WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA

Slajd 1

WYKAD 2 : TENSOR NAPRENIA

Biomechanika przepyww

x1x2x3SSBFnRozwamy ciao B w danej chwili czasu tWyodrbnijmy zamknit powierzchni Swewntrz obszaru ciaa B. Jakie jest oddziaywanie materiau czcizewntrznej na materia ograniczony powierzchni S?Podstawowa Koncepcja Mechaniki Orodkw CigychZasada napre Eulera i Cauchy`egoRozpatrzmy nieskoczenie may elementna powierzchni S S. Mona poprowadzijednostkowy wektor n normalny do S skierowany na zewntrz powierzchni S.

Moemy teraz rozrni dwie strony S w stosunku do wektora n

WYKAD 2 : TENSOR NAPRENIARozpatrzymy materia lecy po dodatniej stronie normalnej zewntrznej. Materia ten wywiera si F na przyleg cz lec po ujemnej stronie normalnej zewntrznej.Sia F jest punkcj pola elementu powierzchniowego S oraz jego orientacji na powierzchni S.Zaoymy e gdy

to

oraz e moment si dziaajcych naelement powierzchniowy S wzgldemdowolnego punktu tego elementu znika Graniczny wektor moemy zapisa w postaci:

wektor naprenia przedstawia on si przypadajca na jednostk powierzchni (N/m2)(Pa) wskanik n oznacza kieruneknormalnej zewntrznej

WYKAD 2 : TENSOR NAPRENIAStwierdzenie, e na dowolnej, mylowo poprowadzonej powierzchni S wewntrz danegokontinuum istnieje wektorowe pole napre, ktrego dziaanie na materia zawarty we wntrzu S jest rwnoznaczne z oddziaywaniem przylegego materiau zewntrznegostanowi zasad napre EULERA i CAUCHY`EGORozpatrzmy przypadek szczeglny, gdy element S jest rwnolegy do jednej z paszczyznwsprzdnych.

xkSknNormalna zewntrzna jest skierowanaw dodatnim kierunku osi xk

oznacza wektor naprenia ktregotrzy skadowe s odpowiedniorwne:

kierunek osipaszczyzna prostopada

WYKAD 2 : TENSOR NAPRENIAW tak zdefiniowanym przypadku szczeglnym wprowadzi mona nowy ukad oznaczedla skadowych stanu naprenia:

123Pow. normalna do x1

Pow. normalna do x2

Pow. normalna do x3

Skadowe wektora naprenia dziaajce na elementarne pola k=1, k=2, k=3 mona zapisa:

WYKAD 2 : TENSOR NAPRENIANotacj dobrze uwidacznia rys:

x1x2x3Skadowe :

zwane s napreniami normalnymipodczas gdy pozostae skadowe zwane snapreniami stycznymiIstnieje wielka rozbieno oznacze stanunaprenia.Najbardziej rozpowszechniony dla prostoktnego kartezjaskiego ukadu wsprzdnych x,y,z:

dla napre normalnych

WYKAD 2 : TENSOR NAPRENIAPodstawowymi prawami mechaniki cia wszelkiego rodzaju s rwnania Eulera, bdce uoglnianiem praw ruchu Newtona dla punktw materialnych.Zamy e ukad wsprzdnych x1, x2, x3 jest inercyjnym ukadem odniesienia . Cze przestrzeni wypenion ciaem materialnym w chwili t oznaczmy jako B(t). Jako r oznaczmy promie wiodcy pewnej czsteczki wzgldem pocztku ukadu. V bdzie wektorem prdkociczsteczki. Mona wyznaczy dwa wektory :

gsto materiaupd ciaakrt ciaa

WYKAD 2 : TENSOR NAPRENIAPrawa Newtona zastosowane przez Eulera do orodka cigego stwierdzaj, e:zmiana pdu w czasie jest rwna wypadkowej sile F przyoonej do ciaa

zmiana krtu w czasie jest rwna wypadkowemu momentowi L

Zakadamy e wypadkowa sia i wypadkowy moment s dane w danym ukadzie odniesienia

WYKAD 2 : TENSOR NAPRENIANa ciaa materialne bdce przedmiotem rozwaa w mechanice orodkw cigych dziaaj dwa rodzaje si:(1) siy masowe, dziaajce na kady element rozwaanej objtoci.(2) siy powierzchniowe lub naprenia dziaajce na elementy powierzchniowe.Przykadem si masowych s: sia grawitacji i siy elektromagnetyczne,przykadem si powierzchniowych cinienia aerodynamiczne i nacisk wywoany stykiemdwch cia W polu grawitacyjnym:

Sia powierzchniowa dziaajca na mylow powierzchni we wntrzu ciaa jest wektoremnaprenia rozumianym w sensie zasady napre Eulera i Cauchy`ego.

WYKAD 2 : TENSOR NAPRENIAA wic cakowita sia dziaajca na materia wypeniajcy obszar B ograniczony zamknitpowierzchni S wynosi:

Moment si wzgldem pocztku ukadu wynosi:

WYKAD 2 : TENSOR NAPRENIAWzr Cauchy`egoMona wykaza , e zajc skadowe ij, mona natychmiast wyznaczy wektor naprenia dziaajcy na dowolnej powierzchni o jednostkowej normalnej n, ktrej skadowe sodpowiednio rwne n1, n2, n3 . Skadowe wektora okrela wzr Cauchy`ego:

gdzie

jest tensorem naprenia

WYKAD 2 : TENSOR NAPRENIARwnania rwnowagiPodstawowe rwnania ruchu mog by przeksztacone w rwnania rniczkoweRozwamy sobie stan rwnowagi statycznej nieskoczenie maego prostopadocianu o ciankach rwnolegych do paszczyzn wsprzdnych.

sia na lewej cianie pionowej:

sia na prawej cianie pionowej:

Wynika to z zaoenia cigoci pola napre !!!!!Sia masowa:

WYKAD 2 : TENSOR NAPRENIAWarunek rwnowagi wymaga aby cakowita sia wypadkowa bya rwna 0. Dla kierunku x1

dzielc obie strony rwnania przez dx1dx2dx3 otrzymamy:

i dla reszty skadowych:

WYKAD 2 : TENSOR NAPRENIACay ukad rwna daje si zapisa w sposb zwizy w postaci:

dla j = 1,2,3 i = 1,2,3Drugim warunkiem rwnowagi jest zanikanie wypadkowego momentu wzgldem dowolnego punktu. Jeli nie istniej momenty si zewntrznych proporcjonalne do objtoci, to warunek rwnowagi prowadzi do wanego wniosku, i tensor naprenia jest tensorem symetrycznym

WYKAD 2 : TENSOR NAPRENIAPrzeksztacenia wsprzdnych

x1x2x3x1x2x3x1`x2`x3`Okrelilimy skadowe stanu naprenia ij w prostoktnym ukadzie wsprzdnych x1, x2, x3

Rozpatrzmy teraz drugi prostoktny ukad wsprzdnych x1`, x2`, x3` o tym samym pocztku ale inaczej zorientowany w przestrzeni.Jakie bd skadowe stanu naprenia w nowym ukadzie ?

WYKAD 2 : TENSOR NAPRENIANiech nowe wsprzdne zale liniowo od starych przez zwizki:

k = 1,2,3cosinusy kierunkowe osi xk` wzgldem osi xi

Sia dziaajca na jednostk pola powierzchni dS o normalnej n jest wektorem

o skadowych:

WYKAD 2 : TENSOR NAPRENIAJeeli n jest rwnolega do osi xk`, tak e

to:

Skadowa wektora

w kierunku osi xm` jest rwna iloczynowi

przez miStd skadowa stanu naprenia transformuje si zgodnie z tensorowym prawem transformacyjnym :

( zapis w konwencji sumacyjnej)

WYKAD 2 : TENSOR NAPRENIA