SADRŽAJ

SADRŽAJ......................................................................................................1

I. Preslikavanja............................................................................................2I.I. Primjeri preslikavanja............................................................................3

1.Funkcija...............................................................................................32. Sirjekcija.............................................................................................43. Injekcija...............................................................................................44.Bijekcija................................................................................................5

II. Pojam i vrste matrica..............................................................................7II.I Primjeri matrice...................................................................................10

III. Periodičnost funkcije...........................................................................14III.I.Primjeri periodičnih funkcija...............................................................14

IV. Rastenje i opadanje funkcije..............................................................15IV. Primjeri rastenja i opadanja funkcija...................................................16

V. Rešavanje problema slobodnog ekstrema funkcije..........................17V.I. Primjeri rešavanja problema slobodnog ekstrema funkcije...............18

I. Preslikavanja

Binarna relacija skupova A i B u kojoj se svaki javlja samo jedanput kao prva komponenta u paru, naziva se preslikavanje ili funkcija, u oznaci:

f je oznaku za operator preslikavanja (funkcije) i predstavlja zakon, postupak ili pravilo po kome se svakom elementu skupa A pridružuje (dodeljuje ih korespondira) jedan I samo jedan element skupa B, tj.

znači: postoji tačno jedan.

Ako je onda se x kao prva komponenta naziva original, argument ili nezavisna promenljiva, a y=f(x) kao druga komponenta se naziva slika (lik) funkcija ili zavisna promenljiva.

Skup svih originala x predstavlja oblast definisanosti, definicioni skup ili domen

funkcije, u oznaci pn čemu je . Skup svih slika y=f(x) predstavlja skup

vrednosti funkcije, antidomen ili kodomen funkcije, u oznaci , pri čemu .

Ako je i onda je reč o tzv. preslikavanju skupa A u skup B, u

oznaci , a ako je , onda je reč o preslikavanju skupa A na skup B,

poznatom pod nazivom sirjekcija, u oznaci .

Ako je i ako različitim originalama odgovaraju uvek različite slike, tj. ako važi:

onda se radi o jednoznačnom preslikavanju, ili 1—1 preslikavanju, ili injektivnom preslikavanju, koje kraće nazivamo injekcija i označavamo sa

.

2

Ako je sirjekcija, tj. preslikavanje , ujedno i injekcija, onda se takvo preslikavanje naziva bijektivno, biunivoko ili obostrano jednoznačno

preslikavanje, poznato pod nazivom bijekcija, u oznaci:

Preslikavanje naziva se realna funkcija.

I.I. Primjeri preslikavanja

1.Funkcija

Skup A se naziva orginal a skup B slika skupa A funkcije f ili element x iz skupa A jeste orginal a element y u skupu B jeste slika tog orginala funkcije.

3

2. Sirjekcija.

Neka je funkcija. Ako je svaki element slika nekog tada funkciju f nazivamo sirjekcija.

Formulski zapis glasi:

3. Injekcija

Neka je funkcija. Ako je različitim orginalima odgovaraju različite slike tada funkciju f nazivamo injekcija.

Formulski zapis glasi:

4

4.Bijekcija

Funkcija koja je injekcija i sirjekcija nazivamo bijekcija ili 1-1.

5. Utvrditi da li je f funkcija data šemom.

Svakom element iz skupa A odgovara tačno jedan element iz skupa B, a kod funkcije ne bi smelo biti obratno da isti orginal ima različite slike.U funkciji se ne bi smjelo dogoditi da element iz skupa A nema svoju sliku u skupu B.

5

6. Data je funkcija , zadana formulom . Dokazati da je f funkcija, a

zatim ispitati da li je :

a) sirjekcijab) injekcijac) bijekcija.

Funkcija je bijekcija.

6

II. Pojam i vrste matrica

U ekonomskim i ne samo ekonomskim istraživanjima česlo se služimo tablicama poput ove:

DobavljačiSirovineS1 S2 S3 S4 S5

D1 20 30 40 50 60D2 22 28 40 45 61D3 19 32 40 50 60D4 18 26 42 52 61

Radi lakšeg računanja sa njima podaci iz tabele se mogu prikazan u obliku pravougaone šeme ovako:

S obzirom da se radi o šcmi u kojoj je poredak elemenata bitan, možemo reći da je u pitanju uređeni skup čije elemente možemo označiti ovako:

…. itd.

Prvi broj u indeksu pokazuje kojem redu (vrsti), a drugi broj kojoj koloni (stupcu; pripada posmatram element.

U opštem slučaiu elemente k-te vrste možemo označiti sa ; a

elemente j-te kolone sa ; te da se ovakve šeme sastoje od elemenata

Prema tome, u opštem slučaju, možemo zaključni da se radi o svojevrsnom preslikavanju (operaciji) , gdje je:

i gde su: rezultati operacije koje po potrebi možemo prikazan u obliku pravougaone šeme podataka poznate pod nazivom matrica, u oznaci:

7

Možemo još kraće pisati ovako:

što znači da je reč o matrici tipa (formata) , tj. o matrici koja ima m vrsta

(redova) i n kolona (stubaca), pri čemu su elementi glavne dijagonale matrice.

Ako su svi elementi realni brojevi onda je reč o tzv. realnoj matrici.

Matrice (naročito realne) mogu korisno poslužiti pri rešavanju mnogih problema a naročito u svrhu rešavanja sistema linearnih jednačina.

Ako je u matrici broj vrsta jednak broju kolona, tj. ako je m=n onda je reč o

kvadratnoj matrici . Kvadratne matrice su, s obzirom na značaj, predmet posebnog razmatranja.

Ako je m=1, onda je reč o matrici koja ima samo jednu vrstu i kao specijalni tip naziva se matrica-vrsta (red) ili vektor-vrsta (red) u oznaci:

Ako je n=1, onda je reč o matrici koja ima samo jednu kolonu i koju nazivamo matrica-kolona (stubac) ili vektor-kolona (stubac), a označavamo ovako:

Radi eventualnog razlikovanja ovih specijalnih matrica od ostalili možemo ih označiti kao vektore, malim slovima, i to da bude oznaka za vektor-vrstu, a x oznaka za vektor-kolonu.

8

Specijalni slučajevi ovakvih matrica su tzv. jedinični vektori, kojima je jedan od elemenata broj 1 a svi ostali su nule, u oznaci odnosno , pri čemu broj u indeksu pokazuje na kome mestu se u vektoru nalazi broj 1, tako npr.:

Uvođenje ovih pojmova omogućava nam da o matricama govorimo kao o vekorskim sistemima, tj. o skupu konačno mnogo vektora (vektor-vrsta ili vektor kolona), a za skup svih matrica istog tipa da čine vektorski prostor.

Ako je m=n=1, onda je reč o matrici koja ima samo jedan elemenat, koji se kao i skalar može pisati i bez znaka matrice, ovako:

Matrica u kojoj su svi elementi nule naziva se nula—matrica.

Submatrica ili podmatrica matrice A je matrica koja se dobije kada se iz A izostavi određen broj vrsta i kolona. Prema tome mamca se može podjeliti na više submatrica ili podmatrica.

9

II.I Primjeri matrice

10

11

3. Riješiti sistem linearnih jednačina

12

4. Riješiti sistem linearnih jednačina

13

III. Periodičnost funkcije

Za funkciju se kaže da je periodična u Dt, ako za svako važi da je

. Broj n se naziva periodom funkcije y=f(x).

Najpoznatije primerci periodičnih funkcija predstavljaju trigonometrijske funkcije.Funkciju y=k (k=const.) takođe možemo smatrati periodičnom funkcijom, gde je period bilo koji realan broj.

III.I.Primjeri periodičnih funkcija

1. Na slici su prikazane funkcije y=sinx i y=cos, koje predstavljaju najpoznatije primjere periodičnih funkcija.

14

IV. Rastenje i opadanje funkcije

Ako je funkcija derivabilna u intervalu (a,b) tada se prema znaku prvog izvoda može zaključiti da li data funkcija raste ili opada u tom intervalu.

Neka bude za svako . Uzmimo dve proizvodne vrednosti iz

intervala i neka je . Prema Lagranžovoj teoremi o srednjoj vrednosli postoji

tačka iz intervala za koju je ispunjena jednakost

Pošto je , iz sledi da je .

Funkcija je dakle rastuća u intervalu , odnosno u intervalu .

Prema tome, funkcija monotono raste u intervalu ako je , za svako x iz tog

intervala.

Slično se dokazuju i sledeći stavovi:

Funkcija strogo monotono raste u intervalu ako je , .za svako x iz

tog intervala.

Funkcija monotono opada u intervalu ako je , za svaki x iz tog

intervala.

Funkcija strogo monotono opada u intervalu ako je , za svaki x iz

tog intervala.

Važi i obratno, tj. ako je funkcija monotono rastuća u intervalu tada je , za

svaki x iz tog intervala.

Ako je funkcija monotono opadajuća u intervalu tada je , za svaki x iz tog

intervala.

Neka bude funkcija monotono rastuća u intervalu i neka su dve

proizvoljne tačke iz tog intervala. Tada važi

i

Iz ovih nejednakosti se dobija da je

nezavisno od znaka .

15

S obzirom na osobinu granične vrednosri da očuva relaciju sledi da je

Slično se dokazuje i druga tvrdnja teoreme.

Važno je istaći da strogo monotono rastuća funkcija ne mora da ima izvod strogo veći od nule, kao ni strogo monotono opadajuća funkcija ne mora da ima izvod strogo manji od nule. Objašnjenje za to je u činjenici da operacija granične vrednosti ne očuva relaciju < i >.

Na primer, funkcija je strogo monotono rastuća funkci|a, a njen izvod u tački x=0 jednak je nuli.

IV. Primjeri rastenja i opadanja funkcija

1. Odrediti interval monotonosti funkcije .

Interval monotonost se određuje na osnovu izračunatog prvog izvoda, koji se rastavlja na proste faktore:

Tabela za određivanje znaka prvog izvoda. tj. rastenje i opadanje funkcije:

xx - - + +

x-1 - - - +x+1 - + + +

- + - +

y

16

V. Rešavanje problema slobodnog ekstrema funkcije

Funkcija ima maksimum u tački ako je za svaku

tačku iz okoline takčke .

Funkcija ima minimum u tački ako je za svaku tačku

iz okoline takčke .

Maksimum i minimum funkcije z zovu se ekstremi funkcije z.

Potreban uslov za postojanje ekstrema diferencijabilne funkcije u tački

je da su u toj tački parcijalni izvodi prvog reda jednaki nuli, tj.

a vrednost

.

U tom slučaju funkcija u tački za

ima maksimum,

ima minimum.

Funkcija nema ni maksimum ni minimum ako je ,a za

potrebna su dalja ispitivanja.

Prema tome, za određivanje funkcije sa dva argumenta potrebno je da uradim sledeće:

1. Odrediti stacionarne tačke , tj. rešiti sistem jednačina

2. Odrediti parcijalne izvode drugog reda .

3. Izračunati vrednosti za svaku stacionarnu tačku. Tada u tački

funkcija

17

V.I. Primjeri rešavanja problema slobodnog ekstrema funkcije

1.Naći ekstremne vrednosti funkcije .

Najprije se određuju stacionarne tačke.

Zatim se određuju parcijalni izvodi drugoga reda.

Na osnovu dobijenih podataka određuje se

Pošto je , funkcija z ima maksimum u tači (1,2) koi iznosi

.

2. Naći ekstremne vrijednosti funkcije

Najprije se određuju stacionarne tačke.

Rešenja su: (1,2), (2,1), (-1,-2),(-2,-1).

Zatim se određuju parcijalni izvodi drugoga reda.

Na osnovu dobijenih podataka određuje se

Tada

, funkcija z ima minimum

funkcija z ima maksimum

.

18