FunkcijeFunkcije

Pojam funkcije• Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija…

• Primjer 1.:

a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm.

b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 15.

• Definicija

Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu f

svakom elementu x∈ X pridružen jedan i samo jedan element y ∈ Y

kažemo da je na skupu X zadana funkcija f sa vrijednostima u Y.

Funkciju označavamo slovima: f, g, h,…

Simbolički zapisujemo:

( )( )xfx

xfy

yxf

→

=

→:

• X – područje definicije ili domena funkcije

Y – područje vrijednosti ili kodomena funkcije

x – argument ili nezavisna varijabla, x∈ X

y - vrijednost funkcije ili zavisna varijabla, y∈ Y

• Funkcija je određena s:

∈

• Funkcija je određena s:

– domenom, oznaka D

– kodomenom, oznaka K

– zakonom pridruživanja

• Primjer:

( ) 12,: −=→ xxff RR

• Funkcija je određena s:

– domenom, oznaka D

– kodomenom, oznaka K

– zakonom pridruživanja

• Tri slučaja kada domena nije skup R:

– razlomak { }0\,0)( ==≠⇒= BRDBA

xf – razlomak

– korijen

– logaritam

{ }0\,0)( ==≠⇒= BRDBB

Axf f

0,0)( ≥=≥⇒= ADAAxf f

0,0log)( >=>⇒= ADAAxf f

Primjer1: Odredite domenu funkcije:

Primjer2: Odredite domenu funkcije:

1

2)(

2 +

+=

x

xxf

( )( )231)( +−= xxxf

Primjer3: Odredite domenu funkcije:

2

43ln)(

+

−=

x

xxf

( )( )231)( +−= xxxf

1. Odredite domene funkcija:

a)

b)

c)

9)( 2 −= xxf

232)( 2 ++−= xxxf

3

3)(

+

−=

x

xxf

xx −− 12

( ] [ )+∞∪−∞−= ,33,)( fD

−= 2,

2

1)( fD

( ] [ )+∞∪−∞−= ,33,)( fD

d)

e)

f)23

145log)(

2 +−

−=

xx

xxf

25

12)(

2

2

−

−−=

x

xxxf

x

x

x

xxf

+

−+

+

−=

1

1

2

2)( ∅=)( fD

( ] [ ] [ )+∞∪−∪−∞−= ,54,35,)( fD

{ }42,1 ∪=fD

• Načini zadavanja funkcija:

– analitički

– tablično

– grafički

Analitički prikaz funkcije• Ukoliko je funkcija zadana pomoću jedne ili nekoliko formula,

kažemo da je funkcija zadana analitički.

• Postoje tri osnovna oblika analitičkog prikaza:

– eksplicitni oblik

( ) 0, =yxF

( )xfy =

– implicitni oblik

– parametarski oblik

• Primjer: Mobilni operater Gulikoža obračunava prepaid tarifu XYZtako da uz pretplatu od 45,00kn obračunava svaku minutu po0,99kn.

( ) ( )tytx ψϕ == ,

( ) 0, =yxF

Tablični prikaz funkcije • Ukoliko je funkcija zadana pomoću tablice, kažemo da je funkcija

zadana tablično.

• Primjer:

x 2 4 6 8

y 46,98 48,96 50,94 52,92

• Za argumente koji nisu dani u tablici vrijednost funkcije određuje se interpolacijom ili ekstrapolacijom.

y 46,98 48,96 50,94 52,92

Grafički prikaz funkcije• Graf funkcije je skup točaka ravnine:

• Primjer:

YXf →:

( )( ){ }XxxfxG f ∈= :,

Injekcija, surjekcija, bijekcija

• Funkcija je injekcija ako vrijedi:

• Funkcija je surjekcija ako je , tj. ako vrijedi:

YXf →:

( ) YXf =

( ) ( )212121 ,, xfxfxxXxx ≠⇒≠∈∀

( )xfyXxYy =∈∃∈∀ :

YXf →:

• Funkcija je bijekcija ako je i injekcija i surjekcija.

• Primjer:

Ispitajte bijektivnost funkcije

( )xfyXxYy =∈∃∈∀ :

YXf →:

( ) 12,: −=→ xxff RR

Jednakost funkcija• Neka su i dvije funkcije. Ako vrijedi:

a) X = W , imaju iste domene

b) Y = Z, imaju iste kodomene

c)

kažemo da su funkcije f i g jednake.

YXf →: ZWg →:

( ) ( ) Xxxgxf ∈∀= ,

kažemo da su funkcije f i g jednake.

• Primjer: ( )

( ) 2

0,

0,

xxg

xx

xxxf

=

<−

≥=

Monotonost i ograničenost funkcija

• Funkcija je rastuća ako vrijedi:

• Funkcija je strogo rastuća ako vrijedi:

• Funkcija je padajuća ako vrijedi:

R→Xf :

( ) ( ) Xxxxfxfxx ∈∀≤⇒< 212121 ,,

R→Xf :

R→Xf :

( ) ( ) Xxxxfxfxx ∈∀<⇒< 212121 ,,

• Funkcija je padajuća ako vrijedi:

• Funkcija je strogo padajuća ako vrijedi:

• Funkciju nazivamo monotonom ako je rastuća ili padajuća, odnosno strogo monotonom ako je strogo rastuća ili strogo padajuća.

R→Xf :

( ) ( ) Xxxxfxfxx ∈∀≥⇒< 212121 ,,

R→Xf :

( ) ( ) Xxxxfxfxx ∈∀>⇒< 212121 ,,

• Primjer:

• Napomena: Svaka monotona funkcija je injektivna.

• Funkcija je ograničena ako postoje brojevi m i M za koje vrijedi:

( ) 2,: xxff =→ +RR

R→Xf :

XxMxm ∈∀≤≤ ,vrijedi:

• Primjer:

XxMxm ∈∀≤≤ ,

( ) 2,: xxff =→ +RR

[ ] ( ) ( )xxff sin,1,1: =−→R

Parne i neparne funkcije• Funkcija je parna akko vrijedi:

• Graf parne funkcije simetričan je s obzirom na ordinatu.

• Primjer:

R→Xf : ( ) ( ) Xxxfxf ∈∀=− ,

( ) 2,: xxff =→ +RR

( ) 2||,: xxxff +=→ +RR

Parne i neparne funkcije• Funkcija je neparna akko vrijedi:

• Graf neparne funkcije simetričan je s obzirom na ishodište.

• Primjer:

R→Xf : ( ) ( ) Xxxfxf ∈∀−=− ,

( ) xxxff +=→ 3,: RR

1. Odredite parnost funkcija:

a)

b)

c)

62)( 24 −+= xxxf

xxxf =)(

22)( xxxf −=

P

NP

NPNNc)

d)

e)

2)( xxxf −=

5 53)( xxxxf +−=

xxxf sin)( 2=

NP

NP

Periodičnost• Za funkcija kažemo da je periodična ako postoji broj T > 0

takav da vrijedi:

• Broj T naziva se period funkcije. Najmanji pozitivni broj T naziva se temeljni period.

R→Xf :

( ) ( ) XxTxfxf ∈∀+= ,

temeljni period.

• Primjer: ( ) xxf sin=

Inverzna funkcija• Definicija:

Neka je injektivna funkcija. Svakom elementu pridružimo jednoznačno element koji se s f preslikava u y i označavamo ga . Ovako definiranu funkciju nazivamo inverznom funkcijom funkcije f.

Xx∈YXf →:

( ) XXff →− :1

( )Xfy ∈

( )yfx1

1

−=

• Napomena: Svaka bijektivna funkcija je inverzna.

• Graf inverzne funkcije Gf-1 simetričan je grafu funkcije Gf s obzirom

na pravac y = x.

• Primjer:

( )

( ) xexf

xxf

=

= ln

Primjer:

2. Odredite inverznu funkciju:

2

1log)(

+

−=

x

xxf

a)

b)

c)

2

2)(

+=

x

xxf

( ) 13log)( 2 −−= xxf

110)( 2 −= xxf

x

xxf

−=−

2

2)(1

( )100ln

1ln)(1 +

=− xxf

32)( 11 += +− xxf

Slaganje funkcija• Neka su i uz uvjet . Funkcija koja svakome

elementu pridružuje element zove se kompozicijafunkcija f i g i označava se .

YXf →:

Xx ∈

ZYg →1:

( )( ) ( )( )xfgxfg =o

( )( ) Zxfg ∈1YY ⊂

• Primjer:

Neka su i . Odredite: ( ) 2xxf = ( ) 3+= xxg fggf oo ,

3. Odredite kompoziciju f ◦ g te dobivenoj kompoziciji odredite

domenu, parnost i inverz:

2

2)(,

1

2)(

+=

−=

x

xxg

xxf

( )22 +=

x( )2

22)(:.

−

+=

x

xxgfRj o

] [ +∞∪−∞− ,22,:)( xgfDo

NPNN

( )2

42)(

2

21

−

+=

−

x

xxgf o

4. Odredite kompoziciju f ◦ g te dobivenoj kompoziciji odredite

domenu, parnost i inverz:

23

32)( ,

34

3ln)(

+

−=

−

+=

x

xxg

x

xxf

311ln)(

+=

xxgf o

18ln)(

−−=

xxgf o

−−

11

3,18:)( xgfD

o

NPNN

( )x

x

e

exgf

+

−−=

−

11

318)(

1o

• Osnovne elementarne funkcije su:

a) polinomi,

b) racionalne funkcije,

c) eksponencijalne funkcije,

d) logaritamske funkcije,

e) opća potencija,

f) trigonometrijske funkcije,

g) ciklometrijske funkcije.

PolinomiPolinomi

( ) ∑=

−

− =++++=n

i

i

i

n

n

n

nn xaaxaxaxaxP0

01

1

1 L

• Najjednostavnije i najvažnije funkcije. Ostale funkcije mogu se

aproksimirati polinomima.

• Primjer:

• Kriterij jednakosti:

...!7!5!3

sin

...!3!2!1

1

753

32

+−+−≈

++++≈

xxxxx

xxxe

x

• Kriterij jednakosti:

Dva polinoma po varijabli x identično su jednaka akko su

koeficijenti jednako visokih potencija međusobno jednaki.

• Primjer:

P(x) = x2 + 2x + 1

Q(x) = (x + 1)2

Polinomi 1. stupnja (linearna funkcija)

• Linearna funkcija je funkcija oblika: f(x)=ax + b, a ≠ 0.

• Svojstva:

a) D ∈ R

b) graf je pravac

a – koeficijent smjera:c) a – koeficijent smjera:

a > 0 – funkcija raste

a < 0 – funkcija pada

d) b – odsječak na ordinati

e) nultočka:

• Primjer: f(x) = 2x + 1

a

bx −=0

� Kvadratna funkcija je funkcija oblika: f(x)=ax2 + bx + c, a ≠ 0.

� Svojstva:

a) D ∈ R

b) a–vodeći koef., b–linearni koef., c–slobodni koef.

c) graf je parabola

Polinomi 2. stupnja (kvadratna funkcija)

acbb 42 −±−d) nultočke:

e) tjeme

f) diskriminanta: D = b2 – 4ac

� Primjer: f(x) = - 2x2 + x + 1

a

acbbx

2

42

2,1

−±−=

−−

a

bac

a

bT

4

4,

2

2

Racionalne funkcijeRacionalne funkcije

• Funkcije oblika: , pri čemu su Pn i Qm polinomi

n-tog, odnosno m-tog stupnja koji nemaju zajedničkih nultočaka.

• Ukoliko je stupanj polinoma:

– m > n – prava racionalna funkcija

– m ≤ n – možemo podijeliti polinom Pn s polinomom Qm i dobijemo funkciju:

( )( )( )

( ) 0, ≠= xQxQ

xPxf m

m

n

( )( )( )

( ) 0, ≠+= xQxT

Sxf nl

k

• Svojstva:

– Domena: skup R osim nultočaka polinoma nazivnika

– Kodomena: skup R,

– Nultočke polinoma u brojniku su ujedno i nultočke racionalne funkcije

• Primjer: Odredite domenu i nultočke:

( )( )

( ) 0, ≠+= xQxQ

Sxf n

m

k

( ) 0≠xQm

( ) 0=xPn

( )422

1052 −+

−=

xx

xxf

• Primjer: Odredite domenu i nultočke:

( )422

1052 −+

−=

xx

xxf

• Primjer: Odredite domenu i nultočke:

( )422

1052 −+

−=

xx

xxf

Eksponencijalna funkcija

• Neka je a > 0, a ≠ 1, realan broj. Funkcija f(x) = ax, ∀ x ∈ R, naziva

se eksponencijalna funkcija.

• Za eksponencijalnu funkciju vrijedi:

a) D ∈ R

b) K ∈ R+

c) neomeđena, ni parna ni neparna, strogo monotonac) neomeđena, ni parna ni neparna, strogo monotona

d) svojstva:

( )

pada funkcija je ako

raste funkcija je ako

⇒<<

⇒>

=⇒=

=

=

=⋅

⋅

+

10

1

1

21

0

21

212

1

2121

a

a

xxaa

a

aa

aaa

xx

xxxx

xxxx

• graf eksponencijalne funkcije

Logaritamska funkcija• Funkcija f (x) = logax, ∀ x ∈ R+, a>0, a ≠ 1; naziva se logaritamska

funkcija i to je inverzna funkcija eksponencijalne funkcije.

• Za logaritamsku funkciju vrijedi:

a) D ∈ R+

b) K ∈ Rb) K ∈ R

c) strogo monotone, ni parne ni neparne i neomeđene,

d) svojstva:

( )

pada funkcija je ako

raste funkcija je ako

⇒<<

⇒>

=⇒=

=

=

−=

+=

10

1

loglog

logloglog

loglog

logloglog

loglog)log(

2121

a

a

xxxx

xbx

xrx

yxy

x

yxxy

aa

baa

a

r

a

• Dekadski logaritam je logaritam s bazom 10, f (x) = log10x = logx

• Prirodni logaritam je logaritam s bazom e: f (x) = logex = lnx

• graf logaritamske funkcije:

Opća potencija

• Funkcija oblika naziva se opća potencija.

• Svojstva :

– Domena i kodomena R+

• Graf funkcija: i njezinog inverzna

( ) ( ) Rcxeexfxccxc ∈>=== ,0 ,x lnln

( ) Znxxfn ∈>= ,0 ,x ( ) Znxxf n ∈>= ,0 ,x

1

• Graf funkcija: i njezinog inverzna( ) Znxxfn ∈>= ,0 ,x ( ) Znxxf n ∈>= ,0 ,x

Trigonometrijske funkcije

• sinus

• kosinus

• tangens• tangens

• kotangens

Trigonometrijska kružnica

• Trigonometrijska kružnica je kružnica sa središtem u ishodištu i

radijusom 1. Početna točka odgovara točki (1, 0). Puni krug ima 2π

radijana.

• sinusoida

Grafički prikaz sinusa i kosinusa

• kosinusoida

• tangensoida

• kotangensoida