Click here to load reader

Skręcanie prętów – naprężenia styczne, kąty · PDF file 2019. 2. 3. · Skręcanie prętów – naprężenia styczne, kąty obrotu 4.3 gdzie: Ms — moment skręcający, l

  • View
    4

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Skręcanie prętów – naprężenia styczne, kąty · PDF file 2019. 2....

  • Skręcanie prętów – naprężenia styczne, kąty obrotu 4

    W przypadku skręcania pręta jego obciążenie stanowią momenty skręcające iM . Na rys. 4.1a przedstawiono przykład pręta sztywno zamocowanego na lewym końcu (punkt A), obciążonego momentami skręcającymi 1M , 2M i 3M . Schemat oblicze- niowy – po uwolnieniu z więzów – ilustruje rys. 4.1b.

    Rys. 4.1

    Do wyznaczenia wartości momentu podporowego AM wykorzystujemy równanie

    równowagi statycznej – suma momentów zewnętrznych względem osi x jest równa zeru:

    0Σ =ixM (4.1)

    0321A =++− MMMM

    321A MMMM −−=

    W dowolnym przekroju poprzecznym pręta moment skręcający sM jest równy sumie momentów zewnętrznych działających po jednej stronie przekroju względem osi pręta (rys. 4.2).

    Rys. 4.2

    Dla przekroju przedstawionego na rys. 4.2, otrzymamy zatem:

    — rozwiązując od prawej strony (rys. 4.2a)

    32)( Σ MMMM ixps +== (4.2a)

  • 4.2 Wytrzymałość materiałów

    — rozwiązując od lewej strony (rys. 4.2b)

    1A1A)( )(Σ MMMMMM ixls +−=−−=−= (4.2b)

    Do obliczenia naprężeń stycznych τ wywołanych momentem skręcającym w prze- kroju kołowym (rys. 4.3), w dowolnym punkcie oddalonym od osi pręta o wielkość ρ (promień), stosujemy następującą zależność:

    ρ I Mρτ

    s

    s=)( (4.3)

    gdzie:

    sM — moment skręcający,

    sI — biegunowy moment bezwładności przekroju poprzecznego, ρ — odległość punktu od osi pręta (promień).

    Rys. 4.3

    Naprężenia styczne mają wartości proporcjonalne do wielkości promienia ρ i są do

    niego prostopadłe. Stąd wniosek, że maksymalne naprężenia styczne maxτ dla prze- kroju kołowego, wystąpią na obwodzie ( 2/dρ = ), a ich wartość możemy określić na podstawie zależności:

    s

    s W Mτ =max (4.4)

    gdzie:

    sM — moment skręcający,

    sW — wskaźnik wytrzymałości na skręcanie, określony następująco:

    maxρ IW ss = (4.5)

    Dla przekroju kołowego o średnicy d , wartości sI oraz sW są równe:

    32

    4dπIs = (4.6)

    16

    3dπWs = (4.7)

    Kąt skręcenia φ odcinka pręta wyznaczamy w oparciu o zależność:

    s

    s IG lMφ = (4.8)

  • Skręcanie prętów – naprężenia styczne, kąty obrotu 4.3

    gdzie:

    sM — moment skręcający, l — długość rozpatrywanego odcinka pręta, G — moduł Kirchhoffa (moduł sprężystości poprzecznej),

    sI — biegunowy moment bezwładności przekroju poprzecznego. Iloczyn sIG nazywamy sztywnością pręta na skręcanie.

  • 4.4 Wytrzymałość materiałów

    Zadanie 4.1. Wyznaczyć wykresy momentów skręcających sM , naprężeń stycznych τ oraz kątów

    obrotu φ dla pręta o przekroju kołowym przedstawionego na rys. 4.4. Dane: 0M , l , d , G .

    Rys. 4.4

    Rozwiązanie

    Układ uwalniamy z więzów (rys. 4.5).

    Rys. 4.5

    Moment podporowy AM wyznaczamy z równania równowagi statycznej:

    0Σ =ixM

    0000A =+++− MMMM

    0A 3MM =

    W kolejnym kroku wyznaczamy momenty skręcające sM w poszczególnych odcin- kach pręta. Zadanie rozwiążemy zarówno od prawej (rys. 4.6), jak i lewej (rys. 4.7) strony.

    Rys. 4.6

    Rys. 4.7

    Rozwiązując zadanie od prawej strony (rys. 4.6) otrzymujemy, w oparciu o zależ- ność (4.2a):

    0CD, Σ MMM ixs ==

    000BC, 2Σ MMMMM ixs =+==

    0000AB, 3Σ MMMMMM ixs =++==

  • Skręcanie prętów – naprężenia styczne, kąty obrotu 4.5

    Z kolei, rozwiązując zadanie od lewej strony (rys. 4.6) otrzymamy, zgodnie ze wzorem (4.2b):

    0AAAB, 3)(Σ MMMMM ixs ==−−=−=

    00A0ABC, 2)(Σ MMMMMMM ixs =−=+−−=−=

    000A00ACD, )(Σ MMMMMMMMM ixs =−−=++−−=−=

    Naprężenia styczne τ w poszczególnych odcinkach pręta są równe (4.4):

    ss

    s

    W M

    W M

    τ 0AB,AB 3==

    ss

    s

    W M

    W M

    τ 0BC,BC 2==

    ss

    s

    W M

    W M

    τ 0CD,CD ==

    gdzie sW jest wskaźnikiem wytrzymałości na skręcanie, równym:

    16

    3dπWs =

    Kąty obrotu przekrojów B, C i D wyznaczamy na podstawie kątów skręcenia posz- czególnych odcinków pręta – odpowiednio AB, BC i CD. Na podstawie zależności (4.8) otrzymujemy: — kąt skręcenia odcinka AB

    ss

    s

    IG lM

    IG lM

    φ 0AB,AB 3==

    — kąt skręcenia odcinka BC

    ss

    s

    IG lM

    IG lM

    φ 0BC,BC 2==

    — kąt skręcenia odcinka CD

    ss

    s

    IG lM

    IG lM

    φ 0CD,CD ==

    gdzie sI jest biegunowym momentem bezwładności przekroju poprzecznego, równym

    32

    4dπIs =

    Ostatecznie otrzymujemy: — kąt obrotu przekroju A

    0A =φ

    — kąt obrotu przekroju B

    sIG lMφφ 0ABB 3==

    — kąt obrotu przekroju C

    sss IG lM

    IG lM

    IG lMφφφ 000BCABC 523 =+=+=

  • 4.6 Wytrzymałość materiałów

    — kąt obrotu przekroju D

    ssss IG lM

    IG lM

    IG lM

    IG lMφφφφ 0000CDBCABD 623 =++=++=

    Na rys. 4.8 przedstawiono rozwiązanie zadania – wykresy momentów skręcają- cych, naprężeń stycznych oraz kątów obrotu.

    Rys. 4.8

  • Skręcanie prętów – naprężenia styczne, kąty obrotu 4.7

    Zadanie 4.2. Wyznaczyć wykresy momentów skręcających sM , naprężeń stycznych τ oraz kątów

    obrotu φ dla pręta o przekroju kołowym przedstawionego na rys. 4.9. Dane: 0M , l , d , G .

    Rys. 4.9

    Rozwiązanie

    Układ uwalniamy z więzów (rys. 4.10).

    Rys. 4.10

    Moment podporowy AM wyznaczamy z równania równowagi statycznej:

    0Σ =ixM

    025 000A =−++− MMMM

    0A 4MM =

    Wyznaczamy momenty skręcające sM w poszczególnych odcinkach pręta. Zadanie rozwiązujemy od lewej strony (rys. 4.11):

    0AAAB, 4)(Σ MMMMM ixs ==−−=−=

    00A0ABC, 5)5(Σ MMMMMMM ixs −=−=+−−=−=

    000A00ACD, 25)5(Σ MMMMMMMMM ixs −=−−=++−−=−=

    025)25(Σ 000A000ADE, =+−−=−++−−=−= MMMMMMMMMM ixs

    Rys. 4.11

    Naprężenia styczne τ w poszczególnych odcinkach pręta są równe (4.4):

    ss

    s

    W M

    W M

    τ 0AB,AB 4==

    ss

    s

    W M

    W M

    τ 0BC,BC −==

  • 4.8 Wytrzymałość materiałów

    ss

    s

    W M

    W M

    τ 0CD,CD 2−==

    0DE,DE == s

    s

    W M

    τ

    gdzie sW jest równe:

    16

    3dπWs =

    Kąty obrotu przekrojów B, C, D i E wyznaczamy na podstawie kątów skręcenia poszczególnych odcinków pręta – odpowiednio AB, BC, CD i DE. Na podstawie zależ- ności (4.8) otrzymujemy: — kąt skręcenia odcinka AB

    ss

    s

    IG lM

    IG lM

    φ 0AB,AB 4==

    — kąt skręcenia odcinka BC

    ss

    s

    IG lM

    IG lM

    φ 0BC,BC −==

    — kąt skręcenia odcinka CD

    ss

    s

    IG lM

    IG lM

    φ 0CD,CD 2−==

    — kąt skręcenia odcinka DE

    0DE,DE == s

    s

    IG lM

    φ

    gdzie sI jest równy:

    32

    4dπIs =

    Ostatecznie otrzymujemy: — kąt obrotu przekroju A

    0A =φ

    — kąt obrotu przekroju B

    sIG lMφφ 0ABB 4==

    — kąt obrotu przekroju C

    sss IG lM

    IG lM

    IG lMφφφ 000BCABC 34 =−=+=

    — kąt obrotu przekroju D

    ssss IG lM

    IG lM

    IG lM

    IG lMφφφφ 0000CDBCABD 24 =−−=++=

    — kąt obrotu przekroju E

    ssss IG lM

    IG lM

    IG lM

    IG lMφφφφφ 0000DECDBCABD 024 =+−−=+++=

  • Skręcanie prętów – naprężenia styczne, kąty obrotu 4.9

    Na rys. 4.12 przedstawiono rozwiązanie zadania – wykresy momentów skręcają- cych, naprężeń stycznych oraz kątów obrotu.

    Rys. 4.12

  • 4.10 Wytrzymałość materiałów

    Zadanie 4.3. Wyznaczyć wykresy momentów skręcających sM , naprężeń stycznych τ oraz kątów

    obrotu φ dla pręta o przekroju kołowym przedstawionego na rys. 4.13. Dane: 0M , l , d , G .

    Rys. 4.13

    Rozwiązanie

    Układ uwalniamy z więzów (rys. 4.14).

    Rys. 4.14

    Moment podporowy AM wyznaczamy z równania równowagi statycznej:

    0Σ =ixM

    0000A =+++− MMMM

    0A 3MM =

    Wyznaczamy momenty skręcające sM w poszczególnych odcinkach pręta. Zadanie rozwiązujemy od lewej strony (rys. 4.15):

    0AAAB, 3)(Σ MMMMM ixs ==−−=−=

    00A0ABC, 2)(Σ MMMMMMM ixs =−=+−−=−=

    000A00ACD, )(Σ MMMMMMMMM ixs =−−=++−−=−=

    02)(Σ 000A000ADE, =−−−=+++−−=−= MMMMMMMMMM ixs

    Rys. 4.15

    Z uwagi na różne średnice pręta w poszczególnych odcinkach, wprowadzamy

    wielkości odniesienia dla wskaźnika wyt