Cjelobrojne funkcije

Cjelobrojne funkcije

Hrvoje Bandov

1

Definicije

Definicija 1. Funkciju bxc nazivamo pod (eng. floor ) i vrijedi

bxc = najveci cijeli broj manji ili jednak x

Definicija 2. Funkciju dxe nazivamo strop (eng. ceiling) i vrijedi

dxe = najmanji cijeli broj veci ili jednak x

Cjelobrojne funkcije, Hrvoje Bandov 2

Definicije - primjeri i graf

b1.55c = 1, bec = 2, b7c = 7

d1.55e = 2, dee = 3


Svojstva

bxc = dxe = x ⇐⇒ x ∈ Z

dxe − bxc = 1 ⇐⇒ x /∈ Z

bbxcc = bxc, ddxee = dxe


Svojstva

b−xc = −dxed−xe = −bxc


Svojstva

x− 1 < bxc ≤ x ≤ dxe < x + 1


Svojstva

x− 1 < bxc ≤ x ≤ dxe < x + 1

bxc = n ⇐⇒ n ≤ x < n + 1 (1)

bxc = n ⇐⇒ x− 1 < n ≤ x (2)

dxe = n ⇐⇒ n− 1 < x ≤ n (3)

dxe = n ⇐⇒ x ≤ n < x + 1 (4)


Primjer 1

1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5 . . .


Primjer 1

1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5 . . .

Koji broj se nalazi na n-tom mjestu?

an =?


Hmmmmmmm

Kako pristupiti zadatku?


Primjer 1

an = m

Sto znamo o polozaju broja m?


Primjer 1

an = m

1 + 2 + 3 + . . . + m− 1 < n


Primjer 1

an = m

m(m− 1)2

< n


Primjer 1

an = m

m(m− 1)2

< n ≤ m(m + 1)2


Primjer 1

m(m− 1)2

< n ≤ m(m + 1)2

m2 −m < 2n ≤ m2 + m


Primjer 1

m(m− 1)2

< n ≤ m(m + 1)2

m2 −m < 2n ≤ m2 + m

m2 −m +14

< 2n < m2 + m +14


Primjer 1

(m− 1

2

)2

< 2n <

(m +

12

)2


Primjer 1

(m− 1

2

)2

< 2n <

(m +

12

)2

m− 12

<√

2n < m +12


Primjer 1

(m− 1

2

)2

< 2n <

(m +

12

)2

m− 12

<√

2n < m +12

m <√

2n +12

< m + 1


Primjer 1

an = m =⌊√

2n +12

⌋


Razlomljeni dio

Definicija 3. Razlomljeni dio od x nazivamo funkciju {x} za kojuvrijedi

{x} = x− bxc

{106.667} = 0.667


Primjer 2

Primjer. Neka je p prost broj, te a prirodan broj koji nije djeljiv s p.Izracunajte

p−1∑k=1

{ak

p

}


Hmmmm

p−1∑k=1

{ak

p

}


Primjer 2

p−1∑k=1

{ak

p

}Svaki broj ak gdje je k < p, p prost broj i a nije djeljiv s p daje

razlicit ostatak pri dijeljnju s p.


Primjer 2

p−1∑k=1

{ak

p

}Svaki broj ak gdje je k < p, p prost broj i a nije djeljiv s p daje

razlicit ostatak pri dijeljnju s p.

Pretpostavimo suprotno, da postoje i, j takvi da je1 ≤ i < j ≤ p− 1 i ai ≡ aj (mod p). Tada je a(j − i) ≡ 0 (mod p)no kako je 1 < j − i < p, a vec smo pokazali da takvi brojevi nisu

djeljivi s p, dolazimo do kontradikcije. Q.E.D. :)


???

Ali kakva korist od toga?


Primjer 2

Ako znamo ostatak dijeljenja nekog prirodnog broja a s b tj.a = nb + k onda slijedi da je

{a

b

}= k

b .


Primjer 2

Kako ostaci redom moraju iznosti 1, 2, . . . , p− 2, p− 1 vrijedi:

p−1∑k=1

{ak

p

}=

p−1∑k=1

k

p


Primjer 2

Kako ostaci redom moraju iznosti 1, 2, . . . , p− 2, p− 1 vrijedi:

p−1∑k=1

{ak

p

}=

p−1∑k=1

k

p

1p

p−1∑k=1

k =1p

p(p− 1)2

=p− 1

2


Hvala na pozornosti!


Education

Cjelobrojne funkcije