WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA

Biomechanika przepływów

x1

x2

x3

S

ΔS

B

ΔFn

Rozważmy ciało B w danej chwili czasu t Wyodrębnijmy zamkniętą powierzchnię Swewnątrz obszaru ciała B.

Jakie jest oddziaływanie materiału częścizewnętrznej na materiał ograniczony powierzchnią S?

Podstawowa Koncepcja Mechaniki Ośrodków Ciągłych

Zasada naprężeń Eulera i Cauchy`egoRozpatrzmy nieskończenie mały elementna powierzchni S ΔS. Można poprowadzićjednostkowy wektor n normalny do ΔS skierowany na zewnątrz powierzchni S. Możemy teraz rozróżnić dwie strony ΔS w

stosunku do wektora n

WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA

Rozpatrzymy materiał leżący po dodatniej stronie normalnej zewnętrznej. Materiał ten wywiera siłę ΔF na przyległą część leżącą po ujemnej stronie normalnej zewnętrznej.

Siła ΔF jest punkcją pola elementu powierzchniowego ΔS oraz jego orientacji na powierzchni S.

Założymy że gdy 0S to

0

lim

SdSdF

SF oraz że moment sił działających na

element powierzchniowy ΔS względemdowolnego punktu tego elementu znika

Graniczny wektor możemy zapisać w postaci:

dSdF

Tn

wektor naprężenia

przedstawia on siłę przypadająca na jednostkę powierzchni (N/m2)(Pa)

wskaźnik n oznacza kieruneknormalnej zewnętrznej

WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA

Stwierdzenie, że na dowolnej, myślowo poprowadzonej powierzchni S wewnątrz danegokontinuum istnieje wektorowe pole naprężeń, którego działanie na materiał zawarty we wnętrzu S jest równoznaczne z oddziaływaniem przyległego materiału zewnętrznegostanowi zasadę naprężeń EULERA i CAUCHY`EGO

Rozpatrzmy przypadek szczególny, gdy element ΔS jest równoległy do jednej z płaszczyznwspółrzędnych.

xk

ΔSk

n

Normalna zewnętrzna jest skierowanaw dodatnim kierunku osi xk

k

Tk

Toznacza wektor naprężenia któregotrzy składowe są odpowiedniorówne:

3,2,1, iT ik

kierunek osi

płaszczyzna prostopadła

WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA

W tak zdefiniowanym przypadku szczególnym wprowadzić można nowy układ oznaczeńdla składowych stanu naprężenia:

11 k

k

T 22 k

k

T 33 k

k

T

1 2 3

Pow. normalna do x1

Pow. normalna do x2

Pow. normalna do x3

11

Składowe wektora naprężenia działające na elementarne pola k=1, k=2, k=3 można zapisać:

22

33

12 13

21

31 32

23

WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA

Notację dobrze uwidacznia rys:

1112

1321

222331

3233

x1

x2

x3

Składowe :

11 22 33

zwane są naprężeniami normalnymi

podczas gdy pozostałe składowe zwane sąnaprężeniami stycznymi

Istnieje wielka rozbieżność oznaczeń stanunaprężenia.

Najbardziej rozpowszechniony dla prostokątnego kartezjańskiego układu współrzędnych x,y,z:

x yz dla naprężeń normalnych

WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA

Podstawowymi prawami mechaniki ciał wszelkiego rodzaju są równania Eulera, będące uogólnianiem praw ruchu Newtona dla punktów materialnych.

Załóżmy że układ współrzędnych x1, x2, x3 jest inercyjnym układem odniesienia . Cześć przestrzeni wypełnioną ciałem materialnym w chwili t oznaczmy jako B(t). Jako r oznaczmy promień wiodący pewnej cząsteczki względem początku układu. V będzie wektorem prędkościcząsteczki. Można wyznaczyć dwa wektory :

tB

dvVP

tB

dvVrH gęstość materiału

pęd ciała

kręt ciała

WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA

Prawa Newtona zastosowane przez Eulera do ośrodka ciągłego stwierdzają, że:

zmiana pędu w czasie jest równa wypadkowej sile F przyłożonej do ciała

FdtdP

zmiana krętu w czasie jest równa wypadkowemu momentowi L

LdtdH

Zakładamy że wypadkowa siła i wypadkowy moment są dane w danym układzie odniesienia

WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA

Na ciała materialne będące przedmiotem rozważań w mechanice ośrodków ciągłych działają dwa rodzaje sił:

(1) siły masowe, działające na każdy element rozważanej objętości.

(2) siły powierzchniowe lub naprężenia działające na elementy powierzchniowe.

Przykładem sił masowych są: siła grawitacji i siły elektromagnetyczne,przykładem sił powierzchniowych – ciśnienia aerodynamiczne i nacisk wywołany stykiemdwóch ciał

W polu grawitacyjnym: ii gX

Siła powierzchniowa działająca na myślową powierzchnię we wnętrzu ciała jest wektoremnaprężenia rozumianym w sensie zasady naprężeń Eulera i Cauchy`ego.

WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA

A więc całkowita siła działająca na materiał wypełniający obszar B ograniczony zamkniętąpowierzchnią S wynosi:

BS

n

XdvdSTF

Moment sił względem początku układu wynosi:

BS

n

XdvrdSTrL

WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA

Wzór Cauchy`ego

Można wykazać , że zając składowe τij, można natychmiast wyznaczyć wektor naprężenia działający na dowolnej powierzchni o jednostkowej normalnej n, której składowe sąodpowiednio równe n1, n2, n3 . Składowe wektora określa wzór Cauchy`ego:

3312211111 nnnTn

3322221122 nnnTn

3332231133 nnnTn

gdzie ij jest tensorem naprężeniajiji

n

nT

WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA

Równania równowagi

Podstawowe równania ruchu mogą być przekształcone w równania różniczkowe

Rozważmy sobie stan równowagi statycznej nieskończenie małego prostopadłościanu o ściankach równoległych do płaszczyzn współrzędnych.

siła na lewej ścianie pionowej:

3211 dxdx

siła na prawej ścianie pionowej:

3211

1111 dxdxdx

x

Wynika to z założenia ciągłości pola naprężeń !!!!!

Siła masowa:

321 dxdxdxX i

WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA

Warunek równowagi wymaga aby całkowita siła wypadkowa była równa 0. Dla kierunku x1

0321121312133

31311321132

2

21213211321

1

1111

dxdxdxXddxdxdxdx

xddxdxdxdx

xddxdxdxdx

x

dzieląc obie strony równania przez dx1dx2dx3 otrzymamy:

013

31

2

21

1

11

Xxxx

i dla reszty składowych: 023

23

2

22

1

21

Xxxx

033

33

2

32

1

31

Xxxx

WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA

Cały układ równań daje się zapisać w sposób zwięzły w postaci:

0

ij

ji Xx

dla j = 1,2,3 i = 1,2,3

Drugim warunkiem równowagi jest zanikanie wypadkowego momentu względem dowolnego punktu. Jeśli nie istnieją momenty sił zewnętrznych proporcjonalne do objętości, to warunek równowagi prowadzi do ważnego wniosku, iż tensor naprężenia jest tensorem symetrycznym

jiij

WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA

Przekształcenia współrzędnych

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1`

x2`

x3`

Określiliśmy składowe stanu naprężenia τij w prostokątnym układzie współrzędnych x1, x2, x3

11`

11

Rozpatrzmy teraz drugi prostokątny układ współrzędnych x1`, x2`, x3` o tym samym początku ale inaczej zorientowany w przestrzeni.

Jakie będą składowe stanu naprężenia w nowym układzie ?

WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA

Niech nowe współrzędne zależą liniowo od starych przez związki:

ikik xx ` k = 1,2,3

cosinusy kierunkowe osi xk` względem osi xi

Siła działająca na jednostkę pola powierzchni dS o normalnej n jest wektorem n

T

o składowych:jiji

n

nT

WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA

Jeżeli n jest równoległa do osi xk`, tak że

11 kn 22 kn 33 kn

to:kjiji

k

T `

Składowa wektora `i

k

T w kierunku osi xm` jest równa iloczynowi `i

k

T przez βmi

Stąd składowa stanu naprężenia transformuje się zgodnie z tensorowym prawem transformacyjnym :

mikjijkm `( zapis w konwencji sumacyjnej)

3333322331132332

22222112133112211111`

mkmkmkmk

mkmkmkmkmkkm

WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA