Simpleks yöntemi

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI TEZLİ YÜKSEK LİSANS SIMPLEX YÖNTEMİ

Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 1

Simplex Simplex ile

Çözüm Yöntemi

1Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ

Doğrusal Programlama Modeli

Maksimizasyon

İşçilik, saat)

(Kil, kg)

y

s.t.

2 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ



Modelin Standard Hali

Maksimizasyon

s.t.





Miktar

Temel

Değişkenler


Temel

MiktarDeğişkenler

Maksimizasyon

s.t.




Temel

MiktarDeğişkenler

Maksimizasyon

s.t.


Temel

MiktarDeğişkenler

Maksimizasyon

s.t.




Temel

MiktarDeğişkenler

Maksimizasyon

s.t.


Temel

MiktarDeğişkenler

Maksimizasyon

s.t.




Temel

MiktarDeğişkenler

Maksimizasyon

s.t.


Temel

MiktarDeğişkenler

Maksimizasyon

s.t.




Temel

MiktarDeğişkenler

Maksimizasyon

s.t.


tim

iB

ard

ak Ü

ret

Kase Üretimi14 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ



PivotColumn

Temel

Pivot Sütun

MiktarDeğişkenler

Largestcj-zj value

En Büyük

Cj – Zj Değeri


50$

Kar

40$ Kar16 Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ



PivotColumn

Temel

Pivot Sütun

MiktarDeğişkenler

Largestcj-zj value

40 / 2 = 20

120 / 3 = 40

En Büyük

Cj – Zj Değeri


PivotColumn

PivotSıra

Temel

Pivot Sütun

MiktarDeğişkenler

Largestcj-zj value

En Küçük Değer PivotSayı

En Büyük

Cj – Zj Değeri




Temel Değişken GirerTemel

Temel Değişken

Çıkar

Değişkenler


Temel

MiktarDeğişkenler




1 / 2 = 2 / 2 = 1 / 2 = 0 / 2 =40 / 2 =

Temel

MiktarDeğişkenler

Yeni tablodaki pivot satır değerleri =Eski tablodaki pivot satır değerleri

Pivot sayı


4 – (3 x 1/2) =

3 – (3 x 1) =120 – (3 x 20) =

0 – (3 x 1/2) =

1 – (3 x 0) =

Temel

MiktarDeğişkenler

Yeni tablodaki sıra değerleri =

Eski tablo sıra değerleri –Pivot sütuna karşılık gelen

katsayılar

Yeni tabloda X hesaplanan

pivot satır değerleri

( )




Temel

MiktarDeğişkenler


Temel

MiktarDeğişkenler




Temel

MiktarDeğişkenler


Temel

MiktarDeğişkenler




Pivot Sütun

PivotRow

Temel

PivotSıra

MiktarDeğişkenler

En Küçük Değer PivotSayı

En BüyükCj – Zj Değeri


Temel Değişken Girer

Temel

Temel Değişken

Çıkar

Değişkenler




T l

Miktar

Temel

Değişkenler

Optimal Çözüm


MinimizasyonMinimizasyon

s.t. kg nitrojen

kg fosfatkg fosfat




Mi i iMinimizasyon

s.t.


Miktar

Temel

Değişkenler

Minimizasyon

s.t.




Miktar

Temel

Değişkenler

Minimizasyon

s.t.


Miktar

Temel

Değişkenler

24 – (3 x 4) = 12

Miktar

Temel

Değişkenler




Miktar

Temel

Değişkenler


T l

Miktar

Temel

Değişkenler




T l

Miktar

Temel

Değişkenler

Optimal çözüm


Özetlersek; simplex yöntemiyle gerçekleştirilen bir minimizasyon probleminde kısaca aşağıdaki adımlara uyulmalıdır.

1. İçerisinde “ ≥ ” olan tüm kısıtları, ifadelerden artık değişkenler çıkararak ve suni değişkenler ilave ederek eşitlikler haline dönüştürünüz.

2. Amaç fonksiyonunda yer alan her suni değişkenin “ M ” değerlerine bir Cj değişkeni atayınız.

3. Cj – Zj sırasını Zj – Cj şekline çeviriniz.




Örnek

Bir deri firması standard tasarımda el yapımı çanta ve bavulüretmektedir. Firma üretmekte olduğu her çanta başına 400$, her bavulbaşına ise 200$ kar sağlamaktadırbaşına ise 200$ kar sağlamaktadır.

Firma yapmış olduğu anlaşma gereğince bir mağazaya ayda 30 adetürün temin etmeyi garanti etmiştir.

Deri hammaddesi sağlayan tabakhane ise firmaya aylık olarak 80 m2

deri sağlamaktadır. Firma sağlanan bu deri hammaddesinin mümkünolduğunca en az miktarını kullanmak istemekle birlikte, tabakhanedenğdaha fazla sipariş talebinde de bulunabilmektedir.

Çanta üretiminde 2m2, bavul üretiminde ise 8m2 deri hammaddesitüketilmektedir.


İstenilenler

Geçmiş performans verilerini dikkate alan firmanın sahipleriayda 20 çantadan fazla üretim gerçekleştirilemediğinibelirtmektedir.

Firmanın sahipleri kar maksimizasyonunu sağlayacak olançanta ve bavul üretimi düzeylerinin tespit edilerekkendilerine bir rapor halinde sunulmasını istemiştir.




Problemin Simplex Yöntemiyle Çözümü

MaksimizasyonMaksimizasyon

s.t. anlaşmadaki talep miktarıkullanılan deri miktarı (m2)çanta


1. Adım : Model kısıtında yer alan eşitsizliklerin eşitlik haline dönüştürülmesi

DüzenlemeKısıt

Gevşek “Slack” değişken ilavesi

Suni değişken ilavesi

Artık “Surplus” değişkenin çıkartılması ve suni değişkenin ilave edilmesi

Amaç Fonksiyonunun Katsayısı

Maksimizasyon Minimizasyon




M k i iMaksimizasyon

s.t.


2. Adım : Mümkün olan ilk temel çözüm için başlangıç tablosunun hazırlanması ve Zj, Cj-Zj sıra değerlerinin tespiti.

Temel

Miktar

Temel

Değişkenler




3. Adım : cj – zj satırındaki en yüksek pozitif değere sahip olan kolonun belirlenerek Pivot Sütunu”nun tespiti

Temel

Miktar

Temel

Değişkenler


4. Adım : Pivot satırının tespit edilmesi (miktar sütunundaki değerlerin kendilerine karşılık gelen pivot sütunu değerlerine

bölünmesi sonucu en küçük değerli sütun elemanının seçilerek “Pivot elemanın belirlenmesi.

Miktar

Temel

Değişkenler




Yeni tablodaki pivot satırı değerleri = Yeni tablodaki pivot satırı değerleri

Pivot elemanı

5. Adım : Aşağıdaki formülün kullanılarak Pivot Satırındaki elemanların hesaplanması

Temel

MiktarDeğişkenler

80 / 8 = 102 / 8 = 1/4

8 / 8 = 1-1 / 8 = -1/8 1 / 8 = 1/8


6. Diğer tüm satır değerlerinin aşağıdaki formül yardımıyla hesaplanması:

Yeni tablodaki sıra değerleri = Eski tablo sıra değerleri –

Pivot sütuna karşılık gelen

katsayılar

Yeni tabloda X hesaplanan

pivot satır değerleri

( )değerleri

Miktar

Temel

Değişkenler

30 – (1 x 10) = 20 1 – (0 x 0) = 120 – (0 x 10) = 20




7. Adım : Yeni Zj ve Cj – Zj sıra değerlerinin tespit edilmesi.

Miktar

Temel

Değişkenler


8. Adım : Cj – Zj satırındaki değerler incelenir ve söz konusu değerler sıfır veya negatif değilse optimal çözüme ulaşıldığı

kabul edilir. Ancak, pozitif değerler var ise Adım 3’ten itibaren yapılan işlemler tekrarlanarak Cj-Zj farkının sıfır veya negatif

olana dek devam ettirilmesi (iterasyon) sağlanır, diğer ifadeyle simplex adımlarına devam edilir.

Miktar

Temel

Değişkenler




3 ncü Simplex Tablosu

T l

Miktar

Temel

Değişkenler


The Optimal Simplex Tableau

Miktar

Temel

Değişkenlerğ ş

x1 = 20 adet çantax2 = 10 adet bavuls1 = 40 m2 fazla deri hammaddesiZ = 10.000 $ aylık kar




Düzensiz Yapıdaki Düzensiz Yapıdaki Doğrusal Programlama

Problemeleri

53Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ

B Noktası C Noktası




Çoklu Optimal Çözümler

Miktar

Temel

Değişkenler


Maksimizasyon Z = 5x1 + 3x2

s.t.4x1 + 2x2 8x1 4x2 62

x1, x2 0





Mümkün Bir Çözümü Olmayan Problem

Temel

Miktar

Temel

Değişkenler




Maksimizasyons.t.





Sınırsız Yapıdaki Bir Problem

Temel

Değişkenler Miktar

Sınırsız yapıdaki bir problemde pivot satırın seçimi yapılamamaktadır.


Bağlı olan iki sutün rastgele seçilmektedir.

Pivot Sutünunun Bağlanması




Pivot Satırı Dejenerasyonu için Yaılan Bağ

Temel

Miktar

Temel

Değişkenler

Bağ


T l

Miktar

Temel

Değişkenler





Standart bir Simpleks çözümü pozitif sağ-el değerlerine

Negatif Miktarlı Değerler

- 6x1 + 2x2 - 30

(-1) (- 6x1 + 2x2 -30)

sahip olmalıdır.

6x1 - 2x2 30




Primer Yapı İkili (Dual) Yapı


T l

Miktar

Temel

Değişkenler




T l

Miktar

Temel

Değişkenler


T l

Miktar

Temel

Değişkenler




Orjinal Optimal ÇözümOrjinal Optimal Çözüm

q2 de değişiklik yapılması sonucu oluşan yeni optimal çözüm


T l

Miktar

Temel

Değişkenler




T l

Miktar

Temel

Değişkenler


Documents

Simpleks yöntemi