Metoda naprężenia nominalnegozwmik.imir.agh.edu.pl/dydaktyka/dla_studentow/imir/IK... · 2014-05-14 · Rys 4.1. Przykłady rozkładu napręże ... Man-Ten walcowana na gorąco

1

Integralność konstrukcji

Wykład Nr 4

Metoda naprężenia nominalnego

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

http://zwmik.imir.agh.edu.pl/dydaktyka/dla_studentow/imir/imir.html

2

4.1. NAPRĘŻENIA NOMINALNE (lub średnie) - S i NAPRĘŻENIA LOKALNE -

a) rozciąganie pręta pryz-matycznego: y = S; b) zginanie pręta pryzma-tycznego:

y = S, gdy S < Re,

y max < S, gdy S >Re;

c) rozciąganie elementu z karbem: y S

y max = kt S, gdy kt S Re;

y < kt S, gdy kt S >Re.

Rys 4.1. Przykłady rozkładu naprężeń nominalnych S i lokalnych y w przekrojach wzdłuż osi x.

3

4.2. WYKRES WÖHLERA (tzw. KRZYWA S-N) MATERIAŁU

Rys 4.2. Krzywa S-N dla gładkich próbek ze stali A517 przy zginaniu obrotowym, z naprężeniem średnim m = 0.

4


Pojęcia podstawowe:

a) Wytrzymałość zmęczeniowa trwała materiału największa amplituda

naprężenia a przy której nie dochodzi do zniszczenia próbki.

Wytrzymałość zmęczeniową trwałą wyznacza się ją z krzywej S - N dla próbek gładkich,

jako:

asymptotę Z = a, przy Nf (stale zwykłej jakości i niskostopowe)

W tym przypadku jest to największa amplituda naprężenia, przy której nie nastąpi

zniszczenie zmęczeniowe próbki.

wartość Z = a przy Nf = 107 lub 108 cykli, gdy brak asymptoty (np. stopy Al, Cu)

Wytrzymałość zmęczeniowa trwała jest stałą materiałową, ale zależy od sposobu obciążenia,

np. przy zginaniu jest o 10-15 % wyższa niż przy rozciąganiu.

Stale: rozciąganie przy R = -1 Z 0.5 Rm (wartość niższa w stalach o wysokiej

wytrzymałości)

5


Pojęcia podstawowe:

b) Wytrzymałość zmęczeniowa ograniczona największa amplituda naprężenia a,

przy której nie nastąpi zniszczenie próbki przed upływem danej liczbie cykli Nf

(np. Nf =105).

c) Zmęczenie wysokocyklowe naprężenia są na tyle niskie ze można pominąć

odkształcenia plastyczne

d) Zmęczenie niskocyklowe typowo w zakresie 102-104 cykli, znaczne

odkształcenia plastyczne.

Czynniki wpływające na wytrzymałość zmęczeniową:

obecność karbu,

naprężenia średnie m,

środowisko ,

Mikrostruktura,

naprężenia resztkowe (w związku z wpływem naprężenia średniego cyklu m).

6

4.3. MATEMATYCZNY OPIS KRZYWEJ S - N MATERIAŁU

Jeżeli krzywa Wöhlera (S-N) może być we współrzędnych podwójnie logarytmicznych

aproksymowana linią prostą, to do jej opisu używa się zależności a versus Nf w formie:

a) równania: a = A Nf B (4.1 a)

Rys. 4.3a Ilustracja opisu matematycznego krzywej Wöhlera wg równania (4.1a)

7


Jeżeli krzywa Wöhlera (S-N) może być we współrzędnych podwójnie logarytmicznych

aproksymowana linią prostą, to do jej opisu używa się zależności a versus Nf w formie:

a) równania: a = A Nf B (4.1 a)

b) równania Basquina: a = f’ (2Nf)b (4.1 b)

Rys. 4.3b Ilustracja opisu matematycznego krzywej Wöhlera wg równania (4.1b)

8


(4.1 a) (4.1 b)

Stałe materiałowe A, B lub f’, b wyznacza się z dopasowania do równania (4.1 a)

lub (4.1 b) danych z badań na próbkach gładkich.

Przy dużych odkształceniach plastycznych należy używać naprężenia rzeczywistego

Ponieważ 2Nf jest liczbą nawrotów obciążenia (1 cykl=2 nawroty), to f’ można

interpretować jako wartość a, przy której następuje zniszczenie próbki po jednym

nawrocie (półcyklu), tj. przy 2Nf = 1 (Nf = 0.5).

~a

9


(4.1 b)

Komentarz do równania Basquina (4.1b):

Gdyby własności materiału przy obciążeniu cyklicznie zmiennym były takie, jak przy

obciążeniu monotonicznym, to naprężenie f’ byłoby równe rzeczywistemu naprężeniu

niszczącemu ( ), - por. rys. 2.4 i rów. (2.10) - gdyż próbę monotonicznego rozciągania

można traktować jako jeden nawrót obciążenia zmęczeniowego. Jednak f’ różni się nieco

od , gdyż f’ wyznacza się przez ekstrapolację do Nf = 0.5 prostej dopasowanej do

punktów (a, Nf) otrzymanych z badań zmęczeniowych, gdy wartości materiału uległy

zmianie na skutek cyklicznego umocnienia lub osłabienia (por. p. 3.3). Podobnie jak ,

naprężenie f’ jest zawsze wyższe od niszczącego naprężenia inżynierskiego i od Rm , przy

czym różnica ta jest mniejsza dla metali o wyższej wytrzymałości, które wykazują małe

odkształcenia plastyczne. Wartości b dla różnych metali są na ogół zbliżone.

~ f

~ f

~ f

10


(4.1 a)

(4.1 b)

a = A Nf B

a = f’ (2Nf)b

Tabela 4.1 Parametry materiałowe występujące w równaniach (4.1a) i (4.1b)

Materiał Re Rm

a = f’(2Nf)

b=ANfB

f’ A b=B

MPa MPa MPa MPa -----

stale

AISI 1015 normalizowana

227 415 976 886 -0.14

Man-Ten walcowana na gorąco

322 557 1089 1006 -0.115

RQC-100 hart. i odpuszczana

683 758 938 897 -0.0648

AISI 4142 hart. i odpuszczana

1584 1757 1937 1837 -0.0762

AISI 4340 lotnicza

1103 1172 1758 1643 -0.0977

metale nieżelazne

Al 2024-T4 303 476 900 839 -0.102

Ti-6Al-4V przesycony i starzony

1185 1233 2030 1889 -0.104

11


𝒌𝒇𝝈𝒂

𝝈𝒂𝒓+𝒌𝒇𝒎𝝈𝒎

𝑹𝒎= 𝟏

𝒌𝒇𝝈𝒂


𝑹𝒎

𝟐

= 𝟏

𝒌𝒇𝝈𝒂


𝝈𝒇′ = 𝟏

ai mi

i=1 n

RainFlow

= f(t)

t

=

zr

Reguła P-M

𝑩𝒇 𝑵𝒊𝑵𝒇𝒊= 𝟏

Bf

kfi, kfmi

kt, , , 𝒌𝒇 = 𝟏 +

𝒌𝒕 − 𝟏

𝟏 + 𝜶 𝝆

𝒌𝒇 = 𝟏 +𝒌𝒕 − 𝟏

𝟏 + 𝜷 𝝆

Ni

ai , mi

ari

Nfi

ar

Nf

R=-1

12

4.4. WPŁYW NAPRĘŻEŃ ŚREDNICH (m lub Sm)

4.4.1. Prezentacja wyników badań zmęczeniowych materiału (tzn. na próbkach

gładkich) przy niezerowych naprężeniach średnich (m = Sm)

Gdy m 0 to wyniki badań zmęczeniowych materiału przedstawia się według jednej z

poniższych trzech koncepcji.

a) R = const

Rys. 4.4 Krzywe S-N materiału przy stałym współczynniku asymetrii cyklu ( R = const.)

Gdyby prezentowane tu wyniki

przedstawiać jako dane a vs Nf, to

najwyżej leżałaby krzywa R=-1 a

najniżej krzywa R=0.

Np. dla Nf =104:

R 0 -0.5 -1

a (MPa) 410 530 570

13






b) m = const

Rys. 4.5 Krzywe S-N materiału przy

stałym naprężeniu średnim m = const)

14






c) Nf = const

Rys. 4.6 Wykresy stałej wartości (Nf=const)

Uwaga: wykresy Nf=const na rys. 4.6

otrzymano z wykresów m = const z rys. 4.5

(por. te same oznaczenia punktów na obu

rysunkach).

15


4.4.2. Znormalizowany wykres a /ar

Jeżeli każdą z krzywych Nf=const (rys. 4.6) przedstawi się w formie

znormalizowanego wykresu a/ar versus m, gdzie ar - wytrzymałość zmęczeniowa

przy m = 0 (R = -1) dla danego Nf, to wszystkie takie wykresy mają następujące

dwa wspólne punkty:

(a/ar = 1; m = 0)

oraz

(a/ar = 0; m = Rm).

Rys. 4.7 wskazuje, że występuje

tendencja do konsolidacji punktów

(a/ar; m) dla różnych Nf w pojedynczą

krzywą.

Rys. 4.7 Znormalizowany wykres

amplitudy w funkcji naprężenia średniego

otrzymany z wykresów na rys. 4.5

16


4.4.3. Matematyczny opis zależności a/ar versus m

Aproksymacja linii a/ar versus m:

a) równanie Goodmana (prosta): (4.2)

b) Równanie Gerbera (parabola): (4.3)

c) Równanie Morrowa (prosta): (4.4)

1m

m

ar

a

R

0przy ,1

2

m

m

m

ar

a

R

1

f

m

ar

a

f’ amplituda niszcząca po 1 nawrocie obciążenia (2Nf = 1),

por. równanie (4.1b) i rys. 4.3b

17


4.4.3. Matematyczny opis zależności a/ar versus m

a) równanie Goodmana (prosta): (4.2)

b) Równanie Gerbera (parabola): (4.3)

c) Równanie Morrowa (prosta): (4.4)

1m

m

ar

a

R

0przy ,1

2

m

m

m

ar

a

R

1

f

m

ar

a

Równanie (4.2) - najlepsze wyniki dla materiałów o niskiej ciągliwości.

Równanie (4.3) - najlepsze wyniki dla materiałów o wysokiej ciągliwości (wydłużenie

procentowe w próbie rozciągania > 5 %, por p. 2.1). Przewiduje ono, niezgodnie z

doświadczeniami, niekorzystny wpływ m<0 na wytrzymałość zmęczeniową. Założenie

zachowawcze: przy m 0 - linia punktowana pozioma.

Równanie (4.4) - lepsza zgodność z eksperymentem w porównaniu z (4.2). Dobra

aproksymecja wyników dla wszystkich materiałów ciągliwych.

Metale kruche (żeliwo): równanie (4.2) prowadzi do wyników niezachowawczych (punkty

doświadczalne leżą pod prostą Goodmana). Stosuje się do nich specjalne równania.

18


4.4.4. Wyznaczenie trwałości przy niezerowym naprężeniu średnim m

Podstawowa idea:

Dla danego materiału (scharakteryzowanego przez Rm lub f) trwałość

zmęczeniowa przy dowolnej kombinacji amplitudy a i niezerowego naprężenia

średniego m jest taka sama, jak przy amplitudzie ar i m=0.

Takie podejście jest dogodne, gdy dysponujemy tylko krzywą Wöhlera dla m = 0,

a chcemy wyznaczyć trwałość Nf (lub wytrzymałość zmęczeniową a) przy m 0.

Wtedy:

Nf (a, m0) = Nf (ar, m=0)

19



Nf (a, m0) = Nf (ar, m=0)

Z równania Goodmana (4.2) można wyznaczyć ar jako: (4.5)

Trwałość przy (a, m0) można wyznaczyć podstawiając do równania Basquina (4.1b):

prawą stronę równania (4.5) zamiast ar, otrzymując:

(4.6)

Z równania Morrowa (4.4) mamy: (4.7)

Uwzględniając (4.7) i równanie Basquina (4.1b) otrzymamy zależność:

(4.8)

również określaną jako: równanie Morrowa

m

m

aar

R

1

ar = f (2Nf)b

bff

m

ma N

R21

f

m

aar

1

a = (f - m) (2Nf)b

20



Np. przy tej samej amplitudzie a

m/Rm ar/a

(wg. 4.5)

0.2 1.25

0.5 2

m

ma

ar

R

1

1

(4.5)

21


i=1 n

RainFlow

= f(t)

t

=

zr

Reguła P-M


Bf

kfi, kfmi

kt, , , 𝒌𝒇 = 𝟏 +

𝒌𝒕 − 𝟏

𝟏 + 𝜶 𝝆

𝒌𝒇 = 𝟏 +𝒌𝒕 − 𝟏

𝟏 + 𝜷 𝝆

Ni

ai , mi

ari

Nfi

ar

Nf

R=-1

𝒌𝒇𝝈𝒂


𝑹𝒎= 𝟏

𝒌𝒇𝝈𝒂


𝑹𝒎

𝟐

= 𝟏

𝒌𝒇𝝈𝒂


𝝈𝒇′ = 𝟏

ai mi

22

4.5. OBCIĄŻENIA ZMIENNOAMPLITUDOWE

Rzeczywiste przebiegi obciążeń w czasie (tzw. historie obciążenie - czas)

spotykane w warunkach eksploatacyjnych mają zazwyczaj charakter

zmiennoamplitudowy.

Rys. 4.8 Siła w lewym kulistym przegubie zawieszenia samochodu w czasie przejazdu przez

tory kolejowe

Przykłady :

23


Rys. 4.9 Maksymalne naprężenia zginające w połączeniu skrzydła z kadłubem w czasie

jednego lotu samolotu o nieruchomych skrzydłach; a ) historia rzeczywista, b ) historia

uproszczona

Przykłady obciążeń eksploatacyjnych:

24


Rys. 4.10 Zapis naprężeń w drążku kierowniczym samochodu: a) rzeczywista historia

obciążenia; b) fragment historii obciążenia w czasie jazdy po nierównościach; c) obciążenie

w czasie manewrowania

Przykłady obciążeń eksploatacyjnych:

25


4.5.1. Reguła Palmgrena - Minera

Założenia: Jeżeli amplituda a,i powtarza się przez Ni cykli, a liczba cykli do

zniszczenia określona z krzywej S-N przy tej amplitudzie wynosi Nf,i, to część

trwałości zużytej przy a,i wynosi Ni/Nf,i. Zniszczenie nastąpi, gdy:

1,

if

i

N

N(4.9a)

tzn. trwałość przewidywana wynosi: iMPf NN , (4.9b)

26



1,

if

i

N

N(4.9a) iMPf NN , (4.9b)

Rys. 4.10 Schemat objaśniający wykorzystanie reguły P - M do przewidywania trwałości

materiału przy zmiennych amplitudach naprężeń dla przypadku: m = 0 (R = -1)

27



1,

if

i

N

N(4.9a) iMPf NN , (4.9b)

Jeżeli jedna i ta sama sekwencja obciążenia, którą wtedy można nazwać okresem, jest

powtarzana wiele razy, np. lot samolotu, to:

1

1,

okresif

if

N

NB (4.10) gdzie: Bf - liczba powtórzeń okresu

okresif

i

N

N

1,

uszkodzenie zmęczeniowe w 1 okresie

Jeżeli w jakichś cyklach historii obciążenie czas występują niezerowe naprężenia średnie, to

Nf,i trzeba wyznaczyć np. z równań (4.6) lub (4.8).


4.5.2. Efekty interakcji obciążeń

Zjawisko to polega na tym, że w zmiennoamplitudowej historii obciążenia uszkodzenie

zmęczeniowe Di spowodowane danym cyklem i (a,i, m,i) może być inne, niż przy obciążeniu

stałoamplitudowym, tzn.:

if

iN

D,

1

(4.11)

gdzie: Nf, i trwałość przy obciążeniu stałoamplitudowym o

parametrach a,i, m,i

W zależności od historii obciążenia (spektrum obciążenia), materiału, poziomu średniego

naprężenia spektrum i geometrii elementu może być:

if

iN

D,

1

if

iN

D,

1

niekorzystny efekt interakcji

korzystny efekt interakcji

(4.12a)

(4.12b)

28


4.5.2. Efekty interakcji obciążeń

Ponieważ reguła Palmgrena - Minera nie uwzględnia efektu interakcji obciążeń, w bardzo

wielu przypadkach może dawać wyniki wysoce niezgodne z doświadczeniem, zarówno

nadmiernie zachowawcze, jak i niezachowawcze. Może być:

1

100100

N

N rzeczywiste

f P M

f

,

Sposoby uwzględniania efektu interakcji obciążeń:

1) nieliniowe reguły kumulacji uszkodzeń

2) względna reguła P M

3) uwzględnienie amplitud poniżej trwałej wytrzymałości zmęczeniowej

29


Ad. 2 Względna reguła Palmgrena-Minera (Schütz, 1972)

Założenie: jeżeli dwie historie obciążenia są dostatecznie podobne, to odchylenia od reguły

P - M mają te same kierunki i względne wartości.

Jeżeli dla jednego spektrum znamy gdzie to odpowiednio

trwałości rzeczywiste i obliczone z reguły P-M, to dla drugiego spektrum które jest

„podobne” będzie:

obl fekspf NN , ekspfN obl fN

obl obl "" fekspffekspf NNNN

a stąd:

obl obl "" fekspffekspf NNNN (4.13)

Wada: brak ogólnego kryterium „podobieństwa” spektrum.

30


Ad. 2 Względna reguła Palmgrena-Minera (Schütz, 1972)

Praktyczne zastosowanie: a) historia eksploatacyjna inna niż projektowa (zmiana zadań urządzenia, inne niż

przewidziano warunki eksploatacji),

b) spektrum eksploatacyjne nie zostało ocenione prawidłowo,

c) nie jest możliwe przeprowadzenie w laboratorium badań symulujących pełną historię

obciążenia w eksploatacji, np.: w przypadku spektrum obciążenia o długim „ogonie”

małych amplitud ze względów czasowych trzeba pominąć znaczną liczbę „małych” cykli

Rys. 4.11 Ilustracja konieczności

pominięcia „małych” cykli w

badaniach laboratoryjnych

31


Rys. 4.11 Ilustracja konieczności

pominięcia „małych” cykli w

badaniach laboratoryjnych

N - liczba przekroczeń danego poziomu amplitudy a

liczba cykli uwzględniona w badaniach laboratoryjnych: 107

liczba cykli przewidywana w eksploatacji: 109

liczba cykli pominiętych w badaniach laboratoryjnych Npom = 109-107 cykli = 9.9x108 cykli

Zysk na czasie badań przy założeniu częstości obciążenia 20 Hz:

109 cykli = 578 dni; 108 cykli = 58 dni; 107 cykli = 6 dni

Widma lotnicze: pominięcie cykli o amplitudach poniżej 0.5Z - wzrost trwałości o 10 - 30 %.

„Małe” cykle w realistycznych, nieregularnych historiach obciążenia mogą się okazać

szkodliwe, gdy w materiale istnieją już mikrouszkodzenia zmęczeniowe (także pasma

poślizgów) spowodowane przez poprzedzające cykle.

32


Ad. 3 uwzględnienie amplitud poniżej trwałej wytrzymałości zmęczeniowej

1

23

107

a

Z

(log)Nf

Rys. 4.12 Różne propozycje modyfikacji krzywej S-N do

obliczeń trwałości przy obciążeniach zmienno-

amplitudowych, 1 - obciążenie stałoamplitudowe (krzywe

Wöhlera)

Modyfikacja krzywej S-N wg linii 2 lub 3.

Poprawa ocen trwałości przy zmiennych amplitudach przy użyciu linii 2 lub 3

jest możliwe tylko przy niekorzystnych efektach interakcji (por. równanie

4.12a). przy korzystnych efektach interakcji (por. równanie 4.12b) użycie linii

2 lub 3 spowoduje pogorszenie ocen Nf.

33


34

i=1 n

RainFlow

= f(t)

t

=

zr

kfi, kfmi

kt, , , 𝒌𝒇 = 𝟏 +

𝒌𝒕 − 𝟏

𝟏 + 𝜶 𝝆

𝒌𝒇 = 𝟏 +𝒌𝒕 − 𝟏

𝟏 + 𝜷 𝝆

Ni

ai , mi

ari

Nfi

ar

Nf

R=-1

𝒌𝒇𝝈𝒂


𝑹𝒎= 𝟏

𝒌𝒇𝝈𝒂


𝑹𝒎

𝟐

= 𝟏

𝒌𝒇𝝈𝒂


𝝈𝒇′ = 𝟏

ai mi

Reguła P-M


Bf


4.5.3. Zliczanie cykli – metoda Rainflow

W przypadku nieregularnych historii obciążenia (por. np. rys. 4.8- 4.10) nie jest jasne, jakie

wydarzenie uznać za cykl obciążenia. W licznych metodach liczenia cykli, które

zaproponowano, wysunięto rozmaite propozycje. Obecnie za najbardziej racjonalne metody

liczenia cykli uważa się techniki typu Rainflow (pierwsza propozycja - T. Endo, Japonia,

1968). W metodzie Rainflow zawsze uwzględnia się zakres między najwyższym maksimum i

najniższym minimum.

Rys.4.13 Podstawowe wydarzenia obciążenia nieregularnego

35



Rys. 4.13 Podstawowe wydarzenia obciążenia nieregularnego

Rys. 4.14 Warunek naliczania cyklu metodą Rainflow

36



Rys. 4.15 Przykład naliczania cykli metodą

Rainflow

37


38

kfi, kfmi

kt, , , 𝒌𝒇 = 𝟏 +

𝒌𝒕 − 𝟏

𝟏 + 𝜶 𝝆

𝒌𝒇 = 𝟏 +𝒌𝒕 − 𝟏

𝟏 + 𝜷 𝝆 ai , mi

ari

Nfi

ar

Nf

R=-1

𝒌𝒇𝝈𝒂


𝑹𝒎= 𝟏

𝒌𝒇𝝈𝒂


𝑹𝒎

𝟐

= 𝟏

𝒌𝒇𝝈𝒂


𝝈𝒇′ = 𝟏

ai mi

Reguła P-M


Bf

i=1 n

RainFlow

= f(t)

t

=

zr

Ni

4.6. OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWIERAJĄCYCH KARBY

39

Pęknięcia zmęczeniowe i w rezultacie zniszczenie elementów konstrukcyjnych

zostają z reguły zainicjowane w karbach (nieciągłości geometryczne, jak otwory,

odsadzenia, rowki itp.). Przyczyna - spiętrzenie naprężeń spowodowane karbem,

którego miarą jest współczynnik koncentracji naprężeń kt (por p.6

„Przypomnienie” i rys.4.1c)

kt zależy od: geometrii elementu, sposobu obciążenia

kt nie zależy od: wielkości obciążenia, materiału, wielkości elementu

Uwaga: definicja naprężenia nominalnego S może się opierać na przekroju netto

lub brutto, a jej wybór wpływa na wartość kt.

W przykładzie z rys. 4.1c może więc być:

tdw

PS

lub

tw

PS

Wartości kt można znaleźć w różnych poradnikach.


40

Rys. 4.15. Przykłady zmienności kt dla różnych

karbów w zależności od geometrii


41

4.6.1. Wpływ karbu przy obciążeniach statycznych.

Rys.4.16 Element z karbem a) i rozkład naprężeń dla różnych przypadków: b) odkształcenie

liniowo - sprężyste; c) lokalne płynięcie w materiale ciągliwym; d) płynięcie całego przekroju

w materiale ciągliwym; e) naprężenie niszczące dla próbki z materiału kruchego


42

4.6.1. Wpływ karbu przy obciążeniach statycznych.

Rys.4.16

Materiały ciągliwe (rys. 4.16 b-d): stan naprężenia w przekroju karbu przed

zniszczeniem (rys. 4.16d) jest taki, jak w próbce gładkiej o przekroju An. Stąd zniszczenie

próbki z karbem, gdy:

S = naprężenie niszczące w próbce gładkiej o przekroju An, tj.:

S = Re (płynięcie przekroju netto), S = Rm (utrata spójności)

Materiały kruche (rys.4.16e): utrata spójności, gdy:

max Rm czyli

t

m

k

RS


43

4.6.2. Wpływ karbu przy obciążeniach zmęczeniowych - współczynnik działania

karbu.

Gdyby o wytrzymałości zmęczeniowej decydowało naprężenie na dnie karbu,

to byłoby: t

fa

fak

NS

N

(4.14)

gdzie:

a(Nf) - wytrzymałość zmęczeniowa próbki gładkiej

Sa(Nf) - wytrzymałość zmęczeniowa próbki z karbem wyrażona w naprężeniach nominalnych

a i Sa - przy tej samej trwałości Nf

Doświadczenie wskazuje, że:

t

fa

fak

NS

N

(4.15)

Współczynnik działania karbu kf (polskie oznaczenie k), definicja:

ar

arf

Sk

(4.16)

gdzie ar i Sar odnoszą się do R = - 1 i długiej trwałości (Nf = 106 107 cykli)


44


karbu.

Rys. 4.17 Wpływ karbu przy zginaniu

obrotowym na krzywą S - N, stopu

aluminium oraz porównanie wytrzymałości

zmęczeniowej zredukowanej przy użyciu kt

i kf

Wnioski z rys. 4.17:

krzywa - - - wg równania (4.14) leży pod

eksperymentalną krzywą S-N próbki z

karbem dla wszystkich trwałości

krzywa wg równania (4.16) leży pod

eksperymentalną krzywą S-N próbki z

karbem dla niskich trwałości. Oznacza to, że

stosunek wytrzymałości zmęczeniowej próbki

gładkiej do wytrzymałości zmęczeniowej

próbki z karbem zależy od trwałości:

(4.17)

ff

far

far

f kNfNS

Nk

)(

)(


45


karbu.

Współczynnik wrażliwości na karb (definicja):

10 1

1

q

k

kq

t

f

(4.18)

Wartości graniczne q:

q=1, kf = kt (najwyższy możliwy wpływ karbu na wytrzymałość zmęczeniową)

q=0, kf =1 (karb nie wpływa na wytrzymałość zmęczeniową)


46

4.6.3. Przyczyny efektu kf < kt - interpretacja jakościowa

(4.19)

1) Gradient naprężeń w karbie (por. rys. 4.18)

Rozkład naprężeń w przekroju karbu y(x) przy założeniu materiału idealnie liniowo - sprężystego; gradient naprężeń - miara spadku naprężeń ze wzrostem odległości x punktu od karbu

a) uszkodzenie zmęczeniowe w pewnej małej, skończonej objętości materiału

Rys. 4.18 Interpretacja wytrzymałości

zmęczeniowej jako średniego

naprężenia w skończonej odległości

od wierzchołka karbu


47


1) Gradient naprężeń w karbie

a) uszkodzenie zmęczeniowe w pewnej małej, skończonej objętości materiału

(4.19)

kf wg (4.19) będzie tym bardziej różnić się od kt

im większy gradient naprężeń, a więc im mniejszy

promień karbu . Trend zgodny z doświadczeniem,

jak pokazuje rys. 4.19.

kśrednia amplituda naprężenia między x i x

Sf

at

0 k

Rys. 4.19 Współczynniki działania karbu dla

różnych promieni karbu wyznaczone doświadczalnie

z równania (4.16) dla stali miękkiej przy zginaniu

obrotowym


48



b) teoria najsłabszego ogniwa

Przy ustalonej wartości max region wysokich naprężeń koniecznych do inicjacji

uszkodzenia w miejscu defektu mikrostrukturalnego jest tym mniejszy, im wyższy

gradient dy /dx.

Argument statystyczny: im mniejsza objętość materiału poddanego działaniu

wysokich naprężeń, tym niższe prawdopodobieństwo, że znajdzie się tam defekt

mikrostruktury, w którym nastąpi inicjacja pęknięcia (por. p. 1.2).

Stąd współczynnik kf będzie niższy przy większym gradiencie naprężeń, a więc

mniejszym promieniu .


49



c) obecność pęknięcia (por. rys. 4.20)

Wierzchołek pęknięcia o długości l w próbce

gładkiej znajduje się w strefie wyższych

naprężeń, niż wierzchołek takiego samego

pęknięcia w próbce z karbem.

Potwierdzenie: obecność tzw. pęknięć

niepropagujących w próbkach z ostrymi karbami

poddanych zmęczeniu wysokocyklowemu

(Nf=106-107 cykli) przy amplitudach poniżej

wytrzymałości zmęczeniowej.

Rys. 4.20 Próbka gładka i próbka z karbem przy tych samych

naprężeniach lokalnych w miejscu zainicjowania pęknięcia (l = 0)


50


2) Odkształcenia plastyczne w karbie

Dotyczy zmęczenia niskocyklowego we wszystkich materiałach i zmęczenia

wysokocyklowego w materiałach o bardzo wysokiej ciągliwości:

W strefie plastycznej karbu a< kt Sa, stąd musi być kf < kt

Rys. 4.21 Efekt odwróconego płynięcia w niewielkim obszarze w pobliżu karbu przy

amplitudzie naprężeń Sa


51

4.6.4. Empiryczne oszacowanie kf

Najczęściej używane równania empiryczne:

a) Równanie Petersona: k

kf

t

11

1

(4.20)

- stała materiałowa (zależna od sposobu obciążenia):

zginanie, rozciąganie:

mm - stopy Al

mm - stale niskowęglowe

normalizowane

mm - stale hartowane i temperowane

051

0 25

0 064

.

.

.

wyżarzane lub

skręcanie: skr 0.6

Stale o podwyższonej i wysokiej wytrzymałości:

MPa 550R mm2070

025.0 m

8.1

mR

MPa (4.21)

- promień dna karbu


52


a) Równanie Petersona:

kk

ft

11

1

(4.20)

mm2070

025.0

8.1

mR

MPa

(4.21)

dla Rm 550MPa

Rys. 4.22 Współczynnik wrażliwości na karb q

(a) i wartości stałej (b) dla stali wg równania

Petersona (4.20).


53


b) Równanie Neubera:

(4.22)

(4.23)

Rys. 4.23 Współczynnik wrażliwości na karb q

(a) i wartości stałej dla stali (b) wg równania

Neubera

1

11 t

f

kk

- stała materiałowa (zależna od sposobu

obciążenia)

- promień dna karbu

mmMPaRm

586

134log

dla Rm 1520 MPa (stale)


54


b) Równanie Neubera:

(4.22)

1

11 t

f

kk

a) Równanie Petersona:

1

11 t

f

kk

(4.20)

Równania (4.20) i (4.22) nadają się do przybliżonego oszacowania kf dla karbów

konstrukcyjnych (stosunkowo łagodnych).

Jeżeli karb jest głęboki i ostry, to lepszym podejściem jest mechanika pękania.


55


Wnioski z rys. 4.22a) i 4.23a):

dla danego materiału: q rośnie z ;

dla danej klasy materiałów: q rośnie z Rm;

rozbieżność między kf i kt jest największa dla materiałów o dużej ciągliwości i ostrym

karbie (por. też rys. 4.19).

Rys. 4.22 a) Rys. 4.23 a)


56

4.6.5. Wpływ karbu przy średnich i krótkich trwałościach

Generalnie, stosunek wytrzymałości próbki gładkiej ar do wytrzymałości próbki z karbem Sar

zależy od trwałości, por. równanie (4.17) i rys. 4.17:

ff

far

far

f kNfNS

Nk

)(

)((4.17)

Rys. 4.17 Wpływ karbu przy zginaniu obrotowym na krzywą

S-N, stopu aluminium oraz porównanie wytrzymałości

zmęczeniowej zredukowanej przy użyciu kt i kf.


57


A) Metale o dużej ciągliwości:

Wpływ odwróconego płynięcia (por. rys. 4.21) jest

tym większy, im wyższe naprężenia, a więc im

niższa trwałość.

Stąd kf zmienia się od kf = kf (duże trwałości) do

kf 1 (małe trwałości).

Rys. 4.24 Wyniki badań metalu ciągliwego

ilustrujące zależność wpływu karbu od trwałości.

Punkty z wykresu S - N (rys. a) zostały użyte do

otrzymania kf = a /Sa (rys. b)


58



Gdyby o wytrzymałości zmęczeniowej elementu konstrukcyjnego decydowała tylko

amplituda naprężenia na dnie karbu a, to:

Rys. 4.25. Wyjaśnienie trendów widocznych na rys. 4.24 przy pomocy koncepcji odwróconego

płynięcia dla materiału sprężysto - idealnie plastycznego.


59



Rys. 4.25a):

brak uplastycznienia (kt Sa Re), a,A=kt Sa,

stąd kf = kt (4.24)

por. zakres (a) wykresu na rys. 4.25d

Rys. 4.25d):


60



Rys. 4.25b)

odwrócone płynięcie tylko w otoczeniu karbu

(kt Sa Re)

a,A=Re, stąd kf =Re/ Sa (4.25)

por. zakres (b) wykresu na rys. 4.25d

Rys. 4.25d):


61



Rys. 4.25c):

odwrócone płynięcie w całym przekroju netto

(Sa Re) – por. rys. 4.16d.

Jednorodny stan naprężenia w przekroju

karbu, podobnie jak w próbce gładkiej

a=Sa, stąd kf 1 (4.26)

por. zakres (c) wykresu na rys. 4.25d)

Rys. 4.25d):


62



Rys. 4.25 d)

Wniosek:

Linia kf (Sa) z rys. 4.25d) dobrze przybliża w sensie jakościowym trend w wartościach kf

[Nf(Sa)] z rys. 4.24b). Różnica między poziomem kf =kf i wartością kt (przy długich

trwałościach) wskazuje jednak na dodatkowy wpływ innych niż odwrócone płynięcie

czynników na kf (por. p. 4.6.3).

Rys. 4.24 b)


63


B) Metale o niskiej ciągliwości (quasi kruche):

Ponieważ zniszczenie w metalach kruchych nie jest poprzedzone makroskopowymi

odkształceniami plastycznymi (por. rys. 4.16e):

kf kf ( kt) (4.27)

nawet przy niskich trwałościach.

Rys. 4.26 Krzywa oparta na danych

doświadczalnych przy Nf=103 ilustrująca

słuszność założeń (4.26) i (4.27) dla

metali odpowiednio ciągliwych (niska

Rm) i kruchych (wysoka Rm)


64

kfi, kfmi

ari

Nfi

ar

Nf

R=-1

𝒌𝒇𝝈𝒂


𝑹𝒎= 𝟏

𝒌𝒇𝝈𝒂


𝑹𝒎

𝟐

= 𝟏

𝒌𝒇𝝈𝒂


𝝈𝒇′ = 𝟏

ai mi

Reguła P-M


Bf

i=1 n

RainFlow

= f(t)

t

=

zr

Ni

kt, , ,

ai

𝒌𝒇 = 𝟏 +𝒌𝒕 − 𝟏

𝟏 + 𝜶 𝝆

𝒌𝒇 = 𝟏 +𝒌𝒕 − 𝟏

𝟏 + 𝜷 𝝆

ari=kfiai


65

4.6.6. Wpływ karbu przy niezerowych nominalnych naprężeniach średnich, Sm0

A) Metale quasi kruche:

Zakładamy, że ekstremalne wartości naprężeń nominalnych Smax, Smin nie wywołują

uplastycznienia w karbie, tzn.:

kt |Smax| < Re i kt |Smin| < Re

wówczas:

a = kt Sa , m = kt Sm (4.28)

Wpływ lokalnego naprężenia średniego m na trwałość można wówczas ocenić np. z

równania Goodmana (4.2):

mm

aar

R

1

Podstawiając (4.28) do (4.2) otrzymamy: mmt

atar

RSk

Sk

1 (4.29)

gdzie:

ar - amplituda cyklu wahadłowego w próbce gładkiej przy której trwałość jest taka sama,

jak w elemencie z karbem o współczynniku koncentracji naprężeń kt przy amplitudzie

naprężenia nominalnego Sa i nominalnym naprężeniu średnim Sm


66



Rys. 4.27 Ilustracja procedury uwzględnienia

wpływu karbu przy Sm 0 dla materiału kruchego


67



mmt

atar

RSk

Sk

1

Dyskusja równania (4.29):

1) W równaniu (4.29) często stosuje się kf zamiast kt bo dla materiału kruchego:

kf kt kf , zgodnie z równaniem (4.27).

2) Przypadki szczególne:

(4.30a)

mmtarat RSkSk 1

Sm można przy Sa=0 traktować jako wytrzymałość statyczną próbki z karbem o

współczynniku koncentracji naprężeń kt zgodnie z obserwacją, że dla materiałów

kruchych wytrzymałość statyczna próbek z karbem jest zredukowana przez kt (por.

rys. 4.16e).

fartar kk /S lub /S to0=Sgdy aam a)

fmtm kRkR /S lub /S to0Sgdy mma (4.30b) b)


68



Wykres równania (4.29) ilustrujący równania (4.30) jest oznaczony jako linia

„kruche” na rys. 4.28.

(4.32)

(4.29) Rys. 4.28 Przybliżone wykresy wpływu

naprężenia średniego na wytrzymałość

zmęczeniową próbek gładkich i próbek z karbem

w przypadkach metali kruchych i ciągliwych.


69


B) Materiały ciągliwe:

Ponieważ wytrzymałość statyczna próbek z karbem jest taka sama jak próbek gładkich

(por rys.4.16d), to gdy:

Sa = 0 Sm = Rm (4.31)

Wytrzymałość zmęczeniowa Sa próbki z karbem jest zredukowana w stosunku do

wytrzymałości próbki gładkiej przez kf (Nf), por. równania (4.17) tzn. Sa = a / kf .

Stąd równanie Goodmana w formie:

mm

af

arRS

Sk

1

(4.32)


70


B) Materiały ciągliwe:

Stąd równanie Goodmana w formie:

mm

af

arRS

Sk

1

(4.32)

Na wykresie (rys. 4.28) ilustrującym

równanie (4.32) przyjęto kf = kf, co jest

założeniem zachowawczym, bo kf < kf .

(4.32)

(4.29)

Rys. 4.28 Przybliżone wykresy wpływu

naprężenia średniego na wytrzymałość

zmęczeniową próbek gładkich i próbek z

karbem w przypadkach metali kruchych i

ciągliwych.


71


C) Koncepcja uogólniona:

Równania (4.29) i (4.32) (przy czym w (4.29) załóżmy kf zamiast kt) mogą być

przedstawione wspólnie w formie:

mmfm

af

arRSk

Sk

1

a) gdy dana jest krzywa S - N dla próbki gładkiej przy

R = -1:

b) gdy dana jest krzywa S - N w naprężeniach nominal-

nych dla próbki z karbem przy R = -1: mmfm

aar

RSk

SS

1

(4.33a)

(4.33b)

gdzie: kfm - współczynnik działania karbu dla naprężeń

średnich, który wynosi:

kfm = m / Sm (4.34)

materiały kruche: kfm = kf kf

materiały ciągliwe (w uproszczeniu): kfm = 1

(4.35a)

(4.35b)


72



Dokładne określanie współczynnika działania karbu dla naprężeń średnich (kfm)

w przypadku materiałów ciągliwych:

gdy: kt Smax< Re i kt Smin < Re (rys.4.29a) kfm = kt (4.36)

Rys. 4.29. Próbka z karbem z materiału sprężysto - idealnie plastycznego przy obciążeniu

cyklicznym z niezerowym nominalnym naprężeniem średnim: a) brak płynięcia;


73





gdy: kt Smax > Re i kt S < 2Re (rys.4.29b)

- brak odwróconego płynięcia:

stąd:

max ateatm SkRSk

(4.37)

m

atefm

S

SkRk


cyklicznym z niezerowym nominalnym naprężeniem średnim: b) płynięcie tylko przy

obciążeniu Smax


74





gdy: kt Smax> Re i kt Smin>Re (rys.4.29c)

- odwrócone płynięcie, wówczas dla materiału idealnie sprężysto-plastycznego:

max = Re i min = -Re m = 0 kfm = 0 (4.38)


cyklicznym z niezerowym nominalnym naprężeniem średnim: c) odwrócone płynięcie


75





Uwagi:

kfm obliczone wg (4.37) mieści się w zakresie pomiędzy minimalną wartością

kfm = 0 wg (4.38) i maksymalną wartością kfm = kt wg (4.36).

Ogólnie odwrócone płynięcie ma miejsce, gdy:

et RSSk 2minmax

et RRSk 21max Rk

RS

t

e

1

2max


76




cyklicznym z niezerowym nominalnym naprężeniem średnim: a) brak płynięcia; b) płynięcie

tylko przy obciążeniu Smax; c) odwrócone płynięcie; d) zależność współczynnika działania

karbu dla naprężeń średnich, kfm, od Smax wg równań (4.35) - (4.37)


77

4.6.6. Przykłady przybliżonej konstrukcji krzywej S-N dla elementów z karbami (R = -1)

a) Metoda Collinsa (1981, tylko metale ciągliwe)

Rys. 4.30 Konstrukcja wykresu Collinsa

Założenie: ar(106) = Zrc;

gdzie: Zrc wytrzymałość zmęczeniowa trwała próbki gładkiej przy R = -1


78

4.6.6. Przykłady przybliżonej konstrukcji krzywej S-N dla elementów z karbami (R = -1)

b) Metoda Juvinalla (1991, materiały ciągliwe i kruche).

Odcinek między Nf = 1 i Nf = 103 tylko dla materiałów ciągliwych.

Rys. 4.31 Konstrukcja wykresu Juvinalla

Założenia:

1) kf= kf (założenie zachowawcze). Inni autorzy:

kf=kf dla materiałów kruchych

kf=1 dla materiałów ciągliwych.

2) NZ = 106 (stale, żeliwa)

NZ= 5108 (stopy Al).

3) m, m - współczynniki zależne od: sposobu obciążenia, materiału, wielkości elementu, stanu powierzchni.

Reguła P-M


t

1

,

2,

3

zr= f(t)

Bannantine & Socie

Koncepcje wieloosiowego zmęczenia

Crossland Dang Van

Wang-Brown etc….

4.7. UOGÓLNIONA PROCEDURA OBLICZENIA TRWAŁOŚCI ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH

79

ari

𝒌𝒇𝝈𝒂


𝑹𝒎= 𝟏

𝒌𝒇𝝈𝒂


𝑹𝒎

𝟐

= 𝟏

𝒌𝒇𝝈𝒂


𝝈𝒇′ = 𝟏

ai mi

i=1 n

RainFlow

= f(t)

t

=

zr

Nfi

Bf

kfi, kfmi

kt, , ,

ar

Nf

R=-1

𝒌𝒇 = 𝟏 +𝒌𝒕 − 𝟏

𝟏 + 𝜶 𝝆

𝒌𝒇 = 𝟏 +𝒌𝒕 − 𝟏

𝟏 + 𝜷 𝝆

Ni

ai , mi

Documents

Metoda naprężenia nominalnegozwmik.imir.agh.edu.pl/dydaktyka/dla_studentow/imir/IK... · 2014-05-14 · Rys 4.1. Przykłady rozkładu napręże ... Man-Ten walcowana na gorąco