UNIVERZITET U ZENICIMainski fakultet

mr Muriz Arifovi, dipl.ma.in.

MJERNA TEHNIKA - VJEBE- Funkcije raspodjele-

Zenica, oktobar 2012. godine

OSNOVNI STATISTIKI POJMOVI-Srednje vrijednosti-Izraunate srednje vrijednosti:Aritmetika Kvadratna Geometrijska Harmonijska

Pozicione srednje vrijednosti:Mod - (modus, modalna-najea vrijednost)Medijana vrijednost srednjeg lana niza ureenog po rastuem ili opadajuem redoslijedu

OSNOVNI STATISTIKI POJMOVI-Matematiko oekivanje-Matematiko oekivanje - srednja vrijednost sluajne veliine i predstavlja numeriku karakteristiku raspodjele vjerovatnoa sluajne promjenljive.- pripadajue vjerovatnoe sluajne promjenljiveU sluaju kontinuirane sluajne promjenljive:

OSNOVNI STATISTIKI POJMOVI-Izraunate srednje vrijednosti-Prosta aritmetika sredina: Ponderisana aritmetika sredina:

OSNOVNI STATISTIKI POJMOVI-Izraunate srednje vrijednosti-Ponderisana aritmetika sredina za intervalnu raspodjelu: Kvadratna sredina za osnovni statistiki niz: Geometrijska sredina:

OSNOVNI STATISTIKI POJMOVI-Izraunate srednje vrijednosti-Harmonijska sredina reciprona vrijednost aritmetike sredine recipronih vrijednosti obiljeja:

OSNOVNI STATISTIKI POJMOVI-Mjere varijacije-Varijansa (disperzija) aritmetika sredina razlika kvadrata od aritmetike sredine:Za prostu raspodjelu frekvencija:Za intervalnu raspodjelu frekvencija:

FUNKCIJE RASPODJELE-Binomna raspodjela-- Bernoullijeva funkcija gustine distribucije vjerovatnoa.- Vjerovatnoa da u seriji od n eksperimenata dogaaj A nastupi ba x puta:p vjerovatnoa povoljnog ishodaq=1-p vjerovatnoa nepovoljnog ishoda Kada je p

FUNKCIJE RASPODJELE-Poisson-ova raspodjela-Nastaje kad n*p=const

FUNKCIJE RASPODJELE-Normalna raspodjela-

FUNKCIJE RASPODJELE -Normalna raspodjela-

FUNKCIJE RASPODJELE -Normalna raspodjela--Integral funkcija (integralni zakon distribucije vjerovatnoa)

FUNKCIJE RASPODJELE -Normalna raspodjela-

FUNKCIJE RASPODJELE -Normalna raspodjela-

FUNKCIJE RASPODJELE -Normalna raspodjela-Vjerovatnoe za razliite vrijednosti

FUNKCIJE RASPODJELE -Studentova raspodjela-

FUNKCIJE RASPODJELE -Pravougaona i trougaona raspodjela-

FUNKCIJE RASPODJELE -Pravougaona i trougaona raspodjela-- Za pravougaonu raspodjelu vrijedi:- Opti izraz za varijansu:- Za trougaonu raspodjelu

STATISTIKE HIPOTEZE-Izbor i vrste uzoraka-Statistika hipoteza je vrijednost, odnosno, unaprijed odreeno znaenje jednog ili vie parametara zadate raspodjele ili sam oblik raspodjele;Problem se rjeava tako da se hipoteza eksperimentalno potvrdi ili odbaci;Uzorak treba da bude reprezentativan u odnosu na skup na koji se odnosi;Uzorci se mogu uzimati iz konanog i beskonanog osnovnog skupa;Iz konanog skupa veliine N, mogue je izvui konaan broj razliitih uzoraka veliine n.

STATISTIKE HIPOTEZE-Izbor i vrste uzoraka-Centralna granina teorema: Raspored aritmetikih sredina prostih sluajnih uzoraka izvuenih iz jednog skupa (bez obzira kakav je raspored tog skupa) tei normalnom rasporedu kada veliina skupa tei beskonanosti.-aritmetika sredina normalnog rasporeda uzoraka i osnovnog skupa su jednake-varijansa normalnog rasporeda aritmetikih sredina-standardna devijacija rasporeda aritmetikih sredina uzoraka (standardna greka aritmetikih sredina)-standardna devijacija osnovnog skupan veliina uzorka

STATISTIKE HIPOTEZE-Postavka i provjera statistike hipoteze-Kada varijansa skupa nije poznata, standardna greka rauna se na osnovu procjene standardne devijacije uzorka:Konani cilj svakog istraivanja je da se rezultati istraivanja proglase validnim.U mnogim sluajevima statistika hipoteza se formulie s ciljem da bude odbaena.Nulta hipoteza H0 - uvodi se kao jedna pretpostavka koju bi trebalo odbaciti u korist alternativne hipoteze H1.Alternativna hipoteza H1 Ima vei praktini znaaj od nulte hipoteze.

STATISTIKE HIPOTEZE-Postavka i provjera statistike hipoteze-- Kod donoenja odluke o prihvatanju ili odbacivanju nulte hipoteze H0,, mogu se pojaviti dvije vrste greaka: Najee je =0,05 (rizik 5%)=0,01 (rizik 1%)

STATISTIKE HIPOTEZE-Postavka i provjera statistike hipoteze-GREKA 1. VRSTE RIZIK PROIZVOAAGREKA 2. VRSTE RIZIK POTROAA

Testiranje hipoteze o srednjoj vrijednosti (2 nepoznato):Nulta hipoteza: H0: E(x)=0 0 unaprijed zadan broj(hipoteza o jednakosti aritmetikih sredina dva osnovna skupa)

STATISTIKE HIPOTEZE-Testiranje hipoteze o srednjoj vrijednosti-a) 1H1: E(x)=Ako je hipoteza H0 istinita, varijablapripada Studentovom rasporedu sa stepenom slobode v=n-1H0 se odbacuje za t>t1-a)

STATISTIKE HIPOTEZE-Postavka i provjera statistike hipoteze-b) 2H1: E(x)=b)Hipoteza H0 se odbacuje kad je t

STATISTIKE HIPOTEZE-Testiranje hipoteze o srednjoj vrijednosti-c) 3H1: E(x)=DVOSTRANI TESTOvaj oblik alternativne hipoteze najee je u primjeni. Podruje odbacivanja H0 odreeno je nejednainama:c)

STATISTIKE HIPOTEZE-Sluaj velikog uzorka-Za uzorke veliine n>31, odnosno v=n-1=30, Studentova ili t-raspodjela moe se aproksimirati jedininom normalnom raspodjelom.Nee se uiniti velika greka ako se nulta hipoteza H0 prihvati ako je ispunjen uslov:

odnosno odbaci H0 i prihvati 3H1 ako je uz rizik od 5%

STATISTIKE HIPOTEZE-Testiranje jednakosti srednjih vrijednosti dva skupa-- aritmetike sredine dzoraka veliine n1 i n2-osnovni skupovi iz kojih su izvueni uzorciRazmatra se hipoteza da uzorci izvueni iz skupova imaju istu srednju vrijednost Procjena varijanse (zdruena varijansa) za razmatrana dva uzorka je:s1 i s2 varijanse skupova 1 i 2Standardna greka razlike sredina

STATISTIKE HIPOTEZE-Testiranje jednakosti srednjih vrijednosti dva skupa-Ako su skupovi s normalnom raspodjelom, onda veliina t ima Studentovu raspodjelu s brojem stepeni slobode v= n1+n2-2:Ako je hipoteza tana, izrazima takoe Studentovu raspodjelu. Za dati broj stepeni slobode mogu se izraunati intervali znaajnosti za vjerovatnoe 0,95 i 0,99.

STATISTIKE HIPOTEZE-Testiranje jednakosti srednjih vrijednosti dva skupa-Kriteriji za prihvatanje-odbacivanje:Ako je nulta hipoteza se odbacuje

Ako je nulta hipoteza se odbacuje s rizikom 5% i kae se da je razlika znaajna (signifikantna.

Ako je nulta hipoteza se odbacuje s rizikom 1% i kae se da je razlika visoko znaajna (visoko signifikantna). Ako je uzorak veliki tj. n1+n2-2>30 koristi se normalna raspodjela.Standardna greka rauna se prema izrazu:

STATISTIKE HIPOTEZE-F-test-testiranje jednakosti varijansi osnovnih skupova-Nulta hipoteza o jednakosti varijansi osnovnih skupova:Varijabla F-raspodjele za sluaj jednakosti varijansi:V2=n2-1, stepen slobode brojnikaV1=n1-1, stepen slobode brojnika

STATISTIKE HIPOTEZE-F-test-testiranje jednakosti varijansi osnovnih skupova-Prag signifikantnosti kod F-raspodjele:P(F0>F), gdje je =0,05 (ili =0,01); smatra se da se varijanse signifikantno (visokosignifikantno) razlikuju te nultu hipotezu treba odbaciti;P(F0

STATISTIKE HIPOTEZE-Testiranje hipoteze o rasporedu osnovnog skupa-Izraz HI-kvadrat:- test-predstavlja mjeru odstupanja empirijskih frekvencija fi od teorijskih fti,-to su odstupanja frekvencija manja je manji,-za hipotezu je poeljno da bude to manji,-vjerovatnoa se izraava povrinom ispod krive.

STATISTIKE HIPOTEZE-Testiranje hipoteze o rasporedu osnovnog skupa-Karakteristini sluajevi su: nulta hipoteza se odbacuje, moe se sigurno zakljuiti da su odstupanja izmeu empirijskih i teorijskih frekvencija prevelika; nulta hipoteza se prihvata,- Vjerovatnoe nazivaju se kritinim koeficijentima hipoteze o slaganju empirijske i teorijske raspodjele, obino je =0,05 ili =0,01.

STATISTIKE HIPOTEZE-Testiranje hipoteze o rasporedu osnovnog skupa-Broj stepeni slobode: - kod uniformne raspodjele - kod normalne (vri se procjena dva parametra) - kod binomne i Poisson-ovePraktino se ne koristi za razrede ija je frekvencija manja od 5 pa se tada vri grupisanje razreda dok kumulativna frekvencija ne bude

- test