OSNOVI ELEKTROTEHNIKE I1.zadatak:U ploasti kondenzator, povrine elektroda S = 9 cm2, rastojanja izmeu elektroda d = 6 mm ubaen je homogeni dielektrik permitivnosti 1 = 7 0 tako da ispunjava 2/3 meuelektrodnog prostora, kao na slici. a). Odrediti izraz i izraunati kapacitivnost ovog kondenzatora.b) Ako su dielektrine vrstoe vazduha E0max = 30kV/cm i dielektrika E1max = 200 kV/cm, odrediti najvei napon na koji sme da se prikljui ovaj kondenzator.c) Kondenzator se optereti, odvoji od izvora nakon ega se u vazduni deo prostora ubaci dielektrik permitivnosti 2 = 1,5 0. Odrediti izraz i izraunati odnos elektrostaitkih energija kondenzatora pre i posle ubacivanja novog dielektrika.Reenje:a) Primenjujui uopteni Gausov zakon na zamiljenu povrinu koja obuhvata jednu (na primer, pozitivnu) elektrodu, i primenjujui granine uslove mogu se odrediti jaine elektrinih polja u obe sredine Elektrino polje postoji samo u unutranjosti kondenzatora (ivini efekti se zanemaruju) pa se fluks vektora elektrine indukcije kroz proizvoljnu zatvorenu zamiljenu povrinu S0 svodi fluks kroz povrinu S koja je paralelna sa elektrodom kondenzatora. Vektor elektrine indukcije i normala na povrinu su kolinearni vektori istog pravca pa je:. Q) S (D) S (D D 0Elektrina indukcija u kondenzatoru je homogena zbog ega se gornja relacija svodi na:Q S D , SQD.Kako je elektrina indukcija normalna na elektrode kondenzatora i razdvojnu povrinu: nnD DD D1 10 0i kako vae granini uslovi: n n D D1 0sledi da je elektrina indukcija u obe sredine jednaka:d0 r 0D1DnSS0 1 0 D DZa linearne sredine vai relacija , E D gde je dielektrina konstanta tako da je jaina polja u vazduhu i dielektriku, respektivno: .,1100DEDE Elektrino polje u kondenzatoru je homogeno pa je napon izmeu elektroda kondenzatora:11001 1 0 0 dSQdSQd E d E d E U + + Ekvivalentna kapacitivnost kondenzatora je:pF, 7 , 92) m(7 10 6m 10 9 7mF36103) 2 (332 49r1r1 0r11001100+ +++ d SddSdSQdSQ QUQCto se moe se predstaviti kao redna veza dva kondenzatora:11002 11 1 1 1 1dSdSC C C + + ,( ). , Cd SdSdS dSdSCpFr1r1r1r17 923 010001000+ + b) Poto je dielektrina vrstoa vazduha manja od dielektrine vrstoe upotrebljenog dielektrika do proboja dolazi najpre u vazdunom delu kondenzatora. Kad je polje u vazduhu jednako E0max polje u dielektriku je: 101 1 1 0 0 0 1 0rmaxr EE E E D D , tako da je najvei napon na koji sme da se prikljui kondenzator:. kV ,d E dE dEd E Urmaxmaxrmaxmax max 7 7323 100 1100 0 + + c) Kondenzator je optereen, odvojen od izvora i u vazduni deo ubaen drugi dielektrik, tako da optereenost kondenzatora prilikom ubacivanja dielektrika ostaje konstantna. U ovom sliaju treba primeniti sledee izraze za odereivanje energije kondenzatora:12121CQWe ,.CQWe22221 .121212212121CCCQCQWWee C1 predstavlja kapacitivnost kondenzatora sa vazdunim dielektrikom odreenu pod a) dok je kapacitivnost C2 kondenzatora kada je ubaen drugi dielektrik.C1= C, ,d d SdSdS dSdSCr2 r1r2 r1r1 r2r1 r2 1 00100010002+ + ( ) ( ). ,d d d dCCWWee35 1221 00 11221++++ r2 r1r1 r2r2 r1r1 r2 2. zadatak:U ploasti kondenzator, povrine elektroda S = 8 cm2, rastojanja izmeu elektroda d = 4 mm ubaen je homogeni dielektrik permitivnosti 1 = 2 0 tako da ispunjava 3/4 meuelektrodnog prostora, kao na slici. a) Odrediti izraz i zraunati kapacitivnost ovog kondenzatora. b) Kondenzator se optereti, odvoji od izvora nakon ega se u vazduni deo prostora ubaci dielektrik permitivnosti 2 = 4 0. Odrediti izraz i izraunati odnos elektrostaitkih energija kondenzatora pre i posle ubacivanja novog dielektrika.c) Ako su dielektrine vrstoe dielektrika E1max = 200kV/cm i E2max = 300kV/cm, odrediti najvei napon na koji sme da se prikljui ovaj kondenzator.Reenje:a) Sa donje slike se vidi da je vektor jaine polja paralelan razdvojnoj povrini dielektrika, odnosno da jaina polja ima samo tangencijalnu komponentu: ttE EE E1 10 0Na osnovu graninog uslova, da tangencijalne komponente vektora jaine polja na razdvojnoj povrini dva dielektrika moraju da budu jednake t 1 t 0 E E, proizilazi da je jaina polja u oba dielektrika ista: 1 0 E EPrimenjujui uopteni Gausov zakon na zamiljenu povrinu Suk koja obuhvata jednu (na primer, pozitivnu) elektrodu, slika 2.b, moe se odrediti jaina elektrinog polja u kondenzatoru. Elektrino polje postoji samo u unutranjosti kondenzatora (ivini efekti se zanemaruju) pa se fluks vektora elektrine indukcije kroz zamiljenu povrinu Suk svodi fluks kroz povrinu S koja je paralelna sa elektrodom kondenzatora. Vektor elektrine indukcije i normala na povrinu su kolinearni vektori istog pravca, elektrina indukcija je homogena u pojedinim delovima dielektrika (na povrinama S0 , u vazduhu, i S1, u dielektriku,) pa je:.1 1 0 0) ( ) (Q S D S DSDSD D uk + Slika 2.b.Kako izmeu elektrine indukcije i jaine polja postoji linearna veza , E D za jainu polja u kondenzatoru se dobija:,1 1 0 0 0 1 1 0 0 Q ES ES S D S D r + + .1 1 0 0 0 S S QEr + b) Napon izmeu elektroda, poto je polje homogeno, je:.1 1 0 0 0 S S d Qd E Ur + Ekvivalentna kapacitivnost kondenzatora je: ,1 1 0 0 0d SdSUQC r + to predstavlja paralelnu vezu dva kondenzatora.( )pF. 7 , 9 ) 2 3 1 (m 10 4m 10 8mF36103 14 434132 491010 1 1 0 0 0 + + ,_

+ + CdSdSd SdSUQC r rrb) Kondenzator je optereen, odvojen od izvora i u vazduni deo ubaen drugi dielektrik, tako da optereenost kondenzatora prilikom ubacivanja dielektrika ostaje konstantna. U ovom sliaju treba primeniti sledee izraze za odereivanje energije kondenzatora:12121CQWe ,.CQWe22221 010E1ESnSukS0S1121212212121CCCQCQWWee C1 predstavlja kapacitivnost kondenzatora sa vazdunim dielektrikom odreenu pod a) dok je kapacitivnost C2 kondenzatora kada je ubaen drugi dielektrik.C1= C,( ).34 43411 201 20 1 1 0 0 2 02 r r r rr rdSdSd Sd SUQC + ,_

+ + .( )( ).7102 3 12 3 43 1434101 201221 + +++ rr reedSdSCCWW c) Poto je dielektrina vrstoa prvog dielektrika (E1max = 200kV/cm) manja od dielektrine vrstoe drugog (E2max = 300kV/cm), a jaina polja u oba dielektrika je ista, do proboja dolazi kada jaina polja u kondenzatoru postane jednaka dielektrinoj vrstoi prvog dielektrika. Najvei napon na koji sme da se prikljui kondenzator je:kV. 80 cm 4 , 0cmkV200max 1 max d E U3. zadatak: , c d, , c. c (. 1.) (.1.) C1 /C2 = 8/9.a) .b) . . a r 0 0 x a/2 d a 0 0 d d/2 x r Sl.1.a. Sl.1.b.Reenje:a) Kondenzator prikazan na slici 1.a. predstavlja rednu vezu tri kondenzatora, pa je njegova kapacitivnost:' ' '1' '1'11 1 1 1C C CC + + XaXSC20 0'1 dadSC r r20 0' '122 X d aXd SC22220 0' ' '1 ( )( )rrrrr d aCadaX dadaXC + ++ + 12212221201202020201Kondenzator na slici 1.b. predstavlja paralelnu vezu tri kondenzatora, pa je njegova kapacitivnost:' ' '2' '2'2 2 C C C C + + d a XC 0'2 dadaaC r r2220 0' '2 da XaC ,_

20' ' '2( )daC r21202 + ( )( )982112202021 ++dad aCCrrr ( )98142 + rrOva relacija predstavlja kvadratnu jednainu po r:0 2 5 22 + r r koja ima dva reenja:21 r ; 212 rDrugo reenje kvadratne jednaine nije realno poto relativna dielektrina konstanta mora biti vea od 1.Prema tome traena relativna dielektrina konstanta je 2 r .b) Odnos energija kondenzatora je:98212121222121 CCU CU CWWcc 4. zadatak: , , c C0 U, c c r = 2 d/3.a) c - C .b) c { C/C = (C C')/C} We /We c c. . r d/3 d/3 d/3 Reenje:a) Primenjujui uopteni Gausov zakon na zamiljenu povrinu koja obuhvata jednu (na primer, pozitivnu) elektrodu, i primenjujui granine uslove mogu se odrediti jaine elektrinih polja u obe sredine Elektrino polje postoji samo u unutranjosti kondenzatora (ivini efekti se zanemaruju) pa se fluks vektora elektrine indukcije kroz proizvoljnu zatvorenu zamiljenu povrinu S0 svodi fluks kroz povrinu S koja je paralelna sa elektrodom kondenzatora. Vektor elektrine indukcije i normala na povrinu su kolinearni vektori istog pravca pa je:. Q) S (D) S (D D 0Elektrina indukcija u kondenzatoru je homogena zbog ega se gornja relacija svodi na:Q S D , SQD.Kako je elektrina indukcija normalna na elektrode kondenzatora i razdvojnu povrinu: nnD DD D1 10 0i kako vae granini uslovi: n n D D1 0sledi da je elektrina indukcija u obe sredine jednaka: 1 0 D DZa linearne sredine vai relacija , E D gde je dielektrina konstanta tako da je jaina polja u vazduhu i dielektriku, respektivno: .,1100DEDE Elektrino polje u kondenzatoru je homogeno pa je napon izmeu elektroda kondenzatora:( ) ( )S d Q d d d dEdEdE Urrrrr 0 0 0 00 1 031 231 23 323 3 3 + + + + + ( ) ( ) ( )0 000561 231 2331 2 C CdSS d Q QUQCr rr rrr + + + b) Kada se umesto dielektrine ploice ubaci metalna ploica, poto je u metalnoj ploici polje jednako nuli napon izmeu elektroda kondenzatora se smanjuje: dSQ d dEdEdE U + 0 00 0 0'3232323 3 Tako da se kapacitivnost poveava:000''232332 Cd SS d QQUQC 0 0 01032356' C C C C C C 1030 CCPoto je kondenzator posle optereivanja iskljuen sa izvora promena energije kondenzatora je:,212CQWe '''21CQWe '' 2'2 22 21C C C C QCQCQW

,_

% 20512356232200 0''2'' 2 CC CCC CCQ C C C C QWW6. zadatak: d1=1 mm; S1=34 cm2 d2=2 mm; S2=45,2cm2 c. 1 3 Q1= Q2= 6.10 -9C. :a) U14,b) c .Reenje:a) Polja u kondenzatorima su homogena i njihove jaine su: mVNmCCSQE522 99011 01110 2361010 6 2 1 Q Q mVmNmC CSQE52 422 99022 02210 5 , 110 2 , 45361010 6 V mmVd E U 200 10 10 23 51 1 12 V MmVd E U 300 10 2 10 5 , 13 52 2 34 3 4 1 2432211411 4 U U d l E d l E d l E U + + V dsQdsQd E d E U 50022 0211 012 2 1 1 14 + + Kapacitivnosti pojedinih kondenzatora su: pF FVCdSUQC 30 10 320010 61191101211 pF FVCdSUQC 20 10 230010 61192203422 Kapacitivnost sistema je:2 12 021 0111121141 11C CSdSdQQUQC+1]1

+ 2 12 12 1 141 1 1C C C CC C C + + pFFFC C C CC 1210 5010 20 30122 242 12 114 +Ovo je redna veza kondenzatora.