Skripta iz modela

7/30/2019 Skripta iz modela

1/64

Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662

1

Ispitna pitanja

1. Definisati opti oblik funkcije tranje i funkcije tranje u uem smislu;2. Definisati i objasniti uslov normalnosti funkcije tranje;3. Formulisati normalne jednaine za odreivanje parametara linearne funkcije

tranje;4. Definisati koeficijent lune elastinosti i koeficijent elastinosti u taki;5. Osnovne karakteristike elastinosti;6. Dokazati da je koeficijent elastinosti stepene funkcije tranje konstantan;7. Formulisati i objasniti koeficijente parcijalne elastinosti tranje;8. Definisati funkciju ponude i objasniti uslov normalnosti funkcije ponude;9. Analitiki i grafiki predstaviti parcijalni pristup analizi trine ravnotee:10.Analitiki definisati funkciju ukupnog prihoda;11.Definisati marginalni (granini) prihod i uspostaviti zavisnost ukupnog i

graninog prihoda;12.Dokazati i objasniti Amoroso-Robinsonovu relaciju;13.Analitiki i grafiki definisati funkciju ukupnih trokova;14.Definisati funkciju prosenih trokova i odrediti interval opadajuih prosenih

trokova;15.Definisati funkciju graninih (marginalnih) trokova i grafiki i analitiki

predstaviti odnos prosenih i graninih trokova;16.Definisati i objasniti elastinost ukupnih i prosenih trokova;17.Analitiki i grafiki definisati i objasniti interval rentabiliteta i optimalan nivo

proizvodnje;

18.Osnovna struktura redova ekanja;19.Klasifikacija redova ekanja;20.Tokovi dogaaja;21.Poasonov tok dogaaja;22.Raspodela verovatnoa izmeu dva dolaska;23.Raspodela verovatnoa vremena usluivanja;24.Procesi raanja i umiranja;25.Otvoreni jednokanalni model redova ekanja;26.Analiza trokova za jednokanalni otvoreni model redova ekanja;27.Trokovi zaliha;28.Model zaliha sa konstantnom tranjom i fiksnim vremenskim periodom;29.Osnovne pretpostavke modela sa konstantnom tranjom i fiksnim vremenskim

periodom;

30.Odreivanje funkcije ukupnih trokova za model zaliha sa konstantnomtranjom i fiksnim vremenskim periodom;

31.Optimizacija trokova za model zaliha sa konstantnom tranjom i fiksnimvremenskim periodomanalitika interpretacija;

32.Optimizacija trokova za model zaliha sa deterministikom tranjom i fiksnimvremenskim periodomgrafika interpretacija;

33.Proirenje osnovnog modela zaliha sa konstantnom tranjom analitikainterpretacija;

34.Proirenje osnovnog modela zaliha sa deterministikom tranjom grafikainterpretacija;

35.Model zaliha sa konstantnom tranjom i hitnim nabavkama;36.Osnovne pretpostavke modela zaliha sa hitnim nabavkama;37.Odreivanje funkcije ukupnih trokova za model sa hitnim nabavkama;


2/64


3/64


3

71.Odnos donje i gornje granice vrednosti matrine igre dokazati i objasniti;72.Metodi reavanjamatrinih igara analitiki i grafiki;73.Redukcija matrice plaanja dominantna i dominirana strategija;74.Matrine igre i linearno programiranje;75.Analiza strukture u mrenom planiranju;76.Mreni dijagram i njegovi osnovni elementi;77.Osnovna pravila konstrukcije mrenog dijagrama;78.Meusobni odnosi aktivnosti;79.Postupak konstrukcije mrenog dijagrama (objasniti na proizvoljno izabranom

primeru);

80.Numerisanje mrenog dijagrama Fulkersonov algoritam;81.Primena Fulkersonovog algoritma na proizvoljno odabranom primeru;82.Odreivanje najranije mogueg i najkasnije dozvoljenog vremena realizacije

dogaaja primenom metoda CPM;83.Vremenske rezerve u deterministikom mrenom modelu;84.Vremenski parametri stohastikog mrenog modela;85.Kritine aktivnosti i kritian put u stohastikom mrenom modelu;86.Odreivanje verovatnoa u stohastikom mrenom modelu;87.Analiza trokova aktivnosti;88.PERT/TROKOVI (PERT/COST) metoda89.Objasniti primenu PERT/COSTmetoda na proizvoljno odabranom primeru;90.Analiza trokova projekta i formiranje matematikog modela;91.Osnovne karakteristike metoda dinamikog programiranja i Belmanov princip

optimalnosti;

92.Odreivanje najkraeg puta u neorijentisanoj mrei primenom metodadinamikog programiranja;

93.Odreivanje najkraeg i najdueg puta u orijentisanoj mrei izmeu dvazadata vora;

94.Raspodela ogranienih resursa primenom metoda dinamikog programiranja;95.Definisati i objasniti vektor S i matricu P u modelu za prognoziranje

opredeljenja potroaa;96.Markovljev modelosnovne pretpostavke i formulacije modela;97.Definisati i objasniti stabilno-ravnoteno stanje Markovljevog modela;98.Markovljev model za prognoziranje opredeljenja potroaa;99.Markovljev model za odreivanje konanog stanja potraivanja u preduzeu;100.Definisati i objasniti fundametalnu matricu F i matricu K u modelu za

odreivanje konanog stanja potraivanja u preduzeu;


4/64


4

O D G O V O R I

1. Definisati opti oblik funkcije tranje i funkcije tranje u uem smislu;Tranja koliina robe koju su kupci spremni da kupe u odreenom vremenu.

Opti oblik funkcije tranje moe se izraziti u vidu ),,,,( mnDppgq jii iq tranja za i-tim proizvodom

ip cena i-tog proizvoda

jp cena ostalih proizvoda

D dohodak potroaan ukus potroaam broj potroaa

Funkciju tranje u uem smislu moemo predstaviti u obliku )(pfq -

Maralova funkcija tranje.

Ovakav oblik funkcije tranje izraava funkcionalnu zavisnost kretanja tranjeza nekom robom samo od cene te robe. Ispitivanje kretanja ovakvog oblika

funkcije tranje podrazumeva zadovoljenje sledeih pretpostavki:

- nepromenjenost ostalih determinanti tranje

-postojanje savrene konkurencije na tritu

-puna informisanostpotroaa o ceni i kvalitetu robe

-homogenost posmatrane robe

2. Definisati i objasniti uslov normalnosti funkcije tranje;Funkcija tranje mora ispunjavati uslov normalnosti. Prema uslovu

normalnosti tranje kretanje tranje i cene je divergentno, odnosno poveanjecene posmatrane robe izaziva smanjenje tranje i obrnuto. Ovaj zahtev se

izraava zahtevom za negativnom vrednou prvog izvoda funkcije tranje, to

znai da funkcija tranje mora ispuniti uslov prema kome je 0

p

q

Osim uslova normalnosti, odabrani matematiki oblik funkcije tranje mora

zadovoljiti i ekonomske uslove 0,0 qp tj. zavisna i nezavisna

promenljiva moraju biti nenegativne.

3. Formulisati normalne jednaine za odreivanje parametara linearne funkcijetranje;

Da bi odredili eksplicitan oblik funkcije tranje koja najbolje aproksimira

zavisnost tranje od cene potrebno je na osnovu empirijskih podataka odrediti

parametre odabrane funkcije. Parametre (a,b,c,...) najee odreujemo

korienjem metoda najmanjih kvadrata. Prema ovom metodu odabrana

funkcija mora zadovoljiti uslov da zbir kvadrata vertikalnih odstupanja

empirijskih vrednosti tranjeod odgovarajuih vrednosti na krivoj mora biti

minimalan

n

i

ii qq1

2min)( ,

gde je iq i ta vrednost iz tabele od n parova, a

iq

odgovarajua vrednostna krivoj funkcije.


5/64


5

Za linearni oblik tranje

0,0 babapq

uslov najmanjih kvadrata moemo predstaviti u obliku

min)(),(1

2

n

i

ii bapqbaF .

Minimizacija vrednosti ),( baF zavisi od parametara a i b, to se izraava

kroz uslov da funkcija ),( baF ima prve parcijalne izvode jednake nuli:

0,0

b

F

a

F,

na osnovu ega dobijamo

n

i

ii

n

i

iii

bapqb

F

pbapqa

F

1

1

0)1)((2

0))((2

,

odakle dobijamo tzv. normalne jednaine za odreivanje parametara:

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

pbpaqp

nbpaq

11

2

1

11,

odakle su reenje po a i b:

n

paq

b

ppn

qpqpn

a

n

i

i

n

i

i

n

ii

n

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

112

11

2

111 ,

)(

4. Definisati koeficijent lune elastinosti i koeficijent elastinosti u taki;Elastinost tranje koja pokazuje odnos relativne promene tranje i relativne

promene cene, izraava se preko koeficijenta elastinosti tranje. Ovaj

koeficijent se moe odrediti na dva naina:1. Koeficijent lune elastinosti

2. Koeficijent elastinosti u taki1. Koeficijent lune elastinosti izraunava se za unapred poznate intervale

kretanja cene i odgovarajuih iznosa tranje. Ukoliko raspolaemo sa tabelompodataka o kretanju cene nekog proizvoda i odgovarajuih iznosa tranje,

tada elastinost tranje u intervalu (i-1,i) utvrujemo na sledei nain:Relativni prirataj tranje odreujemo iz kolinika apsolutnog prirataja

tranje i njene poetne vrednosti:

,1

i

ig

q

qr gde je

1 iii qqq ,

a relativna promena cene je

,1

i

ip

p

pr gde je

1 iii ppp .

Koeficijent elastinosti tranje za ovako utvreni interval kretanja cene itranje odreujemo u vidu negativne vrednosti kolinika njihovih relativnih


6/64


6

promena. tj.:

)(

)(

11

11

1

1

iii

iii

i

i

i

i

p

q

ppq

qqp

p

p

q

q

r

r

U izrazu za koeficijent elastinosti negativni predznak je uzet zbog

divergentnog kretanja cene i tranje. Na taj nain obezbeuje se da je

koeficijent elastinosti tranje uvek pozitivna vrednost. pokazuje za koliko e

se procenata promeniti tranja za posmatranim proizvodom ukoliko se cena

promeni za 1%.

2. Koeficijent elastinosti u taki pokazuje odnos relativne promene tranje i

relativne promene cene za infinitezimalno malu promenu tih veliina. On se

odreuje u vidu granine vrednosti kolinika relativne promene tranje i

relativne promene cene kada 0p tj.

,limlim00 p

q

q

p

p

p

q

q

pp

odnosno .lim0 p

q

q

p

p

Kako je ,lim0 dp

dq

q

p

dp

dq

p

q

p

gde je znak minus uzet zbog inverznog

kretanja cene i tranje.

5. Osnovne karakteristike elastinostiU zavisnosti od vrednosti koeficijenta elastinosti tranje za nekim

proizvodom za odreenu cenu moemo imati razliite karakteristike

elastinosti, odnosno:

a) 1 tranja je neelastina, tj. promeni cene za 1% odgovara promena

tranje za manje od 1%;

b) 1 tranja je jedinino elastina, tj. promeni cene za 1% odgovara

promena tranje za 1%;

c) 1 tranja je elastina, tj. promena cene od 1% dovodi do promene

tranje za vie od 1%;

d) 0 tranja je savreno neelastina.

6. Dokazati da je koeficijent elastinosti stepene funkcije tranje konstantanU sluaju stepenog oblika funkcije tranje vrednost koeficijenta elastinosti

tranje ne zavisi od vrednosti cene, tj. konstantno je jer:

.'1

bbapap

pq

q

p

apq

b

b

b

Dakle koeficijent elastinosti tranje stepene funkcije tranje bapq je

konstantan i jednak negativnoj vrednosti parametra izloioca b.


7/64


7

7. Formulisati i objasniti koeficijente parcijalne elastinosti tranjeParcijalna elastinost tranje se koristi kada je odnose tranje i trine

zavisnosti dva ili vie proizvoda mogue izraziti preko odgovarajueg sistema

funkcija tranje. Parcijalnu elastinost tranje pokazaemo za sluaj u kome

postoji meusobna zavisnost kretanja tranje i cene dva proizvoda. Ovajodnos predstaviemo sistemom funkcija tranje oblika:

),(

),(

2122

2111

ppfq

ppfq

gde su 21

, qq tranje posmatranih proizvoda, a 21

, pp njihove cene.

Koeficijent parcijalne elastinosti tranje je:

j

i

i

j

ijp

q

q

p

.

Ukoliko je ji imamo takozvani koeficijent direktne parcijalne elastinosti

koji se uzima sa negativnim predznakom.Za ji imamo tzv. koeficijent ukrtene parcijalne elastinosti ija vrednost

moe biti pozitivna i negativna. Pozitivna vrednost pokazuje da su proizvodi

supstituti, a negativna da su proizvodi komplementarni.

8. Definisati funkciju ponude i objasniti uslov normalnosti funkcije ponudePonuda nekog proizvoda zavisi od cene tog proizvoda, cene drugih proizvoda,

cene sirovina i poluproizvoda, dohotka potroaa. Kao i kod funkcije tranje i

kod funkcije ponude cena je odluujua determinanta koliine ponude, pa

stoga funkcija ponude e biti: ).(pfr

Uslov normalnosti je 0

p

r, a osim uslova normalnosti postoje i ekonomski

uslovi 0r i 0p .

Ponuda nekog proizvoda raste kada raste njegova cena, jer funkcija ponude

ima rastui karakter.

Tako na primer linearna funkcija bapr moe predstavljati funkciju

ponude samo ako je bapar ,0,0 .

Cena za koju se ostvaruje jednakost tranje i ponude predstavlja ravnotenu

cenu posmatranog proizvoda.

9. Analitiki i grafiki predstaviti parcijalni pristup analizi trine ravnoteeZbog suprotnog kretanja tranje i ponude, njihove funkcije se moraju sei u

odreenoj taki, tj. tranja i ponuda se moraju izjednaiti za odreenu cenu.

Cena za koju se ostvaruje jednakost ponude i tranje predstavlja ravnotenu

cenu.


8/64


8

10.Analitiki definisati funkciju ukupnog prihodaUkupan prihod se utvruje iz proizvoda prodate koliine robe i cene tog

proizvoda: pqR odnosno )(pfpR .

R ukupan prihodp cena

)(pf funkcija tranje.

Kako za svaku funkciju tranje moemo odrediti odgovarajuu inverznu

funkciju oblika )(qgp , ukupan prihod moemo izraziti u obliku funkcije

oblika tranje, tj. )(qgqR .

11.Definisati marginalni (granini) prihod i uspostaviti zavisnost ukupnog igraninog prihoda

Granini (marginalni) prihodi, koji pokazuju iznos prirataja ukupnog

prihoda do koga dolazi pri poveanju cene posmatranog proizvoda za jednu

jedinicu, ispituju se i iskazuju perko funkcije graninog prihoda . Funkciju

graninog prihoda (R) izraavamo u obliku izvoda funkcije ukupnog prihoda:

dq

dRRqfqR

dp

dRRpfpR

')(

')(

Utvrivanjem znaka prvog izvoda moemo da utvrdimo promenu ukupnog

prihoda koja je izazvana promenom cene. Tako imamo da:

1) 0dp

dRukupan prihod raste sa porastom cene

2) 0dp

dRispituje se ekstremna vrednost (max) ukupnog prihoda

3) 0dpdR ukupan prihod opada sa porastom cene.

Ravnotena cenarP je cena za koju

je rrr QPrPq )()( . Ovo je stabilna

cena za koju se ostvaruje stabilnost

trita. Ukoliko je cena na tritumanja od ravnotee rPP 1 , onda je

rq za veliinu AB. U tom sluajukupci su spremni da prihvate veucenu da bi doli do proizvoda.Suprotno, ako je ,

2 rPP onda je

rq , pa tada proizvoai nee moida prodaju svoj proizvod po toj ceni,

pa obaraju cenu i to dovodi do cene

za koju je rq .


9/64


9

12.Dokazati i objasniti Amoroso-Robinsonovu relacijuNa osnovu relacije )(pfpR imamo da je )(')( pfppf

dp

dR , odnosno

)(')(

1)( pfpfppf

dpdR . Kako je

1)()(')(

pfdp

dRpf

pf

p.

Dobijena relacija koja slui za uspostavljanje veze izmeu graninog prihoda

(R) i elastinosti tranje )( , predstavlja tzv. Amoroso-Robinsonovu relaciju,

na osnovu koje moemo zakljuiti sledee:

a) ,01 dp

dR to znai da sa porastom cene raste i ukupan prihod

b) ,01 dp

dR

to znai da se u uslovima jedinine elastinosti ostvaruje

maksimalan ukupan prihod

c) ,01 dp

dR to znai da sa porastom cene ukupan prihod opada.

13.Analitiki i grafiki definisati funkciju ukupnih trokovaUkupni trokovi prevashodno zavise od obima proizvodnje (q). Ukupne

trokove moemo izraziti u obliku C=f(q). Funkcija trokova je monotono

rastua, neprekidna i diferencijabilna.

Ukupni trokovi se dele na varijabilne i fiksne, pri emu varijabilni trokovipredstavljaju funkciju obima proizvodnje, dok su fiksni trokovi konstantni.

Funkcija ukupnih trokova je: fqC )( , gde su )(q varijabilni

trokovi, a f fiksni trokovi.

14.Definisati funkciju prosenih trokova i odrediti interval opadajuih prosenihtrokova

Kako prosene trokove odreujemo deljenjem ukupnih trokova sa obimom

- Fiksni trokovi su prikazanihorizontalnom pravom f

- Kriva ukupnih trokova polazi iztake preseka prave f sa ordinatom,na osnovu ega je oigledno da je

,)0( fC tj. da fiksni trokovipostoje i kad je .0q


10/64


10

proizvodnje, tako na osnovu funkcije ukupnih trokova moemo odrediti

funkciju prosenih trokova. Funkcija prosenih trokova je:

q

qF

q

CC

)(

Zbog podele ukupnih trokova na varijabilne i fiksne, proseni trokovi do

odreenog nivoa opadaju, a zatim rastu. Zbog toga je za proizvoaa veoma

interesantno utvrditi te intervale u kretanju prosenih trokova, odnosno

utvrditi nivo proizvodnje za koji se ostvaruju minimalni proseni trokovi.

Obim proizvodnje za koji se ostvaruju minimalni proseni trokoviodreujemo iz uslova za ostvarivanje minimuma funkcije, tj. na osnovu

q

qFC

)( , imamo da je 0

)()(''

2

q

qFqqFC , dakle proseni trokovi su

minimalni za)('

)(

qF

qFq .

Interval opadajuih prosenih trokova odreen je granicama kretanja obima

proizvodnje)('

)(0

qF

qFq .

Za ovaj iznos je zadovoljen i dovoljan uslov za minimizaciju funkcije C, jer je

drugi izvod pozitivan .02

2

dq

Cd

15.Definisati funkciju graninih (marginalnih) trokova i grafiki i analitikipredstaviti odnos prosenih i graninih trokova

Funkcija graninih trokova odreuje se kao prvi izvod funkcije ukupnih

trokova, pod uslovom da je funkcija ukupnih trokova diferencijabilna u

posmatranom intervalu kretanja obima proizvodnje. Tako za )(qFC

funkcija graninih trokova je ).('' qFC Ova funkcija pokazuje iznospromene ukupnih trokova do koje dolazi usled jedinine promene obima

proizvodnje sa datog nivoa.

Obim proizvodnje za koji se ostvaruju minimalni proseni trokovi moemo

odrediti na osnovu relacije ,)('

)(

qF

qFq odnosno minimizacija prosenih

trokova se ostvaruje na nivou proizvodnje koji je jednak koliniku ukupnih i

graninih trokova. Za takav obim proizvodnje vai ,)(

)('q

qFqF to znai

da se za obim proizvodnje za koji su C minimalni ostvaruje jednakost

graninih i prosenih trokova. Ovaj obim predstavlja granicu izmeurelativno niskih i relativno visokih graninih trokova. Na osnovu tog odnosa


11/64


11

moemo izvesti sledei vaan zakjuak:

a) ako je CC' , granini trokovi su relativno niski, tj. poveanje q dovodi

do smanjenja C

b) ako je CC' , proseni trokovi su minimalni

c) ako je CC' , granini trokovi su relativno visoki, tj. poveanje q dovodido poveanja C.

16.Definisati i objasniti elastinost ukupnih i prosenih trokovaElastinost ukupnih trokova je odnos relativne promene ukupnih trokova i

relativne promene obima proizvodnje sa datog nivoa u oblikuq

q

C

C

,

odnosnodq

dC

C

q

q

C

C

q

.

Granina vrednost ovog izraza kada 0q predstavlja koeficijent

elastinosti ukupnih trokova:

'lim0

CC

q

q

C

C

q

qC

.

Ovaj koeficijent pokazuje za koliko procenata e se poveati C ukoliko se q

povea za 1%.

Elastinost prosenih trokova je 'CC

qC

, ijim se odreivanjem utvruje

relativna promena C, do koje dolazi usled promene q za 1%. VrednostC

moe bitipozitivna, negativna i jednaka nuli.Negativna je kad imamo

divergentan odnos Ci q, a pozitivna kad sa poveanjem q Crastu.

Izmeu C i C postoji zavisnost. Iz elastinosti C imamo 'CC

qC

,

odnosno 11'''

2

2

CC CC

q

C

CqC

q

CqC

C

q

q

C

q

C

q .

Dakle, 1 CC , pa izraunavanjem bilo kojeg koeficijenta elastinosti

moemo utvrditi i njemu odgovarajui koeficijent.

17.Analitiki i grafiki definisati i objasniti interval rentabiliteta i optimalan nivoproizvodnje

Rentabilna je ona proizvodnja za koju je 0 , odnosno R>C, pri emu su


12/64


12

granice intervala proizvodnje odreene jednakou R=C. Granice intervala

rentabiliteta odreene su nulama funkcije profita, tj. takama u kojima se seku

krive R i C. Optimalni nivo proizvodnje se odreuje iz uslova 0' , odakle je'' CR , tj. optimalan nivo proizvodnje je onaj za koji su tangente krivih R i C

paralelne. Interval rentabiliteta se ostvaruje za21 qqq , pri emu je

optimalan nivo proizvodnje0q . U intervalu 01 qqq imamo da je '' CR ,

a u intervalu20

qqq , da je '' CR . U intervalu1

0 qq i2

qq ,

proizvodnja je nerentabilna, tj. ostvaruje se gubitak.

40.Definisati opti oblik modela matematikog programiranja ta predstavljaskup dopustivih reenja, a ta optimalno reenje zadatka

Opti oblik modela matematikog programiranja moemo predstaviti u obliku

zahteva za odreivanjem vrednosti promenljivih nxxx ,...,, 21 koje

zadovoljavaju m nejednaina i jednaina oblika:

ini bxxxg ,,),...,,( 21 sistem ogranienjai za koje se ostvaruje max ili min vrednost funkcije:

),...,,(21 nxxxfz funkcija cilja.

Ukoliko sistem ogranienja i funkciju cilja predstavimo u razvijenom obliku,

model matematikog programiranja je:

mnmm

n

n

n

bxxxgxg

bxxxgxg

bxxxgxg

xxxfz

),...,,()(

),...,,()(

),...,,()(

),...,,((max)

21

22122

12111

21

uz pretpostavku za odreivanje max. vrednosti funkcije cilja z, u uslovimakada su sva ogranienja predstavljena nejednainama sa znakom .Sve vrednosti promenljivih ),...,,(

21 nxxxx za koje su zadovoljene sve

nejednaine sistema ogranienja obrazuju tzv. skup dopustivih ili moguih

reenja. Cilj reavanja zadatka matematikog programiranja jeste

odreivanje one kombinacije vrednosti promenljivih iz skupa moguih reenja

za koje funkcija cilja ostvaruje ekstremnu vrednost. Takvo reenje koje

obeleavamo sa ),,...,,( **2

*

1

*

nxxxx predstavlja optimalno reenje zadatka

matematikog programiranja.


13/64


13

41.Definisati i objasniti osnovne pretpostavke modela linearnog programiranjaPretpostavke koje moraju biti zadovoljene da bi odreeni model predstavljao

model linearnog programiranja su:

1) Linearnostpodrazumeva postojanje linearnih zavisnosti izmeu

promenljivih u zadatku linearnog programiranja. Ova pretpostavka jezadovoljena tako to su funkcija cilja i sistemi ogranienja izraeni linearnim

funkcijama u modelu linearnog programiranja. Kao posledica linearnosti u

modelu linearnog programiranja zadovoljene su dve pretpostavke:

a) proporcionalnost- podrazumeva postojanje proporcionalnog odnosa inputa

i outputa u modelu linearnog programiranja

b) aditivnost- podrazumeva da se ukupna vrednost funkcije cilja i pojedinih

ogranienja moe dobiti kao zbir vrednosti pojedinih aktivnosti koje

predstavljaju sastavne elemente linearnog programiranja.

2) izvesnostsvi parametri modela su unapred jednoznano odreeni, to

znai da su koeficijenti funkcije cilja i sistema ogranienja deterministiki

odreeni i ne menjaju se u toku reavanja3) deljivostpodrazumeva da promenljive u modelu ne moraju biti celibrojevi ve mogu biti izraene i u obliku decimalnih brojeva

4) nenegativnostuslov nenegativnosti promenljivih predstavlja jednu odosnovnih pretpostavki modela. Ova pretpostavka ima svoj metodoloki i

ekonomski znaaj. Metodoloki kako je opti algoritam reavanja modela

(simpleks metod), to je za njegovu primenu neophodno zadovoljenje uslova

nenegativnosti. Ekonomskikako promenljive u modelu predstavljaju

ekonomske veliine one ne mogu biti negativne.

42.Definisati standardni problem maksimuma zadatka linearnog programiranjaglavni elementi i karakteristike standardnog problema

Standardni problem max je takav oblik modela linearnog programiranja u

kome se postavlja zahtev za odreivanjem max vrednosti unapred poznate

funkcije cilja, pod uslovima koji su predstavljeni sistemom nejednaina sa

znakom . Zadatak standardnog problema max predstavljamo na sledeinain:

0,...,,

...

...

...

...(max)

21

2211

22222121

11212111

2211

p

mpmpmm

pp

pp

pp

xxx

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

xcxcxcz

Osnovni elementi modela:

a) funkcija ciljaizraava osnovni cilj koji se unapred definie i radi koga se

formulie i reava odgovarajui model linearnog programiranja. Kao cilj se

moe postaviti maksimizacija ukupnog profita, maksimizacija deviznih efekata

i maksimalni stepen zaposlenosti i sl.

b) sistem ogranienja izraava uslove i nain korienja ogranienih

resursa, iji je iznos izraen slobodnim lanovima sistema ogranienja, tj.


14/64


15/64


15

43.Opte osobine reenja linearnog programiranja dokazati i objasnitiSve vrednosti promenljivih za koje su zadovoljene nejednaine (jednaine)

sistema ogranienja predstavljaju tzv. mogua reenja, odnosno obrazuju skupmoguih reenja. Kako su ograniavajui uslovi standardnog problema max

dati u obliku nejednaina sa znakom , odnosno u kanoninom obliku u vidujednaina, skup moguih reenja je ogranien i zatvoren skup. Skup moguih

reenja moe biti prazan skup u sluaju kada su postavljeni uslovi

kontradiktorni, odnosno kada ne postoji ni jedna taka ),...,,(21 nxxxx za

koju su zadovoljeni svi uslovi zadatka.

Teorema 1: Skup moguih reenja zadatka linearnog programiranja je

konveksan skup.

Dokaz: Da bi dokazali tvrenje nae teoreme, potrebno je da pokaemo da

konveksna kombinacija svaka dva mogua reenja predstavlja mogue

reenje. Zbog toga uzmimo da ),...,,(' ''2'

1 nxxxx i

),...,,("""

2

"

1 nxxxx predstavljaju mogua reenja problema na osnovu ega je

bAx ' i bAx " "'

)1( xxx , 10

bbbb

AxAxAxAxAxxxAAx

""'"'"' )1(])1([

na osnovu ega vidimo da sve konveksne kombinacije moguih reenja takoe

predstavljajku mogua reenja. Prema tome, skup moguih reenja je

konveksan, to je trebalo i dokazati.

Bazino mogue reenje ),...,,( **2

*

1

*

nxxxx predstavlja optimalno reenje

zadatka standardnog problema max ukoliko imamo da je )()('* xzxz za

bilo kojke mogue reenje 'x .

Teorema 2: Optimalno reenje zadatka linearnog programiranja nalazi se u

ekstremnoj taki konveksnog skupa moguih reenja.

Dokaz:Kako je skup moguih reenja konveksan i ogranien skup postojikonaan broj (k) ekstremnih taaka, koje emo oznaiti sa

kxxx ,...,,

21. Neka

je*

x taka za koju funkcija cilja ostvaruje max, odnosno za koju imamo da je

)()(* xzxz za svako mogue reenje x. Ako je *x ekstremna taka

konveksnog skupa moguih reenja teorema je dokazana.

Pretpostavimo da*

x nije ekstremna taka skupa moguih reenja. Tada taku*

x moemo izraziti kao konveksnu kombinaciju skupa ekstremnih taaka,

tj. 0...2211* ikkxxxx i 1

1

k

i

i , i=(1,,k)

)(...)()()...()( 22112211*

kkkk xzxzxzxxxzxz

Ako u poslednjoj jednaini izaberemo taku za koju funkcija z ostvaruje max

vrednost, npr. kx , tada moemo pisati

)()(...)()()(...)()(*

221121 xzxzxzxzxzxzxz kkkkkk


16/64


16

Kako je 0i i 1i )()()...()(...)()( 2121 kkkkkkk xzxzxzxzxz , tj.

)()(*xzxz k , to je trebalo i dokazati.

44.Simpleks metodizvesti simpleks kriterijum za ulazak vektora Aj u bazuSimpleks metod predstavlja opti algoritam koji se koristi za reavanje svih

oblika zadatka linearnog programiranja. On predstavlja algoritam u kome se

u nizu iteracija dolazi do optimalnog reenja. Simpleks metod obezbeuje

najkrai put do optimalnogreenja.

Da bi objasnili sutinu simpleks metoda i nain izraunavanja optimalnog

reenja, izraziemo model u matrinom obliku:

Funkcija cilja:

mp

mp

x

x

cccz

1

21),...,,(

Sistem ogranienja:

mmpmpmm

p

p

p

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

AAA

2

1

2

1

21

22221

11211

21

100

010

001

0,,, 21 mpxxx

gde pojedine kolone matrica koeficijenata sistema ogranienja predstavljaju

tzv. vektore aktivnosti, koje moemo predstaviti u sledeem obliku:

1

0

0

,,,,,2

1

2

22

12

2

1

21

11

1

mp

mp

p

p

p

mm

A

a

a

a

A

a

a

a

A

a

a

a

A , odnosno

mj

j

j

j

a

a

a

A

2

1

, kao i

mb

b

b

b

2

1

mpx

x

x

X

2

1

.

i ukoliko koeficijente funkcije cilja izrazimo u obliku vektora

),,...,( 21 mpcccc problem se moe izraziti u kanonikom obliku:

0

(max)

x

bAX

Xcz


17/64


17

odnosno

),...,2,1(0

(max)

1

1

mpjxbxA

xcz

j

mp

j

jj

mp

j

jj

Postupak odreivanja optimalnog reenja problema zapoinjemoodreivanjem tzv. poetnog bazinog reenja. Ono se odreuje tako to se

pretpostavlja da su sve realne promenljive jednake nuli, a dodatne

promenljive jednake slobodnim lanovima sistema ogranienja, t.j.

0jx za pj ,...,1

iip bx za mi ,...,1 a funkcija cilja .0z

Znai:vektorsku bazu na osnovu koje se utvruje poetno bazino reenje

obrazuju vektori koeficijenata uz dodatne promenljive, dok su vektori

koeficijenata uz realne promenljive nebazini. Vektori koeficijenata uz

dodatne promenljive obrazuju jedininu matricu,ija inverzna matrica je

takoe jedinina, to predstavlja osnovni razlog za otpoinjanje simpleksprocedure za reavanje zadataka.

Vektore koji obrazuju vektorsku bazu moemo pisati u obliku:

0),...,1(1

i

mp

pi

ii xmppibxA

a za nebazine vektore:

),...,1(001

pjxxA j

p

j

jj

dok je funkcija cilja za poetno bazino reenje jednaka nuli:

mp

piii

xcz1

.

Svaki od nebazinih vektora moemo izraziti u obliku linerne kombinacije

vektora baze: ,1

mp

pi

iijj AxA gde je ijx koeficijent lin kombinacije.

Za svaki nebazini vektor jA moemo odrediti vrednost funkcije jz u obliku

mp

pi

iijj cxz1

.

Kriterijum za ulazak vektora u bazu:

mp

pi

iij

mp

pi

iij

mp

pi

iijj

mp

pi

ii

cxxczz

cxzxcz

11

11

j

mp

pi

iijijj ccxxczz

1

)()(

Ako desnu stranu obeleimo sa 'z , tj: jmp

pi

iiji ccxxz

1

)(' , dobijamo:

'.)(' zzzczz jj 'z poveanje vrednosti funkcije cilja do koje je dolo ukljuivanjem u bazu


18/64


18

vektora jA . Ukoliko je vrednost jj zcz ' vea, poveanje vrednosti

funkcije cilja e biti vee uz pretpostavke da je 0'z . Na osnovu togakriterijum za ukljuivanje jednog od prethodno nebazinih vektora u bazusastoji se u tome da treba odabrati onaj vektor kod koga je zadovoljen uslov:

0)(

max

jjJ

iizczc i to je I simpleks kriterijum za izmenu vektorske

baze. Ukoliko je za svako j, 0 jj zc takvo reenje je optimalno.

45.Simpleks metodizvesti simpleks kriterijum za izlazak vektora Ai iz bazebAAxAbxA jj

mp

pi

ii

mp

pi

ii

11

Kako je: bAAxxAAxA j

mp

pi

iij

mp

pi

ii

mp

pi

iijj

111

Dakle: 0)(1

bbAAxx j

mp

pi

iiji i mora biti >0.

,0)( iji xx odakle imamo ,ij

i

x

x za .0ijx

Iz baze treba iskljuiti onaj k-ti vektor kA za koga bude zadovoljen uslov:

,minij

i

ki

k

x

x

x

x za 0ijx i ovo predstavlja II Dantzigov simpleks

kriterijum.

46.Meoviti problem maksimuma modela linearnog programiranja analitiki igrafiki formulisati i objasniti

Ukoliko su u sistemu ogranienja problema max., osim nejednaina sa znakom

, neki od uslova zadatka predstavljeni jednainama ili nejednainama saznakom , takav oblik problema nazivamo meoviti problem maksimuma.Da bismo objasnili sutinsku i metodoloku razliku ovakvog oblika zadatka u

odnosu na standardni problem maksimuma, posmatrajmo sledei oblik

problema:

ppxcxcxcz ...(max) 2211

mpmpmm

kpkpkk

pp

pp

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...

...

...

2211

2211

22222121

11212111

0,...,, 21 pxxx

Prilikom transformisanja ograniavajuih uslova meovitih problema

maksimuma, osim dodatnih, u sistem se uvode i tzv. vetake promenljive.Vetake promenljive uvode se u jednaine, dok se u nejednaine sa znakom


19/64


20/64


20

mpmpmm

pp

pp

pp

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

xcxcxcz

...

...

...

...(min)

2211

22222121

11212111

2211

0,...,,21

pxxx

Uvoenjem dodatnih promenljivih, sistem nejednaina transformiemo u

sistem jednaina:

mmppmpmm

ppp

ppp

mppppp

bxxaxaxa

bxxaxaxa

bxxaxaxa

xxxxcxcxcz

.. .

.. .

.. .

0.. .00.. .(min)

2211

222222121

111212111

212211

0,...,,21

mpxxx

Na osnovu ovog modela nismo u mogunosti da direktno odredimo poetno

bazino reenje problema minimuma. Ako bismo poli od toga da su realne

promenljive jednake nuli, vrednosti bazinih promenljivih bi bile negativne,

zbog ega ne bi mogli odrediti optimalno reenje korienjem simpleks

postupka. Zbog toga se i uvode vetake promenljive, iji vektori obrazuju

jedininu matricu.Osim u sistem ogranienja vetake promenljive uvodimo iu svojstvu cilja pri emu su njihovi koeficijenti pozitivni +M.

Nakon uvoenja vetakih promenljivih problem je:

mMmpmppmpmm

Mpppp

Mpppp

MmpMpmppppp

bxxxaxaxa

bxxxaxaxa

bxxxaxaxa

xxMxxxxcxcxcz

,2211

2,222222121

1,111212111

,,1212211

...

...

...

),...,(0...00...(min)

0,...,, ,21 Mmpxxx Poetno bazino reenje odreuje se na osnovu pretpostavke da su realne

dodatne promenljive jednake nuli, dok su vetake promneljive jednake

slobodnim lanovima sistema ogranienja. Postupak odreivanja optimalnog

reenja je slian kao kod problema max. uz suprotan I simpleks kriterijum

.0)( jj zcMIN Reenje je optimalno kada su sve razlike 0 jj zc .


21/64


21

48.Formulisati dualni model zadatka linearnog programiranja i definisati osnovnekarakteristike

Dualni problem odreenog zadatka linearnog programiranja formira se:

1. ukoliko primarni problem predstavlja problem maksimuma, funkcija cilja

duala e biti funkcija minimuma i obrnuto.

2. menja se smer znakova nejednakosti u sistemu nejednaina i to tako da

ukoliko su nejednaine primara sa znakom , nejednaine duala e biti saznakom i obrnuto.3. Vri se transponovanje matrice koeficijenata ogranienja primara, na

osnovu ega ukoliko u primaru m nejednaina sa p promenljivih u dualu e

biti p nejednaina sa m promenljivih.

4. Koeficijenti uz promenljive u funkciji cilja duala jednaki su sa slobodnim

lanovima sistema ogranienja primara.

5. Slobodni lanovi sistema nejednaina duala jednaki su koeficijentima koji

se uz promenljive nalaze u funkciji cilja primara.

6. Sve promenljive duala moraju biti nenegativne )0( .

Posmatrajmo osnovni oblik standardnog problema maksimuma:

0,...,.,

...

...

...

...(max)

21

2211

22222121

11212111

2211

p

mpmpmm

pp

pp

pp

xxx

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

xcxcxct

Dualni problem koji odgovara standardnom problemu max:

0,...,,

...

...

...

...(min)

21

2211

22222112

11221111

2211

m

pmmppp

mm

mm

mm

yyy

cyayaya

cyayaya

cyayaya

ybybybv


22/64


22

),...,1(00

),...,1(

(min)(max)

11

11

miyx

pjcyabxa

ybvxcz

ij

j

m

i

iij

p

j

ijij

m

i

ii

p

j

jj

Osnovne karakteristike: Svakom problemu linearnog programiranja odgovara

dualni problem. Izmeu primara i duala postoji inverzni odnos u pogledu

zahteva za odreivanjem ekstremne vrednosti funkcije cilja. Osim toga

nejednaine ogranienja duala izvode sena osnovu nejednaina ogranienja.

Primarne i dualne promenljive omoguavaju dobijanje znaajnih informacija

o karakteru optimalnog reenja.

S obzirom da odreivanje optimalnog reenja bilo kog zadatka linearnog

programiranja, istovremeno znai odreivanje optimalnog reenja njegovog

duala, mogue je njihovo alternativno korienje za postupak reavanjazadatka. Ovakva mogunost dolazi do izraaja u situaciji kada je neki problem

linearnog programiranja jednostavnije reavati korienjem njemu

odgovarajueg duala.

49.Definisati vezu promenljivih primarnog i dualnog modela zadatka linearnogprogramiranjanain odreivanja optimalnog reenja dualnog problema

Izmeu promenljivih primarnog i dualnog problema postoji povezanost i

meusobna uslovljenost reenja. Da bi to pokazali uvedimo primarni problem

problem maksimuma dodatne promenljive mpp xx ,...,1 i njemu

odgovarajui dualni problem pmmm yyy ,...,, 21 i izrazimo ih u kanoninom

obliku:

0,00,0

(min)(max)

11

11

jmiipj

jjm

m

i

iij

p

j

iipjij

m

i

ii

p

j

jj

yyxx

cyyabxxa

ybvxcz

Broj promenljivih u primarnom i dualnom problemu sada je jednak i iznosi

p+m. Veza izmeu promenljivih primara i duala moe se izraziti na sledei

nain: Svakoj dodatnoj promenljivoj primara odgovara realna promenljiva

duala u obliku:

mmp

p

p

yx

yx

yx

22

11


23/64


23

dok svakoj realnoj promenljivi primara odgovara jedna dodatna duala:

pmp

m

m

yx

yx

yx

22

11

Na osnovu iskazane relacije moemo konstatovati da reavajui jedan iz

navedenog para zadatka, odreivanjem optimalnog reenja jednog od njih,

dobijamo i optimalno reenje njemu odgovarajueg duala. Optimalno reenje

duala na osnovu ve izraunatog optimalnog reenja primara, moemo

odrediti na dva naina:

1. Optimalne vrednosti realnih promenljivih duala ),...,1( miyi

odreujemo kao negativnu vrednost razlike I simpleks kriterijuma za dodatne

promenljive poslednjeg reenja primarnog problema, tj.),...,1()( mizcy ipipi

2. Na osnovu optimalnog reenja primara, optimalne vrednosti realnih

promenljivih duala ),...,1( miyi , odreujemo iz relacije:1 optBCy ,

gde je ),...,(1 myyy , vektor vrsta koeficijenata koji se u funkciji cilja

primara nalaze uz promenljive iz optimalne baze .op t

50.Odnos izmeu vrednosti funkcije cilja primarnog i dualnog modela zadatkalinearnog programiranjadokazati i objasniti

Teorema 3: Za bilo koje mogue reenje ),...,,(21 pxxxx primarnog

problema i bilo koje mogue reenje dualnog problema ),...,,( 21 myyyy ,

vrednost funkcije cilja primarnog problema manja je ili jednaka vrednosti

funkcije cilja dualnog problema, tj. )()( yvxz ili

m

i

ii

p

j

jj ybxc11

.

Dokaz: Posmatrajmo sistem ogranienja primara i

p

j

jij bxa 1

i duala

j

m

i

iij cya 1

i pomnoimo sada desnu i levu stranu i-te nejednaine sistema

ogranienja primara sa iy i sumirajmo po indeksu i=1,,m, na osnovu ega

dobijamo:

m

i

ii

m

i

ipipi ybyxaxa11

11)...( .

Izraz na levoj strani prethodne nejednaine moemo predstaviti u obliku

dvostruke sume po i=1,...,m i po j=1,...,p i dobiemo:

m

i

ii

m

i

p

j

jiij ybxya11 1

Ako j-tu nejednainu sistema ogranienja duala pomnoimo sa jx i sumiramo

poj=1,,p dobijamo:


24/64


24

p

j

jj

p

j

m

i

jiij xcxya11 1

.

Kako su leve strane poslednje dve nejednaine jednake konstatujemo da je:

m

i

ii

p

j

jj ybxc11

,to je i trebalo dokazati.

51.Odnos izmeu optimalnih vrednosti funkcije cilja primarnog i dualnog modelazadatka linearnog programiranjadokazati i objasniti

Teorema 4: Ukoliko su ),...,,(**

2

*

1

*

pxxxx i ),...,,(**

2

*

1

*

myyyy mogua

reenja primarnog i dualnog problema, za koje su vrednosti funkcija cilja

primara i duala jednake )()(**

yvxz , tada su *x i *y optimalna reenja

primara i duala respektivno.

Dokaz: Neka je 'x neko mogue reenje primara. Tada e biti )()'( *yvxz .

Meutim, kako je na osnovu uslova teoreme )()( ** yvxz , to je

)()'(*xzxz . Kako je 'x bilo koje mogue reenje primara, to je

),((max))(* xzxz odnosno *x predstavlja optimalno reenje primarnog

problema.

Analogno se dokazuje da*

y predstavlja optimalno reenje dualnog problema.

Teorema 5: Ukoliko jedan od problema linearnog programiranja primarni ili

dualni problemimaju makar jedno mogue reenje, tada i primarni i dualni

problem imaju optimalna reenja.

Dokaz:Neka primarni i dualni problem imaju optimalna reenja oblika

),...,(**

1

*

pxxx i ),...,(**

1

*

myyy to znai da je )((max))(*

xzxz za svako

x iz konveksnog skupa moguih reenja K )( Kx , kao i )((min))( * yvyv za

svako y iz konveksnog skupa moguih reenja dualnog problema L )( Ly .

Znai skupovi K i L nisu prazni.

Da bi dokazali teoremu neophodno je dokazati da ovi problemi imaju

optimalna reenja. Da bi to pokazali posmatrajmo reenje duala *y i

proizvoljno mogue reenje x primara. Na osnovu teoreme 3 imamo da je

)()(*yvxz . Ukoliko x predstavlja proizvoljno reenje primara tada

korienjem simpleks metoda u nizu iteracija moemo odrediti niz reenja

rxxx ,...,, 21 takvih da je )(...)()( 21 rxzxzxz pri emu postoji gornja

granica poveanja vrednosti funkcije cilja primara. Moemo utvrditi da takvo

reenje *x primara za koje je )()( * xzxz za svako Kx , to znai da

primar ima optimalno reenje.Slian postupak se primenjuje i u dokazivanju da dualni problem ima

optimalno reenje *y za koje je .)()( * Lyyvyv

Teorema 6: Mogue reenje *x primara je optimalno ako i samo ako postoji

mogue reenje duala *y za koje je )()( ** yvxz . Tada reenje*y

predstavlja optimalno reenje duala.


25/64


25

Dokaz: Pretpostavimo da ),...,( **1

*

pxxx i ),...,(**

1

*

myyy predstavljaju

optimalna reenja primara i duala. Tada na osnovu teoreme 3 imamo za bilo

koje mogue reenje ),...,(1 p

xxx primara da je:

p

j

jj

m

i

ii

p

j

jj xcybxc1

*

1

*

1

, na osnovu ega konstatujemo da

),...,(**

1

*

pxxx predstavlja optimalno reenje primara. Slino za bilo koje

mogue reenje ),...,(1 m

yyy duala imamo da vai

.1

*

1

*

1

p

j

jj

m

j

ii

p

i

yi xcybyb Dakle, vidimo da ),...,(**

1

*

myyy predstavlja

optimalno reenje duala.

Na osnovu prethodnih konstatacija moemo zakljuiti da ),...,( **1

*

pxxx i

),...,(

**

1

*

myyy

predstavljaju optimalna reenja primara i duala za koje je).()(

**yvxz

52.Odnos izmeu optimalnih vrednosti promenljivih primarnog i dualnogproblema u modelu linearnog programiranjadokazati i objasniti

Teorema 7: Ukoliko su *x i*

y mogua reenja primara i duala, tada su to i

optimalna reenja akko imamo zadovoljene uslove:

1) 0* iy ukoliko je i

p

j

jijbxa

1

*

2) 0* jx ukoliko je j

m

i

iij cya 1

* ,

odnosno dualna promenljiva je jednaka nuli 0* y kada je njoj

odgovarajua dodatna promenljiva pozitivna u optimalnom reenju primara,

odnosno realna promenljiva je jednaka nuli 0* x kada je njoj odgovarajuadodatna promenljiva u optimalnom reenju duala pozitivna.

Dokaz: Pretpostavimo da*

x i*

y predstavljaju optimalna reenja primara i

duala. Za optimalna reenja vae nejednakosti:

primar i

p

j

jij bxa 1

* dual j

m

i

iijcya

1

*

0jx 0iy

Pomnoimo levu i desnu stranu primaru nenegativnom vrednou *iy :

ii

p

j

jijibyxay *

1

**

. Sumirajui levu i desnu stranu dobijamo

m

i

ii

p

j

jij

m

i

i byxay1

*

1

*

1

* , odnosno .1

*

1 1

**

m

i

ii

m

i

p

j

jiij byxya

Pomnoimo sada levu i desnu stranu duala sa *jx , 0* jx :


26/64


26

.1

*

1 1

**

p

j

jj

m

i

p

j

jiij xcxya

Na osnovu teoreme 4 u kojoj smo dokazali

m

i

ii

p

j

jj ybxc1

*

1

* , imamo:

m

i

p

j

jiij

p

j

jj

m

i

ii

m

i

p

j

jiij xyaxcbyxya1 1

**

1

*

1

*

1 1

** .

S obzirom da su krajnje sume jednake, moemo pisati

m

i

ii

m

i

p

j

jiij byxya1

*

1 1

** i .1 1

**

1

*

m

i

p

j

jiij

p

j

jj xyaxc

Dobijene jednakosti moemo predtaviti u obliku

01

*

1

*

p

j

jiji

m

i

i xaby

01

*

1

*

j

m

i

iij

p

j

j cyax

Imajui u vidu nenegativnost primarnih i dualnih promenljivih imamo

01

**

p

j

jijii xaby

01

**

j

m

i

iijj cyax

Iz njih vidimo da ukoliko je 01

*

p

j

jijixab odnosno i

p

j

jijbxa

1

*, onda je

jednakost zadovoljena samo za 0* iy , a iz 01

*

j

m

i

iij cya , odnosno

j

m

i

iij cya 1

* , jednakost je zadovoljena samo za .0* jx

Na taj nain smo dokazali nau teoremu.

53.Ekonomsko znaenje dualnih promenljivih dokazati i objasnitiDualne promenljive pruaju mogunost za dobijanje veoma znaajnih

informacija o karakteru problema linearnog programiranja, kao i ispitivanje

uticaja promene nivoa korienja raspoloivih resursa na vrednost funkcije

cilja. Posmatrajmo problem standardnog max:

0

(max)

x

bAx

cxz

i njegov dual

0

''

'(min)

y

cyA

ybv

.

Neka*

x predstavlja optimalno reenje primara za koje je

Kxxzxz )((max))( * i neka je *y optimalno reenje duala za koje je

Lyyvyv )(min)( * . Pretpostavimo da se elementi vektora b primara

poveaju za iznos b , koji ne izaziva promenu strukture optimalne baze.Promena vrednosti elemenata vektora b dovee do poveanja vrednosti


27/64


27

funkcije cilja primara za iznos od byxz **)( , odnosno poveanje i-tog

resursa za b uticae na promenu vrednosti funkcije cilja primara za iznos od

iibyxz **)( . Dokaz: Neka *x i **x predstavljaju optimalne vrednosti

promenljivih primara u sluajevima vektora b i bb respektivno. Kako je

struktura optimalne baze u oba sluaja ista, to optimalno reenje duala*

y takoe je isto, tako da moemo pisati:

bycx

bbycx

**

***)(

Ako poslednja dva izraza oduzmemo, dobijamo: byxz **)( , gde je****

)( cxcxxz poveanje vrednosti funkcije cilja, izazvano poveanjem

vrednosti vektora b, na osnovu ega smo dokazali da je to tvrenje tano.

Na osnovu ovog rezultata moemo konstatovati da je ,)(

*

*

i

ib

xzy

na osnovu

ega vidimo da vrednost dualne promenljive iy pokazuje za koliko jedinica

e se poveati (smanjtii)funkcija cilja primara, ukoliko se korienje resursa

ib povea (smanji) za jednujedinicu. Zbog toga, dualne promenljive

predstavljaju tzv. obraunske cene korienih resursa, odnosno tzy. cene u

senci (shadow price).

54.Osnovne karakteristike i znaaj primene Simpleks tabele postupakodreivanja elemenata simpleks tabele

Simpleks tabela predstavlja tabelaran nain prikazivanja problema linearnog

programiranja, koji je prilagoen za potrebe reavanja ovih problemakorienjem simpleks metoda. Ovaj tabelarni postupak primene simpleks

metoda omoguava da se u nizu iteracija doe do optimalnog reenja.

Poetno bazino reenje koje kod standardnog problema max odgovara

poetku prostora predstavlja se prvom simpleks tabelom, koja predstavlja

polaznu osnovu za odreivanje optimalnog reenja. Na osnovu prve simpleks

tabele primenom simpleks kriterijuma za promenu vektorske baze preko niza

simpleks tabela, dolazimo do optimalnog reenja.

Opti oblik simpleks tabele predstaviemo na primeru reavanja zadatka

standardnog problema maksimuma:

0,...,

...

...

...

...(max)

1

2211

22222121

11212111

2211

p

mpmpmm

pp

pp

pp

xx

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

xcxcxcz

Uvoenjem dodatnih promenljivihsistem nejednaina se transformie u sistem

jednaina:


28/64


28

0,...,

...

...

...

0...0...(max)

1

2211

222222121

111212111

12211

mp

mmppmpmm

ppp

ppp

mpppp

xx

bxxaxaxa

bxxaxaxa

bxxaxaxa

xxxcxcxcz

Poetno bazino reenje odreuje se tako to pretpostavimo da su realne

promenljive jednake nuli, a dodatneslobodnim lanovima sistema

ogranienja. Prvu simpleks tabelu moemo predstaviti:

jB CC \ 0 Bx 1c 2c ... pc 1pc 2pc ... mpc

1x 2x ... px 1px 2px ... mpx

01px 1b 11a 12a ... pa1 1 0 ... 0

02px 2b 21a 22a ... pa2 0 1 ... 0

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

0mpx mb 1ma 2ma ... mpa 0 0 ... 1

jz z 1z 2z ... pz 0 0 ... 0

jj zc 11 zc 22 zc ... pp zc 0 0 ... 0

Simpleks tabela I koja predstavlja poetno bazino reenje obrazovana je:

1. U prvu kolonu tabele unosimo koeficijente koji se u funkciji cilja nalaze uz

bazine promenljive. To su nule, jer su koeficijenti uz dodatne promenljive 0.

2. U drugu kolonu unosimo bazine promenljive, tj. dodatne promenljive.

3. Kolona Bx pokazuje vrednosti bazinih promenljivih

4. U kolone pxxx ,...,, 21 unosimo koeficijente koji se nalaze uz ove promenljive u

sistemu ogranienja

5. U kolone mpp xx ,...,1 koeficijenti obrazuju jedininu matricu

6. U zaglavlje unosimo vrednosti koeficijenata koji se u funkciji cilja nalaze uz

promenljive iz odgovarajue kolone simpleks tabele7. Elemente vrste jz odreujemo kao zbir proizvoda koeficijenata iz prve kolone i

odgovarajuih koeficijenata iz pojedinanih kolona

8. Poslednja vrsta je I simpleks kriterijum za promenu baze u cilju optimizacije

programa.

Postupak odreivanja elemenata naredne simpleks tabele podrazumeva

realizaciju narednih operacija:

a) odreivanje koju od prethodno nebazinih promenljivih treba ukljuiti u bazu

b) odreivanje koja od prethodno bazinih promenljivih treba da napusti bazu

c) utvrivanje vrednosti promenljivih u novom reenjud) utvrivanje vrednosti koeficijenata nove simpleks tabele


29/64


29

e) utvrivanje vrednosti funkcije cilja, koja odgovara reenju koje je predstavljeno

novom simpleks tabelom, kao i izraunavanje vrednosti funkcijajz za sve

promenljive

a) u naredno bazino mogue reenje treba ukljuiti onu prethodno nebazinu

promenljivu za koju je razlikajj

zc najvea pozitivna. Reenje je optimalno

kada u poslednjem redu simpleks tabele )( jj zc ne postoji ni jedna pozitivna

vrednost.

b) iz baze treba eliminisati onu prethodno bazinu promenljivuix za koju

odredimo minimalnu vrednost: 0,min ijij

i xx

x .

c) Vrednosti promenljivih u novoj simpleks tabeli odreujemo:

novouvedena promenljiva: kx

vrednosti ostalih promenljivih: rkik

i

rr a

a

bbx

to znai da vrednost novouvedene promenljive je jednaka minimalnoj vrednosti

kolinika iz prethodnog reenja )( dok vrednosti ostalih promenljivih

izraunavamo tako to od njihovih vrednosti iz prethodne iteracije oduzmemo

proizvod vrednosti novouvedene promenljive i odgovarajueg koeficijenta koji se

nalazi u karakteristinoj koloni simpleks tabele.

d) vrednosti koeficijenata nove simpleks tabele odreujemo:

koeficijenti u karakteristinoj vrsti simpleks tabele:lk

lj

lja

aa '

koeficijenti u ostalim vrstama: rklk

lj

rjrj aa

a

aa '

e) koeficijente koji se nalaze u karakteristinoj vrsti dobijamo tako to njihovu

prethodnu vrednost podelimo karakteristinim elementom. Ostale koeficijente r-

tog reda j-te kolone odreujemo tako to se od njegove prethodne vrednosti

oduzme proizvod izmeu koeficijenata r-tog reda karakteristine kolone i

kolinika koeficijenata j-te kolone karakteristinog reda sa karakteristinim

elementom.

f) vrednost funkcije cilja odreuje se mnoenjem koeficijenata prve kolone

odgovarajuim vrednostima promenljivih, ili na osnovu karakteristinih

elemenata: klk

l

ca

b

zz'

.

55.Problem degeneracije zadatka linearnog programiranjauzroci i poslediceProblem degeneracije linearnog programiranja predstavlja takav sluaj kod

koga jedna ili vie bazinih promenljivih imaju vrednost 0. Ovakav problem sejavlja kada u zadatku imamo suvinih ogranienja.Prilikom reavanja

zadatka linearnog programiranja postojanje problema degeneracije e se

manifestovati prilikom odreivanja vrednosti kolinika , koji nam slui za

iskljuivanje neke od prethodno bazinih promenljivih. Ukoliko u zadatku

postoji problem degeneracije, onda e u nekoj od iteracija, prilikomodreivanja vrednosti kolinika II simpleks kriterijuma, dobiti dve ili vie


30/64


30

jednakih minimalnih vrednosti. U tom sluaju ne moemo odrediti koju od

prethodno bazinih promenljivih treba iskljuiti iz baze. U narednoj iteraciji

neka od prethodno bazinih promenljivih e biti jednaka 0,odnosno vrednost

kolinika e biti jednaka 0, zbog ega e se dogoditi da dva ili vie

uzastopnih reenja imaju jednaku vrednost funkcije cilja. U sluaju

degeneracije moe se pojaviti problem ciklusa sluaj da u toku reavanjazadatka ponovo dobijemo isto reenje sa nekim od prethodnih. Postupak ijom

primenom se eliminie mogunost postojanja ciklusa je da izae iz baze onaj

vektor kod koga je imenilac vei.

56.Jedinstveno i viestruko optimalno reenje u modelu linearnog programiranjagrafika i analitika interpretacija

Kod problema maksimuma optimalno reenje predstavljali smo simpleks

tabelom u kojoj su sve razlike za nebazine promenljive u poslednjoj vrsti

)(jj

zc negativni. Geometrijski posmatrano takvo optimalno reenje

problema maksimuma nalazi se u jednoj ekstremnoj taki (najudaljenija od

koordinatnog poetka) konveksnog ogranienog i zatvorenog skupamoguih

reenja. To je jedinstveno reenje. Meutim u nekim sluajevima moe se

dogoditi da izraunato optimalno reenje nije jedinstveno, odnosno postoji

viestruko optimalno reenje.

Ukoliko u okviru neke simpleks tabele postoji makar jedna razlika prvog

simpleks kriterijuma 0)( jj zc , za prethodno nebazinu promenljivu jx ,

dok su vrednosti ovih razlika za ostale nebazine promenljive negativne,

izraunato optimalno reenje nije jedinstveno. Posle I i II simpleks kriterijumadobili smo takoe optimalno reenje za koje funkcija cilja ima istu vrednost

kao i u sluaju prethodnog reenja. Postojanje dva optimalna reenja ima za

posledicu da sve konveksne kombinacije ova dva reenja, takoe predstavljaju

optimalna reenja, zbog ega kaemo da takav zadatak ima viestruko

optimalno reenje. Geometrijski, sluaj postojanja viestrukog optimalnog

reenja se javlja kada su koeficijenti pravca prave koja reprezentuje neko od

ogranienja i koeficijent pravca prave funkcije cilja, jednaki.

Na slici se vidi da prava koja reprezentuje funkciju cilja se podudara sa

pravom koja predstavlja gornju granicu vrednosti promenljivih 1x i 2x za

koje je zadovoljena nejednaina ogranienja, na kojoj se nalazi du AB. Na

osnovu toga konstatujemo da se optimalno reenje naeg zadatka nalazi u

takama A i B, odnosno u svim takama dui AB.


31/64


31

57.Nepostojanje moguih reenja i neograniena vrednost funkcije cilja zadatkalinearnog programiranjagrafika i analitika interpretacija

Prilikom formulisanja modela linearnog programiranja moe se dogoditi da

model bude tako postavljen da ne postoje mogua reenja. Takav sluaj se

deava ukoliko ne postoje vrednosti promenljivih za koje su zadovoljeni sviograniavajui uslovi. Geometrijski, takav zadatak ima prazan skup moguih

reenja. Nepostojanje moguih reenja moemo konstatovati u poslednjoj

simpleks tabeli. Naime, u poslednjoj simpleks tabeli svi elementi vrste

)( jj zc pokazae postojanje optimalnog reenja, ali e se u optimalnom

reenju nai vetaka promenljiva, to je glavni indikator postojanja

meusobno kontradiktornih ograniavajuih uslova u zadatku.

Sve take koje se nalaze na dui AB i ispod nje zadovoljavaju prvu

nejednainu ogranienja, dok drugu nejednainu i uslov nenegativnosti

zadovoljavaju sve take na dui CD i iznad nje. Kako ova dva skupa taaka

nemaju presek, ne postoje take za koje su istovremeno zadovoljene obenejednaine ogranienja. Znai skup moguih reenja je prazan skup,

odnosno zadatak nema reenja.

Problem nemogunosti odreivanja konanih vrednosti promenljivih funkcije

cilja u problemu maksimuma javlja se ukoliko je:

1. model formulisan tako da se jedna ili vie promenljivih mogu poveavati

neogranieno, a dane bude naruen ni jedan od ograniavajuih uslova

zadatka.

2. funkcija cilja na skupu moguih reenja nema konanu vrednost

Reavajui problem maksimuma korienjem simpleks metoda, ovaj problem

moemo identifikovati pre dobijanja vrednosti elemenata finalne simpleks

tabele. Problem mogunosti postojanja neograniene vrednosti promenljivih i

funkcije cilja, konstatovaemo u nekoj iteraciji u postupku odreivanja

promenljive koja treba da izae iz baze. Da bi neka promenljiva izala iz baze

potrebno je da u odnosu na ostale vrednosti ima najmanji pozitivan kolinik IIsimpleks kriterijuma. Meutim, ukoliko su svi ovakvi kolinici negativni ili

nedefinisani, moemo konstatovati da problem nema konano reenje.


32/64


32

58.Postoptimalna analiza u linearnom programiranjupromena koeficijenatafunkcije kriterijuma

Postupak postoptimalne analize je postupak koji se koristi za ispitivanje da li

e promena nekog od parametara modela linearnog programiranja uticati na

promenu ve izraunatog optimalnog reenja. Primenom postoptimalneanalize moe se doi do jednog od sledea dva zakljuka:a) nastale promene u vrednosti parametara modela nee dovesti do promene

vektorske baze na osnovu kojeg je odreeno optimalno reenje.b) prethodno izraunato optimalno reenje u uslovima novih vrednosti

parametra modela ne moe ostati optimalno.

1 Promena vektora cNakon odreivanja optimalnog reenja moe doi do promene koeficijenata

koji se nalaze uz promenljive koje se ne nalaze u optimalnom reenju, kao i

promene koeficijenata koji se nalaze uz bazine promenljive.

1.1. Promena koeficijenata nebazinih promenljivih.U poslednjoj iteraciji reavanja zadatka konstatovano je da je za sve

nebazine vektore jA zadovoljen uslov 0)( jj zc . Pretpostavimo sada da

se jc menja, pri emu nastalu promenu moemo predstaviti u obliku

jjjccc .

Da bi utvrdili da u novim uslovima reenje izraunato na osnovu baze op t i

dalje ostaje optimalno, neophodno je daproverimo da li e poveanje

vrednosti koeficijenta jc dovesti do potrebe za uvoenjem prethodno

nebazinih vektora jA u bazu. U tom cilju, primenjuje se I simpleks kriterijum

sa novom vrednou koeficijentajc , odnosno:

jjjjjjjj czczcczc

)()( .

Da bi reenje ostalo optimalno neophodno je da vektor jA i dalje ostane

nebazian. To e se dogoditi ukoliko je 0 jj zc , odnosno ukoliko je

0)( czc jj . Na osnovu poslednje relacije vidimo:

a) jjj

zcc reenje ostaje optimalno

b) jjj zcc reenje nije optimalno. U bazu ukljuujemo jA .

1.2. Promena koeficijenata bazinih promenljivih

I ovde treba utvrditi vrednost razlika )( jj zc za nebazine vektore. S

obzirom da vrednosti jc ostaju nepromenjeni, u ovom sluaju neophodno je

izraunati vrednost jz za sve nebazine promenljive.

Oznaimo sa Bc vektor koeficijenata koji se u funkciji cilja nalaze uz bazine

promenljive. Pretpostavimo da je dolo do poveanja za iznos Bc , tako da je

novi vektor ovih koeficijenata BBB ccc

. Vrednosti jz za nebazine

vektore odreene su iz relacije jBj xcz , gde jejx vektor koeficijenata

linearne kombinacije bazinih vektora i nebazinog vektora jA izraunat u


33/64


33

obliku joptj Ax 1 ostao nepromenjen.

Vrednosti jz u uslovima promenjenih koeficijenata vektora Bc odrediemo na

sledei nain: .)( jjjBjBjBBjBj zzxcxcxccxcz

S obzirom da vrednostij

c ostaju nepromenjene, kriterijum optimalnosti sada

e biti 0)( jjjjj zzczc . Moemo konstatovati da ako je:

a) )( jjj zcz reenje ostaje optimalno

b) )( jjj zcz reenje nije optimalno. U bazu ukljuujemo jA .

U uslovima promene svih koeficijenata funkcije cilja, kada bi imali

0)()()( jjjjjj zzcczc , optimalno reenje se ne bi menjalo.

Ukoliko je bar jedna od razlika pozitivna reenje bi i dalje bilo mogue, ali ne

i optimalno.

2. Promena vektora b

b je vektor slobodnih lanova sistema ogranienja. Promena = b , pa jebbb , vrednosti bazinih promenljivih bx optB 1 , pa e u uslovima

izmenjenog vektora b biti: )(11

bbbx optoptB . Ukoliko je

zadovoljen uslov 0Bx reenje je i dalje optimalno.

3. Promena matrice A

3.1Promena nebazinog vektora jA

Da bi utvrdili da li taj vektor treba ukljuiti u bazu, raunamo novu vrednost

kolone matrice zvezdice: jop tj Ax

1 , zatim raunamo jBj xcz , koje u I

simpleks kriterijumu oduzimamo od nepromenjene funkcije cilja jj zc

ukoliko je reenje 0 stara baza je i dalje optimalna, u suprotnom prethodnoreenje nee biti optimalno.

3.2Promena bazinog vektora iA

Reenja nove baze bie: bxB

1)( , a ,)( 1 jj Ax

zatim

jBj xcz . Ukoliko su nove vrednosti bazinih promenljivih 0Bx

izraunato reenje je mogue, a da li je optimalno utvrujemo pomou I

simpleks kriterijuma.

Ukoliko se desi da u okviru vektoraBx imamo bar jednu negativnu vrednost

reenje nije mogue.

60.Definisati opti oblik transportnog problema analitiki i tabelarnoTransportni problem predstavlja model ijim se korienjem odreuje

optimalan program distribucije odreene vrste robeiz razliitih mesta ponude

(tzv. ishodita) do razliitih mesta tranje (tzv. odredita) pri emu se

podrazumeva njihova teritorijalna razdvojenost.

U cilju formulisanja opteg oblika modela transporta robe, pretpostavimo da

postoji konaan broj od m ishodita mPPP ,...,, 21 koja raspolae odreenom

homogenom vrstom robe, za ije korienje je izraena potreba (tranja) u n

odredita nTTT ,...,, 21 . Ako pretpostavimo da postoji teritorijalna razdvojenostishodita i odredita, tada je jasno da postoji nm potencijalnih puteva, preko


34/64


34

kojih ova roba moe biti dostavljena od mesta ponude do mesta tranje.

... ...

Osnovni cilj reavanja transportnog problema moe se formulisati, kao zahtevza odreivanje optimalnih vrednosti promenljivih ijx ,tj. optimalnih koliina

prevezene robe na pojedinim putevima, za koje e se ostvariti minimalna

vrednost ukupnih transportnih trokova, tj. minimalna vrednost funkcije cilja:

funkcija cilja:

m

i

n

j

ijijxcz1 1

pri emu moraju biti zadovoljena tri

ogranienja:a) ukupna koliina raspoloive robe svakog ishodita mora biti raspodeljena

na mesta tranje, tj. i

n

j

ij ax 1

b) tranja svakog odredita mora biti u potpunosti zadovoljena j

m

i

ij bx 1

c) koliina prevezene robe na pojedinim putevima, odnosno odgovarajue

promenljive moraju biti nenegativne veliine, tj. 0ijx .

Funkcija cilja zajedno sa navedenim uslovima obrazuje opti oblik zadatka

transportnog problema u kome imamo m nejednaina sa nm promenljivih.Proireni oblik navedenogmodela moemo predstaviti u obliku:

0

...

...

...

...

...

....

............

21

222212

112111

21

222221

111211

11222121111111

ij

nmnnn

m

m

mmnmm

n

n

mnmnmmnnnn

x

bxxx

bxxx

bxxx

axxx

axxx

axxx

xcxcxcxcxcxcz

Ovako formulisan model moemo predstaviti u vidu tabele:

P1 T1

P2 T2

Pm Tn

ijx koliina robe koja se transportuje

iz i-tog ishodita u j-to odredite

ijc transportni trokovi po jediniciprevezene robe iz i-tog ishodita u j-toodredite

ia raspoloiva koliina robe u i-tom

ishoditujb iznos tranje za posmatranom

robom u j-tom mestu tranje(odreditu)


35/64


35

odr.

ish. 1T 2T ... nT ponuda

1P

c11 c12

...

c1n

1a 11x 12x nx1

2P c21 c22 ...

c2n

2a 21x 22x nx2

... ... ... ... ... ...

mP cm1 cm2 ...

cmnma

1mx 2mx mnx

tranja1b 2b ... nb

U levi ugao polja nae tabele unose se transportni trokovi po jedinici

prevezene robe na odgovarajuem putu, poslednja kolona pokazuje ponudu

robe pojedinih ishodita, dok poslednja vrsta pokazuje tranju pojedinih

odredita.

61.Egzistencija mogueg reenja transportnog problema dokazati i objasnitiTeorema 5.1: Transportni problem ima reenje ukoliko je ukupna ponuda

jednaka ukupnoj tranji, tj. ako je

n

j

j

m

i

i ba11

.

Dokaz:

m

i

i

m

i

n

j

ij ax11 1

n

j

j

n

j

m

i

ij bx11 1

kako su leve strane jednake, jednake su i desne strane, tj.

n

j

j

m

i

iba

11

, ime je dokazan uslov za reavanje transportnog problema.

Da bi dokazali da izjednaavanje ukupne ponude i ukupne tranje predstavlja i

dovoljan uslov za reavanje transportnog problema, treba da pokaemo da

koliina prevezene robe predstavljena izrazom d

ba

xji

ij , gde je

n

j

j

m

i

i bad11

, predstavlja mogue reenje transportnog problema.

Kako su sve vrednosti dba ji ,, nenegativne veliine, to je 0ijx . Ukoliko

izrazd

bax

ji

ij sumiramo po i i po j dobijamo:


36/64


36

miad

b

ad

bax

njbd

a

bd

bax

i

n

j

j

i

n

j

jin

j

ij

j

m

i

i

j

m

i

jim

i

ij

,...,1

,...,1

1

11

1

11

iz ega vidimo daijx zadovoljava sistemjednaina ogranienja i tranje i

ponude. Znai pokazali smo da jednakost ukupne ponude i ukupne tranje u

transportnom problemu, predstavlja potreban i dovoljan uslov za egzistenciju

mogueg reenja.

62.Pokazati da je rang matrice koeficijenata sistema ogranienja transportnogproblema m + n1

Teorema 5.3: Matrica koeficijenta sistema ogranienja transportnog problemaima rang 1 nm

Dokaz: Matricu koeficijenta sistema ogranienja naeg transportnog

problema moemo predstaviti u obliku:

1

0

0

1

0

0

...

...

...

...

...

...

...

...

0

1

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

...

...

...

...

...

...

...

...

1

0

0

0

1

0

...

...

...

...

...

...

...

...

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

1

0

0

0

0

1

...

...

...

...

...

...

...

...

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

A

Matrica A reda xmnnm )( ima za elemente jedinice i nule pri emu u svakoj

koloni ima samo dve jedinice a ostalo su nule. Ukoliko saberemo prvih m vrsta

matrice A dobiemo vrstu iji su svi elementi jedinice. Istu takvu vrstu emo

dobiti sabiranjem preostalih n vrsta matrice A

tj.: ,...... 2121 nmmmm pppppp gde smo sanm

ppp ,...,, 21

obeleili vrste matrice A. Znai da svaku vrstu matrice A moemo izraziti u

vidu linearne kombinacije ostalih. Ukoliko sada iz matrice A iskljuimo

poslednju vrstu i uzmemo minor )1( nm og reda dobijamo:


37/64


37

1

100

010

001

000

000

000

000

000

111

100

010

001

det)1(

nm

M

Rang matrice nije m+n jer je uvek 1 vrsta zavisna od drugih, pa pogodnom

transformacijom dobijamo da je rang matrice 1 nm , jer je vrednostdobijenog minora razliita od nule. T o je i trebalo dokazati.

63.Postojanje zavisnosti izmeu jednaina sistema ogranienja transportnogproblemadokazati i objasniti

Teorema 5.2:Broj linearno nezavisnih jednaina sistema ogranienja

transportnog problema je 1 nm .Dokaz: Pretpostavimo da imamo kombinaciju vrednosti promenljivih ijx za

koje znamo da zadovoljavaju sve jednaine sistema ogranienja izuzev na

primer prvu jednainu. Pokazaemo da takva pretpostavka ne moe biti

zadovoljena. Oigledno je da levu stranu prve jednaine sistema ogranienja

moemo pretstaviti u obliku:

m

i

n

j

ij

m

i

n

j

ij

n

j

j xxx2 11 11

1

ako je za svako x ij zadovoljeno svih m+n jednaina sistema ogranienja tj.

i

n

j

ijax

1

i j

m

i

ij bx 1

to jednakost 1 moemo predstaviti u obliku

i

m

i

i

n

j

j

m

i

n

j

ij

m

i

n

j

ij

n

j

j aabxxx 212 11 11

1

Na taj nain je1

1

axn

j

ij

tj. zadovoljena je i prva jednaina sistema

ogranienja. Isto bi mogli jednostavno pokazati da je svaka od jednainasistema ogranienja zadovoljena ukoliko su zadovoljene sve preostale m+n-1

jednaine sistema ogranienja transportnog problema.

64. Metodi odreivanja poetnog bazinog reenja programa transportaMetodi koji se koriste za odreivanjepoetnog bazinog reenja su:

a.metod severozapadnog ugla

b. metod minimalnih trokova

v. Vogelov aproksmativni metod


38/64


38

a.metod severozapadnog ugla-rasporeivanje koliina robe za prevoz preko razliitih puteva zapoinjemo iz

levog gornjeg (severozapadnog) ugla tabele odnosno polja (1,1), nakon toga

u m+n-1 koraka idui dijagonalno rasporeuju se koliine robe u razliita

polja tabele koja odgovaraju razliitim putevima . Postupak se zavrava

nakon iscrpljivanja svih ponuenih koliina robe u pojedinim ishoditima,odnosno nakon zadovoljenja ukupne tranje pojedinih odredita .

-U polje (1,1) unosimo manji od iznosa ponude odnosno tranje koji odgovara

prvoj vrsti i prvoj koloni tabele, tj. imamo da je ),(1111baMINx . Ukoliko je

11ba tada je

111ax tj. tada u prvom koraku iscrpljujemo ukupnu ponudu

prvog ishodita ,zbog ega koliine koje odgovaraju narednim poljima prve

vrste moraju biti jednake nuli . Procedura se nastavlja prelaskom na naredno

polje prve kolone u koje unosimo 111221

,min xbax .

Suprotno ako je11ba ,tada e preostala polja prve kolone ostati prazna , a

odgovarajue promenljive e biti jednake nuli , dok e se u naredno polje prve

vrste uneti 211112 ,min bxax .Znai metod severozapadnog ugla obezbeuje naizmenino iscrpljivanje

ponude ( ishodita ) , odnosno zadovoljavanje tranje odredita .Postupak se

zavrava u poslednjem polju po dijagonali ( polje m,n ) u koje se uvek unosi

jednaka koliina preostalog iznosa ponude poslednje vrste i preostalog iznosa

tranje poslednje kolone.

Osnovna prednost primene ovog metoda je jednostavnost.

b. metod minimalnih trokova-Metod minimalnih trokova podrazumeva prevashodno korienje puteva

( polja puteva ) kojima odgovaraju najmanji trokovi po jedinici prevezenerobe.

-Postupak odreivanja poetnog bazinog reenja metodom minimalnih

trokovazapoinje korienjem puta kojem odgovaraju najmanji trokovi pri

emu u odgovarajue polje tabele unosimo minimalno moguukoliinu za

prevoz. Naizmeninim popunjavanjem preostalih praznih polja kojima

odgovaraju najmanji transportni trokovi , u m+n-1 koraka dolazi se do

poetnog bazinog reenja.

-Prednost ovog metoda ogleda se u injenici da njegova primena obezbeuje

znaajno skraivanje postupka odreivanja optimalnog reenja.

c. Vogelov aproksimativni metod- Vogelov model, odnosno, metod maksimalnih razlika, sastoji se u

izraunavanju potencijalnih gubitaka, koji e nastati ukoliko se izmeu dva

polja sa minimalnim transportnim trokovima, koja se nalaze u nekoj vrsti

(koloni) tabele koristi ono polje u kome su transportni trokovi vei.

-Postupak izraunavanja vrednosti promenljivih poetnog bazinog reenja

primenom Vogelovog metoda, zapoinje izraunavanjem vrednosti razlika

izmeu dva minimalna troka za svaku vrstu i kolonu tabele. Tako izraunate

razlike pridruujemo vrstama i kolonama tabele, nakon ega odreujemo

vrstu, odnosno kolonu kojoj odgovara najvea vrednost ovako pridruenog

elementa. Poetnu koliinu rasporeujemo u polje sa najniim trokovima,

koje odgovara vrsti (koloni) sa najveom ovako izraunatom razlikom. Sobzirom da se u jednom koraku eliminie ili vrsta ili kolona, nakon svakog


39/64


39

rasporeivanja vri se izraunavanje promenjenih razlika izmeu dva

minimalna elementa. Ukoliko je u jednom koraku eliminisana vrsta, to moe

izazvati promenu pridruenih razlika po kolonama i obrnuto. Izraunavanjem

samo promenjne razlike, sukcesivnim popunjavanjem polja tabele vrimo u

skladu sa kriterijumom maksimalne razlike izmeu dva minimalna elementa.

Postupak se zavrava nakon preraspodeljivanja ukupne ponude na mestatranje, tj. nakon popunjavanja 1 nm polja tabele.

65.Metodi optimizacije programa transportaMetodi optimizacije programa transportasu:

a. Stepping stone metod (metod skakanja sa kamena na kamen)

b. Metod potencijala

a. Stepping stone metod (metod skakanja sa kamena na kamen)

- Sutina ovog metoda sastoji se u postupku ispitivanja uticaja potencijalnogkorienja nezauzetih polja tabele na ukupne transportne trokove.

-Metod skakanja sa kamena na kamen, primenjuje se tako to se skakanjem za

svako prazno polje tabele koje predstavlja poetno bazino reenje, obrazuje

poligon ija sesva temena, izuzev poetnog, nalaze u popunjenim poljima. Svi

uglovi ovako formiranog poligona, koji ima paran broj temena su pravi. Na

osnovu ovako formiranog poligona, za svako prazno polje tabele

izraunavamo takozvane relativne koeficijente trokova, koji pokazuju za

koliko jedinica e se ukupni trokovi transporta poveati (smanjiti) ukoliko u

odgovarajue polje uvrstimo jednu jedinicu prevezene robe. Relativne

koeficijente trokova izraunavamo tako to od transportnog troka koji

odgovara poetnom polju, naizmenino oduzimamo i dodajemo jedinine

transportne trokove koji se nalaze na temenima poligona. Pozitivna vrednost

ovako izraunatog relativnog koeficijenta trokova, pokazae da bi

angaovanje odgovarajueg polja dovelo do poveanja ukupnih transportnih

trokova, dok je u sluaju njegove negativne vrednosti zakljuak suprotan.

Prema tome, postojanje makar jednog negativnog relativnog koeficijenta

trokova pokazuje, da poetno bazino reenje nije optimalno.

b. Metod potencijala- Postupak primene metoda potencijala podrazumeva odreivanje jednog tzv.

mnoitelja za svaku od jednaina ponude i tranje sistema ogranienja modelatransporta. Mnoitelji za jednaine ponude iu i mnoitelji za jednaine tranje

jv , odnosno za odgovarajue vrste i kolone tabele, odreuju se tako da je za

svaku bazinu promenljivu, tj. popunjeno polje tabele zadovoljen uslov:

jiijvuc .

-Jednom od mnoitelja dodeljujemo proizvoljnu vrednost 0, a preostali

mnoitelji (ima ih nm ) se izraunavaju reavanjem 1 nm jednaina

jiij vuc , pri emu je polje ),( ji popunjeno. Da bi pokazali postupak

optimizacije korienjem ovako izraunatih mnoitelja, poimo od osnovnog

oblika modela transporta, tj. m

i

n

j

ijijxcz1 1

; j

m

i

iji

n

j

ij bxax 11 ; .


40/64


40

Ukoliko sada i-tu jednainu ponude pomnoimo mnoiteljemiu , a jtu

jednainu tranje mnoiteljemjv i oduzmemo od funkcije cilja, dobija se:

)()(1 111

m

i

Z

n

j

jj

m

i

ii

n

j

ijjiij

o

vbuazxvuc

. Ako izvrimo smenu:

0

11

' zvbuavuccn

j

jj

m

i

iijiijij

, moemo pisati:

0

1 1

' zzxcm

i

n

j

ijij

, odnosno zxcm

i

n

j

ijij 1 1

' .

-Na osnovu poslednje relacije vidimo da izraunata ocena 'ijc za prazno polje

tabele pokazuje pogodnost njegovog korienja za izraunavanje poboljanog

reenja. Ukoliko za jedno ili vie praznih polja dobijemo negativnu vrednost

potencijala ( 0'

ijc ) konstatujemo da analizirani program transporta nijeoptimalan, ve se korienjem ovih polja moe izraunati povoljnije reenje.

Za poboljanje programa se koristi polje, kojem odgovara negativni potencijal

sa najveom apsolutnom vrednou.

*Znai da bi odredili optimalni program transporta robe metodom

potencijala, neophodno je:

1. Odrediti poetni program transporta robe

2. Odrediti mnoiteljeiu i jv za svaku vrstu i kolonu poetnog reenja

3. Izraunati potencijale 'ijc za svako prazno polje tabele

4. Koristei polje sa najmanjom negativnom vrednosti potencijala 'ijc odrediti

poboljani program transporta odgovarajuim bilansiranjem koliineprevezene robe. Postupak se realizuje u uzastopnim iteracijama sve dok se ne

odredi takav program transporta robe za ija prazna polja tabele imamo

nenegativne vrednosti potencijala, tj. 0'ijc .

66.Degeneracija problema transportaUkoliko u postupku reavanja transportnog problema odredimo reenje u

kome nema 1 nm bazinih promenljivih, odnosno popunjenih polja tabele,konstatujemo da takvo reenje ne zadovoljava neophodan uslov za primenu

nekog od metoda optimizacije. Takav sluaj predstavlja degeneracijutransportnog problema. Ovakav sluaj se javlja kad je neka od parcijalnih

suma ponude jednaka nekoj od parcijalnih suma tranje.Sluaj degeneracije transportnog problema, moe se pojaviti prilikom

odreivanja poetnog bazinog reenja, kao i u postupku poboljavanja nekog

programa transporta u proceduri optimizacije.

-Prilikom odreivanja poetnog reenja degeneracija se javlja u sluaju kada

popunjavanjem nekog odpolja istovremeno eliminiemo raspoloive koliine

odgovarajue vrste i kolone, odnosno iscrpimo svu raspoloivu ponudu robe i

zadovoljimo ukupnu tranju koja odgovara tom odreditu.

- U postupku optimizacije sluaj degeneracije se javlja kad u jednom koraku iz

baze iskljuimo dve promenljive, a u bazu ukljuimo samo jednu prethodnonebazinu promenljivu. Tabelarno, ovaj sluaj nastaje kada u jednom koraku


41/64


41

dva (ili vie) prethodno popunjenih polja postaju prazna, dok popunjavamo

samo jedno prethodno prazno polje.

- Sluaj degeneracije se prevazilazi tako to se u neko od praznih polja unosi

koliina od jedinica robe, gde je infinitezimalno mali broj, koji ne

naruava izraene jednakosti ponude i tranje. Obino se ova veliina unosi u

prazno polje, kojemu odgovaraju najnii transportni trokovi po jediniciprevezene robe.

67.Model asignacijeosnovne karakteristike i algoritam za reavanje modela-Osnovni zahtev koji se u okviru ovog modela postavlja jeste optimizacija

rasporeda odreenog broja izvrilaca za obavljanje odreenog broja

ekonomskih aktivnosti.

-Ukoliko pretpostavimo da m izvrilaca treba rasporediti za obavljanje n

poslova, pri emu se postavlja zahtev za odreivanje takvog rasporeda za koji

e se ostvaritiminimalni ukupni trokovi rada. Model rasporeivanja moemo

predstaviti u sledeem obliku:

ijm

i

n

j

ijxcz

1 1

min

11

m

i

ijx i=1,, m

11

n

j

ijx j=1, , n

0ij

x ili 1

ijx -predstavlja promenljivu koja pokazuje angaovanje ili ne

angaovanje j-tog izvrioca za obavljanje j-tog posla.

ijc -pokazuje trokove angaovanja j-tog radnika za obavljanje j-posla.

1ijx -i -ti radnik treba biti angaovan za obavljanje j-te aktivnosti, dok u

suprotnomsluaju ta promenljiva jednaka je nuli ( 0ijx )

* Specifinost ovako izraenog problema u odnosu na transportni sastoji se u

injenici da je ponuda svakog ishodita kao i tranja svakog odredita jednaka

jedinici. Ovo proizilazi iz injenice da je za obavljanje neke aktivnosti u

postupku rasporeivanja mogue angaovati samo jednog izvrioca, odnosno

dajedan izvrioc moe obavljati samo jednu aktivnost.

-Za odreivanje optimalnog programa rasporeivanja najee se koristi tzv.

Maarski metodkoji se zasniva na zahtevu za minimizacijom tzv.

oportunitetnih trokova, do kojih dolazi ukoliko se za obavljanje odreene

aktivnosti ne angauje najefikasniji izvrilac. Postupak optimizacije

rasporeivanja primenom ovog metoda zasniva se na korienju matrice C, iji

su elementi koeficijenti funkcije cilja.

nnnn

Documents

Skripta iz modela