Statystyka Opisowa 2014 część 2 - | Wydział Matematyki ...math.uni.lodz.pl/.../upload/materialy/Statystyka_Opisowa_Wyklad4.pdf · „Statystyka” , Lucjan Kowalski. 4. „Statystyka

Statystyka Opisowa 2014 część 2

Katarzyna Lubnauer

Literatura: 1. „Statystyka w Zarządzaniu” ‚ Admir D. Aczel 2. „Statystyka Opisowa od Podstaw” ‚ Ewa Wasilewska 3. „Statystyka” , Lucjan Kowalski. 4. „Statystyka opisowa”, Mieczysław Sobczyk

Są trzy rodzaje kłamstw: kłamstwa,

przeklęte kłamstwa i statystyki. Benjamin Disraeli - premier Wielkiej Brytanii (w latach 1868 i 1874-1880) Katarzyna Lubnauer 2

http://cytaty.eu/cytat/sa.html






Katarzyna Lubnauer 3

Naszym celem jest odpowiedź na 4 pytania: • Czy między badanymi cechami występuje współzależność. • Jaki jest kształt zależności (liniowa, nieliniowa). • Jaka jest jej siła. • Jaki jest jej kierunek.

Badanie zależności między dwiema cechami – analiza korelacji.

Badając różnego rodzaju zjawiska, np. społeczne, ekonomiczne, psychologiczne, przyrodnicze itp. stwierdzamy, ze często jedno z nich jest uwarunkowane działaniem innych zjawisk. Zastanawiamy się nad charakterystyką tej zależności. Np. Czy cena lodów ma wpływ na ich sprzedaż? Czy temperatura powietrza ma wpływ na sprzedaż lodów?

Czy cena samochodów ma wpływ na cenę lodów?


Głupi ludzie, nie zawsze pozorna zależność oznacza przyczynę i skutek.



Szeregi dwucechowe szczegółowe – szereg korelacyjny

Wiek żony X, Wiek męża Y,

19 19

20 24

21 22

23 23

24 26

27 26

28 30

30 34

33 32

35 37

ix iy

Otrzymujemy więc zbiór par postaci:

( , )i ix y

gdzie:

1,...,i n


Prezentacja graficzna szeregów dwucechowych, diagram korelacyjny:

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 2 4 6 8 10

1 1

3 26

3 30

4 66

5 124

6 220

7 345

7 350

8 490

9 880

ix iy


Prezentacja graficzna szeregów dwucechowych, diagram korelacyjny:

1 880

3 490

3 350

4 345

5 220

6 124

7 66

7 30

8 26

9 1

ix iy

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 2 4 6 8 10


Szeregi dwucechowe rozdzielcze

1x

2x

3x

4x

5x

1y 2y 3y 4y

11n 12n

21n 22n 23n

32n

42n

52n

24n

31n

41n

51n

33n

23n

43n

53n 54n

44n34n

14n

Gdzie warianty cechy X, zaś warianty cechy Y oraz liczebność pary:

ixjy ijn

,i jx y


Przykład: Niech X czas nauki studentów do testu ze SO wyrażony w godzinach, zaś Y ocena z testu. Przyjmujemy, że do testu podeszło 100 studentów

8 4 3 1

7 5 5 3

4 6 6 4

3 5 8 7

1 4 7 9

1 3x

2 5x

3 7x

4 9x

5 11x

1 2y 2 3y 3 4y 4 5y


Do dalszych analiz potrzebne nam będą liczebności brzegowe:

1x

2x

3x

4x

5x

1y 2y 3y 4y

11n 12n

21n 22n 23n

32n

42n

52n

24n

31n

41n

51n

33n

13n

43n

53n 54n

44n

34n

14n 1n

2n

3n

4n

5n

1n 2n 3n 4n

,i ij j ij

j i

n n n n


8 4 3 1 16

7 5 5 3 20

4 6 6 4 20

3 5 8 7 23

1 4 7 9 21

23 24 29 24 100

1 3x

2 5x

3 7x

4 9x

5 11x

1 2y 2 3y 3 4y 4 5y in

jn

Przykład: Niech X czas nauki studentów do testu ze SO wyrażony w godzinach, zaś Y ocena z testu. Przyjmujemy, że do testu podeszło 100 studentów, szukamy liczebności brzegowych.


Wyróżniamy dwa rodzaje zależności między cechami są to:

• Zależność funkcyjna – polegająca na tym, że zmiana wartości cechy X powoduje zmianę wartości cechy Y

• Zależność statystyczna – polegająca na tym, że jednej wartości cechy X przypada kilka wartości cechy Y

Przykład: X podatek, Y cena, można się spodziewać zależności Y = aX+a

Przykład: X wiek dziecka w miesiącach, Y waga dzieci

Wiek w miesiącach X Waga w kg Y

1 3,8

4,8

5,2

2 4,9

5,9

6,4

3 6,0

7,2

7,4 0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4



Potrzebujemy miary, która pomogłaby wyrazić siłę zależności w sposób liczbowy.

W celu badania zależności między zmiennymi korzystamy ze współczynnika korelacji Pearsona zdefiniowany wzorem:

cov ,

X Y

X Yr

s s

cov(X,Y) w zależności od postaci w jakiej mamy dane liczy się z różnych wzorów.


Dla szeregu szczegółowego (zależność podejrzewana o charakter funkcyjny) na policzenie kowariancji i odchylenia stosujemy wzory:

1cov ,

n

i i

i

x x y y

X Yn

2

1

2

1

1,

1

n

X i

i

n

Y i

i

s x xn

s y yn

X Y

1 1

3 26

3 30

4 66

5 124

6 220

7 345

7 350

8 490

9 880

Wg Excela


X Y

1 1

3 26

3 30

4 66

5 124

6 220

7 345

7 350

8 490

9 880

cov ,

0,8917

X Y

X Yr

s s


X Y

1 880

3 490

3 350

4 345

5 220

6 124

7 66

7 30

8 26

9 1

cov ,

0,9365

X Y

X Yr

s s


Wiek w miesiącach X Waga w kg Y

1 3,8

4,8

5,2

2 4,9

5,9

6,4

3 6,0

7,2

7,4

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4

cov ,

0,8347

X Y

X Yr

s s


Dla szeregu rozdzielczego (zależność podejrzewana o charakter funkcyjny) na policzenie kowariancji stosujemy wzór:

8 4 3 1 16

7 5 5 3 20

4 6 6 4 20

3 5 8 7 23

1 4 7 9 21

23 24 29 24 100

1 3x

2 5x

3 7x

4 9x

5 11x

1 2y 2 3y 3 4y 4 5y in

jn

1 1cov ,

m k

ij i j

j i

n x x y y

X Yn

2

1

2

1

1,

1

k

X i i

i

m

Y j j

i

s n x xn

s n y yn

0,4321r


Interpretacja współczynnika korelacji:

r - Współczynnik korelacji Pearsona jest miarą symetryczną. Oznacza to, że jest taki sam niezależnie, czy badamy zależność X od Y, czy odwrotnie.

1 1r Odpowiada na następujące pytania:

• Czy między badanymi cechami występuje współzależność

• Jaki jest kształt zależności (liniowa, nieliniowa)

1r oznacza zależność liniową

Jeśli jest bliski, lub równy zero to przyjmuje się, że między zmiennymi nie ma zależności.


• Jaka jest jej siła

0,0.2r bardzo słaby związek

0.2,0.4r słaby związek

0.4,0.6r umiarkowany związek

0.6,0.8r silny związek

0.8,1.0r bardzo silny związek

• Jaki jest jej kierunek

0r

0r

korelacja ujemna, wzrost jednej zmiennej powodował spadek drugiej

korelacja dodatnia, wraz ze wzrostem jednej zmiennej wzrasta druga


Przykładowe diagramy z podaną wartością korelacji Pearsona


Współczynnik korelacji rang Spearmana

Współczynnik rang Spearmana jest miarą statystyczną służącą do

badania zależności, korelacji między dwiema cechami populacji, który stosujemy gdy: • Mamy do czynienia z sytuacją, gdy jedna z cech jest jakościowa

(niemierzalna), ale dająca się uporządkować (porządkowa), a druga cecha jest mierzalna.

• Gdy mamy dwie jakościowe (niemierzalne), ale dające się uporządkować • Gdy mamy dwie cechy mierzalne i niedużą liczebność próby, zaś

współczynnik korelacji Pearsona zakłócają wartości odskakujące

Musimy najpierw zdefiniować pojęcie rangowania – czyli przypisywania wariantom cechy X, oraz cechy Y rang wynikających z kolejności w uporządkowanym szeregu szczegółowym.


Rangowanie odbywa się po uporządkowaniu wariantów cechy od najmniejszej do największej, następnie przypisujemy każdemu wariantowi numer, który zajmuje w ciągu. Jeśli kilka wariantów jest równe to rangą jest średnią arytmetyczną kolejnych numerów przypadających na ten wariant.

Przykład: 2,4; 3,5; 3,5; 5; 2,4; 2,4; 3,5; 4; 5; 2,4

Uporządkowane kolejno z przypisanymi rangami wyglądają tak, gdzie :

X

kolejność Rangi

2,4 1-4 2,5

2,4 1-4 2,5

2,4 1-4 2,5

2,4 1-4 2,5

3,5 5-7 6

3,5 5-7 6

3,5 5-7 6

4 8 8

5 9-10 9,5

5 9-10 9,5

ixrix

ixr

oznacza rangę wariantu:

ix


Jeżeli teraz mamy dwie cechy odpowiednio X i Y mające warianty:

,i ix y

przypisujemy im odpowiednio rangi:

,i ix yr r

To współczynnik rang Spearmana liczymy ze wzoru

2

1

2

6

1( 1)

i

i i

n

is i x y

d

r gdzie d r rn n


Uwaga, dla różnic rang zawsze zachodzi związek:

1

0n

i

i

d

Ponadto współczynnik

1 1sr

I co za tym idzie:

1sr


Przykład Badamy zależność między wykształceniem, a dniami urlopu w czasie roku:

X Y

podstawowe 24

średnie 18

zasadnicze zawodowe 17

wyższe magisterskie 10

wyższe licencjackie 9

podstawowe 22

zasadnicze zawodowe 15

wyższe licencjackie 8

podstawowe 23

wyższe magisterskie 7


Musimy teraz przypisać rangi, w tym celu najpierw porządkujemy warianty:

Warianty Rangi podstawowe 2

średnie 6 zasadnicze zawodowe 4,5 wyższe magisterskie 9,5 wyższe licencjackie 7,5

podstawowe 2 zasadnicze zawodowe 4,5

wyższe licencjackie 7,5 podstawowe 2

wyższe magisterskie 9,5

Warianty Numery podstawowe 1-3 podstawowe 1-3 podstawowe 1-3

zasadnicze zawodowe 4-5 zasadnicze zawodowe 4-5

średnie 6 wyższe licencjackie 7-8 wyższe licencjackie 7-8

wyższe magisterskie 9-10 wyższe magisterskie 9-10

Teraz przypisujemy wariantom rangi, zgodnie ze średnią arytmetyczną numerów.

Najpierw wyznaczymy rangi dla cechy jakościowej, porządkowej jaką jest wykształcenie.


Musimy teraz przypisać rangi, w tym celu najpierw porządkujemy warianty:

Warianty Rangi 24 10 18 7 17 6 10 4 9 3

22 8 15 5 8 2

23 9 7 1

Warianty Numery 7 1 8 2 9 3

10 4 15 5 17 6 18 7 22 8 23 9 24 10

Teraz przypisujemy wariantom rangi, zgodnie ze średnią arytmetyczną numerów.

Teraz wyznaczymy rangi dla cechy ilościowej, jaką jest liczba dni wolnych.


Cecha X

Rangi cechy X

Cecha Y

Rangi cechy Y

Różnica rang

Kwadrat różnicy rang

podstawowe 2 24 10 -8 64

średnie 6 18 7 -1 1

zasadnicze zawodowe 4,5 17 6 -1,5 2,25

wyższe magisterskie 9,5 10 4 5,5 30,25

wyższe licencjackie 7,5 9 3 4,5 20,25


zasadnicze zawodowe 4,5 15 5 -0,5 0,25

wyższe licencjackie 7,5 8 2 5,5 30,25


wyższe magisterskie 9,5 7 1 8,5 72,25

suma 0 305,5

ix iyixr iyr id 2

id

2

1

2

6

1 0,85152( 1)

i

n

is

d

rn n


Japończycy jedzą bardzo mało tłuszczu i cierpią na mniej ataków serca niż Brytyjczycy czy Amerykanie. Z drugiej strony, Francuzi jedzą dużo tłuszczu, a także cierpią na mniej ataków serca niż Brytyjczycy czy Amerykanie. Japończycy piją bardzo mało czerwonego wina i cierpią na mniej ataków serca niż Brytyjczycy czy Amerykanie. Włosi piją nadmierne ilości czerwonego wina, a także cierpią na mniej ataków serca niż Brytyjczycy czy Amerykanie. Wnioski: Jedz i pij co chcesz. To mówienie po angielsku, że cię zabije.

Documents

Statystyka Opisowa 2014 część 2 - | Wydział Matematyki ...math.uni.lodz.pl/.../upload/materialy/Statystyka_Opisowa_Wyklad4.pdf · „Statystyka” , Lucjan Kowalski. 4. „Statystyka