Metode Simpleks, Metode Simpleks yang Direvisi dan

Metode Dua Fasa

1. Alvian Dwi Kurnianto (10112667)2. Anindita Ayu Pratiwi (10112929)3. Nurul Rita Mustika ( 15112547)

Definisi:Metode Simpleks adalah teknik penentuan solusi optimal yang digunakan dalam pemrograman linier yang didasarkan pada teknik eliminasi Gauss-Jordan.

Metode Simpleks

1. Iterasi, merupakan tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya.

2. Variabel non basis, merupakan variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi.

3. Variabel basis, merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi.

4. Solusi atau nilai kanan, merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia.

Istilah-istilah yang Digunakan dalam Metode Simpleks

5. Variabel slack, merupakan variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan (=).

6. Variabel surplus, merupakan variabel yang dikurangkan dari model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan (=).

7. Variabel buatan, merupakan variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal.

8. Kolom pivot (kolom kerja), merupakan kolom yang memuat variabel masuk.

9. Baris pivot (baris kerja), merupakan salah satu baris dari antara variabel basis yang memuat variabel keluar.

10. Elemen pivot (elemen kerja), merupakan elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot.

11. Variabel masuk, merupakan variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya.

12. Variabel keluar, merupakan variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantikan oleh variabel masuk.

Ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam membuat bentuk baku, yaitu :

1. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan menambahkan satu variabel slack.

2. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≥ dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan mengurangkan satu variabel surplus.

3. Fungsi kendala dengan persamaan dalam benttuk umum,ditambahkan satu artificial variabel (variabel buatan).

Bentuk Baku

Fungsi tujuan : maksimumkan z = 3x1 + 2x2

Kendala : -x1 + 2x2 ≤ 4

3x1 + 2x2 ≤ 14

x1 - x2 ≤ 3

x1, x2 ≥ 0

Contoh:

Bentuk baku model matematik tersebut adalah:Fungsi tujuan : maksimumkan z = 3x1 + 2x2

Kendala : -x1 + 2x2 + S1 = 4

3x1 + 2x2 + S2 = 14

x1 - x2 + S3 = 3

x1, x2 ≥ 0

Semua variabel yang bukan variabel basis mempunyai solusi (nilai kanan) sama dengan nol dan koefisien variabel basis pada baris tujuan harus sama dengan 0. Oleh karena itu kita harus membedakan pembentukan tabel awal berdasarkan variabel basis awal.

Pembentukkan Tabel Simpleks

VB X1 X2 S1 S2 S3 NK

Z -3 -2 0 0 0 0

S1 -1 2 1 0 0 4

S2 3 2 0 1 0 14

S3 1 -1 0 0 1 3

Langkah-langkah Penyelesaian:1. Periksa kelayakan tabel.2. Menentukan kolom pivot.3. Menentukan baris pivot.4. Menentukan elemen pivot.5. Membentuk tabel simpleks yang baru.6. Periksa apakah tabel sudah optimal. Untuk tujuan

maksimisasi, tabel sudah optimal jika semua nilai pada baris z sudah positif atau 0. Pada tujuan minimisasi, tabel sudah optimal jika semua nilai pada baris z sudah negatif atau 0.

Contoh Soal

Diketahui: fungsi tujuan: Maksimumkanz = 3x1 + 2x2

Kendala : -x1 + 2x2 ≤ 4

3x1 + 2x2 ≤ 14

x1 - x2 ≤ 3

x1, x2 ≥ 0

Penyelesaian:Bentuk bakunya adalah:Fungsi tujuan : maksimumkan z =3x1+ 2x2

Kendala : -x1 + 2x2 + S1 = 4

3x1 + 2x2 + S2 = 14

x1 - x2 + S3 = 3

x1, x2 ≥ 0

Solusi atau Tabel Awal Simpleks

VB X1 X2 S1 S2 S3 NK Rasio

Z -3 -2 0 0 0 0

S1 -1 2 1 0 0 4

S2 3 2 0 1 0 14

S3 1 -1 0 0 1 3

VB X1 X2 S1 S2 S3 NK Rasio

Z -3 -2 0 0 0 0

S1 -1 2 1 0 0 4

S2 3 2 0 1 0 14 14/3

S3 1 -1 0 0 1 3 3

VB X1 X2 S1 S2 S3 NK Rasio

Z 0 -5 0 0 3 9 -

S1 0 1 1 0 0 7 7

S2 0 5 0 1 -3 5 1

X1 1 -1 0 0 1 3

VB X1 X2 S1 S2 S3 NK

Z 0 0 0 1 0 14

S1 0 0 1 -1/5 3/5 6

X2 0 1 0 1/5 -3/5 1

X1 0 0 0 1/5 2/5 4

Metode dua fase adalah metode yang digunakan jika variabel basis awal terdiri dari variabel buatan. Disebut metode dua fase, karena pada penggunaan proses optimasi dilakukan dengan dua tahap. Tahap pertama merupakan penggunaan proses optimasi variabel buatan, sedangkan penggunaan proses optimasi variabel keputusan dilakukan pada tahap kedua.

Metode Dua Fase

Langkah-Langkah Penyelesaian Dengan Teknik Dua Fase

Langkah-langkah:1. Tambahkan variable

buatan R kedalam batasan yang tidak memiliki variable slack.

2. Subtitusikan keluar variable buatan R1 dan R2 dalam fungsi tujuan.

3. Buat tabel simpleks tahap I

Tabel Iterasi Pertama:

r = 0 memiliki pemecahan yang layak lanjut ke tahap II

Table simpleks optimun (karena minimum, r=0)

4. Singkirkan variable buatan dalam semua perhitungan berikutnya.

5. Subtitusikan variable dasar kedalan fungsi tujuan.

6. Buat table simpleks tahap II

Table simpleks iterasi pertama optimum (karena semua variable nondasar pada persamaan Z bernilai nonpositif)

Kesimpulan:X1 = 2/5, X2 = 9/5, dan Z = 17/5