Metode Simpleks

Latihan :

1. Galuh Chemical Company harus membuat 1000 unit campuran

phospate dan postassium. Biaya per unit phospate adalah $5,

sedangkan biaya per unit postassium $6. Jumlah phospate

yang dapat digunakan tidak lebih dari 300 unit sedangkan

postassium harus digunakan minimal 150 unit. Berapa masing-

masing jumlah phospate dan postassium yang harus

digunakan agar biaya total minimum ? (gunakan metode

grafik)

2. Kawat sepanjang 24 m akan digunakan untuk memagari

sebuah kandang kambing berbentuk persegi panjang.

Tentukan ukuran pagar tersebut agar luasnya maksimum !

Latar Belakang

Sulitnya menggambar grafik berdimensi banyak atau kombinasi lebih dari 2 variabel

Metode grafik tidak mungkin dapat dilakukan untuk menyelesaikan masalah program linear yang melibatkan lebih dari dua variabel

Dalam keadaan ini (variabel lebih dari dua) dibutuhkan metode lain yang sering disebut metode simplex

Metode ini diperkenalkan oleh George B. Dantzig pada tahun 1947

Metode Simplex

Metode simplex merupakan prosedur iterasi yang bergerak bertahap dan berulang

Jumlah variabel tidak terbatas Penyelesaian masalah LP dengan

metode simplex harus menggunakan bentuk standar

Algoritma Simplex

1. Ubah fungsi tujuan ke dalam bentuk implisit.2. Masukkan semua nilai ke dalam tabel simplex.3. Tentukan kolom kunci (variabel keputusan) yang

masuk sebagai variabel basis (entering variable).→ kolom kunci adalah nilai Zi dengan nilai negatif

terbesar (untuk maksimasi) 4. Tentukan baris kunci : untuk menentukan

variabel yang akan keluar dari baris kunci (leaving variable)

→ Kriteria : nilai positif terkecil dari nilai kanan / nilai pada kolom kunci

→ Angka kunci : nilai pada perpotongan baris kunci dan kolom kunci

Algoritma Simplex

5. Susun tabel simplex baru. Untuk menentukan solusi yang baru gunakan metode OBE (Gauss-Jordan elimination) dengan cara :

Nilai baris kunci baru = nilai baris kunci yang lama dibagi angka kunci

6. Ubah nilai pada baris selain baris kunci.Nilai baris baru = nilai baris lama dikurangi hasil

perkalian angka pada kolom kunci dengan baris kunci yang baru

7. Ulangi langkah di atas sampai tidak terdapat nilai negatif pada baris Z. Iterasi berhenti saat tabel sudah optimal.

Tabel optimal jika : Semua nilai pada baris Z bernilai positif atau nol (untuk

maksimasi) Bernilai negatif atau nol (untuk minimasi)

Ketentuan Metode Simplex

Nilai kanan (NK) fungsi tujuan harus nol. Nilai kanan (NK) fungsi kendala harus positif. Fungsi kendala dengan tanda “≤” harus diubah

ke bentuk “=” dengan menambahkan variabel slack/surplus. Variabel slack/surplus disebut variabel dasar

Fungsi kendala dengan tanda “≥” diubah ke bentuk “≤” dengan cara mengalikan dengan (-1), lalu diubah ke bentuk persamaan dengan menambahkan variabel slack. Karena NK-nya bernilai negatif, dikalikan lagi dengan (-1) dan ditambahkan dengan artificial variable (M)

Fungsi kendala dengan tanda “=” harus ditambah artificial variable (M)

Mengubah ke Bentuk Standar

Fungsi kendala dengan tanda “≥” diubah menjadi persamaan dengan mengurangi suatu “variabel surplus” pada ruas kiri fungsi kendala.

Contoh :X1 + 6X2 ≥ 10Berubah menjadi :X1 + 6X2 – S2 = 10

S2 ≥ 0 merupakan variabel surplus Ruas kanan bertanda negatif diubah menjadi

positif dengan mengalikan kedua ruas dengan (-1)

Arah ketidaksamaan dapat berubah jika kedua ruas dikalikan (-1)

LP dengan Metode Simplex

Contoh : Fungsi tujuan :Memaksimalkan : Z = 3X1 + 5X2

Fungsi kendala :- 2X1 ≤ 8

- 3X2 ≤ 15

- 6X1 + 5X2 ≤ 30

Penyelesaian Metode Simplex (1)1. Mengubah fungsi tujuan dan fungsi

kendala. Fungsi tujuan :Z = 3X1 + 5X2 Z - 3X1 - 5X2 = 0 Fungsi kendala :- 2X1 ≤ 8 2X1 + S1 = 8

- 3X2 ≤ 15 5X2 + S2 = 15

- 6X1 + 5X2 ≤ 30 6X1 + 5X2 + S3 = 30

N.B : S1, S2, S3 adalah variabel slack.

Penyelesaian Metode Simplex (2)2. Menyusun setiap persamaan ke dalam

tabel simplex.

Var. dsr

Z X1 X2 S1 S2 S3 NK Indeks

Z 1 -3 -5 0 0 0 0

S1 0 2 0 1 0 0 8

S2 0 0 3 0 1 0 15

S3 0 6 5 0 0 1 30

Penyelesaian Metode Simplex (3)3. Memilih kolom kunci : kolom yang

mempunyai nilai pada baris Z yang paling negatif.

Var. dsr

Z X1 X2 S1 S2 S3 NK Indeks

Z 1 -3 -5 0 0 0 0

S1 0 2 0 1 0 0 8

S2 0 0 3 0 1 0 15

S3 0 6 5 0 0 1 30

Nilai paling negatif

Merupakan kolom kunci

Penyelesaian Metode Simplex (4)4. Memilih baris kunci : baris yang

mempunyai nilai indeks terkecil.

Var. dsr

Z X1 X2 S1 S2 S3 NK Indeks

Z 1 -3 -5 0 0 0 0

S1 0 2 0 1 0 0 8

S2 0 0 3 0 1 0 15

S3 0 6 5 0 0 1 30

kuncikolomnilai

NKkanannilaiindeks

)(=

8/0 =

15/3 = 5

30/5 = 6

Indeks

terkecil

Merupakan baris kunci

Pada langkah 5, S2 akan berubah menjadi X2

Penyelesaian Metode Simplex (5)5. Mengubah nilai-nilai baris kunci dengan

membaginya dengan angka kunci.Angka kunci : nilai yang posisinya berada pada

perpotongan kolom dan baris kunci

Baris kunci menjadi :

Var. dsr

Z X1 X2 S1 S2 S3 NK Indeks

Z 1 -3 -5 0 0 0 0

S1 0 2 0 1 0 0 8

X2 0 0 3 0 1 0 15 5

S3 0 6 5 0 0 1 30 6Angka kunci

Var. dsr

Z X1 X2 S1 S2 S3 NK Indeks

X2 0 0 1 0 1/3 0 5 5

Penyelesaian Metode Simplex (6)6. Membuat baris baru dengan mengubah nilai-

nilai baris (selain baris kunci) sehingga nilai-nilai kolom kunci =0, dengan perhitungan sbb :

Baris baru = baris lama – (KAKK x NBKB)KAKK : Koefisien Angka Kolom KunciNBBK : Nilai Baris Kunci Baru Baris ZBaris lama [ -

3-5 0 0 0 0 ]

NBKB -5 [ 0 1 0 1/3 0 5 ]

Baris baru -3 0 0 5/3 0 25

-

Penyelesaian Metode Simplex (6)

Baris S1

Baris S3

Baris lama [ 2 0 1 0 0 8 ]

NBKB 0 [ 0 1 0 1/3 0 5 ]

Baris baru 2 0 1 0 0 8

-

Baris lama [ 6 5 0 0 1 30 ]

NBKB 5 [ 0 1 0 1/3 0 5 ]

Baris baru 6 0 0 -5/3

1 5

-

Penyelesaian Metode Simplex (6)Masukkan nilai baris baru Z, S1, S3 ke dalam tabel sebagai berikut :

Var. dsr

Z X1 X2 S1 S2 S3 NK Indeks

Z 1 -3 0 0 5/3 0 25

S1 0 2 0 1 0 0 8

X2 0 0 1 0 1/3 0 5

S3 0 6 0 0 -5/3

1 5

Penyelesaian Metode Simplex (7)7. Ulangi langkah 3-6 hingga baris Z tidak ada

yang bernilai negatif.

Hasil langkah 3-4 :

Var. dsr

Z X1 X2 S1 S2 S3 NK Indeks

Z 1 -3 0 0 5/3 0 25

S1 0 2 0 1 0 0 8

X2 0 0 1 0 1/3 0 5

S3 0 6 0 0 -5/3

1 5

8/2 = 4

5/0 =

5/6

Kolom kunci (Zi paling negatif)

Indeks

terkecil

Merupakan baris kunci

Penyelesaian Metode Simplex (7)7. Ulangi langkah 3-6 hingga baris Z tidak ada

yang bernilai negatif.

Hasil langkah 5-6 :

Karena nilai Z sudah tidak ada yang (-) maka sudah diperoleh hasil solusi optimum, yaitu : X1 = 5/6 ; X2 = 5 ; Zmax = 27,5

Var. dsr

Z X1 X2 S1 S2 S3 NK Indeks

Z 1 0 0 0 5/6 1/2 27,5

S1 0 0 0 1 5/9 -1/3

X2 0 0 1 0 1/3 0 5

S3 0 1 0 0 -5/18

1/6 5/6

316