Naprężenia i odkształcenia Stress & strainhome.agh.edu.pl/cala/prezentacje/3wyklad_ZG.pdf · 2004. 11. 15. · Naprężenia i odkształcenia Marek Cała – Katedra Geomechaniki,

Naprężenia i odkształceniaStress & strain

Marek Cała – Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki

Naprężenia i odkształcenia


ll

lll ∆

=−

=0

0ε

Simplifying assumptions:

1. Soil is continuous

2. Soil is homogeneous

3. Soil is isotropic

A continuous body subjected to a system of external forces

Normal strain definition

Naprężenia i odkształceniaShear strain definition Poison’s ratio definition


z

r

εεν −=

Gzx

zxτγ =

Naprężenia i odkształceniaStates of strains



Stress definition

i

j

Aij AF

i ∆

∆=

→0limσ

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij

στττστττσ

σ


Stress tensor

Naprężenia i odkształceniaNaprężenie jest to graniczna wartość stosunku siły działającej na nieskończenie mały

element pola przekroju ciała do wymiaru tego pola:

F

F

Przekrój ciała sztywnego.

AF

A ∆∆

=→∆ 0

limσgdzie: σ - naprężenie

F - siła

A - pole przekroju



i

j

Aij AF

i ∆

∆=

→0limσ


Naprężenia i odkształceniaThe state of stress at a point according to a “reference coordinate” is (9 components)

zyyzyz

zxxzxz

yxxyxy

yyy

xxx

ττσσττσσ

ττσσ

σσσσσσ

−===−===

−===

====

23

13

12

22

11



States of stress

Axisymmetric



Normal stresses and strainsxzP

yzP

xyP y

yx

xz

z === σσσ ,,

yy

xx

zz

yxz∆

−=∆

−=∆

−= εεε ,,


Naprężenia i odkształceniaVolumetric strain

Assume the initial volume is V0 = 1, so the final volume is:

)(

1)1)(1)(1(

1

)1)(1)(1(

00

0

0

strainssmall

VV

VVV

VV

V

zyx

zyxzyzxyxzyx

zyxp

ffp

zyxf

εεε

εεεεεεεεεεεε

εεεε

ε

εεε

++≈

++++++=

−+++=

−=−

=∆

=

+++=

zyxp εεεε ++=



Hooke’s law

εσ ⋅= E

( )ν+=

12EG

Shear modulus

Bulk modulus

( )ν213 −=

EK


KGGK

6223

+−

=ν

Naprężenia i odkształceniaHooke’s law in 3D

++

+−−

−−−−

=

zx

yz

xy

z

y

x

zx

yz

xy

z

y

x

E

τττσσσ

νν

ννν

νννν

γγγεεε

)1(2000000)1(2000000)1(2000000100010001

1

( )( )

( )( )

( )( )xyzz

zxyy

zyxx

E

E

E

σσνσε

σσνσε

σσνσε

+−=

+−=

+−=

1

1

1

G

G

G

yzyz

xzxz

xyxy

τγ

τγ

τγ

=

=

=


Naprężenia i odkształceniaElastic materials obey the principle of superposition.

The applied loading order is not important and the equilibrium strain is the same.

εσ

=Eγτ

=G


Naprężenia i odkształceniaSoils are elastoplastic materials actually,

(elastic deformation + plastic deformation)


Vertical stress

Naprężenia i odkształceniaHorizontal stress

iiv hγσ =


Kvh ⋅= σσ

K – lateral earth pressure coefficient

Naprężenia i odkształceniaNaprężenie pierwotne lub geostatyczne σγz to naprężenie istniejące w gruncie od ciężaru wyżej leżących warstw. Zgodnie z zasadą superpozycji naprężeniecałkowite σz w gruncie jest sumą naprężenia pierwotnego σγz i naprężenia odobciążenia zewnętrznego σqz:

qzzz σσσ γ +=W przypadku przyłożenia obciążenia nie na powierzchni półprzestrzeni, lecz na pewnej głębokości po wykonaniu wykopu, naprężenie całkowite σz w dowolnym punkcie wyznacza się jako sumę naprężenia pierwotnego geostatycznego σγzzmniejszonego o odciążenie wykopem ∆σγz:

( ) qzzzz σσσσ γγ +∆−=Wartość poziomej składowej naprężenia geostatycznego σγx oblicza się ze wzoru:


z0yx K γγγ σ=σ=σgdzie: K0 - współczynnik parcia bocznego w spoczynku,

σγz - pionowa składowa naprężenia pierwotnego.


σγz

σγy

σγx

σγx

σγy

σγz

σγz = γzσγx = σγy = K0σγz

Składowe naprężenia pierwotnego.

Wartość współczynnika K0 zależy od rodzaju gruntu i historii jego naprężenia i zmienia się w zakresie 0.2 ÷ 0.6 dla gruntów normalnie skonsolidowanych i 0.8 ÷ 2.0 dla gruntów prekonsolidowanych.


( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

5

2

325

5

2

5

3

23

2

2

22

5

2

23

2

2

22

5

2

23

222132

23

23

2132

2132

RyzP

RzRxyR

RxyzP

RxzP

RzP

rRzx

zRRrxy

RzyP

rRzy

zRRryx

RzxP

yzzy

yxxy

xzzx

z

y

x

πττ

νπ

ττ

πττ

πσ

νπ

σ

νπ

σ

=−=

+

+−−=−=

=−=

=

+

+−

−−=

+

+−

−−=

222

22

zyxR

yxr

++=

+=


P

y

r

z

R

rx

z

σx

σz

σy

τzyτzx

τyz

τyx

τxy

τxz

Boussinesq solution


Naprężenia i odkształceniaPrzykład: Znaleźć naprężenia w gruncie wywołane przyłożeniem siły skupionej równej P = 50 kN w punkcie o współrzędnych x = 3m, y = 0m, z = 4m; ν=0.3.


( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

023

0222132

367.023

49.023

031.02132

266.02132

5

2

325

5

2

5

3

23

2

2

22

5

2

23

2

2

22

5

2

==−=

=

+

+−−=−=

==−=

==

−=

+

+−

−−=

=

+

+−

−−=

RyzP

RzRxyR

RxyzP

kPaR

xzP

kPaRzP

kParRzx

zRRrxy

RzyP

kParRzy

zRRryx

RzxP

yzzy

yxxy

xzzx

z

y

x

πττ

νπ

ττ

πττ

πσ

νπ

σ

νπ

σ

5

3222

22

=++=

=+=

zyxR

yxr

Flamant’s solution – extension to line loads


Naprężenia i odkształceniaP

222

3

)(2

zxPz

z +=

πσ 222

2

)(2

zxzPx

x +=

πσ

)(2

22 zxP

y +=

πνσ

222

2

)(2

zxxzP

xz +⋅=

πτ

A strip load is the load transmitted by a structure of finite width and infinite length on a soil surface. The increase in stresses due to a surface stress qs(force/area) is as follows:

[ ]

[ ]

[ ])2sin(sin

)2cos(sin

)2cos(sin

βααπ

τ

βαααπ

σ

βαααπ

σ

+⋅=

+−=

++=

szx

sx

sz

q

q

q

−+=

+−=

−=

αβπ

τ

βαπ

σ

βαπ

σ

Bzq

RR

Bz

Bxq

Bxq

szx

sx

sz

22cos12

2sin21ln

2sin21

22

21



B

L

+

−=

−

+

LB

LBz

zB

q

84.06.2

62.038.1

21

11σ

Simplified solution for rectangular loaded areas beneath the centre of the loaded area

bearingpressure q

Naprężenia i odkształceniaMetoda punktów narożnych umożliwia wyznaczanie naprężenia pionowego oraz sumy naprężeń głównych pod narożem prostokątnego obciążonego obszaru według wzorów:

( )( )( ) nzn q

zBLzLBarctg

zBLzBzLzBLLBzq ησ =

+++

++++

++=

2222222222

222 22

gdzie:ηn - współczynnik wyznaczany z nomogramu w zależności od

stosunku L/B (długość obszaru obciążonego do jego szerokości) oraz od stosunku z/B (zagłębienie punktu poniżej powierzchni do szerokości),

q - obciążenie ciągłe.



z/B

ηn

10,0

8,0

6,0

4,0

2,0

0 0,05 0,1500,100 0,200 0,250

Nomogram do wyznaczania współczynnika ηn

A B

CD

ME

F

G

H

A

MGH

D

B E

FC

( ) qMGCHn

EMHDn

FBGMn

AFMEnzq ⋅+++= ηηηησ

( ) qCFMGn

DFMHn

BEMGn

AEMHnzq ⋅+−−= ηηηησ

a)

b)

Zastosowanie metody punktów narożnych do obliczania naprężeń w dowolnym punkcie podłoża.

naroże wewnątrz obciążonego obszaru

naroże na zewnątrz obciążonego obszaru.


Naprężenia i odkształceniaMetodą punktów środkowych można wyznaczyć naprężenie pionowe pod środkiem prostokątnego obszaru obciążonego, posługując się wzorem:

z/B

η0

5,0

4,0

3,0

2,0

1,0

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 qz 0ησ =Wartość σz można również wyznaczyć, stosując superpozycję naprężeń pod wspólnym narożem czterech obciążonych prostokątów o bokach L/2 i B/2.

Nomogram do wyznaczania współczynnika η0.


Naprężenia i odkształceniaRozkład Naprężenia Pod Fundamentami Sztywnymi

S1 S2

S2>S1

q1

qmax

ZZ

przy qmaxRzeczywistyrozkład naprężeń

Teoretycznyrozkład naprężeń

w początkowym okresie obciążenia przy obciążeniu granicznymRozkład naprężenia pionowego w poziomie posadowienia absolutnie sztywnego fundamentu

Teoretyczny rozkład naprężenia w poziomie posadowienia wyznacza się ze wzoru


2

2

12r

qρ

σ−

=gdzie:

ρ - odległość rozpatrywanego punktu odśrodka fundamentu,

r - promień podstawy fundamentu

Naprężenia i odkształceniaNaprężenia pionowe na głębokości z (poniżej poziomu posadowienia) wyznacza się jako naprężenia średnie (całkowe) w obrębie prostokąta znajdującego się pod obszarem obciążanym wg wzoru:

szs qησ =

gdzie: ηs- współczynnik rozkładu naprężeniaq

L

z

σz

σzs


Rozkład naprężenia σz i naprężenie średnie σzs na głębokości z pod obszarem prostokątnym obciążonym równomiernie


z/B

ηs

5,0

4,0

3,0

2,0

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0


Nomogram do wyznaczania współczynnika η

Naprężenia i odkształceniaSimplified solution for square loaded areasbeneath the centre of the loaded area

bearingpressure qB

B

+

−=

76.1

2

21

11

zB

qzσ

bearingpressure q

Simplified solution for circular loaded areasbeneath the centre of the loaded area B - diameter

+

−=

50.1

2

21

11

zB

qzσ


Simplified solution for continuous loaded areas (strip loads) of width B and infinite length beneath the centre of the loaded area


+

−=

6.2

38.1

21

11

zB

qzσ


In preliminary analyses of vertical stress increase under the center of rectangular loads, geotechnical engineers often use an approximate method (sometimes called the 2:1 method). The vertical stress increase under the center of the load is:

))(( zLzBBLqs

z ++=σ The approximate method is reasonably

accurate (compared with Boussinesq’s elastic solution) when z > B

Naprężenia i odkształceniaChart solutions for rectangular and circular loaded area - pressure bulbs (stress bulbs).


Naprężenia i odkształceniaRozkład naprężenia w gruncie od działania obciążenia ciągłegoZastosowanie superpozycji do wyznaczania naprężenia od obciążenia ciągłego.

Obszar obciążony dzieli się na mniejsze elementy, w środku elementów przykłada się zastępcze siły skupione.

P

P

L=mLi

B=nBi P=qLiBiz

r

R

σz

Wartość naprężenia pionowego normalnego w dowolnym punkcie ośrodka gruntowego obciążonego wyznacza się na podstawie wzoru Boussinesqa:

25

22 12

3

+

=

zrz

Pz

π

σ


Naprężenia i odkształceniaWyznaczanie naprężenia pod narożem prostokątnego obszaru obciążonego


dσz

dPy

x

M

0

B

z

r

Ldy

dx

Na danym obszarze A wydziela sięnieskończenie mały element o polu dA = dx dy;elementarna siła dP = qdA wywołuje w rozpatrywanym punkcie M na głębokości zponiżej powierzchni półprzestrzeni elementarne naprężenie:

25

22 12

3

+

=

zrz

dPd z

π

σ

Naprężenie pionowe w rozpatrywanym punkcie M od obciążenia ciągłego działającego wobszarze A wynosi:

∫ ∫

++

=L B

z

zyxz

qdxdy

0 02

222

25

12

3

π

σ

Wyznaczanie naprężeńpionowych od obciążenia ciągłego za pomocąelementarnych zastępczych siłskupionych.


http://www.prenhall.com/coduto/html/Geotechnical/Software.htm


Geotechnical Engineering: Principles and Practices includes the following computer software:

STRESSP - Geostatic and induced stresses beneath a point loadSTRESSL - Geostatic and induced stresses beneath a line loadSTRESSR - Geostatic and induced stresses beneath a rectangular area loadSTRESSC - Geostatic and induced stresses beneath a circular area load



FLAC (Version 4.00)

LEGEND

23-Oct-04 18:48 step 4096 2.417E+00 <x< 7.583E+00 -4.126E+00 <y< 1.039E+00

YY-stress contours -1.10E+05 -9.00E+04 -7.00E+04 -5.00E+04 -3.00E+04 -1.00E+04

Contour interval= 1.00E+04Net Applied ForcesMax Vector = 5.000E+04

0 1E 5

-3.500

-2.500

-1.500

-0.500

0.500

3.000 4.000 5.000 6.000 7.000

JOB TITLE : .

Marek Cala Katedra Geomechaniki

Naprężenia pionowe wywołane siłą P= 50 kN.


Naprężenia i odkształcenia FLAC (Version 4.00)

LEGEND

23-Oct-04 18:52 step 6872 1.219E+00 <x< 8.781E+00 -6.663E+00 <y< 8.990E-01

YY-stress contours -4.50E+04 -4.00E+04 -3.50E+04 -3.00E+04 -2.50E+04 -2.00E+04 -1.50E+04 -1.00E+04 -5.00E+03 0.00E+00

Contour interval= 5.00E+03Net Applied ForcesMax Vector = 1.000E+04

0 2E 4 -6.000

-5.000

-4.000

-3.000

-2.000

-1.000

0.000

2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000

JOB TITLE : .

Marek Cala Katedra Geomechaniki

Naprężenia pionowe wywołane obciążeniem ciągłym q= 50 kN/mb o szerokości 2 m

θσθσθσσσσσθ2

22

12121 sincos2cos

22⋅+⋅=⋅

−+

+=

Bardzo przydatnym i poglądowym sposobem przedstawienia stanu naprężenia jest koło Mohra. Znając wartość i kierunek składowych naprężenia σ1 i σ3, można wyznaczyć naprężenia normalne i styczne w dowolnym kierunku, stosując następujące związki:


θσστθ 2sin2

21 ⋅−

=


221

maxσστ −

=

Naprężenia i odkształceniaWzory na naprężenia główne oraz ich kierunek:


22

1 22 xyyxyx τ

σσσσσ +

−+

+=

22

2 22 xyyxyx τ

σσσσσ +

−−

+=

yx

xy

σστ

θ−

⋅=

22tan

Transformacja składowych stanu naprężenia.

Wartości składowych stanu naprężenia można określić z następujących wzorów:

ϕτϕσσσσ

σ 2sin2cos22 xy

yxyx +−

++

=

ϕσσ

ϕττ 2sin2

2cos yxxy

−−=

Naprężenia i odkształceniaKoło Mohra dla odkształceń

22

1 22 xyyxyx γ

εεεεε +

−+

+=

22

2 22 xyyxyx γ

εεεεε +

−−

+=

θεεγθ 2sin2

21 ⋅−

=

θεθεθεεεεεθ2

22

12121 sincos2cos

22⋅+⋅=⋅

−+

+=


Naprężenia i odkształceniaKoło Mohra dla przestrzennego stanu naprężenia i odkształcenia

If all the principal stresses are considered (3-D), there are three Mohr’s circles. However, in general we concern the maximum shear mostly and therefore the major and the minor are only important. (σ2- intermediate principal stress.


Naprężenia i odkształceniaOdwzorowanie Stanu Naprężenia w Układzie p – q

Przedstawienie na jednym wykresie wielu stanów naprężenia dokonuje się poprzez nanoszenie punktu, którego współrzędne są równe:

231 σσ +

=p2

31 σσ −=q

W większości przypadków naprężenia główne występują na pionowych bądź na poziomych płaszczyznach, a zatem równania można napisać w postaci:

2yxq

σσ −=

2yxp

σσ +=

Ten sposób przedstawienia stanu naprężenia w gruncie sprowadza się do naniesienia jednego najwyżej leżącego punktu dla q dodatniego lub najniżej leżącego punktu dla q ujemnego na kole Mohra.


Naprężenia i odkształceniaŚcieżki NaprężeniaŚcieżka naprężenia to linia prosta lub krzywa powstała w wyniku połączenia szeregu punktów stanu naprężenia naniesionych na wykres, przedstawia ciągłośćkolejnych stanów naprężenia.

AB

C

D

E

A

B

C

D

EŚcieżka naprężenia

p

q

a) b)

σθ

τθ

koło Mohra wykres p –q


Przedstawienie kolejnych stanów naprężenia przy zwiększeniu pionowej składowej naprężenia σ1 i stałej wartości składowej σ3

Naprężenia i odkształceniaExample problem:

At some point on the free surface of a machine element, the Cartesian stresses were determined. Construct the Mohr's circle for this state of plane stress to determine the principal stresses and principal directions.

MPaxyyxyx 33

222

2

1 =+

−+

+= τ

σσσσσ

4.22

2tan =−

⋅=

yx

xy

σστ

θ

MPaxyyxyx 7

222

2

2 =+

−−

+= τ

σσσσσ

o38.67=θ


Literatura• Szymański A. – Wykłady z mechaniki gruntów i

budownictwa ziemnego• Wiłun Z. – Zarys geotechniki• Lambe T. W. Whitman R.V (1976, 1977) Mechanika

gruntów,Tom I i II, Arkady, Warszawa• Verruijt A. 2001. Soil Mechanics• Coduto D.P. 1999. Geotechnical Engineering.• Coduto D.P. 2001. Foundation design.• Jarominiak A. 1999. Lekkie konstrukcje oporowe.• Myślińska E. 2001. Laboratoryjne badania gruntów.• Obrycki M., Pisarczyk S. 1999. Zbiór zadań z mechaniki

gruntów.


Documents

Naprężenia i odkształcenia Stress & strainhome.agh.edu.pl/cala/prezentacje/3wyklad_ZG.pdf · 2004. 11. 15. · Naprężenia i odkształcenia Marek Cała – Katedra Geomechaniki,