Upload
vominh
View
221
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
Rozciąganie i ściskanie prętów – naprężenia normalne, przemieszczenia 2
W przypadku rozciągania/ściskania pręta jego obciążenie stanowi zbiór sił czyn-nych wzdłuż osi pręta (oś x ). Na rys. 2.1a przedstawiono przykład pręta sztywno zamocowanego na lewym końcu (punkt B), obciążonego siłami 1P , 2P i 3P . Schemat obliczeniowy – po uwolnieniu z więzów – ilustruje rys. 2.1b.
Rys. 2.1
Do wyznaczenia reakcji xRB wykorzystujemy równanie równowagi statycznej –
suma rzutów sił na oś x jest równa zeru:
0Σ =ixP (2.1)
0321B =++− PPPR x
321B PPPR x −−=
W dowolnym przekroju poprzecznym pręta siła osiowa N jest równa sumie rzutów sił zewnętrznych działających po jednej stronie przekroju na kierunek styczny do osi pręta (rys. 2.2). Siła osiowa N rozciągająca jest dodatnia, natomiast ściskająca – ujemna.
Rys. 2.2
Dla przekroju przedstawionego na rys. 2.2, otrzymamy zatem:
— rozwiązując od prawej strony (rys. 2.2a)
32)( Σ PPPN ixp +== (2.2a)
2.2 Wytrzymałość materiałów
— rozwiązując od lewej strony (rys. 2.2b)
1B)( Σ PRPN xixl +−=−= (2.2b)
Naprężenia normalne σ wyznaczamy ze wzoru:
ANσ = (2.3)
gdzie: N — siła osiowa, A — pole powierzchni przekroju poprzecznego.
Wydłużenie λ odcinka pręta wyznaczamy w oparciu o zależność:
AElNλ = (2.4)
gdzie: N — siła osiowa, l — długość rozpatrywanego odcinka pręta, E — moduł Younga (moduł sprężystości podłużnej), A — pole powierzchni przekroju poprzecznego,
iloczyn AE nazywamy sztywnością pręta rozciąganego/ściskanego.
Rozciąganie i ściskanie prętów – naprężenia normalne, przemieszczenia 2.3
Zadanie 2.1. Wyznaczyć wykresy sił osiowych N , naprężeń normalnych σ oraz przemieszczeń λ
dla pręta przedstawionego na rys. 2.3. Dane: P , l , const=AE .
Rys. 2.3
Rozwiązanie
Układ uwalniamy z więzów (rys. 2.4).
Rys. 2.4
Reakcję xRB wyznaczamy z równania równowagi statycznej:
0Σ =ixP
03B =++− PPR x
PR x 4B =
W kolejnym kroku wyznaczamy siły osiowe N w poszczególnych odcinkach pręta. Zadanie rozwiążemy zarówno od prawej (rys. 2.5), jak i lewej (rys. 2.6) strony.
Rys. 2.5
Rys. 2.6
Rozwiązując zadanie od prawej strony (rys. 2.5) otrzymujemy, w oparciu o zależ-
ność (2.2a):
PPN ix == ΣCD
PPPPN ix 43ΣBC =+==
Z kolei, rozwiązując zadanie od lewej strony (rys. 2.6) otrzymamy, zgodnie ze wzorem (2.2b):
PRRPN xxix 4)(Σ BBBC ==−−=−=
PPPPRPRPN xxix =−=−=+−−=−= 43)3(Σ BBCD
2.4 Wytrzymałość materiałów
Naprężenia normalne σ w poszczególnych odcinkach pręta są równe (2.3):
AP
ANσ 4BC
BC ==
AP
ANσ == CD
CD
Przemieszczenia przekrojów C i D wyznaczamy na podstawie wydłużenia poszcze-gólnych odcinków pręta – odpowiednio BD i CD. Na podstawie zależności (2.4) otrzy-mujemy: — wydłużenie odcinka BC
AElP
AElNλ 4BC
BC ==
— wydłużenie odcinka CD
AElP
AElNλ == CD
CD
Ostatecznie otrzymujemy: — przemieszczenie przekroju B
0B =λ
— przemieszczenie przekroju C
AElPλλ 4BCC ==
— przemieszczenie przekroju D
AElP
AElP
AElPλλλ 54CDBCD =+=+=
Na rys. 2.7 przedstawiono rozwiązaniezadania – wykresy sił osiowych, naprężeńnormalnych oraz przemieszczeń.
Rys. 2.7
Rozciąganie i ściskanie prętów – naprężenia normalne, przemieszczenia 2.5
Zadanie 2.2. Wyznaczyć wykresy sił osiowych N , naprężeń normalnych σ oraz przemieszczeń λ
dla pręta przedstawionego na rys. 2.8. Dane: P , l , A , E .
Rys. 2.8
Rozwiązanie
Układ uwalniamy z więzów (rys. 2.9).
Rys. 2.9
Reakcję xRB wyznaczamy z równania równowagi statycznej:
0Σ =ixP
03B =++− PPR x
PR x 4B =
Wyznaczamy siły osiowe N w poszczególnych odcinkach pręta. Rozwiązując zada-nie od prawej strony (rys. 2.10) otrzymujemy, w oparciu o zależność (2.2a):
PPN ix == ΣCD
PPPPN ix 43ΣBC =+==
Rys. 2.10
Naprężenia normalne σ w poszczególnych odcinkach pręta są równe (2.3):
AP
ANσ 22
BCBC ==
AP
ANσ == CD
CD
Przemieszczenia przekrojów C i D wyznaczamy na podstawie wydłużenia poszcze-gólnych odcinków pręta – odpowiednio BD i CD. Na podstawie zależności (2.4) otrzy-mujemy: — wydłużenie odcinka BC
AElP
AElNλ 2
2BC
BC =⋅
=
2.6 Wytrzymałość materiałów
— wydłużenie odcinka CD
AElP
AElNλ == CD
CD
Ostatecznie otrzymujemy: — przemieszczenie przekroju B
0B =λ
— przemieszczenie przekroju C
AElPλλ 2BCC ==
— przemieszczenie przekroju D
AElP
AElP
AElPλλλ 32CDBCD =+=+=
Na rys. 2.11 przedstawiono rozwiązaniezadania – wykresy sił osiowych, naprężeńnormalnych oraz przemieszczeń.
Rys. 2.11
Rozciąganie i ściskanie prętów – naprężenia normalne, przemieszczenia 2.7
Zadanie 2.3. Wyznaczyć wykresy sił osiowych N , naprężeń normalnych σ oraz przemieszczeń λ
dla pręta przedstawionego na rys. 2.12. Dane: P , l , const=AE .
Rys. 2.12
Rozwiązanie
Układ uwalniamy z więzów (rys. 2.13).
Rys. 2.13
Równanie równowagi statycznej na postać:
0Σ =ixP
0DB =+−− PRR xx
PRR xx =+ DB
Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny – dwie niewiadome xRB , xRD i jedno równanie równowagi. Dodatkowe równanie wynika z warunku geometrycz-nego – przemieszczenie końca D jest równe zeru, co zapiszemy następująco:
0CDBCD =+= λλλ
Wyznaczamy siły osiowe N w poszczególnych odcinkach pręta. Rozwiązując zada-nie od lewej strony (rys. 2.14) otrzymujemy, w oparciu o zależność (2.2b):
xix RPN BBC Σ =−=
PRPN xix −=−= BCD Σ
Rys. 2.14
Wydłużenia poszczególnych odcinków pręta są równe:
AElR
AElNλ xB
BCBC ==
AElPR
AElNλ x )( B
CDCD −==
Podstawiając wyznaczone wydłużenia do dodatkowego warunku geometrycznego wyznaczamy wartość reakcji xRB :
2.8 Wytrzymałość materiałów
EAl
AElPR
AElR xx :0)( BB =−+
0BB =−+ PRR xx
PR x =B2
2BPR x =
Wartość reakcji xRD wyznaczamy przekształcając równanie równowagi statycznej:
22BDPPPRPR xx =−=−=
Podstawiając wartości reakcji wyznaczamy siły osiowe N :
2BCPN =
2CDPN −=
naprężenia normalne σ :
AP
ANσ
21BC
BC ==
AP
ANσ
21CD
CD −==
oraz wydłużenia poszczególnych odcinkówpręta:
AElP
AElPλ
21
2BC ==
AElP
AElPPλ
21
2CD −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
Na rys. 2.15 przedstawiono rozwiązanie zadania – wykresy sił osiowych, naprężeńnormalnych oraz przemieszczeń.
Rys. 2.15
Rozciąganie i ściskanie prętów – naprężenia normalne, przemieszczenia 2.9
Zadanie 2.4. Wyznaczyć wykresy sił osiowych N , naprężeń normalnych σ oraz przemieszczeń λ
dla pręta przedstawionego na rys. 2.16. Dane: P , l , A , E .
Rys. 2.16
Rozwiązanie
Układ uwalniamy z więzów (rys. 2.17).
Rys. 2.17
Równanie równowagi statycznej na postać:
0Σ =ixP
0DB =+−− PRR xx
PRR xx =+ DB
Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny – dwie niewiadome xRB , xRD i jedno równanie równowagi. Dodatkowe równanie wynika z warunku geometrycz-nego – przemieszczenie końca D jest równe zeru, co zapiszemy następująco:
0CDBCD =+= λλλ
Wyznaczamy siły osiowe N w poszczególnych odcinkach pręta. Rozwiązując zada-nie od lewej strony (rys. 2.18) otrzymujemy, w oparciu o zależność (2.2b):
xix RPN BBC Σ =−=
PRPN xix −=−= BCD Σ
Rys. 2.18
Wydłużenia poszczególnych odcinków pręta są równe:
AElR
AElNλ xB
BCBC 2
12
=⋅
=
AElPR
AElNλ x )( B
CDCD −==
Podstawiając wyznaczone wydłużenia do dodatkowego warunku geometrycznego wyznaczamy wartość reakcji xRB :
2.10 Wytrzymałość materiałów
EAl
AElPR
AElR xx :0)(
21
BB =−+
021
BB =−+ PRR xx
PR x =B23
PR x 32
B =
Wartość reakcji xRD wyznaczamy przekształcając równanie równowagi statycznej:
PPPRPR xx 31
32
BD =−=−=
Podstawiając wartości reakcji wyznaczamy siły osiowe N :
PN32
BC =
PN31
CD −=
naprężenia normalne σ :
AP
ANσ
31
2BC
BC ==
AP
ANσ
31CD
CD −==
oraz wydłużenia poszczególnych odcinkówpręta:
AElP
AElPλ
31
232
BC =⋅
=
AElP
AElPPλ
31
32
CD −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
Na rys. 2.19 przedstawiono rozwiązaniezadania – wykresy sił osiowych, naprężeńnormalnych oraz przemieszczeń.
Rys. 2.19
Rozciąganie i ściskanie prętów – naprężenia normalne, przemieszczenia 2.11
Zadanie 2.5. Wyznaczyć wykresy sił osiowych N , naprężeń normalnych σ oraz przemieszczeń λ
dla pręta przedstawionego na rys. 2.20. Dane: P , l , const=AE .
Rys. 2.20
Rozwiązanie
Układ uwalniamy z więzów (rys. 2.21).
Rys. 2.21
Reakcję xRB wyznaczamy z równania równowagi statycznej:
0Σ =ixP
023B =+−+− PPPR x
PR x 4B =
Wyznaczamy siły osiowe N w poszczególnych odcinkach pręta. Rozwiązując zada-nie od lewej strony (rys. 2.22) otrzymujemy, w oparciu o zależność (2.2b):
PRPN xix 4Σ BBC ==−=
PPRPN xix =−=−= 3Σ BCD
PPPRPN xix 23Σ BDF =+−=−=
Rys. 2.22
Naprężenia normalne σ w poszczególnych odcinkach pręta są równe (2.3):
AP
ANσ 4BC
BC ==
AP
ANσ == CD
CD
AP
ANσ 2DF
DF ==
2.12 Wytrzymałość materiałów
Przemieszczenia przekrojów C, D i F wyznaczamy na podstawie wydłużenia poszczególnych odcinków pręta – odpowiednio BD, CD i DF. Na podstawie zależ-ności (2.4) otrzymujemy: — wydłużenie odcinka BC
AElP
AElNλ 4BC
BC ==
— wydłużenie odcinka CD
AElP
AElNλ 22CD
CD =⋅
=
— wydłużenie odcinka DF
AElP
AElNλ 2DF
DF ==
Ostatecznie otrzymujemy: — przemieszczenie przekroju B
0B =λ
— przemieszczenie przekroju C
AElPλλ 4BCC ==
— przemieszczenie przekroju D
AElP
AElP
AElPλλλ 624CDBCD =+=+=
— przemieszczenie przekroju F
AElP
AElP
AElP
AElPλλλλ 8224DFCDBCF =++=++=
Na rys. 2.23 przedstawiono rozwiązanie zadania – wykresy sił osiowych, naprężeń normalnych oraz przemieszczeń.
Rozciąganie i ściskanie prętów – naprężenia normalne, przemieszczenia 2.13
Rys. 2.23
2.14 Wytrzymałość materiałów
Zadanie 2.6. Wyznaczyć wykresy sił osiowych N , naprężeń normalnych σ oraz przemieszczeń λ
dla pręta przedstawionego na rys. 2.24. Dane: P , l , const=AE .
Rys. 2.24
Rozwiązanie
Układ uwalniamy z więzów (rys. 2.25).
Rys. 2.25
Równanie równowagi statycznej na postać:
0Σ =ixP
03FB =++−− PPRR xx
PRR xx 4FB =+
Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny – dwie niewiadome xRB , xRF i jedno równanie równowagi. Dodatkowe równanie wynika z warunku geometrycz-nego – przemieszczenie końca F jest równe zeru, co zapiszemy następująco:
0DFCDBCD =++= λλλλ
Wyznaczamy siły osiowe N w poszczególnych odcinkach pręta. Rozwiązując zada-nie od lewej strony (rys. 2.26) otrzymujemy, w oparciu o zależność (2.2b):
xix RPN BBC Σ =−=
PRPN xix 3Σ BCD −=−=
PRPPRPN xxix 43Σ BBDF −=−−=−=
Rys. 2.26
Wydłużenia poszczególnych odcinków pręta są równe:
AElR
AElNλ xB
BCBC ==
Rozciąganie i ściskanie prętów – naprężenia normalne, przemieszczenia 2.15
AElPR
AElNλ x )3(22
BCD
CD −=⋅
=
AElPR
AElNλ x )4( B
DFDF −=
⋅=
Podstawiając wyznaczone wydłużenia do dodatkowego warunku geometrycznego wyznaczamy wartość reakcji xRB :
EAl
AElPR
AElPR
AElR xxx :0)4()3(2 BBB =−+−+
0462 BBB =−+−+ PRPRR xxx
PR x 104 B =
PR x 25
B =
Wartość reakcji xRF wyznaczamy przekształcając równanie równowagi statycznej:
PPPRPR xx 23
2544 BF =−=−=
Podstawiając wartości reakcji wyznaczamy siły osiowe N :
PN25
BC =
PPPN213
25
CD −=−=
PPPN234
25
DF −=−=
naprężenia normalne σ :
AP
ANσ
25BC
BC ==
AP
ANσ
21CD
CD −==
AP
ANσ
23DF
DF −==
oraz wydłużenia poszczególnych odcinków pręta:
AElPλ
25
BC =
AElP
AElPPλ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 3252CD
AElP
AElPPλ
234
25
DF −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
Przemieszczenia poszczególnych przekrojów pręta są równe: — przemieszczenie przekroju B
0B =λ
2.16 Wytrzymałość materiałów
— przemieszczenie przekroju C
AElPλλ
25
BCC ==
— przemieszczenie przekroju D
AElP
AElP
AElPλλλ
23
25
CDBCD =−=+=
— przemieszczenie przekroju F
023
25
DFCDBCF =−−=++=AElP
AElP
AElPλλλλ
Na rys. 2.27 przedstawiono rozwiązanie zadania – wykresy sił osiowych, naprężeń normalnych oraz przemieszczeń.
Rys. 2.27
Rozciąganie i ściskanie prętów – naprężenia normalne, przemieszczenia 2.17
Zadanie 2.7. Wyznaczyć wykresy sił osiowych N , naprężeń normalnych σ oraz przemieszczeń λ
dla pręta przedstawionego na rys. 2.28. Dane: P , l , A , E .
Rys. 2.28
Rozwiązanie
Układ uwalniamy z więzów (rys. 2.29).
Rys. 2.29
Reakcję xRG wyznaczamy z równania równowagi statycznej:
0Σ =ixP
052G =+−−− PPPR x
PR x 2G =
Wyznaczamy siły osiowe N w poszczególnych odcinkach pręta. Rozwiązując zada-nie od prawej strony (rys. 2.30) otrzymujemy, w oparciu o zależność (2.2a):
PRPN xix 2Σ GFG −=−==
PPRPNN xix 35Σ BDFCD =+−===
PPPRPN xix =−+−== 25Σ BBC
Rys. 2.30
Naprężenia normalne σ w poszczególnych odcinkach pręta są równe (2.3):
AP
ANσ == BC
BC
AP
ANσ 3CD
CD ==
2.18 Wytrzymałość materiałów
AP
ANσ
23
2DF
DF ==
AP
ANσ
32
3FG
FG −==
Przemieszczenia przekrojów B, C, D i F wyznaczamy na podstawie wydłużenia poszczególnych odcinków pręta. Na podstawie zależności (2.4) otrzymujemy: — wydłużenie odcinka BC
AElP
AElNλ == BC
BC
— wydłużenie odcinka CD
AElP
AElNλ 3CD
CD ==
— wydłużenie odcinka DF
AElP
AElNλ
23
2DF
DF =⋅
=
— wydłużenie odcinka FG
AElP
AElNλ
32
3FG
FG −=⋅
=
Ostatecznie otrzymujemy: — przemieszczenie przekroju B
AElP
AElP
AElP
AElP
AElPλλλλλ
629
32
233FGDFCDBCB =−++=+++=
— przemieszczenie przekroju C
AElP
AElP
AElP
AElPλλλλ
623
32
233FGDFCDC =−+=++=
— przemieszczenie przekroju D
AElP
AElP
AElPλλλ
65
32
23
FGDFD =−=+=
— przemieszczenie przekroju F
AElPλλ
32
FGF −==
— przemieszczenie przekroju G
0G =λ
Na rys. 2.31 przedstawiono rozwiązanie zadania – wykresy sił osiowych, naprężeń normalnych oraz przemieszczeń.
Rozciąganie i ściskanie prętów – naprężenia normalne, przemieszczenia 2.19
Rys. 2.31
2.20 Wytrzymałość materiałów
Zadanie 2.8. Sztywny pręt poziomy jest zawieszony, jak na rys. 2.32. Wyznaczyć wydłużenia/
skrócenia wiotkich prętów 1 i 2 oraz narysować wykres przemieszczeń pionowych pręta sztywnego. Dane: P , l , A , E , b .
Rys. 2.32
Rozwiązanie
Układ uwalniamy z więzów (rys. 2.33).
Rys. 2.33
Siły osiowe 1N i 2N , którymi rozciągane są wiotkie pręty 1 i 2, wyznaczymy
z równań równowagi statycznej dla sztywnego pręta BD:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
0Σ
0Σ
Bi
iy
M
P
⎩⎨⎧
=⋅−⋅
=+−−
0340
2
21
bPbNPNN
PN43
2 =
PPPNPN41
43
21 =−=−=
Wydłużenia prętów 1 i 2, a w konsekwencji pionowe przemieszczenia punktów B i D są równe:
AElP
AElNλy
81
21
1B =⋅
==
AElP
AElNλy
432
2D ===
Na rys. 2.34 przedstawiono wykres przemieszczeń pionowych sztywnego pręta BD. Przemieszczenie punktu C możemy wyznaczyć z twierdzenia Talesa:
Rozciąganie i ściskanie prętów – naprężenia normalne, przemieszczenia 2.21
BDBCBDBC yyyy −
=−
AElP
AElPyyyy
3219
81
81
43
43)(
BDBC
BBDC =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=+−=
Rys. 2.34
2.22 Wytrzymałość materiałów
Zadanie 2.9. Sztywny pręt poziomy jest zawieszony, jak na rys. 2.35. Wyznaczyć wydłużenia/
skrócenia wiotkich prętów 1 i 2 oraz narysować wykres przemieszczeń pionowych pręta sztywnego. Dane: P , l , const=AE , b .
Rys. 2.35
Rozwiązanie
Układ uwalniamy z więzów (rys. 2.36).
Rys. 2.36
Siły osiowe 1N i 2N , którymi rozciągane/ściskane są pręty 1 i 2, wyznaczymy
z równań równowagi statycznej dla sztywnego pręta BD:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
0Σ
0Σ
Bi
iy
M
P
⎩⎨⎧
=⋅−⋅
=+−
0320
2
21
bPbNPNN
PN23
2 =
PPPPNN21
23
21 =−=−=
Wydłużenia/skrócenia prętów 1 i 2, a w konsekwencji pionowe przemieszczenia punktów B i C są równe:
AElP
AElNλy
211
1B −=−=−= (pręt ściskany)
AElP
AElNλy
232
2C === (pręt rozciągany)
Na rys. 2.37 przedstawiono wykres przemieszczeń pionowych sztywnego pręta BD. Przemieszczenie punktu D możemy wyznaczyć z twierdzenia Talesa:
BCBDBCBD yyyy −
=−
Rozciąganie i ściskanie prętów – naprężenia normalne, przemieszczenia 2.23
AElP
AElPyyyy
25
21
21
23
23)(
BCBD
BBCD =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+−=
Rys. 2.37
2.24 Wytrzymałość materiałów
Zadanie 2.10. Sztywny pręt poziomy jest zawieszony, jak na rys. 2.38. Wyznaczyć wydłużenia/
skrócenia wiotkich prętów 1 i 2 oraz narysować wykres przemieszczeń pionowych pręta sztywnego. Dane: P , l , A , E , b .
Rys. 2.38
Rozwiązanie
Układ uwalniamy z więzów (rys. 2.39).
Rys. 2.39
Siły osiowe 1N i 2N , którymi rozciągane/ściskane są pręty 1 i 2, wyznaczymy
z równań równowagi statycznej dla sztywnego pręta BD:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
0Σ
0Σ
Di
iy
M
P
⎩⎨⎧
=⋅+⋅−
=++−
020
1
21
bPbNPNN
PN 21 =
PPPPNN =−=−= 212
Wydłużenia/skrócenia prętów 1 i 2, a w konsekwencji pionowe przemieszczenia punktów C i D są równe:
AElP
AElNλy =
⋅==
21
1C (pręt rozciągany)
AElP
AElNλy 2
222D −=
⋅−=−= (pręt ściskany)
Rozciąganie i ściskanie prętów – naprężenia normalne, przemieszczenia 2.25
Na rys. 2.40 przedstawiono wykres przemieszczeń pionowych sztywnego pręta BD. Przemieszczenie punktu B możemy wyznaczyć z twierdzenia Talesa:
CDBDDCDB yyyy −
=−
AElP
AElPyyyy 42)21(
12)(
CDBD
DDCB =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+=+−=
Rys. 2.40
2.26 Wytrzymałość materiałów
Zadanie 2.11. Sztywny pręt poziomy jest oparty, jak na rys. 2.41. Wyznaczyć wydłużenia/
skrócenia wiotkich prętów 1 i 2 oraz narysować wykres przemieszczeń pionowych pręta sztywnego. Dane: P , l , const=AE , b .
Rys. 2.41
Rozwiązanie
Układ uwalniamy z więzów (rys. 2.42).
Rys. 2.42
Równania równowagi statycznej dla sztywnego pręta BF są następujące:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
0Σ
0Σ
Ci
iy
M
P
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⋅−⋅+⋅
=−++−
02
0
21
C21
bPbNbN
PRNN y
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
−=−−
PNN
PRNN y
21
C21
2
Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny – trzy niewiadome 1N , 2N ,
yRC i dwa równania. Dodatkowe równanie wynika z warunku geometrycznego, wiążącego pionowe przemieszczenia punktów B i F (rys. 2.43):
bb 2FF'BB'
= FF'21BB'=
Rys. 2.43
Rozciąganie i ściskanie prętów – naprężenia normalne, przemieszczenia 2.27
Wydłużenia/skrócenia prętów 1 i 2 powiązane są zatem zależnością:
21 21 λλ =
na podstawie której możemy napisać trzecie brakujące równanie:
AElN
AElN 21
21
=
21 21 NN =
Wyznaczamy niewiadome 1N , 2N , yRC :
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
=+
−=−−
21
21
C21
212
NN
PNN
PRNN y
PN51
1 =
PN52
2 =
PPPPPNNR y 54
52
51
21C =+−=+−=
Podstawiamy wyznaczone wartości sił osiowych 1N , 2N i wyznaczamy wydłuże-nia/skrócenia prętów 1 i 2 oraz przemieszczenia punktów B i F:
AElP
AElNλy
511
1B ===
AElP
AElNλy
522
2F −=−=−=
Na rys. 2.44 przedstawiono wykres przemieszczeń pionowych sztywnego pręta BF. Przemieszczenie punktu D możemy wyznaczyć z twierdzenia Talesa:
CFCDFD yy
=
AElP
AElPyy
51
52
21
CFCD
FD −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−==
Rys. 2.44
2.28 Wytrzymałość materiałów
Zadanie 2.12. Sztywny pręt poziomy jest oparty, jak na rys. 2.45. Wyznaczyć wydłużenia/
skrócenia wiotkich prętów 1 i 2 oraz narysować wykres przemieszczeń pionowych pręta sztywnego. Dane: P , l , A , E , b .
Rys. 2.45
Rozwiązanie
Układ uwalniamy z więzów (rys. 2.46).
Rys. 2.46
Równania równowagi statycznej dla sztywnego pręta BF są następujące:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
0Σ
0Σ
Bi
iy
M
P
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⋅−⋅+⋅
=++−−
043
0
21
B21
bPbNbN
PRNN y
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=−+
PNN
PRNN y
43 21
B21
Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny – trzy niewiadome 1N , 2N ,
yRB i dwa równania. Dodatkowe równanie wynika z warunku geometrycznego, wiążącego pionowe przemieszczenia punktów C i D (rys. 2.47):
Rozciąganie i ściskanie prętów – naprężenia normalne, przemieszczenia 2.29
Rys. 2.47
bb 3DD'CC'
= DD'31CC'=
Oba pręty są ściskane, a ich skrócenia powiązane są zależnością:
21 31 λλ =
na podstawie której możemy napisać trzecie brakujące równanie:
AElN
AElN 2
31
221 ⋅
=⋅
21 34 NN =
Wyznaczamy niewiadome 1N , 2N , yRB :
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
=+
=−+
21
21
B21
34
43
NN
PNN
PRNN y
PN1316
1 =
PN1312
2 =
PPPPPNNR y 1315
1312
1316
21B =−+=−+=
Podstawiamy wyznaczone wartości sił osiowych 1N , 2N i wyznaczamy skrócenia prętów 1 i 2 oraz przemieszczenia punktów C i D:
AElP
AElNλy
138
21
1C =⋅
==
AElP
AElNλy
132422
2D =⋅
==
Na rys. 2.48 przedstawiono wykres przemieszczeń pionowych sztywnego pręta BF. Przemieszczenie punktu F możemy wyznaczyć z twierdzenia Talesa:
BCBFCF yy
=
AElP
AElPyy
1332
138
14
BCBF
CF =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
2.30 Wytrzymałość materiałów
Rys. 2.48