Upload
twila
View
57
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Biomechanika przepływów. WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA. WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA. Rozważmy ciało B w danej chwili czasu t. Wyodrębnijmy zamkniętą powierzchnię S wewnątrz obszaru ciała B. x 2. Δ F. Jakie jest oddziaływanie materiału części zewnętrznej na materiał ograniczony - PowerPoint PPT Presentation
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
Biomechanika przepływów
x1
x2
x3
S
ΔS
B
ΔFn
Rozważmy ciało B w danej chwili czasu t Wyodrębnijmy zamkniętą powierzchnię Swewnątrz obszaru ciała B.
Jakie jest oddziaływanie materiału częścizewnętrznej na materiał ograniczony powierzchnią S?
Podstawowa Koncepcja Mechaniki Ośrodków Ciągłych
Zasada naprężeń Eulera i Cauchy`egoRozpatrzmy nieskończenie mały elementna powierzchni S ΔS. Można poprowadzićjednostkowy wektor n normalny do ΔS skierowany na zewnątrz powierzchni S. Możemy teraz rozróżnić dwie strony ΔS w
stosunku do wektora n
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
Rozpatrzymy materiał leżący po dodatniej stronie normalnej zewnętrznej. Materiał ten wywiera siłę ΔF na przyległą część leżącą po ujemnej stronie normalnej zewnętrznej.
Siła ΔF jest punkcją pola elementu powierzchniowego ΔS oraz jego orientacji na powierzchni S.
Założymy że gdy 0S to
0
lim
SdSdF
SF oraz że moment sił działających na
element powierzchniowy ΔS względemdowolnego punktu tego elementu znika
Graniczny wektor możemy zapisać w postaci:
dSdF
Tn
wektor naprężenia
przedstawia on siłę przypadająca na jednostkę powierzchni (N/m2)(Pa)
wskaźnik n oznacza kieruneknormalnej zewnętrznej
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
Stwierdzenie, że na dowolnej, myślowo poprowadzonej powierzchni S wewnątrz danegokontinuum istnieje wektorowe pole naprężeń, którego działanie na materiał zawarty we wnętrzu S jest równoznaczne z oddziaływaniem przyległego materiału zewnętrznegostanowi zasadę naprężeń EULERA i CAUCHY`EGO
Rozpatrzmy przypadek szczególny, gdy element ΔS jest równoległy do jednej z płaszczyznwspółrzędnych.
xk
ΔSk
n
Normalna zewnętrzna jest skierowanaw dodatnim kierunku osi xk
k
Tk
Toznacza wektor naprężenia któregotrzy składowe są odpowiedniorówne:
3,2,1, iT ik
kierunek osi
płaszczyzna prostopadła
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
W tak zdefiniowanym przypadku szczególnym wprowadzić można nowy układ oznaczeńdla składowych stanu naprężenia:
11 k
k
T 22 k
k
T 33 k
k
T
1 2 3
Pow. normalna do x1
Pow. normalna do x2
Pow. normalna do x3
11
Składowe wektora naprężenia działające na elementarne pola k=1, k=2, k=3 można zapisać:
22
33
12 13
21
31 32
23
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
Notację dobrze uwidacznia rys:
1112
1321
222331
3233
x1
x2
x3
Składowe :
11 22 33
zwane są naprężeniami normalnymi
podczas gdy pozostałe składowe zwane sąnaprężeniami stycznymi
Istnieje wielka rozbieżność oznaczeń stanunaprężenia.
Najbardziej rozpowszechniony dla prostokątnego kartezjańskiego układu współrzędnych x,y,z:
x yz dla naprężeń normalnych
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
Podstawowymi prawami mechaniki ciał wszelkiego rodzaju są równania Eulera, będące uogólnianiem praw ruchu Newtona dla punktów materialnych.
Załóżmy że układ współrzędnych x1, x2, x3 jest inercyjnym układem odniesienia . Cześć przestrzeni wypełnioną ciałem materialnym w chwili t oznaczmy jako B(t). Jako r oznaczmy promień wiodący pewnej cząsteczki względem początku układu. V będzie wektorem prędkościcząsteczki. Można wyznaczyć dwa wektory :
tB
dvVP
tB
dvVrH gęstość materiału
pęd ciała
kręt ciała
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
Prawa Newtona zastosowane przez Eulera do ośrodka ciągłego stwierdzają, że:
zmiana pędu w czasie jest równa wypadkowej sile F przyłożonej do ciała
FdtdP
zmiana krętu w czasie jest równa wypadkowemu momentowi L
LdtdH
Zakładamy że wypadkowa siła i wypadkowy moment są dane w danym układzie odniesienia
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
Na ciała materialne będące przedmiotem rozważań w mechanice ośrodków ciągłych działają dwa rodzaje sił:
(1) siły masowe, działające na każdy element rozważanej objętości.
(2) siły powierzchniowe lub naprężenia działające na elementy powierzchniowe.
Przykładem sił masowych są: siła grawitacji i siły elektromagnetyczne,przykładem sił powierzchniowych – ciśnienia aerodynamiczne i nacisk wywołany stykiemdwóch ciał
W polu grawitacyjnym: ii gX
Siła powierzchniowa działająca na myślową powierzchnię we wnętrzu ciała jest wektoremnaprężenia rozumianym w sensie zasady naprężeń Eulera i Cauchy`ego.
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
A więc całkowita siła działająca na materiał wypełniający obszar B ograniczony zamkniętąpowierzchnią S wynosi:
BS
n
XdvdSTF
Moment sił względem początku układu wynosi:
BS
n
XdvrdSTrL
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
Wzór Cauchy`ego
Można wykazać , że zając składowe τij, można natychmiast wyznaczyć wektor naprężenia działający na dowolnej powierzchni o jednostkowej normalnej n, której składowe sąodpowiednio równe n1, n2, n3 . Składowe wektora określa wzór Cauchy`ego:
3312211111 nnnTn
3322221122 nnnTn
3332231133 nnnTn
gdzie ij jest tensorem naprężeniajiji
n
nT
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
Równania równowagi
Podstawowe równania ruchu mogą być przekształcone w równania różniczkowe
Rozważmy sobie stan równowagi statycznej nieskończenie małego prostopadłościanu o ściankach równoległych do płaszczyzn współrzędnych.
siła na lewej ścianie pionowej:
3211 dxdx
siła na prawej ścianie pionowej:
3211
1111 dxdxdx
x
Wynika to z założenia ciągłości pola naprężeń !!!!!
Siła masowa:
321 dxdxdxX i
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
Warunek równowagi wymaga aby całkowita siła wypadkowa była równa 0. Dla kierunku x1
0321121312133
31311321132
2
21213211321
1
1111
dxdxdxXddxdxdxdx
xddxdxdxdx
xddxdxdxdx
x
dzieląc obie strony równania przez dx1dx2dx3 otrzymamy:
013
31
2
21
1
11
Xxxx
i dla reszty składowych: 023
23
2
22
1
21
Xxxx
033
33
2
32
1
31
Xxxx
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
Cały układ równań daje się zapisać w sposób zwięzły w postaci:
0
ij
ji Xx
dla j = 1,2,3 i = 1,2,3
Drugim warunkiem równowagi jest zanikanie wypadkowego momentu względem dowolnego punktu. Jeśli nie istnieją momenty sił zewnętrznych proporcjonalne do objętości, to warunek równowagi prowadzi do ważnego wniosku, iż tensor naprężenia jest tensorem symetrycznym
jiij
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
Przekształcenia współrzędnych
x1
x2
x3
x1
x2
x3
x1`
x2`
x3`
Określiliśmy składowe stanu naprężenia τij w prostokątnym układzie współrzędnych x1, x2, x3
11`
11
Rozpatrzmy teraz drugi prostokątny układ współrzędnych x1`, x2`, x3` o tym samym początku ale inaczej zorientowany w przestrzeni.
Jakie będą składowe stanu naprężenia w nowym układzie ?
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
Niech nowe współrzędne zależą liniowo od starych przez związki:
ikik xx ` k = 1,2,3
cosinusy kierunkowe osi xk` względem osi xi
Siła działająca na jednostkę pola powierzchni dS o normalnej n jest wektorem n
T
o składowych:jiji
n
nT
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
Jeżeli n jest równoległa do osi xk`, tak że
11 kn 22 kn 33 kn
to:kjiji
k
T `
Składowa wektora `i
k
T w kierunku osi xm` jest równa iloczynowi `i
k
T przez βmi
Stąd składowa stanu naprężenia transformuje się zgodnie z tensorowym prawem transformacyjnym :
mikjijkm `( zapis w konwencji sumacyjnej)
3333322331132332
22222112133112211111`
mkmkmkmk
mkmkmkmkmkkm
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA