Razumijevanje koncepta funkcije zadane geometrijskim ... · funkcije (operacije s brojevima, transformacije skupa točaka, mjerenja veličina i sl.). Stjecanjem određenih znanja

Razumijevanje koncepta funkcije zadane geometrijskim uzorkom

prema teoriji van Hiele-a

Nives Baranović[email protected] za učiteljski studijFilozofski fakultet u Splitu

Van Hilova teorija u matematičkom obrazovanjuZnanstveno-stručni skup s međunarodnim sudjelovanjem

Zadar, 25. – 26. travnja 2019.

Pojam funkcija

U svakodnevnom govoru:

Široka lepeza korištenja pojma funkcije, inačica i sinonima (uloga, zadaća i sl.)

Latinski functio znači vršenje određene radnje, službe, djelatnosti, zadatka, dužnosti, uloge, položaja i sl.

Opisuje interakciju između dviju pojava prema nekom pravilu. Npr. zadaća nastavnika je poučavanje učenika.

Ne mora biti povezano s matematičkim pojmom funkcije. 2

U matematici:

Pojam funkcija uvodi Leibniz 1673. za ovisnost jedne geometrijske veličine o drugoj.

Formalna definicija pojma se mijenja kroz povijest.

Drugi nazivi: preslikavanje, pridruživanje, transformacija i sl.

Moderna definicija (Dirichlet-Bourbaki definicija) uvodi se u nastavu sredinom 20. st.

Opisuje interakciju između elemenata dvaju skupova prema točno određenom pravilu.

Koncept funkcije

3

Važan i nezaobilazan matematički koncept.

Objedinjuje razne matematičke sadržaje (geometrijske transformacije, aritmetičke operacije, mjerenje duljine, ploštine, volumena itd.)

Predkoncept (kamen temeljac) mnogih drugih koncepata (npr. za limese, derivacije, integrale i sl.)

Primjenjiv u realnom kontekstu (modeliranje) – opisivanje, prikazivanje, istraživanje odnosa među pojavama

Složen koncept i s aspekta učenja i s aspekta poučavanja –treba stvarati balans između različitih načina zapisivanja i različitih vrsta prikazivanja iste funkcije te upoznati različite vrste funkcija, ali i primjere pridruživanja koji nisu funkcije.

Razumijevanje koncepta funkcije

4

Razumijevanje nekog koncepta podrazumijeva (Sierpinska, 1992. str. 30):

Poznavanje formalne definicije tog koncepta:

Poznavanje svega onoga na što se formalna definicija odnosiSve ono što se nalazi iza logike i matematičkog formalizma, svi različiti načini interpretiranja i primjene:

X i Y se odnosi na sve vrste promjenjivih objekata ili pojava

f se odnosi na veze između promjenjivih objekata ili pojava te na procese (pravila, obrasci, zakoni) kojima se određeni objekt ili pojava transformira u drugi objekt ili pojavu.

Proces razumijevanja koncepta funkcije

5

Ostvaruje se kroz četiri vrste djelovanja (Sierpinska, 1992, str. 28):

Identifikacija određenog objekta (pojave) među drugim objektima (pojavama) te njegovo imenovanje.

Razlikovanje dvaju ili više objekata na temelju razlika među njima, ali i na temelju njihovih bitnih svojstava.

Poopćavanje uočenih pravilnosti radi otkrivanja novih mogućnosti interpretacije i primjene.

Povezivanje svih izoliranih činjenica nekog koncepta (objekti, svojstva, veze, zapisi, prikazi itd.), u jednu funkcionalnu cjelinu.

Opisane vrste djelovanja postaju aktualne kada se određeni koncept koristi kao alat u svrhu postizanja nekog cilja.

Model učenja/poučavanja koncepta

6

Slika koncepta:

Podrazumijeva sve vizualne prikaze, umne slike, sva svojstva i veze koje osoba stječe kroz iskustvo i veže uz određeni koncept.

Razlikuje s od osobe do osobe.

Ako je nepotpuna, ometa proces razumijevanja.

Na nju utječu i stavovi, uvjerenja, određeni (nesvjesni) obrasci mišljenja, npr. sve funkcije se mogu opisati algebarskim izrazom ili sve funkcije opisuju uzročno-posljedičnu vezu itd.

Definicijakoncepta

Slikakoncepta

(Vinner, 1983)

7

Raditi balans između formalne definicije koncepta i slike koju netko gradi o tom konceptu.

Formiranje koncepta funkcije u nastavi matematike započeti pažljivom izgradnjom slike koncepta radeći s različitim vrstama funkcija i veza, koristeći različite prikaze iste funkcije te njihovim postupnim povezivanjem u jednu funkcionalnu cjelinu.

Nastaviti uvođenjem formalne definicije koncepta te stvarati vezu sa već formiranom slikom koncepta, popunjavati praznine.

Definicijakoncepta

Slikakoncepta

Tijekom učenja i poučavanja koncepta funkcije važno je:

8

Ako se formalna definicija koncepta funkcije uvede prerano, ona ostaje svrha sama sebi, nije aktivna u primjeni i brzo se zaboravlja, a rješavanje problema se najčešće temelji na slici koncepta koja je obično nepotpuna i to pukim reproduciranjem zapamćenog. U tom slučaju se ne može govoriti o razumijevanju.

Dominacija realnih funkcija realnih varijabli, koje se mogu opisati algebarskim izrazom i kod kojih je prisutna određena vrsta uzročno-posljedične veze, može stvoriti pogrešna uvjerenja da su sve funkcije takve te ograničenu sliku koncepta, što otežava dublje razumijevanje samog koncepta.

Sličan problem se može javiti i u radu s nizovima te poistovjećivanje funkcije s nizom. Itd.

Definicijakoncepta

Slikakoncepta

Teškoća pri učenju i poučavanju koncepta funkcije:

Razlozi uvođenja koncepta funkcije u nastavu matematike

9

Funkcija je izvedeni matematički pojam koji se obrađuje kao određena matematička tema.

Mnogi drugi matematički pojmovi mogu se opisati kao funkcije (operacije s brojevima, transformacije skupa točaka, mjerenja veličina i sl.).

Stjecanjem određenih znanja i potrebnog razumijevanja koncepta funkcije razvija se i funkcijsko mišljenje.

Razni koncepti napredne matematike, npr. diferencijalni i integralni račun, ne mogu se razumjeti bez razumijevanja općeg koncepta funkcije.

Može biti koristan alat i izvan matematike pri modeliranjurealnih situacija.

Uvođenje koncepta funkcije u nastavu matematike?

10

Kada?

Intuitivni osjećaj za koncept funkcije može se razvijati već u prvim godinama matematičkog obrazovanja te kontinuirano njegovati u sve bogatijem i raznovrsnije okruženju do kraja srednje škole.

Kako?

Za početak se učenici mogu usmjeriti na promatranje raznih fenomena kojima su okruženi, uočavati promjene, pravilnosti i odnose među njima. Postupno uvoditi simbolički zapis, različite prikaze i opći opis uočenih pravilnosti i odnosa, kontinuirano povezujući sve u jednu funkcionalnu cjelinu.

Primjer: Regulacija prometa na cesti

Pojava: Učenici se u 1. razredu OŠ upoznaju s nekim prometnim znakovima i signalizacijom na cesti.

Uočavamo objekte: neki prometni znakovi su okrugli, drugi su pravokutni, trokutasti itd.

Postoji korespondencija između prometnih znakova i geometrijskih oblika.

11

Uočavamo vezu: određeni geometrijski lik određuje svrhu prometnog znaka:

okruglo znači naredbu,

trokutasto znači upozorenje na neku opasnost,

pravokutno znači obavijesti itd.


Uočavamo pravilnosti:

Različiti prometni znakovi mogu biti istog oblika

Postoje geometrijski oblici koji se ne koriste za prometne znakove (npr. romb, peterokut itd.).

Svaki prometni znak oblikovan je samo jednim geometrijskim oblikom.

Postoji interakcija između skupa znakova i skupa geometrijskih oblika na način da se svakom prometnom znaku dodjeljuje točno jedan geometrijski oblik.

Ovo pridruživanje je funkcija iz skupa znakova u skup oblika, tj. geometrijski oblik je „funkcija od” prometnog znaka .

12


Opisujemo simbolički:

Skup svih prometnik znakova neka je Z, skup svih geometrijskih oblika neka je G, funkcija pridruživanja neka je o (oblikovanje znaka u geometrijski oblik).

Pridruživanje:

13

:o Z G _ ( _ )geometrijski oblik o prometni znak

( )

( )

( )

trokut o upozorenje

krug o naredba

pravokutnik o obavijest

Birati različite fenomene koji predstavljaju različite vrste funkcija: Rad na računalu

Pakiranje pošiljke i plaćanje poštarine

Korištenje automata sa kavom i slatkišima

Dodjeljivanje OIB građanima

Ocjenjivanje učenika na ispitu

Registriranje automobila

Istjecanje vode iz slavine

Vožnja automobilom

Odabir najpovoljnije taxi službe itd.

Koristiti različite prikaze istih funkcija i veze među njima kako bi se osigurala podloga za upoznavanje različitih aspekata koncepta funkcije.

Kroz različite vrste funkcija poticati razvoj odgovarajućeg funkcijskog mišljenja.

14

Vrste prikaza neke funkcije

15

Opisno – služeći se govornim jezikom.

Slikovno – koristeći dijagram toka, Vennove dijagrame te različite slikovne prikaze interakcije među objektima.

Tablično – vrijednosti pridružene elementima skupova među kojima se vrši određena korespondencija. Npr. Popis učenika i njihovih ocjena na ispitu iz matematike.

Grafički – realne funkcije realne varijable mogu se prikazati grafički u koordinatnoj ravnini na temelju danog algebarskog izraza, pri čemu svaka točka ukazuje na funkcijsku ovisnost zavisne i nezavisne varijable.

Implicitno – funkcija zadana pomoću parametarskih jednadžbi.

16

Vrste prikaza neke funkcije

17

Van Hielova teorija

Sastoji se od tri dijela:

(1) opisuje razvoj apstraktnog mišljenja kroz pet razina

(2) raspravlja o karakteristikama petodijelnog modela

(3) predlaže proces učenja u pet faza koji doprinosi napredovanju kroz razine mišljenja

(1) Razvoj apstraktnog mišljenja kroz pet razina prema Van Hiele-ovoj teoriji:

18

(2) Neke karakteristike petodijelnog modela:

Razine su hijerarhijski sekvencijalni niz – trebaju se savladavati po redu, bez preskakanja.

Svaka razina podrazumijeva određena znanja, vještine i jezik –da bi netko funkcionirao na određenoj razini, prvo treba steći znanja, vještine i jezik prethodnih razina.

Napredovanje s jedne razine mišljenja na drugu ili izostanak napredovanja ne ovisi o starosnoj dobi niti sazrijevanju već više o načinu učenja i poučavanja.

Princip dualnosti objekta i metode mišljenja: svaka razina ima svoj objekt mišljenja (ono o čemu mislimo) i metodu mišljenja (način na koji mislimo) te ishodi metode mišljenja tekuće razine postaju objekt mišljenja sljedeće razine, a napredak se temelji na sposobnosti prelaska s metode na objekt.

19

(3) Proces učenja u pet faza koji doprinosi napredovanju kroz

razine mišljenja prema van Hiele-ovoj teoriji:

Faza pitanja i informiranja (Inquiry/Information)

Faza usmjerenog vođenja (Directed orientation)

Faza objašnjavanja (Explicitation)

Faza aktivnosti otvorenog tipa (Free orientation)

Faza povezivanja (Integration)

20

Van Hielova teorija u službi razvoja funkcijskog mišljenja

(prve tri razine)

Razina prepoznavanja (1)

Prvi susret s konceptom funkcije treba započeti promatranjem fenomena, pojava i objekata koji nas okružuju (objekt mišljenja).

Nakon što se određena pojava identificira, ona se proučava s aspekta promjena: uočavaju se promjene i veličine koje se mijenjaju, izdvajaju se veličine koje sudjeluju u interakciji.

Radi lakšeg praćenja, mogu se formirati tablice ili slikovniprikazi u kojima se jasno vidi koje veličine se mijenjaju i odgovarajuća interakcija (metoda mišljenja).

Uočene promjene i odnosi se opisuju riječima, služeći se govornim jezikom (jezik razine).

22

Razina analize (2)

Ishodi metode mišljenja prve razine postaju objekt proučavanja tekuće (druge) razine: napredak u razmišljanju se događa kada s opće pojave pređemo na izdvojene veličine i njihove odnose koji su prikazani slikovno ili tablicom pridruženih vrijednosti (objekt mišljenja).

Dalje se istražuju svojstva uočenih promjena, opisuju se njihove bitne karakteristike te pravilnosti odnosa među promjenama.

Mogu se uvesti i novi termini, ovisno o vrsti i prirodi promjena: ulazni elementi ili nezavisne varijable (argumenti) te izlazni elementi ili zavisne varijable (vrijednosti).

23

Razina analize (2)

Istražuju se svojstva pridruženih vrijednosti u tablici i njihovi odnosi: na koji način se mijenjaju nezavisne varijable, a na koji način zavisne varijable, ovisi li promjena zavisne varijable o promjeni nezavisne varijable i kako.

Popunjavaju se nedovršeni dijelovi tablice primjenom uočenog pravila. Ako je moguće, na temelju tablice izrađuje se jednostavni graf (metoda mišljenja).

Ovisno o prirodi promjena, uočene promjene i njihovi odnosi se opisuju riječima, a ukoliko se radi o numeričkim podacima vrše se određene aritmetičke operacije te ovom razinom dominira svijet aritmetike (jezik razine).

24

Razina neformalne dedukcije (3)

Ishodi metode mišljenja druge razine postaju objekt proučavanja tekuće (treće) razine: uočena svojstva izdvojenih promjena, nezavisnih i zavisnih varijabli te pravilnosti odnosa među njima, postaju predmet daljnjeg proučavanja (objekt mišljenja).

Ovisno o prirodi varijabli i njihovih odnosa, uočena svojstva i odnosi zapisuju se simbolički: pridruživanje, funkcijski odnos, uređeni par, formula i dr.

Ukoliko se radi o numeričkim varijablama, odnosi se opisuju funkcijskim pravilima u obliku algebarskih izraza, a na temelju njih se crta graf funkcije u koordinatnom sustavu u ravnini.

Postavljaju se formalne definicije pojmova.

25

Razina neformalne dedukcije (3)

Svojstva pripadne funkcije istražuju se dalje na temelju algebarskog izraza ili grafa, posebno svojstva realnih funkcija realnih varijabli: rast/pad, minimalne/maksimalne vrijednosti, omeđenost, zakrivljenost, točke infleksije itd. (metoda mišljenja).

Proučavaju se vrste funkcija: injekcije, surjekcije, bijekcije…; složene, inverzne itd.

Na ovoj razini dominira simbolički zapis funkcije, posebno algebarski izraz i graf u koordinatnoj ravnini ukoliko se radi o numeričkim varijablama, a to je svijet algebre i geometrije (jezik razine).

26

Primjer: Rad na računalu (1. razina)

Fenomen: kada na tipkovnici pritisnemo tipku sa slovom A, računalo taj simbol prevodi u niz nula i jedinica. Analogno vrijedi i za sve ostale znakove.

Promjenjivi objekti: simboli (znakovi na tipkovnici) i niz nula i jedinica (kodovi).

Odnos: Proces zamjene simbola nizom nula i jedinica naziva se kodiranje.

27

Simboli ASCII kod

A 0100 0001

B 0100 0010

C 0100 0011

… …

Prva skupina podataka su simboli: 256 različitih znakova koji se sastoje od velikih i malih slova, interpunkcijskih znakova itd. Slova se nižu abecednim redom.

Druga skupina podataka su ASCII kodovi (American Standard Code for Information Interchange): svaki kod se sastoji od 8 nula i jedinica, a to je binarni broj koji je ekvivalent rednog broja u decimalnom zapisu pod kojim se taj simbol nalazi.

Npr.

28


Simboli Redni broj ASCII kod

A 65 0100 0001

B 66 0100 0010

C 67 0100 0011

… …

Simboličko pridruživanje između ulaznih i izlaznih elemenata može se naznačiti strelicama:

Pravilnosti pridruživanja:

Svakom simbolu pridružuje se samo jedan ASCII kod,

Različitim simbolima pridružuju se različiti ASCII kodovi,

Ovo pridruživanje je funkcija iz skupa simbola u skup ASCII kodova. Može se reći da je kod „funkcija od“ simbola iz analognog svijeta u digitalni svijet.

29


Neka je S skup svih ulaznih simbola, K skup svih pridruženih kodova, a d proces pretvaranja analognog znaka u digitalni zapis. Tada se proces pridruživanja i funkcijska ovisnost simbolički može zapisati:

Riječ simbol predstavlja ulaznu, odnosno nezavisnu varijablu, a riječ kod izlaznu, odnosno zavisnu varijablu.

Svaki kod je vrijednost funkcije d za odgovarajući simbol.

Kako se svaki kod opet pretvara u simbol koji se prikazuje na ekranu, može se reći da se radi o obostranom jednoznačnom pridruživanju (bijekcija).

Itd.30


:d S K ( )kod d simbol

Razmatranje različitih primjera funkcija i uvođenje različitih oznaka za veličine koje sudjeluju u funkcijskom procesu osigurava da se učenici ne naviknu na ustaljenu oznaku, njihova pozornost se usmjerava na proces, a ne na simbolički zapis, izbjegava se automatsko pamćenje zapisa bez popratnog razmišljanja i obogaćuje se njihova slika koncepta.

Važno je birati i primjere određenih interakcija koji ne predstavljaju funkciju kako se ne bi stekao krivi dojam da su sva pridruživanja funkcija.

Tek nakon ovih i sličnih iskustva u promatranju različitih pojava i fenomena, njihove analize i simboličkog zapisa uočenih svojstava i njihovih odnosa ima smisla uvesti i formalnu definiciju koncepta funkcije jer je na temelju izgrađene slike koncepta mogu vidjeti kroz oba aspekta: kako glasi i na što se odnosi.

31

Rastući geometrijski uzorci

Uzorci (obrasci) koji se ponavljaju

Razni uzorci (obrasci) koji se ponavljaju: dnevni ritam (npr. ustajanje-rad-odmor-spavanje),

posao/škola (priprema-odlazak-rad/učenje-povratak),

vježba (npr. ruke gore-ispružene-uz tijelo) itd.

U radu s obrascima provode se određene aktivnosti i razvijaju odgovarajuće vještine, koje su potrebne za razumijevanje koncepta funkcije:

uočavanje raznih vrsta uzorka,

identificiranje osnovnog uzorka koji se ponavlja,

proširivanje zadanog uzorka,

predviđanje nekog dalekog ponašanja,

traženje opće zakonitosti kojom se može opisati način širenja uzorka,

simbolički zapis uočene pravilnosti te algebarsko objašnjavanje ponašanja uzorka itd.

33

Rastući geometrijski uzorci

Predstavljaju određeni niz, a niz je posebna vrsta funkcije.

Prikladni su za uvođenje funkcijskih i uzročno-posljedičnih odnosa te različitih prikaza tih odnosa.

Osiguravaju bogato okruženje za uvođenje koncepta funkcije u skladu s prve tri razine po van Hiele-u.

34

35

Odabir rastućih geometrijskih uzoraka

Aktivnost 1: U prvom promatranju vizualnog objekta potrebno je uočiti dio koji se ne mijenja (invarijanta) te na koji način se mijenja nekoliko sljedećih u odnosu na prethodni. Uočene promjene opisuju se riječima.

36

Analiza rastućih geometrijskih uzoraka

Jedan cvijet ostaje nepromijenjen Iznad se dodaje po jedan Desno se dodaju po dva U svakom koraku se dodaju 3 nova

Aktivnost 2. Na temelju uočene promjene, koja se događa iz koraka u korak, gradi se sljedećih nekoliko figura (članova niza). Ovisno o vrsti uzorka i onoga što se promatra, može se kreirati tablica koja će u prvom redu (stupcu) imati broj figure (koraka), a u drugom redu (stupcu) pridruženu vrijednost (broj elemenata u figuri ili odgovarajuću veličinu figure, npr. opseg, ploština, volumen i sl.).

37


n 1 2 3 4 5

C(n) 1 4 7 10

Aktivnost 3. Na temelju uočenog pravila mijenjanja vrši se predviđanje za izgled figure u nekom proizvoljnom koraku. Ako se predviđa npr. kako će izgledati 20. ili 100. figura (član niza) onda se to ne može odrediti uzastopnim širenjem uzorka kao što je napravljeno u početnim koracima već se moraju graditi određena poopćenja.

Izgrađena tablica se proširuje novim zapažanjima te se istražuju svojstva dobivenih vrijednosti i kako su oni povezani sa brojem (figure) koraka.

38


n 1 2 3 4 5 6 … 20 100

C(n) 1 4 7 10 13 16

+3 +3

39

n 1 2 3 4 5 6 … 20 100

C(n) 1 4 7 10 13 16

+3 +3

1. ima 1 cvijet 2. ima 2 + 2 cvijeta (21) 3. ima 3 + 4 cvijeta (22) 4. ima 4 + 6 cvjetova (23) 5. ima 5 + 8 cvjetova (24) … 20. ima 20 + 38 cvjetova (219) 100. ima 100 + 198 cvjetova (299)

Ne postoji najbolja metoda. Svaki učenik

uzorak gleda na svoj način.

Aktivnost 4. Nakon što se uočena pravilnost opiše riječima, postavlja se algebarski izraz koji povezuje broj figure sa brojem elemenata u toj figuri. Iskazano pravilo određuje funkciju pa se može opisati i pripadna funkcija, a zatim istražiti njezina svojstva, prikazati graf itd. Mogu se ispitivati određene tvrdnje, tumačiti točke grafa, npr. što pojedina točka grafa govori o promatranom uzorku, itd.

Npr. na temelju pravila funkcije može se odrediti broj elemenata za bilo koju figuru, ali i provjeriti može li se u nekoj figuri nalaziti određeni broj elementa.

40


C(n) – broj cvjetova

Aktivnost 5. Srodni uzorci se mogu međusobno uspoređivati: mogu se crtati u istom koordinatnom sustavu, uočavati njihova svojstva (brzina rasta), vrsta odnosa (linearan, kvadratan, …).

Usporedba opisanih aktivnosti i razina prema van Hiele-u:

41


van Hiele Rastući geometrijski uzorak

Razina 1 Aktivnost 1

Razina 2 Aktivnost 2, 3

Razina 3 Aktivnost 3, 4, 5

Iskustva studenata u radu s rastućim geometrijskim uzorcima

Bez uputa rješavaju samo prve dvije aktivnosti.

Tablicu rade samo u slučaju kada im se sugerira.

Nakon što odrede broj elemenata određene figure, opći odnos traže najčešće samo na temelju brojčanih vrijednosti. U slučaju složenijih pravila, nisu u mogućnosti samostalno uspostaviti odnos (7/50 studenata).

Prijelaz na funkcijski zapis rade formalno bez dubljeg razumijevanja. Tumačenje zapisa i dalje vrše na temelju figure, umjesto funkcijskog odnosa.

42

Bez obzira na propisani kurikulum i odabrani nastavni materijal, svaki nastavnik bi trebao osigurati okruženje u kojem će učenici biti u mogućnosti razviti što potpuniju sliku koncepta funkcije, koja je u ravnoteži sa formalnom definicijom koncepta, služeći se različitim vrstama funkcija, različitim prikazima iste funkcije i uspostavljajući veze među njima.

Iako ne postoji priznata najbolja opća metoda za učenje i poučavanje funkcija, odlike uspješnijih metoda temelje se na sustavnom stvaranju bogatog okruženja unutar i izvan matematike, unutar kojeg učenici imaju priliku promatrati, uočavati pojave, pravilnosti i veze, izdvajati bitne elemente, poopćavati i sve skupa objedinjavati i na taj način razvijati duboko razumijevanje koncepta funkcija.

43

Zaključna promišljanja

Poučavanje funkcija kroz modeliranje omogućava učenicima da vide praktičnu primjenu matematike u realnom svijetu što potiče njihov interes i motivaciju, a i samu matematiku više cijene.

Tehnologija može osigurati prikladno okruženje za poučavanje o funkcijama, posebno kada se vrši modeliranje funkcijama. Tehnologija sama po sebi nije niti dobra niti loša, već njezina korisnost ovisi o prikladnom načinu korištenja, u odgovarajuće vrijeme, s točno određenim ciljem.

44


Neke prednosti tehnologije:

Istraživanje funkcija u dinamičkom okruženju uz snažan vizualizacijski efekt može doprinijeti dubljem razumijevanju koncepta funkcije.

Primjenom programskih alata za manipuliranje grafom funkcije na ekranu omogućava se proučavanje utjecaja parametara na ponašanje funkcije, a time i razvoj viših razina funkcijskog mišljenja prema van Hiele-u.

I sl.

45


Neki nedostaci tehnologije:

Učestalim korištenjem dinamičkog okruženja razvija se ograničena slika koncepta funkcije jer su zastupljene samo funkcije s numeričkim karakteristikama;

Ako rad u dinamičkom okruženju nije praćen razumijevanjem onoga što se prikazuje, tehnologija ostaje svrha samoj sebi,

Za učenje rada s tehnologijom u dinamičkom okruženju potrebno je odvojiti vrijeme kojeg je ionako premalo za realizaciju nastavnog programa.

I sl.

46


Zahvaljujem na pozornosti.

47

Reference1. Carlson, M. & Oehrtman, M. (2005). Key aspects of knowing and learning the concept of function. Research Sampler Series, 9,

The Mathematical Association of America Notes Online. Retrieved March 27, 2018, from http://goo.gl/8mfGFt

2. Denbel , D.G. (2015). Functions in the Secondary School Mathematics Curriculum. Journal of Education and Practice 6(1), 77-81.

3. Dreyfus, T. & Vinner, S. (1989). Images and defnitions for the concept of function. Journal for Research in MathematicsEducation. 20, 356–366.

4. Isoda, M. (1987) Level of thought regarding functions and research on its instruction. Journal of JapanSociety of Mathematical Education, 69(3), 82–92.

5. Isoda, M. (1996). The development of language about function: An application of van Hiele’s levels. In Proceedingsof the 20th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 3, pp. 105–112). València, Spain: PME.

6. Nisawa, Y. (2018). Applying van Hiele’s Levels to Basic Research on the Difficulty Factors behind Understanding Functions. International electronic journal of mathematics education. 13(2), 61-65. https://doi.org/10.12973/iejme/2696

7. Sierpinska, A. (1992). On understanding the notion of the concept of function. In G. Harel & E. Dubinsky (Eds.), The concept offunction: Aspects of epistemology and pedagogy (pp. 25-58). MAA Notes, 25. Washington, D.C.: Mathematical Association ofAmerica.

8. Szany, G. (2016). A study of the preparation of the function concept. Konrad Krainer; Naďa Vondrová. CERME 9 - Ninth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education, Feb 2015, Prague, Czech Republic. pp.481-487, Proceedings of the Ninth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education. <hal-01286952>

9. Thompson, P. W. (1994). Students, functions, and the undergraduate curriculum. In E. Dubinsky, A. H. Schoenfeld, & J. Kaput (Eds.), Research in Collegiate Mathematics Education. I. CBMS Issues in Mathematics Education (pp. 21-44). Providence, RI: American Mathematical Society.

10. Van de Walle, J. A. (2010). Elementary and Middle School Mathematics (Chapter 15: Algebraic Thinking: Generalizations, Patterns, and Functions, 272-278). Pearson Education. Kansas State University.

11. Van Hiele, P. M. (1986) Structure and insight: A theory of mathematics education. Orland, FL: Academic Press.

12. Vinner, S. (1983). Concept definition, concept image and the notion of function. International Journal for MathematicalEducation in Science and Technology. 14(3), 293-305.

48

http://goo.gl/8mfGFt

https://doi.org/10.12973/iejme/2696

http://www.pearsoned.com/

Documents

Razumijevanje koncepta funkcije zadane geometrijskim ... · funkcije (operacije s brojevima, transformacije skupa točaka, mjerenja veličina i sl.). Stjecanjem određenih znanja