of 33 /33
MATEMATIČKO MODELIRANJE RAZVOJ DINAMIČKIH MODELA PROCESA Nenad Bolf SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE ZAVOD ZA MJERENJA I AUTOMATSKO VOĐENJE PROCESA Kolegij: MODELIRANJE PROCESA

MATEMATIČKO MODELIRANJE RAZVOJ DINAMIČKIH ......MATEMATIČKO MODELIRANJE RAZVOJ DINAMIČKIH MODELA PROCESA Nenad Bolf SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE

  • Author
    others

  • View
    17

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of MATEMATIČKO MODELIRANJE RAZVOJ DINAMIČKIH ......MATEMATIČKO MODELIRANJE RAZVOJ DINAMIČKIH MODELA...

  • MATEMATIČKO MODELIRANJE

    RAZVOJ DINAMIČKIH MODELA PROCESA

    Nenad Bolf

    SVEUČILIŠTE U ZAGREBUFAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE

    ZAVOD ZA MJERENJA I AUTOMATSKO VOĐENJE PROCESA

    Kolegij: MODELIRANJE PROCESA

  • MATEMATIČKO MODELIRANJE PROCESA

    SADRŽAJ PREDAVANJA

    • Uvodno o modelima i modeliranju

    • Zašto je potreban model procesa?

    • Modeli procesa u kemijskom inženjerstvu

    • Sustavski pristup pri razvoju modela procesa

    • Koraci u razvoju matematičkog modela procesa

  • MODELIRANJE PROCESA

    UVODNI DIO• Što je model?• Matematički model procesa• Vrste modela• Modeliranje i simuliranje

    POSTUPAK MODELIRANJA• Definiranje zadatka• Pretpostavke o procesu• Matematička formulacija• Rješavanje jednadžbi• Interpretacija rješenja• Provjera modela• Objašnjenje i predviđanje

  • MODELIRANJE PROCESA

    MODELIRANJE U KEMIJSKOM INŽENJERSTVU

    • Pojam procesnog prostora• Procesni prostor i matematički model• Bilančne jednadžbe• Numeričko rješavanje običnih i parcijalnih

    diferencijalnih jednadžbi• Procjena parametara• Razvoj empirijskih modela• Primjena metoda umjetne inteligencije

    PRIMJERI MODELA U KEMIJSKOM INŽENJERSTVU

    PREDAVANJA i RAČUNALNE VJEŽBE

  • Latinska riječ MODUS – MJERA

    ŠTO JE MODEL?

    MATEMATIČKI MODELNiz jednadžbi i ulaznih podataka potrebnih za njihovo rješavanje koji omogućuju predviđanje vladanja kemijskog procesnog sustava.(B.W. Bequette)

    Kratka definicija:MATEMATIČKI MODELMatematička predodžba fizičkog i/ili kemijskog sustava.

    A mathematical model is a description of a system using mathematical concepts and language.

  • MODELIRANJE I SIMULIRANJE

    Do odgovarajućeg modela dolazi se postupkom MODELIRANJA;

    Modeliranje uključuje procjenu parametara i izbor bitnih karakteristika realnog fizičkog sustava:

    MATEMATIČKI OPIS, ANALIZA I PROCJENA ZNAČAJKI SUSTAVA I

    MODELA, TOČNOST I OGRANIČENJA MODELA, PRIMJENA MODELA, NADOGRADNJA MODELA.

  • SIMULIRANJE

    SIMULACIJAPostupak izvedbe modela realnog sustava uz provedbu niza eksperimenata u svrhu:- razumijevanja vladanja sustava,- provjere vladanja sustava unutar zadanih granica. (A.Shanon)

    Simulaciji uvijek prethodi izrada modela!

    Prema tome:

    MODELIRANJEM SE IZVODI MATEMATIČKA FORMULACIJA.

    SIMULACIJOM SE ISPITIVA VLADANJE PROCESA PRI RAZLIČITIM UVJETIMA I NA PROMJENU ULAZNIH VELIČINA.

  • ZAŠTO JE POTREBAN MODEL?• Dotok u spremnik je periodičan, a u sljedećem stupnju procesa nakon

    spremnika potreban je stalni dotok. Koliki treba biti volumen spremnika?

    Za analizu dinamičkog vladanja procesa potreban je dinamički matematički model!

    Poznavanje dinamike procesa važno je radi sigurnosti!

    Pumpa rashladnog sustava prestala je raditi. Za koliko vremena će proces doći u opasno stanje?

  • MODELI PROCESA

    Vrsta modela Prednosti Nedostaci

    Teorijski modeli

    na temelju kemijskih, fizikalnih i bioloških načela

    - fizikalni uvid u vladanje procesa

    - primjenjivi na širokom području radnih uvjeta

    - skup razvoj- dulje vrijeme potrebno za razvoj- problemi kod procjene

    parametara kompleksnih procesa (koeficijenti brzine reakcije, koeficijenti prijenosa topline, fizikalna svojstva, itd.)

    Empirijski modeli

    iz eksperimentalnih podataka

    - jednostavniji za razvoj od teorijskih modela

    - informacije iz realnog procesa

    - problemi kod ekstrapolacije (područje eksperimentalnog iskustva

    može biti malo s obzirom na cijeloradnopodručje)

    Poluempirijski modeli

    vrijednosti parametara teorijskog modela određuju se izeksperimentalnihpodataka

    - uključuju teorijsko znanje- ekstrapoliranje na šire

    područje radnih uvjeta- lakši za razvoj od teorijskih modela

    - Neki od nedostataka teorijskih iempirijskih modela

  • SUSTAVSKI PRISTUP RAZVOJU DINAMIČKOGMATEMATIČKOG MODELA PROCESA

    Odrediti mjesta akumulacije tvari i/ili energije u procesnom prostoru; Za svako mjesto akumulacije:- Odrediti ulazne i izlazne veličine i parametre- Primijeniti jednadžbe dinamičke bilance tvari i/ili energije,

    bilancu momenta, jednadžbu ravnoteže sila:

    odvdov mmdtdm

    . .. odvdov EEdtdE OF

    Napraviti strukturni prikaz (međudjelovanja!);Definirati jednadžbe ograničenja;Ugraditi u model konstitutivne jednadžbe.(jednadžba stanja, ravnoteže, brzine kemijske reakcije i dr.)

  • KARAKTERISTIČNE VELIČINE PROCESA

    Ulazne veličine (inputs)karakteriziraju stanje tokova tvari i/ili energije koji su mogući uzrok promjene stanje akumulacije tvari poremećaji (disturbances) i upravljane (manipulated) veličine

    Izlazne veličine (outputs)karakteriziraju vladanje procesa / sustava koje se manifestira kao promjena stanja akumulacije tvari i/ili energije

    Parametri (parametars)definiraju strukturu procesa / sustavaβ1 – parametri svojstveni motrenoj tvari (fizikalno-kemijska svojstva)β2 – parametri svojstveni procesnom uređaju (npr. dimenzije i sl.)β3 – parametri procesa (koef. brzine reakcije, koef.prijenosa topline itd.)

  • PARAMETRI PROCESA

    Parametri

    procesi s konstantnim parametrima- parametri su vremenski nepromjenjivi

    procesi s promjenjivim parametrima- parametri se mijenjaju s vremenom:

    determinirana promjena (predvidljiva)stohastička promjena (nepredvidljiva)

    - fizičko ili kemijsko djelovanje tvari na procesni uređaj(npr. promjena svojstava tvari pod utjecajem

    elektromagnetskog i radioaktivnog zračenja ili temperature, koksiranje, umor materijala i dr.)

    .konst)t(

    .konst)t(

  • OSNOVNA PODJELA PROCESA

    Procesi s usredotočenim ili koncentriranim veličinama stanja (lumped process) Veličine imaju istu vrijednost u čitavom procesnom

    prostoru što znači da nisu funkcija položaja Pretpostavka idealnog miješanja!

    Modele procesa opisuju obične diferencijalne jednadžbe

    • Procesi s raspodijeljenim ili distribuiranim veličinamastanja (distributed process) Veličine su funkcija položajaModele procesa opisuju parcijalne diferencijalne jednadžbe

  • MATEMATIČKI MODEL PROCESA

    Ulazna promjena, npr. skokomična promjena ulazne veličine PROCES Posljedica na izlaz

    Odgovor na ovo pitanje daje nam matematički modela procesa !

    Kakav je i o čemu ovisi dinamički odziv procesa?

  • KORACI PRI RAZVOJU MODELA

    1. Definiranje cilja (svrhe)

    2. Priprema informacija

    3. Formuliranje modela

    4. Rješavanje5. Analiza

    rezultata6. Provjera

    valjanosti modela

    Postupkom modeliranja razvijaju se:

    ukupna materijalna bilanca

    materijalna bilanca komponenata

    bilanca energije

  • RAZVOJ MODELA PROCESA

    1. Definiranje cilja (svrhe)

    2. Priprema informacija

    3. Formuliranje modela

    4. Rješavanje5. Analiza

    rezultata6. Provjera

    modela

    Primjeri odabira izlaznih veličina:

    akumulacija kapljevine razina kapljevineakumulacija plina tlakakumulacija topline temperaturaakumulacija komponente koncentracija

    Koja veličina?Na kojem mjestu?

  • RAZVOJ MODELA PROCESA

    1. Definiranje cilja (svrhe)

    2. Priprema informacija

    3. Formuliranje modela

    4. Rješavanje5. Analiza rezultata6. Provjera modela

    Sustavski prikaz procesa(uzročno-posljedični prikaz, međudjelovanja)

    Prikupljanje informacija o procesu

    Pretpostavke

  • RAZVOJ MODELA PROCESA

    JEDNADŽBE BILANCI TVARI I ENERGIJEUkupna bilanca tvari:

    Bilanca komponenata:

    Bilanca energije (najčešće topline):

    odvedenodovedeno mmdtmd

    1. Definiranje cilja (svrhe)

    2. Priprema informacija

    3. Formuliranje modela

    4. Rješavanje5. Analiza

    rezultata6. Provjera

    modela

    odvedenodovedeno QQdtQd

    rnndtnd

    odvedenojdovedenojj ,,

  • RAZVOJ MODELA PROCESA

    Koje jednadžbe izvodimo?Bilance za ključne komponenteKoliko je jednadžbi potrebno?Ovisno o broju mjesta akumulacije tvari i/ili energijeŠto nakon bilanci očuvanja?Konstitutivne jednadžbe

    Osnovne fizikalne zakonitosti, empirijske relacije! Npr.

    1. Definiranje cilja (svrhe)

    2. Priprema informacija

    3. Formuliranje modela

    4. Rješavanje5. Analiza

    rezultata6. Provjera

    modela

    iii

    V

    ARTE

    A

    xKynRTpV

    pCF

    cekrThAQ

    /

    0

    )(

  • RAZVOJ MODELA PROCESA

    .,., odvAdovAA nn

    dtdn

    1. Definiranje cilja (svrhe)

    2. Priprema informacija

    3. Formuliranje modela

    4. Rješavanje5. Analiza

    rezultata6. Provjera

    modela

    PRIMJERProtočni kotlasti reaktor (PKR), reakcija 1.redaPretpostavka: idealno miješanje usredotočene veličine

    Dinamički model diferencijalna jednadžba AKUMULACIJA tvari A u reaktoru:

    AAAA

    izlazulaz

    ckVcFcFdtcdV

    FFFkonstV

    0

    .Ulazne veličine: F, cA0Izlazna veličina: cAParametri: V,k

  • RAZVOJ MODELA PROCESA

    0tzacA

    )(0 tfcA

    uz početne uvjete:

    Pobudna funkcija (forcing function):

    1. Definiranje cilja (svrhe)

    2. Priprema informacija

    3. Formuliranje modela

    4. Rješavanje5. Analiza

    rezultata6. Provjera

    modela

    0AAA c

    VkFFc

    dtcd

    VkFV

    promjena ulazne koncentracije dotoka reaktanta

  • RAZVOJ MODELA PROCESA

    1. Definiranje cilja (svrhe)

    2. Priprema informacija

    3. Formuliranje modela

    4. Rješavanje5. Analiza

    rezultata6. Provjera

    modela

    Za jednostavni modeleuvid u dinamički odziv procesa daje

    analitičko rješenje:

    Sve procese prvog reda karakterizira ovakav odziv!

    Razmotrimo oblik ovog odziva jer ćemo ga vrlo često susretati!

  • ODZIV PROCESA I.REDA

    ∆cA0 - skokomična promjena ulazne veličine

    ∆cA = k ∆cA0promjena izlazne veličine

    Maksimalninagib 63% konačnog odziva

    odzivna krivulja

    cA0

    cA

    vrijeme

    vrijeme

  • ODZIV PROCESA I. REDA

    f(t) – ulazna ili pobudna funkcija

    0AAA c

    VkFFc

    dtcd

    VkFV

    )(tfky

    dtdy

    – vremenska konstanta (time constant)

    K – statička osjetljivost procesa (steady-state gain)

  • OPĆI OBLIK MATEMATIČKOG MODELA

    xyayayayayaya nnn

    n

    0123)1(

    1)( ...

    dtydy

    dtyd

    dtydy

    dtdyy

    2

    2

    – red jednadžbe definiran je najvišom derivacijom izlazne veličine:

    Opće rješenje:

    C1,C2,… – konstanter1,r2,… – korijeni karakteristične jednadžbeη(t) – zavisi o vrsti promjene ulazne veličine

    )(...)( 321 321 teCeCeCtytrtrtr

    0... 012

    23

    31

    1

    arararararan

    nn

    n

    a0,a1,a2,…- konstantni koeficijenti

    Diferencijalna jednadžba s konstantnim koeficijentima

  • ANALIZA PROCESA PRVOG REDA

    )()()( tuktyty

    ukyy u - ulazna veličinay - izlazna veličina

    Opće rješenje jednadžbe prvog reda:

    treCy 1

    /1teCy Odzivna funkcija (monotono smirivanje!)

    101 rr karakteristična jednadžba

  • ODZIV PROCESA 1. REDA (First Order Lag)

    ukydtdy

    y – izlazna varijablau – ulazna varijablak – statička osjetljivostτ – vremenska konstanta

    Model procesa 1. reda:

  • PROCES PRVOG REDA

    Odziv karakterizira akumulacija tvari i/ili energije;Dinamički odziv definira se vremenskom konstantom; Vremenska konstanta predstavlja vrijeme potrebno da se ostvari 63,2 % konačne promjene izlazne veličine;Brzina odziva na poremećaj neprestano opada, a maksimalna je u trenutku pojave poremećaja – presjecište tangente u toj točki s konačnom vrijednosti izlazne veličine definira vremensku konstantu;odziv se asimptotski približava konačnoj vrijednosti.

    Proteklo vrijeme Postotak od ukupnog odziva [%] Preostali odziv [%] 63,2 % preostalog odziva

    1 τ 63,2 36,8 23,22 τ 86,4 13,6 8,63 τ 95,0 5,0 3,164 τ 98,16 1,84 1,165 τ 99,32 0,68 0,429

  • Na slici je prikazano šest odzivnih krivulja, svaka s drugom vrijednosti vremenske konstante;Vremenska konstanta je mjera brzine odziva;Što je veća vremenska konstanta odziv je sporiji i obratno.

    VREMENSKA KONSTANTA (Time Constant)

  • ODZIV PROCESA PRVOG REDA

    k – statička osjetljivost procesa

    • predznak govori o smjeru promjene • iznos govori o statičkoj ovisnosti izlaza o ulazu• ovisi o parametrima procesa i radnim karakteristika

    (npr. protok)

    – vremenska konstanta

    • iznos govori o dinamičkoj karakteristici procesa• ovisi o procesu i radnim uvjetima (npr. volumen i protok)

  • ANALIZA PROCESA PRVOG REDA

    Statička analiza (steady-state analysis) zavisnost izlaznih od ulaznih veličine nezavisno od vremena

    statička karakteristika

    Dinamička analiza (dynamic analysis) vremenska promjena izlaznih veličina kao odziv na

    promjene ulaznih veličina

    dinamičko vladanje ili dinamička karakteristika

    111

    kkk

    aky

    0)( dtdykonstatu

  • SIMULIRANJE

    1. Simulacijski program

    2. Simuliranje

    Obične diferencijalne jednadžbe rješavaju se numeričkim metodama (npr. Eulerova metoda, Runge-Kutta, Adams, itd.).

    1. Definiranje cilja (svrhe)

    2. Priprema informacija

    3. Formuliranje modela

    4. Rješavanje 5. Analiza

    rezultata6. Provjera

    modela

    Analiza sustava pomoću računala na osnovi matematičkog opisa naziva se simuliranje ili oponašanje.

  • RAZVOJ MODELA PROCESA

    1. Definiranje cilja (svrhe)

    2. Priprema informacija

    3. Formuliranje modela

    4. Rješavanje5. Analiza

    rezultata6. Provjera

    modela

    Analiza rezultata

    Smjer i oblik odzivne krivulje Pretpostavke uzete pri modeliranju Grafički prikaz rezultata Analiza pogreške numeričke metode

    Usporedba s eksperimentalnim rezultatima(iz realnog procesa!)