Click here to load reader

MATEMATIKA 2 Zbirka zadataka i primeri kolokvijuma mata.fon.bg.ac.rs/skladiste/vesti/zadaci_iz_zbirke-resenja[Djoric].pdf · PDF fileMATEMATIKA 2 Zbirka zadataka i primeri kolokvijuma

  • View
    345

  • Download
    24

Embed Size (px)

Text of MATEMATIKA 2 Zbirka zadataka i primeri kolokvijuma...

  • D. ori R. Lazovi . Jovanov

    MATEMATIKA 2

    Zbirka zadataka i primeri kolokvijuma

    REXEA ODABRANIH ZADATAKA

    Dragan ori

    Prvi deo (68 zadataka), 20.3.2011.

  • SadrajZADACI 3

    1 Graniqne vrednosti 3

    2 Neprekidnost 3

    3 Parcijalni izvodi 3

    4 Diferencijabilnost 4

    5 Izvodi implicitne funkcije 4

    6 Izvod u smeru datog vektora 5

    7 Tangentna ravan i normala povrxi 5

    8 Parcijalni izvodi vixeg reda 5

    9 Tejlorov polinom 5

    10 Lokalni ekstremumi 6

    11 Uslovni ekstremumi 6

    12 Apsolutni ekstremumi na oblasti 7

    REXEA 8

  • Z A D A C I

    1 Graniqne vrednosti

    1.1. [Zad.3, str.13]

    1.2. [Zad.6, str.13]

    1.3. [Zad.40, str.16]

    1.4. [Zad.41, str.16]

    1.5. [Zad.54, str.17]

    1.6. [Zad.62, str.18]

    1.7. [Zad.52, str.17]

    2 Neprekidnost

    2.1. [Zad.2, str.19]

    2.2. [Zad.4, str.19]

    2.3. [Zad.6, str.19]

    2.4. [Zad.28, str.21]

    2.5. [Zad.34, str.21]

    2.6. [Zad.37, str.21]

    3 Parcijalni izvodi

    3.1. [Zad.24, str.25]

  • 3.2. [Zad.25, str.25]

    3.3. [Nije iz Zbirke]

    Odrediti f x i fy za funkciju f : (x, y) 7 xy2ex2+y4

    3.4. [Zad.11, str.24]

    3.5. [Zad.18, str.24]

    3.6. [Zad.34, str.26]

    3.7. [Zad.30, str.25]

    4 Diferencijabilnost

    4.1. [Zad.43, str.27]

    4.2. [Zad.46, str.27]

    4.3. [Zad.49, str.28]

    4.4. [Zad.55, str.28]

    4.5. [Zad.63, str.28]

    5 Izvodi implicitne funkcije

    5.1. [Zad.66, str.29]

    5.2. [Zad.70, str.29]

    5.3. [Zad.76, str.29]

    5.4. [Zad.2, str.68 (Pr.10 - za SR)]

    5.5. [Zad.80, str.30]

  • 6 Izvod u smeru datog vektora

    6.1. [Zad.86, str.31]

    6.2. [Zad.88, str.32]

    6.3. [Zad.81, str.31]

    7 Tangentna ravan i normala povrxi

    7.1. [Zad.96, str.32]

    8 Parcijalni izvodi vixeg reda

    8.1. [Zad.2, str.34]

    8.2. [Zad.6, str.34]

    8.3. [Nije iz Zbirke]

    Ispitati da li postoji f xy(0, 0) za funkciju

    f : (x, y) 7

    2xy

    x2 + y2, (x, y(6= (0, 0)

    0, (x, y) = (0, 0)

    8.4. [Zad.21, str.35]

    9 Tejlorov polinom

    9.1. [Zad.27, str.36]

    9.2. [Zad.30, str.36]

    9.3. [Zad.31, str.36]

    9.4. [Zad.32, str.36]

  • 10 Lokalni ekstremumi

    10.1. [Zad.28, str.39]

    10.2. [Zad.30, str.39]

    10.3. [Nije iz Zbirke]

    Da li funkcija f : (x, y) 7 x2 y2 ima lokalnih ekstremuma?

    10.4. [Nije iz Zbirke]

    Da li funkcija f : (x, y) 7 |x|+ y2 ima lokalnih ekstremuma?

    10.5. [Zad.4, str.38]

    10.6. [Zad.15, str.38]

    10.7. [Zad.35, str.39]

    10.8. [Zad.39, str.40]

    10.9. [Nije iz Zbirke]

    Odrediti sve LE funkcije

    f : (x, y, z) 7 xyz + 1x+

    1

    y+

    1

    z

    10.10. [Nije iz Zbirke]

    Odrediti sve LE funkcije

    f : (x, y, z) 7 xyz(4 x y z)

    11 Uslovni ekstremumi

    11.1. [Zad.49, str.40]

    11.2. [Nije iz Zbirke ( Kolokvijum, 2007) ]

    f(x, y) = x2 + y2 2xy, (x, y) = 3x2 + y2 12

    11.3. [Zad.61, str.41]

  • 11.4. [Nije iz Zbirke]

    f(x, y, z) = x+ z, x2 + y2 + z2 = 1

    11.5. [Zad.59, str.41]

    11.6. [Zad.63, str.41]

    11.7. [Zad.62, str.41]

    11.8. [Zad.65, str.41]

    11.9. [Nije iz Zbirke]

    f(x, y, z) = x+ 2y + z, 2x2 + y2 z2 = 2, y2 + z2 = 2

    11.10. [Nije iz Zbirke]

    Ispitati da li funkcija f(x, y, z) 7 xy + yz ima u taqki A(1, 1, 1) lokalni uslovniekstremum pri uslovima x2 + y2 = 2 i y + z = 2.

    12 Apsolutni ekstremumi na oblasti

    12.1. [Zad.81, str.42]

    12.2. [Nije iz Zbirke]

    f : (x, y) 7 ex2y2(2x2 + 3y2), D = {(x, y) | x2 + y2 4}

    12.3. [Nije iz Zbirke]

    f(x, y) = xy x2y 12xy2, D = {(x, y) : 0 x 1, 0 y 2}

    12.4. [Nije iz Zbirke]

    f(x, y) = x2 xy + y2, D = {(x, y) ; |x|+ |y| 1}

    12.5. [Zad.84, str.42]

    12.6. [Nije iz Zbirke]

    f(x, y) = sinx+ sin y sin(x+ y), D = {(x, y) : x 0, y 0, x+ y 2}

  • R E X E A

    1.1. Prvo rexee.

    |f(x, y) 0| = |(x+ y) sin 1xsin

    1

    y| |x+ y| |x|+ |y| 2 =

    Drugo rexee.

    Ako (xn, yn) (0, 0) kada n, onda

    |f(xn, yn)| =

    (xn + yn) sin1

    xnsin

    1

    yn

    |xn + yn| |xn + |yn| 0

    |f(xn, yn)| 0 = f(xn, yn) 0 kada n

    1.2. Za > 0 uzmimo C() =2

    .

    Ako je d((x, y), (0, 0)) > C, tada je

    |f(x, y) 2| = |x+ y|x2 + y2

    |x|x2 + y2

    +|y|

    x2 + y2 2d((x, y), (0, 0))

    0

    1, x < 0

    f(0,y) f(0, 0)y

    =

    (y)2

    y=|y|y

    =

    {

    1, y > 0

    1, y < 0

    3.3.f x = y

    2ex2+y4 + xy2ex

    2+y4 2x = y2(1 + 2x2)ex2+y4

    f y = 2xyex2+y4 + xy2ex

    2+y4 4y3 = 2xy(1 + 2y4)ex2+y4

    3.4.

    f x =1

    1 + y2/x2 y

    (

    1x2

    )

    = yx2 + y2

    f y =1

    1 + y2/x2 1x=

    x2

    x2 + y2 1x=

    x

    x2 + y2

    3.5.f x = y

    z xyz1

    f y = xyz lnx zyz1

    f z = xyz lnx yz ln y

    3.6.

    f x = y + g 1y, f y = x+ g

    (

    xy2

    )

    xf x + yfy = xy +

    x

    yg + xy x

    yg = 2xy

    3.7.f x = yx

    y1yx + xyyx ln y =y

    xf + f ln y

    f y = xy lnx yx + xy xyx1 = f lnx+ x

    yf

  • xf x + yfy = yf + xf ln y + yf lnx+ xf

    = f(x+ y + x ln y + y lnx)

    = f(x+ y + ln yx + lnxy)

    = f(x+ y + ln f)

    4.1. Za xy > 0 je f(x, y) =xy, pa je

    f x(x, y) =1

    2xy y = 1

    2

    y

    x.

    f x nema graniqnu vrednost u (0, 0), pa nije neprekidna u (0, 0)

    Ne moe se zakuqiti da je f diferencijabilna u (0, 0)

    f x(0, 0) = limx0

    f(x, 0) f(0, 0)x

    = limx0

    0

    x= 0

    f y(0, 0) = limy0

    f(0,y) f(0, 0)y

    = limy0

    0

    y= 0

    Po definiciji, f je diferencijabilna u (0, 0) ako je

    f(0, 0) = f x(0, 0)x+ fy(0, 0)y + o(

    x2 +y2)

    = o(

    x2 +y2)

    odnosno akof(0, 0)

    x2 +y2 0, (x,y) (0, 0)

    Meutim,

    f(0, 0)

    x2 +y2=

    xy

    x2 +y2=

    {

    0, x = 0 i y > 0

    1/2, x = y > 0

    Dakle, f nije diferencijabilna u (0, 0).

    4.2.

    f x(x, y) =2xy(x2 + y2) x2y 2x

    (x2 + y2)2=

    2xy3

    (x2 + y2)2

    f y(x, y) =x2(x2 + y2) x2y 2y

    (x2 + y2)2=x4 x2y2

    (x2 + y2)2

    U taqki (x, y) 6= (0, 0) funkcije f x i f y su neprekidne, pa je f u toj taqki diferenci-jabilna

    Kako je

    f x(x, y) =2xy3

    (x2 + y2)2=

    {

    0, x = 0 i y 6= 01/2, x = y 6= 0

    funkcija f x u (0, 0) nema graniqnu vrednost, pa se ne moe zakuqiti da je f diferenci-jabilna u (0, 0)

    f x(0, 0) = limx0

    f(x, 0) f(0, 0)x

    = limx0

    0

    x= 0

  • f y(0, 0) = limy0

    f(0,y) f(0, 0)y

    = limy0

    0

    y= 0

    Po definiciji, f je diferencijabilna u (0, 0) ako je

    f(0, 0) = f x(0, 0)x+ fy(0, 0)y + o(

    x2 +y2)

    = o(

    x2 +y2)

    odnosno akof(0, 0)

    x2 +y2 0, (x,y) (0, 0)

    Meutim,

    f(0, 0)

    x2 +y2=

    x2y

    (x2 +y2)

    x2 +y2=

    {

    0, x = 0 i y > 0

    1/22, x = y > 0

    Dakle, f nije diferencijabilna u (0, 0).

    4.3.f x = 3(x

    2 + y2)2 2x, f y = 3(x2 + y2)2 2y

    df(x, y) = 6x(x2 + y2)dx+ 6y(x2 + y2)dy

    Drugo rexee.

    Ako je f(x, y) = g(x, y)3, gde je g funkcija (x, y) 7 x2 + y2, tada je

    df(x, y) = 3g2dg = 3g2d(x2 + y2) = 6g(x, y)(xdx+ ydy)

    4.4. Ako je f =g, tada je

    df =1

    2gdg =

    1

    2gd(x2 + y2 + z2) =

    xdx+ ydy + zdz

    x2 + y2 + z2

    4.5. Ako je f(x, y) =

    (1 + x)3 + (2 + y)3, onda je dati izraz jednak f(x,y) za x = 0.02i y = 0.03

    Iz

    f x =3(1 + x)2

    2

    (1 + x)3 + (2 + y)3, f y =

    3(2 + y)2

    2

    (1 + x)3 + (2 + y)3

    dobijamo f x(0, 0) = 1/2 i fy(0, 0) = 2, pa je

    f(x,y) f(0, 0) + df(0, 0) = 3 + 12x+ 2y = 3 + 0.01 0.06

    Dati izraz je priblino jednak 2.95

    5.1.

    F (x, y) = x2 ln y y2 lnx, F x = 2x ln y y2

    x, F y =

    x2

    y 2y lnx

    y = Fx

    F y= 2x ln y y

    2/x

    x2/y 2y lnx=y3 2xy ln yx3 2xy lnx

    Drugo rexee.

  • diferenciraem jednakosti x2 ln y y2 lnx = 0 po x dobijamo

    2x ln y +x2

    y y 2y y lnx y2 1

    x= 0

    y(

    x2

    y 2y lnx

    )

    =y2

    x 2x ln y

    Tree rexee.

    Primenom diferencijala na levu i desnu stranu jednakosti x2 ln yy2 lnx = 0 dobijamo

    2xdx ln y + x2dy

    y 2ydy lnx y2 dx

    x= 0

    dy

    (

    x2

    y 2y lnx

    )

    =

    (

    y2

    x 2x ln y

    )

    dx

    pa je y =dy

    dx

    5.2.F x = z

    2 2xy + 2, F y = x2 + 2yz 1, F z = 2zx+ y2

    Kako je z(0, 1) = 1, to je

    zx = F x(0, 1, 1)

    F z(0, 1, 1)= 1 0 + 2

    1= 3

    zy = F y(0, 1, 1)

    F z(0, 1, 1)= 0 + 2 1 1 1

    1= 1

    5.3. Diferenciaem po x dobijamo

    1 = zxG+ zGy

    zxz2

    , z = zzxG yzxG

    odakle je

    zx =z

    zG yG

    Diferenciraem po y dobijamo

    0 = zyG+ zG z yz

    y

    z2, (yG zG)zy = Gz

    odakle je

    zy =zG

    yG zGZamenom zx i z

    y imamo

    xzx + yzy =

    xz

    zG yG+

    yzG

    yG zG

    =zx yzG

    zG yG

    =z zG yzG

    zG yG= z

    Drugo rexee.

  • Iz date jednakosti imamo

    dx = Gdz + zdG = Gdz + zGd(y

    z

    )

    = Gdz + zGzdy ydz

    z2

    = Gdz +Gdy G yzdz

    Iz poslede jednakosti sledi

    zdx zGdy = (zG yG)dz

    odnosnoz

    zG yGdx+

    zG

    zG yGdy = dz

    Prema tome,

    zx =z

    zG yG, zy =

    zG

    yG zGDae isto kao u prvom rexeu

    Trei naqin.

    F (x, y, z) = x zG(y

    z

    )

    , zx = F xF z, zy =

    F yF z

    gde je

    F x = 1, Fy = zG

    1

    z= G, F z = G zG

Search related