo vea od topoloke dimenzijeDrugim rijeima, to su objekti koji daju jednaku razinu detalja neovisno o razluivosti koju koristimoFraktale je mogue uveavati beskonano mnogo, a da se pri svakom novom poveanju vide neki detalji koji prije poveanja nisu bili vidljivi i da koliina novih detalja uvijek bude otprilike jednaka

  • Osnovna svojstva fraktala:

    Samoslinost - svojstvo objekta da slii sam sebi bez obzira koji dio promatrali i koliko ga puta uveavaliOblikovanje iteracijom - fraktalne slike nastaju iteracijom; upornim uzastopnim ponavljanjem nekog raunskog ili geometrijskog postupkaFraktali su, dakle, slike nastale ponovljenim matematikim raunom ili geometrijskom konstrukcijomNa slici je prikazano kako nastaje Kochova krivulja ili krivulja snjene pahuljice -uzme se ravna crta zadane duljine, duina se podijeli na tri dijela pa se srednji dio zamijeni dvjema jednakim duinama, koje jedna s drugom zatvaraju kut od 600Isti postupak se ponovi jo jednom, pa jo jednom, i tako dalje, u nedogled

  • Jo jedan jednostavan primjer trokut Sierpinskog: kree se od trokuta (nulta iteracija) koji se zamijeni trima trokutima upola manje duljine stranice (prva iteracija) i sa svakim se trokutom postupak ponovi (druga iteracija), i tako u beskonanost

    Fraktalna dimenzija - vrijednost koja nam daje uvid u to u kojoj mjeri neki fraktal ispunjava prostor u kojem se nalaziZa razliku od fraktalne dimenzije euklidska dimenzija koristi se kako bi se izrazila linija (jedna dimenzija), povrina (dvije dimenzije) i prostor (tri dimenzije) te moe biti bilo koji prirodan broj ili nula: 0,1,2,3,4,5 Nasuprot tome fraktalna dimenzija se koristi kako bi se izrazila gustoa kojom objekt ispunjava prostor odnosno koliko se novih dijelova pojavljuje pri poveanju rezolucije Fraktalna dimenzija nije cijeli broj i u pravilu je vea od euklidske dimenzije

  • 1 dimenzija: N duina, svaka je duljine r: Nr1=1

    2 dimenzije: N kvadrata, svaki je povrine r2: Nr2=1

    3 dimenzije: N kocaka, svaka je volumena r3: Nr3=1

  • Fraktalna se dimenzija openito moe definirati kao:

    Npr., kada bi raunali koliku dimenziju ima prvi trokut sainjen od tri manja, crvena trokuta, uoili bi da su za dobivanje veeg trokuta potrebna tri manja slina trokuta pa je N=3. Meutim, ako promatramo stranice uoit emo da su se multiplicirale samo dva puta pa je 1/r=2.

    - dakle dimenzija kod fraktala nije nuno cijeli broj.

    Gdje je: N- broj novih kopija objekta promatrano nakon uveanja 1/r- faktor uveanja D- fraktalna dimenzija

  • Nekoliko primjera kako se rauna fraktalna dimenzija:

    Jedinina duina razdijeljena je na 3 jednake manje duine. Svaka je dugaka 1/3 jednine duine: r=1/3, N=4, dimenzija ovog fraktala: D=ln(4)/ln(3)=1.26

  • Jedinina duina razdijeljena je na 4 jednake manje duine. Svaka je dugaka 1/4 jednine duine: r=1/4, N=8, dimenzija ovog fraktala: D=ln(8)/ln(4)=1.5

    Jedinina duina razdijeljena je na 3 jednake duine (r=1/3) i svaka se zamjenjuje uzorkom od 9 manjih duina:N=9. Dimenzija ovog fraktala: D=ln(9)/ln(3)=2 Kod ovog fraktala, za razliku od prethodna dva, kada 1/r tei u beskonanost fraktal potpuno prekriva ravninu, D=2.

  • 1.1. Povijest fraktala

    Dokumentirani prikaz fraktala nalazimo ve 1525. u "Priruniku za slikanje" Albrechta Drera, gdje opisuje uzorke nastale koritenjem pentagonaU 17. stoljeu Leibniz je definirao ponavljanje samoslinosti, meutim uzeo je u obzir da samo linija moe biti sebi slinaTek je 1872. Karl Weierstrass dao primjer funkcije kojom je definirao samoslinost. Meutim definicija je bila odve apstraktna pa je Helge von Koch 1904. godine dao geometrijsku interpretaciju sline funkcije, koja je danas poznata kao "Kochova pahuljicaNedugo kasnije, 1915. je Waclaw Sierpinski kreirao svoj uzorak fraktala pomou trokuta; Iz tog razdoblja dolaze nam jo cijeli nizovi skupova fraktalnog prikaza poput onih Henria Poincara, Felixa Kleina, Pierrea Fatoua, Gastona Julie i Georga Cantora

  • Nakon niza istraivanja i mjerenja duine Britanske obale, temeljenih na ranijem radu Lewisa Fry Richardsona, Benoit Mandelbrot napokon 1975. skovao rije fraktal i definirao njeno znaenje, te svoje otkrie potkrijepo je atraktivnim raunalnim prikazima, koji su i danas najea predodba fraktala

  • 1.2.Podjela fraktala Prema stupnju samoslinostiA)Potpuno samoslini fraktali - fraktali koji sadre kopije sebe koje su sline cijelom fraktalu. Primjeri su svi geometrijski fraktali, npr. trokut Sierpinskog, Kochova krivulja, Hilbertova krivulja, Cantorov skup itd.

  • Nastajanje Hilbertove krivuljeNulta i prvaiteracijasu zadane takve kakve jesu.Druga se iteracija tvori tako da se u prvoj iteraciji pronae svaki segment slian krivulji iz nulte iteracije i zamijeni se cijelom prvom iteracijom.

  • Daljnja se konstrukcija moe shvatiti na dva naina, iako je rezultat potpuno isti:

    n-tu iteraciju dobijemo ako u iteraciji br.n-1 svaki segment slian krivulji iznulte iteracije zamijenimo cijelomprvomiteracijom

    n-tu iteraciju dobijemo ako u iteraciji br.n-1 svaki segment slian krivulji iz iteracije br.n-2zamijenimo cijelom iteracijom br.n-1

    Hilbertova krivulja nastaje nakon beskonano mnogo iteracija

  • Kvazi samoslini fraktali- fraktali koji sadre male kopije sebe koje nisu sline cijelom fraktalu, nego se pojavljuju u iskrivljenom obliku. Npr. Mandelbrotov i Julijev skup sl.

  • Statistika samoslinost- fraktal ne sadri kopije samog sebe, ali neke njegove osobine (npr. fraktalna dimenzija) ostaju iste pri razliitim mjerilimaTipian je primjer Perlinov um

  • Postupak na primjeru jednodimenzionalne funkcije (Perlinov um)

    Prvu funkciju konstruiramo tako da na odreenomsegmentuapsciseodredimo pet jednako udaljenih toaka i pripiemo im sluajno izabrane vrijednosti izmeu primjerice -128 i 128 teinterpoliramoostale toke odabranim postupkom, u ovom sluaju kosinusnom interpolacijom (laiki: "lijepo" spojimo odabranih pet toaka):

    Drugu funkciju konstruiramo na isti nain, samo to odabiremo devet toaka (ukljuujui i pet iz prole funkcije) i pripisujemo im sluajne vrijednosti u intervalu [-64, 64]. Sada imamo (priblino) dvostruko vie toaka, a amplituda je dvostruko manja:

  • Nastavljamo na isti nain, sa 17 toaka u intervalu [-32 i 32]:

    33 toke, vrijednosti u intervalu [-16, 16]:

    65 toaka, interval [-8, 8] (ovdje toke nisu naglaene jer ih je previe):

    Naposlijetku jednostavno zbrojimo sve te funkcije dobivajui planinoliku strukturu zvanu Perlinov um:

  • Prema nainu nastanka Sustavi iteriranih funkcija (geometrijski fraktali) - nastaju kopiranjem te homotetijom, rotiranjem i/ili translatiranjem kopije te moguim zamjenjivanjem nekog elementa kopijomFraktali definirani rekurzivnim relacijama (algebarski fraktali) - odreeni su rekurzivnom matematikom formulom koja odreuje pripada li odreena toka prostora (npr. kompleksne ravnine) skupu ili neSluajni fraktali (stohastini fraktali) - nastaju crtanjem grafova nekih stohastinih procesa, npr. Brownovog gibanja. Posjeduju najmanji stupanj samoslinosti i nalazimo ih esto u prirodi (obale, drvee, oblaci, munje)

  • 1.3.Primjena

    Primjer primjene fraktala u raunalnoj grafici jest stvaranje terena, posebice planina- tvori tako da se horizontalno poloenom trokutu svaki vrh povisi ili snizi za sluajno odabranu vrijednostTako dobivenom trokutu spoje se polovita stranica te se tako dobivaju etiri nova trokuta, srednjem od njih (omeen trima duinama koje spajaju polovita stranica prvotnog trokuta) povisimo ili snizimo vrhove kao i poetnom trokutu, ali koristimo dvostruko manje vrijednosti i postupak sada ponovimo za sva etiri trokutaPlanine se mogu napraviti i na drugi nain, pomou Perlinovog uma.

  • Pomou sustava iteriranih funkcija u tri dimenzije mogue je kreirati raznoliko raslinje grmove, drvee, busene trave i sl. Ako isto napravimo u trodimenzionalnom sustavu te na kraj svake "granice" dodamo list, rezultati mogu biti zapanjujue slini stvarnim pojavama u prirodi.

  • Fraktali se koriste jo i u kompresiji podataka- od manje vanih primjena tu je (naravno, vrlo ogranieno) predvianje nekih stohastikih procesa kao to su potresi, slaganje snopova optikih vlakana, oponaanje rada neuronskih mrea za razvoj umjetne inteligencije itd. Za male ureaje kao to su mobiteli proizvode se antene u obliku fraktala koje zbog toga mogu koristiti irok spektar frekvencija ne zauzimajui mnogo mjestaUzorak za vojnu kamuflanu odjeu koristi fraktalnu strukturu koja se nigdje ne ponavlja te se stoga mnogo tee zamjeuje u prirodi, gdje nita nije matematiki pravilnoProvode se istraivanja za lijeenje aritmije srca, gdje srce kuca u kaotinom reimuNaposlijetku, neke su fraktalne strukture izrazito lijepe te se prezentiraju kao umjetnika djela

  • 1.4.Fraktali u prirodi

    esto se kao primjer spominje posebna vrsta brokule te papratMed kristalizira u fraktalne oblike, a drvee je, kao i paprat, po svojoj prirodi fraktalnih svojstava (deblo se grana na grane koje se granaju na granice)Mandelbrot je koristio primjer obale mora kao fraktal uvale slie zaljevima, rtovi poluotocimaPrimjer je sustav krvnih ila, koje u principu imaju istu strukturu kao i drveeDNK se namata dajui fraktalnu strukturu

  • 1.5.Matematika konstrukcija fraktala

    Primjenjuje se takozvana procedura IFS (iterated function sheme) za koju je potrebno imati: inicijator (I), generator (G) te m slinosti (Sk, k=1, 2,..,m) koje prevode inicijator u generator odnosno:

    Potom se formira niz skupova En na slijedei nain:

    gdje je F fraktalni skup koji dobivamo na kraju, a za dovoljno veliki broj n vrijedi da je F En

  • 1) IFS za Cantorov skup inicijator je I=[0,1] 0_________________1 generator je: E1=G= 0______1/3 2/3_______1 Definiramo:

    gdje su :

  • E2= 0______1/9 2/9______1/3 2/3_____7/9 8/9_____1E3= 0_1/27 2/27_1/9 2/9_7/27 8/27_1/3 2/3_19/27 20/27_7/9 8/9_25/7 26/27_1

    Na kraju Cantorov skup F zadovoljava: F = S1(F) U S2(F) pri emu je F En za dovoljno veliki n

  • 2) IFS za Kochovu krivuljuinicijator je I = [0,1] - generator G je :

    Definiramo: gdje su:

    Na kraju Kochina krivulja F zadovoljava: F = S1(F) U S2(F) U S3(F) U S4(F) pri emu je F En za dovoljno veliki n

  • Prve tri iteracije Kochove krivulje

  • 2. ZAKLJUAK:

    Fraktali su objekti koji daju jednaku razinu detalja neovisno o razluivosti koju koristimo, a njihova osnovna svojstva su samo-slinost, fraktalna dimenzija i oblikovanje iteracijomMogua je njihova podjela prema stupnju samoslinosti i prema nainu nastankaU programu Matlab napravljena su dva programa koja prikazuju etiri stupnja iteracije rekurzivnim algoritmom, ukljuujui i nulti, za Hilbertovu i Kochovu krivuljuPokretanjem programa inicijator se iterativno transformira u generator na temelju svojstava slinosti koja uvaju oblike, a mijenjaju poloaj i veliinu kutova, te nastaju fraktali.

  • Ispis MATLAB-ovog command window-a za pokrenuti program za Hilbertovu krivulju:

    0., 1., 2., 3. i 4. iteracija

  • Ispis MATLAB-ovog command window-a za pokrenuti program za Kochovu krivulju:

  • 3. LITERATURA1) M. Pai, Uvod u matematiku teoriju kaosa za inenjere, Skripta FER, Zagreb, 2005. (96.-97.)2) http://hr.wikipedia.org/wiki/Fraktal, 22.5.2013.3) http://zvjezdarnica.com/znanost/nas-planet/teorija-kaosa-novi-pogled-na-svijet/157, 22.5.2013. 4)http://m2matlabdb.ma.tum.de/files.jsp?MC_ID=5&SC_ID=13